第21章 二次函数与反比例函数 单元基础练习卷 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 2026-2027学年九上数学沪科版第21章二次函数与反比例函数单元基础练习卷，覆盖函数图像性质、几何意义及综合应用，题型梯度合理，适配单元复习巩固抽象能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|二次函数对称轴、反比例函数图像象限等|结合点坐标判断函数图像，考查抽象能力| |填空题|8题|二次函数最值、反比例函数k值几何意义|14题“数形结合”题培养几何直观| |解答题|5题|函数综合应用、实际问题（发石车）、面积计算|22题以古代科技为情境体现应用意识，23题通过抛物线顶点与面积比发展推理能力|

2026-2027学年九上数学沪科版第21章二次函数与反比例函数单元基础练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过点的是（    ） A． B． C． D． 2．已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则的值为（   ） A．7 B．9 C．10 D．15 3．关于反比例函数的图象，下列说法中正确的是（     ） A．点在它的图象上 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象的两个分支关于原点对称 4．若点，在双曲线上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．二次函数的对称轴，顶点坐标分别是（     ） A．直线， B．直线， C．直线， D．直线， 6．如图，是反比例函数图像在第二象限上的一点，且矩形的面积为8，则反比例函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 7．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，建立如图所示的平面直角坐标系，得水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式是，则水流喷出的最大高度为（） A． B． C． D． 8．二次函数的最大值是（     ） A． B． C．1 D．0 9．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 10．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 二、填空题 11．二次函数的最小值为__________． 12．如果反比例函数的图像位于第一、三象限，那么________．（只需写一个数值） 13．若点，都在二次函数的图象上，则与的大小关系为___________．（填“>”“<”或“=”） 14．“数形结合”是研究函数的重要思想方法．若二次函数的图象在平面直角坐标系中只经过两个象限，则的值可以是_________．（写出满足条件的一个值即可） 15．某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于救援、地形勘察等场景．如图是某次仿生跳跃机器人起跳后的运动路线，可看作抛物线的一部分，若仿生跳跃机器人的跳跃高度（单位：）与跳跃时间（单位：）之间的关系为，则仿生跳跃机器人从起跳到落地所用的时间为________s． 16．如图，与双曲线的两个交点的纵坐标分别为，2，则使得成立的自变量的取值范围是___________． 17．如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，连接，．若，且满足，则k的值为________． 18．如图，抛物线交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段轴交抛物线于点，，则的面积是_________________． 三、解答题 19．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）． 20．已知二次函数 (1)当时，y的值是多少？ (2)当x为何值时，y的值为0？ 21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)根据图象直接写出不等式的解集． 22．发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，求函数表达式（不写x的范围）； (2)石块能否飞越防御墙？请说明理由． 23．在平面直角坐标系中，抛物线过两点． (1)若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； (2)如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年九上数学沪科版第21章二次函数与反比例函数单元基础练习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D C B D A D C C 1．D 【分析】将点的横坐标代入各选项的函数解析式，计算得到的值若等于，则该函数图象经过该点，据此判断即可． 【详解】解：把分别代入各选项计算： A. 不符合题意； B. 不符合题意； C. 不符合题意； D. 符合题意； 故选：D． 2．A 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征． 利用“图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点的坐标代入函数式求解即可 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入解析式得：， 解得：． 故选：A． 3．D 【分析】根据反比例函数的解析式，将点的坐标代入解析式中，可判断A； 根据反比例函数的解析式，可得出其图象的位置，可判断B； 根据反比例函数的解析式，结合增减性，可判断C； 根据反比例函数的解析式，可判断其对称性，可判断D． 【详解】解：反比例函数， 当时，， ∴点不在它的图象上， 故A错误； ∵， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大反而减小， 故B错误，C错误； 由反比例函数的对称性可知，图象的两个分支关于原点对称，故D正确． 4．C 【分析】由确定双曲线的象限分布，结合点的横坐标符号判断函数值正负即可比较． 【详解】解：∵， ∴双曲线的两支分别位于第二、第四象限， ∵点的横坐标， ∴该点在第二象限，， ∵点的横坐标， ∴该点在第四象限，， ∴． 5．B 【详解】二次函数，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于二次函数， ∵， ∴二次函数的图像开口向上， ∵，， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 6．D 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义及反比例函数的性质，解题关键是理解过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．根据矩形面积得出，根据反比例函数图像经过第二象限，得出，即可得答案． 【详解】解：∵矩形的面积为8， ∴， ∴ ∵点是反比例函数的第二象限上的一点， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 故选：D． 7．A 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，把二次函数解析式化为顶点式，顶点的纵坐标即为水流喷出的最大高度，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流喷出的最大高度是（m）， 故选：A． 8．D 【分析】利用平方的非负性推导函数的最大值． 【详解】解：， ， 当时，取得最大值． 9．C 【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可. 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 10．C 【分析】利用二次函数的性质结合因式分解解一元二次方程判断即可． 【详解】解：二次函数， 顶点坐标为，故选项A错误； 当时，随的增大而减小，故选项B错误； 其图象可以看作是抛物线平移得到，故选项C正确； 令，则，解得或，所以当时，的值不都大于，故选项D错误． 11． 【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最小值． 【详解】解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数， 因此抛物线开口向上，函数存在最小值， 该二次函数的顶点坐标为， 因此当时，二次函数取得最小值． 12．（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的图像位置与符号的关系，确定的取值范围，写出一个符合条件的数值即可. 【详解】解：反比例函数的图像位于第一、三象限， ， 取符合条件的数值，得． 13． 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 通过代入点的横坐标计算函数值，比较大小． 【详解】解：将点代入二次函数，得； 将点代入，得． 因为， 所以． 故答案为：． 14．1（答案不唯一） 【分析】首先判断出顶点为，开口向上，然后根据题意得到顶点落在轴及以上，进而求解即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴顶点为，开口向上， ∵抛物线只经过两个象限， ∴顶点落在轴及以上， ∴，即， ∴的值可以是1（答案不唯一）． 15．4 【分析】令时，则，解得，再列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，令时，则， 解得， 则， ∴仿生跳跃机器人从起跳到落地所用的时间为． 16． 【分析】先确定交点的横坐标分别为，2，再根据函数的增减性解答即可． 本题考查了反比例函数和直线交点的问题，函数的增减性，数形结合的思想，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 【详解】解：与双曲线的两个交点的纵坐标分别为，2， 故， 解得， 故交点的横坐标分别为，2， 当时， 解得， 由，得， 故答案为：． 17． 【分析】过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，根据反比例函数比例系数的几何意义，得，，证明得到，再结合反比例函数图象在第四象限即可求出k的值． 【详解】解：过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，则， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数图象上， ∴根据反比例函数比例系数的几何意义，得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵反比例函数图象在第四象限， ∴． 18． 【分析】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图像与性质、抛物线与坐标轴交点、图像上对称点坐标、三角形面积等知识，根据，得到，由二次函数图像与性质求出、，计算出的面积即可得到答案，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，轴， ， ，则， ， 抛物线交轴正半轴于点，交轴于点， ，对称轴为直线， 轴， ， 则， ， ∴的面积是. 故答案为：． 19．（2），（3）是二次函数 【详解】解：（1）是一次函数，不是二次函数； （2），符合的形式，是二次函数； （3），符合的形式，是二次函数； （4），化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数； （5）中，是否为0未知，若，则函数退化为一次函数或常数函数，因此不一定是二次函数． 结论：（2），（3）是二次函数． 20．(1) (2)或 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时， ， 解得． 故当或时，y的值为0． 21．(1) (2)8 (3)或 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式； （2）根据一次函数确定，，结合图象得出，代入求解即可 （3）由图象可得当或时，反比例函数图象在一次函数的上方，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于，两点． ∴，，， ∴， ∴点，点， 反比例函数解析式为：； （2）∵， 当时，；当时，， 如图所示：，， ∴，， ∴ ； （3）由图象可得当或时，反比例函数图象在一次函数的上方． 即不等式的解集为：或． 【点睛】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，包括确定函数解析式，求面积及确定不等式的解集，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题关键． 22．(1) (2)石块能飞越防御墙； 理由如下：由题意知，点的坐标为， ； 当时，， 石块能飞越防御墙． 【分析】（1）由题意知，函数的最大值为10，即；再把原点坐标代入，即可求得函数解析式； （2）确定点C的坐标，求出函数取点C的横坐标时的函数值，与点C的纵坐标比较，若大于点C的纵坐标，则能飞越，否则不能； 【详解】（1）解：由题意得，函数的最大值为10，即， 将点代入抛物线，得， 解得， 此抛物线的表达式； （2）略 23．(1)抛物线的顶点坐标为 (2) 【分析】（1）根据题意得到，据此求解即可； （2）用含的代数式表示和，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：连接，由题意，得， ， ，而， ， 过M作轴于D， ∵， ． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $