第2章 圆与方程（复习讲义）数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理《圆与方程》单元内容，以对比表格呈现圆的方程形式、位置关系等核心知识点，明确标准方程与一般方程转化、直线与圆位置关系等重难点，构建“定义-方程-位置关系-综合应用”的递进知识脉络。 讲义亮点在于分层题型设计，涵盖求圆的方程、切线问题等10类题型，典例与变式结合，如“阿波罗尼斯圆”问题培养数学思维与模型观念。难点精练聚焦轨迹、最值等，帮助基础学生掌握方法，优秀学生深化探究，为教师实施精准教学提供支持。

第2章圆与方程 复习要点 1、掌握圆两种方程形式及互相转化，会求圆心、半径；能通过圆心距、半径判断位置关系； 2、牢记弦长公式，区分几何法与代数法解题；重视数形结合，将几何条件转化为方程，注意计算中参数范围，熟练处理圆的综合题型。 复习重难点 重点：圆的标准方程、一般方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，用代数和几何方法解决圆的相关问题。 难点：圆的一般方程转化，直线与圆相交、相切问题综合计算，数形结合思想运用，利用圆的方程解决实际问题。 知识点圆的定义和圆的方程 1、平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆． 2、圆的方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 要点速测已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 知识点点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 要点速测点与圆的位置关系是（    ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关 知识点直线与圆的位置关系 1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 要点速测已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（    ） A． B． C． D． 知识点圆与圆的位置关系 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相离； 两圆外切； 两圆相交； 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 要点速测圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 题型一：求圆的方程 【典例1】（2026·高三·重庆·阶段检测）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高二·天津滨海新区·期中）圆关于直线：对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高二·天津津南·阶段检测）已知直线：与直线：的交点为，则以点为圆心，且过点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高二·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 题型二：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 【典例2】（2026·高二·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高二·河南信阳·期中）若方程表示圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．R 【变式2-2】（2026·高二·海南省直辖县级单位·阶段检测）若方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高二·重庆·开学考试）已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三：点与圆的位置关系判断 【典例3】（2026·高二·湖南张家界·期末）已知圆的标准方程是，下列各点在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高二·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高三·河北沧州·阶段检测）“”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】（2026·高二·福建莆田·期末）点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型四：与圆有关的对称问题 【典例4】（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【变式4-1】（2026·高二·陕西榆林·期末）若直线是圆的一条对称轴，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【变式4-2】（2026·高二·北京丰台·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B． C． D．或 【变式4-3】（2026·江西·模拟预测）已知圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 题型五：直线与圆的位置关系的判断 【典例5】直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【变式5-1】（2026·高一·上海青浦·期末）已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【变式5-2】（2026·高二·吉林长春·期末）已知点在圆：内部，则直线与圆的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且过圆心 【变式5-3】（2026·高三·全国·阶段检测）已知直线，圆，则直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 题型六：弦长与面积问题 【典例6】（2026·高二·湖南郴州·期末）已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 【变式6-1】（2026·北京·三模）已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 【变式6-2】（2026·江苏南通·三模）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 【变式6-3】（2026·陕西商洛·模拟预测）已知圆，点，过作直线交圆于，两点，当取得最大值时，直线的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 题型七：切线问题、切线长问题 【典例7】过圆上的点的切线方程为______. 【变式7-1】（福建省泉州市部分校2025-2026学年高三8月适应性考试数学试题）已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 【变式7-2】（2026·高三·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________． 【变式7-3】（2026·广西·模拟预测）直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于______． 题型八：圆上的点到直线距离个数问题 【典例8】（2026·高二·湖北孝感·期末）若圆上到直线的距离为3的点恰好有2个，则的取值范围__________. 【变式8-1】（2026·高二·河北唐山·期中）若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为_____ 【变式8-2】（2026·高二·上海闵行·阶段检测）已知圆上恰好存在2个到直线的距离为1的点，则的取值范围是________. 【变式8-3】（2026·高二·河南濮阳·阶段检测）若圆上到直线的距离为的点刚好有个，直线被圆截得的弦长为________. 题型九：圆与圆的位置关系 【典例9】（2026·高二·上海松江·阶段检测）圆与圆的位置关系为_____ 【变式9-1】（2026·高二·广东深圳·期末）已知圆：，：，若与外切，则_____________. 