陕西省西安中学2026-2027学年高三上学期摸底考试数学试卷

西安中学高2027届高三摸底考试 数学学科 （满分：150 时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，若，，，则（ ） A． B． C． D． 4．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 5．若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则（ ） A． B． C．或 D．或 6．已知，，则的值（ ） A． B． C． D．或 7．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（ ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 8．已知函数，若方程的有三个实数解，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错或不选的得0分． 9．设，则下列说法正确的有（ ） A．的图象关于轴对称 B．（） C．的值域为 D．在上单调递增 10．已知函数（，）的最小正周期为，将其图象向右平移个单位得到一个偶函数图象，则（ ） A．函数的图象关于点中心对称 B．函数在上单调递增 C．当时，函数的最大值为 D．函数在上恰有三个不同的零点 11．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到三次结束为止．某考生一次发球成功的概率为（），发球次数记为，若的数学期望，则的取值可以为（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．假设，，且与相互独立，则______． 13．的展开式中的系数是______． 14．已知，是球的球面上两点，，为球面上一点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 为了筛选数学竞赛培训对象，某校开学初进行了一场数学竞赛考试，甲乙两个学习小组的考试成绩统计如下： 甲组：60 65 68 71 72 78 81 88 88 90 95 98 乙组：62 68 70 73 77 79 82 85 86 92 （1）求甲、乙两组组员成绩的第60百分位数； （2）从甲、乙两组各自独立地选取一个组员，求两人成绩中一人在80分以上且另一人在80分以下的概率； （3）为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均成绩都增大？ 16．（15分） 已知，，分别为的三个内角，，的对边，． （1）求； （2）若，的面积为，求，． 17．（15分） 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若存在，使得有解，求实数的取值范围． 18．（17分） 如图，在边长为2的正方形中，点、分别是和的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． （1）求证； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由． 19．（17分） 在某届世界杯足球赛上，，，，四支球队进入了最后的四强比赛．半决赛有两场比赛，对，对，这两场比赛的负者，决出季军和第四名；这两场比赛的胜者将进入决赛争夺冠亚军，假设各场比赛结果相互独立且没有平局．已知进入四强的四支球队实力各不相同，经评估，在任意一场比赛中，若队对阵队，则队获胜的概率为，其中，为两队的实力系数，已知，，，． （1）已知队进入决赛，求队最终夺得冠军的概率； （2）设随机变量表示队最终得分，冠军记3分，亚军记2分，季军记1分，第四名记0分，求随机变量的分布列和数学期望； （3）根据第（2）问记分规则，求、队得分之和大于、队得分之和的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $