第三单元 小数乘法-思维拓展【导图知识卡片+知识梳理+11个考点讲练+9个奥数拓展+真题难度分层演练 共38题】-2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图系统构建小数乘法知识体系，知识梳理部分分点呈现意义、变化规律、计算方法等核心知识点，用规律总结表格明确积的小数位数与乘数关系等重难点，形成清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，考点讲练中“画线段图解决稍复杂小数问题”培养推理意识，奥数拓展通过转化法简算题提升运算能力，分层真题演练适配不同学生，助力教师精准教学，提升复习效率。

null2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第三单元 小数乘法『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+11个考点讲练+9个奥数拓展+真题难度分层演练 共60题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点二 乘法的变化规律 3 知识点三 积不变规律 4 知识点四 小数乘整数计算方法 4 知识点五 小数乘小数的计算方法 4 知识点六 小数四则混合运算 4 知识点八 小数点位置移动引起小数大小变化的规律 5 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 小数与整数的乘法 5 高频考点二 利用小数与整数的乘法解决问题 6 高频考点三 运用画线段图法和逆推法解决稍复杂的小数问题 6 高频考点四 积的变化规律（小数乘法) 7 高频考点五 小数与小数的乘法 7 高频考点六 积的小数位数与乘数小数位数的关系 8 高频考点七 利用小数与小数的乘法解决问题 8 高频考点八 因数和积的大小关系（小数乘法） 8 高频考点九 整数乘法运算定律推广到小数乘法 9 高频考点十 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 9 高频考点十一 小数的估算及应用 10 难点突破 奥数拓展 10 奥数拓展一 小数与整数的乘法 10 奥数拓展二 积的变化规律（小数乘法) 11 奥数拓展三 小数与小数的乘法 11 奥数拓展四 积的小数位数与乘数小数位数的关系 11 奥数拓展五 利用小数与小数的乘法解决问题 11 奥数拓展六 因数和积的大小关系（小数乘法） 12 奥数拓展七 整数乘法运算定律推广到小数乘法 12 奥数拓展八 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 13 奥数拓展九 小数的估算及应用 13 优选真题 实战演练 13 【基础通关】 13 【能力提升】 15 知识点一 小数乘法的意义 ① 小数乘小数的意义表示求一个数的十分之几、百分之几……是多少。 ② 小数乘整数的意义与整数乘法的意义相同。可以说是求几个相同加数和的简便运算，也可以说是求这个小数的整数倍是多少。 如：2.3×5 表示求 5 个 2.3 的和是多少。也可以表示求 2.3 的 5 倍是多少。 知识点二 乘法的变化规律 ① 在乘法里，一个因数不变，另外一个因数扩大（或缩小）a 倍，积也扩大（或缩小）a 倍。 ② 在乘法里，一个因数扩大a 倍，另外一个因数扩大b 倍，积就扩大a×b 倍。 ③ 在乘法里，一个因数缩小a 倍，另外一个因数缩小b 倍，积就缩小a×b 倍。 知识点三 积不变规律 在乘法里，一个因数扩大 a 倍，另外一个因数缩小 a 倍，积不变。 知识点四 小数乘整数计算方法 ① 先把小数扩大成整数 ② 按整数乘法乘法法则计算出积 ③ 看被乘数有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 ➃ 若积的末尾有 0 可以去掉 知识点五 小数乘小数的计算方法 ① 先把小数扩大成整数 ② 按整数乘法乘法法则计算出积 ③ 看积中有几位小数就从积的右边起数出几位，点上小数点。如果乘得的积的位数不够，要在前面用 0 补足。 知识点六 小数四则混合运算 小数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的顺序相同：同级运算，从左往右；两级运算，先乘除后加减；有括号的，先算括号里的。 乘法的交换律、结合律、分配律同样适用于小数乘法，应用这些运算定律，可以使计算简便。 乘法交换律 a×b=b×a 乘法结合律 (a×b)×c＝a×(b×c)乘法分配律 a×(b+c)=a×b+a×c a×(b—c)=a×b — a×c 知识点七 积的近似数 保留 a 位小数，就看第 a+1 位，再用四舍五入的方法取值。 保留整数：表示精确到个位， 看十分位上的数；保留一位小数：表示精确到十分位，看百分位上的数；保留两位小数： 表示精确到百分位，看千分位上的数；…… ⭐ 按实际需要用“四舍五入法”保留一定的小数位数，求积的近似值。 知识点八 小数点位置移动引起小数大小变化的规律 ① 小数点位置移动引起小数大小变化的规律： 小数点向左移动一位、两位、三位……这个数就缩小到原来的 1/10 、 1/100 、 1/1000……小数点向右移动一位、两位、三位……这个数就扩大到原来的 10 倍、100 倍、1000 倍…… ② 小数点右移，位数不够时，要添“0”补位，小数点移动完后，整数最高位前边的“0”要去掉； 小数点左移，位数不够时，也用“0”补足，点上小数点，若整数部分没有数，用“0”表示，若小数末尾有 0，根据小数的性质，应把末尾的“0”去掉。 ③ 积的小数位数与乘数的小数位数的关系：在小数乘法中，两个乘数一共有几位小数，积就有几位小数。 ➃ 积的近似值的求法：一般要先算了正确的积，再根据题目要求或生活习惯用“四舍五入” ⑤ 比较大小： 一个数乘以一个大于 1 的数，积大于它本身。例如：6.5×1.5＞6.5 一个数乘以一个等于 1 的数，积等于它本身。例如：6.5×1=6.5 一个数乘以一个小于 1 的数，积小于它本身。例如：6.5×0.9＜6.5 高频考点一 小数与整数的乘法 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）用竖式计算。 12.1×35＝          4.8×125＝        0.068×15＝ 2.28×11＝          4.25×33＝        0.12×45＝ 【变式训练】（25-26四年级下·辽宁沈阳·期末）今年是中国共产党建党105周年，学校举行了诗朗诵比赛并为获奖选手准备奖品，单价如下。 奖品名称 卡通书签 创意徽章 彩色笔袋 单价/元 1.6 2.6 4.4 (1)学校选购28枚卡通书签作为参与奖，一共需要多少元？ (2)学校购买创意徽章和彩色笔袋各15个，一共要花费多少元？ 高频考点二 利用小数与整数的乘法解决问题 【典例精讲】 （25-26五年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）五（1）班45名学生和3名老师照相合影，如果每人一张照片，那么一共需付多少钱？ 合影价格表 定价：27.5元 （含10张照片） 加印一张2.5元 【变式训练】（25-26五年级上·江苏苏州·期末）慢跑是一种有氧运动，能帮助消耗热量、保持健康。成年人慢跑1分钟大约消耗5.5千卡，儿童慢跑1分钟大约消耗3.5千卡。8岁的明明和爸爸妈妈每天慢跑40分钟，三人一周（7天）一共消耗( )千卡卡路里。 高频考点三 运用画线段图法和逆推法解决稍复杂的小数问题 【典例精讲】小雨用一捆彩线编中国结，编第一个中国结用去这捆彩线全长的一半，编第二个中国结用去剩余部分的一半，这时还剩下3.25米。这捆彩线原来有多长？ 【变式训练】（23-24五年级上·山东济南·期末）建筑工地有一堆沙子，第一次用去沙子的一半多1.9吨，第二次用去剩下沙子的一半，这时建筑工地上还剩下沙子13.5吨，这堆沙子原来有( )。 高频考点四 积的变化规律（小数乘法) 【典例精讲】（25-26四年级下·甘肃定西·期末）下列算式中，（    ）的积与其他算式的积不相等。 A．4.8×2.6 B．48×0.26 C．0.48×26 D．480×0.26 【变式训练】（25-26五年级上·湖南怀化·期末）根据56×13＝728写出下面各题的计算结果。 56×0.13＝( )    72.8÷56＝( )    5.6×0.13＝( ) 高频考点五 小数与小数的乘法 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）周末，爸爸开车带全家去参观科技馆。到达后，妈妈去买门票，门票价格如下： 票价 成人票：32.80元/人 儿童票：15.50元/人 （1.20m以下的儿童免票） 妹妹说：“我的身高是1.15m，可以免门票哦。” 哥哥说：“我的身高是妹妹的1.2倍。” (1)哥哥可以免门票吗？请你通过计算说明理由。 (2)妈妈带100元购买全家人的门票，够吗？ 【变式训练】（26-27五年级上·全国·课后作业）用竖式计算。 15.6×8＝    0.35×18＝     18.4×3.6＝    8.5×0.032＝ 高频考点六 积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】（25-26五年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）4.13×0.67的积是( )位小数，4.05×2.2的积是( )位小数。 【变式训练】（25-26四年级下·福建泉州·期末）不计算，从下面四个数中选出算式“5.39×7.2”的得数，这个数是（    ）。 A．34.708 B．38.98 C．38.808 D．48.108 高频考点七 利用小数与小数的乘法解决问题 【典例精讲】（25-26五年级上·北京顺义·期末）小智家客厅要换一幅窗帘，1米布售价65元。如果你是小智，你想做下面哪种窗帘，需要多少元？ 【变式训练】（24-25五年级上·重庆云阳·期末）世界上最高的鸟是鸵鸟，最高的哺乳动物是长颈鹿。一只鸵鸟身高是2.75米，一只长颈鹿的身高是鸵鸟的2.2倍，这只长颈鹿的身高是( )米。一个鸵鸟蛋重1.5千克，一个鸡蛋一般只有0.06千克，一个鸵鸟蛋的质量是一个鸡蛋的( )倍。 高频考点八 因数和积的大小关系（小数乘法） 【典例精讲】（25-26四年级下·辽宁沈阳·期末）甲×1.32＝乙×0.99（甲、乙都不等于0），那么甲、乙两个数比较（    ）。 A．甲大 B．乙大 C．无法确定 【变式训练】（25-26四年级下·广东茂名·期末）在括号里填上“”“”或“”。 ( )18.72        ( )2.5 4.5千米( )450米        0.76元( )7角6分 高频考点九 整数乘法运算定律推广到小数乘法 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）脱式计算。 8.6×99＋8.6    4.44×4＋3.33×8    0.63×101 13.8＋2.06×9.5    9×0.47＋0.47    （2.5×12.5）×0.4 【变式训练】（2026五年级上·全国·专题练习）用简便方法计算下面各题。 1.25×4.6×8    1.5×99    0.65×201 9.7×5.6＋9.7×4.4    9×0.37＋0.37    56×1.25 高频考点十 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 【典例精讲】（25-26五年级上·江西上饶·期末）脱式计算，能简算的要简算。 0.6×1.8＋8.2×0.6          1.05÷0.7＋19.3           7.2×125 【变式训练】（25-26五年级上·广西河池·期末）计算下面各题。 ①11.9÷0.72    （得数保留两位小数）     ②6.5×9.9＋0.65×1 ③（32.6＋7.4）×0.78            ④1.25×5.28×8 高频考点十一 小数的估算及应用 【典例精讲】（26-27五年级上·北京·课后作业）小红带200元购物，买5本单价18.7元的笔记本，两盒单价29.6元的水彩笔。商店有两款书包：小号45.9元，大号62.8元。请分别用合适的估算方法判断剩余的钱能不能买小号、大号书包，最后精确计算验证。 【变式训练】（25-26五年级下·山东烟台·期末）王老师要买192本练习本，每本3.75元，他带了800元钱，够吗？解决这个问题最合理的计算方法是（    ）。 A．估算，往大了估 B．估算，往小了估 C．精确算 D．口算 奥数拓展一 小数与整数的乘法 【典例精讲】计算：12＋12.1＋12.2＋12.3＋12.4＋…＋12.8＋12.9 【变式训练】某电力公司收费是50度电以内（包含50度电），每度0.55元，超过50度电，每度电0.78元，小宇家上个月电费花了47元，上个月用了多少度电？ 奥数拓展二 积的变化规律（小数乘法) 【典例精讲】（24-25五年级上·河南驻马店·期中）甲、乙两数的积是5.026，当甲数的小数点向右移动两位，并使积为0.5026，乙数的小数点应向( )移动( )位。 【变式训练】（24-25五年级上·福建莆田·期中）仔细观察下面几个算式的规律： 123456.79×9＝1111111.11 12345.679×18＝222222.222 1234.5679×27＝33333.3333 123.45679×36＝( ) 1.2345679×( )＝66.6666666 奥数拓展三 小数与小数的乘法 【典例精讲】（25-26五年级上·上海黄浦·期末）列综合算式解答。 0.5乘1.2的积，加上1.5的和除4.41，结果是多少？ 【变式训练】（25-26五年级上·河北保定·期中）下面选项中，有且仅有一个选项是算式6.5×0.□4的积，它可能是（    ）。 A．3.552 B．3.51 C．9.82 奥数拓展四 积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】（25-26五年级上·四川巴中·期中）3.6×A＝□.156，则A至少是两位小数。( )（判断对错） 【变式训练】（25-26五年级上·云南玉溪·期末）3.04×1.2的积是( )位小数，保留一位小数是( )；25÷22的商用循环小数表示是( )。 奥数拓展五 利用小数与小数的乘法解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·河南南阳·期末）五一班举行“庆元旦”联欢会，买6.7千克葵花籽用了18.76元，又买了5.6千克糖果。糖果的单价是葵花籽的3.5倍。买糖果共用多少元？ 【变式训练】（24-25五年级上·重庆綦江·期末）每少用1千克洗衣粉，大约可节省0.28千克标准煤，相应减排0.72千克二氧化碳。陈红家12月份少用2.5千克洗衣粉，相应减排多少千克二氧化碳？ 奥数拓展六 因数和积的大小关系（小数乘法） 【典例精讲】（25-26五年级上·河南周口·期末）如果a×0.2＝b÷0.6（a，b均不为0），那么a＞b。( )（判断对错） 【变式训练】（25-26五年级上·山西晋中·期中）数M、N在直线上的位置如图所示。M×N的位置可能在（    ）。 A．点E处 B．点F处 C．点G处 D．点H处 奥数拓展七 整数乘法运算定律推广到小数乘法 【典例精讲】（24-25五年级上·上海闵行·期末）下列说法中错误的有（    ）句。 ①、、、6.457四个数中，从小到大排在第三位的是。 ②正方形是特殊的平行四边形。 ③2.5×（4－0.8）×1.25＝2.5×4－0.8×1.25＝10－1＝9。 ④只有一组对边平行的图形是梯形。 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】（23-24五年级下·甘肃金昌·期中）巧算。 （2024＋202.4＋20.24＋2.024）÷0.2024         0.999×0.999＋0.001999＋2023 奥数拓展八 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 【典例精讲】已知，那么0.1＋0.2＋0.3＋0.4＋0.5＝________。 【变式训练】计算。 （1＋0.23＋0.34）×（0.23＋0.34＋0.45）－（1＋0.23＋0.34＋0.45）×（0.23＋0.34） 奥数拓展九 小数的估算及应用 【典例精讲】（25-26五年级上·福建龙岩·期中）估一估下列算式中，（    ）的结果不可能是24.□□。 A．3.□□÷0.15 B．2.□□×9 C．3.□□×8 D．48÷3.□□ 【变式训练】（23-24五年级上·河南南阳·期末）我们的身边藏着许多有趣的“数学”：一般情况下，人所穿鞋子的长度和鞋码有关联：鞋长＝（cm），人的身高大约是鞋长的6.84倍。王老师穿38码的皮鞋，请你推算，王老师的大致身高是( )cm。（得数保留一位小数） 【基础通关】 1．（26-27五年级上·全国·课后作业）计算1.21×0.75时，得出结果是9.454，同学们都认为这道题的计算结果是错误的，他们分别说出了自己的理由，你认为说法错误的是（    ）。 A．末尾1×5＝5，所以积的末尾数字应该是5 B．0.75＜1，因此结果应该是小于1.21 C．两个两位小数相乘，算式的积应该是四位小数 D．1.21＞1，因此结果应该是小于0.75 2．（26-27五年级上·全国·单元测试）妈妈带100元去超市购物，买了2袋大米，每袋30.4元；又买了1块牛肉花费19.4元。她还打算买1条单价为15.8元的鱼。她带的钱够吗？下列四种估算方法中，方法（    ）最好。 A．30×2＋19＋15＝94（元），94＜100，一定够 B．30×2＋19＋16＝95（元），95＜100，一定够 C．31×2＋20＋16＝98（元），98＜100，一定够 D．30.4×2＋19.4＋15.8＝96（元），96＜100，一定够 3．（25-26六年级下·广东江门·期末）生活中处处有数学。王阿姨买了3.5千克苹果，每千克6元。她是这样算的：每千克6元的话，3千克就是18元；再加上0.5千克是3元，一共21元。王阿姨的算法实际上是运用了（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．积的变化规律 4．（26-27五年级上·全国·课后作业）小红的计算器坏了，屏幕不显示小数点，她算出248×34＝8432，你能帮她填出下面括号中的数吗？ 24.8×0.34＝( ) ( )×3.4＝84.32 248×( )＝843.2 5．（25-26四年级下·辽宁沈阳·期末）壮壮同学把10×（□＋0.6）错算成了10×□＋0.6，得到的结果与正确答案相差( )。 6．（24-25四年级下·陕西西安·期末）两个数乘积是1.25，若其中一个乘数除以10，另一个乘数乘5，则积变为2.5。( )（判断对错） 7．（26-27五年级上·全国·课后作业）用简便方法计算下面各题。 0.25×8.5×4    6.28×7.5＋6.28×2.5    3.7×102    4.8×99＋4.8 8．（26-27五年级上·全国·课后作业）下面是超市部分蔬菜的价目表。 蔬菜 单价（元/kg） 青菜 3.6 黄瓜 5.2 西红柿 4.5 西蓝花 5.5 (1)欣欣的妈妈买了2.5kg黄瓜，买的青菜的质量是黄瓜的1.8倍。买青菜花了多少元？ (2)明明的爸爸买了西红柿和西蓝花各3.6kg，一共需要多少元？ 9．（25-26三年级下·广东云浮·期末）云安区白石镇某书店开展暑期促销活动，一本故事书的原价是18.5元，现在降价了，每本比原价便宜3.2元。小华买了3本降价后的故事书，买1本降价后的故事书需要多少钱？买3本一共花了多少钱？ 10．（25-26四年级下·广东河源·期末）超市运来25箱牛奶，每箱有24盒，每盒牛奶售价2.5元，这些牛奶一共可以卖多少钱？ 【能力提升】 1．（25-26五年级上·山东临沂·期末）小虎把12×（□＋0.8），算成了12×□＋0.8，他的计算结果与正确结果（    ）。 A．相差12 B．相差9.6 C．相差8.8 D．一样大 2．（25-26五年级上·天津河北·期末）甲、乙两支施工队为一条公路铺柏油，两队同时从公路的两端往中间铺。甲队的施工速度是乙队的1.25倍，施工若干天后，这条公路全部铺完。完工时甲队比乙队多铺40m，这条公路的全长是（    ）m。 A．200 B．160 C．360 D．450 3．（25-26五年级上·山东菏泽·期中）下边表格表示了计算（    ）的过程。 0.6×2 0.6×0.8 1×2 1×0.8 A．6.8×2.6 B．2.8×1.6 C．2.6×1.8 4．（24-25五年级上·浙江湖州·期末）甲、乙、丙三个数都不为0，如果甲乙丙，那么甲、乙、丙三个数中，最大的数是______，最小的数是______。 5．（25-26五年级上·江苏泰州·期末）A×B是两个小数相乘。小明将小数A十分位上的6错看成了9，小红将小数A个位上的7错看成了2，他俩计算的结果相差了15.37。那么小数B等于( )。 6．（25-26五年级上·上海·期末）递等式计算，能简便运算的要用简便方法计算。 126＋74÷0.37×9.5      26.4×6.4－2.64＋3.7×26.4   [2.1－（0.37＋1.53）]×50÷0.8 7．（25-26五年级上·甘肃庆阳·期中）李老师负责购买学习用品。（“☆”代表一个数字）（单位：元） 学习用品 钢笔 笔记本 足球 单价 6.☆8 8.3☆ 47.☆0 李老师要购买10支钢笔和5本笔记本，她带100元够吗？ 8．（23-24五年级上·安徽黄山·期末）杭州第19届亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，分别取名为“琮琮、莲莲、宸宸”，组合名为“江南忆”。以它们时尚可爱的形象开发的各类摆件、挂饰等亚运会文创产品成了销售“爆款”。于是，明明和妹妹想用口袋里的90元零花钱买如下图这样的4个钥匙扣和3个书签送给好朋友。 明明这样想：11×4＋15×3＝89（元），90元够了。 想一想并回答：妹妹和明明各自估算的理由是什么？谁的估算方法更合理？为什么？ 9．为了鼓励居民节约用水，某市采用了“阶梯水价”的分段计费方式，收费标准如下表： 每月用水量 收费标准 第一段 0－15吨（含15吨） 3.4元/吨 第二段 超过15吨的部分 5.5元/吨 （1）小强家上月用水14吨，应交水费多少元？ （2）小强家某个月共交水费62元，那么他家该月用水多少吨？ 10．（25-26四年级下·辽宁沈阳·期末）某加油站搞促销活动，汽油零售价如下图，王叔叔加了45升“92号汽油”，使用某品牌APP支付，至少要支付多少元？ 品种 零售价/（元/升） 92号汽油 8.01 95号汽油 8.56 使用该品牌APP满300元减25元 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第三单元 小数乘法『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+11个考点讲练+9个奥数拓展+真题难度分层演练 共60题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点二 乘法的变化规律 3 知识点三 积不变规律 4 知识点四 小数乘整数计算方法 4 知识点五 小数乘小数的计算方法 4 知识点六 小数四则混合运算 4 知识点八 小数点位置移动引起小数大小变化的规律 5 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 小数与整数的乘法 5 高频考点二 利用小数与整数的乘法解决问题 6 高频考点三 运用画线段图法和逆推法解决稍复杂的小数问题 8 高频考点四 积的变化规律（小数乘法) 8 高频考点五 小数与小数的乘法 9 高频考点六 积的小数位数与乘数小数位数的关系 11 高频考点七 利用小数与小数的乘法解决问题 11 高频考点八 因数和积的大小关系（小数乘法） 13 高频考点九 整数乘法运算定律推广到小数乘法 13 高频考点十 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 16 高频考点十一 小数的估算及应用 18 难点突破 奥数拓展 19 奥数拓展一 小数与整数的乘法 19 奥数拓展二 积的变化规律（小数乘法) 20 奥数拓展三 小数与小数的乘法 21 奥数拓展四 积的小数位数与乘数小数位数的关系 22 奥数拓展五 利用小数与小数的乘法解决问题 24 奥数拓展六 因数和积的大小关系（小数乘法） 25 奥数拓展七 整数乘法运算定律推广到小数乘法 26 奥数拓展八 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 27 奥数拓展九 小数的估算及应用 28 优选真题 实战演练 29 【基础通关】 29 【能力提升】 34 知识点一 小数乘法的意义 ① 小数乘小数的意义表示求一个数的十分之几、百分之几……是多少。 ② 小数乘整数的意义与整数乘法的意义相同。可以说是求几个相同加数和的简便运算，也可以说是求这个小数的整数倍是多少。 如：2.3×5 表示求 5 个 2.3 的和是多少。也可以表示求 2.3 的 5 倍是多少。 知识点二 乘法的变化规律 ① 在乘法里，一个因数不变，另外一个因数扩大（或缩小）a 倍，积也扩大（或缩小）a 倍。 ② 在乘法里，一个因数扩大a 倍，另外一个因数扩大b 倍，积就扩大a×b 倍。 ③ 在乘法里，一个因数缩小a 倍，另外一个因数缩小b 倍，积就缩小a×b 倍。 知识点三 积不变规律 在乘法里，一个因数扩大 a 倍，另外一个因数缩小 a 倍，积不变。 知识点四 小数乘整数计算方法 ① 先把小数扩大成整数 ② 按整数乘法乘法法则计算出积 ③ 看被乘数有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 ➃ 若积的末尾有 0 可以去掉 知识点五 小数乘小数的计算方法 ① 先把小数扩大成整数 ② 按整数乘法乘法法则计算出积 ③ 看积中有几位小数就从积的右边起数出几位，点上小数点。如果乘得的积的位数不够，要在前面用 0 补足。 知识点六 小数四则混合运算 小数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的顺序相同：同级运算，从左往右；两级运算，先乘除后加减；有括号的，先算括号里的。 乘法的交换律、结合律、分配律同样适用于小数乘法，应用这些运算定律，可以使计算简便。 乘法交换律 a×b=b×a 乘法结合律 (a×b)×c＝a×(b×c)乘法分配律 a×(b+c)=a×b+a×c a×(b—c)=a×b — a×c 知识点七 积的近似数 保留 a 位小数，就看第 a+1 位，再用四舍五入的方法取值。 保留整数：表示精确到个位， 看十分位上的数；保留一位小数：表示精确到十分位，看百分位上的数；保留两位小数： 表示精确到百分位，看千分位上的数；…… ⭐ 按实际需要用“四舍五入法”保留一定的小数位数，求积的近似值。 知识点八 小数点位置移动引起小数大小变化的规律 ① 小数点位置移动引起小数大小变化的规律： 小数点向左移动一位、两位、三位……这个数就缩小到原来的 1/10 、 1/100 、 1/1000……小数点向右移动一位、两位、三位……这个数就扩大到原来的 10 倍、100 倍、1000 倍…… ② 小数点右移，位数不够时，要添“0”补位，小数点移动完后，整数最高位前边的“0”要去掉； 小数点左移，位数不够时，也用“0”补足，点上小数点，若整数部分没有数，用“0”表示，若小数末尾有 0，根据小数的性质，应把末尾的“0”去掉。 ③ 积的小数位数与乘数的小数位数的关系：在小数乘法中，两个乘数一共有几位小数，积就有几位小数。 ➃ 积的近似值的求法：一般要先算了正确的积，再根据题目要求或生活习惯用“四舍五入” ⑤ 比较大小： 一个数乘以一个大于 1 的数，积大于它本身。例如：6.5×1.5＞6.5 一个数乘以一个等于 1 的数，积等于它本身。例如：6.5×1=6.5 一个数乘以一个小于 1 的数，积小于它本身。例如：6.5×0.9＜6.5 高频考点一 小数与整数的乘法 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）用竖式计算。 12.1×35＝          4.8×125＝        0.068×15＝ 2.28×11＝          4.25×33＝        0.12×45＝ 【答案】423.5；600；1.02； 25.08；140.25；5.4 【思路引导】小数乘整数的竖式计算步骤： （1）先把小数当成整数，按整数乘法的竖式方法算出乘积； （2）数一下原来的小数有几位小数，就从得到的整数乘积的右边往左数出对应位数，点上小数点； （3）如果小数末尾有0，可以把0去掉化简。 【规范解答】12.1×35＝423.5      4.8×125＝600        0.068×15＝1.02              2.28×11＝25.08          4.25×33＝140.25        0.12×45＝5.4               【变式训练】（25-26四年级下·辽宁沈阳·期末）今年是中国共产党建党105周年，学校举行了诗朗诵比赛并为获奖选手准备奖品，单价如下。 奖品名称 卡通书签 创意徽章 彩色笔袋 单价/元 1.6 2.6 4.4 (1)学校选购28枚卡通书签作为参与奖，一共需要多少元？ (2)学校购买创意徽章和彩色笔袋各15个，一共要花费多少元？ 【答案】(1)元 (2)元 【思路引导】（1）根据总价单价数量的关系解题。 （2）先计算1个创意徽章和1个彩色笔袋的价格和，再乘购买数量计算出总花费。 【规范解答】（1）（元） 答：一共需要元。 （2） （元） 答：一共要花费元。 高频考点二 利用小数与整数的乘法解决问题 【典例精讲】 （25-26五年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）五（1）班45名学生和3名老师照相合影，如果每人一张照片，那么一共需付多少钱？ 合影价格表 定价：27.5元 （含10张照片） 加印一张2.5元 【答案】 122.5元 【思路引导】先计算总人数得到所需照片总数，再求出需要加印的照片数量，最后用加印费用加上合影定价，得到总费用。 【规范解答】 （元） 答：一共需付122.5元。 【变式训练】（25-26五年级上·江苏苏州·期末）慢跑是一种有氧运动，能帮助消耗热量、保持健康。成年人慢跑1分钟大约消耗5.5千卡，儿童慢跑1分钟大约消耗3.5千卡。8岁的明明和爸爸妈妈每天慢跑40分钟，三人一周（7天）一共消耗( )千卡卡路里。 【答案】 4060 【思路引导】爸爸妈妈是2名成年人，明明是1名儿童。用成人慢跑1分钟消耗的卡路里量乘2，再加上儿童慢跑1分钟消耗的卡路里量，求出三人每分钟一共消耗的卡路里量，再乘每天慢跑的时间得到每天消耗的总卡路里量，最后乘一周的天数（7天）即可求出一周消耗的总卡路里量。 【规范解答】（5.5×2＋3.5）×40×7 ＝（11＋3.5）×40×7   ＝14.5×40×7 ＝580×7   ＝4060（千卡） 高频考点三 运用画线段图法和逆推法解决稍复杂的小数问题 【典例精讲】小雨用一捆彩线编中国结，编第一个中国结用去这捆彩线全长的一半，编第二个中国结用去剩余部分的一半，这时还剩下3.25米。这捆彩线原来有多长？ 【答案】13米 【思路引导】第一个用去一半后，剩余彩线的长度为3.25×2。再求第一个用去之前的长度即可。 【规范解答】3.25×2×2 ＝6.5×2 ＝13（米） 答：这捆彩线原来有13米。 【考点剖析】本题的重点是从最后的结果入手进行逆推，逐步找出最初的状态。 【变式训练】（23-24五年级上·山东济南·期末）建筑工地有一堆沙子，第一次用去沙子的一半多1.9吨，第二次用去剩下沙子的一半，这时建筑工地上还剩下沙子13.5吨，这堆沙子原来有( )。 【答案】57.8吨 【思路引导】剩下沙子13.5吨，是第二次用去之前的一半，第二次用去之前有沙子13.5×2＝27吨，27吨加上1.9吨沙子是原来沙子的一半，再乘2，即可求出原来沙子的重量即可。 【规范解答】（13.5×2＋1.9）×2 ＝（27＋1.9）×2 ＝28.9×2 ＝57.8（吨） 建筑工地有一堆沙子，第一次用去沙子的一半多1.9吨，第二次用去剩下沙子的一半，这时建筑工地上还剩下沙子13.5吨，这堆沙子原来有57.8吨。 高频考点四 积的变化规律（小数乘法) 【典例精讲】（25-26四年级下·甘肃定西·期末）下列算式中，（    ）的积与其他算式的积不相等。 A．4.8×2.6 B．48×0.26 C．0.48×26 D．480×0.26 【答案】D 【思路引导】以基准算式4.8×2.6为参照，根据新版积不变规律：一个因数乘一个数，另一个因数除以相同的数（0除外），积不变。 【规范解答】A．4.8×2.6作为基准算式； B．对比48×0.26：4.8×10，2.6÷10，乘、除以相同数，积不变； C．对比0.48×26：4.8÷10，2.6×10，乘、除以相同数，积不变； D．对比480×0.26：4.8×100，2.6÷10，乘、除以的数不相等，积改变。 【变式训练】（25-26五年级上·湖南怀化·期末）根据56×13＝728写出下面各题的计算结果。 56×0.13＝( )    72.8÷56＝( )    5.6×0.13＝( ) 【答案】 7.28 1.3 0.728 【思路引导】一个因数不变，另一个因数缩小到原来的，则积缩小到原来的； 被除数缩小到原来的，除数不变，则商缩小到原来的； 一个因数缩小到原来的，另一个因数缩小到原来的，则积缩小到原来的。 【规范解答】56×0.13＝56×（13÷100）＝728÷100＝7.28； 728÷56＝13，72.8÷56＝（728÷10）÷56＝13÷10＝1.3； 5.6×0.13＝（56÷10）×（13÷100）＝728÷1000＝0.728。 高频考点五 小数与小数的乘法 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）周末，爸爸开车带全家去参观科技馆。到达后，妈妈去买门票，门票价格如下： 票价 成人票：32.80元/人 儿童票：15.50元/人 （1.20m以下的儿童免票） 妹妹说：“我的身高是1.15m，可以免门票哦。” 哥哥说：“我的身高是妹妹的1.2倍。” (1)哥哥可以免门票吗？请你通过计算说明理由。 (2)妈妈带100元购买全家人的门票，够吗？ 【答案】(1)不可以，理由：1.15×1.2＝1.38（m），1.38＞1.20，所以哥哥不可以免门票。 (2)够。 【思路引导】（1）先求哥哥的身高，用妹妹身高乘1.2，科技馆的免票规则为1.20米以下儿童免票，再进行比较，判断是否可以免票。 （2）计算全家购票总金额，妹妹身高1.15米满足免票要求，需要购票的人员为爸爸、妈妈2名成人，以及哥哥1名符合条件的儿童，用成人票的单价乘成人的人数加儿童票的人数乘儿童的人数。 【规范解答】（1）1.15×1.2＝1.38（m） 1.38＞1.2 答：哥哥不可以免门票。 （2）32.80×2＋15.50 ＝65.6＋15.50 ＝81.10（元）    81.10＜100 答：妈妈带100元购买全家人的门票，够。 【变式训练】（26-27五年级上·全国·课后作业）用竖式计算。 15.6×8＝    0.35×18＝     18.4×3.6＝    8.5×0.032＝ 【答案】124.8；6.3； 66.24；0.272 【思路引导】小数的乘法：首先末尾对齐，将小数乘法看成整数乘法，按照整数乘法的计算方法计算，再看因数中一共有几位小数，就从得数的右边起数出几位小数，点上小数点，得数的小数部分末尾有0的一般要把0去掉。 【规范解答】15.6×8＝124.8        0.35×18＝6.3         18.4×3.6＝66.24       8.5×0.032＝0.272           高频考点六 积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】（25-26五年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）4.13×0.67的积是( )位小数，4.05×2.2的积是( )位小数。 【答案】 四 两 【思路引导】判断小数乘法的积的小数位数，先看两个因数的总小数位数，再看末尾相乘会不会出现0，去掉末尾的0之后剩下的就是最终积的小数位数。 【规范解答】4.13是两位小数，0.67是两位小数，总共有四位小数，而且两个因数末尾的3和7相乘得21，末尾没有0，所以积是四位小数； 4.05是两位小数，2.2是一位小数，原本总共有三位小数，但两个因数末尾的5和2相乘得10，4.05×2.2＝8.910，末尾会产生1个0，去掉这个末尾的0之后，积就只剩两位小数了。 【变式训练】（25-26四年级下·福建泉州·期末）不计算，从下面四个数中选出算式“5.39×7.2”的得数，这个数是（    ）。 A．34.708 B．38.98 C．38.808 D．48.108 【答案】C 【思路引导】先根据小数乘法的小数位数规则排除不符合的选项，再通过估算乘积的范围排除其余错误选项。 【规范解答】两个因数一共有2＋1＝3位小数，且两个因数末尾9×2＝18，没有0，因此积一定是三位小数。 估算积的范围：把5.39估成5，5×7.2＝36；把5.39估成6，6×7.2＝43.2，因此积在36到43.2之间。 A．34.708小于36，不符合题意。 B．38.98是两位小数，不符合题意。 C．38.808，符合题意。 D．48.108大于43.2，不符合题意。 高频考点七 利用小数与小数的乘法解决问题 【典例精讲】（25-26五年级上·北京顺义·期末）小智家客厅要换一幅窗帘，1米布售价65元。如果你是小智，你想做下面哪种窗帘，需要多少元？ 【答案】第一种：273元；第二种：327.6元；第三种：364元 【思路引导】从图中信息可知，杆长为2.8米，每米布售价65元。根据杆长和不同的倍数关系算出每种窗帘的布长，再用布长乘每米的售价65元，就能得到每种窗帘的总价。 【规范解答】第一种：布长是杆长的1.5倍 2.8×1.5×65 ＝4.2×65 ＝273（元） 第二种：布长是杆长的1.8倍 2.8×1.8×65 ＝5.04×65 ＝327.6（元） 第三种：布长是杆长的2倍 2.8×2×65 ＝5.6×65 ＝364（元） 答：如选第一种窗帘，需要273元；如第二种窗帘，需要327.6元；如第三种窗帘，需要364元。 【变式训练】（24-25五年级上·重庆云阳·期末）世界上最高的鸟是鸵鸟，最高的哺乳动物是长颈鹿。一只鸵鸟身高是2.75米，一只长颈鹿的身高是鸵鸟的2.2倍，这只长颈鹿的身高是( )米。一个鸵鸟蛋重1.5千克，一个鸡蛋一般只有0.06千克，一个鸵鸟蛋的质量是一个鸡蛋的( )倍。 【答案】 6.05 25 【思路引导】根据求一个数的几倍是多少，用乘法计算，则用鸵鸟的身高×2.2即可求出长颈鹿的身高；根据求一个数是另一个数的几倍，用除法计算，则用鸵鸟蛋的质量除以鸡蛋的质量，即可求出一个鸵鸟蛋的质量是一个鸡蛋的几倍。 【规范解答】2.75×2.2＝6.05（米） 1.5÷0.06＝25 这只长颈鹿的身高是6.05米。一个鸵鸟蛋的质量是一个鸡蛋的25倍。 高频考点八 因数和积的大小关系（小数乘法） 【典例精讲】（25-26四年级下·辽宁沈阳·期末）甲×1.32＝乙×0.99（甲、乙都不等于0），那么甲、乙两个数比较（    ）。 A．甲大 B．乙大 C．无法确定 【答案】B 【思路引导】两个不为的数相乘，积相等时，其中一个因数越大，另一个因数就越小，据此比较甲乙的大小即可。 【规范解答】因为，所以甲小于乙，即乙更大。 【变式训练】（25-26四年级下·广东茂名·期末）在括号里填上“”“”或“”。 ( )18.72        ( )2.5 4.5千米( )450米        0.76元( )7角6分 【答案】 【思路引导】对于小数乘法比较大小：一个数（0除外）乘大于1的数，积大于原来的数； 一个数（0除外）乘小于1的数，积小于原来的数。 对于名数比较大小：先统一单位，再比较数值的大小。 千米与米的进率是1000，元与角、分的进率是10和100。 【规范解答】因为1.2＞1，根据积的变化规律，一个数乘大于1的数，积大于原来的数，所以18.72×1.2＞18.72。 因为0.9＜1，根据积的变化规律，一个数乘小于1的数，积小于原来的数，所以2.5×0.9＜2.5。 将千米换算为米，进率为1000。4.5×1000＝4500，4.5千米＝4500米，因为4500＞450，所以4.5千米＞450米。 将元换算为角和分，0.7元＝7角，0.06元＝6分。0.76元＝7角6分，所以0.76元＝7角6分。 高频考点九 整数乘法运算定律推广到小数乘法 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）脱式计算。 8.6×99＋8.6    4.44×4＋3.33×8    0.63×101 13.8＋2.06×9.5    9×0.47＋0.47    （2.5×12.5）×0.4 【答案】860；44.4；63.63     33.37；4.7；12.5 【思路引导】（1）提取相同的因数，运用乘法分配律，简化计算； （2）不能直接提取公因数，需要先变形构造出相同因数，4.44＝1.11×4，3.33＝1.11×3，统一相同的因数1.11，运用乘法分配律，简化计算； （3）需要把101拆成100＋1，运用乘法分配律，简化计算； （4）没有简便算法，严格遵循四则运算顺序：先算乘法，后算加法； （5）提取相同的因数，运用乘法分配律，简化计算； （6）运用乘法交换律，2.5×0.4凑整，简化计算。 【规范解答】8.6×99＋8.6 ＝8.6×（99＋1） ＝8.6×100 ＝860 4.44×4＋3.33×8 ＝1.11×4×4＋1.11×3×8 ＝1.11×（4×4＋3×8） ＝1.11×（16＋24） ＝1.11×40 ＝44.4 0.63×101 ＝0.63×（100＋1） ＝0.63×100＋0.63×1 ＝63＋0.63 ＝63.63 13.8＋2.06×9.5 ＝13.8＋19.57 ＝33.37 9×0.47＋0.47 ＝（9＋1）×0.47 ＝10×0.47 ＝4.7 （2.5×12.5）×0.4 ＝（2.5×0.4）×12.5 ＝1×12.5 ＝12.5 【变式训练】（2026五年级上·全国·专题练习）用简便方法计算下面各题。 1.25×4.6×8    1.5×99    0.65×201 9.7×5.6＋9.7×4.4    9×0.37＋0.37    56×1.25 【答案】46；148.5；130.65； 97；3.7；70 【思路引导】（1）利用乘法交换律，交换4.6与8的位置，先计算1.25×8，简化计算。 （2）利用乘法分配律，将99拆分为100－1，简化计算。 （3）利用乘法分配律，将201拆分为200＋1，简化计算。 （4）利用乘法分配律，提取相同因数，简化计算。 （5）利用乘法分配律，把后面的0.37看成1×0.37，提取相同因数，简化计算。 （6）将56拆分为7×8，利用乘法结合律，先计算8×1.25，简化计算。 【规范解答】（1）1.25×4.6×8 ＝1.25×8×4.6 ＝10×4.6 ＝46 （2）1.5×99 ＝1.5×（100－1） ＝1.5×100－1.5×1 ＝150－1.5 ＝148.5 （3）0.65×201 ＝0.65×（200＋1） ＝0.65×200＋0.65×1 ＝130＋0.65 ＝130.65 （4）9.7×5.6＋9.7×4.4 ＝9.7×（5.6＋4.4） ＝9.7×10 ＝97 （5）9×0.37＋0.37 ＝9×0.37＋0.37×1 ＝0.37×（9＋1） ＝0.37×10 ＝3.7 （6）56×1.25 ＝7×8×1.25 ＝7×（8×1.25） ＝7×10 ＝70 高频考点十 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 【典例精讲】（25-26五年级上·江西上饶·期末）脱式计算，能简算的要简算。 0.6×1.8＋8.2×0.6          1.05÷0.7＋19.3           7.2×125 【答案】6；20.8；900 【思路引导】（1）根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把0.6×1.8＋8.2×0.6变成0.6×（1.8＋8.2）进行简算； （2）先算除法，再算加法； （3）先把7.2拆成0.9×8，然后根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）把0.9×8×125变成0.9×（8×125）进行简算。 【规范解答】（1）0.6×1.8＋8.2×0.6 ＝0.6×（1.8＋8.2） ＝0.6×10 ＝6 （2）1.05÷0.7＋19.3 ＝1.5＋19.3 ＝20.8 （3）7.2×125 ＝0.9×8×125 ＝0.9×（8×125） ＝0.9×1000 ＝900 【变式训练】（25-26五年级上·广西河池·期末）计算下面各题。 ①11.9÷0.72    （得数保留两位小数）     ②6.5×9.9＋0.65×1 ③（32.6＋7.4）×0.78                     ④1.25×5.28×8 【答案】①16.53；②65 ③31.2；④52.8 【思路引导】①除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算。 除不尽时，要求得数保留几位小数，要除到它的下一位，再用四舍五入的方法取商的近似数。 ②先根据积不变的规律将6.5×9.9改写成0.65×99，再根据乘法分配律进行简算； ③先算括号里的加法，再算括号外的乘法； ④根据乘法交换律进行简算。 【规范解答】①11.9÷0.72≈16.53 ②6.5×9.9＋0.65×1 ＝0.65×99＋0.65×1 ＝0.65×（99＋1） ＝0.65×100 ＝65 ③（32.6＋7.4）×0.78 ＝40×0.78 ＝31.2 ④1.25×5.28×8 ＝1.25×8×5.28 ＝10×5.28 ＝52.8 高频考点十一 小数的估算及应用 【典例精讲】（26-27五年级上·北京·课后作业）小红带200元购物，买5本单价18.7元的笔记本，两盒单价29.6元的水彩笔。商店有两款书包：小号45.9元，大号62.8元。请分别用合适的估算方法判断剩余的钱能不能买小号、大号书包，最后精确计算验证。 【答案】能买小号，不能买大号 【思路引导】剩余钱数总钱数已花钱数；总价单价数量。本题先利用“四舍五入”法将小数看作整数进行估算，初步判断剩余钱数与书包价格的关系；再通过精确计算求出准确剩余钱数，最后与两款书包的单价进行比较得出结论。注意估算时，若要判断“够不够”，通常把花费往大估；若要判断“能不能买”，需结合实际情况选择估算方向，本题采用常规整数估算后需精确验证。 【规范解答】把笔记本单价元看作元，水彩笔单价元看作元。 已花钱数估算： （元） 剩余钱数估算：（元） 比较：， 估算结果显示剩余钱数可能不够买小号书包，肯定不够买大号书包。由于小号书包价格与估算剩余钱数接近，需要精确计算验证。 计算买笔记本和水彩笔的实际总费用： （元） 计算实际剩余钱数：（元） 因为，所以剩余的钱能买小号书包。 因为，所以剩余的钱不能买大号书包。 答：能买小号书包，不能买大号书包。 【变式训练】（25-26五年级下·山东烟台·期末）王老师要买192本练习本，每本3.75元，他带了800元钱，够吗？解决这个问题最合理的计算方法是（    ）。 A．估算，往大了估 B．估算，往小了估 C．精确算 D．口算 【答案】A 【思路引导】若要证明钱“够”，需要将商品的数量和单价往大了估，如果估算的总价仍然不超过带的钱数，则实际钱数一定够；若要证明钱“不够”，则需要往小了估。本题中需要判断800元是否够买192本练习本，应采用往大了估的方法。 【规范解答】A．采用估算，往大了估。将192看作200，将3.75看作4。（元），因为，，所以实际总价小于800元，带800元够。这种方法既能得出结论又计算简便，符合“最合理”的要求，此选项正确。 B．采用估算，往小了估。若将192看作190，3.75看作3。（元），，但实际总价可能大于800元，无法确定钱是否够，此选项错误。 C．采用精确算。虽然能计算出准确结果（元），，可以得出结论，但计算过程相对复杂，对于判断“够不够”的问题，估算方法更为合理便捷，此选项错误。 D．采用口算。数据较大且含有小数，口算容易出错，不适合此题，此选项错误。 奥数拓展一 小数与整数的乘法 【典例精讲】计算：12＋12.1＋12.2＋12.3＋12.4＋…＋12.8＋12.9 【答案】124.5 【思路引导】先计算整数部分，10个12相加，得到120，再计算小数部分，0.1＋0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.6＋0.7＋0.8＋0.9，等于中间数0.5的9倍。 【规范解答】12＋12.1＋12.2＋12.3＋12.4＋12.5＋12.6＋12.7＋12.8＋12.9 ＝12×10＋0.1＋0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.6＋0.7＋0.8＋0.9 ＝120＋0.5×9 ＝120＋4.5 ＝124.5 【变式训练】某电力公司收费是50度电以内（包含50度电），每度0.55元，超过50度电，每度电0.78元，小宇家上个月电费花了47元，上个月用了多少度电？ 【答案】75度 【思路引导】此题属于分段计费问题。先根据“单价×数量＝总价”求出50度电的总价；再比较50度电的总价与47元的大小，如果47元＞50度电的总价，说明小宇家上个月用电超过了50度，则有“47元－50度电的总价＝超过50度部分的电费”；再根据“总价÷单价＝数量”求出超过50度部分的度数；最后用50度加上超过50度部分的度数，即是上个月用电的总度数。 【规范解答】50度电的电费：0.55×50＝27.5（元） 27.5＜47 47－27.5＝19.5（元） 19.5÷0.78＝25（度） 50＋25＝75（度） 答：上个月用了75度电。 【考点剖析】解决生活中分段计费的实际问题，如乘车问题、打电话问题、阶梯水价问题、阶梯电价问题等，先要弄清楚分界点，明确每一段的收费标准，再计算；也可以借助列表法分析解决。 奥数拓展二 积的变化规律（小数乘法) 【典例精讲】（24-25五年级上·河南驻马店·期中）甲、乙两数的积是5.026，当甲数的小数点向右移动两位，并使积为0.5026，乙数的小数点应向( )移动( )位。 【答案】 左 三 【思路引导】甲数的小数点向右移动两位，甲数扩大到原来的100倍，积从5.026变为0.5026，积缩小到原来的，乙数应该缩小到原来的，即小数点向左移动三位，缩小到原数的，据此分析。 【规范解答】根据分析得，甲数扩大到原来的100倍，乙数应缩小到原来的，积才会缩小到原来的。 甲、乙两数的积是5.026，当甲数的小数点向右移动两位，并使积为0.5026，乙数的小数点应向左移动三位。 【考点剖析】此题的解题关键是掌握积的变化规律和小数点位置的移动，小数点向右移动是扩大，向左移动是缩小。 【变式训练】（24-25五年级上·福建莆田·期中）仔细观察下面几个算式的规律： 123456.79×9＝1111111.11 12345.679×18＝222222.222 1234.5679×27＝33333.3333 123.45679×36＝( ) 1.2345679×( )＝66.6666666 【答案】 4444.44444 54 【思路引导】观察这几个算式，第二个因数依次是9的1倍、2倍、3倍……积的整数部分和小数部分的数字相同，这个数字由第二个因数决定，第二个因数是9的1倍，积中的数字就是1；第二个因数是9的2倍，积中的数字就是2……依此类推。积的整数部分与小数部分的数字一共是9个数字，积的小数位数与第一个因数的小数位数相同。据此解答。 【规范解答】根据123.45679×36：观察前面的算式，第二个因数36是9的4倍，根据规律，积中的数字是4；第一个因数123.45679是五位小数，根据规律，积也是五位小数，即积应该是4444.44444； 根据1.2345679×（ ）＝66.6666666：积中的数字是6，根据规律，第二个因数是9的6倍，9×6＝54，即1.2345679×54＝66.6666666。 仔细观察下面几个算式的规律： 123456.79×9＝1111111.11 12345.679×18＝222222.222 1234.5679×27＝33333.3333 123.45679×36＝4444.44444 1.2345679×54＝66.6666666 【点评】解题关键在于仔细观察因数和积的变化特点，总结出因数倍数变化与积的数字特征之间的关系，然后运用这个规律来完成填空。 奥数拓展三 小数与小数的乘法 【典例精讲】（25-26五年级上·上海黄浦·期末）列综合算式解答。 0.5乘1.2的积，加上1.5的和除4.41，结果是多少？ 【答案】 【思路引导】这道题的关键在于准确理解“除”与“除以”的区别：甲除乙（均不为0），表示乙除以甲，列式为乙÷甲。计算时严格遵循四则混合运算的顺序“先乘除后加减，有括号先算括号内”。“0.5乘1.2的积”列式为0.5×1.2，“加上1.5的和”就是前面的积加上1.5，“除4.41”表示“4.41除以这个和”，列式时需将乘法和加法用小括号括起来。 【规范解答】根据分析： 所以，0.5乘1.2的积，加上1.5的和除4.41，结果是2.1。 【考点剖析】这道题的关键在于准确理解“除”与“除以”的区别：甲除乙（均不为0），表示乙除以甲，列式为乙÷甲，遇到“积”“和”“差”“商”等关键词时，要根据语义添加括号。 【变式训练】（25-26五年级上·河北保定·期中）下面选项中，有且仅有一个选项是算式6.5×0.□4的积，它可能是（    ）。 A．3.552 B．3.51 C．9.82 【答案】B 【思路引导】先看积的末尾情况：两个乘数一共有三位小数，但由于5×4＝20，末尾有0，但是选项中积的末尾均无0，因此末尾的0应该是被去掉了，那么积一定不是三位小数，排除选项A； 再根据小数乘法的计算方法，先确定0.□4的取值范围为0.04到0.94，算出6.5×0.□4的最大值和最小值，排除明显超出范围的选项； 【规范解答】根据分析： 6.5×0.94＝6.11 6.5×0.04＝0.26 因此，6.5×0.□4的积要大于0.26，小于6.11，且积一定不是三位小数，所以它可能是3.51。 故答案为：B 【考点剖析】这道题，需要分析0.□4的取值范围，计算出积的取值范围后，并要根据末尾是0这一因素，得出积一定不是三位小数的结论，排除选项A，从而快速锁定正确的答案。 奥数拓展四 积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】（25-26五年级上·四川巴中·期中）3.6×A＝□.156，则A至少是两位小数。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据小数乘法的规则，当积的末尾没有0时，积的小数位数等于两个因数的小数位数之和。在算式3.6×A ＝ □.156中，因数3.6是一位小数，积□.156是三位小数，且积的末尾数字是6（不为0），不存在末尾0省略的情况，所以另一个因数A的小数位数应该是31＝2位，由此可判断“A至少是两位小数”的结论正确。 【规范解答】因为积的末尾不为 0 时，积的小数位数等于两个因数的小数位数之和，所以因数A的小数位数为3－1＝2位，“A至少是两位小数” 的结论正确。 故答案为：√ 【考点剖析】根据小数乘法的规则，当积的末尾没有0时，积的小数位数等于两个因数的小数位数之和。已知一个因数是 1位小数、积是3位小数，可确定另一个因数至少是2位小数。 【变式训练】（25-26五年级上·云南玉溪·期末）3.04×1.2的积是( )位小数，保留一位小数是( )；25÷22的商用循环小数表示是( )。 【答案】 三 3.6 【思路引导】根据小数乘法积的小数位数等于所有乘数小数位数之和，乘数中共有三位小数，所以积也有三位小数；计算3.04×1.2＝3.648，保留一位小数即保留到十分位，百分位上数字是4，根据“四舍五入”，4＜5，舍掉，3.648≈3.6；25÷22的商列竖式计算，尽量计算到2个循环节或者至少算到第二个循环节的第一位。 【规范解答】3.04×1.2＝3.648≈3.6 3.04×1.2的积是（三）位小数，保留一位小数是（3.6） 25÷22的商用循环小数表示是（） 奥数拓展五 利用小数与小数的乘法解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·河南南阳·期末）五一班举行“庆元旦”联欢会，买6.7千克葵花籽用了18.76元，又买了5.6千克糖果。糖果的单价是葵花籽的3.5倍。买糖果共用多少元？ 【答案】 54.88元 【思路引导】买6.7千克葵花籽用了18.76元，用葵花籽的总花费除以购买的重量算出葵花籽的单价； 糖果单价是葵花籽的3.5倍，求一个数的几倍是多少，用乘法计算，用葵花籽的单价乘3.5，得到糖果的单价； 买了5.6千克糖果，用糖果的单价乘购买的数量，就能得出买糖果的总费用。据此解答。 【规范解答】18.76÷6.7×3.5×5.6 ＝2.8×3.5×5.6 ＝9.8×5.6 ＝54.88（元） 答：买糖果共用54.88元。 【变式训练】（24-25五年级上·重庆綦江·期末）每少用1千克洗衣粉，大约可节省0.28千克标准煤，相应减排0.72千克二氧化碳。陈红家12月份少用2.5千克洗衣粉，相应减排多少千克二氧化碳？ 【答案】1.8千克 【思路引导】由题意可知，陈红家12月份减排二氧化碳的质量＝少用1千克洗衣粉减排二氧化碳的质量×陈红家12月份少用洗衣粉的质量，即0.72×2.5，据此解答。 【规范解答】0.72×2.5＝1.8（千克） 答：相应减排1.8千克二氧化碳。 奥数拓展六 因数和积的大小关系（小数乘法） 【典例精讲】（25-26五年级上·河南周口·期末）如果a×0.2＝b÷0.6（a，b均不为0），那么a＞b。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；一个数（0除外）除以小于1的数（0除外），商大于这个数。据此解答。 【规范解答】因为0.2＜1，所以a×0.2＜a； 因为0.6＜1，所以b÷0.6＞b； 因此，a＞a×0.2＝b÷0.6＞b，即a＞b。原题说法正确。 故答案为：√ 【考点剖析】根据因数和积的大小关系以及被除数和商的大小关系分别确定a×0.2与a的大小，以及b÷0.6与b的大小，再结合等式a×0.2＝b÷0.6推出a与b的大小关系。 【变式训练】（25-26五年级上·山西晋中·期中）数M、N在直线上的位置如图所示。M×N的位置可能在（    ）。 A．点E处 B．点F处 C．点G处 D．点H处 【答案】A 【思路引导】从直线上的位置可知，M和N都是大于0且小于1的数。根据乘法性质，两个小于1的数相乘，积会比其中每个因数都小。M和N都在0到1之间，且M＜N，因此M×N＜M。观察直线上的点，只有点E的位置在M的左侧（即比M小），符合M×N的大小特征。据此解答。 【规范解答】M＜1，N＜1，且M＜N，因此M×N＜M。 观察直线上的点，只有点E的位置在M的左侧（即比M小），符合M×N的大小特征，所以M×N的位置可能在点E处。 故答案为：A 【考点剖析】解题关键是利用 “两个小于 1 的正数相乘，积比每个因数都小” 的数学规律，结合直线上M、N的位置（均为 0 到 1 之间的数），分析M×N的大小范围，从而确定其在直线上的位置。 奥数拓展七 整数乘法运算定律推广到小数乘法 【典例精讲】（24-25五年级上·上海闵行·期末）下列说法中错误的有（    ）句。 ①、、、6.457四个数中，从小到大排在第三位的是。 ②正方形是特殊的平行四边形。 ③2.5×（4－0.8）×1.25＝2.5×4－0.8×1.25＝10－1＝9。 ④只有一组对边平行的图形是梯形。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】解答这道题需明确：比较小数的大小，先比较整数部分，整数部分大的就大，整数部分相同，就从十分位起，一位一位往下比，出现循环小数，先按一定位数展开后再比较。乘法分配律：。两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。只有一组对边平行的四边形叫梯形。 【规范解答】根据分析： ①；；； 这四个小数整数部分都是6，小数部分前三位都是“457”，所以从小数部分的第四位开始比较，小数部分的第四位从小到大排列为：，所以6.4570＜6.4574…＜6.4575…＜6.4577…，即，所以排在第三位的是，原题表述错误。 ②平行四边形的定义是“两组对边分别平行的四边形”，正方形满足“两组对边分别平行”，且四个角都是直角、四条边都相等，所以，正方形是特殊的平行四边形，原题表述正确。 ③原题错误套用了乘法分配律，分配律仅适用于“一个数乘两个数的和或差”，若使用乘法分配律，应先将2.5和1.25的积求出来，原题表述错误。 ④梯形的严格定义是“只有一组对边平行的四边形”。原题说法缺少“四边形”这一关键前提，若为不规则多边形，即使只有一组对边平行也不是梯形，原题表述错误。 综上，表述错误的有①③④，共3句。 故答案为：C 【变式训练】（23-24五年级下·甘肃金昌·期中）巧算。 （2024＋202.4＋20.24＋2.024）÷0.2024         0.999×0.999＋0.001999＋2023 【答案】11110；2024 【思路引导】（2024＋202.4＋20.24＋2.024）÷0.2024，根据乘法分配律的简便计算方法，用小括号里的数分别除以0.2024，再相加即可； 0.999×0.999＋0.001999＋2023，将0.999×0.999其中一个0.999拆成（1－0.001），利用乘法分配律计算0.999×0.999，再从左往右算。 【规范解答】（2024＋202.4＋20.24＋2.024）÷0.2024 ＝2024÷0.2024＋202.4÷0.2024＋20.24÷0.2024＋2.024÷0.2024 ＝10000＋1000＋100＋10 ＝11110 0.999×0.999＋0.001999＋2023 ＝（1－0.001）×0.999＋0.001999＋2023 ＝1×0.999－0.001×0.999＋0.001999＋2023 ＝0.999－0.000999＋0.001999＋2023 ＝0.998001＋0.001999＋2023 ＝1＋2023 ＝2024 【考点剖析】关键是灵活运用运算定律，明确整数乘法的运算定律同样适用于小数。 奥数拓展八 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 【典例精讲】已知，那么0.1＋0.2＋0.3＋0.4＋0.5＝________。 【答案】1.5 【思路引导】分析题意可知，0.1＝1×，0.2＝2×，0.3＝3×，0.4＝4×，0.5＝5×，把数值带入进第二个式子当中，然后再按照乘法分配律的方法进行简便计算即可。 【规范解答】0.1＝1×，0.2＝2×，0.3＝3×，0.4＝4×，0.5＝5×， 已知：， 已知，那么0.1＋0.2＋0.3＋0.4＋0.5＝1.5。 【考点剖析】此题考查了小数的巧算，可以联系所学的简便算法。 【变式训练】计算。 （1＋0.23＋0.34）×（0.23＋0.34＋0.45）－（1＋0.23＋0.34＋0.45）×（0.23＋0.34） 【答案】0.45 【思路引导】设1＋0.23＋0.34＋0.45为A，设0.23＋0.34＋0.45为B，用A和B表示其它两部分，简化算式，然后求解。 【规范解答】设1＋0.23＋0.34＋0.45＝A，设0.23＋0.34＋0.45＝B； 已知A－B＝1； 原式＝（A－0.45）×B－A×（B－0.45） ＝A×B－0.45×B－A×B＋A×0.45 ＝0.45×（A－B） ＝0.45×1 ＝0.45 奥数拓展九 小数的估算及应用 【典例精讲】（25-26五年级上·福建龙岩·期中）估一估下列算式中，（    ）的结果不可能是24.□□。 A．3.□□÷0.15 B．2.□□×9 C．3.□□×8 D．48÷3.□□ 【答案】D 【思路引导】估算出每个选项中需要被估算的数的最大值和最小值，计算出每个选项结果的最小值和最大值，确定24.□□是否在最小值和最大值之间即可。 【规范解答】A．3.□□最小可估算为3，3÷0.15＝20；3.□□最大可估算为4，4÷0.15＝；24.□□在20和之间，所以3.□□÷0.15的结果可能是24.□□，该选项不符合； B．2.□□最小可估算为2，2×9＝18；2.□□最大可估算为3，3×9＝27；24.□□在18和27之间，所以2.□□×9的结果可能是24.□□，该选项不符合； C．3.□□最小可估算为3，3×8＝24；3.□□最大可估算为4，4×8＝32；24.□□在24和32之间，所以3.□□×8的结果可能是24.□□，该选项不符合； D．3.□□最小可估算为3，48÷3＝16；3.□□最大可估算为4，48÷4＝12；24.□□不在12和16之间，所以48÷3.□□的结果不可能是24.□□，该选项符合； 故答案为：D 【考点剖析】本题关键点在于估算数值时，确定数值可估算的最小情况和最大情况。 【变式训练】（23-24五年级上·河南南阳·期末）我们的身边藏着许多有趣的“数学”：一般情况下，人所穿鞋子的长度和鞋码有关联：鞋长＝（cm），人的身高大约是鞋长的6.84倍。王老师穿38码的皮鞋，请你推算，王老师的大致身高是( )cm。（得数保留一位小数） 【答案】164.2 【思路引导】根据题意，人所穿鞋子的长度和鞋码有关联：鞋长＝（cm），可知鞋长＝（鞋码＋10）÷2； 已知王老师穿38码的皮鞋，把鞋码代入式子中，计算出王老师的鞋长； 再根据“人的身高大约是鞋长的6.84倍”，用王老师的鞋长乘6.84，即可求出王老师的身高。 【规范解答】（38＋10）÷2 ＝48÷2 ＝24（cm） 24×6.84≈164.2（cm） 王老师的大致身高是164.2cm。 【基础通关】 1．（26-27五年级上·全国·课后作业）计算1.21×0.75时，得出结果是9.454，同学们都认为这道题的计算结果是错误的，他们分别说出了自己的理由，你认为说法错误的是（    ）。 A．末尾1×5＝5，所以积的末尾数字应该是5 B．0.75＜1，因此结果应该是小于1.21 C．两个两位小数相乘，算式的积应该是四位小数 D．1.21＞1，因此结果应该是小于0.75 【答案】D 【思路引导】小数与小数相乘，如果两个小数的末尾两个数字相乘的末尾数字不是0，那么积的小数位数就是两个因数小数位数的和，且末尾数字相乘的末尾数字是积的末尾数字。一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数；一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。逐一分析各选项的说法是否正确。 【规范解答】A．因数末尾数字1和5相乘，1×5＝5，积的末尾数字应为5，结果9.454末尾是4，该说法正确。 B．一个非零数乘小于1的数，积小于原数，0.75＜1，因此1.21×0.75＜1.21，结果9.454大于1.21，该说法正确。 C．1.21和0.75都是两位小数，末尾乘积无0，2＋2＝4，积的小数位数为4位，结果9.454是三位小数，该说法正确。 D．一个非零数乘大于1的数，积大于原数，1.21＞1，因此1.21×0.75＞0.75，该说法错误。 2．（26-27五年级上·全国·单元测试）妈妈带100元去超市购物，买了2袋大米，每袋30.4元；又买了1块牛肉花费19.4元。她还打算买1条单价为15.8元的鱼。她带的钱够吗？下列四种估算方法中，方法（    ）最好。 A．30×2＋19＋15＝94（元），94＜100，一定够 B．30×2＋19＋16＝95（元），95＜100，一定够 C．31×2＋20＋16＝98（元），98＜100，一定够 D．30.4×2＋19.4＋15.8＝96（元），96＜100，一定够 【答案】C 【思路引导】判断钱够不够的估算，应将所有商品单价往高估，若估算出的总价仍小于所带钱数，即可确定钱一定够，这种方法最可靠。 【规范解答】A．将所有商品单价都往小估，估算出的总价比实际总价低，无法保证实际总价不超过100元，方法不合理； B．将大米、牛肉的单价往小估，仅鱼的单价往大估，估算总价仍可能低于实际总价，判断不可靠，方法不合理； C．将所有商品单价都往高估，计算得元，，说明实际总价一定小于98元，肯定够，方法合理； D．属于精确计算，不是估算，不符合题意。 3．（25-26六年级下·广东江门·期末）生活中处处有数学。王阿姨买了3.5千克苹果，每千克6元。她是这样算的：每千克6元的话，3千克就是18元；再加上0.5千克是3元，一共21元。王阿姨的算法实际上是运用了（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．积的变化规律 【答案】C 【思路引导】王阿姨计算3.5乘6时，将3.5拆为3加0.5，分别与6相乘后再相加，符合乘法分配律的运算特征。 【规范解答】总价计算公式为：单价×数量，代入数据得： 6×3.5 ＝6×（3＋0.5） ＝6×3＋6×0.5 ＝18＋3 ＝21（元） 该运算过程符合乘法分配律的运算规则。 4．（26-27五年级上·全国·课后作业）小红的计算器坏了，屏幕不显示小数点，她算出248×34＝8432，你能帮她填出下面括号中的数吗？ 24.8×0.34＝( ) ( )×3.4＝84.32 248×( )＝843.2 【答案】 8.432 24.8 3.4 【思路引导】积的小数位数等于两个因数小数位数之和，据此填空即可。 【规范解答】（1）24.8×0.34，1＋2＝3，积有三位小数，所以24.8×0.34＝8.432 （2）3.4有一位小数，积84.32有两位小数，2－1＝1，另一个因数是一位小数，所以24.8×3.4＝84.32 （3）248是整数，积843.2有一位小数，1－0＝1，另一个因数是一位小数，所以248×3.4＝843.2 5．（25-26四年级下·辽宁沈阳·期末）壮壮同学把10×（□＋0.6）错算成了10×□＋0.6，得到的结果与正确答案相差( )。 【答案】 5.4 【思路引导】根据乘法分配律，正确的算式可以展开为：10×（□＋0.6）＝10×□＋10×0.6＝10×□＋6  错误的计算结果是10×□＋0.6，两个结果里的10×□部分是相同的，相差的部分就是6－0.6＝5.4。 【规范解答】10×（□＋0.6） ＝10×□＋10×0.6 ＝10×□＋6 10×□＋6－（10×□＋0.6） ＝10×□＋6－10×□－0.6 ＝6－0.6 ＝5.4 壮壮同学把10×（□＋0.6）错算成了10×□＋0.6，得到的结果与正确答案相差5.4。 6．（24-25四年级下·陕西西安·期末）两个数乘积是1.25，若其中一个乘数除以10，另一个乘数乘5，则积变为2.5。( ) 【答案】× 【思路引导】根据积的变化规律：两个数相乘，一个乘数除以，另一个乘数乘，。 【规范解答】 故答案为：× 7．（26-27五年级上·全国·课后作业）用简便方法计算下面各题。 0.25×8.5×4    6.28×7.5＋6.28×2.5    3.7×102    4.8×99＋4.8 【答案】8.5；62.8；377.4；480 【思路引导】（1）利用乘法交换律进行简算。 （2）利用乘法分配律进行简算。 （3）把102拆成100＋2，再利用乘法分配律进行简算。 （4）利用乘法分配律进行简算。 【规范解答】0.25×8.5×4 ＝0.25×4×8.5 ＝1×8.5 ＝8.5     6.28×7.5＋6.28×2.5 ＝6.28×（7.5＋2.5） ＝6.28×10 ＝62.8     3.7×102 ＝3.7×（100＋2） ＝3.7×100＋3.7×2 ＝370＋7.4 ＝377.4     4.8×99＋4.8 ＝4.8×99＋4.8×1 ＝4.8×（99＋1） ＝4.8×100 ＝480 8．（26-27五年级上·全国·课后作业）下面是超市部分蔬菜的价目表。 蔬菜 单价（元/kg） 青菜 3.6 黄瓜 5.2 西红柿 4.5 西蓝花 5.5 (1)欣欣的妈妈买了2.5kg黄瓜，买的青菜的质量是黄瓜的1.8倍。买青菜花了多少元？ (2)明明的爸爸买了西红柿和西蓝花各3.6kg，一共需要多少元？ 【答案】(1)16.2元 (2)36元 【思路引导】（1）先算出买的青菜质量：已知黄瓜是2.5kg，青菜质量是黄瓜的1.8倍，乘法计算即可。再根据青菜单价3.6元/kg，算青菜总价即可。 （2）先算出1kg西红柿和1kg西蓝花的单价和，再乘共同购买的3.6kg计算即可。 【规范解答】（1）2.5×1.8＝4.5（kg） 4.5×3.6＝16.2（元） 答：买青菜花了16.2元。 （2）4.5＋5.5＝10（元） 10×3.6＝36（元） 答：买了西红柿和西蓝花各3.6kg，一共需要36元。 9．（25-26三年级下·广东云浮·期末）云安区白石镇某书店开展暑期促销活动，一本故事书的原价是18.5元，现在降价了，每本比原价便宜3.2元。小华买了3本降价后的故事书，买1本降价后的故事书需要多少钱？买3本一共花了多少钱？ 【答案】15.3元；45.9元 【思路引导】先用原价减去每本便宜的钱数，得到降价后单本的价格；再用单本现价乘购买的数量，算出3本的总花费。 【规范解答】1本降价后的价格：（元） 3本的总花费：（元） 答：买1本降价后的故事书需要15.3元，买3本一共花了45.9元。 10．（25-26四年级下·广东河源·期末）超市运来25箱牛奶，每箱有24盒，每盒牛奶售价2.5元，这些牛奶一共可以卖多少钱？ 【答案】1500元 【思路引导】先算出牛奶的总盒数，再用每盒售价乘总盒数得到总售价。 【规范解答】（盒） （元） 答：这些牛奶一共可以卖1500元。 【能力提升】 1．（25-26五年级上·山东临沂·期末）小虎把12×（□＋0.8），算成了12×□＋0.8，他的计算结果与正确结果（    ）。 A．相差12 B．相差9.6 C．相差8.8 D．一样大 【答案】C 【思路引导】我们设□为一个数，记作x，然后把式子的正确算法和小虎的错误算法分别算出来，然后两者相减就可得到答案。 【规范解答】12×（x＋0.8） ＝12x＋12×0.8 ＝12x＋9.6 12×x＋0.8 ＝12x＋0.8 （12x＋9.6）－（12x＋0.8） ＝12x＋9.6－12x－0.8 ＝8.8 2．（25-26五年级上·天津河北·期末）甲、乙两支施工队为一条公路铺柏油，两队同时从公路的两端往中间铺。甲队的施工速度是乙队的1.25倍，施工若干天后，这条公路全部铺完。完工时甲队比乙队多铺40m，这条公路的全长是（    ）m。 A．200 B．160 C．360 D．450 【答案】C 【思路引导】甲队的施工速度是乙队的1.25倍，可以把乙队的施工速度看作1份，则甲队的施工速度是1.25份，相同时间内，甲队铺路的长度是乙队的1.25倍，所以40米对应的是份，根据除法的意义，可求出1份的长度；这条公路的全长是份，根据乘法的意义，即可求出这条公路的全长。 【规范解答】 （米） （米） 所以，这条公路的全长是360米。 故答案为：C 【考点剖析】解题的关键是明白相同时间内，甲队铺路的长度是乙队的1.25倍，用长度差除以倍数差，即可求出1份的量，进而求出公路的全长。 3．（25-26五年级上·山东菏泽·期中）下边表格表示了计算（    ）的过程。 0.6×2 0.6×0.8 1×2 1×0.8 A．6.8×2.6 B．2.8×1.6 C．2.6×1.8 【答案】B 【思路引导】表格呈现的是乘法分配律的拆分计算过程，即把两个乘数拆分为小数部分和整数部分，分别相乘后求和。观察表格中的乘数，横向拆分的是一个乘数，拆为0.6和1，合并为1＋0.6＝1.6；纵向拆分的是另一个乘数，拆为2和0.8，合并为2＋0.8＝2.8，所以被拆分的两个乘数分别为2.8和1.6，因此表格表示的是2.8×1.6的计算过程。 【规范解答】分析可知，被拆分的两个乘数分别为2.8和1.6，因此表格表示的是2.8×1.6的计算过程。 故答案为：B 【考点剖析】本题需识别表格是将两个乘数拆分为整数部分和小数部分，通过“分别相乘再求和”计算乘积，对应乘法分配律的展开过程。 4．（24-25五年级上·浙江湖州·期末）甲、乙、丙三个数都不为0，如果甲乙丙，那么甲、乙、丙三个数中，最大的数是______，最小的数是______。 【答案】 甲 丙 【思路引导】我们可以利用“积相等时，一个因数越小，另一个因数越大”的规律来解题。 例如4×＝2×，因为4＞2，所以6＜12 已知等式：甲×0.8＝乙×1.2＝丙×1.5，因为0.8＜1.2＜1.5，所以与最小因数相乘的数最大，与最大因数相乘的数最小。由此可得：甲＞乙＞丙。 【规范解答】因为0.8＜1.2＜1.5 所以，甲＞乙＞丙 故最大的数是甲，最小的数是丙。 【考点剖析】理解 “积相等时，一个因数越小，另一个因数越大” 的规律。 5．（25-26五年级上·江苏泰州·期末）A×B是两个小数相乘。小明将小数A十分位上的6错看成了9，小红将小数A个位上的7错看成了2，他俩计算的结果相差了15.37。那么小数B等于( )。 【答案】2.9 【思路引导】小明把A的十分位6看成9：A增加了（9－6）×0.1＝0.3，因此小明算出的结果比正确结果多了0.3B。小红把A的个位7看成2：A减少了7－2＝5，因此小红算出的结果比正确结果少了5B。一个比正确值多0.3B，一个比正确值少5B，所以总差值是0.3B＋5B＝5.3B。已知他俩计算的结果相差了15.37，用总差值除以5.3，即可求出B。 【规范解答】（9－6）×0.1＋（7－2） ＝3×0.1＋5 ＝0.3＋5 ＝5.3 15.37÷5.3＝2.9 所以小数B等于2.9。 【考点剖析】本题关键在于明白A看错后一共差了5.3，而积的差15.37正好是5.3个B，所以用15.37除以5.3就能算出B是多少。 6．（25-26五年级上·上海·期末）递等式计算，能简便运算的要用简便方法计算。 126＋74÷0.37×9.5      26.4×6.4－2.64＋3.7×26.4   [2.1－（0.37＋1.53）]×50÷0.8 【答案】2026；264；12.5 【思路引导】（1）先算除法，再算乘法，最后算加法。 （2）把2.64转化为26.4×0.1，将式子统一为含有相同因数26.4的形式，再利用乘法分配律提取相同因数，计算括号内的6.4－0.1＋3.7得到10，最后和26.4相乘，简化计算。 （3）先算小括号里的加法，接着算中括号里的减法，再算括号外的乘法，最后算除法。 【规范解答】（1）126＋74÷0.37×9.5 ＝126＋200×9.5 ＝126＋1900 ＝2026 （2）26.4×6.4－2.64＋3.7×26.4 ＝26.4×6.4－26.4×0.1＋3.7×26.4 ＝26.4×（6.4－0.1＋3.7） ＝26.4×（6.3＋3.7） ＝26.4×10 ＝264 （3）[2.1－（0.37＋1.53）]×50÷0.8 ＝[2.1－1.9]×50÷0.8 ＝0.2×50÷0.8 ＝10÷0.8 ＝12.5 7．（25-26五年级上·甘肃庆阳·期中）李老师负责购买学习用品。（“☆”代表一个数字）（单位：元） 学习用品 钢笔 笔记本 足球 单价 6.☆8 8.3☆ 47.☆0 李老师要购买10支钢笔和5本笔记本，她带100元够吗？ 【答案】不够 【思路引导】每支钢笔6.☆8元，每本笔记本8.3☆元，当☆为0时单价最小，得到的总价最小，用单价乘数量求出买10支钢笔和5本笔记本各多少元，然后相加求出10支钢笔和5本笔记本一共花的钱，再与100元比较即可。 【规范解答】当☆为0时单价最小，得到的总价最小 6.08×10＋8.30×5 ＝60.8＋41.5 ＝102.3（元） 102.3＞100 带100元不够。 答：李老师要购买10支钢笔和5本笔记本，她带100元不够。 【考点剖析】当☆为0时单价最小，得到的总价最小,用单价×数量=总价，计算得到总价与100元比较。 8．（23-24五年级上·安徽黄山·期末）杭州第19届亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，分别取名为“琮琮、莲莲、宸宸”，组合名为“江南忆”。以它们时尚可爱的形象开发的各类摆件、挂饰等亚运会文创产品成了销售“爆款”。于是，明明和妹妹想用口袋里的90元零花钱买如下图这样的4个钥匙扣和3个书签送给好朋友。 明明这样想：11×4＋15×3＝89（元），90元够了。 想一想并回答：妹妹和明明各自估算的理由是什么？谁的估算方法更合理？为什么？ 【答案】见详解 【思路引导】用估算解决实际问题时，要根据问题的具体情况和数据特点选择适当的估算策略。 （1）要判断“够”的话，所有的数据都要估大或不变； （2）要判断“不够”的话，所有的数据都要估小或不变。 （3）估的时候要注意估大或估小要适度，要能解决问题。 【规范解答】妹妹是将两个数同时估小。把10.2元估成10元，10×4＝40元；14.7元估成14元，14×3＝42元。40＋42＝82元，82＜90，因此90元够了。 明明是将两个数同时估大。把10.2元估成11元，11×4＝44元；14.7元估成15元，15×3＝45元。44＋45＝89元，89＜90，因此90元够了。 我认为明明的方法更合适。估算带的钱够还是不够？可以把实际价格估大，如果估大了钱都够了，那么钱一定是够的。也可以把实际价格估小，如果估小了都不够，那带的钱一定是不够的；但如果估小了钱是够的，也未必一定是够的，还需要做进一步比较。所以这道题用估大的方法更合适，也就是明明的方法更合适。 9．为了鼓励居民节约用水，某市采用了“阶梯水价”的分段计费方式，收费标准如下表： 每月用水量 收费标准 第一段 0－15吨（含15吨） 3.4元/吨 第二段 超过15吨的部分 5.5元/吨 （1）小强家上月用水14吨，应交水费多少元？ （2）小强家某个月共交水费62元，那么他家该月用水多少吨？ 【答案】（1）47.6元；（2）17吨 【思路引导】（1）15吨以内的每吨水都是3.4元，直接用14×3.4即可； （2）15吨需要水费15×3.4＝51（元），小强家交了62元，说明用水超出了15吨，用62－51求出第二段的水费，除以第二段水的单价求出第二段的用水量，加上第一段的15吨即可。 【规范解答】（1）14×3.4＝47.6（元） 答：应交水费47.6元。 （2）62－3.4×15 ＝62－51 ＝11（吨） 11÷5.5＋15 ＝2＋15 ＝17（吨） 答：他家该月用水17吨。 【考点剖析】此题考查了小数混合运算的实际应用，明确每个阶段的收费标准，认真解答即可。 10．（25-26四年级下·辽宁沈阳·期末）某加油站搞促销活动，汽油零售价如下图，王叔叔加了45升“92号汽油”，使用某品牌APP支付，至少要支付多少元？ 品种 零售价/（元/升） 92号汽油 8.01 95号汽油 8.56 使用该品牌APP满300元减25元 【答案】 335.45元 【思路引导】先根据单价和数量算出45升92号汽油的原价，再判断是否满足满减条件，满足则减去优惠金额，得到最少支付的钱数。 【规范解答】（元） ，符合满减条件 （元） 答：至少要支付335.45元。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 第三单元小数乘法『举一反三知识讲练』 (思维拓展版) 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+11个考点讲练+9个奥数拓展+真题难度分层演练共60题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全 套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难，点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北 师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 导图指引梳理脉络.… 2 知识梳理温故知新… 3 知识点二乘法的变化规律... 3 知识点三积不变规律 知识点四小数乘整数计算方法.· 知识点五小数乘小数的计算方法.. 知识点六小数四则混合运算.… 知识点八小数点位置移动引起小数大小变化的规律 ….5 考点讲练真题汇总.......... 5 高频考点一小数与整数的乘法.… ….5 第1页共17页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 高频考点二利用小数与整数的乘法解决问题.·· 高频考点三运用画线段图法和逆推法解决稍复杂的小数问题.. 6 高频考点四积的变化规律（小数乘法)...· …7 高频考点五小数与小数的乘法 …7 高频考点六积的小数位数与乘数小数位数的关系... 高频考点七利用小数与小数的乘法解决问题....8 高频考点八因数和积的大小关系（小数乘法）… …8 高频考点九整数乘法运算定律推广到小数乘法...· ….9 高频考点十运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题....9 高频考点十一小数的估算及应用.…。 10 难点突破奥数拓展. 10 奥数拓展一小数与整数的乘法.… 10 奥数拓展二积的变化规律（小数乘法） 11 奥数拓展三小数与小数的乘法..….… 。。。。。。。。。。。。。。。 11 奥数拓展四积的小数位数与乘数小数位数的关系 11 奥数拓展五利用小数与小数的乘法解决问题.··。 11 奥数拓展六因数和积的大小关系（小数乘法） 12 奥数拓展七整数乘法运算定律推广到小数乘法…… 12 奥数拓展八运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题………· 13 奥数拓展九小数的估算及应用. 13 优选真题实战演练.…… 13 【基础通关】 13 【能力提升】 第2页共17页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 导图指引梳理脉络 小数乘法的意义 买文具 解决生活中的简单问题 求几个相同加数的和的简便运算。 ②淘气在计算地砖的雨积时遇到了 ③街心广场 例如：4个0.2元相加是0.8元 0.6元 1.8元 0.2元 0.9元 因难，你能帮帮他吗？ 20m 0.2元=2角，2×4=8角，8角=0.8元， 0.3×0.2=(0.06 ①买4块橡皮需要多少元 ②买3支铅笔需要多少元 3x2 0.3m=3m.02m=2h 计算方法 4×0.2=0.8(元) 6×0.3=1.8(元) 3x2=6(dm2) 30m ①整数乘小数 m 6dm0 06m 3m 先按整数乘法算出积，再点小数点。 棒化成整纸后稀再计其 2.4×10=24.0(四数末见有0.积末尾0) Im 积委相应的单位 因数袁尾有几个0， 1.2×10=12.0 积的末尾就有几个0. 2.4×12=2.88 2.4 x1.2 街心广场 花坛 地码 小数点位置看 第三单元 面积/m2600 6 0.06 数中一共有几位小数 ②小数乘小数 小数乘法 估算与解决问题 先按整数法算出积。再点小数点 估算思路：把数看成整十，整百等，再计算 0.85×0.3=0.255 国数中一共有几位小数， 24×0.1=24×12×0.1 积中就有几位小数 特化成整数相象， =288×0.01 积要来…… 255 ■2.88（元） 解决够不能实的问题：估一估，再计算。 积的小数位数与 载球28元个 乘数的小数位数关系 数乘法中的 一共有100元。买3个蓝球，1副飞行候 带密必弟 0和整数倍 蓝球每个28元3个约84元：飞行棋129元 算式 2xa30602x0300%05*3-2.50850.3-25 运尊律在小数乘法中的应用 84+2.9=97元<100元，够无 0 2 2 ①一个数(0亲外)乘0，积是0， 乘法交授律：a×b=b×a 3飞行29酒 ②一个数乘几(0除外)，积等 1 于这个数的几倍 0.3×0.2=0.2×0.3=0.06 实际应用 积的小数位数 1 2 1.2×1.25=1.5(米) 桑法结合律：(a×b)xe=a×(b×c) 单位换尊 趣味问题 1,25 2.8×3+6.9×3 1m2=100dm2=10000cem2 ① 我发是：们的小数位数是 在02×03中，02是2个0 ×1.2 是0.01：0.3是一位小数.是03 小数的 =(2.8+6.9)×3 1m■10dmm100cm 再个乘数小数位数之和 每克长约：1.2+0,35=3.43(km） 积是6个0.01，是两位小数 以去 500 =9.7×3 ②织一条丝巾大约需要300条蚕吐的丝， =29.1(元) 1公睡=10000m -条丝巾的质量约：3.43×300=1029(g km2=100公 知识梳理温故知新 知识点一小数乘法的意义 ①小数乘小数的意义表示求一个数的十分之几、百分之几…是多少。 ②小数乘整数的意义与整数乘法的意义相同。可以说是求几个相同加数和的简便运算，也可 以说是求这个小数的整数倍是多少。 如：2.3×5表示求5个2.3的和是多少。也可以表示求2.3的5倍是多少。 知识点二乘法的变化规律 ①在乘法里，一个因数不变，另外一个因数扩大（或缩小)a倍，积也扩大（或缩小）a倍。 ②在乘法里，一个因数扩大a倍，另外一个因数扩大b倍，积就扩大aXb倍。 ③在乘法里，一个因数缩小a倍，另外一个因数缩小b倍，积就缩小a×b倍。 第3页共17页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 知识点三积不变规律 在乘法里，一个因数扩大a倍，另外一个因数缩小a倍，积不变。 知识点四小数乘整数计算方法 ①先把小数扩大成整数 ②按整数乘法乘法法则计算出积 ③看被乘数有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 ④若积的末尾有0可以去掉 知识点五小数乘小数的计算方法 ①先把小数扩大成整数 ②按整数乘法乘法法则计算出积 ③看积中有几位小数就从积的右边起数出几位，点上小数点。如果乘得的积的位数不够， 要在前面用0补足。 知识点六小数四则混合运算 小数四则混合运算的运算顺序与整数四测混合运算的顺序相同：同级运算，从左往右；两级运 算，先乘除后加减；有括号的，先算括号里的。 乘法的交换律、结合律、分配律同样适用于小数乘法，应用这些运算定律，可以使计算简 便。 乘法交换律a×b=b×a 乘法结合律(aXb)Xc=a×(bXc)乘法分配律a×(b+c)=aXb+aXc aX(b-c)=aXb一aXc 知识点七积的近似数 保留a位小数，就看第a+1位，再用四舍五入的方法取值。 保留整数：表示精确到个位，看士分位上的数：保留一位小数：表示精 确到十分位，看百分位上的数：保留两位小数： 表示精确到百分位，看千分位上的数：… 女按实际需要用“四啥五入法”保留一定的小数位数，求积的近以值。 第4页共17页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 知识点八小数点位置移动引起小数大小变化的规律 ①小数点位置移动引起小数大小变化的规律： 小数点向左移动一位、两位、三位…这个数就缩小到原来的1/10、1/100、1/1000… 小数点向右移动一位、两位、三位这个数就扩大到原来的10倍、100倍、1000倍 ②小数点右移，位数不够时，要添“0”补位，小数点移动完后，整数最高位前边的“0”要去 掉； 小数点左移，位数不够时，也用“0”补足，点上小数点，若整数部分没有数，用“0”表示， 若小数末尾有0，根据小数的性质，应把末尾的“0”去掉。 ③积的小数位数与乘数的小数位数的关系：在小数乘法中，两个乘数一共有几位小数，积就有 几位小数。 ④积的近似值的求法：一般要先算了正确的积，再根据题目要求或生活习惯用“四舍五入” ⑤比较大小： 一个数乘以一个大于1的数，积大于它本身。例如：6.5×1.5>6.5 一个数乘以一个等于1的数，积等于它本身。例如：6.5×1=6.5 一个数乘以一个小于1的数，积小于它本身。例如：6.5×0.9<6.5 昌考点讲练真题汇总 高频考点一小数与整数的乘法 【典例精讲】(26-27五年级上·全国·课后作业)用竖式计算。 12.1×35= 4.8×125= 0.068×15= 2.28×11= 4.25×33= 0.12×45= 第5页共17页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(25-26四年级下·辽宁沈阳·期末)今年是中国共产党建党105周年，学校举行了诗朗诵 比赛并为获奖选手准备奖品，单价如下。 奖品名称 卡通书签 创意徽章 彩色笔袋 单价/元 1.6 2.6 4.4 (1)学校选购28枚卡通书签作为参与奖，一共需要多少元？ (2)学校购买创意徽章和彩色笔袋各15个，一共要花费多少元？ 高频考点二利用小数与整数的乘法解决问题 【典例精讲】(25-26五年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测)五(1)班45名学生和3名老师照相合影， 如果每人一张照片，那么一共需付多少钱？ 合影价格表 定价：27.5元 (含10张照片) 加印一张2.5元 【变式训练】(25-26五年级上·江苏苏州·期末)慢跑是一种有氧运动，能帮助消耗热量、保持健康。 成年人慢跑1分钟大约消耗5.5千卡，儿童慢跑1分钟大约消耗3.5千卡。8岁的明明和爸爸妈妈每天慢跑 40分钟，三人一周(7天)一共消耗()千卡卡路里。 高频考点三运用画线段图法和逆推法解决稍复杂的小数问题 【典例精讲】小雨用一捆彩线编中国结，编第一个中国结用去这捆彩线全长的一半，编第二个中国结用去 剩余部分的一半，这时还剩下3.25米。这捆彩线原来有多长？ 第6页共17页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(23-24五年级上·山东济南·期末)建筑工地有一堆沙子，第一次用去沙子的一半多1.9 吨，第二次用去剩下沙子的一半，这时建筑工地上还剩下沙子13.5吨，这堆沙子原来有( ）。 高频考点四积的变化规律（小数乘法） 【典例精讲】(25-26四年级下·甘肃定西·期末)下列算式中，( )的积与其他算式的积不相 等。 A.4.8×2.6B.48×0.26 C.0.48×26 D.480×0.26 【变式训练】(25-26五年级上·湖南怀化·期末)根据56×13=728写出下面各题的计算结果。 56×0.13=( 72.8÷56=( 5.6×0.13=( 高频考点五小数与小数的乘法 【典例精讲】(26-27五年级上·全国·课后作业)周末，爸爸开车带全家去参观科技馆。到达后，妈妈 去买门票，门票价格如下： 票价 成人票：32.80元/人 儿童票：15.50元/人 (1.20m以下的儿童免票) 妹妹说：“我的身高是1.15m,可以免门票哦。” 哥哥说：“我的身高是妹妹的1.2倍。” (1)哥哥可以免门票吗？请你通过计算说明理由。 (2)妈妈带100元购买全家人的门票，够吗？ 【变式训练】(26-27五年级上·全国·课后作业)用竖式计算。 15.6×8= 0.35×18= 第7页共17页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 18.4×3.6= 8.5×0.032= 高频考点六积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】(25-26五年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测)4.13×0.67的积是( )位小数，4.05× 2.2的积是( )位小数。 【变式训练】(25-26四年级下·福建泉州·期末)不计算，从下面四个数中选出算式“5.39×7.2”的得 数，这个数是( )。 A.34.708 B.38.98 C.38.808 D.48.108 高频考点七利用小数与小数的乘法解决问题 【典例精讲】(25-26五年级上·北京顺义·期末)小智家客厅要换一幅窗帘，1米布售价65元。如果你 是小智，你想做下面哪种窗帘，需要多少元？ 2.8米 第一种：布长是杆长的1.5倍 第二种：布长是杆长的1.8倍 第三种：布长是杆长的2倍 【变式训练】(24-25五年级上·重庆云阳·期末)世界上最高的鸟是鸵鸟，最高的哺乳动物是长颈鹿。 一只鸵鸟身高是2.75米，一只长颈鹿的身高是鸵鸟的2.2倍，这只长颈鹿的身高是( )米。一个鸵 鸟蛋重1.5千克，一个鸡蛋一般只有0.06千克，一个鸵鸟蛋的质量是一个鸡蛋的( )倍。 高频考点八因数和积的大小关系（小数乘法） 【典例精讲】(25-26四年级下·辽宁沈阳·期末)甲×1.32=乙×0.99（甲、乙都不等于0），那么甲、 乙两个数比较( )。 A.甲大 B.乙大 C.无法确定 【变式训练】(25-26四年级下·广东茂名·期末)在括号里填上“<”“>”或“=”。 18.72×1.2( )18.72 2.5×0.9( )2.5 4.5千米( )450米 0.76元( )7角6分 第8页共17页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点九整数乘法运算定律推广到小数乘法 【典例精讲】(26-27五年级上·全国·课后作业)脱式计算。 8.6×99+8.6 4.44×4+3.33×8 0.63×101 13.8+2.06×9.5 9×0.47+0.47 (2.5×12.5)×0.4 【变式训练】(2026五年级上·全国·专题练习)用简便方法计算下面各题。 1.25×4.6×8 1.5×99 0.65×201 9.7×5.6+9.7×4.4 9×0.37+0.37 56×1.25 高频考点十运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 【典例精讲】(25-26五年级上·江西上饶·期末)脱式计算，能简算的要简算。 0.6×1.8+8.2×0.6 1.05÷0.7+19.3 7.2×125 【变式训练】(25-26五年级上·广西河池·期末)计算下面各题。 ①11.9÷0.72 (得数保留两位小数) ②6.5×9.9+0.65×1 第9页共17页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 ③(32.6+7.4)×0.78 ④1.25×5.28×8 高频考点十一小数的估算及应用 【典例精讲】（26-27五年级上·北京·课后作业)小红带200元购物，买5本单价18.7元的笔记本，两 盒单价29.6元的水彩笔。商店有两款书包：小号45.9元，大号62.8元。请分别用合适的估算方法判断剩 余的钱能不能买小号、大号书包，最后精确计算验证。 【变式训练】(25-26五年级下·山东烟台·期末)王老师要买192本练习本，每本3.75元，他带了800 元钱，够吗？解决这个问题最合理的计算方法是( )。 A.估算，往大了估 B.估算，往小了估C.精确算D.口算 难点突破奥数拓展 奥数拓展一小数与整数的乘法 【典例精讲】计算：12+12.1十12.2+12.3+12.4+…+12.8十12.9 【变式训练】某电力公司收费是50度电以内（包含50度电），每度0.55元，超过50度电，每度电0.78 元，小宇家上个月电费花了47元，上个月用了多少度电？ 第10页共17页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展二积的变化规律（小数乘法） 【典例精讲】(24-25五年级上·河南驻马店·期中)甲、乙两数的积是5.026，当甲数的小数点向右移动 两位，并使积为0.5026，乙数的小数点应向( )移动( )位。 【变式训练】(24-25五年级上·福建莆田·期中)仔细观察下面几个算式的规律： 123456.79×9=1111111.11 12345.679×18=222222.222 1234.5679×27=33333.3333 123.45679×36=( 1.2345679×( )=66.6666666 奥数拓展三小数与小数的乘法 【典例精讲】(25-26五年级上·上海黄浦·期末)列综合算式解答。 0.5乘1.2的积，加上1.5的和除4.41，结果是多少？ 【变式训练】(25-26五年级上·河北保定·期中)下面选项中，有且仅有一个选项是算式6.5×0.口4的 积，它可能是( )。 A.3.552 B.3.51 C.9.82 奥数拓展四积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】(25-26五年级上·四川巴中·期中)3.6×A=口.156，则A至少是两位小数。()（判 断对错) 【变式训练】(25-26五年级上·云南玉溪·期末)3.04×1.2的积是（)位小数，保留一位小数是 )；25÷22的商用循环小数表示是( )。 奥数拓展五利用小数与小数的乘法解决问题 【典例精讲】(24-25五年级上·河南南阳·期末)五一班举行“庆元旦”联欢会，买6.7千克葵花籽用 了18.76元，又买了5.6千克糖果。糖果的单价是葵花籽的3.5倍。买糖果共用多少元？ 第11页共17页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】(24-25五年级上·重庆綦江·期末)每少用1千克洗衣粉，大约可节省0.28千克标准煤， 相应减排0.72千克二氧化碳。陈红家12月份少用2.5千克洗衣粉，相应减排多少千克二氧化碳？ 奥数拓展六因数和积的大小关系（小数乘法） 【典例精讲】(25-26五年级上·河南周口·期末)如果a×0.2=b÷0.6(a,b均不为0)，那么a>b。 )(判断对错) 【变式训练】(25-26五年级上·山西晋中·期中)数M、N在直线上的位置如图所示。M×N的位置可能在 M N 0E G A.点E处 B.点F处 C.点G处 D.点H处 奥数拓展七整数乘法运算定律推广到小数乘法 【典例精讲】(24-25五年级上·上海闵行·期末)下列说法中错误的有( )句。 ①6.457、6.457、6.457、6.457四个数中，从小到大排在第三位的是6.457。 ②正方形是特殊的平行四边形。 ③2.5×(4-0.8)×1.25=2.5×4-0.8×1.25=10-1=9。 ④只有一组对边平行的图形是梯形。 A.1 B.2 C.3 D.4 【变式训练】(23-24五年级下·甘肃金昌·期中)巧算。 (2024+202.4+20.24+2.024)÷0.2024 0.999×0.999+0.001999+2023 第12页共17页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展八运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 【典例精讲】已知1+2+3+4+5=15，那么0.1十0.2+0.3十0.4十0.5=_ 【变式训练】计算。 (1+0.23+0.34)×(0.23+0.34+0.45)-(1+0.23+0.34+0.45)×(0.23+0.34) 奥数拓展九小数的估算及应用 【典例精讲】(25-26五年级上·福建龙岩·期中)估一估下列算式中，( )的结果不可能是24 口口。 A.3.☐☐÷0.15B.2.☐☐×9 C.3.☐☐×8 D.48÷3.☐☐ 【变式训练】(23-24五年级上·河南南阳·期末)我们的身边藏着许多有趣的“数学”：一般情况下， 人所穿鞋子的长度和鞋码有关联：鞋长=鞋码+10(c如)，人的身高大约是鞋长的6.84倍。王老师穿38码的 皮鞋，请你推算，王老师的大致身高是( )cm。(得数保留一位小数) 优选真题实战演练 【基础通关】 1.(26-27五年级上·全国·课后作业)计算1.21×0.75时，得出结果是9.454，同学们都认为这道题的 计算结果是错误的，他们分别说出了自己的理由，你认为说法错误的是( )。 A.末尾1×5=5，所以积的末尾数字应该是5 B.0.75<1,因此结果应该是小于1.21 C.两个两位小数相乘，算式的积应该是四位小数 D.1.21>1,因此结果应该是小于0.75 2.(26-27五年级上·全国·单元测试)妈妈带100元去超市购物，买了2袋大米，每袋30.4元又买了 1块牛肉花费19.4元。她还打算买1条单价为15.8元的鱼。她带的钱够吗？下列四种估算方法中，方法 ( )最好。 A.30×2+19+15=94（元)，94<100，一定够 B.30×2+19+16=95(元)，95<100，一定够 C.31×2+20十16=98（元），98<100，一定够 第13页共17页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 D.30.4×2+19.4+15.8=96(元)，96<100，一定够 3.(25-26六年级下·广东江门·期末)生活中处处有数学。王阿姨买了3.5千克苹果，每千克6元。她 是这样算的：每千克6元的话，3千克就是18元：再加上0.5千克是3元，一共21元。王阿姨的算法实际 上是运用了( )。 A.乘法交换律B.乘法结合律 C.乘法分配律 D.积的变化规律 4.(26-27五年级上·全国·课后作业)小红的计算器坏了，屏幕不显示小数点，她算出248×34=8432， 你能帮她填出下面括号中的数吗？ 24.8×0.34=( ( )×3.4=84.32 248×( ）=843.2 5.(25-26四年级下·辽宁沈阳·期末)壮壮同学把10×（口+0.6）错算成了10×口+0.6，得到的结果 与正确答案相差( )。 6.(24-25四年级下·陕西西安·期末)两个数乘积是1.25，若其中一个乘数除以10，另一个乘数乘5， 则积变为2.5。（)（判断对错） 7.(26-27五年级上·全国·课后作业)用简便方法计算下面各题。 0.25×8.5×4 6.28×7.5+6.28×2.5 3.7×102 4.8×99+4.8 8.(26-27五年级上·全国·课后作业)下面是超市部分蔬菜的价目表。 蔬菜 单价（元/kg) 青菜 3.6 黄瓜 5.2 西红柿 4.5 西蓝花 5.5 (1)欣欣的妈妈买了2.5kg黄瓜，买的青菜的质量是黄瓜的1.8倍。买青菜花了多少元？ (2)明明的爸爸买了西红柿和西蓝花各3.6kg,一共需要多少元？ 第14页共17页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 9.(25-26三年级下·广东云浮·期末)云安区白石镇某书店开展暑期促销活动，一本故事书的原价是18.5 元，现在降价了，每本比原价便宜3.2元。小华买了3本降价后的故事书，买1本降价后的故事书需要多 少钱？买3本一共花了多少钱？ 10.(25-26四年级下·广东河源·期末)超市运来25箱牛奶，每箱有24盒，每盒牛奶售价2.5元，这些 牛奶一共可以卖多少钱？ 【能力提升】 1.(25-26五年级上·山东临沂·期末)小虎把12×（口+0.8），算成了12×口+0.8，他的计算结果与 正确结果( )。 A.相差12 B.相差9.6 C.相差8.8 D.一样大 2.(25-26五年级上·天津河北·期末)甲、乙两支施工队为一条公路铺柏油，两队同时从公路的两端往 中间铺。甲队的施工速度是乙队的1.25倍，施工若干天后，这条公路全部铺完。完工时甲队比乙队多铺40m, 这条公路的全长是( ）mo A.200 B.160 C.360 D.450 3.(25-26五年级上·山东菏泽·期中)下边表格表示了计算( )的过程。 0.6×2 0.6×0.8 1×2 1×0.8 A.6.8×2.6 B.2.8×1.6 C.2.6×1.8 4.(24-25五年级上·浙江湖州·期末)甲、乙、丙三个数都不为0，如果甲×0.8=乙×1.2=丙×1.5，那 么甲、乙、丙三个数中，最大的数是一一，最小的数是一。 5.(25-26五年级上·江苏泰州·期末)A×B是两个小数相乘。小明将小数A十分位上的6错看成了9， 小红将小数A个位上的7错看成了2，他俩计算的结果相差了15.37。那么小数B等于( )。 第15页共17页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 6.(25-26五年级上·上海·期末)递等式计算，能简便运算的要用简便方法计算。 126+74÷0.37×9.5 26.4×6.4-2.64+3.7×26.4 [2.1-(0.37+1.53)]×50÷0.8 7.(25-26五年级上·甘肃庆阳·期中)李老师负责购买学习用品。(“☆”代表一个数字)（单位：元） 学习用品 钢笔 笔记本 足球 单价 6.☆8 8.3☆ 47.☆0 李老师要购买10支钢笔和5本笔记本，她带100元够吗？ 8.(23-24五年级上·安徽黄山·期末)杭州第19届亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的 机器人，分别取名为“琮琮、莲莲、宸宸”，组合名为“江南忆”。以它们时尚可爱的形象开发的各类摆 件、挂饰等亚运会文创产品成了销售“爆款”。于是，明明和妹妹想用口袋里的90元零花钱买如下图这样 的4个钥匙扣和3个书签送给好朋友。 胡匙扣： 书签： 10.2元/个☐ 14.7元/个 可是，90元够吗？ 妹妹这样想：10×4+14×3=82（元），90元够了。 明明这样想：11×4+15×3=89（元），90元够了。 明明这样想：11×4十15×3=89（元），90元够了。 想一想并回答：妹妹和明明各自估算的理由是什么？谁的估算方法更合理？为什么？ 第16页共17页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 9.为了鼓励居民节约用水，某市采用了“阶梯水价”的分段计费方式，收费标准如下表： 每月用水量 收费标准 第一段 0-15吨（含15吨） 3.4元/吨 第二段 超过15吨的部分 5.5元/吨 (1)小强家上月用水14吨，应交水费多少元？ (2)小强家某个月共交水费62元，那么他家该月用水多少吨？ 10.(25-26四年级下·辽宁沈阳·期末)某加油站搞促销活动，汽油零售价如下图，王叔叔加了45升“92 号汽油”，使用某品牌APP支付，至少要支付多少元？ 品种 零售价/（元/升） 92号汽油 8.01 95号汽油 8.56 使用该品牌APP满300元减25元 第17页共17页