专题04 二次根式性质 重难点题型专训 -2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学二次根式性质，系统梳理定义（形如√a(a≥0)的式子，含根指数2和被开方数非负条件）、有意义的条件（被开方数非负及分母不为零）、性质（双重非负性、(√a)²=a、√a²=|a|等）、化简（分解因式、开尽方、化为最简二次根式）四个核心知识点，构建从概念到应用的递进式学习支架。 资料以“知识点+题型+检测”为框架，基础题型覆盖识别、求值等6类基础应用，提高题型深化非负性综合问题，结合即时训练与例题解析，培养学生抽象能力（如定义辨析）和运算能力（如复合二次根式化简）。课中辅助分层教学实施，课后助力学生针对性练习，有效查漏补缺，提升知识迁移与问题解决能力。

专题04 二次根式性质重难点题型专训（4个知识点+6大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、二次根式的识别 1 题型二、求二次根式的值 2 题型三、求二次根式中的参数 3 题型四、二次根式有意义的条件 4 题型五、利用二次根式的性质化简 5 题型六、复合二次根式的化简 6 第二部分·练提高题型 题型一、二次根式非负性综合问题 1 第三部分・自我检测 知识点01 二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义，只需判断各选项的被开方数是否恒为非负数，即可得出正确结果． 【详解】解：∵ 选项A中被开方数，∴不是二次根式； ∵ 选项B中的符号不确定，当时被开方数为负数，∴ 不一定是二次根式； ∵ ，∴ ，被开方数恒为非负数，符合二次根式定义，∴ 选项C是二次根式； ∵ 选项D中，当时，，被开方数为负数，∴不一定是二次根式． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是__________的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 知识点02 二次根式有无意义的条件 （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·河北唐山·期末）若是二次根式，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据是二次根式，则，即可得到答案． 【详解】解：∵是二次根式， ∴， 各选项中只有满足． 2．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）要使二次根式有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 知识点03 二次根式的性质 （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式：（3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 【即时训练】 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值是（   ） A． B．2 C．4 D．3 【答案】B 【分析】把x的值代入二次根式即可解答． 【详解】解：当时，二次根式． 2．（25-26八年级下·河南商丘·期末）当时，的值是_________． 【答案】 【详解】当时，． 知识点04二次根式的化简 （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）计算：（     ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【详解】解：． 2．（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：，则 请你仿照小明的方法解决下列问题： 若则___________，___________． 【答案】 2 2 【分析】本题考查了双重二次根式的化简，完全平方公式变形等知识．先把变形为，即可得到，问题得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2,2 【基础题型一 二次根式的识别】 【例1】（2026八年级下·海南省直辖县级单位·模拟预测）下列各式不是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，二次根式根指数为2，通常省略不写.判断各选项是否符合定义要求，即可得出答案. 【详解】解：A.是二次根号下的式子，形式符合二次根式定义，是二次根式； B.，根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式； C.的根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式的定义，不是二次根式； D.，根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式. 【例2】（26-27八年级上·全国·期中）二次根式中，被开方数是______，系数是______，根指数是______． 【答案】 / 2 【详解】解：根据二次根式的定义，在中，根号内的式子为被开方数，为二次根式的系数，二次根式的根指数为； ∴由可得被开方数是，系数是，根指数是． 1．（25-26八年级下·广西梧州·期中）下列各式中，一定属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式需满足的两个条件：根指数为2，且被开方数为非负数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．被开方数，无意义，不是二次根式； B．根指数为2，被开方数，满足二次根式定义，一定是二次根式； C．根指数为3，属于三次根式，不是二次根式； D．当时，无意义，不一定是二次根式． 2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）请任意写一个二次根式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，熟记二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，一个二次根式可写为， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（25-26八年级下·全国·单元测试）观察下面表中的式子，写出第n个式子(用含n的代数式表示)，并问这个式子一定是二次根式吗？为什么？ 【答案】是二次根式，理由见解析． 【分析】根据形如（a≥0）是二次根式，可得答案． 【详解】解：第n个式子是，一定是二次根式， 理由如下：的被开方数是非负数， ∴是二次根式． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，利用了二次根式的定义：形如（a≥0）是二次根式． 【基础题型二 求二次根式的值】 【例1】（25-26八年级下·江西南昌·期末）当时，二次根式的值是（      ） A． B．2 C．4 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式求值；把a的值代入二次根式求值即可． 【详解】解：时，； 故选：B． 【例2】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）当时，二次根式的值是_______． 【答案】 【分析】将代入待求式子，根据根号具有括号的作用，按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序算出被开方数即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为______． 【答案】4 【分析】将x=-3代入原式即可求出答案． 【详解】解：当x=-3时， 原式 =4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查二次根式的定义，解题的关键是熟练运用二次根式的定义，本题属于基础题型． 3．（25-26八年级上·山西晋中·期中）当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（） 【答案】 【分析】根据求代数式的值的基本方法解答即可． 本题考查了求代数式的值，熟练掌握求代数式的值的基本方法是解题的关键． 【详解】解：当时， ． 答：肉眼能看到的地面最远距离大约是． 【基础题型三 求二次根式中的参数】 【例1】（24-25八年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可． 【详解】设（为非负整数）， 则， 即， ∵为自然数， ∴， 即， 完全平方数的可能值为，对应， 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（对应选项B）； 故选B． 【例2】（2026·云南·二模）若是整数，则的值可以是_______（写出一个即可） 【答案】20（答案不唯一） 【分析】根据二次根式的定义，若为整数，则被开方数必须是非负的完全平方数，据此即可求出的一个符合条件的值． 【详解】解：是整数， 是非负的完全平方数， 设，其中为非负整数， 整理得， 取，得． 1．（25-26八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 2．（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段检测）当的值为______时，的值最小，这个最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质解答即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，即，取最小值， 此时的值最小，最小值为， 故答案为：，． 3．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，值为；当值为时， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件解答即可． （2）将代入即可求解，令时，求解即可 【详解】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则， 解得：． 【基础题型四 二次根式有意义的条件】 【例1】（25-26八年级下·河北廊坊·期末）下列式子中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件，根指数为2，且被开方数为非负数，据此逐一分析选项即可. 【详解】解：二次根式的定义为，形如的式子是二次根式. ∵ 选项A中式子根指数为3，属于三次根式，不满足二次根式定义，∴ A错误. ∵ 对任意实数，都有，∴ ，该式子根指数为2且被开方数恒为正，满足二次根式定义，∴ B正确. ∵ 选项C中被开方数，式子无意义，∴ C错误. ∵ 当时，无意义，不满足二次根式要求，∴ D错误. 【例2】（2026·河南周口·模拟预测）请写出一个使二次根式有意义的x的值______． 【答案】0（答案不唯一，任意满足的值均可） 【分析】根据被开方数为非负数列出不等式求解得到x的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：由题意，得 解得 取该范围内一个x的值即可，如取． 1．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足非负要求，即， 解得． 2．（2026·广西崇左·二模）若二次根式在实数范围内有意义，请写出一个符合条件的a的值____． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，再在范围内选取一个符合条件的值即可. 【详解】若二次根式在实数范围内有意义，则被开方数为非负数，因此可得 解：由题意， 解得； 任意选取满足的值即可， 故（答案不唯一） 3．（25-26八年级下·广东惠州·期末）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得． ， 原式． 【启发应用】按照上面的解法，试化简（结果保留）； 【答案】 【分析】根据例子找出隐含条件，求出的取值范围，再根据算术平方根和绝对值的非负性，对原式进行化简． 【详解】解：， ∵隐含条件，解得， ∴， 原式． 【基础题型五 利用二次根式的性质化简】 【例1】（25-26八年级下·贵州遵义·期中）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 【例2】（25-26七年级下·上海·期末）填空：___________，___________，___________，___________． 【答案】 当为大于1的奇数时，;当为大于1的偶数时， 当为奇数时，；当为偶数时，取任意实数， 【分析】根据根式的运算性质，结合根指数的奇偶性分类讨论化简即可． 【详解】解：对于： 式子已经有意义，开次方后再做次方运算，运算相互抵消， ； 对于，分两种情况讨论： 当为大于1的奇数时，， 当为大于1的偶数时，； 对于： ，且恒成立， ； 对于： 根指数是偶数，被开方数需满足， 当为奇数时，，变形得， ， 当为偶数时，取任意实数，即，变形得， ， 综上所述，当为奇数时，；当为偶数时，取任意实数，． 1．（25-26八年级上·吉林长春·期中）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的除法法则以及相关运算逐项判断即可． 【详解】解：A．，即选项A错误； B．，故选项B错误； C．，故选项C错误； D．，故选项D正确． 2．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）已知、、在数轴上的位置如图所示．化简__________． 【答案】/ 【分析】根据数轴上数的位置关系，判断和的正负性．利用二次根式的性质，将原式转化为绝对值形式．根据绝对值的代数意义，去掉绝对值符号后合并同类项． 【详解】解：由数轴可得 ， 因此：，． 根据二次根式性质 ，对原式化简： ． 3．（26-27八年级上·全国·单元复习）下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：               第一步                        第二步                      第三步 (1)任务一：第_______________步开始出现错误，错误原因是_______________； (2)任务二：请写出正确的计算过程； (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)一，去括号没有变号 (2)解： ； (3)二次根式运算时要化到最简形式（答案不唯一） 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则的解答过程，即可判断出错的地方以及出错原因； （2）根据二次根式的性质和运算法则即可求出正确答案； （3）根据二次根式的性质合理建议即可． 【详解】（1）解：小明同学在计算去括号的时候忽略了括号前是负号， 去括号时应该变号， 第一步出错，出错的原因是去括号没有变号． （2）略 （3）解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，因此建议二次根式运算的结果要化成最简二次根式． 【基础题型六 复合二次根式的化简】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 【例2】（25-26八年级下·广东江门·期中）阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 【答案】 【分析】将被开方数变形凑成完全平方公式的形式，再利用二次根式的性质化简即可. 【详解】解： . 1．（2025八年级·全国·模拟预测）化简，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的混合运算，完全平方公式等知识，根据二次根式的混合运算和完全平方公式逐步化简即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：C． 2．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 请用上述方法探索并解决下列问题：__________． 【答案】/ 【分析】本题考查利用完全平方公式化简复合二次根式，熟练掌握二次根式的性质与完全平方公式的结构是解题关键，将被开方数拆分为两个正数的和，构造完全平方式即可化简． 【详解】解： 3．（25-26八年级下·广东珠海·期末）阅读与思考 【阅读理解】数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例题： 【解决问题】 (1)仿照例题补充完整： ___________________________=_________=_________; (2)根据上述思路，试将下列各式化简： ①； ②． 【答案】(1)，, (2)①；② 【分析】主要利用完全平方公式将被开方数变形，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）略 （2）解：①原式 ； ②原式 ． 【提高题型一 二次根式非负性综合问题】 【例1】（24-25八年级上·湖北十堰·自主招生）满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，完全平方公式，二次根式的性质，首先利用完全平方公式得到，然后利用二次根式的性质化简得到，然后计算其近似值，确定整数m的范围． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ∵， ∴， ∴； ∴整数m的值为1或2或3，共3个． 故选：B． 【例2】（2026八年级下·辽宁鞍山·模拟预测）观察式子：，， ，…，由此得到的规律，请你用含n（n是大于等于1的正整数）的式子表示出来_____． 【答案】 【分析】根据前几个等式的变化规律可得结论． 【详解】解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …， 以此类推，第n个等式：． 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）计算：． 【答案】6 【分析】利用完全平方公式、乘法分配律、去括号和合并同类二次根式进行计算． 【详解】解：原式 ． 2．（25-26八年级下·甘肃武威·期中）若关于的方程存在整数解，求正整数所有可取的值． 【答案】正整数m的所有可取的值为1和8． 【分析】本题考查了方程的整数解问题．令从而使得用y表示m的代数式不含根式，据此求解即可． 【详解】解：由题意可知，必为整数， 设，则， 则． ∵y为非负整数，则要使m为整数，则y能被10整除， ∴y的值为1，2，5，10， ∴对应的m的值为8，1，，． ∵m为正整数， ∴m的值为1，8， ∴正整数m的所有可取的值为1和8． 3．（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，根据，结合例题化简二次根式即可； （2）把所求式子变形为，令，根据结合例题化简二次根式即可． 【详解】（1）解：令， ∵，，， ∴； （2）解：， 令， ∵，，， ∴． 1．（25-26八年级上·辽宁辽阳·期中）给出下列各式：．其中二次根式的个数是（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．一般地，我们把形如的式子叫做二次根式． 【详解】解：①∵，∴是二次根式； ②6不是二次根式； ③∵，∴不是二次根式； ④∵，∴，∴是二次根式； ⑤∵，∴是二次根式； ⑥是三次根式，不是二次根式． 所以二次根式有3个． 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】把代入解题即可 【详解】解：把代入得， 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）使在实数范围内有意义的的值有（   ） A．0个 B．1个 C．无数个 D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义，被开方数必须非负，即需满足 ，结合平方的非负性，可得唯一解． 本题考查了二次根式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义的条件是 ， ∴ 需 ， 即 ， 又 ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选 ：B． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 5．（2026八年级·全国·模拟预测）已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据，得出，即可得出，，，根据，分三种情况求出的值进行验证即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， 又∵， 当时，不合题意， 当时，不合题意， 当时，符合题意， 满足条件的取值只有1组． 故选：A． 6．（25-26八年级下·湖北荆门·阶段检测）已知，则________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论 【详解】求解． 解：∵， ∴与同号， ①当，时， 原式 ； ②当，时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件． 7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知 是正整数，且 是整数，那么 可取得的最小值是_____ 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握完全平方数的特征． 首先把被开方数分解质因数，然后再确定的值． 【详解】解：， 是整数， ∴正整数的最小值是． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，求的平方根______ ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求算术平方根． 根据二次根式有意义的条件，可得，进而判断出的符号，化简绝对值．将方程整理后，利用非负数的性质，得到m和n的值，再求的平方根． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， ∴， ， ， ∴， 原方程化为：， 两边同时减去，得：， ∵，， ∴且， 解得：，， ∴， ∴的平方根为． 故答案为：． 9．（25-26八年级下·浙江台州·期末）对任意正数，定义运算“※”：当，；当，则．若（），则的值为___________． 【答案】9或25/25或9 【分析】分两种情况，即或，分别列方程即可解答． 【详解】 当时， ， 则可得， ， ，符合题意； 当时， ， 则可得， ， ，符合题意； 综上，的值为或． 10．（25-26八年级下·江苏泰州·期末），像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如   ，用上述方法可以将复合二次根式化简为________． 【答案】 【分析】观察题目给出的复合二次根式，构造完全平方的方法化简即可． 【详解】解：． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）若求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 12．（26-27八年级下·全国·课后作业）用计算器计算： (1)； (2)； (3)； (4)． (5)观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的结果： ____________． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】利用计算器分别计算，根据计算所得结果即可得到规律：所得结果为被开方数算式中相乘的因数加1． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：根据上述几题的结果可得：所得结果为被开方数算式中相乘的因数加1， ∴． 【点睛】本题考查了利用计算器求算术平方根，规律探究，主要是计算器的使用方法，需熟记，关键是总结规律． 13．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，3，3 (2)①无解 ②不能，理由： 若代数式的值等于7，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， ∴该方程无解， ∴代数式的值不能等于7． 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． （1）根据题意可直接进行求解； （2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； ②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答． 【详解】（1）解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， ∴不是原方程的解，原方程无解； ②略 14．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）【教材再现】 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记作，0的算术平方根是0，即，并且被开方数为非负数． 【探究新知】 (1)若，则的取值范围是 【知识应用】 (2)若，求的值． 【拓展提升】 (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据算术平方根的被开方数非负确定的取值范围． （2）利用非负数的性质得到的值，代入计算即可． （3）先由算术平方根的非负性确定的范围，化简绝对值后变形求解． 【详解】（1）解：∵的被开方数为非负数， ∴， 此时成立， 故的取值范围是． （2）解：∵，，且， ∴， ， ∴， ∴． （3）解：∵有意义， ∴，即， ∴ ， ∴ ， 原式化为， 整理得， 两边平方得， ∴ ． 15．（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例如： 解决问题： (1)在括号内填上适当的数： ． (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)、、、、 (2) 原式 【分析】（1）根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可； （2）根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：、、、、． （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次根式性质重难点题型专训（4个知识点+6大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、二次根式的识别 1 题型二、求二次根式的值 2 题型三、求二次根式中的参数 3 题型四、二次根式有意义的条件 4 题型五、利用二次根式的性质化简 5 题型六、复合二次根式的化简 6 第二部分·练提高题型 题型一、二次根式非负性综合问题 1 第三部分・自我检测 知识点01 二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是__________的（填“对”或“错”）． 知识点02 二次根式有无意义的条件 （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·河北唐山·期末）若是二次根式，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）要使二次根式有意义，则的取值范围是________． 知识点03 二次根式的性质 （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式：（3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 【即时训练】 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值是（   ） A． B．2 C．4 D．3 2．（25-26八年级下·河南商丘·期末）当时，的值是_________． 知识点04二次根式的化简 （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）计算：（     ） A． B．3 C． D．9 2．（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：，则 请你仿照小明的方法解决下列问题： 若则___________，___________． 【基础题型一 二次根式的识别】 【例1】（2026八年级下·海南省直辖县级单位·模拟预测）下列各式不是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27八年级上·全国·期中）二次根式中，被开方数是______，系数是______，根指数是______． 1．（25-26八年级下·广西梧州·期中）下列各式中，一定属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）请任意写一个二次根式：________． 3．（25-26八年级下·全国·单元测试）观察下面表中的式子，写出第n个式子(用含n的代数式表示)，并问这个式子一定是二次根式吗？为什么？ 【基础题型二 求二次根式的值】 【例1】（25-26八年级下·江西南昌·期末）当时，二次根式的值是（      ） A． B．2 C．4 D．16 【例2】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）当时，二次根式的值是_______． 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为______． 3．（25-26八年级上·山西晋中·期中）当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（） 【基础题型三 求二次根式中的参数】 【例1】（24-25八年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（2026·云南·二模）若是整数，则的值可以是_______（写出一个即可） 1．（25-26八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 2．（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段检测）当的值为______时，的值最小，这个最小值为______． 3．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【基础题型四 二次根式有意义的条件】 【例1】（25-26八年级下·河北廊坊·期末）下列式子中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·河南周口·模拟预测）请写出一个使二次根式有意义的x的值______． 1．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广西崇左·二模）若二次根式在实数范围内有意义，请写出一个符合条件的a的值____． 3．（25-26八年级下·广东惠州·期末）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得． ， 原式． 【启发应用】按照上面的解法，试化简（结果保留）； 【基础题型五 利用二次根式的性质化简】 【例1】（25-26八年级下·贵州遵义·期中）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·上海·期末）填空：___________，___________，___________，___________． 1．（25-26八年级上·吉林长春·期中）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）已知、、在数轴上的位置如图所示．化简__________． 3．（26-27八年级上·全国·单元复习）下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：               第一步                        第二步                      第三步 (1)任务一：第_______________步开始出现错误，错误原因是_______________； (2)任务二：请写出正确的计算过程； (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议． 【基础题型六 复合二次根式的化简】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·广东江门·期中）阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 1．（2025八年级·全国·模拟预测）化简，结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 请用上述方法探索并解决下列问题：__________． 3．（25-26八年级下·广东珠海·期末）阅读与思考 【阅读理解】数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例题： 【解决问题】 (1)仿照例题补充完整： ___________________________=_________=_________; (2)根据上述思路，试将下列各式化简： ①； ②． 【提高题型一 二次根式非负性综合问题】 【例1】（24-25八年级上·湖北十堰·自主招生）满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（2026八年级下·辽宁鞍山·模拟预测）观察式子：，， ，…，由此得到的规律，请你用含n（n是大于等于1的正整数）的式子表示出来_____． n 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）计算：． 2．（25-26八年级下·甘肃武威·期中）若关于的方程存在整数解，求正整数所有可取的值． 3．（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 1．（25-26八年级上·辽宁辽阳·期中）给出下列各式：．其中二次根式的个数是（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）使在实数范围内有意义的的值有（   ） A．0个 B．1个 C．无数个 D．以上都不对 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 5．（2026八年级·全国·模拟预测）已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 6．（25-26八年级下·湖北荆门·阶段检测）已知，则________． 7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知 是正整数，且 是整数，那么 可取得的最小值是_____ 8．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，求的平方根______ ． 9．（25-26八年级下·浙江台州·期末）对任意正数，定义运算“※”：当，；当，则．若（），则的值为___________． 10．（25-26八年级下·江苏泰州·期末），像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如   ，用上述方法可以将复合二次根式化简为________． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）若求的值． 12．（26-27八年级下·全国·课后作业）用计算器计算： (1)； (2)； (3)； (4)． (5)观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的结果： ____________． 13．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 14．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）【教材再现】 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记作，0的算术平方根是0，即，并且被开方数为非负数． 【探究新知】 (1)若，则的取值范围是 【知识应用】 (2)若，求的值． 【拓展提升】 (3)若，求的值． 15．（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例如： 解决问题： (1)在括号内填上适当的数： ． (2)根据上述思路，试将予以化简． 学科网（北京）股份有限公司 $