广东省汕头市濠江区2026-2027学年上学期九年级第一次月考数学模拟练习

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数核心知识，融合深圳用电量增长等时代情境，设置基础巩固到综合应用的梯度题型，适配九年级上册月考能力要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、根的判别式、二次函数图象变换|第4题结合高端制造业用电增长情境，考察方程建模能力| |填空题|5/15|因式分解法解方程、根与系数关系、二次函数解析式|第15题四边形综合题，渗透几何直观与推理意识| |解答题|8/75|方程应用、二次函数性质、利润最值、动态几何|第21题T恤销售利润问题，体现模型意识；第23题二次函数与菱形综合，考察创新应用能力|

2026-2027广东省汕头市濠江区九年级（上）第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2+y＝1 C． D．x2+x＝4 2．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜1.5 B．m＞1 C．m≤1 D．m＜1 3．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝10 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣6）2＝10 D．（x﹣1）2＝1 4．（3分）由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2026年第一季度，深圳全社会用电量累计达到253.45亿千瓦时，1月用电量约为78.44亿千瓦时，2月、3月保持相同的增长率，设用电量的月平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（　　） A．78.44（1﹣x）2＝253.45 B．78.44（1+x）2＝253.45 C．78.44（1+2x）＝253.45 D．78.44+78.44（1+x）+78.44（1+x）2＝253.45 5．（3分）某商店进了一批玩具，其销售数量x（个）与销售额y（元）之间的关系式为y＝8x，则当销售数量为4个时，销售额为（　　） A．24元 B．32元 C．40元 D．48元 6．（3分）如图，函数y＝ax2+3x+2和y＝﹣ax+a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝3（x+2）2﹣5 B．y＝3（x+5）2+2 C．y＝3（x﹣2）2+5 D．y＝3（x+2）2+5 8．（3分）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（　　） A．7 B．3 C．4 D．3或4 9．（3分）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点，且当x＝a和x＝a+n时函数值都为m，则m、n的关系式为（　　） A．m＝n2 B．m＝4n2 C．m D．m 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）小明在解方程x2＝5x时，只得出一个根是x＝5，则被他漏掉的一个根是　 　 ． 12．（3分）若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　 ． 13．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则的值是 　 　 ． 14．（3分）已知二次函数图象的顶点坐标是（2，﹣1），且与抛物线y＝2x2的形状和开口方向均相同，则这个二次函数的解析式是 　 　 ． 15．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是 　 　 ． 三．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 16．（8分）解方程： （1）x（x+1）＝3x+3； （2）2x2﹣4x﹣1＝0． 17．（8分）先化简，再求值：，其中a是方程的解． 18．（8分）学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ABCD），该实验田两面靠墙（AD位置的墙最大可用27米，AB位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田CD的长为x米． （1）AD的长为　 　 米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形ABCD）的面积为180平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）如图，二次函数y1＝x2﹣2x，y2＝ax2﹣2x（a为常数，且a≠0）的图象在同一平面直角坐标系中，且y2＝ax2﹣2x的图象过点（4，0）． （1）求a的值． （2）与x轴平行的直线l与y1的图象交于A，B两点，记点A，B的横坐标分别是xA，xB，且xA﹣xB＝3，当xB≤x≤xA时，求y2的函数值的取值范围． （3）已知点（m，n），（m+k，n）（其中m≥1，k＞0）分别在y1，y2图象上，求k的最小值． 20．（9分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+m+3＝0． （1）若方程有一实数根为3，求m的值； （2）求证：无论m取何值，方程总有实数根． 21．（9分）某服装店以每件50元的价格购进一批T恤，如果以每件60元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元． （1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3640元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？ （2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 五．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分） 22．（12分）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值． 例题：求多项式x2﹣4x+5的最小值． 解：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1， 因为（x﹣2）2≥0，所以（x﹣2）2+1≥1． 当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1．因此（x﹣2）2+1有最小值，最小值为1，即x2﹣4x+5的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 已知代数式A＝x2+10x+20，则A的最小值为 　 　 ； （2）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是（3a+2）米，（2a+5）米，乙菜地的两边长分别是5a米，（a+5）米，试比较这两块菜地的面积S甲和S乙的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝12cm，点M、N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以1cm/s的速度向C点运动；同时点N从C点出发以2cm/s的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒，请直接写出△MCN的面积最大值． 23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，与x轴相交于A（﹣1，0）、B两点，且与y轴交于点C（0，﹣2）． （1）求抛物线的表达式； （2）如果点D是x轴正半轴上一点，∠ADC＝2∠ACO，且四边形AQCD是菱形，请直接写出点D和点Q的坐标（不需要说明理由）； （3）由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”；否则叫做“凹多边形”． 如果点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形ACBE是凹四边形（线段AE与线段BC不相交），求t的取值范围． 2026-2027广东省汕头市濠江区九年级（上）第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2+y＝1 C． D．x2+x＝4 【分析】根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【解答】解：A．ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程，不符合题意； B．x2+y＝1，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； D．x2+x＝4，是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题关键． 2．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜1.5 B．m＞1 C．m≤1 D．m＜1 【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＞0，可列出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＞0， 解得：m＜1， ∴m的取值范围是m＜1． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 3．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝10 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣6）2＝10 D．（x﹣1）2＝1 【分析】将x2﹣6x﹣1＝0变形即可得出答案． 【解答】解：移项得x2﹣6x＝1， 配方得x2﹣6x+9＝1+9， （x﹣3）2＝10， 故选：A． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 4．（3分）由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2026年第一季度，深圳全社会用电量累计达到253.45亿千瓦时，1月用电量约为78.44亿千瓦时，2月、3月保持相同的增长率，设用电量的月平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（　　） A．78.44（1﹣x）2＝253.45 B．78.44（1+x）2＝253.45 C．78.44（1+2x）＝253.45 D．78.44+78.44（1+x）+78.44（1+x）2＝253.45 【分析】根据2026年第一季度，深圳全社会用电量累计达到253.45亿千瓦时，1月用电量约为78.44亿千瓦时，列出方程即可． 【解答】解：由题意得：78.44+78.44（1+x）+78.44（1+x）2＝253.45， 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．（3分）某商店进了一批玩具，其销售数量x（个）与销售额y（元）之间的关系式为y＝8x，则当销售数量为4个时，销售额为（　　） A．24元 B．32元 C．40元 D．48元 【分析】把x＝4代入y＝8x即可求解． 【解答】解：销售数量x（个）与销售额y（元）之间的关系式为y＝8x， 当x＝4时，y＝8×4＝32（元）； ∴当销售数量为4个时，销售额为32元． 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 6．（3分）如图，函数y＝ax2+3x+2和y＝﹣ax+a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，分类讨论，当a＞0时；当a＜0时；结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解． 【解答】解：当a＞0时，则﹣a＜0， ∴一次函数y＝﹣ax+a的图象经过第一、二、四象限； 二次函数y＝ax2+3x+2的图象开口向上，对称轴为，即对称轴在y轴的左边，当x＝0时，y＝2，即与y轴交于点（0，2）； A、B、C、D选项均不符合该种情况； 当a＜0时，﹣a＞0， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限； 二次函数图象开口向下，对称轴，即对称轴在y轴右边，与y轴交于点（0，2）； 如图所示， ∴D选项的图符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数，一次函数图象的性质，关键是进行分类讨论． 7．（3分）把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝3（x+2）2﹣5 B．y＝3（x+5）2+2 C．y＝3（x﹣2）2+5 D．y＝3（x+2）2+5 【分析】根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减即可求解． 【解答】解：把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝3（x+2）2+5， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 8．（3分）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（　　） A．7 B．3 C．4 D．3或4 【分析】当底边为3，利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0，解得k＝4；当腰为3时，把x＝3代入关于x的方程x2﹣4x+k＝0得9﹣12+k＝0，解得k＝3． 【解答】解：当等腰三角形的底边为3时， ∵另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根， ∴Δ＝0，即（﹣4）2﹣4k＝0， 解得k＝4， 此时方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2， 当等腰三角形的腰为3时，x＝3是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的一个根， ∴9﹣12+k＝0， 解得k＝3， 此时方程为x2﹣4x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝3， ∴三角形三边分别为3、3、1， 综上所述，k的值为4或3． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 9．（3分）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，得，解得或，故两个函数有两个不同的交点，据此判断解答即可． 【解答】解：根据题意，得， 解得或， 故两个函数有两个不同的交点（0，0），（1，a）， 故选：C． 【点评】本题考查了图象的分布，根据交点个数判断是解题的关键． 10．（3分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点，且当x＝a和x＝a+n时函数值都为m，则m、n的关系式为（　　） A．m＝n2 B．m＝4n2 C．m D．m 【分析】由“抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点“得出b2﹣4c＝0，即b2＝4c，其次，根据当x＝a和x＝a+n时函数值都为m，可得，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点， ∴Δ＝b2﹣4c＝0，即b2＝4c， ∵当x＝a和x＝a+n时函数值都为m， ∴， ∴a， 把x＝a，y＝m代入y＝x2+bx+c得： m＝（）2+b×（）+cc， ∵b2＝4c， ∴mc， 故选：D． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）小明在解方程x2＝5x时，只得出一个根是x＝5，则被他漏掉的一个根是x＝0　 ． 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可求解． 【解答】解：原方程移项可得：x2﹣5x＝0， 因式分解，得x（x﹣5）＝0， ∴x＝0或x﹣5＝0， 解得x＝0或x＝5， ∴被漏掉的一个根是x＝0． 故答案为：x＝0． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 12．（3分）若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜0且m≠﹣1　 ． 【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（m+1）×1＝﹣4m＞0，且m+1≠0， 解得m＜0且m≠﹣1， 故答案为：m＜0且m≠﹣1． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的情况与根的判别式Δ＝b2﹣4ac的关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．本题还考查了一元二次方程的定义，容易忽视二次项系数不为0这一隐含条件． 13．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则的值是 　14　 ． 【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣5，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣5， ∴， ∴， ∴． 故答案为：14． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，关键掌握对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根为x1，x2，则，． 14．（3分）已知二次函数图象的顶点坐标是（2，﹣1），且与抛物线y＝2x2的形状和开口方向均相同，则这个二次函数的解析式是 y＝2（x﹣2）2﹣1　 ． 【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，由条件可以得出a＝2，就可以求出结论． 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，且与抛物线y＝2x2的形状和开口方向均相同， ∴a＝2， ∴y＝2（x﹣2）2﹣1， 故答案为：y＝2（x﹣2）2﹣1． 【点评】本题考查了根据顶点式运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，再解答时运用抛物线的性质求出a值是关键． 15．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是 　3.4　 ． 【分析】过C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，延长DG至点F，使GF＝BE，先证四明边形ABCG是正方形，得GC＝BC＝AG＝4，∠BCG＝90°，则DE＝AG﹣AD＝1，再证明△EBC和△FGC全等得CF＝CE，∠GCF＝∠BCE，根据∠DCE＝45°得∠DCF＝∠DCE＝45°，进而可证△ECD和△FCD全等，则DF＝DE，设DE＝x，则GF＝BE＝x﹣1，AE＝AB﹣BE＝5﹣x，然后在Rt△AED中，利用勾股定理求出x即可得DE的长． 【解答】解：过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，延长DG至点F，使GF＝BE，如图所示： ∵∠A＝∠B＝90°，CG⊥AD， ∴四边形ABCG 为矩形， 又∵AB＝BC＝4， ∴四边形ABCG是正方形， ∴GC＝BC＝AG＝4，∠BCG＝90°， ∵AD＝3， ∴DE＝AG﹣AD＝1， 在△EBC和△FGC中， ， ∴△EBC≌△FGC（SAS）， ∴CF＝CE，∠GCF＝∠BCE， ∵∠DCE＝45°， ∴∠BCE+∠DCG＝45°， ∴∠GCF+∠DCG＝45°， 即∠DCF＝45°， ∴∠DCF＝∠DCE＝45°， 在△ECD和△FCD中， ， ∴△ECD≌△FCD（SAS）， ∴DF＝DE， 设DE＝x，则DF＝x， ∴GF＝BE＝x﹣1， ∴AE＝AB﹣BE＝4﹣（x﹣1）＝5﹣x， 在Rt△AED中，由勾股定理得：AE2+AD2＝DE2， 即（5﹣x）2+32＝x2， 解得：x＝3.4， ∴DE＝3.4． 故答案为：3.4． 【点评】此题主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键． 三．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 16．（8分）解方程： （1）x（x+1）＝3x+3； （2）2x2﹣4x﹣1＝0． 【分析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）x（x+1）＝3x+3， x（x+1）﹣3（x+1）＝0， （x+1）（x﹣3）＝0， 则x+1＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝﹣1，x2＝3． （2）2x2﹣4x﹣1＝0， Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0， 则x， 所以． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及解一元二次方程﹣公式法，熟知公式法及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 17．（8分）先化简，再求值：，其中a是方程的解． 【分析】根据分式运算法则化简即可． 【解答】解：原式 ， ∵a是方程的解， ∴，即， 解得， ∴原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键． 18．（8分）学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ABCD），该实验田两面靠墙（AD位置的墙最大可用27米，AB位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田CD的长为x米． （1）AD的长为　（47﹣3x）　 米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形ABCD）的面积为180平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 【分析】（1）根据题意列出AD＝45﹣x﹣2（x﹣1），计算整式的加减即可得； （2）根据题意建立方程x（47﹣3x）＝180，解方程求出x的值，再根据AD位置的墙最大可用27米，AB位置的墙最大可用15米即可得； （3）根据题意建立方程x（47﹣3x）＝240，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【解答】解：（1）由题意得：AD＝45﹣x﹣2（x﹣1）＝47﹣3x（米）， 故答案为：（47﹣3x）． （2）由题意得：x（47﹣3x）＝180， ∴x＝9或x， 又∵， ∴． ∴x＝9或x． （3）假设该实验田的面积能为240平方米， ∴x（47﹣3x）＝240， ∴3x2﹣47x+240＝0， ∴Δ＝（﹣47）2﹣4×3×240＜0，方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为240平方米． 【点评】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）如图，二次函数y1＝x2﹣2x，y2＝ax2﹣2x（a为常数，且a≠0）的图象在同一平面直角坐标系中，且y2＝ax2﹣2x的图象过点（4，0）． （1）求a的值． （2）与x轴平行的直线l与y1的图象交于A，B两点，记点A，B的横坐标分别是xA，xB，且xA﹣xB＝3，当xB≤x≤xA时，求y2的函数值的取值范围． （3）已知点（m，n），（m+k，n）（其中m≥1，k＞0）分别在y1，y2图象上，求k的最小值． 【分析】（1）依据题意，由的图象过点（4，0），则16a﹣8＝0，从而可得a＝0.5，即可得解； （2）依据题意，由的图象对称轴为直线x＝1，则xA+xB＝2，结合xA﹣xB＝3，可得xA＝2.5，xB＝﹣0.5，从而﹣0.5≤x≤2.5，又，可得对称轴为直线x＝2，从而可以得解； （3）依据题意，将（m，n），（m+k，n）分别代入y1，y2得，m2﹣2m＝0.5（m+k）2﹣2（m+k），则0.5m2﹣km+2k﹣0.5k2＝0，可得Δ＝2k2﹣4k≥0，又k＞0，从而可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵的图象过点（4，0）， ∴16a﹣8＝0， ∴a＝0.5； （2）∵的图象对称轴为直线x＝1， ∴xA+xB＝2． 又∵xA﹣xB＝3， ∴xA＝2.5，xB＝﹣0.5， ∴﹣0.5≤x≤2.5． ∵， ∴的图象对称轴为直线x＝2， ∴y2的取值范围﹣2≤y≤1.125； （3）由题意，将（m，n），（m+k，n）分别代入y1，y2得，m2﹣2m＝0.5（m+k）2﹣2（m+k）， ∴0.5m2﹣km+2k﹣0.5k2＝0， ∴Δ＝2k2﹣4k≥0， ∵k＞0， ∴k≥2． ∴k的最小值为2． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 20．（9分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+m+3＝0． （1）若方程有一实数根为3，求m的值； （2）求证：无论m取何值，方程总有实数根． 【分析】（1）把x＝3代入x2+（m+4）x+m+3＝0即可求得m的值； （2）根据题意只需要证明Δ＝（m+4）2﹣4（m+3）≥0即可． 【解答】（1）解：∵方程有一实数根为3， ∴32+3（m+4）+m+3＝0， ∴m＝﹣6； （2）证明：由题意得，Δ＝（m+4）2﹣4（m+3） ＝m2+8m+16﹣4m﹣12 ＝m2﹣4m+4 ＝（m﹣2）2≥0， ∴无论m取何值，方程总有实数根． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 21．（9分）某服装店以每件50元的价格购进一批T恤，如果以每件60元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元． （1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3640元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？ （2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设销售单价提高x元，根据题意列出方程求解即可； （2）设销售利润为M元，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）设T恤的销售单价提高x元，依题意得： （x+60﹣50）（300﹣10x）＝3640， 解得：x1＝4或x2＝16， ∵要尽可能减少库存， ∴x2＝16不合题意，舍去． ∴T恤的销售单价应提高4元， 答：T恤的销售单价应提高4元； （2）设利润为M元，由题意得： M＝（x+60﹣50）（300﹣10x） ＝﹣10x2+200x+3000， ＝﹣10（x﹣10）2+4000， ∴当x＝10时，M最大值 ＝4000元， ∴销售单价：60+10＝70（元）， 答：当服装店将销售单价定为70元时，得到最大利润是4000元． 【点评】本题考查了二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是利用利润＝单件利润×销售量列出二次函数解析式． 五．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分） 22．（12分）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值． 例题：求多项式x2﹣4x+5的最小值． 解：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1， 因为（x﹣2）2≥0，所以（x﹣2）2+1≥1． 当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1．因此（x﹣2）2+1有最小值，最小值为1，即x2﹣4x+5的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 已知代数式A＝x2+10x+20，则A的最小值为 　﹣5　 ； （2）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是（3a+2）米，（2a+5）米，乙菜地的两边长分别是5a米，（a+5）米，试比较这两块菜地的面积S甲和S乙的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝12cm，点M、N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以1cm/s的速度向C点运动；同时点N从C点出发以2cm/s的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒，请直接写出△MCN的面积最大值． 【分析】（1）（1）直接利用完全平方公式可得答案； （2）先求出S甲﹣S乙＝（a﹣3）2+1，再利用完全平方公式即可求解； （3）根据题意表示出S△MCN2t×（8﹣t）＝﹣t2+8t＝﹣（t﹣4）2+16，再利用完全平方公式即可求解． 【解答】解：（1）A＝x2+10x+20＝（x+5）2﹣5， ∵（x+5）2≥0， ∴A＝（x+5）2﹣5≥﹣5， 即A的最小值为﹣5； 故答案为：﹣5； （2）S甲＞S乙，理由如下： S甲＝（3a+2）（2a+5）＝6a2+19a+10，S乙＝5a（a+5）＝5a2+25a， ∴S甲﹣S乙＝（6a2+19a+10）﹣（5a2+25a）＝a2﹣6a+10＝（a﹣3）2+1， ∵（a﹣3）2≥0， ∴S甲﹣S乙＝（a﹣3）2+1≥1， ∴S甲＞S乙； （3）由题意得：CM＝8﹣t，CN＝2t， ∴S△MCN2t×（8﹣t）＝﹣t2+8t＝﹣（t﹣4）2+16， ∵（t﹣4）2≥0， ∴﹣（t﹣4）2≤0， ∴当t＝4时，S△MCN有最大值，最大值为16． 【点评】本题考查二次函数的性质，完全平方公式的几何背景，单项式乘多项式，灵活运用完全平方公式是解本题的关键． 23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，与x轴相交于A（﹣1，0）、B两点，且与y轴交于点C（0，﹣2）． （1）求抛物线的表达式； （2）如果点D是x轴正半轴上一点，∠ADC＝2∠ACO，且四边形AQCD是菱形，请直接写出点D和点Q的坐标（不需要说明理由）； （3）由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”；否则叫做“凹多边形”． 如果点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形ACBE是凹四边形（线段AE与线段BC不相交），求t的取值范围． 【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，﹣2）代入可解得b，c的值，即可得到抛物线的表达式为yx2x﹣2； （2）求出B（4，0），而A（﹣1，0），C（0，﹣2），可得AC2+BC2＝AB2，∠ACB＝90°，即得∠ACO＝∠CBO，而∠ADC＝2∠ACO，故∠ADC＝2∠OBC，可得∠DCB＝∠CBD，即可推得CD＝AD＝BD，D为AB的中点，从而D的坐标为（，0），由菱形性质，平移性质得Q的坐标为（，﹣2）； （3）由 可得抛物线的对称轴为直线，求出直线BC的解析式为，直线BC与对称轴的交点F坐标为（，），直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2，直线AC与抛物线对称轴的交点M坐标为（，﹣5），由图可得t＜0或t＜﹣5． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，﹣2）代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为yx2x﹣2； （2）如图： 在中，令y＝0得， 解得：x1＝﹣1，x2＝4， ∴B（4，0）， ∵A（﹣1，0），C（0，﹣2）， ∴AB＝5，，， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACO+∠BCO＝90°， ∵∠CBO+∠BCO＝90°， ∴∠ACO＝∠CBO， ∵∠ADC＝2∠ACO， ∴∠ADC＝2∠OBC， ∴∠ADC＝∠DCB+∠CBD＝2∠OBC， ∴∠DCB＝∠CBD， ∴∠DCB＝∠ACO，CD＝BD，∠DCB+∠DCA＝∠ACO+∠OAC＝90°， ∴∠DCA＝∠OAC， ∴CD＝AD＝BD， ∴D为AB的中点， ∴D的坐标为（，0）， ∵四边形AQCD是菱形， ∴AQ∥CD， ∵把点C先向右平移 个单位，再向上平移2个单位得到点D， ∴把点Q先向右平移个单位，再向上平移2个单位得到点A， ∴Q的坐标为（，﹣2）； （3）如图： 由 可得抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线对称轴与x轴的交点D坐标为（，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx﹣2，把B（4，0）代入得：0＝4k﹣2， 解得：， ∴直线BC的解析式为， 当时，， ∴直线BC与对称轴的交点F坐标为（，）， 同法可得直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2，直线AC与抛物线对称轴的交点M坐标为（，﹣5）， ∵点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形ACBE是凹四边形， ∴当点E在D，F之间或点E在点M下方时，满足题意， ∴t＜0或t＜﹣5． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形性质及应用，菱形性质及应用，凹四边形等知识，解题的关键是画出图形，运用数形结合思想解决问题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/6 16:29:59；用户：夏老师；邮箱：15361225968；学号：65446526 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $