专题08 一元二次方程的解法—直接开方法、配方法的十三类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以直接开方法和配方法为核心，通过解题通法系统提炼、十三类题型分层突破及压轴挑战，构建“原理-应用-迁移”的完整训练体系，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|系统方法总结（含步骤/易错点）|直接开方法“形式转化-开方求解-根的完整性”，配方法“系数化1-移项-配方-开方”，强调符号运算与等价变形|从解法原理（平方根定义、降次思想）到基础应用（解方程）再到综合迁移（新定义、函数结合、几何应用），形成递进式知识链| |题型归纳|13类题型（每类典例+3变式）|针对程序问题、参数范围、等腰三角形等场景，提炼“问题情境→方程建模→解法选择”的解题流程|按“基础操作-概念辨析-跨知识综合”分层设计，覆盖核心考法与易错点| |压轴挑战|15道综合压轴题|融合换元法、几何建模等高阶技巧，强化推理意识与创新思维|对接中考命题趋势，突出知识的综合应用与思维的深度拓展|

专题08 一元二次方程的解法—直接开方法、配方法的十三类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接开方法中的程序问题 题型二、直接开方法中的参数取值范围问题 题型三、直接开方法中的等腰三角形 题型四、直接开方法中的新定义运算 题型五、配方变形 题型六、配方法比较大小 题型七、完全平方式 题型八、配方法中的阴影部分 题型九、换元法的应用 题型十、与反比例函数的结合应用 题型十一、解一元二次方程—直接开方法 题型十二、解一元二次方程—配方法 题型十三、配方法的应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 具体内容 知识点概括 易错点提示 直接开方法 适用形式 形如x²=p（p≥0）或(x+n)²=p（p≥0）的一元二次方程 忽略p<0的情况，直接开平方导致出现无实根的错误结论 理论依据 平方根的定义：若x²=a，则x是a的平方根，即x=±√a（a≥0） 漏写负根，只保留正根导致方程解不完整 解题步骤 1. 将方程整理为左边是完全平方式、右边是非负常数的形式；2. 两边直接开平方得到两个一元一次方程；3. 解一元一次方程得到原方程的根 整理方程时符号错误，开平方后漏写正负号 特殊情况结论 当p=0时，方程有两个相等的实数根x₁=x₂=0；当p<0时，方程无实数根 误将p<0时的情况判定为“方程无解”，未明确是“无实数根”，概念混淆 配方法 核心原理 通过配方将一元二次方程转化为(x+n)²=p的形式，再用直接开方法求解，本质是降次 不理解配方的本质，盲目配方导致步骤错误 一般解题步骤 1. 化二次项系数为1：方程两边同时除以二次项系数；2. 移项：把常数项移到方程右边；3. 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；4. 开方求解 第一步忘记将二次项系数化为1，直接加一次项系数一半的平方，导致配方错误 配方公式 ，配方时需要加上 配方时只在左边加一次项系数一半的平方，右边忘记加，破坏方程的等价性 二次项系数不为1的处理 先提取二次项系数，将二次项和一次项放在括号内，再对括号内配方 提取系数后，添加的常数项忘记乘系数移到等号右侧，导致常数项计算错误 配方法的应用 证明代数式恒正/恒负；求代数式的最值；解决与完全平方式相关的参数问题 求最值时混淆最大、最小值，配方后判断符号错误 共通易错点 符号运算 开平方、移项、配方过程中的符号处理 一次项系数为负数时，计算一半的平方后符号出错，配方结果错误 根的完整性 一元二次方程在有实根的情况下必有两个根（相等或不等） 得到两个相同根时只写一个，丢失重根，不符合一元二次方程根的要求 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接开方法中的程序问题 典例1 如图是一个简单的数值运算程序，则输入的的值为（    ） A．2或−2 B．3或−3 C．3或−1 D．−3或1 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于列出一元二次方程． 根据运算程序可知，计算求解即可． 【详解】解：由题意可知 ∴ 解得，． 故选C． 变式1-1某数值转换器的程序如图所示，当输出的值为4时，则输入的x值是（   ） A． B．2或 C．2或 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了程序设计，解一元二次方程，根据题意分两种情况，当时，当时，然后分别求解判断即可． 【详解】解：∵当输出的值为4时， ∴当时，，不符合题意； 当时，解得． ∴当输出的值为4时，则输入的x值是． 故选：A． 变式1-2如图是一个简单的数值运算程序，若输出的值为，则输入的x的值为________． 【答案】4或 【分析】根据运算程序可得，然后利用直接开平方法解方程即可． 本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 两边都除以，得， 所以， 解得，． 故答案为：4或． 变式1-3小瑞同学设计了一种运算程序：输入正整数，则输出另一个正整数．具体程序如下：①若为偶数，则输出；②若为奇数，则输出．对正整数进行一次输入和输出称为对的一次变换，对第一次输出的再次输入和输出则称为对的二次变换，依此类推．例如，输入正整数，根据6是偶数，对6进行一次变换输出的数为；将3再次输入，根据3是奇数，对6进行二次变换后输出的数为． （1）若输入正奇数进行二次变换后输出的数为15，则满足条件的的值为______， （2）已知输入正整数，若对进行两次变换，这两次变换分别输出的两个数之积为18，则正整数的值为______． 【答案】 29 5或12 【分析】本题考查了解一元二次方程等知识，注意：两个奇数之和为偶数，奇数和偶数之和为奇数． （1）依据题干计算方法计算即可； （2）分正整数为奇数或者偶数来讨论，第一次变换的结果再分奇数或者偶数两种情况讨论，计算即可作答． 【详解】解：（1）正奇数进行第一次变换为：， 是偶数， 第二次变换为：， ，即； （2）当正整数为奇数时， 则第一次变换为：， 是偶数， 第二次变换为：， 两次变换分别输出的两个数之积为18， ，即（负数舍去）； 当正整数为偶数时，则第一次变换为：， 若：为偶数，则第二次变换为：， 两次变换分别输出的两个数之积为18， ，即（负数舍去）； 若：为奇数，则第二次变换为：， 两次变换分别输出的两个数之积为18， ， 变形得：， 解得：， 即不存在正整数，舍去； 综上：为5或12． 类型二、直接开方法中的参数取值范围问题 典例2 如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的要求，等式右边必须为非负数，据此列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵任意实数的平方为非负数 ∴ ∵方程可以用直接开平方法求解 ∴等式右边需满足非负，即 解得． 变式2-1若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键． 方程左边为平方项，始终非负，因此右边也必须非负，方程才有实数根． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 解得 ． 故选：D． 变式2-2若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】该题考查了解一元二次方程，根据方程有两个不相等的实数根，得，解答即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2-3若方程有解，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据完全平方数是非负数得到关于的不等式，解不等式即可求解，掌握完全平方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：∵方程有解， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三、直接开方法中的等腰三角形 典例3 已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为（    ） A．10 B．10或8 C．9 D．8 【答案】A 【分析】先利用直接开平方法求解方程，再分两种情况解答即可． 【详解】解：解方程，得． 当腰长为4，底边长为2时，其周长为； 当腰长为2，底边长为4时，因为，所以此时不能构成三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的定义和三角形的三边关系等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． 变式3-1已知等腰三角形的底边长为4，腰长恰好是关于的一元二次方程的一个根，则的周长为（   ） A．6 B．10 C．14 D．6或14 【答案】C 【分析】通过解一元二次方程求得等腰三角形的两个腰长，然后求该等腰三角形的周长． 本题综合考查了一元二次方程-开平方法、三角形的三边关系、等腰三角形的性质．解答该题时，采用了“分类讨论”的数学思想． 【详解】解：由一元二次方程，得， 解得，或； ∴等腰三角形的两腰长是5或1； ①当等腰三角形的腰长是1时，，构不成三角形，所以不合题意，舍去； ②当等腰三角形的腰长是5时，，，所以能构成三角形， 所以该等腰三角形的周长； 故选：C． 变式3-2已知一元二次方程． （1）若方程的两个根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为_________． （2）若方程的两个根恰好是的两边长，则的面积为_________． 【答案】 10 4或 【分析】（1）先利用直接开平方法求解方程求出，再分两种情况讨论是否构成等腰三角形,然后求出周长即可． （2）分两种情况并结合勾股定理计算解答即可. 【详解】（1）解： ， ． 解得． ①当底边长和腰长分别为4和2时，因，不满足两边之和大于第三边,此时不能构成三角形； ②当底边长和腰长分别是2和4时，符合题意， 的周长为． （2）解：由（1）知，方程的两个根为． ①若2，4是的两条直角边的长，则 ， ②若2，4分别是的一条直角边长和斜边长， 则另一条直角边长为， ． 综上，的面积为4或． 变式3-3如图，在矩形中，，，M，N两点分别从A，B两点以和的速度在矩形边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点D停止，当运动时间为________秒时，为等腰三角形．    【答案】或或 【分析】根据等腰三角形的定义，分四种情况：①当点M在上，点N在上时；②点M在上，点N在上时；③点M、N都在C、D上时；④当点M在上，N在上时，分别画出图形，利用勾股定理和等腰三角形的性质、结合矩形的性质和解方程求解即可． 【详解】解：根据为等腰三角形，分以下四种情况： ①如图1，当点M在上，点N在上时，，，， 由得，解得；    ②如图2，点M在上，点N在上时，，， ，，    在中， 由得，整理得：， 解得，(舍去)； ③如图③，点M、N都在C、D上时，    若点M在点N的右边时，则，，， ∴，此时， 由得，整理得， ∵，∴该方程无解； 若点M在点N的左边时，则，，， ∴，此时， 由得， 解得，不符合题意，舍去； ④如图④，当点M在上，N在上时，，，， 过N作于T，则四边形是矩形，    由得，则， 解得， 综上，满足条件的t值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解一元一次方程和解一元二次方程等知识，理解等腰三角形的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想求解是解答的关键． 题型四、直接开方法中的新定义运算 典例4 对于实数，定义运算“※”如下：，例如，※．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了新定义，一元二次方程的解法，正确应用新定义是解题关键． 直接利用新定义，列出方程求解即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴ 整理得， 解得． 故选：D． 变式4-1定义新运算：，例如：，．若，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义． 根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得，， 综上所述，x的值是或． 故选：D． 变式4-2在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，将原方程转化为一元二次方程，再利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 变式4-3定义一种新运算，规定：，例如，若，则x的值是_______． 【答案】4或 【分析】理解新运算规则，根据规则列出关于的一元二次方程，再解方程即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 又， ∴， ∴ 开平方得， 解得或。 所以，x的值是4或． 题型五、配方变形 典例5 方程经过配方可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可完成配方． 【详解】解：∵， 移项得， 方程两边同时加，得， 整理得． 变式5-1若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，将原方程配方后，与已知配方结果对比系数即可得到和的值． 【详解】对原方程移项得： ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得： ， 整理得：， ∵配方得到， ∴对比等式两边可得，， 解得， 即，． 变式5-2用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式配方即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴． 变式5-3把方程化成的形式，则m的值是________． 【答案】3 【详解】解： ， ， ， ， ∴． 题型六、配方法比较大小 典例6 已知，则比较P，Q的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据配方法的即可求出答案． 【详解】 解： 故选：C． 【点睛】本题考查配方法的应用，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型． 变式6-1已知，（x为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将变形为，再结合非负性判断即可． 【详解】解：， ， 故选：A． 变式6-2若m为实数，，，则比较P，Q的大小可得：______． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减、完全平方公式，利用作差法和配方法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式6-3已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 【答案】 【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，对作差结果进行配方整理，根据完全平方的非负性判断差的符号，即可得到A与B的大小关系． 【详解】解： ， ，即， ． 题型七、完全平方式 典例7 用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（     ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程的操作，解题关键是掌握配方法构造完全平方式的规则，当二次项系数为1时，方程两边需同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵ 原方程为 ， ∴ 根据配方法的规则，要使左边成为完全平方式，需在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即 ， ∴ 等号两边应同时加上． 变式7-1将一元二次方程的左边配方成完全平方式之后，右边的常数应该是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是关键； 通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，确定右边的常数． 【详解】解：原方程为 配方，得 即 ∴右边的常数为， 故选：B． 变式7-2将左边配成完全平方式后，得方程______. 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程；首先移项变形成的形式，然后方程两边同时加上一次项系数的一半的平方即可变形成左边是完全平方式，右边是常数的形式． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 变式7-3已知关于的二次三项式是一个完全平方式，则________． 【答案】或8 【分析】此题考查了完全平方式，解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征得到关于m的一元二次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：∵关于的二次三项式是一个完全平方式， 即， ∴， 即， 解得：或8． 故答案为：或8． 题型八、配方法中的阴影部分 典例8 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论． 【详解】x2+6x+m=0， x2+6x=-m， ∵阴影部分的面积为36， ∴x2+6x=36， 4x=6， x=， 同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4=36+9=45，则该方程的正数解为． 故选：B． 【点睛】此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 变式8-1《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（    ）． A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】仿照题目中的做法可得空白部分小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为， ∴该方程的正数解为． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的几何解法，读懂题意并数形结合是解题的关键． 变式8-2将4张长为a，宽为b（）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为m，阴影部分的面积为n．若，则a、b满足关系式为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，完全平方公式和单项式与多项式乘法在几何图形中的应用，根据题意用a、b分别表示出m、n，再根据建立关于a、b的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ， ， ∵， ∴， 整理，得， ∴， ∴或， ∵， ∴， 故答案为：． 变式8-3如图①所示是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． （1）图②中的阴影部分的正方形的边长等于______．（用、表示）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积． 方法①______；方法②______． 观察图②，请写出、、这三个代数式之间的等量关系：______． （2）若，，则求的值． 【类比探究】利用面积关系，研究方程 提出问题：怎样图解一元二次方程（）？ 几何建模： 1．将原方程变形为：． 2．如图，画四个长为，宽为的长方形． 3．分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，或四个长，宽的长方形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积． 即 （3）求关于的一元一次方程（，，）的解．要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤．（用0.5mm黑色签字笔画图，并注明相关线段的长） 【答案】（1）；方法①；方法②；；（2）；（3） 【分析】（1）根据图形即可求得阴影部分正方形的边长，方法①：根据大正方形减去4个长方形的面积求阴影部分面积，方法②：根据阴影部分的正方形的边长直接求面积，根据方法①和方法②中的面积相等即可求得它们之间的关系； （2）根据（1）的结论代入计算即可； （3）要求参照探究的研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤． 【详解】（1）根据图形即可求得阴影部分正方形的边长为； 方法①，根据大正方形减去4个长方形的面积求阴影部分面积为， 方法②，根据阴影部分的正方形的边长直接求面积为 根据方法①和方法②中的面积相等，则 （2）， （3）几何建模：①原方程为，（，，） ②如图，画四个长为，宽为的长方形， ③分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，或四个长，宽的长方形面积之和，加上中间边长为的小正方形面积． 即 【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积问题，完全平方公式的变形，求一个数的算术平方根，理解题意，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 题型九、换元法的应用 典例9 已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 变式9-1若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，设为x，利用平方差公式展开得，合并常数项整理得，直接开平方求出即可． 【详解】解：设， 则原方程为， ． 变式9-2若，则_____． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，通过换元法，设，将原方程转化为一元二次方程求解，再根据非负性确定值． 【详解】解：设，则原方程化为，即， 因式分解得， 解得：或． 由于， 故， 故答案为：3． 变式9-3解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； （2）略 题型十、与反比例函数的结合应用 典例10 如图，在平面直角坐标系中，点，在第一象限，点在轴正半轴上，且与互相垂直平分，为垂足，连接，，．反比例函数的图象经过点，与相交于．若点的坐标为，则点E的坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，菱形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程；根据题意得出四边形是菱形，求得，则反比例函数，进而根据菱形的性质得出，，求得直线的解析式为，联立反比例函数，即可求解． 【详解】解：∵与互相垂直平分 ∴四边形是菱形， ∴， ∵点的坐标为， ∴ ∵反比例函数的图象经过点， ∴，则 设， ∴ 解得： ∴，即 ∴， ∵点的坐标为， ∴ 设直线的解析式为，则 解得： ∴ 联立 解得：（负值舍去） ∴ 故选：D． 变式10-1如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数与正比例函数的图象交于点A．将正比例函数的图象向上平移个单位后得到的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C．过点C作x轴的垂线，与x轴交于点D．线段与交于点E，点E为中点，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．联立求得点的坐标为，由点E为中点，求得点E的坐标为，由平移的性质求得点C的坐标为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：联立得，解得（舍去负值）， ∴，则， ∴点的坐标为， ∵点E为中点， ∴点E的坐标为， 由题意得，， ∴， ∴点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 故选：C． 变式10-2如图，在平面直角坐标系中，，四边形是平行四边形，过点A作反比例函数，图象交于点D，连结，则的面积是 ____________________ ． 【答案】 / 【分析】根据平行四边形的性质求出点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数和直线的解析式，联立解析式求出点的坐标，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ， ， 点的纵坐标为4，横坐标为， ， 反比例函数经过点， ， 反比例函数的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 联立， 整理得，解得， ， ， 当时，， ， ． 变式10-3如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数的解析式和m值； (2)当时，请根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)点P是线段上一点，过点P作轴于点D，交反比例函数的图象于点Q，连接，若的面积为，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点P的坐标为 【分析】（1）将代入得b，即得一次函数的解析式为，将代入一次函数解析式得m； （2）求出，由图可得，根据直线在双曲线上方的部分的自变量的取值范围，即可求解； （3）先求出反比例函数的解析式为，设点P的坐标为，得到点Q的坐标为，，，再根据三角形的面积公式，得到，求出，得到，即可解答． 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， 解得， 一次函数解析式是 在一次函数的图象上， ， ， （2）解：由（1）得点， 由图象可得，一次函数与反比例函数的交点分别为点和， 当时的解集为； （3）解：将代入，得 ， ∴反比例函数的解析式为， 设点P的坐标为， ∵轴交反比例函数的解析式为于点Q， ∴点Q的坐标为，， ∴， ∴， ∴， 即， ， 解得， ∴， ∴点P的坐标为． 题型十一、解一元二次方程—直接开方法 典例11 利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 直接开平方，得， ，； （2）解： 移项，得， 直接开平方，得， ，． 变式11-1解方程：． 【答案】 ， 【详解】解：， ， ， 解得， ． 变式11-2解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴或， ∴或， ∴，． 变式11-3求下列各式中的的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将原式化简为，再等号两边开平方，即可求解； （2）先将原式化简为，再等号两边开平方，即可求解． 【详解】（1）解：， 化简得， 解得． （2）解：， 化简得， 开方得， 解得． 题型十二、解一元二次方程—配方法 典例12 解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 【详解】（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 变式12-1解方程： (1)； (2)（用配方法解方程）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， 或， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 变式12-2解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用直接开平方法解答； （2）利用配方法解答； 【详解】（1）解：， 移项，得， 解得：，． （2）解：， 移项，得， 方程两边同时加上4，得，即， 则，或， 解得，． 变式12-3用配方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．先将方程整理为标准形式，第二题先将二次项系数化为1，再通过配方将方程化为完全平方等于常数的形式，最后用直接开平方法求解即可． 【详解】（1）解： 移项得 配方，方程两边同时加16得 整理得 开方得 解得，． （2）解： 移项得 二次项系数化为1得 配方，方程两边同时加得 整理得 解得． 题型十三、配方法的应用 典例13 【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【答案】(1) (2)当时，最大值为7． (3)、、． 【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合得出，从而即可得出结果； （3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，，取得最大值为7． （3）解：当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、． 变式13-1配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 【答案】(1) (2)常数的值为或 (3)最大值为 【分析】（1）把所求式子变形为，再仿照例题求解即可； （2）把多项式变形为，根据多项式的最小值为得到方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意可推出，再仿照例题求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值是． （2）解： ， ， ， 关于的二次多项式的最小值为， 关于的二次多项式（为常数）有最小值为， ， ，即， 解得，， 常数的值为或； （3）解：， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 变式13-2配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 【答案】(1)是 (2) (3)符合条件的一个k值为9，理由如下： 对M配方： ， 当时，， ∴， ∵，是整数， ∴和都是整数， ∴M是两个整数的平方和，即M为“和谐数”； (4)当时，的最小值为 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，判断40能否写成两个整数的平方和即可； （2）利用配方法对代数式变形，对比得到，的值，即可计算； （3）对M进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k值； （4）先写出的表达式，再利用配方法结合非负数的性质，即可求出最小值． 【详解】（1）解：∵，且6，2都是整数， ∴40是“和谐数”； （2）解：， 对比得，， ∴； （3）解： 略 （4）解：， ∵对于任意实数x，都有， ∴当，即时，取得最小值，最小值为． 变式13-3配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式； (2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值； (3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完美数的定义变形成，即可得到答案； （2）将根据完全平方公式进行配方即可； （3）将式子化简成，根据“完美数”的定义得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 其中只有是两个平方数的和， ； （2）解： ， ， ； （3）解：， 要使S对任意整数x, y都为“完美数”，则， 解得． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 2．王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据配方法解一元二次方程逐一对甲、乙、丙、丁四步的变形过程进行检查，找出计算错误的步骤． 【详解】解：王老师：， 甲：两边同除以2，移项得，正确， 乙：配方，两边加4，得，即，但乙写成了，错误， 丙：开平方，得，正确， 丁：，则，正确， ∴错误的是乙． 3．一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 方程配方后得到． 4．定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案． 【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”， 则将方程变形为， 由“同形二次方程”定义可知， “同形二次方程”定义中， ， 则两边同时除以得， ， 由②得， 将代入①得， ∴代数式． 5．在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图1，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．若关于的一元二次方程，按照图1的图解法构造图2，在中，，连接，若，则的值是（     ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程系数确定直角三角形两直角边的长度，利用等高三角形面积比等于底边比，求出斜边与参数的关系，最后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ． ，且与等高， ， ， ． ， 在中，， ，即， 解得，，（不符合题意，舍去）， 的值是． 6．若，当________时，的最大值是________． 【答案】 【分析】先根据已知等式用含的代数式表示，再代入得到关于的代数式，利用完全平方公式及偶次幂的非负性进行求解即可． 【详解】解：由可得：， 将代入得， ， ， ∴当时，取得最大值，最大值为． 7．设方程的正根介于整数与之间，则____． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的求解与无理数的估算，掌握配方法解一元二次方程和利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．先通过配方法求出方程的正根为，再根据得到，进而推出，确定正根介于整数与之间，从而求出的值． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：． 8．小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，，若，则的值为______． 【答案】 【分析】首先根据勾股定理求出，然后得到，然后根据求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________． 【答案】 【分析】根据“同族二次方程”的定义得到，进而可得方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， 解得， ． 10．若（x、y为实数），则W的最小值为________． 【答案】3 【分析】本题考查配方法的应用，通过配方法将原式化为完全平方和的形式，利用非负数的性质求最小值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，当， 时取等号， 故的最小值为； 故答案为：3． 11．解方程： 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得． 12．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：． 请借助整体思想完成： (1)计算． (2)，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式变形为，再将看成一个整体，利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）把看成一个整体，利用平方差公式计算，最后解方程即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， ． 令， ， ． 又，即， ， ． 13．【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）仿照例题利用配方法求解即可； （3）过点F作于点H，证明，得到；设，则，则，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，过点F作于点H， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为8． 14．我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程的几何解法，用“拼”的方法完成了配方，例如：，可以变形为，用四个长为、宽为x、面积为24的矩形，拼成如图所示的大正方形，利用大正方形的面积等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积可以得到． 【模仿实践】（1）用“拼”的方法解方程，先变形为________，每个小长方形的长为________，宽为________，小正方形的面积为________； 【深入探究】（2）用“拼”的方法解方程，写出解题过程． 【答案】（1）；；；25； （2）解：先变形为，如图， 每个小长方形的长为，宽为， 利用图形的面积关系得配方后的方程为，即， ∴； 解为． 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，解一元二次方程，图形面积的计算方法，理解图示面积，材料提示的计算方法，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）仿照用“拼”的方法，根据面积关系列方程求解即可； （2）先变形为，再用“拼”的方法，根据面积关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：仿照方法2配方解，先变形为，如图2， 每个小长方形的长为，宽为，小正方形的面积为， 利用图形的面积关系得配方后的方程为，即， 解为， 故答案为：，，，； （2）略 15．配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（都是整数）的形式，则称这个数为“和美数”例如，是一个“和美数”，理由是：因为，所以是“和美数”． (1)在三个数中，是“和美数”的有_______； (2)已知（是整数，k是常数），要使为“和美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由； (3)已知实数满足，求的最大值． 【答案】(1) 和 (2) 当时，为“和美数”，理由如下： ， ∵ ∴； (3) 最大值为 【分析】（）根据定义，尝试将目标数拆分为两个整数的平方和，能拆分则为和美数，反之则不是； （）根据为和美数，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （）由已知等式表示出，再代入，然后运用配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：，符合定义，是和美数； 尝试整数平方和， (非平方数)； (非平方数)；(非平方数)，故不是和美数； ，符合定义，是和美数； 故答案为：和； （2）解：略； （3）解：∵， ∴， 即， ∴ ． 当时，最大，最大值为． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用、二次函数求最值等知识点，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 1 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 一元二次方程的解法—直接开方法、配方法的十三类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接开方法中的程序问题 题型二、直接开方法中的参数取值范围问题 题型三、直接开方法中的等腰三角形 题型四、直接开方法中的新定义运算 题型五、配方变形 题型六、配方法比较大小 题型七、完全平方式 题型八、配方法中的阴影部分 题型九、换元法的应用 题型十、与反比例函数的结合应用 题型十一、解一元二次方程—直接开方法 题型十二、解一元二次方程—配方法 题型十三、配方法的应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 具体内容 知识点概括 易错点提示 直接开方法 适用形式 形如x²=p（p≥0）或(x+n)²=p（p≥0）的一元二次方程 忽略p<0的情况，直接开平方导致出现无实根的错误结论 理论依据 平方根的定义：若x²=a，则x是a的平方根，即x=±√a（a≥0） 漏写负根，只保留正根导致方程解不完整 解题步骤 1. 将方程整理为左边是完全平方式、右边是非负常数的形式；2. 两边直接开平方得到两个一元一次方程；3. 解一元一次方程得到原方程的根 整理方程时符号错误，开平方后漏写正负号 特殊情况结论 当p=0时，方程有两个相等的实数根x₁=x₂=0；当p<0时，方程无实数根 误将p<0时的情况判定为“方程无解”，未明确是“无实数根”，概念混淆 配方法 核心原理 通过配方将一元二次方程转化为(x+n)²=p的形式，再用直接开方法求解，本质是降次 不理解配方的本质，盲目配方导致步骤错误 一般解题步骤 1. 化二次项系数为1：方程两边同时除以二次项系数；2. 移项：把常数项移到方程右边；3. 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；4. 开方求解 第一步忘记将二次项系数化为1，直接加一次项系数一半的平方，导致配方错误 配方公式 ，配方时需要加上 配方时只在左边加一次项系数一半的平方，右边忘记加，破坏方程的等价性 二次项系数不为1的处理 先提取二次项系数，将二次项和一次项放在括号内，再对括号内配方 提取系数后，添加的常数项忘记乘系数移到等号右侧，导致常数项计算错误 配方法的应用 证明代数式恒正/恒负；求代数式的最值；解决与完全平方式相关的参数问题 求最值时混淆最大、最小值，配方后判断符号错误 共通易错点 符号运算 开平方、移项、配方过程中的符号处理 一次项系数为负数时，计算一半的平方后符号出错，配方结果错误 根的完整性 一元二次方程在有实根的情况下必有两个根（相等或不等） 得到两个相同根时只写一个，丢失重根，不符合一元二次方程根的要求 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直接开方法中的程序问题 典例1 如图是一个简单的数值运算程序，则输入的的值为（    ） A．2或−2 B．3或−3 C．3或−1 D．−3或1 变式1-1某数值转换器的程序如图所示，当输出的值为4时，则输入的x值是（   ） A． B．2或 C．2或 D．2 变式1-2如图是一个简单的数值运算程序，若输出的值为，则输入的x的值为________． 变式1-3小瑞同学设计了一种运算程序：输入正整数，则输出另一个正整数．具体程序如下：①若为偶数，则输出；②若为奇数，则输出．对正整数进行一次输入和输出称为对的一次变换，对第一次输出的再次输入和输出则称为对的二次变换，依此类推．例如，输入正整数，根据6是偶数，对6进行一次变换输出的数为；将3再次输入，根据3是奇数，对6进行二次变换后输出的数为． （1）若输入正奇数进行二次变换后输出的数为15，则满足条件的的值为______， （2）已知输入正整数，若对进行两次变换，这两次变换分别输出的两个数之积为18，则正整数的值为______． 类型二、直接开方法中的参数取值范围问题 典例2 如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2-1若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-2若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 变式2-3若方程有解，则的取值范围是_______． 题型三、直接开方法中的等腰三角形 典例3 已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为（    ） A．10 B．10或8 C．9 D．8 变式3-1已知等腰三角形的底边长为4，腰长恰好是关于的一元二次方程的一个根，则的周长为（   ） A．6 B．10 C．14 D．6或14 变式3-2已知一元二次方程． （1）若方程的两个根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为_________． （2）若方程的两个根恰好是的两边长，则的面积为_________． 变式3-3如图，在矩形中，，，M，N两点分别从A，B两点以和的速度在矩形边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点D停止，当运动时间为________秒时，为等腰三角形．    题型四、直接开方法中的新定义运算 典例4 对于实数，定义运算“※”如下：，例如，※．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式4-1定义新运算：，例如：，．若，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 变式4-2在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 变式4-3定义一种新运算，规定：，例如，若，则x的值是_______． 题型五、配方变形 典例5 方程经过配方可变形为（     ） A． B． C． D． 变式5-1若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 变式5-2用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 变式5-3把方程化成的形式，则m的值是________． 题型六、配方法比较大小 典例6 已知，则比较P，Q的大小关系为（    ） A． B． C． D． 变式6-1已知，（x为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 变式6-2若m为实数，，，则比较P，Q的大小可得：______． 变式6-3已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 题型七、完全平方式 典例7 用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（     ） A．12 B．9 C．6 D．3 变式7-1将一元二次方程的左边配方成完全平方式之后，右边的常数应该是（   ） A．2 B．1 C． D． 变式7-2将左边配成完全平方式后，得方程______. 变式7-3已知关于的二次三项式是一个完全平方式，则________． 题型八、配方法中的阴影部分 典例8 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（    ） A．6 B． C． D． 变式8-1《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（    ）． A．6 B． C． D． 变式8-2将4张长为a，宽为b（）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为m，阴影部分的面积为n．若，则a、b满足关系式为__________． 变式8-3如图①所示是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． （1）图②中的阴影部分的正方形的边长等于______．（用、表示）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积． 方法①______；方法②______． 观察图②，请写出、、这三个代数式之间的等量关系：______． （2）若，，则求的值． 【类比探究】利用面积关系，研究方程 提出问题：怎样图解一元二次方程（）？ 几何建模： 1．将原方程变形为：． 2．如图，画四个长为，宽为的长方形． 3．分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，或四个长，宽的长方形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积． 即 （3）求关于的一元一次方程（，，）的解．要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤．（用0.5mm黑色签字笔画图，并注明相关线段的长） 题型九、换元法的应用 典例9 已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 变式9-1若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 变式9-2若，则_____． 变式9-3解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 题型十、与反比例函数的结合应用 典例10 如图，在平面直角坐标系中，点，在第一象限，点在轴正半轴上，且与互相垂直平分，为垂足，连接，，．反比例函数的图象经过点，与相交于．若点的坐标为，则点E的坐标是(　　) A． B． C． D． 变式10-1如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数与正比例函数的图象交于点A．将正比例函数的图象向上平移个单位后得到的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C．过点C作x轴的垂线，与x轴交于点D．线段与交于点E，点E为中点，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．2 变式10-2如图，在平面直角坐标系中，，四边形是平行四边形，过点A作反比例函数，图象交于点D，连结，则的面积是 ____________________ ． 变式10-3如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数的解析式和m值； (2)当时，请根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)点P是线段上一点，过点P作轴于点D，交反比例函数的图象于点Q，连接，若的面积为，求点P的坐标． 题型十一、解一元二次方程—直接开方法 典例11 利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 变式11-1解方程：． 变式11-2解下列方程： (1) (2) 变式11-3求下列各式中的的值： (1)； (2) 题型十二、解一元二次方程—配方法 典例12 解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 变式12-1解方程： (1)； (2)（用配方法解方程）． 变式12-2解方程： (1)； (2)． 变式12-3用配方法解下列方程 (1) (2) 题型十三、配方法的应用 典例13 【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 变式13-1配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 变式13-2配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 变式13-3配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式； (2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值； (3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 2．王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（     ） A． B． C． D． 4．定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 5．在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图1，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．若关于的一元二次方程，按照图1的图解法构造图2，在中，，连接，若，则的值是（     ）      A． B． C． D． 6．若，当________时，的最大值是________． 7．设方程的正根介于整数与之间，则____． 8．小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，，若，则的值为______． 9．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________． 10．若（x、y为实数），则W的最小值为________． 11．解方程： 12．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：． 请借助整体思想完成： (1)计算． (2)，求的值． 13．【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 14．我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程的几何解法，用“拼”的方法完成了配方，例如：，可以变形为，用四个长为、宽为x、面积为24的矩形，拼成如图所示的大正方形，利用大正方形的面积等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积可以得到． 【模仿实践】（1）用“拼”的方法解方程，先变形为________，每个小长方形的长为________，宽为________，小正方形的面积为________； 【深入探究】（2）用“拼”的方法解方程，写出解题过程． 15．配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（都是整数）的形式，则称这个数为“和美数”例如，是一个“和美数”，理由是：因为，所以是“和美数”． (1)在三个数中，是“和美数”的有_______； (2)已知（是整数，k是常数），要使为“和美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由； (3)已知实数满足，求的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $