重难点专题04 二次根式的计算（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“公式-步骤-技巧”为主线构建二次根式运算体系，覆盖乘除、化简、加减全流程，突出算理与应用结合，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式乘除法|33题（含选择、填空、解答）|乘法“先乘后化，分解开方”；除法“直接相除/分母有理化”；混合运算“统一乘法，分组计算”|从单一运算到混合运算，逐步提升复杂度| |最简二次根式|23题（含判断、化简、参数）|判断“两标准”（无分母、无开方因数）；化简“分解质因数/分母有理化”；参数问题“列不等式组求解”|从概念判断到化简应用，再到逆向参数求解| |二次根式加减法|32题（含同类根式、混合运算、分母有理化）|加减“先化简再合并”；混合运算“遵循整式顺序，活用公式”；分母有理化“单项乘根式/多项乘共轭式”|从同类根式判定到综合运算，渗透转化思想|

重难点专题04 二次根式的计算 模块一、二次根式的乘除法 重难点一、二次根式的乘法 二次根式乘法牢记公式，先相乘再化简。计算时优先分解被开方数，拆分完全平方数快速开方；带系数根式分开算系数与根式，避免漏乘，最后化为最简根式，减少计算失误。 1．（25-26八年级下·福建厦门·期末）若的计算结果为整数，则a的值可以是（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】二次根式的乘法 【分析】求出计算结果为，则为整数，即是完全平方数，据此解答即可． 【详解】解：由题意得：， ， ∵的计算结果为整数， ∴为整数，即是完全平方数， 观察四个选项可知，只有当时，，符合题意． 2．（22-23九年级下·河南郑州·开学考试）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】同底数幂相乘、二次根式的乘法、合并同类项、幂的乘方运算 【分析】分别根据合并同类项、同底数幂乘法、二次根式乘法、幂的乘方运算法则逐一计算四个选项，判断对错． 【详解】选项A中，，故选项A错误； 选项B中，，故选项B错误； 选项C中，，故选项C正确； 选项D中，，故选项D错误． 3．（21-22八年级上·河南郑州·阶段检测）与的关系是（   ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．不能确定 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】倒数、运用平方差公式进行运算、二次根式的乘法 【分析】根据相反数、倒数的定义，通过计算两数的乘积判断二者关系，用到平方差公式计算． 【详解】解：∵， ∴乘积为的两个数互为倒数，因此二者是互为倒数的关系． 4．（25-26八年级下·云南红河·期末）估计的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的乘法 【分析】利用二次根式的运算法则化简所求式子，再确定其中的近似取值范围，从而得到所求式子的取值范围． 【详解】解：， ， ， ． 5．（26-27八年级·全国·暑假作业）化简：________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的乘法 【详解】解：原式 6．（21-22八年级下·贵州黔西南·期中）计算______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式的乘法、化为最简二次根式 【分析】利用二次根式乘法公式：，先将被开方数相乘，再化简二次根式得出结果． 【详解】解：． 7．（2023·吉林长春·模拟预测）计算：________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】二次根式的乘法 【详解】解： 8．（25-26八年级下·天津河西·期末）若一个三角形的三边长分别为，，，则此三角形的面积为______________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、判断三边能否构成直角三角形 【分析】先确定三角形的最大边，根据勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，再利用直角三角形的面积公式计算即可. 【详解】解：，， ， 该三角形是直角三角形，两条直角边为和， 此三角形的面积为. 9．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)4 (2) 【难度】0.85 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的乘法 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）计算：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次根式的加减运算、运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】先利用二次根式的乘法运算法则、完全平方公式展开，再由二次根式的性质化简，最后合并即可． 【详解】解： ． 11．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】零指数幂、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算、二次根式的乘法 【分析】（1）分别进行二次根式乘法，绝对值化简，零指数幂的运算再进行合并． （2）分别利用平方差公式和完全平方公式展开后，合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： 重难点二、二次根式的除法 除法公式，两种解题思路：一是直接相除再化简，二是先分母有理化。分母含根式时，分子分母同乘分母根式消去根号，注意分母不为 0，符号与取值范围同步检验。 1．（24-25八年级下·广东汕头·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二次根式的除法 【分析】利用二次根式的除法法则，将系数和被开方数分别计算约分即可得到结果． 【详解】解：． 2．（25-26八年级下·河南许昌·期末）计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.9 【知识点】二次根式的除法 【详解】解：． 3．（22-23九年级上·重庆·开学考试）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的除法、二次根式的乘法 【详解】选项，，故选项错误． 选项，，故选项错误． 选项，，故选项正确． 选项，和不是同类二次根式，不能合并，故选项错误． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】二次根式的除法、二次根式有意义的条件 【分析】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式各项利用二次根式的乘除法则计算得到结果，即可做出判断． 【详解】解：∵ 在实数范围内，平方根的被开方数必须大于等于0. A、，成立，符合题意； B、，但右边无意义，不成立，不符合题意； C、和无意义，不成立，不符合题意； D、，不成立，不符合题意； 故选：A. 5．（2022·山东潍坊·模拟预测）化简：（1）_____； （2）_____； （3）_____；（4）_____； （5）_____；（6）_____； （7）_____；（8）_____． 【答案】 / / 【难度】0.85 【知识点】二次根式的除法、利用二次根式的性质化简、化为最简二次根式 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 6．（25-26八年级下·广东潮州·期末）计算：__________． 【答案】 【难度】0.9 【知识点】二次根式的除法 【详解】解：． 7．（2026八年级下·全国·专题练习）若与互为相反数，则的值为__________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】二次根式的除法、利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的非负性，掌握几个非负数的和为，则每个非负数都为是解题的关键． 先根据互为相反数的两个数和为列出等式，再结合二次根式的非负性，得到关于的方程，求解出的值，最后代入式子计算结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∵二次根式具有非负性， ∴只有当且时，和为， 解得： 将代入： ​． 故答案为：． 8．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）计算： 【答案】 【难度】0.65 【知识点】零指数幂、求一个数的绝对值、二次根式的除法、求一个数的算术平方根、实数的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】按运算顺序分步化简：利用去根号、依据零次幂性质求值、套用二次根式除法公式化简，最后合并同类二次根式算出结果． 【详解】解： ． 9．（25-26八年级下·广西玉林·期末）计算 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.75 【知识点】二次根式的除法、二次根式的混合运算 【详解】（1）解：原式                      （2）解：原式                                                          10．（25-26八年级上·北京顺义·期中）我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)6 (4)，见解析 【难度】0.4 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的运算及代数式的大小比较．熟练掌握“衍生数对”的定义公式，结合二次根式的计算规则是解题的关键． （1）直接根据“衍生数对”定义，代入、计算和， （2）分别写出两个数对的“衍生数对”，根据对应项相等列等式，求解y， （3）由“衍生数对”反向用m求a、用n求b，再计算， （4）用定义表示出m、n，通过作差法结合的条件，判断与的大小． 【详解】（1）解：根据定义：，， 故答案为：； （2）解：数对的衍生数对：，， 数对的衍生数对：，， 由衍生数对相同得 且，解得， 故答案为：3； （3）解：由，得，故， 由，得， ； （4）解：由定义得，，作差： ， ，且，，故分子， 重难点三、二次根式的乘除混合计算 乘除混合统一转化为乘法计算，从左至右依次运算；系数、根式分开分组计算，简化步骤。遇分式根式先统一根号内式子，及时约分，提前消去公因数，降低大数开方难度，运算结束必须化为最简二次根式。 1．（25-26八年级下·广东阳江·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【详解】解： ． 2．（2026·广东佛山·二模）计算：______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式的乘除混合运算、化为最简二次根式 【详解】解：． 3．（2024·江苏南京·中考真题）计算的结果是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式的乘除混合运算、化为最简二次根式 【分析】根据二次根式的乘除运算法则计算即可得到结果． 【详解】解： ． 4．（2026·河北沧州·三模）计算的结果为____________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】根据二次根式的乘除混合运算顺序进行即可． 【详解】解：原式． 5．（2022·天津河西·模拟预测）化简______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】运用平方差公式进行运算、积的乘方的逆用、二次根式的乘除混合运算 【分析】利用平方差公式进行简便运算即可． 【详解】解：原式 6．（25-26八年级下·天津河东·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知，，均为实数，求的值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、二次根式的乘除混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】根据非负数的性质求得，，代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：∵，，均为实数 ∴ 解得：， ∴      ． 8．（25-26八年级下·广西河池·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.87 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算 【分析】（1）因为二次根式的乘除属于同级运算，所以按照从左到右的顺序计算，可利用二次根式的乘除法则、进行化简． （2）因为式子包含二次根式的减法和乘法，所以先利用乘法分配律展开，再将化为最简二次根式，最后进行合并同类二次根式的运算． 【详解】（1）解：原式         （2）解：原式     9．（25-26八年级下·重庆开州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.67 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的乘除混合运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可得出结果； （2）根据二次根式的乘除运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】分母有理化、运用平方差公式进行运算、二次根式的乘除混合运算 【分析】（1）利用二次根式乘除混合运算的方法计算即可； （2）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ， ． 11．（23-24八年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中：，． 【答案】 ， 【难度】0.4 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】先对括号内式子通分，再将除法转化为乘法，利用平方差公式化简后，代入、的值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，代入得： 原式． 模块二、最简二次根式 重难点一、最简二次根式的判断 判断最简根式抓两大标准：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数 / 因式；分母不能带根号。快速排查技巧：分解数字看是否有平方数，分式根式直接判定非最简，含小数先化分数再判断。 1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】最简二次根式的判断 【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式； ∵选项A中，的被开方数3不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足条件； 选项B中，，被开方数4是能开得尽方的数，不满足条件； 选项C中，，被开方数8含能开得尽方的因数4，不满足条件； 选项D中，，被开方数是小数，即含分母，且能开得尽方，不满足条件． 2．（25-26八年级下·广东汕尾·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】最简二次根式的判断 【详解】解：对选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对选项B：被开方数含分母，不是最简二次根式； 对选项C：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式； 对选项D：被开方数含分母，不是最简二次根式． 3．（25-26八年级下·山东德州·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】最简二次根式的判断 【详解】解：对选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故A错误． 对选项B：的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，故B正确． 对选项C：的被开方数含有分母，不满足条件，不是最简二次根式，故C错误． 对选项D：的被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故D错误． 4．（25-26八年级下·福建福州·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，据此判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、的被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、的被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意． 5．（25-26八年级下·山东菏泽·阶段检测）下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】最简二次根式的判断 【详解】解：选项，中，被开方数含分母，不符合定义，不是最简二次根式； 选项，中，被开方数含能开得尽方的因式，不符合定义，不是最简二次根式； 选项，根指数为，被开方数是整式，且不含能开得尽方的因式，符合所有条件，是最简二次根式； 选项，是三次根式，不是二次根式，不符合要求． 6．（21-22八年级下·山东日照·开学考试）在、、、、中，最简二次根式的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】最简二次根式的判断 【详解】解： ，可化简，不是最简二次根式； 不可以化简，是最简二次根式； ，可化简，不是最简二次根式； ，可化简，不是最简二次根式； 根指数是 ，不是最简二次根式； 所以最简二次根式只有 个． 7．（25-26八年级下·重庆忠县·期末）在给出的4个代数式，，，中，最简二次根式的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】最简二次根式的判断 【详解】解：，，，中， ，是最简二次根式， 的被开方数含有分母，的被开方数含有能开得尽的因式，都不是最简二次根式， 故最简二次根式的个数是2. 8．（25-26八年级下·山东滨州·期末）下列二次根式：，，，，，，，其中最简二次根式的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】最简二次根式满足的条件为：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐个分析即可． 【详解】解：，含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ，含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，被开方数含分母，不是最简二次根式； 综上可知，最简二次根式共有个． 9．（25-26八年级下·湖北·期末）下列二次根式：，，，，中，是最简二次根式的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】根据最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，进行判断，即可求解． 【详解】解：是最简二次根式； 的被开方数含有分母，不是最简二次根式； 的被开方数含有小数，不是最简二次根式； 的被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； 是最简二次根式， 故最简二次根式为，，一共有2个最简二次根式． 10．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）下列说法不正确的是（    ） A．（）是二次根式 B．当时， C．（）是最简二次根式 D．成立的条件是 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、最简二次根式的判断、二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的定义、性质、最简二次根式的定义，逐一判断即可. 【详解】解：∵根据二次根式的定义：形如的式子是二次根式， ∴A选项说法正确，不符合题意； ∵当时， ∴B选项说法正确，不符合题意； ∵当时，不是最简二次根式， ∴C选项说法不正确，符合题意； ∵等式，当即时，， ∴D选项说法正确，不符合题意； 故选：C. 重难点二、化为最简二次根式 化简分整数、分式两类：整数根式分解质因数，提取平方因数开方；分式根式分子分母同乘分母消去根号，再约分。有系数时单独计算系数，化简后核对两大判定条件，确保无开方因数、无分母根号。 1．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若能与最简二次根式合并，则的值为________． 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数、化为最简二次根式 【分析】先化简，根据同类二次根式可以合并的性质，得到最简二次根式的被开方数与化简后的被开方数相等，列方程求解即可． 【详解】解：∵，能与最简二次根式合并， ∴与是同类二次根式，被开方数相等， ∴， ． 