陕西西安市多校2026-2027学年高三上学期8月测试数学试卷

高三数学参考答案 题序 1 2 9 10 11 12 13 14 答案 BCD 4 D B ABD AC 37 23 28 9π 【评分细则】 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分， 【2第9,11题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分；第10题，全部选对的 得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分 【3】第12题，答对第一空给2分，答对第二空给3分. 【4】第13,14题，其余答案均不得分 1.D【解析】本题考查元素与集合的关系，考查数学运算的核心素养 因为M={x|-1<x<1},所以-1庄M,-0.66∈M,W2M,0.89∈M. 2.A【解析】本题考查椭圆的离心率，考查数学运算的核心素养， 由x+7y=7,得号十y=1,则椭圆x2+7y2=7的离心率e=√1=罗 3.D【解析】本题考查三角函数图象的对称性，考查逻辑推理的核心素养 因为曲线y=sin(4x+2g)(p>0)关于原点对称，所以29=kπ∈N”),则g(∈N"), 所以9的最小值为。 4.A【解析】本题考查函数的周期性与函数求值，考查逻辑推理与数学运算的核心素养， f(2)-f(3+2×2)-f(3)-5+1og日-5-1-4. 5.C【解析】本题考查统计中的中位数与极差，考查数学运算与逻辑推理的核心素养， 将1,3,6,3,4按照从小到大的顺序排列为1,3,3,4,6，因为样本数据1，m,3,6,2m,3,4的中 位数为m,所以3≤m≤4，则6≤2m≤8，所以这组样本数据的极差的取值范围是[5,7] 6.B【解析】本题考查复平面与复数的模，考查直观想象的核心 y 素养。 设之1，之2，之3在复平面内对应的点分别为A,B,C,则A(0,1), B(0,5),则|AB=4. 如图，取AB的中点D,连接CD,OC,则IOD=|AD|十|OA= 2+1=3,1CD1=4×9-25, 则|z3=|OC1=√OD12+1CD下=√21. 7.C【解析】本题考查平面向量的数量积与随机变量的期望，考查数学运算的核心素养 【高三数学·参考答案第1页（共8页）】 ·27-1001C-SX. X=a·b+b2=a|Iblcos120°+|b|2=4-|al,设a=Y,则E(X)=4-E(Y). 因为E00=2X品+4X号+8X荒+16×是所以B(x)）=4酷 3 8.B【解析】本题考查解三角形，考查直观想象与逻辑推理的核心素养， 过点D作DE⊥PD,使得点E在正方形ABCD的内部，且DE=PD,则 PE=√2PD=6. 因为∠ADP+∠ADE=∠ADE+∠CDE=90°，所以∠ADP=∠CDE 又AD=CD,所以△PDA与△EDC全等，则CE=AP=4,则PC≤PE 十CE=10,当且仅当P,E,C三点共线时，等号成立，此时∠CED=180°-∠PED=135°.由 余弦定理得CD2=DE2+CE2一2DE·CEcos135°=58，则CD=√58，即正方形ABCD的 边长为√58. 9.ABD【解析】本题考查抛物线的几何性质，考查数学运算与直观想象的核心素养！ 依题意可得F1(2,0),F2(0,4),则|F1F2=√22+(-4)7=25，C1的准线方程为x=-2, A正确，C错误.由图（图略）可知，C1与C2有两个交点，B正确.因为C2的准线方程为y= 一4，所以点F1到C2的准线的距离为4，D正确. 10.AC【解析】本题考查三棱台与线面角，考查直观想象与数学运算的 核心素养 过点B作BH⊥A1B1,垂足为H,过点C作CG⊥A1C1,垂足为G. 因为AA1⊥底面A1B1C1,所以可以证得BH⊥底面A1B1C1,CG 底面A1B1C1,则BB1,CC1与底面A1B1C1所成的角分别为 ∠BB1H,∠CC1G,所以∠BB1H=45°，∠CC1G=60°. B 在Rt△CC1G中，C1G=2-1=1,CG=C1Gtan60°=√3，则AA1=CG=BH=√3，A正确. AB 因为/BBH=45,所以B班=B,H车3.又ABAB十B,月C=号所以AB=一 B1H=√3，则B1C1=√A1B+A1C=4,B错误. 因为△ABC的面积S,-,△AB,C,的面积S,=2,所以三棱台ABC-AB,C,的休 积V-A.(S+vSS+5,)名，C正确 接A,C,因为A1C=AC=CC,=2,所以点A1到CC的距离为2 =√3，所以棱 CC1的中点在以A1为球心，√3为半径的球的球面上，D错误， 11.BCD【解析】本题考查导数的几何意义与函数的零点，考查逻辑推理与数学运算的核心素养. 因为{x|f(x)=0}={1,2,3,4},所以f(x)的零点之和为1+2+3+4=10，B正确 设g(x)=(x-2)3(x-3)2(x-4),则f(x)=(x-1)4g(x),则f'(x)=4(x-1)3g(x)+ (x一1)4g'(x),所以f'(1)=0,则1=0，同理可得k2=k3=0. 【高三数学·参考答案第2页（共8页）】 ·27-1001C-SX· 设h(x)=(x-1)(x-2)3(x-3)2,则f(x)=(x-4)h(x),则f'(x)=h(x)+(x-4)· h'(x),所以4=f'(4)=h(4)>0,则1=k2=k3<4,A错误，C正确. f(0)=1X(-8)×9×(-4)=288>0,当f(x)>0且x<1时，lnf(x)=4ln(1-x)+ 8n2-+2hg-+n4-测得-+22+名g+则=fo) =(号+32+号5+)×了0)=-1152-42-192-72=-1848，则是大于 1800的偶数，D正确， 12.一37【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养 生 因为tana=2,所以tan2a==2 X2 4 illsin 2a cos 2a_tan 2a1 sin 2a+cos 2a tan 2+17. 3 13.2 【解析】本题以中国古代诗词为背景，考查排列组合与古典概型，考查逻辑推理与数学运 算的核心素养」 第1行、第4行、第8行出现了“春”字或“月”字，其余5行均未出现“春”字和“月”字，故由间 接法可得所求概率为1一号-器 14.9π【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查直观想象与逻辑 推理的核心素养 点A(一3,0)到直线1的距离d=一12-3=3.如图，旋转的直线 5 (含直线)所不能经过的点构成的平面区域是以A为圆心，3为半 径的圆的内部，其面积为9π. 15.【解析】本题考查导数的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心 素养 解：(1)f(x)的定义域为(0，+∞)， …1分 fx）=x-1-.… 2分 x 当x∈(0,1)时，f'(x)<0,f(x)单调递减；… …4分 当x∈(1，十∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增. 6分 故f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，十∞). …8分 (2)油(1)知，f(x)m=f1)=4+m 10分 因为f)≥g恒成立，所以+m≥ 8 11分 解得m≤2，… 12分 所以m的最大值为2. …13分 【高三数学·参考答案第3页（共8页）】 ·27-1001C-SX· 【评分细则】 第(1)问中，未写“f(x)的定义域为(0，+∞)”，但在后面的解不等式和下结论都体现了x> 0,不扣分；最后的结论写为“f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增”，扣1分 16.【解析】本题考查立体几何与空间向量，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养。 (1)证明：因为AC=AD=6,CD=6√2，所以AC2+AD2=CD2,则AC⊥AD.·1分 又AB⊥AC,AB∩AD=A,所以AC⊥平面ABD 2分 因为ACC平面ABC,所以平面ABD⊥平面ABC. 3分 (2)证明：因为AB⊥AC,AB⊥CD,AC∩CD=C, 所以AB⊥平面ACD.… …4分 又ADC平面ACD,所以AB⊥AD.… …5分 由(1)知AC⊥AD.又AB⊥AC,所以直线AB,AC,AD两两垂直. 6分 (3)解：以A为坐标原点，AB,AC,AD的方向分别为x, y,之轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，…7分 则A(0,0,0),E(2√2,0,2)，F(0,3,3),…9分 所以AE=(2√2,0,2)，AF=(0,3,3).…10分 设平面AEF的法向量为n=(x,y,z), 则n·AE=n·AF=0, 即2√2x+2z=3y+3z=0,…11分 令x=1,得n=(1,W2,一√2).…12分 易知平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1). 13分 m·n= 由cosm,n)=mn= √2 ……14分 5 得平面ABC与平面AEF所成角的正弦值为 √2)2 15 …15分 5 【评分细则】 【1】第(1)问中，未写“AB∩AD=A”“ACC平面ABC”,各扣1分. 【2】第(2)问中，未写“AC∩CD=C”“ADC平面ACD”,各扣1分. 【3】第(3)问中，平面AEF的法向量不唯一，只要所求法向量是与n=(1,√2，一√2)共线的 非零向量即可. 17.【解析】本题考查数列的新定义与等比数列，考查数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养. (1)证明：因为am+1=2am一n十1，所以am+1一(n+1)=2(am-n). …2分 又a1=3,所以a1-1=2,…3分 所以{am一n}是首项为2，公比为2的等比数列， 4分 所以an一n=2X2m-1,则an=2m十n. 6分 ②)解：由1D“艺=2+2 2· 7分 【高三数学·参考答案第4页（共8页）】 ·27-1001C-SX· 若x∈N,侧2∈N又空∈N,所以cN, 8分 则x十1为偶数，从而x为奇数.…9分 由x十n<am,得x<2”,则Mn={1,3,5,7,…,2”一1}，…10分 从而bn=2m-1,…12分 所以S,=1十2+十21=1一2” 1-2=2-1. …15分 【评分细则】 【1】第(1)问中，得到am一n=2×2m-1,给1分.第(1)问还可以这样解答： 因为a1=3,所以a1一1=2.…1分 又a+1=2a。-n+1,所以2ah-(n+1D_2a。-n+1-(m+1)_2a。-2m 2 ，…3分 an-n ann ann 所以{am一n}是首项为2，公比为2的等比数列，…4分 所以a一n=2X2n-1,则an=2n十n.…6分 【2第(2间中，在得到空=2+士后，只要得到“x为奇数”，就给2分在得到< 2m”后，只要得到“bn=2m-1”,就给2分. 18.【解析】本题考查相互独立事件的概率、条件概率及随机变量的分布列，考查逻辑推理与数学 运算的核心素养及应用意识 解：设事件A,=“甲选择参加A工厂面试”，B1=“甲选择参加B工厂面试”，则P(A1)= P)=, 2 设事件A,=“乙选择参加A工厂面试”，B,=“乙选择参加B工厂面试”，则P(A,)= 49 PB,)= 1)甲和Z都选释参加A工厂面试的概率P(A,A,)-P(A,)PA,)=号×-2 42· …3分 (2)X的所有可能取值为0,1,2.… …4分 P(X=0)=P(A:B A:Ba)=P(A)P(B)PA)P(B)=(1-子)x(1-)×(1 5分 P(X=1D=PAB1-PA:B)]+PAB[1-PAB)]=}×4×(1-} ×2)+(×2)x(1-3×)8 …7分 P(x=2)=1-pA,B]·1-PAB)]-(1-号×)×1-×)-6 8分 【高三数学·参考答案第5页（共8页）】 ·27-1001C-SX· 故X的分布列为 X 0 1 2 P 3 77 96 96 9分 (3)设事件D=“甲只选择参加A或B其中1个工厂面试”，E=“乙只选择参加A或B其中 1个工厂面试”， 则rD)-Pa五+AB)-号×+号×号， …10分 PE)=PA,E+AB,)=×号X号 …11分 设事件F=“只选择参加A或B其中1个工厂面试且面试通过”，则P(DF)-号×P 1 3 x号-， 36 …12分 ×2X2p=3+4红 16 13分 所以，=PD)-0-2兰， 14分 P:=P(FIE)-P(EF)_3+4p P(E)8 15分 若p>则时2+品 5 2,解得p>4 1 16分 又0<2p<1,所以力的取值范固是（分，》 17分 【评分细则】 2×3=1”,不扣分. 【1】第(1)问中，若直接写“甲和乙都选择参加A工厂面试的概率为3×一2” 【2】第(2)问在得到“X的所有可能取值为0,1,2”后，还可以这样解答： P(x=0=(1-)×(1-)×(1-2）)=6, 5分 p(x=-2)-(1-}×)x(1-}x2)-昭 …7分 P(X=1）=1-P(X=0)-P(X=2)=6 8分 故X的分布列为 X 0 1 2 P 3 77 96 16 9分 【高三数学·参考答案第6页（共8页）】 ·27-1001C-SX· 【第3》间中，者未设李作DE,F.也未写°，=P(F1D)-P0a:-P(FE)= P(EF”,直接写“p1= P(E) 2113 5 31111 3×4+3X4 42+4×2 3十4边”，各扣1分. 8 【最后-行写"又0≤2p<1,所以p的取值花围为（公，]，不扣分。 19.【解析】本题考查直线与双曲线，考查逻辑推理、数学运算及直观想象的核心素养， (1)解：因为MF1|一MF2=2W2<|F1F2|=6,…1分 所以点M的轨迹是以F1,F2为焦点且实轴长为2√2的双曲线的上支， 2分 由c=3,2a=2√2，得a=√2，b2=c2-a2=7,…3分 故C的方程为-7三1(0y≥2). …4分 (21)证明：设P≠0，>②)，侧2号-1，即好2=-2 7 …5分 2x6 则4，·k%=+E.28-2 爱—一2=元，同理可得⊙1Q42二号、 …6分 工0 因为|PA2=|PB1|,所以kPA,=-kB’ ……7分 所以灰·码·a,·a,=春又·质同·k·ka,结所以=一， 4 则k42十kB,=0,故直线QA2与QB2的斜率之和为定值.…8分 《解：依题意可得直线1的斜率必然行在，设：一红+3代人号号-1， 得(7k2-2)x2+42kx+49=0,则△=(42k)2-49×4×(7k2-2)=392(k2+1)>0恒成立. e。00。。。。。。。0。。。。。0。。。。。4.14。。。。。e。。084。。8。。0811。。。。。。e0。e00·0。。t。08.0.00404.0。。004年9 设P(x1,y1),Q(x2,y2),y1>√2，y2>√2，则x1十x2= 42k 49 72—2x1x2=7k2-2<0,则 02<号. …10分 因为PA:=PB,所以△PAB,的面积s:=号·a·2g:-2)=O1②. …11分 由(1)知kQ4,=-koB,则|QA2=|QB,l,同理得△QA2B2的面积S2=|x2|(y2-√2). ………12分 不妨设x1<0,x2>0,则△PA2B1与△QA2B2的面积之和为 -x1(y1一√2)+x2(y2一√2)=x2(kx2十3)-x1(kx1+3)十√2(x1一x2)·13分 =(x2-x1)[k(x1十x2)十3-V2]=√x1十x2)2-4x1x2[k(x1十x2)十3-√2] 【高三数学·参考答案第7页（共8页）】 ·27-1001C-SX· =14V2·VE2+1/42k2 2-7k2 （2-7+3-2). 14分 令=[0》，1014(2+8. 2-7t 2-7t +7√+1 则f'（t)=14√2· 2v1+1 (2-7t)2 2十3-v2）+143:中 2-7t 2-7t 42(2-7t)+7×42t (2-7t)2 …15分 因为[0，号)，所以f()>0,则f)在[0，)上单调递增，… 16分 所以f(t)m=f(0)=21V2-14, 从而△PA2B1与△QA2B2的面积之和的最小值为21√2-14.…17分 【评分细则】 【路(1阿中，C的方程也可以写为苦-号-10>0 【9第(2(1)间中，若第一行写为设P(5,则警号-1，不扣分，从第二布开始，还 可以这样解答： 因为PA2=PB,所以B1(0,2yo-√2)， 则km·%=为+2.E-必=一-22 xo o 7,…6分 同理可得a·o一号又·%·o叫·o,=得所以ke·o,=一号，所以 2 4 kQ42=一kQB2,则kQ4,十bB,=0,故直线QA2与QB2的斜率之和为定值.…8分 【3】第(2)(i)问中，若得到“(7k2-2)x2+42x+49=0”后，未写“△=(42k)2-49×4× 42k 49” (7-2)=392(k2+1)>0恒成立”，不扣分：若得到“x1十x=7%2z1x=7%2 后，未写720，则0<号”扣1分 【高三数学·参考答案第8页（共8页）】 ·27-1001C-SX·高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.设集合M={xx2<1},则 A.-1∈M B.-0.66EM C.√2∈M D.0.89∈M h 2.椭圆x2十7y2=7的离心率为 种 弥 A号 B号 0.7 3.若曲线y=sin(4x十2o)(p>0)关于原点对称，则p的最小值为 A.元 B季 C.2 D.Z 领 4若fx)是周期为2的函数，且当0<x<1时fx)=+logx,则f()= A.4 B.5 C.6 D-6 1 1og21 5.若一组样本数据1，m,3,6,2m,3,4的中位数为m,则这组样本数据的极差的取值范围是 封 A.{5,7》 B.(5,6] C.[5,7] D.[6,7] 6.若复数之1=i,22=5i,之3在复平面内对应的三个点构成一个正三角形，则|之3= 曾 A.2√5 B.√21 C.2√6 D.5 7.若向量a与b的夹角为120°，|b|=2,a为随机变量，且P(a=2K)= K (K=1,2,4,8), 设(a十b)·b=X,则X的数学期望为 A号 B.-6 C22 D.-7 线 8.已知点P在正方形ABCD的外部，P∈平面ABCD,PA=4,PD=3√2，则当PC取得最大 值时，正方形ABCD的边长为 A.√55 B.58 C.2√15 D.2/17 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知抛物线C1:y2=8x,C2:x2=16y的焦点分别为F1,F2,则 A.1F1F2|=2W5 B.C1与C2有两个交点 C.C1的准线方程为y=一2 D.点F1到C2的准线的距离为4 【高三数学第1页（共4页）】 ·27-1001C-SX 10.在三棱台ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1,AB⊥AC,AC=1,A1C1=2,且BB1,CC1 与底面A1B1C1所成的角分别为45°，60°，则 A.AA1=√3 B.B1C1=3√2 C.三棱台ABC-A1B,C的体积为2 D.以A1为球心，W3为半径的球与棱CC1无公共点 11.若函数f(x)=(x-1)(x一2)3(x一3)2(x一4)的图象在点(n,f(n)处的切线斜率为，则 A.k<k2 B.f(x)的零点之和为10 C.k3<k D.k。是大于1800的偶数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若tana=2,则tan2a=▲_ sin 2a-cos 2a 'sin 2a+cos 2a 13.《虞美人·春花秋月何时了》是“千古词帝”李煜的代表作，此词在后世收获极高评价，其内容 如下： 春花秋月何时了？ 往事知多少 小楼昨夜又东风， 故国不堪回首月明中 雕栏玉砌应犹在， 只是朱颜改. 问君能有几多愁？ 恰似一江春水向东流。 此词共有8行，若从这8行中任意选取3行，则至少有1行出现“春”字或“月”字的概率 为▲ 14.直线1：4x一3y一3=0绕着点A(-3,0)旋转一周所不能经过的点构成的平面区域的面积 为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 1 已知函数f(x)=4x4+m-lnx. (1)求f(x)的单调区间； (2若f)≥恒成立，求m的最大值 【高三数学第2页（共4页）】 ·27-1001C-SX· 16.(15分) 如图，在三棱锥D-ABC中，AB⊥AC,AB⊥CD,AB=3√2，AC=AD=6,CD=6W2. (1)证明：平面ABD⊥平面ABC. (2)证明：直线AB,AC,AD两两垂直. (3)若C京-FD,D2=2E苏，求平面ABC与平面AEF所成角的正弦值. E 17.(15分) 已知数列{am}满足am+1=2am一n十1，且a1=3. (1)证明{am一n}为等比数列，并求{an}的通项公式； (2)设集合M,=xEN2字∈N且x+n<a},记M.中元素的个数为6，求数列b.) 的前n项和Sn· 【高三数学第3页（共4页）】 ·27-1001C-SX· 18.(17分) 已知甲选择参加A,B工厂面试的概率分别为号，：，乙选择参加A,B工厂面试的概率分别 为，，设甲选择参加A或BT厂面试相互独立，乙选择参加A或B工厂面试相互独立， 且甲的选择与乙的选择互不影响. (1)求甲和乙都选择参加A工厂面试的概率； (2)设甲、乙两人中至少参加A,B工厂中的一个工厂面试的人数为X,求X的分布列； 1 (3)已知0<p<1,甲和乙通过A工厂面试的概率分别为p,2,甲和乙通过B工厂面试的概 率分别为号，2p,且两人面试通过与否相互独立，在甲选择参加面试的工厂只有A或B 其中1个的前提下，甲通过面试的概率为p1,在乙选择参加面试的工厂只有A或B其 中1个的前提下，乙通过面试的概率为p2,若p2>p1,求p的取值范围. 19.(17分) 封 在平面直角坐标系xO中，已知点F1(0,一3)，F2(0,3),点M满足|MF1|一|MF2=2√2，记 点M的轨迹为C. (1)求C的方程. (2)设点A1(0,一√2)，A2(0,W2),过点F2的直线l与C交于P,Q两点，点B1,B2均在 y轴上，且与A1,A2均不重合，|PA2=|PB1I,直线PA1,QA1,PB1,QB2的斜率之积 为特 (i)证明：直线QA2与QB2的斜率之和为定值. 线 (i)求△PA2B1与△QA2B2的面积之和的最小值. 【高三数学第4页（共4页）】 ·27-1001C-SX·