专题1：小数的再认识和加减法（思维拓展）北师大版数学五年级上册奥数培优讲义（新教材）

该小学数学“小数的再认识和加减法”复习讲义以“意义建构→性质理解→运算掌握→拓展应用”为主线构建知识体系，通过表格梳理小数意义与数位、性质与大小比较等四大模块的核心内容和关键方法，用图表记忆法呈现数位对应法、竖式对位法等解题技巧，清晰呈现知识脉络与重难点联系。 讲义亮点在于分层进阶练习设计，能力进阶篇聚焦教材重难点，思维拓展篇如“数字卡片摆小数”题型培养有序枚举和抽象能力，易错避坑指南针对数位对齐等错误提升运算能力。精准解析支持不同层次学生自主复习，教师可据此实施分层教学，助力学生系统掌握小数知识与数学思维。

专题1：小数的再认识和加减法 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 2 考点一：小数的意义与数位顺序 3 考点二：小数的性质与大小比较 4 考点三：小数加减法笔算 5 考点四：小数加减混合与简便运算 7 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：数位对齐错误 9 易错点 2：连续退位错误 9 易错点 3：小数性质用错地方 9 易错点 4：简便计算符号错误 9 易错点 5：计数单位与数位混淆 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 10 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 12 一、能力进阶篇解析 12 二、思维拓展篇解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应北师大版五年级上册第一单元《小数的意义和加减法》核心内容，以 “意义建构→性质理解→运算掌握→拓展应用” 为主线，系统覆盖小数的意义与数位顺序、小数的性质与大小比较、小数加减法笔算、小数加减混合与简便运算四大核心模块，渗透对应思想、转化思想、建模思想、应用意识等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从小数的意义拓展入手，深化小数的计数单位与数位顺序，理解十进制分数与小数的联系；掌握小数的性质，能进行小数的化简与改写；掌握小数加减法的笔算方法，理解小数点对齐的算理；掌握小数加减混合运算顺序，能运用运算定律进行简便计算；延伸错中求解、分组巧算、数位推理等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“数与代数” 领域要求，与 2024 版最新北师大版教材进度完全同步，为后续小数乘除法奠定运算基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 小数的意义与数位 小数的计数单位；数位顺序表；分数与小数互化 数位对应法、转化法 数位名称混淆；计数单位进率记错 小数的性质与大小比较 小数的性质；化简与改写；大小比较 性质运用法、比较法 末尾添 0 去 0 变大小；整数部分不比先比小数 小数加减法笔算 小数点对齐算理；进位退位笔算；验算 竖式对位法、验算法 末尾对齐不是小数点对齐；连续退位错误 小数加减混合与简便运算 混合运算顺序；运算定律推广；减法性质 凑整法、分组法 去括号变号错误；交换位置忘带符号 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 数位对应法 数位、计数单位问题 ①找对应数位；②计数单位累加；③写数读数 先分级，对数位，计数单位看分位 性质运用法 化简、改写、判断 ①看末尾 0；②去添不变大小；③验证 末尾添去 0，大小永不变 竖式对位法 小数加减法 ①小数点对齐；②低位算起；③满十进一退一当十 小数点对齐，低位算起，满十进一 凑整法 简便计算 ①找凑整组合；②交换结合；③计算结果 凑整十百千，交换结合算 错中求解法 看错小数点问题 ①算出差量；②对应倍数；③求原数 看错几位，差对应十倍，逆推原数 三、数学思维提升 1. 对应思想 核心要点：建立 “数位 — 计数单位 — 数值” 的一一对应关系，理解小数每一位的意义，培养对应思维与数感。 专题示例：十分位对应 0.1，百分位对应 0.01，就是对应思想的体现。 2. 转化思想 核心要点：将小数加减法转化为整数加减法计算，将新知转化为旧知，培养转化迁移能力。 专题示例：小数加减法小数点对齐，就是转化为相同计数单位的整数相加减，就是转化思想的应用。 3. 建模思想 核心要点：建立小数加减法的竖式计算模型，掌握简便计算的凑整模型，培养建模意识与迁移应用能力。 专题示例：小数点对齐的竖式模型、加法结合律凑整模型，就是建模思想的体现。 4. 应用意识 核心要点：运用小数的知识解决生活中的购物、测量、统计等实际问题，体会小数的实用价值，培养实践应用能力。 专题示例：计算购物总价、计算身高差、计算路程，就是应用意识的典型体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 本部分例题严格对应两级难度梯度：能力进阶（★★★）聚焦考点综合应用与规范书写，对接教材重难点；思维拓展（★★★★）对接年级奥数题型，侧重思维方法。每个考点均覆盖两级难度，实现学练精准匹配。 考点一：小数的意义与数位顺序 能力进阶（★★★）—— 数位与计数单位 题目：一个小数的百位上是 3，十分位上是 5，千分位上是 7，其余各位都是 0，这个小数写作什么？它的计数单位是什么？有多少个这样的计数单位？ 解题步骤： ① 按数位顺序表写数：百位 3，个位、十位都是 0，整数部分是 300；十分位 5，百分位 0，千分位 7，小数部分是 507。组合起来写作：300.507。 ② 最低位是千分位，所以计数单位是 0.001（千分之一）。 ③ 计数单位的个数：（个）。 验证：300507 个 0.001 就是 300.507，正确。 【答案】写作 300.507；计数单位是 0.001；有 300507 个这样的计数单位。 【知识点睛】本题考查小数的数位顺序与计数单位，对应教材核心重难点。 核心知识：小数的整数部分数位顺序和整数一致，小数部分从左到右依次是十分位、百分位、千分位…… 对应的计数单位分别是 0.1、0.01、0.001…… 易错警示：把十分位当成十位，数位名称混淆；计数单位写成 “千分位”，混淆数位和计数单位。 思维拓展（★★★★）—— 数字卡片摆小数 题目：用数字卡片 1、2、3 和小数点，能组成多少个不同的两位小数？按从小到大的顺序排列，第 3 个是多少？ 解题步骤： ① 两位小数，说明小数部分有两个数字，整数部分有一个数字。 整数部分是 1：1.23、1.32，共 2 个； 整数部分是 2：2.13、2.31，共 2 个； 整数部分是 3：3.12、3.21，共 2 个。 总个数：（个）。 ② 从小到大排序：。 ③ 第 3 个是 2.13。 验证：有序枚举，不重复不遗漏，排序正确。 【答案】能组成 6 个不同的两位小数；第 3 个是 2.13。 【知识点睛】本题是数位排列的经典奥数题型，考查有序枚举与小数大小比较。 解题方法：先确定整数部分的位数，按顺序枚举所有可能，再排序找对应位置。 易错警示：漏数或者重复枚举，排序时比较错误。 考点二：小数的性质与大小比较 能力进阶（★★★）—— 小数的性质应用 题目：不改变数的大小，把下面各数改写成三位小数。 解题步骤： ① 根据小数的性质：小数的末尾添上 “0” 或去掉 “0”，小数的大小不变。 0.8 是一位小数，改三位小数，末尾添 2 个 0：0.800。 ② 12 是整数，改三位小数，先点小数点，再添 3 个 0：12.000。 ③ 5.0200 是四位小数，改三位小数，末尾去掉 1 个 0：5.020。 验证：改写后数的大小都不变，符合小数的性质。 【答案】0.800；12.000；5.020。 【知识点睛】本题考查小数的性质与改写，对应教材重难点。 核心性质：小数末尾添上 0 或去掉 0，小数的大小不变，计数单位会改变。 易错警示：在小数点后面添 0，不是末尾，比如 0.8 改成 0.008，改变了大小；整数改写忘点小数点。 思维拓展（★★★★）—— 小数计数单位与大小 题目：判断：两个小数，计数单位大的那个数一定更大。（ ）请举例说明理由。 解题步骤： ① 举反例：0.1 的计数单位是 0.1，0.25 的计数单位是 0.01；0.1 的计数单位更大，但。 ② 再举例：0.5 的计数单位 0.1，0.099 的计数单位 0.01，计数单位 0.1 大，但，说明计数单位大小和小数大小没有必然联系。 ③ 结论：说法错误。小数的大小由整数部分和小数部分的数值共同决定，和计数单位大小无关。 验证：多个例子都说明计数单位大的小数不一定更大，符合结论。 【答案】×；理由见解析。 【知识点睛】本题是小数性质的拓展奥数题型，考查计数单位与小数大小的辨析。 核心结论：小数的大小看数值，计数单位看最低数位；计数单位大的小数不一定大，计数单位小的小数不一定小。 易错警示：认为计数单位大数值就大，混淆概念。 考点三：小数加减法笔算 能力进阶（★★★）—— 小数退位减法 题目：计算，并验算。 解题步骤： ① 小数加减法，小数点对齐，也就是相同数位对齐。20 可以写成 20.00，对齐小数点。 ② 从低位减起，百分位 0 减 7 不够，向十分位借，十分位也是 0，向个位借，个位是 0，向十位借。 最终计算： 20.00 - 5.67 -------- 14.33 ③ 验算：用差加减数，看是否等于被减数。 ，计算正确。 【答案】14.33 【知识点睛】本题考查小数退位减法的笔算，对应教材重难点。 笔算关键：小数点对齐，也就是相同计数单位对齐；从低位算起，哪一位不够减，向前一位借 1 当 10。 验算方法：减法可以用差 + 减数 = 被减数验算。 易错警示：整数减小数，不对齐小数点，直接末尾对齐；连续退位忘记借位。 思维拓展（★★★★）—— 错中求解（看错小数点） 题目：小马虎计算一道小数加法时，把其中一个加数 3.6 的小数点看丢了，结果得到 42.8。正确的结果是多少？ 解题步骤： ① 分析错误：把 3.6 的小数点看丢了，就变成了 36，相当于加数多算了。 ② 另一个加数不变，和也多算了 32.4，所以正确的和 = 错误的和 - 多算的部分。 正确结果：。 ③ 验证：另一个加数是，正确计算，正确。 【答案】正确的结果是 10.4。 【知识点睛】本题是小数错中求解的经典奥数题型，考查加减法的变化规律。 解题规律：一个加数不变，另一个加数增加多少，和就增加多少；反之，和增加的量就是加数增加的量。 易错警示：直接用 42.8 除以 10，错误理解小数点看丢的变化。 考点四：小数加减混合与简便运算 能力进阶（★★★）—— 混合运算与简便计算 题目：计算，能用简便方法的用简便方法。 解题步骤： ① 观察数字特点，15.32 和 4.68 能凑成整数，4.75 和 5.25 能凑成整数，运用加法交换律和结合律。 交换位置：② 结合凑整：③ 计算：验证：按顺序计算，，，结果一致。 【答案】30 【知识点睛】本题考查小数加法的简便运算，对应教材重难点。 核心定律：加法交换律；加法结合律，在小数加法中同样适用。 解题技巧：找能凑成整数的小数，交换结合凑整计算。 易错警示：交换位置时，忘记把数字前面的符号一起移动。 思维拓展（★★★★）—— 分组巧算 题目：计算 解题步骤： ① 观察算式，前半段从 0.1 递增到 0.9，后半段从 0.8 递减到 0.1，可分段用等差数列求和。 前半段（0.1 到 0.9）：和 =后半段（0.8 到 0.1）：和 =② 总和：。 ③ 验证：也可利用金字塔数列规律，中间数 0.9 对应 9 份，总和为，结果一致。 【答案】8.1 【知识点睛】本题是小数分组巧算的奥数题型，考查等差数列求和与规律应用。 解题方法：小数等差数列求和，和 =(首项 + 末项)× 项数 ÷2；金字塔数列可以用中间数 × 中间数的规律。 易错警示：项数数错，导致求和错误。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：数位对齐错误 错误示例：计算，末尾对齐，算成。 正确分析：小数点对齐，也就是相同数位对齐，正确结果是。 修正方法：先对齐小数点，再计算。 易错点 2：连续退位错误 错误示例：，个位借位后忘记减 1。 正确分析：。 修正方法：哪一位借了位，计算时先减 1 再算。 易错点 3：小数性质用错地方 错误示例：化简，去掉中间的 0，变成。 正确分析：只有末尾的 0 才能去掉，中间的 0 不能去，化简后还是。 修正方法：末尾添去 0，大小才不变。 易错点 4：简便计算符号错误 错误示例：，加括号不变号。 正确分析：连减才能加括号变加和，加减混合不能随便加括号。 修正方法：减号后加括号，括号里要变号。 易错点 5：计数单位与数位混淆 错误示例：十分位的计数单位是十分位。 正确分析：十分位是数位，计数单位是 0.1（十分之一）。 修正方法：数位是位置，计数单位是单位，分清楚。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 0.45 的计数单位是（ ），它有（ ）个这样的计数单位。 2. 不改变大小，把 2.5 改写成三位小数是（ ）。 3. 计算：（ ）。 4. 计算：（ ）。 5. 比较大小：0.60（ ）0.6（填 “＞”“＜” 或 “=”）。 6. 计算：（ ）。 7. 一个小数，个位是 5，百分位是 3，其余是 0，这个数是（ ）。 8. 计算：（ ）。 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 用 0、1、2 和小数点，能组成多少个不同的两位小数？按从大到小排，第 2 个是多少？ 10. 小马虎做小数减法时，把被减数 15.6 看成了 156，结果得到 142.3。正确的差是多少？ 11. 计算： 12. 两个数的差是 8.5，如果被减数增加 1.2，减数减少 0.7，差变成多少？ 13. 用数字卡片 3、4、5 和小数点，组成的一位小数中，最大的比最小的大多少？ 14. 计算： 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】0.01；45 解题步骤： ① 0.45 最低位是百分位，计数单位是 0.01； ② 个。 【知识点睛】考查计数单位。核心：最低位决定计数单位。易错警示：0.1。 2. 【答案】2.500 解题步骤： ① 小数末尾添 0，大小不变，添两个 0 成三位。 【知识点睛】考查小数性质。核心：末尾添 0。易错警示：2.005。 3. 【答案】16.28 解题步骤： ① 小数点对齐计算：。 【知识点睛】考查小数加法。核心：小数点对齐。易错警示：16.03。 4. 【答案】7.66 解题步骤： ① ，连续退位计算。 【知识点睛】考查小数减法。核心：退位借 1 当 10。易错警示：8.66。 5. 【答案】= 解题步骤： ① 小数末尾 0 去掉大小不变，0.60=0.6。 【知识点睛】考查小数性质。核心：末尾 0 不影响大小。易错警示：＞。 6. 【答案】14.8 解题步骤： ① 交换凑整：。 【知识点睛】考查简便计算。核心：加法交换律。易错警示：13.8。 7. 【答案】5.03 解题步骤： ① 个位 5，十分位 0，百分位 3，写作 5.03。 【知识点睛】考查数位写数。核心：按数位顺序写。易错警示：5.3。 8. 【答案】7.6 解题步骤： ① 减法性质：。 【知识点睛】考查减法性质。核心：连减等于减和。易错警示：18。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】6 个；第 2 个是 2.01。 解题步骤： ① 两位小数：0.12、0.21、1.02、1.20、2.01、2.10，共 6 个； ② 从大到小：，第 2 个是 2.01。 【知识点睛】考查有序枚举。核心：不重复不遗漏。易错警示：5 个。 10. 【答案】1.9。 解题步骤： ① 减数不变：； ② 正确差：。 【知识点睛】考查错中求解。核心：先求不变的量。易错警示：11.9。 11. 【答案】1110.6。 解题步骤： ① 凑整：② 。 【知识点睛】考查凑整巧算。核心：多算的减去。易错警示：1111。 12. 【答案】10.4。 解题步骤： ① 被减数增加差增加，减数减少差也增加； ② 差变为：。 【知识点睛】考查差的变化规律。核心：被减数增差增，减数减差增。易错警示：9.0。 13. 【答案】19.8。 解题步骤： ① 最大一位小数：54.3，最小一位小数：34.5； ② 相差：。 【知识点睛】考查小数组成与大小。核心：最大数高位大，最小数高位小。易错警示：20.8。 14. 【答案】15.5。 解题步骤： ① 等差数列求和：首项 1.1，末项 2.0，共 10 项； ② 和 =。 【知识点睛】考查等差数列求和。核心：(首项 + 末项)× 项数 ÷2。易错警示：15。 1 学科网（北京）股份有限公司 $