【变式9-2】（2026·高二·江苏淮安·期末）圆与圆的公切线条数为___________． 【变式9-3】（2026·高二·贵州安顺·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是_______. 题型十：两圆的公共弦问题 【典例10】（2026·高二·四川泸州·阶段检测）圆与圆的公共弦长为________. 【变式10-1】（2026·高二·天津蓟州·阶段检测）已知圆 和圆，则圆 与圆的公共弦所在的直线方程为_____，弦长为_____. 【变式10-2】（2026·高三·天津南开·期末）圆与圆的公共弦长为__________. 【变式10-3】（2026·高二·重庆永川·期中）圆与圆的公共弦所在的直线的方程为__________，弦长为__________． 难点一：与圆有关的轨迹问题 要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x，y的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在． 难点精练 1．已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 2．（2026·高二·上海·阶段检测）若线段的端点，点在圆：上运动.则线段中点的轨迹方程______ 3．（2026·高一·北京·期末）已知圆：，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为______. 4．（2026·高二·福建厦门·期中）已知，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，为中点，则动点的轨迹方程为_____，的取值范围为_____． 难点二：数形结合思想的应用 研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像．在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误． 难点精练 1．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知点，，若直线：（）上存在点，使得，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东汕头·模拟预测）为平面直角坐标系中一点，直线的方程为，过点M作l的垂线，垂足为Q，记Q点的轨迹为曲线E，过直线上任意一点P作E的两条切线，切点分别为A、B，则正弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高二·上海虹口·期中）直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·湖南邵阳·期末）已知直线与圆相交于两点，则的面积为（    ） A．2 B． C． D．4 难点三：阿波罗尼斯圆 阿波罗尼斯圆：平面内到两定点距离之比为常数λ（λ>0且λ≠1）的点的轨迹是圆。解题第一步，明确两个定点与比值λ，设动点坐标，利用距离公式列式，平方化简得到圆的方程，确定圆心半径。若λ=1，轨迹为两定点的垂直平分线，不是圆，注意区分。几何上可借助内外分点定直径端点，两定点连线被λ内分、外分，以内外分点连线为直径作圆即为阿氏圆。常用于求距离最值，把型最值转化为点到点、点到直线距离，实现线段转化。做题要分清定点、动点，辨别阿氏圆与胡不归模型，合理代数计算或几何构造简化运算。 难点精练 1．（2026·高二·内蒙古呼和浩特·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点P到的距离是点P到的距离的2倍. (1)求点P的轨迹的方程； (2)过点B作直线，交轨迹于P，Q两点，P，Q不在y轴上. （i）过点B作与直线垂直的直线，交轨迹于E，F两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； （ii）设轨迹与y轴正半轴的交点为C，直线，相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程. 2．（2026·高二·广西钦州·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点，，且该平面内的点P满足. (1)求点P的轨迹C的方程；并指出轨迹C表示什么图形？ (2)设为曲线C上任一点，求的取值范围； (3)设直线与曲线C交于M、N两点，是否存在实数m，使得以MN为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由. 3．（2026·高二·安徽阜阳·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯同欧几里得、阿基米德齐名，他发现:平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，点，，点满足. (1)求点的轨迹方程. (2)设点，在轴的正半轴上是否存在异于点的点，使得对于点的轨迹上任意一点，满足为定值?若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 4．（2026·高二·四川成都·期中）已知圆的圆心在直线上，且过点，. (1)求圆的方程； (2)求过点的直线被圆截得的弦长为的直线方程； (3)若，是平面内不同的两定点，动点满足，则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点是上的动点，点，点是直线上的动点，求的最小值. 难点四：范围与最值问题 圆中最值常用代数与几何两类方法。几何法优先：利用圆的几何性质，结合圆心、半径分析。圆上点到定点距离最值为圆心到定点距离加减半径；圆上点到定直线距离最值为圆心到直线距离加减半径。弦长最值：直径为最长弦，垂直圆心与弦中点连线的弦可求最短弦。角度、斜率最值常借助切线位置临界求解。代数法可设圆的参数方程，转化为三角函数求值域，或联立方程利用判别式限定变量范围。处理多元最值也可用几何意义转化，如截距、距离、斜率。解题注意找准临界位置，区分点在圆内、圆上、圆外，准确判断取等条件。 难点精练 1．（多选题）（2026·高二·江苏无锡·期中）已知，点到直线：的垂足为，，，则（    ） A．直线过定点 B．点到直线的最大距离为 C．的最大值为 D．的最小值为 2．（多选题）（2026·高二·贵州·阶段检测）已知是圆上一点，是直线上一点，为坐标原点，则（    ） A．直线不经过第二象限的充要条件是 B．线段的中点的轨迹方程为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 3．（多选题）（2026·高二·山东·阶段检测）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．点到点的距离为定值 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 4．（多选题）已知点，点是圆上任意一点，若面积的最大值为，最小值为，则（   ） A． B． C． D． 5．（多选题）（2026·高二·云南玉溪·阶段检测）已知点，，动点满足，则下面结论正确的为（    ） A．点的轨迹方程为 B．面积的最大值为4 C．点到点的距离的最大值为6 D．的最大值为18 基础达标 1．（2026·高二·广东深圳·期末）以为直径的两个端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·江苏南京·期末）已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 3．（2026·高二·山东菏泽·期末）若圆上所有的点都在轴左侧，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·安徽六安·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2026·高二·山西运城·期末）已知直线与圆交于两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 6．（2026·高二·江西赣州·期末）若圆：与圆：外切，则（   ） A．1 B．2 C．9 D．1或9 7．（2026·高二·云南昭通·期末）已知圆与圆相交，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高二·广东河源·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．6 9．（多选题）（2026·高三·宁夏银川·期末）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ）． A．圆C的圆心坐标为 B．直线l与圆C相交 C．圆与圆C相切 D．圆C上存在4个点到直线l的距离为1 10．（多选题）（2026·高二·贵州遵义·期末）已知点在圆的内部，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·高二·云南昭通·期中）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．若或，则直线与圆相切 B．若，则圆关于直线对称 C．若圆与圆相交，且两个交点所在直线恰为，则 D．若，圆上有且仅有两个点到的距离为1，则 12．（2026·高二·云南昭通·期末）若直线是圆的一条对称轴，则______________． 13．（2026·高二·云南玉溪·期末）若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 14．（2026·高二·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 15．（2026·高二·浙江绍兴·期末）已知等腰直角的三个顶点为，，，且. (1)求点C的坐标； (2)若点D是中点，求的外接圆方程. 16．（2026·高二·云南西双版纳·期末）已知圆，点，且直线经过点P. (1)求圆C的圆心坐标和半径； (2)若直线与C相切，求直线的方程. 17．（2026·高二·广东东莞·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆所截得弦长为6，求直线的方程. 18．（2026·高二·福建厦门·期末）已知圆：与圆：. (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求点到两圆公共弦所在直线的距离 能力进阶 1．（2026·高二·河南焦作·开学考试）已知实数满足方程，求的最大值和最小值（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东佛山·模拟预测）已知圆与直线相交于两点，若为等边三角形，则k的值为（　　） A． B．±2 C． D． 3．（2026·高二·湖南株洲·期末）一束光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径的长度是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2026·高二·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 5．（2026·高二·内蒙古·期末）已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·河南驻马店·期末）若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 8．（2026·高二·河南许昌·期末）已知为直线上一点，为圆上一点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D．3 9．（多选题）（2026·高三·湖南·开学考试）在平面直角坐标系中，，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，下列选项中，圆的面积可以是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）已知为正整数，的方程为，则下列结论正确的有（    ） A．对任意正整数，直线平分的面积 B．对任意正整数，直线与相切 C．存在正整数，使得直线与相交 D．对任意正整数与相交 11．（多选题）（2026·高二·云南德宏·期末）已知直线，圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 12．（2026·高三·湖北·开学考试）已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为________． 13．已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 14．（2026·高一·河北·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，点在内部（含边界）一点，且满足，则的最小值为________． 15．（2026·高二·上海虹口·期中）已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 16．已知直线：，：． (1)求证：对，与的交点在一个定圆上； (2)若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当在实数范围内取值时，面积的最大值及对应的． 17．（2026·高二·云南曲靖·期末）已知圆及直线． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论取什么实数时直线恒经过的点，并证明：直线与圆恒相交； (3)求直线被圆截得的最短弦的长． 18．（2026·高二·河南郑州·期末）已知直线l：和圆C：， (1)直线l与圆C相切时，求m的值； (2)直线l与圆C相交于A，B两点，若弦，求m的值； (3)当时，P为直线l上的动点，过P作圆C的切线，切点为T，求的最小值； 1/3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章圆与方程 复习要点 1、掌握圆两种方程形式及互相转化，会求圆心、半径；能通过圆心距、半径判断位置关系； 2、牢记弦长公式，区分几何法与代数法解题；重视数形结合，将几何条件转化为方程，注意计算中参数范围，熟练处理圆的综合题型。 复习重难点 重点：圆的标准方程、一般方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，用代数和几何方法解决圆的相关问题。 难点：圆的一般方程转化，直线与圆相交、相切问题综合计算，数形结合思想运用，利用圆的方程解决实际问题。 知识点圆的定义和圆的方程 1、平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆． 2、圆的方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 要点速测已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，所以 ，即， 化简得, 解得，代入方程得, 则圆的标准方程为. 故选：A. 知识点点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 要点速测点与圆的位置关系是（    ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关 【答案】A 【解析】由圆心， 可得， 所以在外. 故选：A 知识点直线与圆的位置关系 1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 要点速测已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆心到直线的距离， 结合圆上到直线距离为1的点有且仅有3个，可得. 知识点圆与圆的位置关系 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相离； 两圆外切； 两圆相交； 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 要点速测圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【解析】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 题型一：求圆的方程 【典例1】（2026·高三·重庆·阶段检测）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆经过原点和点，线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线方程为，即， 由，解得，因此圆的圆心，半径， 所以圆的方程为. 故选：A 【变式1-1】（2026·高二·天津滨海新区·期中）圆关于直线：对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为圆的圆心为， 设点关于直线：的对称点为，则 . 所以圆关于直线：对称的圆的方程为. 故选：A 【变式1-2】（2026·高二·天津津南·阶段检测）已知直线：与直线：的交点为，则以点为圆心，且过点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】联立，解得，即， 以点为圆心，且过点， ， 则圆的方程为， 故选：D． 【变式1-3】（2026·高二·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆的一般方程为, 将，，代入方程得， 解得，满足， 故圆的方程为， 故选：A 题型二：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 【典例2】（2026·高二·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，，即，解得. 故选：B. 【变式2-1】（2026·高二·河南信阳·期中）若方程表示圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．R 【答案】D 【解析】因为该方程表示圆， 所以， 所以. 故选：D 【变式2-2】（2026·高二·海南省直辖县级单位·阶段检测）若方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由方程表示圆得，，解得或， 故的取值范围为. 故选：D. 【变式2-3】（2026·高二·重庆·开学考试）已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为表示圆， 所以根据圆的一般方程，， 又因为是表示圆的必要不充分条件， 所以能推出，而推不出， 即是的真子集， 所以， 故选: B. 题型三：点与圆的位置关系判断 【典例3】（2026·高二·湖南张家界·期末）已知圆的标准方程是，下列各点在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆的标准方程是，所以圆心在原点，半径， 选项A， ，所以点在圆外； 选项B， ,所以点在圆上； 选项C， ,所以点在圆内； 选项D， ,所以点在圆上； 故选：C 【变式3-1】（2026·高二·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 【变式3-2】（2026·高三·河北沧州·阶段检测）“”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】若点在圆外部， 则，解得或， 所以“”是“点在圆外部”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 【变式3-3】（2026·高二·福建莆田·期末）点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，点在圆外， 则，得， 故的取值范围为. 故选：B 题型四：与圆有关的对称问题 【典例4】（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【解析】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 【变式4-1】（2026·高二·陕西榆林·期末）若直线是圆的一条对称轴，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】C 【解析】圆的圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过点，所以，解得． 故选：C． 【变式4-2】（2026·高二·北京丰台·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由题意可知，， 且圆心在直线上，代入直线方程得（舍去） 或. 故选：C 【变式4-3】（2026·江西·模拟预测）已知圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由题意可知，圆心在直线上， 则，又因为，， 所以， 当且仅当且即，时取等号， 此时取得最小值． 故选：D． 题型五：直线与圆的位置关系的判断 【典例5】直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】C 【解析】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 即，所以直线l与圆C的位置关系是相离. 【变式5-1】（2026·高一·上海青浦·期末）已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【解析】显然圆圆心为，半径为，直线到圆心距离为：， 因在圆内部，则，从而，则直线与圆相离. 【变式5-2】（2026·高二·吉林长春·期末）已知点在圆：内部，则直线与圆的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且过圆心 【答案】C 【解析】由点在圆内部，得， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，故C项正确. 故选：C 【变式5-3】（2026·高三·全国·阶段检测）已知直线，圆，则直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【解析】由，可得直线恒过定点， 由圆的标准方程为，可得圆心为，半径， 因为，所以点在圆内， 直线和圆相交． 故选：A． 题型六：弦长与面积问题 【典例6】（2026·高二·湖南郴州·期末）已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】由圆的方程，得圆心，半径. 设圆心到直线的距离为，由点到直线距离公式得. 由弦长公式，得弦长. ∵ 的面积为， ∴ . 将上式两边平方得：，令，则， 整理得，解得或. ① 当时，，即， 展开化简得，解得或，均符合题意. ② 当时，，即， 展开化简得，其判别式，无实根. 综上，的值为或. 【变式6-1】（2026·北京·三模）已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 【答案】D 【解析】化圆的一般方程为标准方程， 因此圆心为，半径. 已知弦长，则弦长的一半为, 根据垂径定理，圆心到直线的距离满足， 代入已知数据得，解得. 圆心到直线的距离为，即，解得或. 【变式6-2】（2026·江苏南通·三模）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】B 【解析】直线过定点，圆， 易知 设到距离为， ， 当时，. 故选:B． 【变式6-3】（2026·陕西商洛·模拟预测）已知圆，点，过作直线交圆于，两点，当取得最大值时，直线的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】当取得最大值时，，此时圆心O到直线的距离为， 又直线恒过点，所以直线斜率存在，设为，即， 由点到直线的距离公式得，平方并化简得， 解得或，此时直线的方程为或， 即或. 故选：B 题型七：切线问题、切线长问题 【典例7】过圆上的点的切线方程为______. 【答案】 【解析】法1：圆心坐标为， 因为点在圆上，故圆心与该点连线的斜率不存在， 故切线的斜率为零，故切线方程为. 法2：过圆上的点的切线方程为： ，即. 【变式7-1】（福建省泉州市部分校2025-2026学年高三8月适应性考试数学试题）已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 【答案】 【解析】由题可知圆的圆心为、半径为，且， 过点作圆的切线，设切点为A， 则切线长. 【变式7-2】（2026·高三·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________． 【答案】或 【解析】由圆，圆心为，半径， 当切线斜率不存在时，切线方程为，此时圆心到切线的距离为1，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 则，解得，则切线的方程为，即. 综上所述，切线方程为或. 【变式7-3】（2026·广西·模拟预测）直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于______． 【答案】 【解析】易知两条切线的斜率均存在，设过点的圆的切线方程为，整理为一般式得, 圆的圆心为，半径，由直线与圆相切的性质可知，圆心到切线的距离等于半径，即 ， 将上式两边平方得，展开整理得， 设两条切线的斜率分别为,，由韦达定理得，， 由两直线的夹角公式，设两直线夹角为，则， 其中， 代入得 题型八：圆上的点到直线距离个数问题 【典例8】（2026·高二·湖北孝感·期末）若圆上到直线的距离为3的点恰好有2个，则的取值范围__________. 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径， 当圆上到直线的距离为3的点恰好有1个时，直线在圆外， 此时圆心到直线的距离为7，即，解得； 当圆上到直线距离为3的点恰好有3个时，直线到圆心的距离为1， 则，解得， 当直线位于到圆心距离为1和到圆心距离为7的两条平行直线之间时， 圆上到直线距离为3的点恰好有2个，此时的取值范围是. 故答案为： 【变式8-1】（2026·高二·河北唐山·期中）若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为_____ 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径为. 圆心到直线的距离. 设与直线距离为1的两条平行线为， 由，得或. 则圆心到的距离为，到的距离为. 因为圆上到直线距离为1的点有且仅有2个， 所以圆与这两条平行线一个相交、一个相离，即. 故答案为： 【变式8-2】（2026·高二·上海闵行·阶段检测）已知圆上恰好存在2个到直线的距离为1的点，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】由圆，则圆心，半径为， 由直线，则一般式为， 圆心到直线的距离， 由题意可知，解得. 故答案为：. 【变式8-3】（2026·高二·河南濮阳·阶段检测）若圆上到直线的距离为的点刚好有个，直线被圆截得的弦长为________. 【答案】 【解析】依题意，圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离， 又圆上的点到直线的距离为的点刚好有个，所以； 所以直线被圆截得的弦长为. 故答案为：. 题型九：圆与圆的位置关系 【典例9】（2026·高二·上海松江·阶段检测）圆与圆的位置关系为_____ 【答案】相交 【解析】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， ， 所以圆与圆相交． 故答案为：相交． 【变式9-1】（2026·高二·广东深圳·期末）已知圆：，：，若与外切，则_____________. 【答案】 【解析】圆：，配方得：，圆心为，半径为 ； 圆：，圆心为，半径为； 两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和， 圆心距为，所以， 解得. 故答案为： 【变式9-2】（2026·高二·江苏淮安·期末）圆与圆的公切线条数为___________． 【答案】 【解析】由圆得，由圆得，所以， 所以，所以， 所以圆与圆内切，所以圆与圆有1条公切线， 故答案为：1. 【变式9-3】（2026·高二·贵州安顺·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是_______. 【答案】相交 【解析】对于，配方得：， 圆心为，半径， 对于，配方得：， 圆心为，半径， 两圆心之间的距离， 半径和：， 半径差的绝对值：， 满足 ，即 . 因此，两圆相交. 故答案为：相交 题型十：两圆的公共弦问题 【典例10】（2026·高二·四川泸州·阶段检测）圆与圆的公共弦长为________. 【答案】 【解析】法1，两圆与圆均过点，，弦长为. 法2，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程， 圆的圆心到直线的距离， 故公共弦长为. 故答案为：. 【变式10-1】（2026·高二·天津蓟州·阶段检测）已知圆 和圆，则圆 与圆的公共弦所在的直线方程为_____，弦长为_____. 【答案】 【解析】圆 的圆心为，半径， 圆的方程可化为， 所以圆的圆心为，半径， ，， 所以圆与圆相交， 将圆 和圆方程相减可得， 所以圆 与圆的公共弦所在的直线方程为， 点到直线的距离， 所以公共弦的长为. 故答案为：；. 【变式10-2】（2026·高三·天津南开·期末）圆与圆的公共弦长为__________. 【答案】 【解析】将两个圆的方程作差得：， 即公共弦所在的直线为， 又知，则到直线的距离为： ，所以公共弦长为. 故答案为：. 【变式10-3】（2026·高二·重庆永川·期中）圆与圆的公共弦所在的直线的方程为__________，弦长为__________． 【答案】 【解析】由题意可知，两圆方程相减可得公共弦方程为， 化简得公共弦所在直线方程为， 圆的标准方程为， 其圆心，半径， 圆心到公共弦的距离， 所以公共弦长为． 故答案为：；. 难点一：与圆有关的轨迹问题 要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x，y的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在． 难点精练 1．已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 【答案】（） 【解析】由恒过，且与圆相交于、， 而的圆心为，令的中点为，则， 若点不重合时，，点在以线段为直径的圆上，且， 若点重合时，点也在以线段为直径的圆上， 所以弦的中点的轨迹方程且． 2．（2026·高二·上海·阶段检测）若线段的端点，点在圆：上运动.则线段中点的轨迹方程______ 【答案】 【解析】设，， 由于是线段的中点， 所以， 将代入圆， 得 整理得. 3．（2026·高一·北京·期末）已知圆：，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】设，，由， 得，所以， 又因为点在圆：上， 所以，即. 故答案为： 4．（2026·高二·福建厦门·期中）已知，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，为中点，则动点的轨迹方程为_____，的取值范围为_____． 【答案】 【解析】由为中点，则，故， 故动点的轨迹为以为原点，半径为的圆，即为； 对，令，解得，故过定点， 对，令，解得，故过定点， 又，故，故， 故点在以为直径的圆上，又中点为， ，且直线斜率存在， 则点的轨迹方程为（除点）， 由为中点，则，则， 又，，， ，则， 由，点在直线上， 故， 即，则. 故答案为：；. 难点二：数形结合思想的应用 研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像．在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误． 难点精练 1．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知点，，若直线：（）上存在点，使得，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵ 点，，， ∴ 由圆周角定理可知，点的轨迹是以为弦，所对圆周角为的两段圆弧，对应弧的圆心角为. 设轨迹圆的半径为，由弦长公式，代入，得，解得. 两段圆弧的圆心均在的垂直平分线上，由勾股定理可得坐标分别为和，对应圆的方程为、. 直线上存在点满足条件，等价于直线与上述两个轨迹圆中符合的圆弧有公共点. 计算圆心到直线的距离： 对圆，圆心到直线的距离. 令，得，结合解得. 对圆，圆心到直线的距离. 令，结合，解得. 综上，当时，直线上存在满足条件的点，即正实数的取值范围为. 2．（2026·广东汕头·模拟预测）为平面直角坐标系中一点，直线的方程为，过点M作l的垂线，垂足为Q，记Q点的轨迹为曲线E，过直线上任意一点P作E的两条切线，切点分别为A、B，则正弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设动点Q的坐标为，，直线，恒过定点， 所以，所以Q点的轨迹为以为直径的圆的方程， 圆的圆心为的中点，半径为， 所以曲线的方程为， 根据题意，过直线上任意一点P作E的两条切线，切点分别为A、B， 则，， 所以当取最小值时，取最大值，即取最大值， 所以最小值为，此时，即得， 此时， 则 . 所以正弦值的最大值为． 3．（2026·高二·上海虹口·期中）直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】可知曲线是以为圆心，以为半径的圆的右半部分，如下图所示， 当时，曲线与恰有两个交点， 当曲线与直线相切时，可得到直线的距离为， 即，因为，解得，所以. 4．（2026·高二·湖南邵阳·期末）已知直线与圆相交于两点，则的面积为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【解析】圆 的圆心为 ，半径 ， 直线 可化为 ， 圆心 到直线的距离为，设直线与圆交于两点， 则弦长 因此 的面积为． 难点三：阿波罗尼斯圆 阿波罗尼斯圆：平面内到两定点距离之比为常数λ（λ>0且λ≠1）的点的轨迹是圆。解题第一步，明确两个定点与比值λ，设动点坐标，利用距离公式列式，平方化简得到圆的方程，确定圆心半径。若λ=1，轨迹为两定点的垂直平分线，不是圆，注意区分。几何上可借助内外分点定直径端点，两定点连线被λ内分、外分，以内外分点连线为直径作圆即为阿氏圆。常用于求距离最值，把型最值转化为点到点、点到直线距离，实现线段转化。做题要分清定点、动点，辨别阿氏圆与胡不归模型，合理代数计算或几何构造简化运算。 难点精练 1．（2026·高二·内蒙古呼和浩特·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点P到的距离是点P到的距离的2倍. (1)求点P的轨迹的方程； (2)过点B作直线，交轨迹于P，Q两点，P，Q不在y轴上. （i）过点B作与直线垂直的直线，交轨迹于E，F两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； （ii）设轨迹与y轴正半轴的交点为C，直线，相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程. 【解析】（1）设点，由题意可得， 即，化简得， 所以点的轨迹的方程为. （2）由题直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， （i）若，则直线的斜率不存在， 得，，则； 若，则直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当即时，取等号， 综上所述，因为，所以S的最大值为28. （ii），设，， 联立消得， 则，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立解得， 则， 所以， 所以点在定直线上. 2．（2026·高二·广西钦州·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点，，且该平面内的点P满足. (1)求点P的轨迹C的方程；并指出轨迹C表示什么图形？ (2)设为曲线C上任一点，求的取值范围； (3)设直线与曲线C交于M、N两点，是否存在实数m，使得以MN为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设，因为， 故， 化简得：， 整理可得， 配方得：， 点P的轨迹C是圆心为，半径为的圆； （2）设，则， 由直线l：与圆C有公共点， 由（1）知圆C方程为， 则， 化简得：，解得， 故的取值范围是； （3）设，，联立， 消去y得， 由，得    ①， 根据韦达定理得：，， 由以MN为直径的圆过原点，得到， 所以 ， 解得满足①式， 所以存在实数，使得以MN为直径的圆过原点. 3．（2026·高二·安徽阜阳·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯同欧几里得、阿基米德齐名，他发现:平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，点，，点满足. (1)求点的轨迹方程. (2)设点，在轴的正半轴上是否存在异于点的点，使得对于点的轨迹上任意一点，满足为定值?若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设点.由， 可得，整理可得， 化为标准方程可得，所以点的轨迹方程为； （2）由阿波罗尼斯圆的定义可知，若为定值， 则点的轨迹(即圆)应为的阿波罗尼斯圆， 当分别位于和时，满足为定值， 可得，解得 (舍去)或，所以. 设点，因为， ， 所以可得，经验算，当点的坐标为时，满足， 故存在点，使得为定值，此时. 4．（2026·高二·四川成都·期中）已知圆的圆心在直线上，且过点，. (1)求圆的方程； (2)求过点的直线被圆截得的弦长为的直线方程； (3)若，是平面内不同的两定点，动点满足，则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点是上的动点，点，点是直线上的动点，求的最小值. 【解析】（1）设圆的方程为，由题意，解得， 所以圆的方程为． （2）当垂直于x轴时，将代入圆的方程，得， 所以，， 此时截得的弦长为，满足条件； 当不垂直于x轴时，设的方程为即， 圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式得，解得， 此时直线的方程为即． 所以直线的方程为和． （3）设，则， 故 . 令，则， 其中为点E到直线的距离， 因为，所以的最小值为. 难点四：范围与最值问题 圆中最值常用代数与几何两类方法。几何法优先：利用圆的几何性质，结合圆心、半径分析。圆上点到定点距离最值为圆心到定点距离加减半径；圆上点到定直线距离最值为圆心到直线距离加减半径。弦长最值：直径为最长弦，垂直圆心与弦中点连线的弦可求最短弦。角度、斜率最值常借助切线位置临界求解。代数法可设圆的参数方程，转化为三角函数求值域，或联立方程利用判别式限定变量范围。处理多元最值也可用几何意义转化，如截距、距离、斜率。解题注意找准临界位置，区分点在圆内、圆上、圆外，准确判断取等条件。 难点精练 1．（多选题）（2026·高二·江苏无锡·期中）已知，点到直线：的垂足为，，，则（    ） A．直线过定点 B．点到直线的最大距离为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AB 【解析】已知， 则，故直线过定点，正确； 设的坐标为，则点到直线的最大距离即，正确； 过点作直线直线：的垂线，垂足为，则恒成立，故的轨迹是以为直径的圆， 而，，则该圆的圆心为，半径，故的轨迹方程为， 又由，则，故N在圆外，故的最大值为，最小值为，故,错误． 故选：． 2．（多选题）（2026·高二·贵州·阶段检测）已知是圆上一点，是直线上一点，为坐标原点，则（    ） A．直线不经过第二象限的充要条件是 B．线段的中点的轨迹方程为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 【答案】BC 【解析】显然当时，直线的方程为，也不经过第二象限，所以A不正确； 设的中点为，则 因为，所以， 即线段的中点的轨迹方程为，故B正确； 圆心，半径为，当时，直线的方程为， 因为圆心到直线的距离为，所以的最小值为，故C正确； 设关于直线的对称点为，则解得即， 因为，所以， 所以的最小值为，故D不正确. 故选：BC. 3．（多选题）（2026·高二·山东·阶段检测）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．点到点的距离为定值 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【解析】对于A，由得：， 点的轨迹是以为圆心，半径的圆，点到点的距离为该圆的半径，即定值，A正确； 对于B，，，的最大值为，B正确； 对于C，的几何意义为点到点的距离， 圆心到点的距离，的最大值为，C错误； 对于D，设，，，， ，，当，即时，取得最大值，最大值为，D正确. 故选：ABD. 4．（多选题）已知点，点是圆上任意一点，若面积的最大值为，最小值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由题意知：，， 且圆心坐标为，半径为1， 因为圆心到直线的距离． 所以的最大值，故A错误，B正确； 的最小值，故C正确，D错误； 故选：BC. 5．（多选题）（2026·高二·云南玉溪·阶段检测）已知点，，动点满足，则下面结论正确的为（    ） A．点的轨迹方程为 B．面积的最大值为4 C．点到点的距离的最大值为6 D．的最大值为18 【答案】ACD 【解析】设点，已知，，且， 可得：， 两边同时平方可得：即， 化简可得：， 配方可得：，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，A正确； 已知，，则， 因为点在圆上，所以点到轴的最大距离就是圆的半径， 根据三角形面积公式可得面积的最大值为：所以B错误； 点，圆心，则， 因为点在圆上，所以点到点的距离的最大值为，C正确； 设点，则，， 所以， 因为，即， 代入上式可得：， 因为点在圆上，所以， 当时，取得最大值，最大值为，D正确； 故选： ACD. 基础达标 1．（2026·高二·广东深圳·期末）以为直径的两个端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为直径的两个端点， 所以圆心坐标为，即， 半径为， 所以以为直径的两个端点的圆的方程为， 故选：D 2．（2026·高二·江苏南京·期末）已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【解析】因为点在直线上，所以，即， 圆：的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：B 3．（2026·高二·山东菏泽·期末）若圆上所有的点都在轴左侧，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】可化为：，故圆心为：，半径为，由题意得，解得. 故选：C 4．（2026·高二·安徽六安·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】圆，圆， 则，半径为；，半径为， 则， 则两圆相离，故公切线条数为. 故选：A 5．（2026·高二·山西运城·期末）已知直线与圆交于两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】已知圆的方程为，所以圆心坐标为，. 故圆心到直线：的距离， 所以弦. 故选：C. 6．（2026·高二·江西赣州·期末）若圆：与圆：外切，则（   ） A．1 B．2 C．9 D．1或9 【答案】A 【解析】圆：的圆心为，半径为， 而圆：的圆心为，半径为， 因两圆外切，则，解得. 故选：A. 7．（2026·高二·云南昭通·期末）已知圆与圆相交，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得圆方程可化为， 圆方程可化为， 将两圆的方程相减可得， 化简得，则公共弦方程为，故D正确. 故选：D. 8．（2026·高二·广东河源·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．6 【答案】D 【解析】设，又点，且，所以， 则，即点的轨迹为以为圆心，以2为半径的圆， 又直线恒过定点， 则，所以点在圆外， 所以点到直线的距离等于圆心到直线的距离与半径之和， 即点到直线的距离， 当时，，即点到直线的距离的最大值为6. 故选：D. 9．（多选题）（2026·高三·宁夏银川·期末）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ）． A．圆C的圆心坐标为 B．直线l与圆C相交 C．圆与圆C相切 D．圆C上存在4个点到直线l的距离为1 【答案】ABD 【解析】因为，所以， 圆C的圆心坐标为，故A正确； 圆心C到直线的距离为， 所以直线l与圆C相交，故B正确； 圆与圆C两圆心距离， 两圆半径之和为，半径之差为， 因为，故两圆相交，故C错误； 因为圆心C到直线的距离为，所以， 圆C上存在4个点到直线l的距离为1，故D正确. 故选：ABD. 10．（多选题）（2026·高二·贵州遵义·期末）已知点在圆的内部，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对A：因为，所以点在圆内； 对B：因为，所以点在圆内； 对C：因为，所以点在圆上； 对D：因为，所以点在圆外. 故选：AB 11．（多选题）（2026·高二·云南昭通·期中）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．若或，则直线与圆相切 B．若，则圆关于直线对称 C．若圆与圆相交，且两个交点所在直线恰为，则 D．若，圆上有且仅有两个点到的距离为1，则 【答案】BD 【解析】即，圆心， 对A，若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，则， 解得或，故A错误； 对B，若圆关于直线对称，则直线通过圆心，则有， 解得，故B正确； 对C，圆与圆的方程作差得，即， 则，解得， 经检验此时圆，满足， 则，故C错误； 对D，若圆上有且仅有两个点到的距离为1，则圆心到直线的距离，即， 即，且，解得，故D正确. 故选：BD． 12．（2026·高二·云南昭通·期末）若直线是圆的一条对称轴，则______________． 【答案】2 【解析】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上， 即，解得． 13．（2026·高二·云南玉溪·期末）若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】∵ 方程表示圆. 将方程两边同除以2，化为圆的一般方程标准形式：. ∵ 二元二次方程表示圆的充要条件为， 此处，，，代入得， 展开计算得，解得或， 即实数的取值范围是. 14．（2026·高二·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 【答案】 【解析】圆的圆心. 因为圆：上存在不同两点、关于直线对称， 所以圆心在直线上，故，解得. 15．（2026·高二·浙江绍兴·期末）已知等腰直角的三个顶点为，，，且. (1)求点C的坐标； (2)若点D是中点，求的外接圆方程. 【解析】（1）由题意知 易知 因为，所以，即①， 又所以，即②, 将①式代入②式得， 又，所以,得, 点的坐标为. （2）由题意知, 设的外接圆方程为， 代入点得,解得, 即， 即的外接圆方程为. 16．（2026·高二·云南西双版纳·期末）已知圆，点，且直线经过点P. (1)求圆C的圆心坐标和半径； (2)若直线与C相切，求直线的方程. 【解析】（1）可化为， 故圆的圆心坐标为，半径为； （2）因为，所以点在圆外， 若直线的斜率不存在，则，圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线的斜率存在，则设，即， 则圆心到直线的距离为，得， 此时切线方程为. 综上，直线的方程为或. 17．（2026·高二·广东东莞·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆所截得弦长为6，求直线的方程. 【解析】（1）法一： 因为，且的中点为， 所以的垂直平分线方程为，即， 联立，解得， 故圆心的坐标为， 所以圆的半径， 所以圆的标准方程为. 法二： 设圆的方程为. 由已知得，解得， 所以圆的标准方程为. 法三： 设圆的一般方程为， 由已知得，解得， 所以圆的一般方程为， 化为标准方程，即. （2）设圆心到所求直线的距离为， 由弦长公式得，故， ①当直线的斜率不存在时， 则，此时圆心到直线的距离为1，符合题意. ②当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，即， 则，整理得，解得， 此时直线的方程为. 综上所述，所求直线的方程为或. 18．（2026·高二·福建厦门·期末）已知圆：与圆：. (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求点到两圆公共弦所在直线的距离 【解析】（1） 由题意得圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 则有，，， 因为，所以两圆相交，得证. （2）由题意得，， 将两圆方程相减，可得，整理得， 即两圆公共弦所在直线的方程为. （3）由（2）得两圆公共弦所在直线的方程为， 故点到直线的距离. 能力进阶 1．（2026·高二·河南焦作·开学考试）已知实数满足方程，求的最大值和最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由方程，可化为， 表示以为圆心坐标､为半径的圆， 由的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设，即， 如图所示，当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 此时，解得，所以的最大值为，最小值为. 2．（2026·广东佛山·模拟预测）已知圆与直线相交于两点，若为等边三角形，则k的值为（　　） A． B．±2 C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心，半径， 由为等边三角形，得点到直线距离为， 因此，解得，所以的值为. 3．（2026·高二·湖南株洲·期末）一束光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径的长度是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】关于的对称点设为， 则，解得，故， 光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径 为到圆上一点的最小值， 的圆心为，半径， 连接，则即为最小值， 即. 4．（2026·高二·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 5．（2026·高二·内蒙古·期末）已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心，半径为， 依题意，以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则， 而，因此，解得， 所以的取值范围为. 6．（2026·高二·河南驻马店·期末）若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线对任意都过定点. 要使任意对应的直线与圆总有2个公共点，等价于过定点的所有斜率存在的直线都与圆相交于两点. 若定点在圆内，则过该点的任意直线都与圆交于两点，此时需满足，即 ； 若定点在圆上，即 ，此时过 的直线中只有一条是切线，即直线， 由于该切线斜率不存在，不在 的表示范围内，因此所有可表示的直线（斜率存在）均与圆相交于两点，满足题意； 若定点在圆外，即，则存在斜率存在的直线与圆相离，不满足条件. 综上，实数的取值范围为. 7．由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【解析】圆即为，可知圆心为，半径， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A，连接CA， 在中，．要使最小，则应最小． 又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为． 故的最小值为． 8．（2026·高二·河南许昌·期末）已知为直线上一点，为圆上一点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径，即， 由，可知是圆的切线，为直角三角形 由，则， 由，求的最小值，即求的最小值， 而在直线上，的最小值为圆心到直线的距离， 的最小值为，即的最小值为. 9．（多选题）（2026·高三·湖南·开学考试）在平面直角坐标系中，，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，下列选项中，圆的面积可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】设，则,且半径， 所以圆必过坐标原点， 又因为圆与直线相切， 所以, 又因为坐标原点到直线的距离， 所以的最小值为， 所以圆的面积的最小值为， 对于A，因为，不满足题意； 对于B，，不满足题意； 对于C，，满足题意； 对于D，，满足题意. 10．（多选题）已知为正整数，的方程为，则下列结论正确的有（    ） A．对任意正整数，直线平分的面积 B．对任意正整数，直线与相切 C．存在正整数，使得直线与相交 D．对任意正整数与相交 【答案】ABD 【解析】对于A，将的方程化简得，所以圆心坐标为. 可知直线经过的圆心，所以对任意正整数，直线平分的面积，A正确； 将的方程化简得， 可知圆心到直线的距离为，与轴相切， 故直线关于直线的对称直线也与相切，所以B正确； 结合B选项可知圆心到直线的距离，所以直线与相离，所以C错误； 将的方程化简得，其圆心坐标为，半径为. 的方程为，化简为，其圆心坐标为，半径为. 所以与的圆心距始终为，而对任意正整数与的半径之和， 对任意正整数有，半径之差，所以对任意正整数与相交，D正确. 11．（多选题）（2026·高二·云南德宏·期末）已知直线，圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】对于A：，从而圆心坐标为，故A正确； 对于B：，则直线过定点，又， 则定点在圆内，则过该定点直线一定与圆相交，故B正确； 对于C：设直线到圆心距离为，直线被圆所截弦长为，圆半径为.由AB分析可得，直线过定点且该点到圆心距离为， 当直线与定点和圆心连线垂直时，最大为，则直线被圆截得的最短弦长为，故C错误； 对于D：当时，直线到圆心距离为，如下图，设直线与圆交于，中点为， 连接并延长交圆于，由垂径定理可得.易得， 则在劣弧上存在两点到直线的距离为，在优弧上也存在两点到直线的距离为， 综上圆上存在着4个点到直线的距离为，故D正确. 12．（2026·高三·湖北·开学考试）已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 如图，其中一条切线为轴，设切点为． 设另一条切线的方程为，由到切线的距离为2， 得，解得． 所以的方程为． 联立， 消去化简的：， 解得，故， 即，所以． 所以的方程为：，即：． 所以的最小值为点到直线的距离，即． 13．已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 【答案】 【解析】设，则， 过点作圆的切点弦方程为， 联立，得， 当时，即，无论如何变化， 恒等于0，所以直线过定点. 14．（2026·高一·河北·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，点在内部（含边界）一点，且满足，则的最小值为________． 【答案】． 【解析】设，则, 由， 即， 所以点在以为圆心，半径为1的圆及其内部，同时点在内部（含边界），的边界为， 由于， 且的最小值，即求的最小值， 令，则，所以当与圆相切时，取得最值， 则， 解得：， 结合点是内部（含边界），取时，取得最小值， 最小值为 15．（2026·高二·上海虹口·期中）已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 【解析】（1） 对直线的方程变形：将整理为， 该式对任意实数恒成立，因此需满足，解得， 即定点的坐标为. （2）设弦的中点为，圆的圆心为，由垂径定理可得. 因为在直线上，直线恒过，故，即， 代入，得： ， 展开并配方得，该轨迹为圆内部的圆弧. （3）设圆心到直线的距离为，圆的半径， 由弦长公式得，因此最大时最小， 由于直线恒过定点，故，当且仅当时取最大值， 计算得，. 此时直线的斜率，由得，解得. 16．已知直线：，：． (1)求证：对，与的交点在一个定圆上； (2)若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当在实数范围内取值时，面积的最大值及对应的． 【解析】（1）证明：直线过定点，直线过定点. 当时，，则，且交点不可能为和. 所以与的交点必在以线段为直径的圆上． 设，由，得，即． 当时，：，：，此时交点，也在圆上. 所以，交点的轨迹方程为（除点）. 综上，对，与的交点在一个定圆上. （2）由（1）得，，设定圆圆心为， 因为，所以当时，的面积取得最大值， 为. 又，则，所以直线：，即． 与定圆方程联立整理得，解得或， 即或， 所以直线为或，即或． 17．（2026·高二·云南曲靖·期末）已知圆及直线． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论取什么实数时直线恒经过的点，并证明：直线与圆恒相交； (3)求直线被圆截得的最短弦的长． 【解析】（1）由题意圆的方程为：， 所以圆心，则，点在圆外， 当切线斜率不存在时，其方程为，满足题意， 当切线有斜率时，设切线斜率为，则切线方程为， 则圆心到直线的距离为， 所以直线方程为，即． 综上可得：切线方程为和 （2），证明如下： 可变形为， 令，解得，所以直线恒经过点， 因为，所以点在圆内部， 所以直线l与圆C恒相交. （3）当直线l被圆C截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点所在的直线垂直， 设弦的斜率为，则， 弦方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 18．（2026·高二·河南郑州·期末）已知直线l：和圆C：， (1)直线l与圆C相切时，求m的值； (2)直线l与圆C相交于A，B两点，若弦，求m的值； (3)当时，P为直线l上的动点，过P作圆C的切线，切点为T，求的最小值； 【解析】（1）因为直线l与圆C相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即，得； （2）因为，所以圆心到直线的距离等于， 即，得； （3）当时，圆心到直线的距离等于， 则， 故的最小值为. 1/3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $