第2章 圆与方程（举一反三讲义·基础篇）高二数学苏教版选择性必修第一册

第2章 圆与方程（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版（2019）】 题型1 圆的方程的求解 1．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东广州·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的标准方程为 ． 4．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 5．（24-25高二上·广东·期末）已知点 (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)已知圆过点，求圆的方程. 题型2 由圆的方程确定圆心和半径 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．，1 B．，1 C．， D．， 2．（24-25高二上·山西·阶段练习）已知圆的方程是，则圆心的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则这个圆的半径是 . 4．（24-25高二上·全国·假期作业）求下列各圆的圆心坐标和半径： (1)； (2). 5．（24-25高二·全国·课后作业）已知下列方程表示的是圆，写出方程系数a，b的取值范围，并指出各圆的圆心和半径： (1)； (2)； (3). 题型3 直线与圆的位置关系的判定及应用 1．（24-25高二上·浙江·阶段练习）直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 2．（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）如果直线与圆相切，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·天津蓟州·阶段练习）已知直线与圆，点， ①若点在圆上，则直线与圆相切   ②若点在圆内，则直线与圆相交 ③若点在圆外，则直线与圆相离   ④若点在直线上，则直线与圆相切 则上述说法正确的是 ． 4．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线，圆 (1)当时，判断直线l与圆C的位置关系； (2)记直线l与圆C的交点为A，B，当时，求k的值. 5．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知直线：（），圆：. (1)试判断直线与圆的位置关系，并加以证明； (2)若直线与圆相交于，两点，求的最小值及此时直线的方程. 题型4 直线与部分圆的相交问题 1．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·天津·期中）若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·海南海口·期中）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·海南·阶段练习）曲线 与直线有公共点，则k的取值范围是 . 5．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为 . 题型5 直线与圆的实际应用 1．（24-25高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 2．（24-25高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 3．（24-25高二上·江苏扬州·期末）某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：    4．（24-25高二上·北京大兴·期末）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 5．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 题型6 圆与圆的位置关系的判定及应用 1．（24-25高二下·湖北·期末）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 2．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 3．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）圆与圆的位置关系为 . 4．（24-25高二上·青海海南·期中）已知圆W经过，，三点． (1)求圆W的标准方程； (2)判断圆与圆W的位置关系． 5．（24-25高二上·河南许昌·期中）已知一个动点在圆上移动，它与定点所连线段的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)判断该轨迹与圆的位置关系. 题型7 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 1．（24-25高二上·江苏·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 3．（24-25高二下·全国·课堂例题）圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 4．（24-25高二上·辽宁本溪·阶段练习）已知圆，圆. (1)求圆与圆的公共弦长； (2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 5．（24-25高二上·河北唐山·期中）已知圆与圆． (1)若圆与圆相外切，求的值． (2)若，试求： ①圆与圆所得的公共弦长； ②经过两圆与圆的交点且与轴相切的圆的方程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 圆与方程（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版（2019）】 题型1 圆的方程的求解 1．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件，直接求出圆心和半径，再求出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解. 【解答过程】因为，，则的中点为，且， 所以为直径的圆的方程为，即， 故选：A. 2．（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据已知条件设出圆心坐标及半径，再结合圆上两点的坐标得到方程组，解方程组即可求解. 【解答过程】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为， 则圆的方程为，因为点、在圆上， 所以有，整理得：， 解得：，所以圆的方程为：. 故选：D. 3．（24-25高二上·广东广州·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【解题思路】根据题意结合圆的性质求得圆心为，即可得半径和圆的方程. 【解答过程】圆经过原点和点，可知圆心在线段的中垂线上， 因为圆心在直线， 联立方程，解得， 即，可得半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据两点式直线方程的特征即可求解， （2）利用待定系数法即可列方程求解. 【解答过程】（1）由题意，得. 化简，得直线的一般式方程为. （2）设外接圆的一般方程为.① 因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是， 得， 即，解得. 故所求圆的一般方程为. 5．（24-25高二上·广东·期末）已知点 (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)已知圆过点，求圆的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）依次求出线段的中点坐标和所在直线的斜率，即得线段的垂直平分线的斜率，即可写出方程； （2）求出线段的垂直平分线的方程，再将线段、的中垂线方程联立，求出圆心，再求出半径，即得圆的方程. 【解答过程】（1）依题意，设线段的中点为，因，，则， 直线的斜率为：，则线段的垂直平分线的斜率为， 故其直线方程为：，即. （2）设线段的中点为，因，，则， 直线的斜率为：，则线段的垂直平分线的斜率为， 得线段的垂直平分线的方程为,即， 由（1）线段的垂直平分线方程为， 由，解得：， 即圆心为，圆的半径为：， 故圆的方程为：. 题型2 由圆的方程确定圆心和半径 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．，1 B．，1 C．， D．， 【答案】B 【解题思路】配方得到圆的标准方程，得到圆心和半径. 【解答过程】， 故圆心为，半径为1. 故选：B. 2．（24-25高二上·山西·阶段练习）已知圆的方程是，则圆心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心坐标. 【解答过程】圆的方程可化为，圆心的坐标是. 故选：A. 3．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则这个圆的半径是 . 【答案】3 【解题思路】化圆的方程为标准形式，进而求出圆半径. 【解答过程】圆的方程化为：， 所以圆的半径为3. 故答案为：3. 4．（24-25高二上·全国·假期作业）求下列各圆的圆心坐标和半径： (1)； (2). 【答案】(1)圆心为，半径为； (2)圆心为，半径为3 【解题思路】根据题意，把圆的方程化为圆的标准方程，结合圆的标准方程，即可求解. 【解答过程】（1）解：圆，可得化为， 可得圆心坐标为，半径为. （2）解：圆，可得化为， 可得圆心坐标为，半径为. 5．（24-25高二·全国·课后作业）已知下列方程表示的是圆，写出方程系数a，b的取值范围，并指出各圆的圆心和半径： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析. 【解题思路】（1）（2）（3）化圆的一般方程为标准方程，利用半径大于0，可求a,b的取值范围，并可得出圆心与半径. 【解答过程】（1）由可化为：， 所以，圆心为，半径为. （2）由可化为：， 所以，圆心为，半径为. （3）由可化为：， 所以，圆心为，半径为. 题型3 直线与圆的位置关系的判定及应用 1．（24-25高二上·浙江·阶段练习）直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 【答案】C 【解题思路】确定直线过定点，而定点在圆内，从而可得结论． 【解答过程】将圆的方程化为标准方程，所以圆心坐标为，圆的半径为5， 直线恒过定点， ，点在圆内，所以直线与圆相交， 故选：C. 2．（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）如果直线与圆相切，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题，圆心到直线的距离等于半径，列出方程求解即可． 【解答过程】由题，圆心到直线的距离等于半径，即， 故选：B． 3．（24-25高二上·天津蓟州·阶段练习）已知直线与圆，点， ①若点在圆上，则直线与圆相切   ②若点在圆内，则直线与圆相交 ③若点在圆外，则直线与圆相离   ④若点在直线上，则直线与圆相切 则上述说法正确的是 ． 【答案】①④ 【解题思路】圆心到直线的距离， 结合直线与圆的位置关系相应条件判断即可. 【解答过程】圆心到直线的距离， 对于①，若点在圆上，则，所以，直线与圆相切，故①正确； 对于②，若点在圆内，则，所以，直线与圆相离，故②错误； 对于③，若点在圆外，则，所以，直线与圆相交，故③错误； 对于④，若点在直线上，则，即， 所以，直线与圆相切，故④正确. 故答案为：①④. 4．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线，圆 (1)当时，判断直线l与圆C的位置关系； (2)记直线l与圆C的交点为A，B，当时，求k的值. 【答案】(1)相交 (2) 【解题思路】（1）利用点到直线距离，即可判断圆心到直线的距离，与圆半径比较，即可判断直线与圆间的位置关系； （2）已知直线与圆相交的弦长，即可得到圆心到直线的距离，进而根据点到直线的距离公式求解直线斜率. 【解答过程】（1）圆， 圆心，半径，又直线， 圆心C到直线的距离， 所以直线l与圆C相交； （2）圆心到直线的距离， 又， 所以，解得    5．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知直线：（），圆：. (1)试判断直线与圆的位置关系，并加以证明； (2)若直线与圆相交于，两点，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)直线与圆相交，证明见解析 (2)最小值为4，方程为 【解题思路】（1）由直线恒过定点，并且定点在圆的内部，即可得出直线与圆相交. （2）由题意得直线与直线垂直时，弦长最小，由直线和圆相交的弦长公式即可求得答案. 【解答过程】（1）∵（），∴， 令解得∴直线恒过定点. 又， ∴点在圆内部， ∴直线与圆相交. （2）∵圆：的圆心为，半径为3， 当直线与直线垂直时，弦长最小，此时， ∴直线的斜率为， ∴直线的方程为，即. 圆心到直线的距离为， ∴， ∴弦长的最小值为4，此时直线的方程为. 题型4 直线与部分圆的相交问题 1．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据曲线方程得到曲线的轨迹为半圆，根据直线方程得到直线过点，然后结合图形得到直线在之间，最后计算即可. 【解答过程】曲线可整理为，， 所以曲线为以为圆心，半径为2的半圆，图形如下： 直线表示过点的直线， 如图所示，当直线在之间时与曲线有两个交点， 与半圆相切，则，解得， 经过点，则，解得， 所以. 故选：B. 2．（24-25高二上·天津·期中）若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由曲线表示的几何图形，借助直线与圆的位置关系求出范围. 【解答过程】曲线，即表示以原点为圆心，1为半径的上半圆（含端点）， 在坐标平面内作出半圆及直线， 当直线与半圆相切时，且，则， 当直线过点时，，即，此时该直线与半圆有一个公共点， 当直线在直线与之间平行移动时，直线与半圆始终有公共点， 此时直线的纵截距在到之间， 当直线在直线与所夹区域外移动时，该直线与半圆无公共点， 所以直线与曲线有公共点，. 故选：B. 3．（24-25高二上·海南海口·期中）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可. 【解答过程】由知直线过定点， 由曲线，两边平方得， 则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点）， 当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点， 此时，解得， 当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点， 圆心到直线的距离，解得， 要使直线与曲线恰有两个交点， 则直线夹在两条直线之间，因此， 即实数的取值范围为. 故选：B. 4．（24-25高二上·海南·阶段练习）曲线 与直线有公共点，则k的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】通过化简知曲线是圆心为，半径为的上半圆，再借助数形结合的方法，利用直线与半圆相切时直线的斜率可得结果. 【解答过程】直线过定点，由得，故曲线是圆心为，半径为的上半圆，如图所示： 当直线与半圆相切时， 设切线倾斜角为，，则，∴切线的斜率， 所以曲线 与直线有公共点，则k的取值范围是. 故答案为：. 5．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】根据分析可得曲线表示半圆，利用直线恒过定点，数形结合可得直线与曲线有两个交点时的取值范围. 【解答过程】由得， ∴曲线表示圆的下半圆，圆心为，半径为1. 由题意得，直线过点，斜率为. 如图，当直线与半圆相切时，，当直线过点时，， ∴的取值范围为. 故答案为：. 题型5 直线与圆的实际应用 1．（24-25高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 【答案】C 【解题思路】根据圆的性质由弦长及拱高构造等量关系，由勾股定理计算可得结果. 【解答过程】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设圆的半径为，在中利用勾股定理可得， 即，解得； 易知， 在中，易知，即，解得. 故选：C. 2．（24-25高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【答案】C 【解题思路】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长． 【解答过程】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系， 由题意可知，，圆方程，半径， 直线方程：，即， 设到距离为， 则，故直线与圆相交， 所以外籍轮船能被海监船检测到， 如图，设直线与圆交点为，取中点，连接，则， 所以， 设监测时间为，则（小时）， 故轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时． 故选：C． 3．（24-25高二上·江苏扬州·期末）某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：    【答案】0.65 【解题思路】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程并利用待定系数法求出圆方程，代入点的横坐标即可求出支柱的长. 【解答过程】    以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为 ，              设圆拱所在的圆的方程是， 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得，                         故圆拱所在的圆的方程是，                       将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即支柱的长约为0.65m． 故答案为：0.65. 4．（24-25高二上·北京大兴·期末）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 【答案】(1)作图见解析 (2)不会有触礁危险，理由见解析 【解题思路】（1）根据方位角的概念直接在图中标出即可. （2）建立平面直角坐标系，求出航线的直线方程及圆的方程，利用判别式法判断直线与圆的位置关系，即可判断. 【解答过程】（1） （2）以小岛中心为原点，东西方向为轴，建立上图所示的直角坐标系， 为了运算的简便，取10千米为单位长度，则港口所在位置的坐标为， 轮船所在位置坐标为， 则受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为， 轮船航线所在直线的方程为即， 由，得， 由，可知方程组无解． 所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险. 5．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险． 【解题思路】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解； （2）首先求船行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性. 【解答过程】（1）依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点, 又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则,解得， 所以圆C的方程为． （2）因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则， 而船D沿着北偏东方向行驶， 则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离，则， 所以该船没有触礁的危险． 题型6 圆与圆的位置关系的判定及应用 1．（24-25高二下·湖北·期末）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】C 【解题思路】求得两个圆的圆心和半径，求得圆心距，由此确定正确选项. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 圆方程可化为， 圆的圆心为，半径为，圆心距， 因为， 所以两个圆的位置关系是相交. 故选：C. 2．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【解题思路】由圆的面积被直线平分，可得圆心在直线上，求出，进而利用圆心距与半径和以及半径差的关系可得圆与圆的位置关系． 【解答过程】因为圆的面积被直线平分，所以圆的圆心在直线上， 所以，解得，所以圆的圆心为，半径为． 因为圆的圆心为，半径为，所以， 故，所以圆与圆的位置关系是相交． 故选：B． 3．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）圆与圆的位置关系为 . 【答案】外离 【解题思路】由圆和圆的方程求两圆的圆心坐标及半径，再求圆心距，比较与半径和，半径差的绝对值的大小，可得结论. 【解答过程】设圆的半径为，圆的半径为，则 圆的圆心的坐标为，半径为， 圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，，， 所以， 所以圆和圆外离. 故答案为：外离. 4．（24-25高二上·青海海南·期中）已知圆W经过，，三点． (1)求圆W的标准方程； (2)判断圆与圆W的位置关系． 【答案】(1) (2)圆C与圆W相交 【解题思路】（1）设出圆的一般方程，代入点坐标，求解转化为标准方程； （2）根据圆与圆的位置关系判断求解即可. 【解答过程】（1）设圆W的方程为，， 则，解得， 故圆W的方程为，标准方程为． （2）圆W的圆心为，半径为5， 圆C的标准方程为， 圆心为，半径为3． 设两圆圆心之间的距离为d，则． 因为，所以圆C与圆W相交． 5．（24-25高二上·河南许昌·期中）已知一个动点在圆上移动，它与定点所连线段的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)判断该轨迹与圆的位置关系. 【答案】(1) (2)相交. 【解题思路】（1）设点，表示出点的坐标，再利用坐标代换法求出轨迹方程. （2）确定轨迹图形，再求出圆心距并判断位置关系. 【解答过程】（1）设点，而点，且是线段中点，则， 又点在圆上，则，化简得， 所以点的轨迹方程是. （2）由（1）知，点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆， 圆的圆心，半径为5， ， 所以该轨迹与圆相交. 题型7 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 1．（24-25高二上·江苏·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过点关于直线对称求圆的圆心和半径来求得正确答案. 【解答过程】圆的圆心为，半径为. 所以圆的半径为，设圆心为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：A. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】先求出已知圆圆心和半径，再根据圆和圆的位置关系求解即可. 【解答过程】由，圆心为，半径为4， 设动圆圆心为，若动圆与已知圆外切，则， 即； 若动圆与已知圆内切，则， 即. 综上所述，动圆圆心的轨迹方程是或. 故选：D. 3．（24-25高二下·全国·课堂例题）圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 【答案】 【解题思路】利用圆系方程可求圆的方程. 【解答过程】设圆的方程为：， 整理得到：， 因为圆过，代入该点得到：即， 故圆的方程为：即， 故答案为：. 4．（24-25高二上·辽宁本溪·阶段练习）已知圆，圆. (1)求圆与圆的公共弦长； (2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案， （2）解法一：设过两圆的交点的圆为，求出圆心坐标代入中可求出，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为，然后列方程组可求出，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程. 【解答过程】（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程， 即，化简得， 所以圆的圆心到直线的距离为， 则，解得， 所以公共弦长为. （2）解法一： 设过两圆的交点的圆为， 则； 由圆心在直线上，则，解得， 所求圆的方程为，即. 解法二： 由（1）得，代入圆， 化简可得，解得； 当时，；当时，； 设所求圆的圆心坐标为， 则，解得； 所以； 所以过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为. 5．（24-25高二上·河北唐山·期中）已知圆与圆． (1)若圆与圆相外切，求的值． (2)若，试求： ①圆与圆所得的公共弦长； ②经过两圆与圆的交点且与轴相切的圆的方程． 【答案】(1) (2)①  ②或 【解题思路】（1）求出两圆的圆心距，再由两圆外切的性质求出. （2）①求出两圆公共弦所在的直线方程，利用圆的弦长公式求出弦长；②求出直线的方程，设出圆心坐标，借助①中弦长及切线建立方程求解. 【解答过程】（1）圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为，则， 由圆与圆相外切，得，所以. （2）①当时，圆，，圆与圆相交， 两圆方程相减得，点到直线距离为， 所以圆与圆所得的公共弦长为； ②直线的方程为，即， 依题意，过两圆与圆的交点的圆的圆心在直线上，设圆心， 点到直线距离，圆的半径为， 由轴与圆相切，得，整理得， 解得或，当时，点，半径为1，方程为； 当时，点，半径为5，方程为， 所以圆的方程为或. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$