专题07 实数章末易错必刷题型专训重难点专题提升精讲精练（66题22个考点）2026-2027学年八年级数学上册（北师大版）

**基本信息** 聚焦实数章节22个易错考点，以66道典型题构建从概念辨析到综合运算的递进训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |无理数|3题|概念辨析、分类|实数概念基础| |无理数估算|3题|大小比较、范围确定|数感与运算能力| |平方根/立方根|6题|性质应用、方程求解|从定义到应用延伸| |二次根式运算|9题|化简、乘除混合|代数运算能力提升| |规律探索|3题|归纳推理|数学思维与模型意识|

专题07 实数章末易错必刷题型专训（66题22个考点） 【易错必刷一 无理数】 1．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）在下列四个数中，其中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，故A不符合题意； B、是整数，属于有理数，故B不符合题意； C、是无限不循环小数，属于无理数，故C符合题意； D、，是整数，属于有理数，故D不符合题意． 2．（25-26八年级上·河南郑州·阶段检测）写出一个比大，比0小的无理数_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查比较实数的大小，无理数，根据负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小，以及无理数的定义，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故比大，比0小的无理数可以为； 故答案为：（答案不唯一）． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）把下列各数填入相应的数集内． ，（每两个1之间比上一个多一个5），0，，，，，，． 正数集合：｛                       …｝     无理数集合：｛                    …｝ 分数集合：｛                       …｝    非负整数集合：｛                   …｝ 【答案】， (每两个1之间比上一个多一个5)，，； (每两个1之间比上一个多一个5) ，，；，， ，；0， 【分析】本题主要考查了实数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数和无理数的定义．根据有理数和无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：，； 正数集合：｛， (每两个1之间比上一个多一个5)，， …｝； 无理数集合：｛ (每两个1之间比上一个多一个5) ，， …｝； 分数集合：｛，  ，    …｝； 非负整数集合：｛  0， …｝． 【易错必刷二 无理数的大小估算】 4．（2026·北京·模拟预测）下列整数中与最接近的是（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】要确定与最接近的整数，先确定的取值范围，再比较与相邻整数的距离，即可得到结果． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， ∵，，， ∴距离4更近． 5．（25-26七年级下·北京密云·期中）若，且是两个连续的整数，则的值为_____ 【答案】 【分析】先估算出的大小范围，再根据，是连续整数得到，的值，代入计算即可得到结果. 【详解】解：，， ， 根据算术平方根的性质开平方得， ，， 则. 6．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流． ≈0.066；≈96；≈60.4 【答案】 解：①第一个错．因为0.0662＝0.004 356，所以估算错误． ②第二个错．因为10的立方是1 000，900比1 000小，所以900的立方根应比1 000的立方根小，即小于10，所以估算错误 ③第三个错．因为60的平方是3 600，而2 536小于3 600，所以应比60小，所以估算错误 【详解】略 【易错必刷三 实数的性质】 7．（25-26八年级上·河北唐山·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查主要考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数可得答案． 【详解】解：， 故选：B． 8．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）的绝对值是______，的相反数是______． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了实数的性质，根据相反数和绝对值的定义求解即可． 【详解】解：的绝对值是； 的相反数是 故答案为：；． 9．（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）求下列各数的绝对值： ，，，，． 【答案】，，，， 【分析】根据正数及零的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，可得答案． 【详解】解：， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了实数的绝对值， 理解绝对值的意义是解题的关键． 【易错必刷四 实数的大小比较】 10．（2026·福建漳州·模拟预测）下列实数中，最大的数是（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】先化简各选项中的数，再根据实数大小比较规则判断即可． 【详解】解：， ， 则最大的数是． 11．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期中）比较大小：______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】两个负数比较大小，可先比较两个数的绝对值，根据绝对值大的反而小进行判断． 【详解】解：∵，，且， ， ∴， 故． 12．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）比较大小：5与； 【答案】> 【分析】本题考查了实数大小比较．比较两数平方后的值，即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴． 【易错必刷五 求一个数的算术平方根】 13．（25-26八年级上·广东茂名·期中）的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的算术平方根为． 14．（25-26七年级下·广西贵港·期末）化简：_______． 【答案】2 【详解】解：． 15．（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）求下列各数的算术平方根． (1)36； (2)； (3)． 【答案】(1)6 (2)0.09 (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【易错必刷六 利用算术平方根的非负性解题】 16．（25-26八年级下·全国·单元测试）若，则的值是（   ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，， ，． ． 17．（2026七年级·湖南长沙·模拟预测）代数式的最小值为____． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性，得到的最小值为，即可求出原代数式的最小值． 【详解】解：∵， ∴的最小值是， 当时，， ∴代数式的最小值为． 18．（25-26八年级上·全国·单元测试）若，求的值． 【答案】3 【分析】根据绝对值、平方、算术平方根等非负数的性质即可求出的值，然后即可解决问题． 【详解】解：由已知，得， 所以 【点睛】此题主要考查了非负数的性质，以及平方根的基本性质，注意：绝对值、开平方、平方在本题当中它们都是非负数，只有都为等式才能成立． 【易错必刷七 估计算术平方根的取值范围】 19．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）估计的值在（    ） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 【答案】A 【分析】找到37介于哪两个相邻完全平方数之间，即可得到的范围． 【详解】解：∵，，且， ∴， 即 ， ∴的值在6和7之间． 20．（24-25七年级下·山东滨州·期中）根据以下表格里的数据： 2.024 20.24 202.4 2024 20240 1.422 4.499 14.22 44.99 142.2 则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开方数的小数点每向左移动两位，那么开方的结果的小数点就向左移动一位，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 21．（26-27八年级上·全国·课后作业）估算下列各数的大小： （1）（结果精确到0.1） （2）（结果精确到1）； （3）（结果精确到0.1）； （4）（结果精确到1）． 【答案】（1）4.5；（2）10；（3）5.7；（4）5 【分析】（1）、（3）由平方和开平方互为逆运算，确定这两个数介于哪两个数的平方之间，然后判断和哪个端点最为接近即可； （2）、（4）由立方和开立方互为逆运算，确定这两个数介于哪两个数的立方之间，然后判断和哪个端点最为接近即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴； （4）∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查求一个数的平方根和立方根的近似值，掌握求解近似数的方法是解题关键． 【易错必刷八 已知一个数的平方根，求这个数】 22．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知正数的两个平方根是和，那么的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根．利用一个正数的平方根互为相反数的性质，列方程求解x，再计算m的值，即可作答． 【详解】解：∵正数的两个平方根是和， ∴， 即， ∴， 把代入，得， ∴， 故选：C． 23．（26-27八年级上·陕西西安·期末）一个正数的两个不同的平方根分别为与，则m的值为_____ ． 【答案】1 【分析】根据一个正数的两个不同的平方根互为相反数列式计算． 【详解】解：由题意得：， ∴． 24．（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）如果一个正数x的两个平方根分别为和，求a和x的值 【答案】， 【分析】本题考查了平方根，结合一个正数的平方根有两个，互为相反数，进行列式计算得，再代入，然后求出，即可作答． 【详解】解：∵一个正数x的两个平方根分别为和， ∴， 解得， 则， ∴． 【易错必刷九 利用平方根解方程】  25．（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）关于x的方程，则 (  ) A． B． C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的应用，解题的关键是掌握平方根的求法，注意一个正数的平方根有两个． 【详解】解：∵， ∴， 故选B． 26．（24-25七年级下·四川广元·期中）若，则__________． 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键．根据平方根的性质解方程即可得． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 27．（25-26八年级上·山东青岛·期中）求满足条件的x的值： 【答案】或 【详解】解： 或 解得或． 【易错必刷十 已知一个数的立方根，求这个数】 28．（25-26七年级下·云南曲靖·期中）若，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：∵ ∴． 29．（25-26七年级下·河北沧州·期末）若一个数的立方根是，则这个数是__________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义，若一个数的立方根是，则这个数是的立方． 【详解】解：， 的立方根是， 这个数是． 30．（25-26七年级下·北京大兴·期中）已知，求实数x的值． 【答案】 【分析】根据立方根定义解方程即可． 【详解】解：， 移项，合并同类项得：， ∵， ∴， 解得：． 【易错必刷十一 与立方根有关的规律探索】 31．（24-25七年级下·山东德州·期中）已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，结合，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A 32．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）有一组按规律排列的数：，则第n个数是_______；这组数的前1000个数中，无理数有_______个． 【答案】 994 【分析】本题考查了立方根，数字规律的探索，找到规律是解题的关键；由再结合其它数可以得到规律：是一组数的立方根，被开方数是从2开始的偶数，据此可完成第一空；根据，可确定前1000项中的有理数，从而可确定无理数的个数，完成第二空． 【详解】解：∵， ∴， ∴第n个数是； ∵， 即前1000个数中是有理数的有2，4，6，8，10，12共6个，其余的数都是无理数， 而，即无理数有994个； 故答案为：． 33．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）观察规律并回答下列问题：，，，…． (1)______，______； (2)若，，则______；（用含的代数式表示） (3)当时，根据上述规律比较与的大小关系． 【答案】(1)， (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了立方根、与立方根有关的规律探索，正确发现一般规律是解题关键． （1）根据已知可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位，由此即可得； （2）根据上述规律和可得，由此即可得； （3）根据立方根的性质可得，，再根据上述规律可得，，则、和三种情况进行分析即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：． （3）（3）由题意知，，． ①当时，； ②当时，，此时； ③当时，． 综上，当时，；当时，；当时，． 【易错必刷十二 程序设计与实数运算】 34．（25-26七年级下·广东广州·期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为16时，输出的y值是（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数运算，先把16作为输入的数，计算其算术平方根，若结果为无理数则输出，若结果为有理数则把算术平方根重新作为新数输入，如此反复直至算术平方根是无理数则为输出结果即可． 【详解】解：是有理数， 是有理数， 是无理数， ∴当输入的x的值为16时，输出的y值是吗， 故选：A． 35．（25-26七年级下·湖北黄石·期中）如图是一个数值转换器，当输入数值8时，输出的是______． 【答案】 【分析】先把输入计算出8的立方根为2，由于2是有理数，则把作为新数输入，再求出2开立方的结果，若结果为有理数，则重复上述过程，若结果为无理数，则把结果输出即可． 【详解】解：第一次输入8时，是有理数， 第二次输入2时，是无理数，则输出的结果为． 36．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 【答案】(1) (2)4次 【分析】本题考查了实数的运算，理解题意，掌握框图中的运算法则是解题的关键． （1）根据框图中的运算程序计算即可； （2）根据框图中的运算程序计算，直到结果大于或等于4即输出结果为止． 【详解】（1）当输入x的值为5时， 则有，， 且， 输出y的值是． （2）当输入x的值为1时， 则有，，，继续计算； 第二次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第三次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第四次输入x的值为时， 则有，，，输出； 所以经过4次程序运行后才能输出y． 【易错必刷十三 求二次根式的值】 37．（25-26八年级下·全国·期中）当时，二次根式的值为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】将给定的值代入二次根式，根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解：将代入二次根式可得． 38．（25-26八年级下·浙江温州·期末）当时，二次根式的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查求二次根式的值，解题思路为将已知代入二次根式的被开方数，计算后得到结果． 【详解】解：将代入可得：， 故答案为 39．（24-25八年级下·江西宜春·阶段检测）一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据算术平方根把公式变形即可； （）把，代入即可求解； 本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：当，时， ∴． 【易错必刷十四 求二次根式中的参数】 40．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】解题思路为先分解质因数化简二次根式，根据二次根式为整数的条件，即被开方数需为完全平方数，即可求出最小正整数n，用到二次根式的化简性质 【详解】解：先对进行变形化简： ∵ ∴ ∵ 是整数，是正整数 ∴ 必须是整数，即为完全平方数 ∴ 正整数的最小值为 41．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如果是一个整数，那么最小正整数___________． 【答案】2 【分析】根据二次根式的定义，可得答案． 【详解】解：由二次根式是一个整数，那么正整数a最小值是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，利用二次根式的性质是解题关键． 42．（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【答案】（1）自然数的值为，，，，；（2）正整数的最小值为． 【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可； （2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可． 【详解】（1）∵是整数， ∴，，，，， 解得：，，，，， 则自然数的值为2，9，14，17，18； （2）∵是整数，为正整数， ∴正整数的最小值为． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键． 【易错必刷十五 利用二次根式的性质化简】 43．（26-27八年级上·四川绵阳·期中）下列运算正确的是（     ） A．÷ B．÷= C．÷ D．2÷=1 【答案】D 【详解】解：，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 44．（26-27八年级上·陕西榆林·期中）化简：________． 【答案】 【详解】解：． 45．（26-27八年级下·全国·课后作业）已知一个大圆的面积是两个小圆的面积之和．如果大圆的半径为r，两个小圆的半径分别为2和3，求r的值． 【答案】的值为 【分析】根据圆的面积公式及平方根的应用列方程解答即可． 【详解】解：∵一个大圆的面积是两个小圆的面积之和， ∴， ∴， ∵， ∴． 【易错必刷十六 二次根式的乘除混合运算】 46．（25-26八年级下·山东威海·阶段检测）计算：的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原式为同级运算，从左到右依次计算， ∵， ∴ 原式． 47．（2026·河北沧州·三模）计算的结果为____________． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除混合运算顺序进行即可． 【详解】解：原式． 48．（25-26八年级下·天津河东·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【易错必刷十七 最简二次根式的判断】 49．（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义处理：被开方数的因数是整数，因式是整式；不含开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A．是最简二次根式，符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．的根指数为3，不是二次根式，不符合题意． 50．（25-26八年级下·新疆喀什·期中）下列二次根式中：①；②；③；④；是最简二次根式的是______（填序号）． 【答案】②③/③② 【分析】最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开得尽的因数和因式. 【详解】解：①，不是最简二次根式； ②满足最简二次根式的定义，是最简二次根式； ③满足最简二次根式的定义，是最简二次根式； ④，不是最简二次根式； 综上，是最简二次根式的有②③. 51．（2025八年级上·全国·专题练习）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，理解最简二次根式并正确求解是关键． （1）利用二次根式的性质化简求解； （2）利用二次根式的性质化简求解； （3）利用二次根式的性质化简求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． 【易错必刷十八 已知最简二次根式求参数】 52．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）若是最简二次根式，则a的值可以是（     ） A．0.1 B．12 C．15 D． 【答案】C 【详解】解：∵最简二次根式满足两个条件，①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式； 对选项逐一判断： A、，被开方数含分母，不满足条件，错误； B、，是能开得尽方的因数，不满足条件，错误； C、，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足条件，正确； D、，被开方数含分母，不满足条件，错误． 53．（26-27八年级上·全国·单元复习）若最简二次根式与可以合并，则______________． 【答案】1 【分析】先将化为最简二次根式，根据可合并的二次根式是同类二次根式，得到被开方数相等，列方程求解． 【详解】解：先化简， 得． ∵最简二次根式与可以合并， ∴二者为同类二次根式，最简形式下被开方数相等． 即． 解得． 54．（25-26八年级下·山东临沂·期中）已知最简二次根式与能合并，求m的值． 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义，可知两个最简二次根式能合并，则它们的被开方数相同，据此列方程求解即可 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴，且， 解得：， 此时且，且为最简二次根式， ∴符合题意． 【易错必刷十九 同类二次根式】 55．（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列二次根式中能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：化简各选项二次根式：，，此时被开方数与相同，是最简二次根式，， ∴只有可与合并． 56．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）与最简二次根式是同类二次根式，则_________． 【答案】 【分析】被开方式相同的最简二次根式是同类二次根式，据此进行列式计算即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， 又∵与是同类二次根式， ∴， 解得． 57．（25-26八年级上·北京·单元复习）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？ (1)和； (2)和． 【答案】(1)不是； (2)不是． 【分析】本题主要考查二次根式的性质及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键． （1）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案． （2）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】（1）解：； ． ∴和不是同类二次根式； （2）解：； ． ∴和不是同类二次根式． 【易错必刷二十 比较二次根式的大小】 58．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）比较大小： ，其中所填的符号是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】比较两个正无理数的大小，可采用平方法，正数比较大小时，平方越大的数本身越大，进一步可得答案． 【详解】解：∵ ， 而 ∴ ∴ ． 59．（25-26八年级下·北京·期中）若，则__________；比较大小：__________． 【答案】 3 ＜ 【详解】解：，， ． ，， ，即． 60．（25-26八年级下·全国·课后作业）课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下： 解：． ，，，． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较实数与的大小． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，掌握作差法比较大小是解题的关键． 将两数相减，差与比较大小，从而得到原数的大小． 【详解】解：． ， ， ， ， ． 【易错必刷二十一 实数的混合运算】 61．（25-26七年级下·山东德州·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根、立方根的定义以及实数的混合运算，根据对应运算法则逐一验证选项即可得到答案． 【详解】解：、表示的算术平方根，算术平方根为非负数， ∵， ∴，该选项计算错误，不符合题意； 、根据立方根的性质，负数的立方根是负数， ∵， ∴，该选项计算错误，不符合题意； 、，该选项计算正确，符合题意； 、∵， ∴，该选项计算错误，不符合题意． 62．（25-26七年级下·甘肃金昌·期末）计算：___________． 【答案】5 【详解】解： ． 63．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【易错必刷二十二 与实数运算相关的规律题】 64．（25-26七年级下·全国·周测）已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是解题的关键． 观察序列规律，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同． 【详解】解：由条件可知：这一列数是从开始的连续的自然数，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同， ∵ ， ∴ 第项为负平方根，即. 故选：B． 65．（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 【答案】63 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与运算，解题的关键是根据所给式子得出结论．通过观察给定等式的规律，发现对于正整数a，等式成立，因此当时，n的值为． 【详解】解：已知，，，……， 可归纳出一般形式：． 当时，． 故答案为63． 66．（25-26七年级下·安徽滁州·阶段检测）观察下列等式： 等式1：；等式2：；等式3： (1)猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为 ，第10个等式为 ； (2)归纳猜想：用含的式子表示第个等式所反映的运算规律为 ． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知被开方数中第一项的分母为序号加1的倒数，第二项的分母为第一项分母的平方，等式右边的结果中分母为序号加1，分子为序号的算术平方根，据此求解即可； （2）根据（1）分析中的规律可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可猜想第4个等式为，第10个等式为； （2）解：第1个等式为， 第2个等式为， 第3个等式为， 第4个等式为， …… 以此类推可得第n个等式为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 实数章末易错必刷题型专训（66题22个考点） 【易错必刷一 无理数】 1．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）在下列四个数中，其中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南郑州·阶段检测）写出一个比大，比0小的无理数_________． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）把下列各数填入相应的数集内． ，（每两个1之间比上一个多一个5），0，，，，，，． 正数集合：｛                       …｝     无理数集合：｛                    …｝ 分数集合：｛                       …｝    非负整数集合：｛                   …｝ 【易错必刷二 无理数的大小估算】 4．（2026·北京·模拟预测）下列整数中与最接近的是（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．（25-26七年级下·北京密云·期中）若，且是两个连续的整数，则的值为_____ 6．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流． ≈0.066；≈96；≈60.4 【易错必刷三 实数的性质】 7．（25-26八年级上·河北唐山·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）的绝对值是______，的相反数是______． 9．（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）求下列各数的绝对值： ，，，，． 【易错必刷四 实数的大小比较】 10．（2026·福建漳州·模拟预测）下列实数中，最大的数是（     ） A． B． C． D．1 11．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期中）比较大小：______．（填“>”“<”或“=”） 12．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）比较大小：5与； 【易错必刷五 求一个数的算术平方根】 13．（25-26八年级上·广东茂名·期中）的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级下·广西贵港·期末）化简：_______． 15．（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）求下列各数的算术平方根． (1)36； (2)； (3)． 【易错必刷六 利用算术平方根的非负性解题】 16．（25-26八年级下·全国·单元测试）若，则的值是（   ） A．1 B．0 C． D．2 17．（2026七年级·湖南长沙·模拟预测）代数式的最小值为____． 18．（25-26八年级上·全国·单元测试）若，求的值． 【易错必刷七 估计算术平方根的取值范围】 19．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）估计的值在（    ） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 20．（24-25七年级下·山东滨州·期中）根据以下表格里的数据： 2.024 20.24 202.4 2024 20240 1.422 4.499 14.22 44.99 142.2 则_____． 21．（26-27八年级上·全国·课后作业）估算下列各数的大小： （1）（结果精确到0.1） （2）（结果精确到1）； （3）（结果精确到0.1）； （4）（结果精确到1）． 【易错必刷八 已知一个数的平方根，求这个数】 22．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知正数的两个平方根是和，那么的值是（    ） A．2 B． C． D． 23．（26-27八年级上·陕西西安·期末）一个正数的两个不同的平方根分别为与，则m的值为_____ ． 24．（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）如果一个正数x的两个平方根分别为和，求a和x的值 【易错必刷九 利用平方根解方程】  25．（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）关于x的方程，则 (  ) A． B． C．6 D．12 26．（24-25七年级下·四川广元·期中）若，则__________． 27．（25-26八年级上·山东青岛·期中）求满足条件的x的值： 【易错必刷十 已知一个数的立方根，求这个数】 28．（25-26七年级下·云南曲靖·期中）若，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 29．（25-26七年级下·河北沧州·期末）若一个数的立方根是，则这个数是__________． 30．（25-26七年级下·北京大兴·期中）已知，求实数x的值． 【易错必刷十一 与立方根有关的规律探索】 31．（24-25七年级下·山东德州·期中）已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 32．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）有一组按规律排列的数：，则第n个数是_______；这组数的前1000个数中，无理数有_______个． 33．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）观察规律并回答下列问题：，，，…． (1)______，______； (2)若，，则______；（用含的代数式表示） (3)当时，根据上述规律比较与的大小关系． 【易错必刷十二 程序设计与实数运算】 34．（25-26七年级下·广东广州·期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为16时，输出的y值是（    ） A． B．2 C．4 D．8 35．（25-26七年级下·湖北黄石·期中）如图是一个数值转换器，当输入数值8时，输出的是______． 36．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 【易错必刷十三 求二次根式的值】 37．（25-26八年级下·全国·期中）当时，二次根式的值为（     ） A．4 B． C． D． 38．（25-26八年级下·浙江温州·期末）当时，二次根式的值为_________． 39．（24-25八年级下·江西宜春·阶段检测）一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 【易错必刷十四 求二次根式中的参数】 40．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 41．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如果是一个整数，那么最小正整数___________． 42．（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【易错必刷十五 利用二次根式的性质化简】 43．（26-27八年级上·四川绵阳·期中）下列运算正确的是（     ） A．÷ B．÷= C．÷ D．2÷=1 44．（26-27八年级上·陕西榆林·期中）化简：________． 45．（26-27八年级下·全国·课后作业）已知一个大圆的面积是两个小圆的面积之和．如果大圆的半径为r，两个小圆的半径分别为2和3，求r的值． 【易错必刷十六 二次根式的乘除混合运算】 46．（25-26八年级下·山东威海·阶段检测）计算：的值为（   ） A． B． C． D． 47．（2026·河北沧州·三模）计算的结果为____________． 48．（25-26八年级下·天津河东·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【易错必刷十七 最简二次根式的判断】 49．（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 50．（25-26八年级下·新疆喀什·期中）下列二次根式中：①；②；③；④；是最简二次根式的是______（填序号）． 51．（2025八年级上·全国·专题练习）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【易错必刷十八 已知最简二次根式求参数】 52．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）若是最简二次根式，则a的值可以是（     ） A．0.1 B．12 C．15 D． 53．（26-27八年级上·全国·单元复习）若最简二次根式与可以合并，则______________． 54．（25-26八年级下·山东临沂·期中）已知最简二次根式与能合并，求m的值． 【易错必刷十九 同类二次根式】 55．（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列二次根式中能与合并的是（     ） A． B． C． D． 56．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）与最简二次根式是同类二次根式，则_________． 57．（25-26八年级上·北京·单元复习）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？ (1)和； (2)和． 【易错必刷二十 比较二次根式的大小】 58．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）比较大小： ，其中所填的符号是（     ） A． B． C． D．无法确定 59．（25-26八年级下·北京·期中）若，则__________；比较大小：__________． 60．（25-26八年级下·全国·课后作业）课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下： 解：． ，，，． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较实数与的大小． 【易错必刷二十一 实数的混合运算】 61．（25-26七年级下·山东德州·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 62．（25-26七年级下·甘肃金昌·期末）计算：___________． 63．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【易错必刷二十二 与实数运算相关的规律题】 64．（25-26七年级下·全国·周测）已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 65．（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 66．（25-26七年级下·安徽滁州·阶段检测）观察下列等式： 等式1：；等式2：；等式3： (1)猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为 ，第10个等式为 ； (2)归纳猜想：用含的式子表示第个等式所反映的运算规律为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $