第2章 圆与方程全章高频重点题型突破（专项训练）数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 以“基础-核心”双模块构建圆与方程知识网络，通过分层题型实现从概念应用到综合创新的能力进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|10题型（如求圆的方程、位置关系判断）|聚焦概念辨析与基本技能，覆盖圆的方程、点线圆位置关系等高频考点|从圆的定义出发，通过方程形式（标准/一般）→位置关系（点/线/圆）→简单应用（对称、弦长），形成递进式认知链| |核心提升|4题型（如轨迹问题、阿波罗尼斯圆）|突出数学思维与创新应用，涉及数形结合、动态范围等重难问题|深化基础内容，通过轨迹构建、几何模型（阿氏圆）、最值探究，培养几何直观与逻辑推理能力，体现知识迁移价值|

第2章 圆与方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型一：求圆的方程 题型二：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 题型三：点与圆的位置关系判断 题型四：与圆有关的对称问题 题型五：直线与圆的位置关系的判断 题型六：弦长与面积问题 题型七：切线问题、切线长问题 题型八：圆上的点到直线距离个数问题 题型九：圆与圆的位置关系 题型十：两圆的公共弦问题 核心提升：重难题型归纳 题型一：与圆有关的轨迹问题 题型二：数形结合思想的应用 题型三：阿波罗尼斯圆 题型四：圆中范围与最值问题 题型专练：高频重难特训 题型一：求圆的方程 1．（2026·高二·浙江杭州·期中）已知点，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·重庆渝中·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高二·四川成都·期中）过点的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．过原点且在轴，轴上截距分别为和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 题型二：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 5．（2026·高二·重庆荣昌·阶段检测）方程表示的曲线是（     ） A．左半圆 B．右半圆 C．下半圆 D．单位圆 6．（2026·高二·河北邢台·阶段检测）已知表示圆，则实数的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 7．（2026·高二·福建漳州·期中）若方程表示圆，则（   ） A．1 B． C． D．或1 8．（2026·高二·吉林通化·期中）若方程表示一个圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三：点与圆的位置关系判断 9．（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）已知点在圆的外部，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 10．（2026·高二·山西·阶段检测）若点在圆：的外部，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·高二·江苏常州·阶段检测）已知点是圆外的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（2026·高二·江西·阶段检测）若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（   ） A．5 B．1 C． D． 题型四：与圆有关的对称问题 13．（2026·高二·江西抚州·阶段检测）直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 14．（2026·高二·浙江·阶段检测）已知圆关于直线对称，则（   ） A．4 B． C．2 D． 15．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知圆关于直线为大于0的常数对称，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 16．（2026·高一·广西河池·阶段检测）已知圆C的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．圆C关于直线对称 B．圆C的圆心在x轴上，且过原点 C．圆C关于直线对称 D．圆C的圆心在y轴上，且过原点 题型五：直线与圆的位置关系的判断 17．（2026·山东聊城·模拟预测）已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 18．（2026·北京大兴·三模）已知直线：与圆：，则（    ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 19．（2026·高二·山东潍坊·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a的取值有关 20．（2026·高二·广东湛江·期中）直线l：与圆C：的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 题型六：弦长与面积问题 21．（2026·天津南开·模拟预测）若斜率为1的直线，被圆截得的弦长为，则该直线方程为____________． 22．（2026·高二·上海闵行·期中）已知圆的方程为，直线的方程为.若直线与圆相交所得弦长，则________. 23．（2026·浙江·三模）过原点的直线与圆交于、两点，若三角形的面积为，则直线的方程为_____. 24．（2026·高二·天津武清·期中）已知直线与 交于A，B两点，写出满足的面积为的实数m的一个值____________. 题型七：切线问题、切线长问题 25．（2026·高二·云南昆明·阶段检测）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则___________． 26．（2026·高二·天津·阶段检测）已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆被直线截得的弦长为_____. 27．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知圆，过点作圆的切线，则的方程为________. 28．（2026·高二·安徽合肥·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是______. 题型八：圆上的点到直线距离个数问题 29．（2026·高二·辽宁丹东·期末）若圆上到直线的距离为2的点有且仅有2个，则实数m的取值范围为________． 30．（2026·高二·山东·阶段检测）若圆上到直线（为实数）的距离为1的点有且仅有2个，则实数的取值范围是__________. 31．（2026·高二·江苏宿迁·期中）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则的取值范围为____________. 32．（2026·高二·广东佛山·阶段检测）若圆上恰有4个点到直线的距离为2，则的取值范围为________. 题型九：圆与圆的位置关系 33．（2026·高二·辽宁铁岭·期末）圆：与圆：的公切线条数为________. 34．（2026·高二·湖南衡阳·开学考试）若圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为___________. 35．（2026·高二·上海杨浦·期中）已知圆与圆内切，则实数______． 36．（2026·高二·辽宁抚顺·开学考试）若圆与圆 外切，则_____________. 题型十：两圆的公共弦问题 37．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）圆：与圆：相交于、两点，则_________． 38．圆与圆相交所得公共弦长为__________． 39．（2026·高二·陕西汉中·期中）若圆与圆交于两点，则直线的方程为______. 40．（2026·高二·天津滨海新区·期中）已知圆与圆相交于点、． ①若，则公共弦所在直线方程为_________． ②若弦长，则_________． 题型一：与圆有关的轨迹问题 41．（2026·高二·广东惠州·期末）已知圆经过点，圆心在直线：上，圆被直线：截得的弦长为， (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆关于直线：对称，过原点的直线交圆于，两点，求弦中点的轨迹方程. 42．（2026·高二·福建厦门·期末）已知圆：，直线过点. (1)当与圆相切时，求的方程； (2)设线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程，并说明动点的轨迹 43．（2026·高二·浙江·期末）已知直线与圆交于两点． (1)求弦长的取值范围； (2)求面积的最大值，并求此时的值； (3)若圆在点处的两条切线交于点，求点的轨迹方程． 44．（2026·高二·四川内江·阶段检测）动圆与直线交于两点. (1)证明动圆必过两定点；并求. (2)当时，过原点O的直线与圆C交于不同两点，且直线不过C圆心.过分别作圆C的切线，求证：在一条定直线上. (3)是否存在轨迹，在上任取点，无论为何值，都有为常数，若存在，求出轨迹方程；若不存在，请说明理由. 题型二：数形结合思想的应用 45．（2026·高二·江苏常州·期末）若直线与曲线恰好有一个公共点，则实数的取值范围为______． 46．（2026·高二·四川成都·期中）已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是________. 47．（2026·高二·云南大理·期末）过直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为A，B，当最大时，四边形的面积为________. 48．（2026·高二·北京·期末）已知直线与交于两点， （1）时，______； （2）若在圆上或其内部存在一点，使得，则的取值范围为______． 题型三：阿波罗尼斯圆 49．（2026·高二·湖北武汉·开学考试）阿波罗尼斯（约公元前262-公元前190年）证明过这样的一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为4，动点P满足，当P，A，B不共线时，面积的最大值是______． 50．（2026·高二·四川内江·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.书中介绍到：平面内两个定点及动点，若且，则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.现已知点为圆上一动点，为圆上一动点，点，点，则的最小值为__________. 51．（2026·高二·海南·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比这定值（且）的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点到两个定点的距离之比为2，则点的轨迹方程为___________，的取值范围为______________. 52．（2026·高二·河南·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，为直线：上的动点，为圆：上的动点，则的最小值为_____. 题型四：圆中范围与最值问题 53．已知实数，满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； 54．已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 55．（2026·高二·浙江·期中）已知圆：，圆的圆心在直线上，两圆的公共弦所在的直线方程为． (1)求公共弦的长度； (2)求圆的方程； (3)过点分别作直线，交圆于，，，四点，且，求四边形面积的最大值与最小值． 56．（2026·高二·江苏淮安·阶段检测）已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程； (2)若是圆上任意一点，求的取值范围； (3)求的范围. 1．（2026·高二·广东深圳·期中）如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 2．（河北衡水中学2026届高三一调考试数学试题）数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西榆林·三模）已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 4．（2026·高三·云南楚雄·阶段检测）已知点在曲线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·浙江·期中）已知是圆上的动点，，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026·高二·河南平顶山·期中）已知直线与圆：相交于，两点，其中点为此圆的圆心，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·高二·上海·期中）已知为坐标原点，为圆的一条弦，弦绕点旋转一周扫过的区域为.若点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·陕西延安·三模）“太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图所示，将“太极图”放在平面直角坐标系中，图中所有曲线均为圆或半圆，其中最大的圆半径为2.已知点是阴影区域(含边界)上的一个动点，则的值不可能是（    ） A．0 B．6 C．8 D．10 9．（多选题）（2026·高二·广西河池·期末）下列选项正确的是（    ） A．直线（）恒过定点 B．直线的倾斜角为 C．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 D．圆被直线截得的弦长为2，则或 10．（多选题）（2026·高二·广东·期末）已知的顶点坐标分别为，，，为的中点，且圆的方程为：，则（   ） A．过作圆的切线，切点为，则的最小值为 B．若直线被圆截得的弦长为2，则 C．存在，使圆上有三个点到直线的距离都为1 D．若圆上有且只有两个点到直线的距离都为2，则或 11．（多选题）（2026·高二·四川泸州·期末）已知直线，圆，则（   ） A．过定点 B．与圆C总有两个不同的公共点 C．存在实数，使圆关于对称 D．被圆C截得弦长的最小值为 12．已知实数满足，则的取值范围是______． 13．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知是圆上的一个动点，则的取值范围为__________. 14．（2026·高三·上海浦东新·期中）已知，圆O是圆心在原点的单位圆，弦AB平行于x轴，并将圆分为两段弧．将其中一段劣弧沿弦AB翻折后恰好经过圆心．若直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，则实数m的取值范围为________． 15．（2026·高二·安徽滁州·期末）已知圆过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)求过圆心且在轴，轴上截距相等的直线的方程； (3)若直线的横截距为，纵截距为，且直线被圆截得的弦长为，求的最小值. 16．（2026·高二·山东济宁·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)直线与圆相交于两点，且，求的值． 17．（2026·高二·湖北武汉·开学考试）已知圆C：，P是直线l：上的一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B． (1)当点P的横坐标为6时，求切线的方程； (2)当点P在直线l上运动时且点P的横坐标，求四边形PACB面积的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 圆与方程全章高频重点题型突破参考答案 题型一：求圆的方程 1．【答案】C 【解析】点，则以线段为直径的圆的圆心为，半径， 所以所求圆的方程为. 2．【答案】B 【解析】设圆的标准方程为， 由题意得， 解得， 故圆的方程为， 故选：B 3．【答案】C 【解析】设圆的方程为，代入可得： ，即， 解得，所以所求圆的标准方程为. 故选：C 4．【答案】B 【解析】设圆的一般方程为， 由题意可知，圆经过三点，则，解得， 所以圆的方程为，即，故B正确. 题型二：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 5．【答案】A 【解析】对两边平方整理得， 所以方程表示圆心为坐标原点，半径为的圆在轴及左侧的部分，即左半圆，A选项满足. 故选：A 6．【答案】D 【解析】因为表示圆，所以，解得或， 即实数的取值范围是. 故选:D. 7．【答案】A 【解析】由题意可得，化简可得，则，解得或， 当时，可得方程， 整理可得，显然不合题意； 当时，可得，整理可得，符合题意. 故选：A. 8．【答案】D 【解析】若方程表示一个圆，则， 方程可化为， 所以，解得，且不等于0， 所以或. 故选：D 题型三：点与圆的位置关系判断 9．【答案】B 【解析】由圆方程必须满足： ，解得：， 由点在圆的外部得: , 解得：或， 综上可得的取值范围是， 故选：B. 10．【答案】D 【解析】根据题意可得解得或. 故选：D 11．【答案】D 【解析】由题意得且，解得. 