第二章实数复习讲义2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学讲义通过知识框架图系统构建了“实数与实数计算”的知识体系，从无理数、平方根、立方根到实数分类、性质及运算，再到二次根式的概念、性质与混合运算，按“概念-性质-运算”递进关系呈现，突出无理数识别、二次根式运算等重难点，清晰展现知识内在逻辑。 讲义亮点在于“分层实战演练”设计，课堂狙击侧重基础应用如平方根求解，课后反击强化综合能力如数轴上实数比较，直击中考题培养推理意识。例题融入数形结合（数轴与实数性质）、分类讨论（实数分类）等思想，如通过“夹逼法”估算无理数培养抽象能力，助力不同层次学生提升，教师可据此实施精准教学，学生能自主梳理知识漏洞。

学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：八年级(上) 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数 学 学科教师： 授课主题 第02讲-实数与实数计算 授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结 教学目标 ①了解实数的基本内容； ②掌握算术平方根、平方根、立方根、实数的概念及二次根式的相关概念； ③重点掌握无理数的相关概念及二次根式的混合运算。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 ( 体系搭建 ) 1、 知识梳理 1、无理数 （1）概念：无限不循环小数； （2）估算无理数的近似值——“夹逼法”。 2、平方根 （1）算术平方根； （2）平方根：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根； （3）开平方：被开方数为非负数。 3、立方根 （1）正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数； （2）开立方：被开方数为任意实数。 4、实数的分类 （1）按定义分：分为有理数和无理数； （2）按符号性质分：分为正实数、0、负实数。 5、实数的有关概念与性质 （1）实数的绝对值、相反数、倒数 （2）实数与数轴上的点一一对应 6、实数的运算 （1）实数的大小比较 （2）实数的混合运算 7、二次根式 （1）概念：形如的式子叫二次根式；被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。 （2）性质：，。 （3）运算：①加减法：先把各个二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式分别合并；②混合运算：先算乘方，再算乘除，后算加减，有括号的先算括号内的。 考点一：无理数 例1、下列实数中的无理数是（　　） A．0.7 B． C．π D．﹣8 例2、阅读下列材料：设=0.333…①，则10x=3.333…②，则由②﹣①得：9x=3，即．所以=0.333…=．根据上述提供的方法把下列两个数化成分数．= ，= ． 例3、把下列各数分别填在相应的集合中：﹣，，﹣，0，﹣，、，0.，3.14 例4、定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以，是无理数． 可以这样证明： 设与b 是互质的两个整数，且b≠0． 则a2=2b2因为b是整数且不为0，所以，a是不为0的偶数，设a=2n，（n是整数），所以b2=2n2，所以b也是偶数，与a，b是互质的正整数矛盾．所以，是无理数．仔细阅读上文，然后，请证明：是无理数． 考点二：平方根与立方根 例1、已知一个正数的平方根是2x和x﹣6，这个数是 ． 例2、下面是一个某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第n行倒数第二个数是 ．（用含n的代数式表示） 考点三：实数的有关概念与性质 例1、实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．|a|＜|b| B．a＞b C．a＜﹣b D．|a|＞|b| 例2、已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（　　） A．a•b＞0 B．a+b＜0 C．|a|＜|b| D．a﹣b＞0 例3、化简= ． 考点四：实数的运算 例1、计算：+（）﹣3+20260． 例2、计算：（﹣1）2016+﹣|﹣|﹣（π﹣3.14）0． 例3、计算：（﹣3）0﹣|﹣|+． 考点五：二次根式 例1、使二次根式有意义的x的取值范围是（　　） A．x≠1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1 例2、在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为 ． 例3、计算： 例4、已知=﹣（x，y为有理数），则x﹣y= ． 例5、观察下列各式及其验证过程： （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反应的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并说明它成立． 例6、阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ==；（一） =（二） ==（三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： =（四） （1）请用不同的方法化简． ①参照（三）式得=（　　）； ②参照（四）式得=（　　） （2）化简：． P(Practice-Oriented)——实战演练 ( 实战演练 ) · 课堂狙击 1、下列式子正确的是（　　） A．=±2 B．=﹣2 C．=﹣2 D．=﹣2 2、实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） A．a＞﹣2 B．a＜﹣3 C．a＞﹣b D．a＜﹣b 3、实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|b|可化简为（　　） A．a﹣b B．b﹣a C．a+b D．﹣a﹣b 4、在，3.14159，，﹣8，，0.6，0，，中是无理数的个数有 个． 5、在：，，0，3.14，﹣，﹣，7.151551…（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）中， 整数集合{　　　　 …}， 分数集合{　　　　 …}， 无理数集合{　　　 …}． 6、代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 7、计算（+1）2﹣π0﹣|1﹣| 8、计算：（+1）（﹣1）+（﹣2）0﹣． 9、若二次根式有意义，则a的取值范围是（　　） A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≠2 10、计算：． 11、观察下列等式： 第1个等式：a1==﹣1， 第2个等式：a2==﹣， 第3个等式：a3==2﹣， 第4个等式：a4==﹣2， 按上述规律，回答以下问题： （1）请写出第n个等式：an= = - ； （2）a1+a2+a3+…+an= ． · 课后反击 1、下列各数：1.414，，﹣，0，其中是无理数的为（　　） A．1.414 B． C．﹣ D．0 2、的平方根是（　　） A．﹣3 B．±3 C．±9 D．﹣9 3、下列说法中，正确的是（　　） A．等于±4 B．﹣42的平方根是±4 C．8的立方根是±2 D．﹣是5的平方根 4、若实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列判断错误的是（　　） A．a＜0 B．ab＜0 C．a＜b D．a，b互为倒数 5、如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（　　） A．p B．q C．m D．n 6、在下列各数中：3.1415、0.2060060006（相邻的两个6之间依次多一个0）、0、、﹣π、、、、，无理数的个数是 ． 7、如果整数x＞﹣3，那么使函数y=有意义的x的值是 （只填一个） 8、把下列各数填入相应的集合内：，π，，1.14141，﹣，|﹣7|，，， 9、计算：． ( 直击中考 ) 1、【富顺县】已知，求（m+n）2016的值？ 2、【凉山州】阅读材料，解答下列问题． 例：当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身； 当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零； 当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数． ∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即， 这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想． 问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况； （2）猜想与|a|的大小关系． S(Summary-Embedded)——归纳总结 ( 重点回顾 ) 1、无理数的识别与估算； 2、平方根、立方根的求法； 3、实数的性质； 4、实数大小的比较与混合运算。 ( 名师点拨 ) 1、掌握数形结合思想，运用数轴一一对应； 2、学会分类讨论思想； 3、整体思想。 ( 学霸经验 ) · 本节课我学到 · 我需要努力的地方是 ( 3 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：八年级(上) 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数 学 学科教师： 授课主题 第02讲-实数与实数计算 授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结 教学目标 ①了解实数的基本内容； ②掌握算术平方根、平方根、立方根、实数的概念及二次根式的相关概念； ③重点掌握无理数的相关概念及二次根式的混合运算。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 ( 体系搭建 ) 1、 知识梳理 1、无理数 （1）概念：无限不循环小数； （2）估算无理数的近似值——“夹逼法”。 2、平方根 （1）算术平方根； （2）平方根：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根； （3）开平方：被开方数为非负数。 3、立方根 （1）正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数； （2）开立方：被开方数为任意实数。 4、实数的分类 （1）按定义分：分为有理数和无理数； （2）按符号性质分：分为正实数、0、负实数。 5、实数的有关概念与性质 （1）实数的绝对值、相反数、倒数 （2）实数与数轴上的点一一对应 6、实数的运算 （1）实数的大小比较 （2）实数的混合运算 7、二次根式 （1）概念：形如的式子叫二次根式；被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。 （2）性质：，。 （3）运算：①加减法：先把各个二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式分别合并；②混合运算：先算乘方，再算乘除，后算加减，有括号的先算括号内的。 考点一：无理数 例1、下列实数中的无理数是（　　） A．0.7 B． C．π D．﹣8 【解析】∵无理数就是无限不循环小数， 且0.7为有限小数，为有限小数，﹣8为正数，都属于有理数， π为无限不循环小数， ∴π为无理数． 故选：C． 例2、阅读下列材料：设=0.333…①，则10x=3.333…②，则由②﹣①得：9x=3，即．所以=0.333…=．根据上述提供的方法把下列两个数化成分数．= ，= ． 【解析】设=x=0.777…①， 则10x=7.777…②，则由②﹣①得：9x=7，即x=； 根据已知条件=0.333…=，可以得到=1+=1+=． 故答案为：；． 例3、把下列各数分别填在相应的集合中：﹣，，﹣，0，﹣，、，0.，3.14 【解析】有理数集合：（﹣，﹣，0，，0.，3.14，…）， 无理数集合：（，﹣，，…）． 例4、定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以，是无理数． 可以这样证明： 设与b 是互质的两个整数，且b≠0． 则a2=2b2因为b是整数且不为0，所以，a是不为0的偶数，设a=2n，（n是整数），所以b2=2n2，所以b也是偶数，与a，b是互质的正整数矛盾．所以，是无理数．仔细阅读上文，然后，请证明：是无理数． 【解析】设与b是互质的两个整数，且b≠0．则，a2=5b2， 因为b是整数且不为0，所以a不为0且为5的倍数，设a=5n，（n是整数）， 所以b2=5n2，所以b也为5的倍数，与a，b是互质的正整数矛盾．所以是无理数． 考点二：平方根与立方根 例1、已知一个正数的平方根是2x和x﹣6，这个数是 ． 【解析】∵一个正数的平方根是2x和x﹣6，∴2x+x﹣6=0，解得x=2， ∴这个数的正平方根为2x=4，∴这个数是16．故答案为：16． 例2、下面是一个某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第n行倒数第二个数是 ．（用含n的代数式表示） 【解析】第1行的最后一个被开方数2=1×2，第2行的最后一个被开方数6=2×3 第3行的最后一个被开方数12=3×4，第4行的最后一个被开方数20=4×5， … 第n行的最后一个被开方数n（n+1）， ∴第n行的最后一数为，∴第n行倒数第二个数为．故答案为． 考点三：实数的有关概念与性质 例1、实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．|a|＜|b| B．a＞b C．a＜﹣b D．|a|＞|b| 【解析】由点的坐标，得0＞a＞﹣1，1＜b＜2． A、|a|＜|b|，故本选项正确；B、a＜b，故本选项错误； C、a＞﹣b，故本选项错误；D、|a|＜|b|，故本选项错误；故选：A． 例2、已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（　　） A．a•b＞0 B．a+b＜0 C．|a|＜|b| D．a﹣b＞0 【解析】根据点a、b在数轴上的位置可知1＜a＜2，﹣1＜b＜0， ∴ab＜0，a+b＞0，|a|＞|b|，a﹣b＞0，．故选：D． 例3、化简= ． 【解析】∵，∴＜0， ∴=﹣．故答案为：﹣． 考点四：实数的运算 例1、计算：+（）﹣3+20260． 【解析】原式=3+8+1﹣ =9+． 例2、计算：（﹣1）2016+﹣|﹣|﹣（π﹣3.14）0． 【解析】（﹣1）2016+﹣|﹣|﹣（π﹣3.14）0 =1+2﹣﹣1 =． 例3、计算：（﹣3）0﹣|﹣|+． 【解析】原式=1﹣+2 =1+． 考点五：二次根式 例1、使二次根式有意义的x的取值范围是（　　） A．x≠1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1 【解析】由题意得，x﹣1≥0，解得x≥1，故选：D． 例2、在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为 ． 【解析】由数轴可得：a﹣5＜0，a﹣2＞0，则+|a﹣2|=5﹣a+a﹣2=3．故答案为：3． 例3、计算： 【解析】， = =． 例4、已知=﹣（x，y为有理数），则x﹣y= ． 【解析】∵=﹣， ∴（）2=（﹣）2，即2﹣3=x+y﹣2， ∴x+y﹣2=2﹣=+﹣2， ∵x，y为有理数，∴x+y=+，xy=×， 由条件可知x＞y，∴x=，y=，∴x﹣y=1，故答案为：1． 例5、观察下列各式及其验证过程： （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反应的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并说明它成立． 【解析】（1）5=，验证：5====； （2）n=， 证明：n====． 例6、阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ==；（一） =（二） ==（三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： =（四） （1）请用不同的方法化简． ①参照（三）式得=（　　）； ②参照（四）式得=（　　） （2）化简：． 【解析】（1）=， =； （2）原式= +…+ =++…+ =． P(Practice-Oriented)——实战演练 ( 实战演练 ) · 课堂狙击 1、下列式子正确的是（　　） A．=±2 B．=﹣2 C．=﹣2 D．=﹣2 【解析】A、=2，故本选项错误；B、=﹣2，故本选项正确； C、=﹣2，故本选项错误；D、负数没有算术平方根，故本选项错误；故选B． 2、实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） A．a＞﹣2 B．a＜﹣3 C．a＞﹣b D．a＜﹣b 【解析】A、如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；B、如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误； C、如图所示：1＜b＜2，则﹣2＜﹣b＜﹣1，故a＜﹣b，故此选项错误；故选：D． 3、实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|b|可化简为（　　） A．a﹣b B．b﹣a C．a+b D．﹣a﹣b 【解析】由数轴可得：a＞0，b＜0，则|a|﹣|b|=a﹣（﹣b）=a+b．故选C． 4、在，3.14159，，﹣8，，0.6，0，，中是无理数的个数有 个． 【解析】是有理数，3.14159是一个有限小数，是有理数，是无理数，﹣8是有理数，是无理数， 0.6是有理数，0是有理数，=6是有理数，是无理数．故答案为：3． 5、在：，，0，3.14，﹣，﹣，7.151551…（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）中， 整数集合{　　　　…}， 分数集合{　　　　…}， 无理数集合{　　　…}． 【解析】整数集合{0，﹣}； 分数集合{，3.14}； 无理数集合{，﹣，7.151551…}． 6、代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【解析】∵在实数范围内有意义，∴x﹣1≥0， 解得x≥1．故答案为：x≥1． 7、计算（+1）2﹣π0﹣|1﹣| 【解析】原式=2+2+1﹣1﹣（﹣1）=2+2﹣+1=3+． 8、计算：（+1）（﹣1）+（﹣2）0﹣． 【解析】（+1）（﹣1）+（﹣2）0﹣=5﹣1+1﹣3=2． 9、若二次根式有意义，则a的取值范围是（　　） A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≠2 【解析】∵二次根式有意义，∴a﹣2≥0，即a≥2， 则a的范围是a≥2，故选A 10、计算：． 【解析】原式=﹣+2=4﹣+2=4+． 11、观察下列等式： 第1个等式：a1==﹣1， 第2个等式：a2==﹣， 第3个等式：a3==2﹣， 第4个等式：a4==﹣2， 按上述规律，回答以下问题： （1）请写出第n个等式：an= = - ； （2）a1+a2+a3+…+an= ． 【解答】解：（1）∵第1个等式：a1==﹣1， 第2个等式：a2==﹣， 第3个等式：a3==2﹣， 第4个等式：a4==﹣2， ∴第n个等式：an==﹣； （2）a1+a2+a3+…+an =（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+（﹣2）+…+（﹣） =﹣1． 故答案为=﹣；﹣1． · 课后反击 1、下列各数：1.414，，﹣，0，其中是无理数的为（　　） A．1.414 B． C．﹣ D．0 【解析】是无理数．故选B． 2、的平方根是（　　） A．﹣3 B．±3 C．±9 D．﹣9 【解析】∵=9，∴的平方根为±3．故选B 3、下列说法中，正确的是（　　） A．等于±4 B．﹣42的平方根是±4 C．8的立方根是±2 D．﹣是5的平方根 【解析】A、=4，故本选项错误； B、﹣42=﹣16，负数没有平方根，故本选项错误； C、8的立方根是2，故本选项错误； D、﹣是5的平方根，故本选项正确；故选D． 4、若实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列判断错误的是（　　） A．a＜0 B．ab＜0 C．a＜b D．a，b互为倒数 【解析】A、a＜0，故A正确； B、ab＜0，故B正确； C、a＜b，故C正确； D、乘积为1的两个数互为倒数，故D错误；故选：D． 5、如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（　　） A．p B．q C．m D．n 【解析】∵n+q=0，∴n和q互为相反数，0在线段NQ的中点处，∴绝对值最大的点P表示的数p，故选A． 6、在下列各数中：3.1415、0.2060060006（相邻的两个6之间依次多一个0）、0、、﹣π、、、、，无理数的个数是 ． 【解析】在3.1415、0.2060060006（相邻的两个6之间依次多一个0）、0、、﹣π、、、、中，0.2060060006（相邻的两个6之间依次多一个0）、3.1415、0、、是有理数， ﹣π、、这3个数是无理数，故答案为3． 7、如果整数x＞﹣3，那么使函数y=有意义的x的值是 （只填一个） 【解析】∵y=，∴π﹣2x≥0，即x≤，∵整数x＞﹣3，∴当x=0时符号要求，故答案为：0． 8、把下列各数填入相应的集合内：，π，，1.14141，﹣，|﹣7|，，， 【解析】有理数集合{，，1.14141，|﹣7|…}，无理数集合{π，﹣，，，…}． 9、计算：． 【解析】原式=+3×2﹣2×﹣1=+6﹣﹣1=5． ( 直击中考 ) 1、【富顺县】已知，求（m+n）2016的值？ 【解析】由题意得，16﹣n2≥0，n2﹣16≥0，n+4≠0， 则n2=16，n≠﹣4， 解得，n=4， 则m=﹣3， （m+n）2016=1． 2、【凉山州】阅读材料，解答下列问题． 例：当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身； 当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零； 当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数． ∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即， 这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想． 问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况； （2）猜想与|a|的大小关系． 【解析】（1）由题意可得=；（2）由（1）可得：=|a|． S(Summary-Embedded)——归纳总结 ( 重点回顾 ) 1、无理数的识别与估算； 2、平方根、立方根的求法； 3、实数的性质； 4、实数大小的比较与混合运算。 ( 名师点拨 ) 1、掌握数形结合思想，运用数轴一一对应； 2、学会分类讨论思想； 3、整体思想。 ( 学霸经验 ) · 本节课我学到 · 我需要努力的地方是 ( 11 ) 学科网（北京）股份有限公司 $