专题05 二次根式运算 重难点题型专训 -2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理二次根式运算的知识体系，将加减、乘除、混合运算及最简二次根式等4个核心知识点，按“基础-提高-检测”递进关系组织，明确重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点是分层题型设计，基础题型如“二次根式的乘除混合运算”夯实运算能力，提高题型如“新定义运算”培养推理意识，自我检测助力学生自主评估，教师可实施精准分层教学，提升复习针对性与效率。

专题05 二次根式运算重难点题型专训（4个知识点+14大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、二次根式的乘法 1 题型二、二次根式的除法 2 题型三、二次根式的乘除混合运算 3 题型四、最简二次根式的判断 4 题型五、化为最简二次根式 5 题型六、已知最简二次根式求参数 6 题型七、同类二次根式 7 题型八、二次根式的加减运算 8 题型九、二次根式的混合运算 9 题型十、分母有理化 10 题型十一、已知字母的值，化简求值 11 题型十二、已知条件式，化简求值 12 题型十三、比较二次根式的大小 13 题型十四、二次根式的应用 14 第二部分·练提高题型 题型一、二次根式的新定义运算 1 题型二、二次根式的阅读理解类问题 2 题型三、用二次根式的乘除法解决实际问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【即时训练】 1．（25-26八年级下·河北保定·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的合并法则逐一判断选项，只有同类二次根式才可合并，合并时系数相加减，被开方数保持不变． 【详解】解：对于A选项，与不是同类二次根式，不能合并，∴A错误； 对于B选项，，∴B错误； 对于C选项，，计算正确，∴C正确； 对于D选项，化简得，∴D错误． 2．（25-26八年级上·河北沧州·期末）已知，则______． 【答案】12 【分析】先化简二次根式，从而求出的结果，进而得到和b的值，最后计算的结果． 【详解】解：， ， 又∵， ∴，， ． 知识点02 二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开方数的积的算术平方根. 推广： 【即时训练】 1．（25-26八年级下·江西上饶·期末）下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意； C、，原式计算正确，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 2．（2026·吉林长春·模拟预测）计算：________． 【答案】 【详解】解： 知识点03 二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相除，等于各个被开方数的商的算术平方根. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·陕西安康·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算法则，根据同类二次根式合并规则、二次根式乘除法则逐一计算即可． 【详解】选项A： 和 不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 选项B： ，计算正确，正确； 选项C：，不符合题意； 选项D：，不符合题意． 2．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）计算：_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，根据除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 知识点04 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【即时训练】 1．（25-26八年级上·重庆·期中）估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（　　） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【答案】C 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估算无理数的范围，即可得出结果所在的区间． 【详解】解：∵ ， ∴ 原式， ∵ ，即 ， ∴ 不等式两边同时加2得，， 因此运算结果在4和5两个连续自然数之间． 2．（2025八年级上·广东广州·专题练习）计算：___． 【答案】 【分析】先将原式中的化为最简二次根式，合并括号内的同类二次根式，再利用二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 【基础题型一 二次根式的乘法】 【例1】（2026·宁夏·模拟预测）下列各数中，介于和之间的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用平方法将无理数与整数的大小比较转化为有理数比较． 【详解】解：，，需找平方后在和之间的正数， A、， ，A不符合； ， ，B不符合； ，， ，C符合； ， ，D不符合． 【例2】（25-26八年级下·四川德阳·期中）计算的结果是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，利用二次根式乘法法则，先合并被开方数相乘，再化简得到结果． 【详解】解：根据二次根式乘法法则可得 ． 1．（25-26八年级下·广东广州·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则分别验证各选项，即可得到正确结果． 【详解】选项A：与不是同类二次根式，不能合并，故A错误； 选项B：，计算正确，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D错误． 2．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）对于任意两个正数、，新定义一种运算“”如下，，则_____． 【答案】 【详解】解：∵新运算定义为，本题中，， ∴． 3．（26-27八年级下·全国·课后作业）声音在空气中传播的速度（单位：）可以根据公式计算，其中t（单位：）表示空气温度．当为时，求声音的传播速度（结果取整数）． 【答案】当为时，声音的传播速度为 【详解】解：， 声音的传播速度， 答：当为时，声音的传播速度为． 【基础题型二 二次根式的除法】 【例1】（25-26八年级下·广东广州·期末）下列二次根式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的运算法则及算术平方根的性质判断各选项正误． 【详解】解：A选项：与不是同类二次根式，不能合并，运算错误． B选项：，运算错误． C选项：，运算正确． D选项：，运算错误． 【例2】（25-26八年级下·广东潮州·期末）计算：__________． 【答案】 【详解】解：． 1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的乘方、化简、乘除运算法则逐一计算选项，判断正误. 【详解】解：对选项A： ， A错误. 对选项B： ， B错误. 对选项C： 根据二次根式乘法法则 ， ， C正确. 对选项D： ， D错误. 2．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点、、都在格点上，则的值为____________． 【答案】 【详解】解：由网格的特点和勾股定理可得，，， ． 3．（25-26八年级下·浙江金华·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算； （2）根据平方差公式和二次根式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【基础题型三 二次根式的乘除混合运算】 【例1】（25-26八年级下·山西朔州·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次根式乘除法则，按照同级运算从左到右的顺序计算，最后化简即可得到结果． 【详解】解： ． 【例2】（2026·河北沧州·三模）计算的结果为____________． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除混合运算顺序进行即可． 【详解】解：原式． 1．（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】先根据已知完整行的三个数，求出所有横向纵向对角线的共同乘积，再分别计算两个空格内的实数，最后计算两实数的乘积，用到二次根式的乘除运算． 【详解】∵横向三个数乘积相同，第二行三个数已知完整， ∴所有方向的共同乘积为 ， 设第一行第三格的数为a，第三行第一格的数为b， ∵第一行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∵第三行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∴两个空格中的实数之积为． 2．（25-26八年级下·全国·周测）观察下列等式： ，，…，则前10个等式的和是__________． 【答案】 【分析】本题考查了裂项相消法的应用，掌握将等式展开后，抵消中间重复的正负项来简化计算是解题的关键． 先写出前 10 个等式的具体展开形式，再通过裂项相消，计算最终的和． 【详解】解：​第1个等式： 第2个等式： …… 第9个等式： ​第10个等式： 故答案为：． 3．（25-26八年级下·天津河东·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【基础题型四 最简二次根式的判断】 【例1】（26-27八年级上·广东广州·期中）下列式子中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、是最简二次根式，故此选项符合题意． 【例2】（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数有______个． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义，最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个判断所给二次根式即可． 【详解】解：满足两个条件，是最简二次根式； 中被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 中被开方数含分母，不是最简二次根式； 中，被开方数可开得尽方，不是最简二次根式； 中，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 因此符合条件的最简二次根式共个． 1．（25-26八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）下列二次根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件，对四个选项逐一验证，即可得到答案，最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】A选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式； C选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式； D选项：的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式． 2．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）若最简二次根式和能够合并，则m的值为：________． 【答案】 【分析】几个最简二次根式能够合并，说明二者是同类二次根式，先化简，再根据同类二次根式被开方数相等求解即可． 【详解】解：最简二次根式和能够合并， 二者是同类二次根式，即被开方数相等， 化简得：，的被开方数为， 又是最简二次根式， ． 3．（26-27八年级·上海·期中）判断下列二次根式是不是最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)不是 【详解】（1）解：因为被开方数含分母， 所以不是最简二次根式； （2）解：因为被开方数可分解为，各因式的指数都为， 所以是最简二次根式； （3）解：因为被开方数含因式，它的指数不为， 所以不是最简二次根式； （4）解：因为被开方数可分解为，其中因式的指数为， 所以不是最简二次根式． 【基础题型五 化为最简二次根式】 【例1】（26-27八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的判定标准：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项：，不是最简二次根式； B选项：，不是最简二次根式； D选项：，不是最简二次根式； C选项：的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式． 【例2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）化简：_____． 【答案】 【详解】解：． 1．（25-26八年级下·吉林·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A．，被开方数含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意， B．的被开方数含分母，化简后为，故不是最简二次根式，不符合题意， C．，被开方数含分母，化简后为，故不是最简二次根式，不符合题意， D．满足最简二次根式的条件，是最简二次根式，符合题意． 2．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，则三角形的面积．若，则的值为___________． 【答案】 【分析】已知三角形三边长度，直接将数值代入公式，依据实数的运算法则计算即可求解． 【详解】解： 将代入上式： ． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）计算∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再合并即可求解； （2）先算括号内，再进行二次根式的乘法运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【基础题型六 已知最简二次根式求参数】 【例1】（2026八年级上·甘肃天水·模拟预测）最简二次根式和可以合并，那么（     ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】∵最简二次根式和可以合并， ∴， 解得：. 【例2】（25-26八年级下·陕西延安·期末）若是最简二次根式，则整数的值可以是__________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】 （答案不唯一，任意符合条件的整数均可） 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数需不含能开得尽方的因数，被开方数不含有分母，且被开方数非负，据此找出符合要求的整数即可． 【详解】解：∵是最简二次根式，为整数， ∴，且不含能开得尽方的因数， 当时，，满足条件，因此符合题意． 1．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段检测）若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（    ） A．6.5 B．3 C．2 D．4 【答案】C 【分析】先化简，再根据与最简二次根式是同类二次根式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：， ∵与最简二次根式能合并成一项， ∴与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简、最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题关键． 2．（25-26八年级下·河南许昌·期中）请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式的概念，最简二次根式要求被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，根据概念结合a是正整数解答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式，且a为正整数， ∴不能含有能开得尽方的因数， 当时，， 是最简二次根式，符合要求，故答案为2（答案不唯一）． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是________． 可取的最小整数是__________． 【答案】 2 【分析】（1）要找可取的最小正整数，需满足两个条件：一是被开方数，二是不含能开得尽方的因数。我们从最小的正整数开始代入验证； （2）要找可取的最小整数，只需保证被开方数 且不含能开得尽方的因数，我们从满足不等式的整数开始依次验证． 【详解】解：①正整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小正整数是． ②先解不等式，得 整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小整数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个条件：被开方数非负，且不含能开得尽方的因数． 【基础题型七 同类二次根式】 【例1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】将每个选项中的二次根式化为最简二次根式，比较被开方数，找出被开方数不同的一组即可． 【详解】解：A选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数都是，是同类二次根式； B选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数都是，是同类二次根式； C选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数都是，是同类二次根式； D选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数分别为和，不相同，不是同类二次根式． 【例2】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 【答案】3 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，且 解得：，且． ∴x的值为3． 1．（2026·河北石家庄·模拟预测）小明的作业本上有以下四题，做错的题是（     ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】利用二次根式的性质和混合运算法则计算即可． 【详解】解：①，计算正确； ②，计算正确； ③，计算错误； ④，计算正确． 2．（2026·河南三门峡·二模）已知x是大于2的正整数，且与可以合并，则整数x的值可以是____________(写出一个即可)． 【答案】8(答案不唯一) 【分析】化成最简二次根式以后是正整数乘以的形式，x满足，n为大于1的正整数即可． 【详解】解：∵与可以合并， ∴化成最简二次根式以后是整数乘以的形式， ∴可以是． 故整数x的值可以为8(答案不唯一)． 3．（25-26八年级下·重庆江津·期末）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的平方根； (2)对于任意的正实数和，我们定义新运算：，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， ∴的平方根为； （2）解：∵，， ∴ 【基础题型八 二次根式的加减运算】 【例1】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：∵， ∴，故C正确.； 对于选项D：，故D错误． 【例2】（25-26八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）计算：_______． 【答案】 【详解】解： ． 1．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列式子：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），化简正确的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】结合同类二次根式的合并规则与运算法则，逐一验证等式，即可作答． 【详解】解：（1）与不是同类二次根式，不能直接合并，原式错误； （2），原式正确； （3），则，，原式错误； （4），原式正确； （5），，，原式错误； 综上，化简正确的有2个， 2．（25-26八年级上·河北唐山·期中）观察下列各式，然后解答下列的问题： （1）观察以上规律，请写出_____ （2）计算的结果为______． 【答案】 【分析】先观察已知等式，归纳得到一般规律，根据规律直接写出（1）的结果，根据规律展开原式，再利用裂项相消法对（2）计算求和即可. 【详解】根据已知式子可归纳得到规律： （1）当时，代入规律得：； （2）根据规律展开原式，得： 原式 ． 3．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）阅读下面材料： ； ； ； 请解决下列问题： (1)求的值； (2)计算（为正整数）的值； (3)利用上面的解法，请计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】通过分母有理化去掉分母中的根号，结合平方差公式化简； 类比的方法，用含的式子推导通用化简结果； 利用的结论裂项，通过抵消中间项简化求和运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【基础题型九 二次根式的混合运算】 【例1】（2026·福建漳州·模拟预测）估算 的值应在（     ） A．4050和4051之间 B．4000和5000之间 C．4051和4052之间 D．4051和4053之间 【答案】C 【分析】先展开化简原式，再利用平方数估算无理数的范围，即可得到结果． 【详解】解：展开原式：， ，且 ， ， 不等式同乘得：， 即 ， 不等式同加得：， 即 ， 原式的值在和之间． 【例2】（26-27八年级上·四川绵阳·期中）计算：______． 【答案】 【详解】解： ． 1．（25-26七年级下·河南濮阳·期中）已知，，，…，，其中为正整数，设，则值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得，，，根据规律求解即可； 【详解】解：根据题意，得， ， ， …… ， 且， 故 ； 2．（25-26八年级下·重庆南岸·期中）计算：_____． 【答案】 【详解】解： ． 3．（26-27八年级上·全国·单元复习）下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：               第一步                        第二步                      第三步 (1)任务一：第_______________步开始出现错误，错误原因是_______________； (2)任务二：请写出正确的计算过程； (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)一，去括号没有变号 (2)解： ； (3)二次根式运算时要化到最简形式（答案不唯一） 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则的解答过程，即可判断出错的地方以及出错原因； （2）根据二次根式的性质和运算法则即可求出正确答案； （3）根据二次根式的性质合理建议即可． 【详解】（1）解：小明同学在计算去括号的时候忽略了括号前是负号， 去括号时应该变号， 第一步出错，出错的原因是去括号没有变号． （2）略 （3）解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，因此建议二次根式运算的结果要化成最简二次根式． 【基础题型十 分母有理化】 【例1】（25-26八年级下·新疆哈密·期中）已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对进行分母有理化化简，再对比化简后与的关系即可. 【详解】解：. 【例2】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）把化去分母中的根号后得______． 【答案】 / 【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：由二次根式有意义及分式有意义可得，， ∴，， ∴原式． 1．（24-25八年级下·重庆巫山·期末）例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．则下列结论正确的有（    ）个 ①若是的小数部分，则；②比较大小：；③变形：；④计算： A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了分母有理化的应用，解题的关键是熟练运用分母有理化的方法对式子进行变形、计算和比较． 依次对四个结论进行分析，通过分母有理化、根式的性质及大小比较方法来判断对错． 【详解】①由题意，，则．分子分母同乘，得：等式成立，①正确； ②     因为，根据分子相同，分母越大分数越小， 所以，即， ②错误； ③交叉相乘验证等式：左边，右边．展开后合并同类项得，等式不成立，③错误； ④每一项可以表示为：， ， ， ④错误． 综上，仅①正确， 故答案为：A． 2．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）化简：＝__________． 【答案】4 【分析】本题考查了分母有理化、利用二次根式的性质化简，通过分母有理化，将每一项化为差的形式，再利用裂项相消即可求解． 【详解】解：∵， ∴原式 ． 故答案为：4． 3．（25-26八年级下·河南三门峡·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效地去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 ， 所以． 请你根据上面材料提供的方法解决下列问题： (1)已知：，求的值； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据材料中对偶式的方法，利用平方差公式计算两个对偶式的乘积，再除以已知的和，即可求出结果； （2）对每个分式进行分母有理化，即可得到结果． 【详解】（1）解：设，， 则 即， 已知， 所以， 即； （2）解：原式 ． 【基础题型十一 已知字母的值，化简求值】 【例1】（25-26八年级下·四川南充·期末）已知，求的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 两边平方得； 展开得，整理得， ∴ . 【例2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）已知：，，则的值为__________． 【答案】 【分析】先将所求代数式展开，再分别计算和的值，代入后即可求出结果，解题用到整式乘法法则与平方差公式． 【详解】解：， ∵，， ∴，， 将，代入展开式：原式． 1．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对进行分母有理化，确定的具体值与正负性．然后对代数式中的二次根式里的多项式和分母的多项式分别进行因式分解，再根据的正负性去掉二次根式的符号，再对化简后的代数式进行约分，最后代入的值计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 2．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）已知，则的值为 _____． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先利用二次根式有意义求得与的值，然后把与的值代入变形后的代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴， ∴ ． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）化简求值． (1)已知，求的值； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) 化简结果为，值为 【分析】 （1）将所求代数式变形，先根据已知条件计算出和的值，再整体代入计算即可； （2）根据二次根式的性质化简原式，再将的值代入化简后的式子计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：由二次根式有意义的条件可得，， ∴原式 ， 将，代入得：原式． 【基础题型十二 已知条件式，化简求值】 【例1】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过已知条件求出的值，再计算，最后根据二次根式的性质开方得到结果. 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴. 【例2】（2026八年级上·四川成都·专题练习）已知，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，根据题意，则可将原式转化为的形式，然后利用已知条件代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故答案为：． 1．（2026·湖北武汉·模拟预测）若三个实数，，满足，且，则有：，则的值（    ） A． B． C．2023 D． 【答案】B 【分析】结合所给的条件，把所求的式子进行化简，再求值即可． 【详解】解：三个实数，，满足，且， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，数字的变化规律，分式的加减法，解答的关键是理解清楚所给的条件． 2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）若，则__________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，利用进行化简是解题的关键． 根据题意可知，、同号，再利用二次根式的性质分两种情况对原式中得每一项进行化简，再合并同类项，最后代入已知条件计算结果即可． 【详解】解：， ∴、同号， 当，时， ， 当，时， ； 综上，当，原式． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·云南·期中）某同学在解决问题：已知 ，求 的值时，他是这样分析的： 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： (1)化简： (2)若，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分母有理化化简即可； （2）先利用分母有理化把化简，再根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ； ，， ， ． 【基础题型十三 比较二次根式的大小】 【例1】（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·湖南衡阳·自主招生）已知，，则a与b的大小关系为________． 【答案】/ 【分析】可求出，比较出与的大小，即可得到与的大小关系，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 1．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键． 先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可． 【详解】解：； 同理，，． ∵， ∴． 故选：A． 2．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是__________． 【答案】 【分析】通过有理化将每个表达式转化为分母形式，比较分母的大小关系即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 即． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，利用二次根式的性质化简，分子有理化，比较二次根式的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）小萍在学习“二次根式的运算”中，发现了如下一系列奇妙的等式： ；；． 【发现问题】 (1)任务一：请根据上述等式的规律，写出第n个等式，并证明该等式成立； 【理解应用】 (2)任务二：比较与的大小． 【答案】(1)解：（为正整数），证明如下： ∵左边右边， ∴等式成立； (2) 【分析】（1）先观察已知等式的数字变化规律，归纳得到第个等式，再利用平方差公式证明等式成立； （2）先利用平方差公式对进行分母有理化化简，再通过比较常数大小得到两个式子的大小关系． 【详解】（1）略； （2）解：， ∵， ∴， 不等式两边同时加得：， 即． 【基础题型十四 二次根式的应用】 【例1】（2026七年级·湖南长沙·模拟预测）代数式＋＋的最小值是（    ） A．0 B．1＋ C．1 D．2 【答案】B 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，再结合算术平方根的性质求代数式的最小值． 【详解】解：要使代数式有意义，需满足，，．解得． ∵ 被开方数越大，算术平方根越大， ∴ 当时，，，的值均随的增大而增大． ∴ 代数式的值随的增大而增大． ∴ 当时，代数式取得最小值．代入得最小值为． 【例2】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）魏晋时期刘徽在《九章算术注》中提到了一种求二次根式近似值的方法：对于正整数，若（其中为正整数，为非零整数），则当最小时，．用该方法计算的近似值为_______．（结果保留两位小数） 【答案】 【分析】根据题干给出的近似计算方法，先将改写为的形式，确定使最小的正整数和整数，再代入公式计算，保留两位小数即可得到结果． 【详解】解：由题意得，． ，． 将表示为，此时． 若取，则，． 因此取，． 代入近似公式，得： ． 1．（25-26八年级下·广东江门·期末）如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，得出大正方形的边长，再求面积即可求得答案． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 这两个小正方形的边长分别为和， 大正方形的边长为， 余下部分的面积为：． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）小明做数学题时，发现：；；；；…；按此规律，若（，为正整数），则______． 【答案】 【分析】通过观察给定等式，发现规律为对于正整数n，有．根据此规律，令，求出a和b的值，进而计算． 【详解】解：由规律可得：， 当时，式子为， ∵， ∴，， ∴． 3．（25-26八年级下·山东滨州·期末）再谈海伦-秦九韶公式 材料1：古希腊的几何学家海伦（，约公元50年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三边长求其面积的海伦公式（其中、、为三角形的三边长，，为三角形的面积）； 材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为、、，三角形的面积为． 【解决问题】 (1)已知如图在中，，，．的面积______； (2)当的三边长分别为，，时，这个三角形的面积为________； (3)在（1）基础上，设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用海伦公式进行计算即可； （2）利用秦九韶公式进行计算即可； （3）用等积法进行求解即可. 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴的面积； （2）解：∵，，， ∴这个三角形的面积为 ； （3）解：由题意，， ∵，，， ∴， ∴. 【提高题型一 二次根式的新定义运算】 【例1】（24-25八年级下·重庆·期中）对代数式M定义新运算：．对于若干个数，先将任意两个数求和，再将这些和分别进行新运算，最后再将新运算的结果求和，称此为“新运算操作”．例如，对1，2，3进行“新运算操作”，得以下结论正确的有（   ） ①若，则； ②在实数范围内存在x，使得进行“新运算操作”的结果为8； ③a，b，c的“新运算操作”化简结果可能存在的不同表达式共有6种． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】此题考查了新定义实数运算、二次根式的化简等知识．根据二次根式的性质化简逐项进行解答判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴或， 解得或， 故①错误； ②进行“新运算操作”得到， ∵在实数范围内存在x，使得进行“新运算操作”的结果为8； ∴， 则， ∵在数轴上和的距离为8， ∴在数轴上找不到一个数，使得到和的距离之和为6， ∴无解， 故②错误， a，b，c的“新运算操作”结果为， 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 根据a，b，c的取值范围，化简结果可能存在的不同表达式共有8种． 故③错误， 故选：A 【例2】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）对于任意不相等的两个非负实数，新定义一种运算“”如下：，则______． 【答案】/ 【分析】根据定义代入新定义，然后根据二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 1．（25-26八年级下·山东泰安·期末）定义：若含有二次根式的式子，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求． 【答案】(1) (2) 【分析】由与是关于的和谐二次根式，得，然后通过二次根式除法即可求出的值； 根据题意得， 然后通过解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：∵与是关于的和谐二次根式， ∴， ∴； （2）解：根据题意得， ， ， ， ∴． 2．（25-26八年级上·北京·课后作业）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，求平方根，新定义下的实数运算,二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义及二次根式的化简是解题的关键． （1）根据同类二次根式的定义得出，求出a，再根据平方根的定义求出a的平方根即可； （2）先根据新运算求出，再根据新运算求出的值即可． 【详解】（1）最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得， 的平方根是； （2）， ， ． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）新定义：如果两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，那么我们称与是关于的“友好二次根式”． 例如：，，因为，所以与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于的“友好二次根式”，求的值． (2)若与是关于的“友好二次根式”，求的值． (3)若与是关于的“友好二次根式”，其中是有理数，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据新定义“友好二次根式”的规则，得到两个二次根式的乘积等于给定有理数，用二次根式的乘法运算，结合平方差公式进行分母有理化，再根据乘积为有理数的条件求解未知量即可． 【详解】（1）解：由“友好二次根式”的定义得； （2）解：由“友好二次根式”的定义得， ∴． （3）解：由“友好二次根式”的定义得， 展开并整理左边：， ∵是有理数，是有理数，是无理数， ∴， 解得． 【提高题型二 二次根式的阅读理解类问题】 【例1】（25-26八年级上·福建福州·期末）阅读理解：我们已经学习了《乘法公式》和《二次根式》，可以发现：当，时，有，得，当且仅当时等号成立，即有最小值是．请利用这个结论解答问题：当时，的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用．当时，直接根据公式计算即可求解． 【详解】解：当时，， ∴的最小值为3， 故选：D． 【例2】（2025·天津西青·二模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算：______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．先分母有理化，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段检测）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．如． 计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据列式运算即可． 【详解】解：由题意可得： ． 2．（25-26八年级上·湖南永州·期中）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题10分） 化简：． 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式． 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】（1）  (2) 【分析】本题主要考查了化简二次根式，数轴，绝对值化简等知识，熟练掌握二次根式有意义的条件和绝对值的化简，是解题的关键． （1）根据二次根式被开方数有意义的条件得出不等式从而解出的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答． （2）由数轴得出、、的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴原式， ， ， ． （2）∵实数在数轴上的位置如图所示， ∴，， ∴原式， ， ． 3．（25-26八年级上·上海·期中）阅读理解：化简：． 解：原式 ； 依照上述方法解答下列各题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题干给定的方法进行求解即可； （2）仿照题干给定的方法求出原式的倒数，进而求出原式即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ； ∴原式. 【提高题型三 用二次根式的乘除法解决实际问题】 【例1】（25-26八年级上·北京·课后作业）有甲、乙两块面积相等的长方形木板，甲的长为，宽为，乙的长为，求乙的宽（结果保留根号）． 【答案】乙的宽为 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据长方形面积计算公式求出甲的面积，即可得到乙的面积，再用乙的面积除以乙的长即可求出乙的宽． 【详解】解： ， ∴乙的宽为． 【例2】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）春游登山时，小明分享了一个课外知识：在海拔为米的位置，能看到的最远水平距离为千米，该关系近似表示为．当登山队登到海拔米的位置时，求此时能看到的最远水平距离．（结果保留根号） 【答案】此时能看到的最远水平距离为千米． 【分析】将已知海拔高度代入题目给出的关系式，再化简二次根式即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， （千米）， 答：此时能看到的最远水平距离为千米． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的长、宽分别是，．现将一部分水倒入一个高为的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了． (1)求玻璃容器的容积； (2)求玻璃容器的底面半径（π取）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、长方体体积公式、圆柱体体积公式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据长方体体积公式计算即可； （2）根据（1）算出的体积，再运用圆柱体体积公式计算即可解答． 【详解】（1）解：， 答：玻璃容器的容积为； （2）设玻璃容器的底面半径为， 则， 因为π取，则， 解得：（取正值）， 答：玻璃容器的底面半径为． 2．（25-26八年级下·甘肃定西·阶段检测）如图，某小区内有一个长方形广场，广场长为米，宽米，中间有两块大小相同的小长方形绿地（涂色部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求广场的周长． (2)除绿地部分，广场其他部分都要铺地砖，已知铺地砖的费用每平方米50元，求这个广场铺地砖的费用． 【答案】(1)米 (2)元 【分析】（1）长方形周长（长宽），据此计算即可； （2）用广场面积减去两块绿地面积可得出需要铺地砖的面积，再乘以每平方米铺地砖的费用即可． 【详解】（1）解：周长米． （2）解：广场面积：平方米， 两块绿地面积：平方米， 需要铺地砖的面积：平方米， 费用：元， 答：这个广场铺地砖的费用为17750元． 3．（25-26八年级下·广东广州·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”．某物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，高空抛物下落的时间（秒）和高度（米）近似满足关系式（不考虑阻力的影响）. (1)物体从米的高空落到地面的时间为_____秒； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：焦）（牛/千克）物体质量（千克）高度（米），一个质量为千克的鸡蛋经过秒落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要焦的能量） 【答案】(1) (2)焦，会 【分析】（）把代入关系式解答即可求解； （）求出鸡蛋下落的高度，进而根据题意求出鸡蛋在下落过程中产生的能量，再比较即可判断求解． 【详解】（1）解：把代入，得 （秒）， （2）解：把代入，得， 解得， ∴鸡蛋在下落过程中产生的能量为（焦）， ∵， ∴会对无防护人体造成伤害， 答：这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有焦，会对无防护人体造成伤害． 1．（24-25八年级上·河南洛阳·阶段检测）若与可以合并成一项，则m可以是（   ） A．50 B．15 C．0.5 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义，把每个选项代入化简，检验化简后被开方数是否相同． 【详解】解：A、把50代入化简得：，故A选项不符合题意； B、把15代入化简得：，故B选项不符合题意； C、把0.5代入化简得：，故C选项不符合题意； D、把代入化简得：，故D选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海·期中）在下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的概念是关键． 最简二次根式需同时满足两个条件：一是被开方数中不含能开的尽方的因数或因式，二是被开方数中不含分母，据此逐项判断即得答案． 【详解】解： A． ，被开方数含能开的尽方的因数4，所以不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B． ，被开方数中含有分母x，所以不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C． ，被开方数含有能开的尽方的因式，所以不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D． ，最简二次根式，故本选项符合题意； 3．（25-26八年级上·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据程序框图，先计算输入值与的和，判断其正负性，若大于0则乘以，否则除以，最后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：输入， 第一步运算：， ， ， 选择“是”的分支进行运算， 输出值为： ． 4．（2026·湖北武汉·模拟预测）若三个实数，，满足，且，则有：，则的值（    ） A． B． C．2023 D． 【答案】B 【分析】结合所给的条件，把所求的式子进行化简，再求值即可． 【详解】解：三个实数，，满足，且， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，数字的变化规律，分式的加减法，解答的关键是理解清楚所给的条件． 5．（25-26八年级下·安徽池州·期末）口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，青阳县园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，，则该口袋公园的总面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，，从而可得，求出矩形的面积为，即可得出结果． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为，， ∴，， ∴， ∴矩形的面积为， ∴该口袋公园的总面积为． 6．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题的关键是将各个二次根式化为最简二次根式后，再合并同类二次根式． 先将与分别化为最简二次根式，其中，；再将化简后得到的同类二次根式进行合并，计算与的和即可． 【详解】解： 故答案为：． 7．（2026八年级下·浙江宁波·模拟预测）化简：______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式混合运算，将原式平方后再开方即可得到答案． 【详解】解： ， 因为， 所以，， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）化简：______． 【答案】9 【分析】本题考查二次根式分母有理化，以及二次根式的运算，解题的关键在于正确掌握相关运算法则．根据二次根式分母有理化方法化简各项，再结合二次根式的运算法则求解，即可解题． 【详解】解： ． 9．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）按如图所示的程序计算，若开始输入n的值为，则最后输出的结果是______．    【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的乘法运算，无理数的估算．先把代入代数式得代数式的值为，再判断与11的大小，直到计算结果大于11再输出结果，从而可得答案． 【详解】解：当时，， 由，所以不能输出， 当时，， 由， ∴输出的结果是， 故答案为：． 10．（2026·河南洛阳·一模）如图1所示的中国结内包含两个全等的正方形，将其抽象成如图2所示的几何图形．若两个大正方形，的面积均为，重叠部分的小正方形为的面积为，则的长为______． 【答案】 【分析】首先根据正方形面积公式求出大正方形和小正方形的边长，再结合图形中线段的和差关系，用大正方形的边长减去小正方形的边长，即可得到的长度． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴大正方形的边长； ∵重叠部分的小正方形的面积为， ∴小正方形的边长， ∴． 11．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 12．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)化简：_______；______． (2)若最简二次根式与是同类二次根式，求a的值． 【答案】(1)， (2)． 【分析】本题主要考查最简二次根 及二次根式的化简，数轴，解答的关键是对相应的知识的掌握． （1）由数轴可得，再根据二次根式的性质进行求解即可； （2）根据最简二次根式和同类二次根式的定义列方程求解即可． 【详解】（1）由数轴得：， ， ． 故答案为：，； （2） 解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：（不合题意，舍去）或． ∴ 13．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）在进行二次根式化简与计算时我们经常会遇到如，这样的式子，观察下列等式，按照你观察到的规律回答下列问题： ① ②； ③； ④；… (1)计算： (2)计算： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 14．（24-25八年级上·山东青岛·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)______； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)10 (3)6 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后平方得到，再把原式变形为，接着利用整体代入的方法计算得到原式，然后再运用同样方法计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ， ， ． 15．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某数学学习兴趣小组研究摆钟的“滴答”声与摆长的关系．查阅资料得知：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声．摆钟的周期计算公式是，其中T表示周期（单位：），表示摆线长（单位：），g取取3．若已知一台摆钟原来的摆线长为． (1)求这台摆钟正常工作时的摆动周期； (2)该摆钟长期使用后零件老化，摆动周期变为1.5秒，请问这台摆钟需要返厂维修吗？请说明理由．（注：当实际摆线长与原摆线长相差超过时，需要返厂维修．） 【答案】(1) (2)该摆钟需要返厂维修，见解析 【分析】（1）把代入求解即可． （2）把代入求出，然后与相比即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：． （2）解：把代入得：， 解得， ∵， 所以该摆钟需要返厂维修． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次根式运算重难点题型专训（4个知识点+14大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、二次根式的乘法 1 题型二、二次根式的除法 2 题型三、二次根式的乘除混合运算 3 题型四、最简二次根式的判断 4 题型五、化为最简二次根式 5 题型六、已知最简二次根式求参数 6 题型七、同类二次根式 7 题型八、二次根式的加减运算 8 题型九、二次根式的混合运算 9 题型十、分母有理化 10 题型十一、已知字母的值，化简求值 11 题型十二、已知条件式，化简求值 12 题型十三、比较二次根式的大小 13 题型十四、二次根式的应用 14 第二部分·练提高题型 题型一、二次根式的新定义运算 1 题型二、二次根式的阅读理解类问题 2 题型三、用二次根式的乘除法解决实际问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【即时训练】 1．（25-26八年级下·河北保定·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北沧州·期末）已知，则______． 知识点02 二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开方数的积的算术平方根. 推广： 【即时训练】 1．（25-26八年级下·江西上饶·期末）下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·吉林长春·模拟预测）计算：________． 知识点03 二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相除，等于各个被开方数的商的算术平方根. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·陕西安康·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）计算：_______． 知识点04 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【即时训练】 1．（25-26八年级上·重庆·期中）估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（　　） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 2．（2025八年级上·广东广州·专题练习）计算：___． 【基础题型一 二次根式的乘法】 【例1】（2026·宁夏·模拟预测）下列各数中，介于和之间的数是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·四川德阳·期中）计算的结果是_____． 1．（25-26八年级下·广东广州·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）对于任意两个正数、，新定义一种运算“”如下，，则_____． 3．（26-27八年级下·全国·课后作业）声音在空气中传播的速度（单位：）可以根据公式计算，其中t（单位：）表示空气温度．当为时，求声音的传播速度（结果取整数）． 【基础题型二 二次根式的除法】 【例1】（25-26八年级下·广东广州·期末）下列二次根式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·广东潮州·期末）计算：__________． 1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点、、都在格点上，则的值为____________． 3．（25-26八年级下·浙江金华·期中）计算： (1) (2) 【基础题型三 二次根式的乘除混合运算】 【例1】（25-26八年级下·山西朔州·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026·河北沧州·三模）计算的结果为____________． 1．（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 2．（25-26八年级下·全国·周测）观察下列等式： ，，…，则前10个等式的和是__________． 3．（25-26八年级下·天津河东·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【基础题型四 最简二次根式的判断】 【例1】（26-27八年级上·广东广州·期中）下列式子中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数有______个． 1．（25-26八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）下列二次根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）若最简二次根式和能够合并，则m的值为：________． 3．（26-27八年级·上海·期中）判断下列二次根式是不是最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【基础题型五 化为最简二次根式】 【例1】（26-27八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ）． A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）化简：_____． 1．（25-26八年级下·吉林·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，则三角形的面积．若，则的值为___________． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）计算∶ (1) (2) 【基础题型六 已知最简二次根式求参数】 【例1】（2026八年级上·甘肃天水·模拟预测）最简二次根式和可以合并，那么（     ） A．2 B． C．3 D． 【例2】（25-26八年级下·陕西延安·期末）若是最简二次根式，则整数的值可以是__________．（写出一个符合题意的数即可） 1．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段检测）若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（    ） A．6.5 B．3 C．2 D．4 2．（25-26八年级下·河南许昌·期中）请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是________． 可取的最小整数是__________． 【基础题型七 同类二次根式】 【例1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例2】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 1．（2026·河北石家庄·模拟预测）小明的作业本上有以下四题，做错的题是（     ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 2．（2026·河南三门峡·二模）已知x是大于2的正整数，且与可以合并，则整数x的值可以是____________(写出一个即可)． 3．（25-26八年级下·重庆江津·期末）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的平方根； (2)对于任意的正实数和，我们定义新运算：，求的值． 【基础题型八 二次根式的加减运算】 【例1】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）计算：_______． 1．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列式子：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），化简正确的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26八年级上·河北唐山·期中）观察下列各式，然后解答下列的问题： （1）观察以上规律，请写出_____ （2）计算的结果为______． 3．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）阅读下面材料： ； ； ； 请解决下列问题： (1)求的值； (2)计算（为正整数）的值； (3)利用上面的解法，请计算：． 【基础题型九 二次根式的混合运算】 【例1】（2026·福建漳州·模拟预测）估算 的值应在（     ） A．4050和4051之间 B．4000和5000之间 C．4051和4052之间 D．4051和4053之间 【例2】（26-27八年级上·四川绵阳·期中）计算：______． 1．（25-26七年级下·河南濮阳·期中）已知，，，…，，其中为正整数，设，则值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·重庆南岸·期中）计算：_____． 3．（26-27八年级上·全国·单元复习）下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：               第一步                        第二步                      第三步 (1)任务一：第_______________步开始出现错误，错误原因是_______________； (2)任务二：请写出正确的计算过程； (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议． 【基础题型十 分母有理化】 【例1】（25-26八年级下·新疆哈密·期中）已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）把化去分母中的根号后得______． 1．（24-25八年级下·重庆巫山·期末）例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．则下列结论正确的有（    ）个 ①若是的小数部分，则；②比较大小：；③变形：；④计算： A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）化简：＝__________． 3．（25-26八年级下·河南三门峡·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效地去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 ， 所以． 请你根据上面材料提供的方法解决下列问题： (1)已知：，求的值； (2)计算：． 【基础题型十一 已知字母的值，化简求值】 【例1】（25-26八年级下·四川南充·期末）已知，求的值为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）已知：，，则的值为__________． 1．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）已知，则的值为 _____． 3．（25-26八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）化简求值． (1)已知，求的值； (2)先化简，再求值：，其中． 【基础题型十二 已知条件式，化简求值】 【例1】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【例2】（2026八年级上·四川成都·专题练习）已知，，则的值为______． 1．（2026·湖北武汉·模拟预测）若三个实数，，满足，且，则有：，则的值（    ） A． B． C．2023 D． 2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）若，则__________________． 3．（25-26八年级下·云南·期中）某同学在解决问题：已知 ，求 的值时，他是这样分析的： 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： (1)化简： (2)若，求的值； 【基础题型十三 比较二次根式的大小】 【例1】（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·湖南衡阳·自主招生）已知，，则a与b的大小关系为________． 1．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是__________． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）小萍在学习“二次根式的运算”中，发现了如下一系列奇妙的等式： ；；． 【发现问题】 (1)任务一：请根据上述等式的规律，写出第n个等式，并证明该等式成立； 【理解应用】 (2)任务二：比较与的大小． 【基础题型十四 二次根式的应用】 【例1】（2026七年级·湖南长沙·模拟预测）代数式＋＋的最小值是（    ） A．0 B．1＋ C．1 D．2 【例2】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）魏晋时期刘徽在《九章算术注》中提到了一种求二次根式近似值的方法：对于正整数，若（其中为正整数，为非零整数），则当最小时，．用该方法计算的近似值为_______．（结果保留两位小数） 1．（25-26八年级下·广东江门·期末）如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）小明做数学题时，发现：；；；；…；按此规律，若（，为正整数），则______． 3．（25-26八年级下·山东滨州·期末）再谈海伦-秦九韶公式 材料1：古希腊的几何学家海伦（，约公元50年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三边长求其面积的海伦公式（其中、、为三角形的三边长，，为三角形的面积）； 材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为、、，三角形的面积为． 【解决问题】 (1)已知如图在中，，，．的面积______； (2)当的三边长分别为，，时，这个三角形的面积为________； (3)在（1）基础上，设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值． 【提高题型一 二次根式的新定义运算】 【例1】（24-25八年级下·重庆·期中）对代数式M定义新运算：．对于若干个数，先将任意两个数求和，再将这些和分别进行新运算，最后再将新运算的结果求和，称此为“新运算操作”．例如，对1，2，3进行“新运算操作”，得以下结论正确的有（   ） ①若，则； ②在实数范围内存在x，使得进行“新运算操作”的结果为8； ③a，b，c的“新运算操作”化简结果可能存在的不同表达式共有6种． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例2】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）对于任意不相等的两个非负实数，新定义一种运算“”如下：，则______． 1．（25-26八年级下·山东泰安·期末）定义：若含有二次根式的式子，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求． 2．（25-26八年级上·北京·课后作业）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）新定义：如果两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，那么我们称与是关于的“友好二次根式”． 例如：，，因为，所以与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于的“友好二次根式”，求的值． (2)若与是关于的“友好二次根式”，求的值． (3)若与是关于的“友好二次根式”，其中是有理数，求的值． 【提高题型二 二次根式的阅读理解类问题】 【例1】（25-26八年级上·福建福州·期末）阅读理解：我们已经学习了《乘法公式》和《二次根式》，可以发现：当，时，有，得，当且仅当时等号成立，即有最小值是．请利用这个结论解答问题：当时，的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【例2】（2025·天津西青·二模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算：______． 1．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段检测）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．如． 计算： 2．（25-26八年级上·湖南永州·期中）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题10分） 化简：． 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式． 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简． 3．（25-26八年级上·上海·期中）阅读理解：化简：． 解：原式 ； 依照上述方法解答下列各题： (1)化简：； (2)化简：． 【提高题型三 用二次根式的乘除法解决实际问题】 【例1】（25-26八年级上·北京·课后作业）有甲、乙两块面积相等的长方形木板，甲的长为，宽为，乙的长为，求乙的宽（结果保留根号）． 【例2】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）春游登山时，小明分享了一个课外知识：在海拔为米的位置，能看到的最远水平距离为千米，该关系近似表示为．当登山队登到海拔米的位置时，求此时能看到的最远水平距离．（结果保留根号） 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的长、宽分别是，．现将一部分水倒入一个高为的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了． (1)求玻璃容器的容积； (2)求玻璃容器的底面半径（π取）． 2．（25-26八年级下·甘肃定西·阶段检测）如图，某小区内有一个长方形广场，广场长为米，宽米，中间有两块大小相同的小长方形绿地（涂色部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求广场的周长． (2)除绿地部分，广场其他部分都要铺地砖，已知铺地砖的费用每平方米50元，求这个广场铺地砖的费用． 3．（25-26八年级下·广东广州·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”．某物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，高空抛物下落的时间（秒）和高度（米）近似满足关系式（不考虑阻力的影响）. (1)物体从米的高空落到地面的时间为_____秒； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：焦）（牛/千克）物体质量（千克）高度（米），一个质量为千克的鸡蛋经过秒落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要焦的能量） 1．（24-25八年级上·河南洛阳·阶段检测）若与可以合并成一项，则m可以是（   ） A．50 B．15 C．0.5 D． 2．（24-25八年级上·上海·期中）在下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（    ） A． B． C．2 D． 4．（2026·湖北武汉·模拟预测）若三个实数，，满足，且，则有：，则的值（    ） A． B． C．2023 D． 5．（25-26八年级下·安徽池州·期末）口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，青阳县园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，，则该口袋公园的总面积为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）_________． 7．（2026八年级下·浙江宁波·模拟预测）化简：______． 8．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）化简：______． 9．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）按如图所示的程序计算，若开始输入n的值为，则最后输出的结果是______．    10．（2026·河南洛阳·一模）如图1所示的中国结内包含两个全等的正方形，将其抽象成如图2所示的几何图形．若两个大正方形，的面积均为，重叠部分的小正方形为的面积为，则的长为______． 11．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）计算： (1)； (2)． 12．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)化简：_______；______． (2)若最简二次根式与是同类二次根式，求a的值． 13．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）在进行二次根式化简与计算时我们经常会遇到如，这样的式子，观察下列等式，按照你观察到的规律回答下列问题： ① ②； ③； ④；… (1)计算： (2)计算： 14．（24-25八年级上·山东青岛·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)______； (2)化简：； (3)若，求的值． 15．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某数学学习兴趣小组研究摆钟的“滴答”声与摆长的关系．查阅资料得知：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声．摆钟的周期计算公式是，其中T表示周期（单位：），表示摆线长（单位：），g取取3．若已知一台摆钟原来的摆线长为． (1)求这台摆钟正常工作时的摆动周期； (2)该摆钟长期使用后零件老化，摆动周期变为1.5秒，请问这台摆钟需要返厂维修吗？请说明理由．（注：当实际摆线长与原摆线长相差超过时，需要返厂维修．） 学科网（北京）股份有限公司 $