3.3.2　第1课时　抛物线的简单几何性质课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线的简单几何性质及应用，通过自主学习表格梳理四种标准方程的范围、对称轴等性质，结合互动探究分类型（求方程、性质应用、焦点弦）递进，搭建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于用表格对比培养抽象能力（数学眼光），例题结合定义与几何法推理（数学思维），实际问题（如公园抛物线形小路）提升应用意识（数学语言），帮助学生系统掌握，教师教学更高效。

第三章　圆锥曲线的方程 3.3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质 【学习与目标】　 自主学习通道 目录 互动探究通道 巩固提升通道 高效课时作业 自主学习通道 自研教材 梳理必备知识 返回目录 自主学习通道 x≥0，y∈R x∈R，y≥0 x y O(0，0) 1 自主学习通道 x1＋x2＋p 自主学习通道 × √ √ × C 自主学习通道 D 2 互动探究通道 师生共研 探究重点难点 返回目录 互动探究通道 C 互动探究通道 x2＝16y 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 B 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 巩固提升通道 当堂巩固 验收关键能力 返回目录 巩固提升通道 巩固提升通道 C 巩固提升通道 AD 巩固提升通道 A 巩固提升通道 巩固提升通道 (1，0) 高效课时作业 返回目录 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 CD 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y2＝4x或y2＝36x 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0<a≤1 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AD 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 5 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Thank you for watching. 1.了解抛物线的简单几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题． 填一填 1．抛物线的简单几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 范围 eq \o(□,\s\up4(1)) x≤0，y∈R eq \o(□,\s\up4(2)) x∈R，y≤0 对称轴 eq \o(□,\s\up4(3)) 轴 eq \o(□,\s\up4(4)) 轴 顶点 eq \o(□,\s\up4(5))__________ 离心率 e＝ eq \o(□,\s\up4(6))___ 2．焦点弦 已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则称AB为抛物线的焦点弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有|AB|＝ eq \o(□,\s\up4(7)) ，|AF|＝ eq \o(□,\s\up4(8)) ． x1＋ eq \f(p,2) 练一练 1．判断正误 (1)抛物线y2＝2px(p＞0)有一条对称轴为y轴.(　　) (2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.(　　) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(　　) (4)抛物线是双曲线的一支，也有渐近线．(　　) 2．抛物线x＝8y2的通径长为(　　) A．8　　 B．4　　 C． eq \f(1,8)　　 D． eq \f(1,4) 解析　抛物线x＝8y2，即y2＝ eq \f(1,8)x，可得2p＝ eq \f(1,8)，因此通径长为 eq \f(1,8). 3．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　) A．x2＝16y B．x2＝8y C．x2＝±8y D．x2＝±16y 解析　顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py(p>0)，x2＝2py(p>0).由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y或x2＝－16y. 4．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝ ． 解析　由题知F(1，0)，由抛物线定义得A点横坐标为1. ∴AF⊥x轴，∴|BF|＝|AF|＝2. 类型一　由抛物线的几何性质求标准方程　　　　　　自主探究 1．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　) A．y2＝ eq \f(\r(3),6)x B．y2＝－ eq \f(\r(3),3)x C．y2＝± eq \f(\r(3),6)x D．y2＝± eq \f(\r(3),3)x 解析　设抛物线方程为y2＝ax(a≠0). 取点A在x轴上方，则由题意可得A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则有 eq \f(1,4)＝± eq \f(\r(3),2)a，解得a＝± eq \f(\r(3),6)，所以抛物线方程为y2＝± eq \f(\r(3),6)x.故选C. 2．(2024·山东青岛一中月考)已知双曲线C1： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为 ． 解析　因为双曲线C1： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以 eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(a2＋b2),a)＝2，所以b＝ eq \r(3)a， 所以双曲线的渐近线方程为 eq \r(3)x±y＝0. 所以抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))到双曲线的渐近线的距离为 eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(3)×0±\f(p,2))),2)＝2，又p>0， 所以p＝8，所以所求的抛物线方程为x2＝16y. 由抛物线的几何性质求标准方程的方法 (1)代数法：将几何性质转化为坐标表达式，解方程(组)求出未知数． (2)几何法：将几何性质与抛物线定义相结合，采用几何法求出焦点与准线的距离，从而得到抛物线的标准方程． 类型二　抛物线几何性质的应用 【例1】　如图所示，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆x2＋y2－4x－12＝0的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，求△FAB的周长的取值范围． 解　设A(xA，yA)，B(xB，yB).易知抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，焦点F(2，0)，由抛物线的定义，可得|AF|＝xA＋2.圆x2＋y2－4x－12＝0的圆心为(2，0)，半径R＝4，所以△FAB的周长L＝|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB，由题意，可知抛物线与圆的交点的横坐标为2，所以xB∈(2，6)，所以6＋xB∈(8，12).故△FAB的周长的取值范围为(8，12). 利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题． (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题． (4)焦点：解决焦点弦问题． [跟踪训练1]　等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(　　) A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2 解析　因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，OA⊥OB，所以由抛物线的对称性，知直线AB与抛物线的对称轴垂直，不妨设点A在x轴上方，则直线OA的倾斜角为45°，所以直线OA的方程为y＝x. 由方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x，,y2＝2px，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2p，,y＝2p，))所以易得A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p). 所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝ eq \f(1,2)×4p×2p＝4p2. 类型三　抛物线的焦点弦问题 【例2】　已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点． (1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值； (2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离． 解　(1)因为直线l的倾斜角为60°， 所以其斜率k＝tan 60°＝ eq \r(3). 又F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))， 所以直线l的方程为y＝ eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2))). 联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝6x，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，))消去y得x2－5x＋ eq \f(9,4)＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝5， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋ eq \f(p,2)＋x2＋ eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p＝5＋3＝8. (2)由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋ eq \f(p,2)＋x2＋ eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，所以x1＋x2＝6. 于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－ eq \f(3,2)，所以点M到准线的距离为3＋ eq \f(3,2)＝ eq \f(9,2). 抛物线焦点弦问题的求解方法 解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算． [跟踪训练2]　抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，求抛物线的方程． 解　①如图，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋ eq \f(p,2). 设直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：x＝－ eq \f(p,2)为抛物线的准线． 过点A作AC⊥l于点C，过点B作BD⊥l于点D， 则由抛物线的定义，得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋ eq \f(p,2)＋x2＋ eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p. 因为|AB|＝8，所以x1＋x2＋p＝8.　(*) 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝－x＋\f(p,2)，,y2＝2px(p>0)))消去y， 得x2－3px＋ eq \f(p2,4)＝0， 所以x1＋x2＝3p. 将其代入(*)，得p＝2， 所以所求抛物线的方程为y2＝4x. ②当抛物线的方程设为y2＝－2px(p>0)时， 同理可得，抛物线的方程为y2＝－4x. 综上所述，抛物线的方程为y2＝4x或y2＝－4x. 1．知识清单 (1)抛物线的几何性质． (2)抛物线的几何性质的应用． 2．方法归纳：待定系数法、数形结合． 3．常见误区：求抛物线方程时焦点的位置易判断失误． 1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝±3y B．y2＝±6x C．x2＝±12y D．x2＝±6y 解析　因为顶点在原点，对称轴是y轴，所以抛物线开口向上或向下，由 eq \f(p,2)＝3，得p＝6.故抛物线的标准方程为x2＝±2py＝±12y. 2．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若y轴上存在点A(0，2)，使得 eq \o(AM,\s\up15(→))· eq \o(AF,\s\up15(→))＝0，则p的值可以为(　　) A．2　　 B．4　　 C．6　　 D．8 解析　由题意可得，以MF为直径的圆过点(0，2)，设点M(x，y)，由抛物线的定义知|MF|＝x＋ eq \f(p,2)＝5，可得x＝5－ eq \f(p,2).因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心的横坐标为 eq \f(5－\f(p,2)＋\f(p,2),2)＝ eq \f(5,2)，圆的半径也为 eq \f(5,2)，据此可知该圆与y轴相切于点A(0，2)，故圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即点M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(p,2)，4))，代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8.故选AD. 3．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线于点M(M在第一象限)，MN⊥l，垂足为N，直线NF交x轴于点D，则|FD|＝(　　) A．2 B． eq \r(3) C．4 D．2 eq \r(3) 解析　由已知可得，F(0，1)，|OF|＝1. 如图所示，过点F作FA⊥MN，垂足为A. 由题得∠AFM＝30°，所以∠NMF＝60°. 根据抛物线的定义可知|MF|＝|MN|， 所以△MNF是等边三角形． 因为MN∥OF，所以∠OFD＝∠MNF＝60°. 在Rt△OFD中，|FD|＝ eq \f(|OF|,cos ∠OFD)＝ eq \f(1,\f(1,2))＝2.故选A. 4．已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴．若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为 ． 解析　∵直线l过点(1，0)且垂直于x轴， ∴直线l的方程为x＝1，与y2＝4ax联立，可得y2＝4a， 显然a>0，∴y＝±2 eq \r(a). ∵l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4， ∴4 eq \r(a)＝4，解得a＝1， ∴y2＝4x， ∴抛物线的焦点坐标为(1，0). 基础巩固 1．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点(－5，2 eq \r(5))在抛物线上，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝－2x B．y2＝－4x C．y2＝2x D．y2＝4x 解析　根据题意设出抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)，因为点(－5，2 eq \r(5))在抛物线上，所以有20＝－5m，解得m＝－4，所以抛物线的方程是y2＝－4x. 2．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点．若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　) A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 解析　由抛物线性质知|AB|＝5＋2＝7， ∵当线段AB与x轴垂直时，|AB|min＝4， ∴这样的直线有两条． 3．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2 eq \r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　) A． eq \f(1,2) B． eq \f(1,4) C． eq \f(1,6) D． eq \f(1,8) 解析　线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，则焦点到直线AB的距离为1－ eq \f(1,2)＝ eq \f(1,2). 4．如图，公园里的一条顶点为O的抛物线形小路依次穿过两个边长分别为a，b(a<b)的正方形草坪，直线AE为抛物线的对称轴，O为AD的中点，则 eq \f(b,a)等于(　　) A． eq \r(2)－1 B． eq \f(3,2) C．2 D． eq \r(2)＋1 解析　由题以抛物线的顶点为原点，建立如图坐标系， 可得C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，a))， F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋b，b))，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝pa，,b2＝2p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋b))，)) 解得 eq \f(b,a)＝ eq \r(2)＋1(负值舍去). 5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦AB的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝ eq \f(12,5)x B．y2＝ eq \f(24,5)x C．y2＝12x D．y2＝6x 解析　因为直线l的方程为y＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))， 即y＝2x－p，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y＝2x－p，))消去y， 得4x2－6px＋p2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝ eq \f(3p,2)， 又因为弦AB的中点到抛物线的准线的距离为3，所以|AB|＝6， 而|AB|＝x1＋x2＋p，所以x1＋x2＝6－p， 故 eq \f(3p,2)＝6－p，解得p＝ eq \f(12,5)， 所以抛物线的方程为y2＝ eq \f(24,5)x. 6．(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为(　　) A．x2＝4y B．x2＝－4y C．x2＝8y D．x2＝－8y 解析　设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p>0)， 依题意将y＝ eq \f(p,2)代入x2＝2py， 或将y＝－ eq \f(p,2)代入x2＝－2py得|x|＝p， ∴2|x|＝2p＝8，p＝4， ∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y. 7．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，则其标准方程为 ． 解析　∵点M到对称轴的距离为6，∴不妨设点M的坐标为(x，6).又∵点M到准线的距离为10， ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(62＝2px，,x＋\f(p,2)＝10，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝9，,p＝2))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,p＝18.)) 故抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝36x. 8．已知抛物线y＝ eq \f(1,2)x2上距离点A(0，a)(a>0)最近的点恰好是其顶点，则a的取值范围是 . 解析　设点P(x，y)(y≥0)为抛物线上任意一点， 则点P到点A(0，a)的距离的平方为 |AP|2＝x2＋(y－a)2＝x2＋y2－2ay＋a2. ∵x2＝2y， ∴|AP|2＝2y＋y2－2ay＋a2＝y2＋2(1－a)y＋a2(y≥0)， ∴对称轴为直线y＝a－1. ∵离点A(0，a)最近的点恰好是顶点， ∴a－1≤0，解得a≤1. 又a>0，∴0<a≤1. 9．(2023·洛阳联考)已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝x上，O为坐标原点，点A到抛物线的焦点F的距离等于 eq \f(13,4)，求△AOB的面积． 解　∵△AOB是等边三角形， ∴顶点A，B关于抛物线y2＝x的对称轴(x轴)对称． 不妨设A( eq \r(3)y0，y0)(y0>0)， 则B( eq \r(3)y0，－y0). 由|AF|＝ eq \r(3)y0＋ eq \f(1,4)＝ eq \f(13,4)，解得y0＝ eq \r(3)， ∴△AOB的边长为|AB|＝2y0＝2 eq \r(3)， ∴S△AOB＝ eq \f(\r(3),4)×(2 eq \r(3))2＝3 eq \r(3)， 即△AOB的面积为3 eq \r(3). 10．(2024·徐州一中月考)已知抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，过此抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝ eq \f(5,2)p，求AB所在直线的方程． 解　∵过焦点的弦长|AB|＝ eq \f(5,2)p， ∴弦所在直线的斜率存在且不为零． 设直线AB的斜率为k(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2). ∵抛物线y2＝2px的焦点为F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))， ∴直线AB的方程为y＝k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2))). 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))整理得k2x2－(k2p＋2p)x＋ eq \f(1,4)k2p2＝0，∴x1＋x2＝ eq \f(k2p＋2p,k2)， ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝ eq \f(k2p＋2p,k2)＋p＝ eq \f(5,2)p， ∴k＝±2.故AB所在直线的方程为y＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))或y＝－2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2))). 能力提升 11．若正三角形的顶点都在抛物线y2＝4x上，其中一个顶点恰为坐标原点，则这个三角形的面积是(　　) A．48 eq \r(3) B．24 eq \r(3) C． eq \f(16\r(3),9) D．46 eq \r(3) 解析　设三角形其中一个顶点为(x，2 eq \r(x))， 因为三角形是正三角形， 所以 eq \f(2\r(x),x)＝tan 30°＝ eq \f(\r(3),3)，即 eq \f(4,x)＝ eq \f(1,3)，解得x＝12， 所以三角形的一个顶点为坐标原点，另外两个顶点分别为(12，4 eq \r(3))，(12，－4 eq \r(3))， 所以三角形的面积为S＝ eq \f(1,2)×12×(4 eq \r(3)＋4 eq \r(3))＝48 eq \r(3). 12．(多选)已知直线l过抛物线C：y2＝－2px(p>0)的焦点，且与该抛物线交于M，N两点．若线段MN的长是16，MN的中点到y轴的距离是6，O为坐标原点，则(　　) A．抛物线C的方程是y2＝－8x B．抛物线C的准线方程为x＝3 C．直线l的斜率为1 D．△MON的面积为8 eq \r(2) 解析　由直线l过抛物线的焦点，|MN|＝16，MN的中点到y轴的距离是6， 结合抛物线的定义可知 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(p,2)))×2＝16，解得p＝4， 所以抛物线C的方程为y2＝－8x，准线方程为x＝2，所以A选项正确，B选项错误． 抛物线C的焦点坐标为F(－2，0)，设直线l的方程为x＝my－2，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝my－2，,y2＝－8x，))消去x并化简，得y2＋8my－16＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝－8m，x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝－8m2－4. 所以|MN|＝8m2＋4＋4＝16，解得m＝±1，所以C选项错误． 当m＝1时，直线l的方程为x＝y－2， 即x－y＋2＝0，原点O到直线l的距离为 eq \f(2,\r(2))＝ eq \r(2)，所以S△MON＝ eq \f(1,2)×16× eq \r(2)＝8 eq \r(2). 当m＝－1时，同理求得S△MON＝8 eq \r(2)，所以D选项正确．故选AD. 13．过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l交C于点A，B，线段AB的中点M的纵坐标为1，则直线AB的斜率k为 ；线段AB的长度为 ． 解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)， 设直线l的方程为y＝k(x－1). 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立直线与抛物线方程，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝k(x－1)，,y2＝4x，)) 可得y＝k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y2,4)－1))，即ky2－4y－4k＝0， 则y1＋y2＝ eq \f(4,k)＝2， ∴k＝2，则直线l的方程为y＝2(x－1)， 联立直线与抛物线方程，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝2(x－1)，,y2＝4x，)) 消去y得x2－3x＋1＝0， ∴x1＋x2＝3，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝5. 多元数学 14．(数学运算)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F的横坐标等于椭圆 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,15)＝1的离心率． (1)求抛物线C的方程； (2)过(1，0)作直线l交抛物线C于A，B两点，判断原点与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由． 解　(1)由椭圆 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,15)＝1，可得e＝ eq \r(1－\f(15,16))＝ eq \f(1,4)，故F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))， ∴抛物线C的方程为y2＝x. (2)由题可设直线l的方程为x＝my＋1， 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,y2＝x))得y2－my－1＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y2＝－1， 又y eq \o\al(2,1)＝x1，y eq \o\al(2,2)＝x2，故x1x2＝y eq \o\al(2,1)y eq \o\al(2,2)＝1， ∴ eq \o(OA,\s\up15(→))· eq \o(OB,\s\up15(→))＝x1x2＋y1y2＝1－1＝0， ∴ eq \o(OA,\s\up15(→))⊥ eq \o(OB,\s\up15(→))，即OA⊥OB， 故原点在以线段AB为直径的圆上． $