故选：D 12．【答案】C 【解析】因为点在圆C：的外部， 所以，解得， 又方程表示圆，则，即， 所以，结合选项可知，m的取值可以为. 故选：C 题型四：与圆有关的对称问题 13．【答案】D 【解析】圆的圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过点，所以，解得． 故选：D． 14．【答案】A 【解析】由题意得：圆的标准方程为,故圆心为, 由于圆关于直线对称， 即直线过圆的圆心，所以且，解得，故A正确. 故选：A. 15．【答案】A 【解析】因为圆的圆心为，且圆关于直线为大于0的常数对称， 所以直线过圆心， 所以，又， 所以即当取最大值为， 故选：A. 16．【答案】C 【解析】因为圆C的方程为，即， 所以圆心坐标为，半径， 对A：圆C的圆心不在直线上，所以圆C不关于直线对称，故选项A错误； 对B：圆C的圆心不在x轴上，但圆C过原点，故选项B错误； 对C：圆C的圆心在直线上，所以圆C关于直线对称，故选项C正确； 对D：圆C的圆心不在y轴上，但圆C过原点，故选项D错误； 故选：C. 题型五：直线与圆的位置关系的判断 17．【答案】A 【解析】圆C：的圆心为，半径为， 圆心到：的距离 ， 则圆C与相交，故A正确.. 18．【答案】C 【解析】已知圆：，则圆心为，半径为， 圆心到直线的距离，即直线经过圆心. 故选：C. 19．【答案】A 【解析】由知直线过，而点在圆内，所以直线与圆相交. 故选：A. 20．【答案】A 【解析】由题，圆的圆心，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以圆与直线相交. 故选：A. 题型六：弦长与面积问题 21．【答案】或 【解析】设直线方程为，圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 由垂径定理得或， 所以直线方程为或． 22．【答案】或 【解析】由，得， 所以圆的圆心为，半径为. 若直线与圆相交所得弦长，则圆心到直线的距离为. 所以，化简得，解得或. 23．【答案】 【解析】圆的半径为，圆心为， 则， 所以，此时圆心到直线的距离为， 若直线与轴重合，则圆心到直线的距离为，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得，故直线的方程为. 故答案为：. 24．【答案】（任意一个也对） 【解析】的圆心为，半径为， 则圆心到的距离为， 则， 故，解得或， 当时，，解得， 当时，，解得， 故或 故答案为：（任意一个也对） 题型七：切线问题、切线长问题 25．【答案】 【解析】如图： 点关于轴的对称点为， 直线的方程为，即， 由题意可知，反射光线即为直线， 则直线与圆相切， 且圆心为，半径为1， 可得，解得． 故答案为： 26．【答案】4 【解析】因为圆与直线相切， 所以圆的半径为， 而圆心到直线的距离为， 所以圆被直线截得的弦长为. 故答案为：4. 27．【答案】或 【解析】因为圆的方程可以化为，所以其圆心为，半径为， 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 所以有，解得，所以切线的方程是或， 当切线斜率不存在时，，此时圆心到直线距离为5，不与圆相切，. 所以的方程为或. 28．【答案】 【解析】如图所示，根据题意，设的坐标为， 圆的圆心为，则，为圆的切线， 则有， 又由，则有，即， 变形可得：，即在直线上， 则的最小值即为点到直线的距离， 且，即的最小值是， 故答案为：. 题型八：圆上的点到直线距离个数问题 29．【答案】 【解析】设圆到直线的距离为， 因为圆的半径为， 圆上到直线的距离为2的点有且仅有2个， 所以， 则有， 由， 由，或，解得，或， 所以，或， 所以实数m的取值范围为. 故答案为： 30．【答案】 【解析】由题意可知，点到直线的距离， 即，得或， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 31．【答案】 【解析】圆心到直线的距离，又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有个， 所以，即，解得. 故答案为： 32．【答案】 【解析】由圆，可得圆心，半径为， 如图所示，过圆心作直线的垂线，垂足为，交圆于点， 要使得圆上有4个点到直线的距离为，则满足， 又由圆心到直线的距离为， 可得，解答，即实数的取值范围是. 故答案为：. 题型九：圆与圆的位置关系 33．【答案】0 【解析】由题意可知两圆的圆心坐标分别为，，两圆的半径分别为4，10， 由于，所以两圆内含，其公切线条数为0. 故答案为：0. 34．【答案】 【解析】由已知得，半径，，半径. 因为，两圆没有公共点， 所以两圆的位置关系为外离或内含， 所以或， 即或， 所以或，即或或. 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 35．【答案】 【解析】，故圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为2， 因为两圆内切，所以两圆圆心距离为两半径之差，故，解得. 故答案为： 36．【答案】 【解析】由已知，圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 因为圆与圆外切，所以，解得. 故答案为：. 题型十：两圆的公共弦问题 37．【答案】4 【解析】由圆：与圆：， 两圆相减得公共弦所在直线方程为：， 有圆：，可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：4. 38．【答案】 【解析】记圆，圆， 两个方程作差可得，， 所以两圆公共弦所在直线方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为：. 39．【答案】 【解析】联立方程，消去二次项整理得， 所以直线的方程为. 故答案： 40．【答案】 或0 【解析】①若，则圆：，圆：， 两个方程相减得， 化简并整理得公共弦所在直线方程为， ②若弦长， 而两圆方程相减得，化简并整理得公共弦所在直线方程为， 则到直线的距离为：， 则，解得：，或， 故答案为：；或0. 题型一：与圆有关的轨迹问题 41．【解析】（1）设圆心，圆心到的距离， 由题意易知半径为， 因为圆经过点， 所以，解得，即， 则圆的标准方程为. （2）设圆心关于的对称点为， 则，解得，则， 因为过原点的直线交圆于，两点，弦中点为， 当点与点都不重合时，，则在以为直径的圆上， 显然点在此圆上，因此此圆的圆心为，即， 此圆的半径为， 则轨迹方程为，即. 42．【解析】（1）已知圆的圆心是，半径是2， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 故直线的方程为. 综上，直线的方程为或. （2）（解法1）设点，，则由点是线段的中点得， 所以①， 因为点在圆上运动，所以②， 将①代入②得， 化简得点的轨迹方程是. 所以点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆. （解法2）连接，，取中点，连接， 因为为中点，所以， 因为，所以， 所以动点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 所以动点的轨迹方程为 43．【解析】（1）依题意，直线过定点， 圆的圆心，半径， 因为，所以点在圆内， 圆心到直线距离的取值范围为， 而， 所以弦长的取值范围为. （2）在中，由余弦定理得， 而，则，， 因此的面积，当且仅当时取等号， 而直线的斜率为，则直线的斜率为，即， 所以面积的最大值，此时. （3）设点，而点共圆，则以线段直径的圆方程为： ，即， 把以线段直径的圆方程与圆的方程相减得直线的方程， 又直线过定点，于是， 所以点的轨迹方程为. 44．【解析】（1） 证明：因为方程为，即， 由，解得或，则动圆C恒过两定点的坐标为或； 易知圆C的圆心坐标为，圆C的半径为， 所以圆C的圆心到直线的距离为， 此时两点间的距离， 整理得，设，其对称轴为， 所以，则. （2） 此时C：，设， 易计算：过D点的切线方程为， 同理过E的切线方程为， 因为，故，. 所以在直线上，即直线DE为. 又因为，故，即，所以F在定直线上. （3）存在，， 设，联立， 并整理得，由题意可得，由韦达定理得， 设，此时， 所以， 即， 因为，所以， 整理得， 因为无论为何值，都有为常数， 令为常数. 故存在定直线，即，其上任意点K满足条件. 题型二：数形结合思想的应用 45．【答案】 【解析】直线过定点， 曲线为以为圆心，1为半径，且位于轴上部分的半圆， 当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点，即，解得， 当直线与曲线相切时，直线与圆有一个交点， 圆心到直线的距离，解得， 结合图象可知，当或时，直线与曲线恰有一个交点， 所以，实数的取值范围为. 46．【答案】 【解析】由题意，将已知转化为直线与曲线有两个不同的交点， 直线过定点，曲线表示圆心为原点，半径为2的圆的上半部分（包括与轴的交点）， 画出图形如下图所示． 当直线，即直线与圆相切时， 则有，解得，． 结合图形可得当直线与圆有两个不同的交点时，则有， ∴实数的取值范围是． 故答案为：． 47．【答案】 【解析】 圆的标准方程为：， 其圆心到直线的距离为，故直线与圆相离. 连接，在Rt中，， 则当的长度最小时，最大，此时最大. 而的最小值即为圆心到直线的距离，即，此时切线长， 由于Rt， 故四边形的面积， 故答案为：. 48．【答案】 ； 【解析】（1）当时，， 所以圆的圆心坐标为，半径为. 圆心到直线的距离为 . 所以弦长 （2）由，得圆的圆心坐标为,半径为. 由在圆上或其内部存在一点，使得，需使得以为弦的圆心角， 所以圆心到直线的距离为, 即，解得，即或. 且直线与交于两点， 所以，解得 故实数的取值范围为. 故答案为：；. 题型三：阿波罗尼斯圆 49．【答案】 【解析】由题意得A，B间的距离为4，不妨设， 因为P，A，B不共线，故设， 因为，则，即， 整理得， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆除去与轴的交点， 当点到（轴）的距离最大为时，的面积最大， 此时. 50．【答案】9 【解析】由为圆上一动点，得，， 又，. 因为，，所以，于是. 当共线且时取得最小值，即. 所以，当共线时等号成立. 故答案为：9. 51．【答案】 【解析】由题意可知，， ，整理为， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 即点的轨迹方程为： 表示圆上的点与定点连线的斜率， 设，即，如图可知，直线与圆有交点， 则，解得：. 故答案为：； 52．【答案】 【解析】令，则， 依题意，圆是由点，确定的阿波罗尼斯圆，且， 设点坐标为，则， 整理得，而该圆的方程为， 则，解得，点的坐标为， 因此，当时，最小，最小值为， 所以当时，的值最小为. 故答案为： 题型四：圆中范围与最值问题 53．【解析】（1）方程表示以点为圆心，以为半径的圆． 可理解为圆上一点与原点间的斜率， 设，即，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得． 或． 的最大值为，最小值为． （2）， 可理解为圆上的一点与点距离的平方， 又圆心到点的距离为， 所以的最大值是， 最小值是． 54．【解析】（1）表示圆上的点与点连线的斜率， 设为，圆心，则过点的圆的切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，求得， 故的最大值为，最小值为． （2）令，即，表示斜率为、在轴上的截距为的直线， 故当此直线和圆相切时，取最值． 圆心到直线的距离为半径， 可得，求得，或， 故的最大值为，的最小值为． （3）与的距离为， 所以的最大值为，最小值为． 55．【解析】（1）已知圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 所以， 所以公共弦的长度为4； （2）由题意可知，两圆圆心所在的直线垂直平分公共弦AB， 因为公共弦所在的直线方程为， 所以可设直线的方程为， 将圆心代入上式，可得，所以直线的方程为. 又由圆的圆心在直线上， 联立方程组，解得，所以圆心. 则圆心到直线的距离， 说明直线过圆心，公共弦就是圆的直径， 所以圆的半径， 所以圆的方程为； （3） 设圆心到直线的距离为，到直线的距离为, 因为，，所以. 因为，所以， 所以由垂径定理可得，. 所以四边形面积 ， 将代入上式可得 ， 因为，且.令，则， 所以. 所以当时，取到最大值； 当或时，取到最小值， 所以四边形面积的最大值为6，最小值为. 56．【解析】（1）设圆心为，由题有，解得， 所以圆的标准方程为. （2）因为表示与距离的平方， 由（1）知，则， 所以，则， 所以的取值范围为. （3）令， 则，其中， 所以. 1．【答案】D 【解析】中，解得， 由题意可得设过原点的直线的斜率为，即直线方程为， 同一坐标系内画出草图， 由图可得当直线与圆相切时，斜率最小或最大，圆心为，半径为， 则，解得或， 所以的最小值是. 2．【答案】B 【解析】已知，，，由中点坐标公式可得： 中点，中点，中点， 设的九点圆方程为， 则，解得， 所以的九点圆方程为， 由圆心为，半径可得： 圆心，半径， 即． 3．【答案】C 【解析】由题意知，圆的圆心在直线上，则，解得， 所以圆的标准方程为，圆心为，半径为1. 又圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为圆与外切，所以，解得. 4．【答案】B 【解析】由，得，所以曲线是以点为圆心，2为半径的圆去掉轴下面的部分. 到直线的距离为，所以表示点到直线的距离的5倍. 又点到直线的距离为，所以点到直线的距离的最小值为； 过圆心作直线的垂线与半圆的交点中，远离直线的那个交点不在上半圆上，因此最大值只能出现在半圆端点， 所以当点与点重合时到直线0的距离最大，最大距离为，所以点到直线的距离的最大值为， 故的取值范围为. 5．【答案】C 【解析】如图，取线段的中点，连接，则， 由图知，当且仅当且(三点共线且点在线段上)时， 点到直线的距离与点到直线的距离之差的绝对值取得最大值， 即的最小值为，故此时取得最小值为. 6．【答案】B 【解析】将圆的方程化为标准形式：，则圆心为，半径为， 过作，垂足为， 则，所以， 在中，， 所以. 7．【答案】A 【解析】设圆心到弦的距离为，圆半径， 弦绕点旋转一周时，上所有点到点的距离范围是， 所以扫过的区域是内半径为，外半径为的圆环区域， 又点，其到原点的距离为，则， 所以， 又. 8．【答案】D 【解析】由于， 设，即表示阴影区域(含边界)上的点P和点之间的距离， 则； 当P在半圆上时，的最小值为； 当P在x轴下方的阴影区域（包含边界）时， 的最小值为和或之间的距离，为， 而，即的最小值为； 当P在第二象限的阴影区域（包含边界）时，圆弧所在圆的方程为， 的最大值为； 故的最小值为，最大值为 结合可知的值不可能是10. 9．【答案】BCD 【解析】对于A，由，， 联立，解得，， 所以定点为，不是，A错误； 对于B，由，得， 斜率，倾斜角，，得，B正确； 对于C，圆，圆心，半径， 圆心到直线距离， 到直线距离为的点，即与已知直线平行、距离1的两条平行线与圆交点： 一条在圆心外侧，距圆心，无交点； 一条朝向圆心，距圆心，过圆心，与圆交于个点； 因此圆上只有2个点满足条件，C正确； 对于D，圆，圆心，半径，弦长， 弦长公式：，即， 圆心到直线距离， 解得或， D正确． 10．【答案】ABD 【解析】由题意，在圆中，，半径， 对于A选项，过作圆的切线，切点为， 所以，在中，由勾股定理得， 所以当时，取最小值，，故A正确； 对于B选项，由中点为，则，所以直线的方程为， 又直线被圆截得的弦长为2，恰好为圆的直径，所以直线过圆心， 所以，即，B正确； 对于C选项，圆上有三个点到直线距离等于，由于圆半径是，这等价于圆与两条距离直线为的平行线有三个交点，则两平行直线的距离为2，不可能有一条直线有两个交点，一条直线有一个交点，所以不存在满足题意，故C错误； 对于D选项，因为圆上有且只有两个点到直线的距离都为2， 所以圆心到直线即的距离大于1小于3． 即，解得：或，故D正确． 11．【答案】ABD 【解析】对于A，直线过定点，A正确； 对于B，点在圆内，与圆C总有两个不同的公共点，B正确； 对于C，圆的圆心不满足方程，因此不存在实数，使圆关于对称，C错误； 对于D，，圆半径，当时，被圆C截得的弦长取得最小值，该最小值为，D正确. 12．【答案】 【解析】，记，表示上的点到直线上的距离， 如下图所示，的最大值、最小值分别在点，处取得，原点到直线的距离为， ，， ． 13．【答案】 【解析】由题意可得：圆：， 圆心，半径， 表示圆上的点到原点之间的距离， 因为， 所以原点在圆外， ， 所以，即， 即. 14．【答案】 【解析】根据题意可知优弧所在的圆方程为，劣弧所在的圆方程为， 因为直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点， 所以直线与优弧和劣弧各有两个不同的交点， 所以，解得， 又直线经过点时，， 所以要使直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点， m的取值范围为 15．【解析】（1）由题意知，圆心在直线上，故设圆心为， 因为点在圆上，所以， 即，解得， 所以圆心，半径，即圆的标准方程为. （2）由题意知，直线斜率存在且圆心，设直线的方程为，令，解得，令，解得， 因为直线过圆心且在轴，轴上截距相等，所以，解得 当时，直线，此时轴，轴上截距为0，符合题意； 当时，直线，此时轴，轴上截距为2，符合题意. 综上，直线的方程为或. （3）因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离为. 又直线的横截距为，纵截距为， 则直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，整理可得， 由，得，即， 解得或， 因为，所以，则，故， 当且仅当时，即时，等号成立， 故的最小值为. 16．【解析】（1）方法1：设所求方程为，则 ，解得， 所以圆的方程是． 方法2：由，则线段的中点为， 直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即． 联立，解得， 所以圆心，圆的半径， 所以圆的方程是． （2）圆心到直线的距离， 所以， 解得或． 17．【解析】（1）圆的圆心C为，半径为2， 因为P是直线上的一动点，则当点P的横坐标为6时，P点坐标为， 当切线的斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得， 此时切线方程为，即， 综上，所求的切线方程为或； （2）， 则要使四边形PACB面积的最小值，只需的值最小， 因为点P在直线上， 所以的最小值为圆心C到直线l的距离， 所以， 此时，解得， 即此时点P符合要求； 由，则当或时，取得最大值， 若，则， 若，则， 故，即， 所以四边形PACB面积的最小值为， 最大值为， 即四边形PACB面积的取值范围为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 圆与方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型一：求圆的方程 题型二：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 题型三：点与圆的位置关系判断 题型四：与圆有关的对称问题 题型五：直线与圆的位置关系的判断 题型六：弦长与面积问题 题型七：切线问题、切线长问题 题型八：圆上的点到直线距离个数问题 题型九：圆与圆的位置关系 题型十：两圆的公共弦问题 核心提升：重难题型归纳 题型一：与圆有关的轨迹问题 题型二：数形结合思想的应用 题型三：阿波罗尼斯圆 题型四：圆中范围与最值问题 题型专练：高频重难特训 题型一：求圆的方程 1．（2026·高二·浙江杭州·期中）已知点，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点，则以线段为直径的圆的圆心为，半径， 所以所求圆的方程为. 2．（2026·高二·重庆渝中·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆的标准方程为， 由题意得， 解得， 故圆的方程为， 故选：B 3．（2026·高二·四川成都·期中）过点的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆的方程为，代入可得： ，即， 解得，所以所求圆的标准方程为. 故选：C 4．过原点且在轴，轴上截距分别为和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆的一般方程为， 由题意可知，圆经过三点，则，解得， 所以圆的方程为，即，故B正确. 题型二：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 5．（2026·高二·重庆荣昌·阶段检测）方程表示的曲线是（     ） A．左半圆 B．右半圆 C．下半圆 D．单位圆 【答案】A 【解析】对两边平方整理得， 所以方程表示圆心为坐标原点，半径为的圆在轴及左侧的部分，即左半圆，A选项满足. 故选：A 6．（2026·高二·河北邢台·阶段检测）已知表示圆，则实数的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为表示圆，所以，解得或， 即实数的取值范围是. 故选:D. 7．（2026·高二·福建漳州·期中）若方程表示圆，则（   ） A．1 B． C． D．或1 【答案】A 【解析】由题意可得，化简可得，则，解得或， 当时，可得方程， 整理可得，显然不合题意； 当时，可得，整理可得，符合题意. 故选：A. 8．（2026·高二·吉林通化·期中）若方程表示一个圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若方程表示一个圆，则， 方程可化为， 所以，解得，且不等于0， 所以或. 故选：D 题型三：点与圆的位置关系判断 9．（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）已知点在圆的外部，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【解析】由圆方程必须满足： ，解得：， 由点在圆的外部得: , 解得：或， 综上可得的取值范围是， 故选：B. 10．（2026·高二·山西·阶段检测）若点在圆：的外部，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可得解得或. 故选：D 11．（2026·高二·江苏常州·阶段检测）已知点是圆外的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得且，解得. 故选：D 12．（2026·高二·江西·阶段检测）若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】因为点在圆C：的外部， 所以，解得， 又方程表示圆，则，即， 所以，结合选项可知，m的取值可以为. 故选：C 题型四：与圆有关的对称问题 13．（2026·高二·江西抚州·阶段检测）直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】圆的圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过点，所以，解得． 故选：D． 14．（2026·高二·浙江·阶段检测）已知圆关于直线对称，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由题意得：圆的标准方程为,故圆心为, 由于圆关于直线对称， 即直线过圆的圆心，所以且，解得，故A正确. 故选：A. 15．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知圆关于直线为大于0的常数对称，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为圆的圆心为，且圆关于直线为大于0的常数对称， 所以直线过圆心， 所以，又， 所以即当取最大值为， 故选：A. 16．（2026·高一·广西河池·阶段检测）已知圆C的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．圆C关于直线对称 B．圆C的圆心在x轴上，且过原点 C．圆C关于直线对称 D．圆C的圆心在y轴上，且过原点 【答案】C 【解析】因为圆C的方程为，即， 所以圆心坐标为，半径， 对A：圆C的圆心不在直线上，所以圆C不关于直线对称，故选项A错误； 对B：圆C的圆心不在x轴上，但圆C过原点，故选项B错误； 对C：圆C的圆心在直线上，所以圆C关于直线对称，故选项C正确； 对D：圆C的圆心不在y轴上，但圆C过原点，故选项D错误； 故选：C. 题型五：直线与圆的位置关系的判断 17．（2026·山东聊城·模拟预测）已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】A 【解析】圆C：的圆心为，半径为， 圆心到：的距离 ， 则圆C与相交，故A正确.. 18．（2026·北京大兴·三模）已知直线：与圆：，则（    ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 【答案】C 【解析】已知圆：，则圆心为，半径为， 圆心到直线的距离，即直线经过圆心. 故选：C. 19．（2026·高二·山东潍坊·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a的取值有关 【答案】A 【解析】由知直线过，而点在圆内，所以直线与圆相交. 故选：A. 20．（2026·高二·广东湛江·期中）直线l：与圆C：的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】A 【解析】由题，圆的圆心，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以圆与直线相交. 故选：A. 题型六：弦长与面积问题 21．（2026·天津南开·模拟预测）若斜率为1的直线，被圆截得的弦长为，则该直线方程为____________． 【答案】或 【解析】设直线方程为，圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 由垂径定理得或， 所以直线方程为或． 22．（2026·高二·上海闵行·期中）已知圆的方程为，直线的方程为.若直线与圆相交所得弦长，则________. 【答案】或 【解析】由，得， 所以圆的圆心为，半径为. 若直线与圆相交所得弦长，则圆心到直线的距离为. 所以，化简得，解得或. 23．（2026·浙江·三模）过原点的直线与圆交于、两点，若三角形的面积为，则直线的方程为_____. 【答案】 【解析】圆的半径为，圆心为， 则， 所以，此时圆心到直线的距离为， 若直线与轴重合，则圆心到直线的距离为，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得，故直线的方程为. 故答案为：. 24．（2026·高二·天津武清·期中）已知直线与 交于A，B两点，写出满足的面积为的实数m的一个值____________. 【答案】（任意一个也对） 【解析】的圆心为，半径为， 则圆心到的距离为， 则， 故，解得或， 当时，，解得， 当时，，解得， 故或 故答案为：（任意一个也对） 题型七：切线问题、切线长问题 25．（2026·高二·云南昆明·阶段检测）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则___________． 【答案】 【解析】如图： 点关于轴的对称点为， 直线的方程为，即， 由题意可知，反射光线即为直线， 则直线与圆相切， 且圆心为，半径为1， 可得，解得． 故答案为： 26．（2026·高二·天津·阶段检测）已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆被直线截得的弦长为_____. 【答案】4 【解析】因为圆与直线相切， 所以圆的半径为， 而圆心到直线的距离为， 所以圆被直线截得的弦长为. 故答案为：4. 27．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知圆，过点作圆的切线，则的方程为________. 【答案】或 【解析】因为圆的方程可以化为，所以其圆心为，半径为， 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 所以有，解得，所以切线的方程是或， 当切线斜率不存在时，，此时圆心到直线距离为5，不与圆相切，. 所以的方程为或. 28．（2026·高二·安徽合肥·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是______. 【答案】 【解析】如图所示，根据题意，设的坐标为， 圆的圆心为，则，为圆的切线， 则有， 又由，则有，即， 变形可得：，即在直线上， 则的最小值即为点到直线的距离， 且，即的最小值是， 故答案为：. 题型八：圆上的点到直线距离个数问题 29．（2026·高二·辽宁丹东·期末）若圆上到直线的距离为2的点有且仅有2个，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【解析】设圆到直线的距离为， 因为圆的半径为， 圆上到直线的距离为2的点有且仅有2个， 所以， 则有， 由， 由，或，解得，或， 所以，或， 所以实数m的取值范围为. 故答案为： 30．（2026·高二·山东·阶段检测）若圆上到直线（为实数）的距离为1的点有且仅有2个，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】由题意可知，点到直线的距离， 即，得或， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 31．（2026·高二·江苏宿迁·期中）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则的取值范围为____________. 【答案】 【解析】圆心到直线的距离，又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有个， 所以，即，解得. 故答案为： 32．（2026·高二·广东佛山·阶段检测）若圆上恰有4个点到直线的距离为2，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】由圆，可得圆心，半径为， 如图所示，过圆心作直线的垂线，垂足为，交圆于点， 要使得圆上有4个点到直线的距离为，则满足， 又由圆心到直线的距离为， 可得，解答，即实数的取值范围是. 故答案为：. 题型九：圆与圆的位置关系 33．（2026·高二·辽宁铁岭·期末）圆：与圆：的公切线条数为________. 【答案】0 【解析】由题意可知两圆的圆心坐标分别为，，两圆的半径分别为4，10， 由于，所以两圆内含，其公切线条数为0. 故答案为：0. 34．（2026·高二·湖南衡阳·开学考试）若圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【解析】由已知得，半径，，半径. 因为，两圆没有公共点， 所以两圆的位置关系为外离或内含， 所以或， 即或， 所以或，即或或. 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 35．（2026·高二·上海杨浦·期中）已知圆与圆内切，则实数______． 【答案】 【解析】，故圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为2， 因为两圆内切，所以两圆圆心距离为两半径之差，故，解得. 故答案为： 36．（2026·高二·辽宁抚顺·开学考试）若圆与圆 外切，则_____________. 【答案】 【解析】由已知，圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 因为圆与圆外切，所以，解得. 故答案为：. 题型十：两圆的公共弦问题 37．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）圆：与圆：相交于、两点，则_________． 【答案】4 【解析】由圆：与圆：， 两圆相减得公共弦所在直线方程为：， 有圆：，可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：4. 38．圆与圆相交所得公共弦长为__________． 【答案】 【解析】记圆，圆， 两个方程作差可得，， 所以两圆公共弦所在直线方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为：. 39．（2026·高二·陕西汉中·期中）若圆与圆交于两点，则直线的方程为______. 【答案】 【解析】联立方程，消去二次项整理得， 所以直线的方程为. 故答案： 40．（2026·高二·天津滨海新区·期中）已知圆与圆相交于点、． ①若，则公共弦所在直线方程为_________． ②若弦长，则_________． 【答案】 或0 【解析】①若，则圆：，圆：， 两个方程相减得， 化简并整理得公共弦所在直线方程为， ②若弦长， 而两圆方程相减得，化简并整理得公共弦所在直线方程为， 则到直线的距离为：， 则，解得：，或， 故答案为：；或0. 题型一：与圆有关的轨迹问题 41．（2026·高二·广东惠州·期末）已知圆经过点，圆心在直线：上，圆被直线：截得的弦长为， (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆关于直线：对称，过原点的直线交圆于，两点，求弦中点的轨迹方程. 【解析】（1）设圆心，圆心到的距离， 由题意易知半径为， 因为圆经过点， 所以，解得，即， 则圆的标准方程为. （2）设圆心关于的对称点为， 则，解得，则， 因为过原点的直线交圆于，两点，弦中点为， 当点与点都不重合时，，则在以为直径的圆上， 显然点在此圆上，因此此圆的圆心为，即， 此圆的半径为， 则轨迹方程为，即. 42．（2026·高二·福建厦门·期末）已知圆：，直线过点. (1)当与圆相切时，求的方程； (2)设线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程，并说明动点的轨迹 【解析】（1）已知圆的圆心是，半径是2， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 故直线的方程为. 综上，直线的方程为或. （2）（解法1）设点，，则由点是线段的中点得， 所以①， 因为点在圆上运动，所以②， 将①代入②得， 化简得点的轨迹方程是. 所以点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆. （解法2）连接，，取中点，连接， 因为为中点，所以， 因为，所以， 所以动点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 所以动点的轨迹方程为 43．（2026·高二·浙江·期末）已知直线与圆交于两点． (1)求弦长的取值范围； (2)求面积的最大值，并求此时的值； (3)若圆在点处的两条切线交于点，求点的轨迹方程． 【解析】（1）依题意，直线过定点， 圆的圆心，半径， 因为，所以点在圆内， 圆心到直线距离的取值范围为， 而， 所以弦长的取值范围为. （2）在中，由余弦定理得， 而，则，， 因此的面积，当且仅当时取等号， 而直线的斜率为，则直线的斜率为，即， 所以面积的最大值，此时. （3）设点，而点共圆，则以线段直径的圆方程为： ，即， 把以线段直径的圆方程与圆的方程相减得直线的方程， 又直线过定点，于是， 所以点的轨迹方程为. 44．（2026·高二·四川内江·阶段检测）动圆与直线交于两点. (1)证明动圆必过两定点；并求. (2)当时，过原点O的直线与圆C交于不同两点，且直线不过C圆心.过分别作圆C的切线，求证：在一条定直线上. (3)是否存在轨迹，在上任取点，无论为何值，都有为常数，若存在，求出轨迹方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1） 证明：因为方程为，即， 由，解得或，则动圆C恒过两定点的坐标为或； 易知圆C的圆心坐标为，圆C的半径为， 所以圆C的圆心到直线的距离为， 此时两点间的距离， 整理得，设，其对称轴为， 所以，则. （2） 此时C：，设， 易计算：过D点的切线方程为， 同理过E的切线方程为， 因为，故，. 所以在直线上，即直线DE为. 又因为，故，即，所以F在定直线上. （3）存在，， 设，联立， 并整理得，由题意可得，由韦达定理得， 设，此时， 所以， 即， 因为，所以， 整理得， 因为无论为何值，都有为常数， 令为常数. 故存在定直线，即，其上任意点K满足条件. 题型二：数形结合思想的应用 45．（2026·高二·江苏常州·期末）若直线与曲线恰好有一个公共点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】直线过定点， 曲线为以为圆心，1为半径，且位于轴上部分的半圆， 当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点，即，解得， 当直线与曲线相切时，直线与圆有一个交点， 圆心到直线的距离，解得， 结合图象可知，当或时，直线与曲线恰有一个交点， 所以，实数的取值范围为. 46．（2026·高二·四川成都·期中）已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】由题意，将已知转化为直线与曲线有两个不同的交点， 直线过定点，曲线表示圆心为原点，半径为2的圆的上半部分（包括与轴的交点）， 画出图形如下图所示． 当直线，即直线与圆相切时， 则有，解得，． 结合图形可得当直线与圆有两个不同的交点时，则有， ∴实数的取值范围是． 故答案为：． 47．（2026·高二·云南大理·期末）过直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为A，B，当最大时，四边形的面积为________. 【答案】 【解析】 圆的标准方程为：， 其圆心到直线的距离为，故直线与圆相离. 连接，在Rt中，， 则当的长度最小时，最大，此时最大. 而的最小值即为圆心到直线的距离，即，此时切线长， 由于Rt， 故四边形的面积， 故答案为：. 48．（2026·高二·北京·期末）已知直线与交于两点， （1）时，______； （2）若在圆上或其内部存在一点，使得，则的取值范围为______． 【答案】 ； 【解析】（1）当时，， 所以圆的圆心坐标为，半径为. 圆心到直线的距离为 . 所以弦长 （2）由，得圆的圆心坐标为,半径为. 由在圆上或其内部存在一点，使得，需使得以为弦的圆心角， 所以圆心到直线的距离为, 即，解得，即或. 且直线与交于两点， 所以，解得 故实数的取值范围为. 故答案为：；. 题型三：阿波罗尼斯圆 49．（2026·高二·湖北武汉·开学考试）阿波罗尼斯（约公元前262-公元前190年）证明过这样的一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为4，动点P满足，当P，A，B不共线时，面积的最大值是______． 【答案】 【解析】由题意得A，B间的距离为4，不妨设， 因为P，A，B不共线，故设， 因为，则，即， 整理得， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆除去与轴的交点， 当点到（轴）的距离最大为时，的面积最大， 此时. 50．（2026·高二·四川内江·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.书中介绍到：平面内两个定点及动点，若且，则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.现已知点为圆上一动点，为圆上一动点，点，点，则的最小值为__________. 【答案】9 【解析】由为圆上一动点，得，， 又，. 因为，，所以，于是. 当共线且时取得最小值，即. 所以，当共线时等号成立. 故答案为：9. 51．（2026·高二·海南·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比这定值（且）的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点到两个定点的距离之比为2，则点的轨迹方程为___________，的取值范围为______________. 【答案】 【解析】由题意可知，， ，整理为， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 即点的轨迹方程为： 表示圆上的点与定点连线的斜率， 设，即，如图可知，直线与圆有交点， 则，解得：. 故答案为：； 52．（2026·高二·河南·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，为直线：上的动点，为圆：上的动点，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】令，则， 依题意，圆是由点，确定的阿波罗尼斯圆，且， 设点坐标为，则， 整理得，而该圆的方程为， 则，解得，点的坐标为， 因此，当时，最小，最小值为， 所以当时，的值最小为. 故答案为： 题型四：圆中范围与最值问题 53．已知实数，满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； 【解析】（1）方程表示以点为圆心，以为半径的圆． 可理解为圆上一点与原点间的斜率， 设，即，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得． 或． 的最大值为，最小值为． （2）， 可理解为圆上的一点与点距离的平方， 又圆心到点的距离为， 所以的最大值是， 最小值是． 54．已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【解析】（1）表示圆上的点与点连线的斜率， 设为，圆心，则过点的圆的切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，求得， 故的最大值为，最小值为． （2）令，即，表示斜率为、在轴上的截距为的直线， 故当此直线和圆相切时，取最值． 圆心到直线的距离为半径， 可得，求得，或， 故的最大值为，的最小值为． （3）与的距离为， 所以的最大值为，最小值为． 55．（2026·高二·浙江·期中）已知圆：，圆的圆心在直线上，两圆的公共弦所在的直线方程为． (1)求公共弦的长度； (2)求圆的方程； (3)过点分别作直线，交圆于，，，四点，且，求四边形面积的最大值与最小值． 【解析】（1）已知圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 所以， 所以公共弦的长度为4； （2）由题意可知，两圆圆心所在的直线垂直平分公共弦AB， 因为公共弦所在的直线方程为， 所以可设直线的方程为， 将圆心代入上式，可得，所以直线的方程为. 又由圆的圆心在直线上， 联立方程组，解得，所以圆心. 则圆心到直线的距离， 说明直线过圆心，公共弦就是圆的直径， 所以圆的半径， 所以圆的方程为； （3） 设圆心到直线的距离为，到直线的距离为, 因为，，所以. 因为，所以， 所以由垂径定理可得，. 所以四边形面积 ， 将代入上式可得 ， 因为，且.令，则， 所以. 所以当时，取到最大值； 当或时，取到最小值， 所以四边形面积的最大值为6，最小值为. 56．（2026·高二·江苏淮安·阶段检测）已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程； (2)若是圆上任意一点，求的取值范围； (3)求的范围. 【解析】（1）设圆心为，由题有，解得， 所以圆的标准方程为. （2）因为表示与距离的平方， 由（1）知，则， 所以，则， 所以的取值范围为. （3）令， 则，其中， 所以. 1．（2026·高二·广东深圳·期中）如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】中，解得， 由题意可得设过原点的直线的斜率为，即直线方程为， 同一坐标系内画出草图， 由图可得当直线与圆相切时，斜率最小或最大，圆心为，半径为， 则，解得或， 所以的最小值是. 2．（河北衡水中学2026届高三一调考试数学试题）数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知，，，由中点坐标公式可得： 中点，中点，中点， 设的九点圆方程为， 则，解得， 所以的九点圆方程为， 由圆心为，半径可得： 圆心，半径， 即． 3．（2026·陕西榆林·三模）已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 【答案】C 【解析】由题意知，圆的圆心在直线上，则，解得， 所以圆的标准方程为，圆心为，半径为1. 又圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为圆与外切，所以，解得. 4．（2026·高三·云南楚雄·阶段检测）已知点在曲线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，所以曲线是以点为圆心，2为半径的圆去掉轴下面的部分. 到直线的距离为，所以表示点到直线的距离的5倍. 又点到直线的距离为，所以点到直线的距离的最小值为； 过圆心作直线的垂线与半圆的交点中，远离直线的那个交点不在上半圆上，因此最大值只能出现在半圆端点， 所以当点与点重合时到直线0的距离最大，最大距离为，所以点到直线的距离的最大值为， 故的取值范围为. 5．（2026·高二·浙江·期中）已知是圆上的动点，，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】如图，取线段的中点，连接，则， 由图知，当且仅当且(三点共线且点在线段上)时， 点到直线的距离与点到直线的距离之差的绝对值取得最大值， 即的最小值为，故此时取得最小值为. 6．（2026·高二·河南平顶山·期中）已知直线与圆：相交于，两点，其中点为此圆的圆心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将圆的方程化为标准形式：，则圆心为，半径为， 过作，垂足为， 则，所以， 在中，， 所以. 7．（2026·高二·上海·期中）已知为坐标原点，为圆的一条弦，弦绕点旋转一周扫过的区域为.若点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆心到弦的距离为，圆半径， 弦绕点旋转一周时，上所有点到点的距离范围是， 所以扫过的区域是内半径为，外半径为的圆环区域， 又点，其到原点的距离为，则， 所以， 又. 8．（2026·陕西延安·三模）“太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图所示，将“太极图”放在平面直角坐标系中，图中所有曲线均为圆或半圆，其中最大的圆半径为2.已知点是阴影区域(含边界)上的一个动点，则的值不可能是（    ） A．0 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【解析】由于， 设，即表示阴影区域(含边界)上的点P和点之间的距离， 则； 当P在半圆上时，的最小值为； 当P在x轴下方的阴影区域（包含边界）时， 的最小值为和或之间的距离，为， 而，即的最小值为； 当P在第二象限的阴影区域（包含边界）时，圆弧所在圆的方程为， 的最大值为； 故的最小值为，最大值为 结合可知的值不可能是10. 9．（多选题）（2026·高二·广西河池·期末）下列选项正确的是（    ） A．直线（）恒过定点 B．直线的倾斜角为 C．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 D．圆被直线截得的弦长为2，则或 【答案】BCD 【解析】对于A，由，， 联立，解得，， 所以定点为，不是，A错误； 对于B，由，得， 斜率，倾斜角，，得，B正确； 对于C，圆，圆心，半径， 圆心到直线距离， 到直线距离为的点，即与已知直线平行、距离1的两条平行线与圆交点： 一条在圆心外侧，距圆心，无交点； 一条朝向圆心，距圆心，过圆心，与圆交于个点； 因此圆上只有2个点满足条件，C正确； 对于D，圆，圆心，半径，弦长， 弦长公式：，即， 圆心到直线距离， 解得或， D正确． 10．（多选题）（2026·高二·广东·期末）已知的顶点坐标分别为，，，为的中点，且圆的方程为：，则（   ） A．过作圆的切线，切点为，则的最小值为 B．若直线被圆截得的弦长为2，则 C．存在，使圆上有三个点到直线的距离都为1 D．若圆上有且只有两个点到直线的距离都为2，则或 【答案】ABD 【解析】由题意，在圆中，，半径， 对于A选项，过作圆的切线，切点为， 所以，在中，由勾股定理得， 所以当时，取最小值，，故A正确； 对于B选项，由中点为，则，所以直线的方程为， 又直线被圆截得的弦长为2，恰好为圆的直径，所以直线过圆心， 所以，即，B正确； 对于C选项，圆上有三个点到直线距离等于，由于圆半径是，这等价于圆与两条距离直线为的平行线有三个交点，则两平行直线的距离为2，不可能有一条直线有两个交点，一条直线有一个交点，所以不存在满足题意，故C错误； 对于D选项，因为圆上有且只有两个点到直线的距离都为2， 所以圆心到直线即的距离大于1小于3． 即，解得：或，故D正确． 11．（多选题）（2026·高二·四川泸州·期末）已知直线，圆，则（   ） A．过定点 B．与圆C总有两个不同的公共点 C．存在实数，使圆关于对称 D．被圆C截得弦长的最小值为 【答案】ABD 【解析】对于A，直线过定点，A正确； 对于B，点在圆内，与圆C总有两个不同的公共点，B正确； 对于C，圆的圆心不满足方程，因此不存在实数，使圆关于对称，C错误； 对于D，，圆半径，当时，被圆C截得的弦长取得最小值，该最小值为，D正确. 12．已知实数满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】，记，表示上的点到直线上的距离， 如下图所示，的最大值、最小值分别在点，处取得，原点到直线的距离为， ，， ． 13．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知是圆上的一个动点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】由题意可得：圆：， 圆心，半径， 表示圆上的点到原点之间的距离， 因为， 所以原点在圆外， ， 所以，即， 即. 14．（2026·高三·上海浦东新·期中）已知，圆O是圆心在原点的单位圆，弦AB平行于x轴，并将圆分为两段弧．将其中一段劣弧沿弦AB翻折后恰好经过圆心．若直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【解析】根据题意可知优弧所在的圆方程为，劣弧所在的圆方程为， 因为直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点， 所以直线与优弧和劣弧各有两个不同的交点， 所以，解得， 又直线经过点时，， 所以要使直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点， m的取值范围为 15．（2026·高二·安徽滁州·期末）已知圆过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)求过圆心且在轴，轴上截距相等的直线的方程； (3)若直线的横截距为，纵截距为，且直线被圆截得的弦长为，求的最小值. 【解析】（1）由题意知，圆心在直线上，故设圆心为， 因为点在圆上，所以， 即，解得， 所以圆心，半径，即圆的标准方程为. （2）由题意知，直线斜率存在且圆心，设直线的方程为，令，解得，令，解得， 因为直线过圆心且在轴，轴上截距相等，所以，解得 当时，直线，此时轴，轴上截距为0，符合题意； 当时，直线，此时轴，轴上截距为2，符合题意. 综上，直线的方程为或. （3）因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离为. 又直线的横截距为，纵截距为， 则直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，整理可得， 由，得，即， 解得或， 因为，所以，则，故， 当且仅当时，即时，等号成立， 故的最小值为. 16．（2026·高二·山东济宁·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)直线与圆相交于两点，且，求的值． 【解析】（1）方法1：设所求方程为，则 ，解得， 所以圆的方程是． 方法2：由，则线段的中点为， 直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即． 联立，解得， 所以圆心，圆的半径， 所以圆的方程是． （2）圆心到直线的距离， 所以， 解得或． 17．（2026·高二·湖北武汉·开学考试）已知圆C：，P是直线l：上的一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B． (1)当点P的横坐标为6时，求切线的方程； (2)当点P在直线l上运动时且点P的横坐标，求四边形PACB面积的取值范围． 【解析】（1）圆的圆心C为，半径为2， 因为P是直线上的一动点，则当点P的横坐标为6时，P点坐标为， 当切线的斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得， 此时切线方程为，即， 综上，所求的切线方程为或； （2）， 则要使四边形PACB面积的最小值，只需的值最小， 因为点P在直线上， 所以的最小值为圆心C到直线l的距离， 所以， 此时，解得， 即此时点P符合要求； 由，则当或时，取得最大值， 若，则， 若，则， 故，即， 所以四边形PACB面积的最小值为， 最大值为， 即四边形PACB面积的取值范围为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $