周周练03 2.1～2.2 一元二次方程、一元二次方程的解法（数学新教材苏科版九年级上册）

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心内容，通过基础辨析（如方程定义、系数识别）、能力提升（如新运算☆解方程、等腰三角形边长关联）及创新应用（如“联合方程”定义、三角形形状判断），分层考查抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|方程定义、系数、根的概念|第3题考二次项系数不为0，强化抽象能力| |填空题|10/20|根的应用、新运算、判别式|第13题定义☆运算转化方程，体现创新意识| |解答题|8/64|解法、根的证明、几何应用|第24题结合三角形边长判断形状，发展模型意识|

2026-2027学年九年级上学期数学周周测03 2.1～2.2 一元二次方程、一元二次方程的解法 时间：45分钟 分值：70分 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．2x＝6 B．x2+y＝1 C． D．x2+x＝3 【分析】根据一元二次方程的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、2x＝6，是一元一次方程，故A不符合题意； B、x2+y＝1，是二元二次方程，故B不符合题意； C、x2，是分式方程，故C不符合题意； D、x2+x＝3，是一元二次方程，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．一元二次方程2x2﹣x+3＝0的一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣3 B．2，3 C．1，﹣3 D．﹣1，3 【分析】根据一元二次方程的一般形式解答即可． 【解答】解：一元二次方程2x2﹣x+3＝0的一次项系数为﹣1，常数项为3． 故选：D． 【点评】本题考查的是一元二次的一般形式，熟知一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0），其中b为一次项系数，c为常数项是解题的关键． 3．若方程（m﹣2）x2﹣3x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m≠2 C．m＞0 D．m≠0 【分析】直接根据一元二次方程的定义进行解答即可． 【解答】解：∵方程（m﹣2）x2﹣3x﹣2＝0是关于x的一元二次方程， ∴m﹣2≠0，解得m≠2． 故选：B． 【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键． 4．把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣3x﹣1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+3x﹣1＝0 D．x2+3x+1＝0 【分析】先根据平方差公式进行计算，再移项，最后得出选项即可． 【解答】解：（x+1）（x﹣1）＝3x， x2﹣1﹣3x＝0， 即x2﹣3x﹣1＝0， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程一般形式的特点是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）． 5．若关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是x＝1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【分析】把x＝1代入一元二次方程得到1+m﹣3＝0，然后解关于m的一次方程即可． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0得1+m﹣3＝0， 解得m＝2． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 6．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根，则n的值为（　　） A．6 B．6或7 C．7或8 D．7 【分析】由三角形是等腰三角形，得到①a＝2，或b＝2；②a＝b；①当a＝2，或b＝2时，得到方程的根x＝2，把x＝2代入x2﹣6x+n+2＝0即可得到结果；②当a＝b时，方程x2﹣6x+n+2＝0有两个相等的实数根，由Δ＝（﹣6）2﹣4（n+2）＝0可得结果． 【解答】解：∵三角形是等腰三角形， ∴①a＝2，或b＝2；②a＝b两种情况， ①当a＝2，或b＝2时， ∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根， ∴x＝2， 把x＝2代入x2﹣6x+n+2＝0得，22﹣6×2+n+2＝0， 解得：n＝6， 当n＝6，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形， 故n＝6不合题意， ②当a＝b时，方程x2﹣6x+n+2＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4（n+2）＝0 解得：n＝7． 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的解，根的判别式，注意分类讨论思想的应用． 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 7．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 　﹣2　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义即可进行求解． 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 因此m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高指数是2的整式方程，且二次项系数不等于0”． 8．已知a是方程x2+3x﹣1＝0的一个实数根，则a2+3a+2025的值为　2026　 ． 【分析】将x＝a代入原方程，可得出a2+3a﹣1＝0，变形后可得出a2+3a＝1，再将其代入原式，即可求出结论． 【解答】解：将x＝a代入原方程得：a2+3a﹣1＝0， ∴a2+3a＝1， ∴a2+3a+2025＝1+2025＝2026． 故答案为：2026． 【点评】本题考查了一元二次方程的解以及代数式求值，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 9．已知x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根，则m的值为　﹣1　 ． 【分析】将x＝﹣1代入一元二次方程x2+mx﹣2＝0，即可求解． 【解答】解：由题意可得：1﹣m﹣2＝0， 解得m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程根的定义，已知方程的一个根就将这个根代入方程求参数的值是解题关键． 10．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，且k为正整数，则k的值为　1或2　 ． 【分析】由一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＞0，再结合k为正整数求解即可． 【解答】解：由条件可知Δ＝（﹣3）2﹣4k＝9﹣4k＞0， 解得， 又∵k为正整数， ∴k＝1或k＝2． 故答案为：1或2． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 11．定义运算m☆n＝mn2﹣mn﹣1，如4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程2☆x＝0的解为x1，x2　 ． 【分析】根据题意列出代数式进行计算即可． 【解答】解：∵m☆n＝mn2﹣mn﹣1，2☆x＝0， ∴2x2﹣2x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝4+8＝12， ∴x， ∴x1，x2． 故答案为：x1，x2． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的公式法是解题的关键． 12．已知6是关于x的方程x2﹣5ax+12a＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为　14或16　 ． 【分析】把x＝6代入方程求出a的值，进而得到方程为x2﹣10x+24＝0，再解方程求出另一个根，最后根据等腰三角形的定义解答即可求解． 【解答】解：∵6是关于x的方程x2﹣5ax+12a＝0的一个根， ∴62﹣30a+12a＝0， 解得a＝2， ∴方程为x2﹣10x+24＝0， 解得x1＝4，x2＝6， ∴方程的另一个根为4， ∵这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长， 4+4+6＝14或4+6+6＝16， ∴三角形ABC的周长为14或16． 故答案为：14或16． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，等腰三角形的定义，掌握以上知识点是解题的关键． 13．一元二次方程x2+2x﹣3＝0可配方成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为　5　 ． 【分析】利用配方法解答即可． 【解答】解：x2+2x﹣3＝0， x2+2x＝3， x2+2x+1＝3+1， （x+1）2＝4， ∵一元二次方程x2+2x﹣3＝0可配方成（x+m）2＝n的形式， ∴m＝1，n＝4， ∴m+n＝1+4＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键． 14．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3＝0有实数根，则实数k的取值范围为 k≤4且k≠1　 ． 【分析】由二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3＝0有实数根， ∴， 解得：k≤4且k≠1． 故答案为：k≤4且k≠1． 【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键． 三．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 15．（10分）解方程： （1）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）； （2）． 【分析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）， 3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0， （x﹣1）（3x﹣2）＝0， 则x﹣1＝0或3x﹣2＝0， 所以； （2）， 4x2x﹣1＝0， 64＞0， 则x， 所以． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣公式法及解一元二次方程﹣因式分解法，熟知公式法及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 16．（10分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【分析】（1）把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得ca+c﹣2b+a﹣c＝0，整理后根据等腰三角形的判定判断即可； （2）根据等边三角形的性质得出a＝b＝c，代入方程，即可得出x2﹣x＝0，再解方程即可． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形， 理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0， ∴2a＝2b， ∴a＝b， ∴△ABC的形状是等腰三角形； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c， ∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0， ∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0， 即x2﹣x＝0， 解得：x1＝0，x2＝1， 即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的判定，等边三角形的性质等知识点，能理解一元二方程的解的定义是解（1）的关键，能根据等边三角形的性质得出a＝b＝c是解（2）的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测03 2.1～2.2 一元二次方程、一元二次方程的解法 时间：45分钟 分值：70分 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．2x＝6 B．x2+y＝1 C． D．x2+x＝3 2．一元二次方程2x2﹣x+3＝0的一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣3 B．2，3 C．1，﹣3 D．﹣1，3 3．若方程（m﹣2）x2﹣3x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m≠2 C．m＞0 D．m≠0 4．把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣3x﹣1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+3x﹣1＝0 D．x2+3x+1＝0 5．若关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是x＝1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 6．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根，则n的值为（　　） A．6 B．6或7 C．7或8 D．7 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 7．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 　 　 ． 8．已知a是方程x2+3x﹣1＝0的一个实数根，则a2+3a+2025的值为　 　 ． 9．已知x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根，则m的值为　 　 ． 10．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，且k为正整数，则k的值为　 　 ． 11．定义运算m☆n＝mn2﹣mn﹣1，如4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程2☆x＝0的解为　 　 ． 12．已知6是关于x的方程x2﹣5ax+12a＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为　 　 ． 13．一元二次方程x2+2x﹣3＝0可配方成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为　 　 ． 14．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3＝0有实数根，则实数k的取值范围为 　 　 ． 三．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 15．（10分）解方程： （1）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）； （2）． 16．（10分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测03 2.1～2.2 一元二次方程、一元二次方程的解法 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．2x＝6 B．x2+y＝1 C． D．x2+x＝3 【分析】根据一元二次方程的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、2x＝6，是一元一次方程，故A不符合题意； B、x2+y＝1，是二元二次方程，故B不符合题意； C、x2，是分式方程，故C不符合题意； D、x2+x＝3，是一元二次方程，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．一元二次方程2x2﹣x+3＝0的一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣3 B．2，3 C．1，﹣3 D．﹣1，3 【分析】根据一元二次方程的一般形式解答即可． 【解答】解：一元二次方程2x2﹣x+3＝0的一次项系数为﹣1，常数项为3． 故选：D． 【点评】本题考查的是一元二次的一般形式，熟知一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0），其中b为一次项系数，c为常数项是解题的关键． 3．若方程（m﹣2）x2﹣3x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m≠2 C．m＞0 D．m≠0 【分析】直接根据一元二次方程的定义进行解答即可． 【解答】解：∵方程（m﹣2）x2﹣3x﹣2＝0是关于x的一元二次方程， ∴m﹣2≠0，解得m≠2． 故选：B． 【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键． 4．把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣3x﹣1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+3x﹣1＝0 D．x2+3x+1＝0 【分析】先根据平方差公式进行计算，再移项，最后得出选项即可． 【解答】解：（x+1）（x﹣1）＝3x， x2﹣1﹣3x＝0， 即x2﹣3x﹣1＝0， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程一般形式的特点是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）． 5．若关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是x＝1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【分析】把x＝1代入一元二次方程得到1+m﹣3＝0，然后解关于m的一次方程即可． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0得1+m﹣3＝0， 解得m＝2． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 6．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根，则n的值为（　　） A．6 B．6或7 C．7或8 D．7 【分析】由三角形是等腰三角形，得到①a＝2，或b＝2；②a＝b；①当a＝2，或b＝2时，得到方程的根x＝2，把x＝2代入x2﹣6x+n+2＝0即可得到结果；②当a＝b时，方程x2﹣6x+n+2＝0有两个相等的实数根，由Δ＝（﹣6）2﹣4（n+2）＝0可得结果． 【解答】解：∵三角形是等腰三角形， ∴①a＝2，或b＝2；②a＝b两种情况， ①当a＝2，或b＝2时， ∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根， ∴x＝2， 把x＝2代入x2﹣6x+n+2＝0得，22﹣6×2+n+2＝0， 解得：n＝6， 当n＝6，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形， 故n＝6不合题意， ②当a＝b时，方程x2﹣6x+n+2＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4（n+2）＝0 解得：n＝7． 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的解，根的判别式，注意分类讨论思想的应用． 7．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法中正确的个数有（　　） ①若b＝0，则方程总有实数根； ②若b2＝4ac，则方程有两个相等的实数根； ③若a＝b＝c，则方程无实数根； ④若b＝a+c，则方程总有实数根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】结合已知确定根的判别式Δ＝b2﹣4ac的符号，即可作出判断． 【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式为Δ＝b2﹣4ac， ①当b＝0时，Δ＝b2﹣4ac＝﹣4ac， 若ac＞0，则Δ＜0，此时方程无实数根，故①错误； ②当b2＝4ac时，Δ＝b2﹣4ac＝0，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当a＝b＝c时，Δ＝b2﹣4ac＝a2﹣4a2＝﹣3a2， ∵a≠0， ∴a2＞0， ∴﹣3a2＜0，即Δ＜0，此时方程无实数根，故③正确； ④当b＝a+c时，Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有3个， 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解，熟记以上知识点是解题的关键． 8．关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 【分析】因式分解法可求x1＝m+2，x2＝m﹣2，再根据x1＝2x2+3，可得关于m的方程，解方程可求m的值． 【解答】解：∵x2﹣2mx+m2＝4， （x﹣m）2﹣22＝0 ∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0， ∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0， ∵x1＞x2， ∴x1＝m+2，x2＝m﹣2， ∵x1＝2x2+3， ∴m+2＝2（m﹣2）+3， 解得m＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，关键是根据因式分解法求得x1＝m+2，x2＝m﹣2． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 　﹣2　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义即可进行求解． 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 因此m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高指数是2的整式方程，且二次项系数不等于0”． 10．已知a是方程x2+3x﹣1＝0的一个实数根，则a2+3a+2025的值为　2026　 ． 【分析】将x＝a代入原方程，可得出a2+3a﹣1＝0，变形后可得出a2+3a＝1，再将其代入原式，即可求出结论． 【解答】解：将x＝a代入原方程得：a2+3a﹣1＝0， ∴a2+3a＝1， ∴a2+3a+2025＝1+2025＝2026． 故答案为：2026． 【点评】本题考查了一元二次方程的解以及代数式求值，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 11．已知x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根，则m的值为　﹣1　 ． 【分析】将x＝﹣1代入一元二次方程x2+mx﹣2＝0，即可求解． 【解答】解：由题意可得：1﹣m﹣2＝0， 解得m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程根的定义，已知方程的一个根就将这个根代入方程求参数的值是解题关键． 12．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，且k为正整数，则k的值为　1或2　 ． 【分析】由一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＞0，再结合k为正整数求解即可． 【解答】解：由条件可知Δ＝（﹣3）2﹣4k＝9﹣4k＞0， 解得， 又∵k为正整数， ∴k＝1或k＝2． 故答案为：1或2． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 13．定义运算m☆n＝mn2﹣mn﹣1，如4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程2☆x＝0的解为x1，x2　 ． 【分析】根据题意列出代数式进行计算即可． 【解答】解：∵m☆n＝mn2﹣mn﹣1，2☆x＝0， ∴2x2﹣2x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝4+8＝12， ∴x， ∴x1，x2． 故答案为：x1，x2． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的公式法是解题的关键． 14．已知6是关于x的方程x2﹣5ax+12a＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为　14或16　 ． 【分析】把x＝6代入方程求出a的值，进而得到方程为x2﹣10x+24＝0，再解方程求出另一个根，最后根据等腰三角形的定义解答即可求解． 【解答】解：∵6是关于x的方程x2﹣5ax+12a＝0的一个根， ∴62﹣30a+12a＝0， 解得a＝2， ∴方程为x2﹣10x+24＝0， 解得x1＝4，x2＝6， ∴方程的另一个根为4， ∵这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长， 4+4+6＝14或4+6+6＝16， ∴三角形ABC的周长为14或16． 故答案为：14或16． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，等腰三角形的定义，掌握以上知识点是解题的关键． 15．一元二次方程x2+2x﹣3＝0可配方成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为　5　 ． 【分析】利用配方法解答即可． 【解答】解：x2+2x﹣3＝0， x2+2x＝3， x2+2x+1＝3+1， （x+1）2＝4， ∵一元二次方程x2+2x﹣3＝0可配方成（x+m）2＝n的形式， ∴m＝1，n＝4， ∴m+n＝1+4＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键． 16．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3＝0有实数根，则实数k的取值范围为 k≤4且k≠1　 ． 【分析】由二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3＝0有实数根， ∴， 解得：k≤4且k≠1． 故答案为：k≤4且k≠1． 【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键． 17．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是 　14　 ． 【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，再求出即可． 【解答】解：解方程x2﹣2x+12＝0得：x＝3或4， 当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3＝6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行； 当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6＝14， 故答案为：14． 【点评】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 18．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝2024，x2＝﹣2026，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m﹣3）2+b＝0的根是x1＝2027，x2＝﹣2023　 ． 【分析】把方程a（x+m﹣3）2+b＝0表示为a（x﹣3+m）2+b＝0，利用关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2024，x2＝﹣2026得到x﹣3＝2024或x﹣3＝﹣2026，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2024，x2＝﹣2026， ∴方程a（x+m﹣3）2+b＝0的解为x﹣3＝2024或x﹣3＝﹣2026， 即x1＝2027，x2＝﹣2023． 即方程a（x+m﹣3）2+b＝0的解是x1＝2027，x2＝﹣2023． 故答案为：x1＝2027，x2＝﹣2023． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）解方程： （1）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）； （2）． 【分析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）， 3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0， （x﹣1）（3x﹣2）＝0， 则x﹣1＝0或3x﹣2＝0， 所以； （2）， 4x2x﹣1＝0， 64＞0， 则x， 所以． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣公式法及解一元二次方程﹣因式分解法，熟知公式法及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 20．（8分）解下列方程： （1）x2+4x+2＝0（配方法）； （2）3x2+2x﹣1＝0（公式法）． 【分析】（1）根据配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【解答】解：（1）原方程移项可得： x2+4x＝﹣2， x2+4x+4＝2， （x+2）2＝2， ∴， ∴，； （2）∵a＝3，b＝2，c＝﹣1， ∴Δ＝22﹣4×3×（﹣1）＝16＞0， ∴， ∴x1＝﹣1，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 21．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根小于﹣3，求k的取值范围． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ＝（k﹣1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝2、x2＝k+1，根据方程有一根小于﹣3，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围． 【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中， Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝0， ∴（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0， ∴x1＝2，x2＝k+1． ∵方程有一根小于﹣3， ∴k+1＜﹣3，解得：k＜﹣4， ∴k的取值范围为k＜﹣4． 【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于﹣3，找出关于k的一元一次不等式． 22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m+1＝0． （1）若方程有一实数根为3，求m的值； （2）求证：无论m取何值，方程总有实数根． 【分析】（1）直接把x＝3代入到原方程中得到关于m的方程，解方程即可得到答案； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【解答】（1）解：由条件可知：32+3（m+2）+m+1＝0， 解得m＝﹣4； （2）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2﹣4×1×（m+1） ＝m2+4m+4﹣4m﹣4 ＝m2≥0， ∴无论m取何值，方程总有实数根． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 23．（8分）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么称这个方程为“联合方程”． （1）判断一元二次方程2x2+9x+7＝0是否为“联合方程”，说明理由； （2）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“联合方程”，若﹣2是此“联合方程”的一个根，求m和n的值． 【分析】（1）根据“联合方程”的定义进行计算即可； （2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可． 【解答】解：（1）该方程是“联合方程”，理由如下： 在一元二次方程2x2+9x+7＝0中，a＝2，b＝9，c＝7， ∵a﹣b+c＝2﹣9+7＝0， ∴一元二次方程2x2+9x+7＝0是“联合方程”； （2）由条件可知3﹣（﹣m）+n＝0， ∵﹣2是此“联合方程”的一个根， ∴3×（﹣2）2﹣m×（﹣2）+n＝0， 即， 解得， ∴m的值为﹣9，n的值为6． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，正确理解一元二次方程的解得概念是解题的关键． 24．（8分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【分析】（1）把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得ca+c﹣2b+a﹣c＝0，整理后根据等腰三角形的判定判断即可； （2）根据等边三角形的性质得出a＝b＝c，代入方程，即可得出x2﹣x＝0，再解方程即可． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形， 理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0， ∴2a＝2b， ∴a＝b， ∴△ABC的形状是等腰三角形； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c， ∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0， ∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0， 即x2﹣x＝0， 解得：x1＝0，x2＝1， 即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的判定，等边三角形的性质等知识点，能理解一元二方程的解的定义是解（1）的关键，能根据等边三角形的性质得出a＝b＝c是解（2）的关键． 25．（8分）已知m，n为正实数，关于x的一元二次方程为x2+mx＝n2． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若x0是方程的一个实数根，试判断代数式与m2+4n2的大小． 【分析】（1）先把程化为一般式，再计算根的判别式的值得到Δ＝m2+4n2，接着利用m，n为正实数得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先根据一元二次方程解的定义得到mx0＝n2，再利用完全平方公式得到（2x0+m）2＝44mx0+m2，然后利用整体代入的方法得到（2x0+m）2＝m2+4n2． 【解答】（1）证明：方程化为一般式为x2+mx﹣n2＝0， ∵Δ＝m2﹣4（﹣n2） ＝m2+4n2， ∵m，n为正实数， ∴m2＞0，4n2＞0， ∴Δ＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）∵x0是方程的一个实数根， ∴mx0﹣n2＝0， ∴mx0＝n2， ∴（2x0+m）2＝44mx0+m2＝4（mx0）+m2＝4n2+m2， 即（2x0+m）2＝m2+4n2． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 26．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0 （1）试判断上述方程根的情况． （2）已知△ABC的两边AB、AC的长是关于上述方程的两个实数根，BC的长为5． ①当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？ ②当k为何值时，△ABC是等腰三角形？请求出此时△ABC的周长． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ＝1＞0，由此即可得出方程有两个不相等的实数根； （2）利用分解因式法可求出x1＝k+1，x2＝k+2．①不妨设AB＝k+1，AC＝k+2，根据BC＝5利用勾股定理即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值；②根据（1）结论可得出AB≠AC，由此可找出△ABC是等腰三角形分两种情况，分AB＝BC、AC＝BC两种情况考虑，根据两边相等找出关于k的一元一次方程，解方程求出k值，进而可得出三角形的三边长，再根据三角形的周长公式即可得出结论． 【解答】解：（1）∵在方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k+3）]2﹣4（k2+3k+2）＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）∵x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣2）＝0， ∴x1＝k+1，x2＝k+2． ①不妨设AB＝k+1，AC＝k+2， ∴斜边BC＝5时，有AB2+AC2＝BC2，即（k+1）2+（k+2）2＝25， 解得：k1＝2，k2＝﹣5（舍去）． ∴当k＝2时，△ABC是直角三角形 ②∵AB＝k+1，AC＝k+2，BC＝5，由（1）知AB≠AC， 故有两种情况： （Ⅰ）当AC＝BC＝5时，k+2＝5， ∴k＝3，AB＝3+1＝4， ∵4、5、5满足任意两边之和大于第三边， ∴此时△ABC的周长为4+5+5＝14； （II）当AB＝BC＝5时，k+1＝5， ∴k＝4，AC＝k+2＝6， ∵6、5、5满足任意两边之和大于第三边， ∴此时△ABC的周长为6+5+5＝16． 综上可知：当k＝3时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为14；当k＝4时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为16． 【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及等腰三角形的判定，熟练掌握“当根的判别式Δ＞0时，方程有两个不等实数根．”是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测03 2.1～2.2 一元二次方程、一元二次方程的解法 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．2x＝6 B．x2+y＝1 C． D．x2+x＝3 2．一元二次方程2x2﹣x+3＝0的一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣3 B．2，3 C．1，﹣3 D．﹣1，3 3．若方程（m﹣2）x2﹣3x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m≠2 C．m＞0 D．m≠0 4．把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣3x﹣1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+3x﹣1＝0 D．x2+3x+1＝0 5．若关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是x＝1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 6．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根，则n的值为（　　） A．6 B．6或7 C．7或8 D．7 7．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法中正确的个数有（　　） ①若b＝0，则方程总有实数根； ②若b2＝4ac，则方程有两个相等的实数根； ③若a＝b＝c，则方程无实数根； ④若b＝a+c，则方程总有实数根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 　 　 ． 10．已知a是方程x2+3x﹣1＝0的一个实数根，则a2+3a+2025的值为　 　 ． 11．已知x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根，则m的值为　 　 ． 12．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，且k为正整数，则k的值为　 　 ． 13．定义运算m☆n＝mn2﹣mn﹣1，如4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程2☆x＝0的解为　 　 ． 14．已知6是关于x的方程x2﹣5ax+12a＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为　 　 ． 15．一元二次方程x2+2x﹣3＝0可配方成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为　 　 ． 16．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3＝0有实数根，则实数k的取值范围为 　 　 ． 17．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是 　 　 ． 18．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝2024，x2＝﹣2026，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m﹣3）2+b＝0的根是　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）解方程： （1）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）； （2）． 20．（8分）解下列方程： （1）x2+4x+2＝0（配方法）； （2）3x2+2x﹣1＝0（公式法）． 21．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根小于﹣3，求k的取值范围． 22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m+1＝0． （1）若方程有一实数根为3，求m的值； （2）求证：无论m取何值，方程总有实数根． 23．（8分）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么称这个方程为“联合方程”． （1）判断一元二次方程2x2+9x+7＝0是否为“联合方程”，说明理由； （2）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“联合方程”，若﹣2是此“联合方程”的一个根，求m和n的值． 24．（8分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 25．（8分）已知m，n为正实数，关于x的一元二次方程为x2+mx＝n2． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若x0是方程的一个实数根，试判断代数式与m2+4n2的大小． 26．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0 （1）试判断上述方程根的情况． （2）已知△ABC的两边AB、AC的长是关于上述方程的两个实数根，BC的长为5． ①当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？ ②当k为何值时，△ABC是等腰三角形？请求出此时△ABC的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 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