第21章 二次函数与反比例函数 单元练习卷 2026--2027学年沪科版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦二次函数与反比例函数核心知识，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，适配九年级上册第21章单元复习，体现数学抽象、几何直观与运算能力的核心素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|二次函数图象平移（3题）、性质（2题），反比例函数性质（1题、7题）|结合函数图象辨析，考查抽象能力| |填空题|8|函数解析式（12题）、图象与几何综合（13题、17题）|注重几何直观与符号意识| |解答题|5|二次函数建模（22题）、函数与新概念综合（23题）|以足球轨迹等现实情境命题，引入“对称函数”提升创新应用，体现模型意识|

2026-2027学年九上数学第21章二次函数与反比例函数单元练习卷 一、单选题 1．对于反比例函数y，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y＝﹣kx2﹣kx的大致图象是（　　） A． B． C． D． 2．二次函数的图象上四点，，，纵坐标中最大的数是（   ） A． B． C． D． 3．把抛物线先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线为（    ） A． B． C． D． 4．若点，，都在二次函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 5．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　  ） A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 6．二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（　　）. A．点C的坐标是（0，1） B．线段AB的长为2 C．△ABC是等腰直角三角形 D．当x＞0时，y随x增大而增大 7．某果农苹果的总产量是千克，设平均每棵苹果产千克，苹果总共有棵，则与之间的函数关系图象大致是（      ） A． B． C． D． 8．在二次函数中，与的部分对应值如表： 0 1 2 3 则的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 9．如图，反比例函数的图象经过点，若，则的范围为（    ） A． B． C． D．或 10．如图1，在等腰直角三角形中，是斜边上一点，过点分别作，垂足分别为点，设．若关于的函数图象如图2所示，点和在函数图象上，，则下列选项正确的是（   ） A． B．当时， C．点在该函数图象上 D．该函数图象的最高点的纵坐标为8 二、填空题 11．若点在反比例函数的图象上，则m的值为______． 12．一个边长为4厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为______． 13．已知函数，其图像如图中的实曲线部分，图像上两个最高点是，，连接，则图中阴影部分的面积是____________________． 14．如图，以点为顶点的二次函数的图象与x轴负半轴交于点A，则方程的正数解的范围是__________． 15．景区喷泉水柱如图建立坐标系，水柱高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道，通道顶部距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______． 16．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣2，p），B（5，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是_____． 17．如图，在平面直角坐标系中，点，是反比例函数图象上的两点，过作轴于点，过作轴于点，则图中阴影部分的面积为______． 18．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示：①a＞b＞c，②一次函数y＝ax＋c的图象不经过第四象限，③m(am＋b)＋b＜a(m是任意实数)，④3b＋2c＞0，⑤a+b+c＞0其中正确的结论有___(填序号)． 三、解答题 19．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．    (1)求反比例函数的解析式和n的值； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 20．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，O为原点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上的一点，连接，，若，求符合要求的点P的坐标． 21．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，与反比例函数的图象交于点C，过点C作轴于点B， (1)求点A的坐标及反比例函数的解析式； (2)若点E是直线与反比例函数图象的另一个交点，求的面积． 22．随着“江西省城市足球联赛”（简称“赣超”）的开赛，点燃了大家对足球的热情．下图是某场球赛中的截面示意图，进攻球员位于点O处起脚射门，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．足球距离点O的水平距离x（单位：m）与离地高度y（单位：m）的部分数据如下表： 水平距离 … 6 9 12 15 … 离地高度 … 3.6 4.5 4.8 4.5 … 以点O为坐标原点，直线为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)根据表中数据预测，足球飞行过程中，离地最大高度：______m． (2)求y关于x的函数解析式． (3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于该守门员的最大防守高度时，该守门员可防守成功．若守门员距离点O水平距离时，该守门员需要至少退后几米，才能防守成功？ 23．已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“对称函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点为点“关于的对称点”，点在函数的“对称函数”的图象上． 例如，函数，当时，则函数是函数的“对称函数”． 在平面直角坐标系中，函数图象上任意一点，点为点“关于的对称点”，点在函数的“对称函数”的图象上． (1)求函数的“对称函数”的函数表达式； (2)点在函数的图象上，点“关于的对称点”在点的下方，当时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的对称点”为点．设点的横坐标为． ①若点在点的下方，过点作轴的平行线，与函数的“对称函数”的图象相交于点，以为邻边作矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ②在①的条件下，当直线与函数的图象只有一个交点时，请直接写出的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年九上数学第21章二次函数与反比例函数单元练习卷》 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C C D D D A C C 1．B 【分析】利用反比例函数的性质得出k的符号，进而利用二次函数图象与系数的关系得出答案． 【详解】解：∵反比例函数y，当x＞0时，y随x的增大而增大， ∴k＜0， ∴二次函数y＝﹣kx2﹣kx中，﹣k＞0， ∴其开口向上，且对称轴x=在y轴左侧， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数性质，二次函数的性质，掌握反比例函数性质，二次函数的性质是解题关键． 2．A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意，点在二次函数上，把点的坐标代入函数解析式，分别求出，，，，比较大小，即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，，， ∴当时，，即 当时，，即， 当时，；即， 当时，；即， ∴， ∴的纵坐标最大， 故选：A． 3．C 【分析】本题考查二次函数图像与几何变换，根据函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：把抛物线先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线为， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查二次函数的性质，通过直接计算各点的函数值，比较大小． 【详解】解：二次函数为 ， 当时，； 当时，； 当 时，； ，，， 故 ． 故选． 5．D 【分析】根据二次函数的图象和性质逐个判断求解即可． 【详解】∵对称轴是直线， ∴，即，故④正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根， ∴，故②正确； 当时，，故③正确； 综上所述，正确的有①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解题的关键． 6．D 【分析】点C的坐标可以令x＝0，得到的y值即为点C的纵坐标；令y＝0，得到的两个x值即为与x轴的交点A、B的横坐标，且AB的长也有两点横坐标求得；分别求出AC、BC的长，根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状；a= -1＜0，抛物线开口向下，对称轴为x=0,对函数的增减性进行判断． 【详解】A．根据题意可知：当x=0时，y=1， ∴点C的坐标为（0，1）， 故选项正确，不合题意； B．当y=0时，x= -1或x=1， ∴AB=2， 故选项正确, 不合题意； C．∵OA=1，OB=1，OC=1， ∴AC==，BC= =， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是等腰直角三角形， 故选项正确，不合题意； D．由y= -x2+1可知：a= -1＜0，抛物线开口向下，对称轴为x=0， ∴当x＞0时，y随x增大而减小， 故选项错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的性质、勾股定理、函数图像与坐标轴的交点、判定函数的增减性等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 7．D 【分析】根据题意有：xy＝9.3×104；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据实际意义x、y应大于0． 【详解】∵xy＝9.3×104， ∴y＝（x＞0，y＞0）． 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 8．A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能根据表中点的坐标特点找出对称轴是解此题的关键． 根据表格的x、y的值找出函数的对称轴，利用二次函数的性质即可得出答案． 【详解】抛物线过，， 抛物线的对称轴为直线，当，， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， m，n分别为点和的纵坐标， ， 故选：A 9．C 【分析】本题考查由函数图象解不等式，理解若时，求的范围指直线上方的反比例函数图象对应的的范围，即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：过点作轴的平行线，如图所示： 若时，求的范围指直线上方的反比例函数图象对应的的范围，则为， 故选：C． 10．C 【分析】根据题意可得为等腰直角三角形，四边形为矩形，设，则，，可得，即y是关于x的二次函数，且对称轴为直线，再由，可得，从而得到y关于x的函数解析式为， 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，四边形为矩形， ∴， 设，则，， ∴，即y是关于x的二次函数，且对称轴为直线， ∵点和在函数图象上，， ∴，即， ∴，，即y关于x的函数解析式为，故A选项错误，不符合题意； 当时，，故B选项错误，不符合题意； 当时，，则点在该函数图象上，故C选项正确，符合题意； ∵，， ∴该函数图象的最高点的纵坐标为16，故D选项错误，不符合题意； 11． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据点在反比例函数的图象上，代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 12． 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面积． 首先表示出原边长为4厘米的正方形面积，再表示出边长增加x厘米后正方形的面积，再根据面积随之增加y平方厘米可列出方程． 【详解】解：原边长为4厘米的正方形面积为：（平方厘米）， 边长增加x厘米后边长变为：， 则面积为：平方厘米， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，矩形的面积计算，找到图中阴影部分的面积矩形的面积是解题的关键．过A作轴于D，过B作轴于E，得到四边形是矩形，根据图中阴影部分的面积矩形的面积即可得到结论． 【详解】解：过A作轴于D，过B作轴于E， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， 图中阴影部分的面积矩形的面积， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线的对称性，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：因为抛物线的顶点坐标为， 所以抛物线对称轴为， 设点A的坐标为， 所以点A关于抛物线对称轴的对称点为， 因为图象与x轴负半轴交于点A， 所以方程的正数解为该交点的横坐标，即为， 观察图象得，， 所以， 所以方程的正数解的范围是． 故答案为： 15．米 【分析】由题意易得该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，然后可得，当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度，进而问题可求解． 【详解】解：∵喷出水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系， ∴该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形通道， ∴矩形关于抛物线的对称轴对称， ∵通道宽为2米， ∴，即， ∵通道顶部到水柱的竖直距离均不小于2米， ∴，即， 即当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度， 当时，则有， ∴通道顶端到地面的最大高度为（米）． 16．x＜﹣2或x＞5 【分析】直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集． 【详解】∵直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（-2，p），B（5，q）两点， ∴关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是：x＜-2或x＞5． 故答案为x＜-2或x＞5． 【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键． 17． 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数的图象上任取一点向、轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形面积是定值，掌握反比例函数系数的几何意义是解答本题的关键． 利用反比例函数系数的几何意义得到，进而即可得到． 【详解】解：轴，过作轴， ， ， 故答案为：． 18．④⑤/⑤④ 【分析】①根据抛物线开口向上，且与y轴的交点再y轴负半轴，即可判定a＞0，c＜0，再结合抛物线的对称轴可得b=2a，即可判断；②根据以得出的a＞0，c＜0，即可判断；③令m=-1即可判断；⑤根据图象可知，当x=1时，抛物线的函数值大于0，可得当x=1时，有，即可判断；④结合b=2a，可得，即可判断． 【详解】∵抛物线开口向上，且与y轴的交点再y轴负半轴， ∴a＞0，c＜0， ∵抛物线的对称轴为x=-1， ∴， ∴即b=2a，且b＞0， 即有b＞a＞c，故①错误； ∵a＞0，c＜0， ∴可知一次函数经过一、三、四象限， 故②错误； ∵m为任意数， ∴当m=-1时，有， 故③错误； ∵根据图象可知，当x=1时，抛物线的函数值大于0， ∴当x=1时，有， 故⑤正确 ∵b=2a， ∴， 故④正确， 故答案为：④⑤． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线的对称轴，一次函数的图象与性质等知识，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答本题的关键．解答此题时要注意数形结合的思想． 19．(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）把代入求出反比例函数解析式即可，把代入反比例函数解析式求出n的值即可； （2）根据函数图象求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵，在的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式是， ∴； （2）解：根据函数图象可知：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上面， ∴当或时，． 20．(1) (2)或或或 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何的综合，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）首先得出，，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先求出，然后根据求出，然后分情况分别代入表达式求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴将，代入得， 解得 ∴； （2）当时， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 当时， 解得或 ∴点P的坐标为或； 当时， 解得或， ∴点P的坐标为或； 综上所述，符合要求的点P的坐标为或或或． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数与反比例函数的交点，坐标与图形，三角形的面积，待定系数法求函数解析式，求出反比例函数解析式是解答本题的关键． （1）求出点的坐标，证明，得，不规则根据，求出，即得点的纵坐标为4，代入直线，即可求得点C坐标，最后用待定系数法求出反比例函数解析式； （2）先求出点D坐标，再联立两个函数解析式求解得点E坐标．然后根据坐标求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解： 直线与轴交于点， ，即， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ， 点的纵坐标为4， 点在直线上， ∴ ∴ 点， ， 反比例函数的解析式为：． （2）解：令，则 解得： ∴， 联立一次函数解析式与反比例函数解析式，得， 解得 或， 直线与反比例函数图象的另一个交点E坐标为． ∴． 22．(1)4.8 (2) (3)守门员需要至少退后2米，才能防守成功 【分析】（1）由表格分析求解即可； （2）设出顶点式，再代入即可求解； （3）把代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，时和时，相等， ∴抛物线关于直线对称， ∵抛物线的开口向下： ∴当时，最大，为； （2）解：由题意，设抛物线为． 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意，当时，， 解得或（舍去）， ， ∴守门员需要至少退后2米，才能防守成功． 23．(1) (2) (3)①；②或． 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，二次函数图象及性质，一次函数与二次函数交点问题等。 （1）根据题意可得，继而得到答案； （2）设点的坐标为，则点“关于的对称点”的坐标为，后列式计算得，继而可得本题答案； （3）①设点的坐标为，后得函数的“对称函数”的表达式为，再当时，，解得，后因点在点的下方，且四边形是矩形，可得且，继而得到点， 再分为当和时，分别求出和即可；②由①解析式画图象，并得到点，分两种情况讨论继而求出本题答案。 【详解】（1）解：∵当时，称函数为函数的“对称函数”， ， ∴； （2）解：点在函数的图象上， 设点的坐标为，则点“关于的对称点”的坐标为， ，且点在点的下方， ， 解得：， 点的坐标为； （3）解：①点在函数的图象上，点的横坐标为， 点的坐标为． 点“关于的对称点”的坐标为，函数的“对称函数”的表达式为， ， ∴它的对称轴为直线． 当时，． 解得：． 点在点的下方，且四边形是矩形， 且． 轴，， ∴点和点关于直线对称． 点． 当时， ， 当时， ， 综上所述，； ②或． 由①知 所画图象如图所示： 令，即：， ∴， 令，即：， ∴， 两函数交点为， 与函数的图象只有一个交点， 有以下两种情况： ①将点代入，得． 解得：． 将点代入，得：． ． ②当直线与的图象只有一个交点时， 即， ． 解得． 综上所述，或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $