3.5一元二次方程的应用（第1课时增长率问题）（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

第3章 一元二次方程 第1课时 增长率问题 3.5一元二次方程的应用 导入新课 2.某农户第一年的粮食产量为100吨，平均每年的增长率为x，则第二年的产量为__________吨，第三年产量为_______________吨，第四年的产量为_________吨，照这样计算，第n年的产量为 吨。 100(1+x) 100(1+x)2 100(1+x)3 100(1+x)n-1 1.某商品原价是1000元，平均每次降价10%，则第一次降价后的价格是___ __元；第二次降价后的价格是 元. 900 810 同学们，能找出其中的等量关系吗？让我们一起来探究吧！ 填空： 1000(1-10%) 900(1-10%) 1000(1-10%)(1-10%) 1000(1-10%)2 学 习 目 标 1 2 3 掌握用一元二次方程解决平均增长率（或平均降低率）问题的方法（重点） 能正确识别问题中的初始量、最终量和变化次数，建立方程模型（难点） 会检验方程的解是否符合实际意义，舍去不合题意的根 新知探究 某省农作物秸秆资源巨大，但综合利用量十分有限，为推进资源节约集约利用，该省准备引进适用的新技 术来提高秸秆的综合利用率，若今年的 利用率为40%，计划后年的利用率达到 90%，这两年秸秆利用率的年平均增长 率是多少(假定该省每年产生的秸秆总 量不变)? 小组合作学习 新知探究 问题1：题目中的基数（今年利用率）是多少？目标是哪一年的利用率？是相隔几年？ 问题2:“秸秆总量不变” 这个条件有什么用？要不要用到秸秆的实际总质量？说说理由。 问题3：设这两年年平均增长率为x，那么明年的秸秆利用率怎么表示？后年的又怎么表示？ 问题4：找出这题的等量关系，列出方程并解方程，完成这道题。 小组合作学习 时间：6分钟 展示小组合作学习成果 40% 后年 2年 40%（1+x） 40%(1+x)（1+x） =40%(1+x)2 保证我们可以直接用利用率来运算 新知探究 问题4：找出这题的等量关系，列出方程并解方程，完成这道题。 今年的使用率×（1+年平均增长率）²=后年的使用率 40%（1+x）²=90% 整理，得 （1+x）²=2.25 解得 x1=0.5=50%， x2=-2.5 答：这两年秸秆使用率的年平均增长率为50%. （舍去） 怎样解这个方程？ 为什么舍去x2=-2.5？ 开平方法 增长率不可能是负数 必须检验 新知探究 平均增长率问题： 总结归纳 设a为初始量,b为终止量,n为增长的次数，则平均增长率公式为： a(1+x)n=b (x为平均增长率) 例1 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元.求平均每次降价的百分率. 典例分析 下降率 x 第一次降低前的量 第一次降低后的量 下降率 x 第二次降低后的量 第二次降低前的量 100(1 - x) 100 100(1 - x)(1 - x) 100(1 - x)2 问题中涉及的等量关系是： 原价×(1-平均每次降价的百分率)²=现行售价. 分析： 例1 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元.求平均每次降价的百分率. 典例分析 解：设平均每次降价的百分率为x， 则根据等量关系得100(1-x)2=81. 整理， 得(1-x)2=0.81. 解得 x=1.9(不合题意，舍去). 答： 平均每次降价的百分率为 10%. 为什么舍去x=1.9？ 降低率不能大于1 新知探究 总结归纳 平均降低率问题： 设a为初始量,b为终止量,n为降低的次数，则平均降低率公式为： a(1-x)n=b (x为平均降低率) 降低率不能大于1 新知探究 实际问题 建立一元二 次方程模型 解一元二 次方程 一元二次 方程的根 实际问题的解 分析数量关系 设未知数 是否符合实际 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 审 设 列 解 验 答 找 基础巩固题 新知应用 1. “周末不忙，来趟衡阳.”去年9月22日，衡阳市旅发大会隆重召开， 喜迎全国游客.据了解，10月1日，东洲岛景区接待游客约10万人次， 10月3日接待游客人数达到12.1万人次.设这两天游客人数的平均增长率 为 ，下列方程正确的是( ) B A. B. C. D. a(1+x)n=b (x为平均增长率) 初始量a 最终量b 变化的次数n 基础巩固题 新知应用 2. 2025年以来，某厂生产的电子产品处于高速增长上升期，该厂生产一件产品起初的成本为125元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了19.2元．设每次技术改进产品的成本下降率均为x，则下列方程正确的是（　　） A．125（1-2x）＝125-19.2 B．19.2（1+x）2＝125 C．125（1-x）2＝19.2 D．125（1-x）2＝125-19.2 D a(1-x)n=b (x为平均降低率) 初始量a 变化的次数n 最终量b呢？ 基础巩固题 新知应用 3.在“双减政策”的推动下，实外初三学生课后作业时长明显少年上学期每天作业平均时长为，经过年下学期和年上学期两次调整后，年上学期平均每天作业时长为设这两学期该校平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． B 变化的次数n 初始量a 最终量b a(1-x)n=b (x为平均降低率) 基础巩固题 新知应用 4. 某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册，问平均每年藏书增长的百分率是多少？ 原有图书册数×(1+年平均增长率)²=两年后平均册数. 解 设平均每年藏书增长的百分率是x，根据等量关系得 5(1+x)²=7.2. 整理，得 (1+x)²=1.44. 解得 x₁=0.2=20%， x₂=-2.2(不合题意，舍去). 答：平均每年藏书的增长率为20%. a(1+x)n=b (x为平均增长率) 基础巩固题 新知应用 5.某商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率。 解：设平均增长率为, 十月份的销售额为 根据 答：这两个月的平均增长率为0.1。 能力提升题 新知应用 6. 某商店1月份的营业额为100万元，已知第1季度的总营业额为331万元，如果平均每月增长率为x，则由题意可列方程为（ ） A. 100(1+x)²=331 B. 100+100×2x=331 C. 100+100×3x=331 D. 100[1+(1+x)+(1+x)²]=331 D 分析：本题涉及的等量关系为： 1月份的营业额+2月份的营业额+3月份的营业额=第1季度的总营业额. 能力提升题 新知应用 7.某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同、求3月份的利润是多少万元？ 解：设增长率为x，则2月份获得利润20(1+x)万元，3 月份获得利润 20(1+x)2 万元， 依题意，得 20(1+x)2-20(1+x)＝4.8， 整理得 25x2+25x-6＝0， 解得 x1＝0.2＝20%，x2＝-1.2（不合题意，舍去）． 20×(1+20%)2＝20×1.44＝28.8(万元)． 答：3 月份的利润是 28.8 万元． 解题六步法 01 审 审清题意，找出已知量与未知量，明确等量关系。 02 设 根据题意设未知数，可直接设或间接设。 03 列 依据等量关系，列出一元二次方程。 04 解 运用开平方法、公式法或因式分解法，求出方程的根。 05 验 检验根是否符合实际意义，舍去不合题意的解。 06 答 写出完整答案，包括单位和具体结论。 核心数学模型 平均增长率模型 公式：a(1 + x)² = b （a为初始量，b为最终量，x为增长率） 平均降低率模型 公式：a(1 - x)² = b （a为初始量，b为最终量，x为降低率） 关键提醒： 解出方程后务必检验！增长率不能为负，降低率不能大于1，舍去不合实际的根。 课堂小结 1.7.2013 好了，我们来总结一下今天所学的内容。解决增长率和降低率问题，我们主要掌握两个核心模型：a(1+x)²=b 和 a(1-x)²=b。解题时，严格按照“审、设、列、解、验、答”六步法进行。最关键的一点是，解完方程后一定要检验解是否符合实际情况，比如增长率不能为负，降低率不能大于1。 ‹#› 感谢聆听! $