2．（25-26八年级下·天津南开·期末）化简的结果为________． 【答案】/ 【难度】0.9 【知识点】分母有理化、化为最简二次根式 【分析】先根据二次根式性质变形，再对二次根式进行分母有理化即可解答． 【详解】解：． 3．（25-26八年级下·山东滨州·期末）已知一个正方形的面积为，则其边长为________． 【答案】 【难度】0.9 【知识点】算术平方根的实际应用、化为最简二次根式 【分析】根据正方形面积公式得到边长的平方等于已知面积，利用算术平方根的定义即可求出正方形的边长． 【详解】解：∵一个正方形的面积为， ∴其边长为． 4．（25-26八年级下·广西钦州·期末）化简的结果为_________． 【答案】 【难度】0.9 【知识点】利用二次根式的性质化简、化为最简二次根式 【详解】解：． 重难点三、已知最简二次根式求参数 解题核心：最简根式两大限制条件列不等式组。1. 被开方数无平方因式，字母指数小于 2；2. 不含分母，被开方数为整式；同时保证被开方数≥0。联立方程与不等式求解参数，求出后代回根式验证是否符合最简要求。 1．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）若是最简二次根式，则a的值可以是（     ） A．0.1 B．12 C．15 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知最简二次根式求参数 【详解】解：∵最简二次根式满足两个条件，①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式； 对选项逐一判断： A、，被开方数含分母，不满足条件，错误； B、，是能开得尽方的因数，不满足条件，错误； C、，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足条件，正确； D、，被开方数含分母，不满足条件，错误． 2．（25-26八年级下·广东惠州·期中）如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查同类二次根式的定义，能合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与能够合并 ∴， 解得． 3．（2021九年级上·甘肃天水·竞赛）最简二次根式和可以合并，那么（     ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】二次根式的加减运算、已知最简二次根式求参数 【详解】∵最简二次根式和可以合并， ∴， 解得：. 4．（25-26八年级下·河南许昌·期末）若式子是最简二次根式，请写出一个符合条件的实数x的值________． 【答案】5（答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】根据最简二次根式的概念，找到满足被开方数为非负数且不含能开得尽方的因数的即可. 【详解】解：令， 解得， 此时是最简二次根式，符合要求. 5．（25-26八年级下·陕西延安·期末）若是最简二次根式，则整数的值可以是__________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】 （答案不唯一，任意符合条件的整数均可） 【难度】0.85 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数需不含能开得尽方的因数，被开方数不含有分母，且被开方数非负，据此找出符合要求的整数即可． 【详解】解：∵是最简二次根式，为整数， ∴，且不含能开得尽方的因数， 当时，，满足条件，因此符合题意． 6．（25-26八年级下·新疆吐鲁番·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】同类二次根式、二次根式的加减运算、已知最简二次根式求参数 【分析】根据同类二次根式被开方数相同列方程求解即可． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 二者为同类二次根式，被开方数相等，即， 移项得， ， 系数化为得． 7．（2026·河北石家庄·模拟预测）若最简二次根式与能合并，则的值为__________． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】同类二次根式、二次根式的加减运算、已知最简二次根式求参数 【详解】先化简得：， 最简二次根式与能合并， 与是同类二次根式， 根据同类二次根式的定义，可得二者被开方数相同， ． 8．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）若与最简二次根式能合并，则的值为__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查同类二次根式的概念和合并同类二次根式，已是最简二次根式，能合并的最简二次根式为同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列方程求解即可． 【详解】解：是最简二次根式，且与最简二次根式能合并， 与是同类二次根式，可得， 解得． 9．（25-26八年级下·重庆长寿·期中）若与最简二次根式能合并，则___________． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数 【分析】能合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式的定义为：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．本题中已经是最简二次根式，因此令被开方数相等，即可求出． 【详解】解：与最简二次根式能合并， 与是同类二次根式， 根据同类二次根式的定义，可得． 10．（2026·山东潍坊·模拟预测）若二次根式与能合并，则整数的值除9之外还可能是__________． 【答案】 （答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数、化为最简二次根式 【分析】根据同类二次根式的定义，能合并的二次根式为同类二次根式，先化简，再结合为整数，求出除外符合条件的的值． 【详解】解：， ∵二次根式与能合并， ∴化简后被开方数为， ∴，其中为正整数，且， 当时，，解得：，为题目给出的已知值； 当时，，解得，符合整数要求． 11．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）与最简二次根式能合并，则__________． 【答案】4 【难度】0.75 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数 【分析】 能合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，据此化简后列方程求解即可． 【详解】解：化简得， 与最简二次根式能合并， ， 解得：， 12．（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数、利用二次根式的性质化简 【分析】由最简二次根式与可以合并，可知二者是同类二次根式，据此建立方程求出的值，再代入化简即可得到结果． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴， 解得：， 将代入得： ． 13．（21-22八年级下·内蒙古赤峰·阶段检测）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a的值是_____． 【答案】 【难度】0.79 【知识点】同类二次根式、二次根式的加减运算、已知最简二次根式求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】两个最简二次根式可以合并说明二者是同类二次根式，根据同类二次根式的定义列出方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴． 移项得． 合并同类项得． 系数化为得． 模块三、二次根式的加减法 重难点一、同类二次根式 同类根式判定步骤：先全部化为最简二次根式，再看被开方数完全相同，仅系数不同即为同类根式。易错点：不化简直接判断，如，化简后被开方数一致，属于同类根式，化简是判断前提。 1．（25-26八年级下·山东临沂·期末）下列二次根式中，能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】能与合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式指化简为最简二次根式后，被开方数与的被开方数相同，因此将各选项化为最简二次根式后判断即可． 【详解】解：选项A中是最简二次根式，被开方数为，与被开方数不同，故不能合并； 选项B中，化简后被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式，可以合并； 选项C中，化简后被开方数为，与被开方数不同，故不能合并； 选项D中，不含被开方数为的二次根式，故不能合并． 2．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则是（     ） A．7 B．5 C．2 D．1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】同类二次根式、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、化为最简二次根式 【分析】先将化为最简二次根式，再根据能合并的最简二次根式的被开方数相等列方程求解即可． 【详解】解：，是最简二次根式，且与可以合并， 两个最简二次根式的被开方数相等，即，解得． 3．（2022·河北石家庄·模拟预测）如果最简二次根式能与合并，那么的值为（     ） A．1 B．2 C．6 D．10 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数、最简二次根式的判断 【分析】先将化为最简二次根式，根据可合并的最简二次根式被开方数相同列方程求解． 【详解】解：∵， 且最简二次根式能与合并， ∴ ， 解得． 4．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】同类二次根式 【分析】先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：选项A：，化为最简后被开方数为，与是同类二次根式； 选项B：，化为最简后被开方数为，与不是同类二次根式； 选项C：是最简二次根式，被开方数为，与不是同类二次根式； 选项D：，化为最简后被开方数为，与不是同类二次根式． 5．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再看被开方数是否与的被开方数相同即可得到答案. 【详解】解：∵ 选项A，，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 选项B，，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 选项C，，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 选项D，，被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式. 6．（25-26八年级下·广西河池·期末）如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】同类二次根式 【分析】能合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列一元一次方程即可求解a的值． 【详解】解：最简二次根式与能够合并 与是同类二次根式， 解得：． 7．（21-22九年级下·江苏连云港·阶段检测）下列式子中和是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数相同的即为同类二次根式； 【详解】解：是最简二次根式，被开方数为； A选项：是最简二次根式，被开方数为，，不符合要求； B选项：，化简后为整数，不符合要求； C选项：是最简二次根式，被开方数为，，不符合要求； D选项：，最简二次根式的被开方数为，与的被开方数相同， 和是同类二次根式； 8．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）下列是同类二次根式的一组是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】同类二次根式、利用二次根式的性质化简、化为最简二次根式 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再比较化简后的被开方数是否相同，即可求解． 【详解】解：A、，，和不是同类二次根式，故选项A不符合题意； B、，，和是同类二次根式，故选项B符合题意； C、的被开方数为，的被开方数为，不相同，和不是同类二次根式，故选项C不符合题意； D、的被开方数为，，被开方数为，和不是同类二次根式，故选项D不符合题意． 9．（2022·河北石家庄·模拟预测）小明的作业本上有以下四题，做错的题是（     ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】同类二次根式、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】利用二次根式的性质和混合运算法则计算即可． 【详解】解：①，计算正确； ②，计算正确； ③，计算错误； ④，计算正确． 10．（25-26八年级下·江西赣州·期末）最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】同类二次根式 【分析】根据同类二次根式的定义列方程求解即可． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：． 11．（26-27九年级·全国·暑假作业）在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的个数有_________个． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】同类二次根式 【详解】解：先将各二次根式化为最简二次根式： ，化简后被开方数为，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与不是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与不是同类二次根式； 因此与是同类二次根式的共有个. 12．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 【答案】3 【难度】0.75 【知识点】同类二次根式 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，且 解得：，且． ∴x的值为3． 重难点二、二次根式的加减法 加减运算口诀：先化简，再合并。第一步把所有根式化为最简；第二步找出同类二次根式，合并同类项，根式部分不变，仅系数相加减；非同类根式无法合并，直接保留原式，运算结束统一整理书写。 1．（21-22八年级下·广西河池·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加减运算，只有同类二次根式才能合并，合并时系数相加减，被开方数不变，据此判断各选项即可 【详解】解：A选项：与不是同类二次根式，不能合并，A错误； B选项：是整数，是无理数，不是同类项，不能合并，B错误； C选项：，C错误； D选项：，计算正确，D正确 2．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）________； 【答案】 【难度】0.95 【知识点】二次根式的加减运算 【详解】解：． 3．（21-22八年级下·江苏泰州·期末）计算：________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式的加减运算、分母有理化 【详解】解：原式． 4．（25-26八年级下·广东潮州·期末）计算的结果是_______ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式的加减运算 【详解】解：． 5．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算的结果是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 6．（23-24八年级下·广西柳州·期中）计算：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】先化简二次根式，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再合并同类二次根式． 【详解】解： ． 7．（25-26八年级下·吉林·期末）计算：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式的加减运算、化为最简二次根式 【详解】解：原式． 8．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）计算：． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】根据二次根式的混合运算，性质解答即可； 【详解】解：原式； 9．（25-26八年级下·福建·期末）计算：； 【答案】 【难度】0.7 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简、负整数指数幂 【分析】先化简绝对值和二次根式，计算负整数指数幂运算，再进行加减运算即可求解． 【详解】解： ． 10．（25-26八年级下·青海西宁·期末）计算： 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【详解】解：原式 ． 重难点三、二次根式的混合运算 混合运算遵循整式运算顺序：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内。乘法分配律、平方差、完全平方公式均可套用简化计算；每一步及时化简根式，合并同类根式，减少后续计算量，最后化为最简形式。 1．（25-26八年级下·北京·期末）计算：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】零指数幂、二次根式的混合运算 【详解】解：      ． 2．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）计算： 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式的混合运算 【详解】解： ． 3．（25-26八年级下·陕西延安·期末）计算： 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式的混合运算 【详解】解： ． 4．（25-26八年级下·广东珠海·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1)0 (2)1 【难度】0.85 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 5．（25-26八年级下·河北保定·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（2022·陕西商洛·模拟预测）计算：． 【答案】0 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简、负整数指数幂、求一个数的立方根 【分析】先计算立方根、绝对值、负整数指数幂、二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可得出结果． 【详解】解： ． 7．（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的加减运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】（1）将二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可； （2）根据完全平方公式及平方差公式将原式展开，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 重难点四、分母有理化 分母有理化分两种题型：分母为单项根式，分子分母同乘分母根式；分母为根式加减式，利用平方差公式，分子分母同乘共轭根式消去根号。计算后约分，保证分母为整数，全程留意被开方数非负的取值限制。 1．（22-23八年级下·浙江杭州·阶段检测）计算：________． 【答案】 【难度】0.83 【知识点】分母有理化、利用二次根式的性质化简 【详解】解：． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期末）计算的结果是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分母有理化 【分析】利用分母有理化的方法去掉分母中的根号，再约分即可得到结果． 【详解】解：． 3．（2022·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）分母有理化后的结果是______ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分母有理化、化为最简二次根式 【分析】要去掉分母中的根号得到有理化结果，给原式分子分母同乘分母的二次根式化简即可． 【详解】解：给的分子分母同时乘以， 可得． 4．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知，则=________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分母有理化 【详解】解：∵， ∴ ． 5．（22-23八年级下·新疆克拉玛依·开学考试）分母有理化：（1）______；（2）_______ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分母有理化 【详解】解：（1）； （2）． 6．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）计算：_______． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】分母有理化 【分析】利用分母有理化，解答即可； 【详解】解：； 7．（25-26八年级下·广东肇庆·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)____________． (2)化简：． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.51 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】（1）进行分母有理化即可； （2）分母有理化后求和即可； （3）把分母有理化，变形后代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：原式 （3）解：， ， ， ． 8．（25-26九年级下·山东淄博·期末）阅读材料：小颖同学在学习二次根式时，发现：一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方．如：，． (1)类比归纳：①将含根号的式子直接写成另一个式子的平方的形式： ； ②的算术平方根是： ； (2)类比归纳：小颖同学进一步研究发现：形如式子的化简，如果我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有： ；（用含，的式子直接写出结果） (3)迁移应用：如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，，若这两个小正方形的面积分别为，，求剩余部分的面积（矩形与矩形的面积和）． 【答案】(1)①；② (2) (3)剩余部分的面积为 【难度】0.48 【知识点】求一个数的算术平方根、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算、复合二次根式的化简 【分析】（1）利用完全平方公式的逆用，将根号内的表达式拆分为两个完全平方数之和与二倍积的形式． （2）将第(1)题的方法一般化：若，，则． （3）先利用第（2）题的结论化简正方形的边长，再由两个小正方形共用顶点且恰好拼满大正方形对角线方向，确定大正方形边长为两小正方形边长之和，最后用面积差求剩余面积． 【详解】（1）解：① ， ， ． 解：② ， ， ， ， 的算术平方根为． （2）解： ，， ， ， ， ． （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为． ， ． 化简： ， ， ， ， ，即， ． ， ． 由图形可知，两个小正方形共用顶点，分别位于大正方形的两个对角处， 大正方形的边长， ． 矩形和矩形的面积之和： ， ， ， ． 剩余部分（矩形和矩形）的面积之和为． 9．（25-26八年级下·河南信阳·期末）阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，通过适当的运算，把分母变为有理数的过程称为分母有理化．例如：，， 其中、叫做有理化因式，其实，有一个类似的方法叫作“分子有理化”， 即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：，， ， ． (1)将二次根式进行“分子有理化”； (2)比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【难度】0.52 【知识点】比较二次根式的大小、分母有理化 【分析】（1）利用题干中的方法将分子有理化即可； （2）利用题干中的方法先将它们分子有理化，通过比较倒数的大小得出结论． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得，， ， ， ， ． 10．（25-26七年级下·山东济南·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)仿照上面的解题过程，化简：__________，__________； (2)已知，，求的值； (3)解关于的方程：． 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.59 【知识点】分母有理化、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】（1）仿照例题进行分母有理化即可； （2）先对、分母有理化，再结合完全平方公式代入计算即可； （3）先将方程左侧的式子分母有理化，再合并计算求解即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：，， ； （3）解：， ， ， ， ， 解得：． 11．（25-26八年级下·河南三门峡·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效地去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 ， 所以． 请你根据上面材料提供的方法解决下列问题： (1)已知：，求的值； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【难度】0.52 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】（1）根据材料中对偶式的方法，利用平方差公式计算两个对偶式的乘积，再除以已知的和，即可求出结果； （2）对每个分式进行分母有理化，即可得到结果． 【详解】（1）解：设，， 则 即， 已知， 所以， 即； （2）解：原式 ． 12．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）观察下列计算：，，，… (1)______；______． (2)用含n的代数式表示你所发现的规律； (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) ； (2) 当为正整数时， (3) 【难度】0.47 【知识点】分母有理化、运用平方差公式进行运算、数字类规律探索、二次根式的混合运算 【分析】（1）根据分母有理化的方法进行计算即可； （2）根据题干中提供的信息进行解答即可； （3）根据得出的规律，利用二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：， ， ， … ． （3）解： ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题04 二次根式的计算 模块一、二次根式的乘除法 重难点一、二次根式的乘法 二次根式乘法牢记公式，先相乘再化简。计算时优先分解被开方数，拆分完全平方数快速开方；带系数根式分开算系数与根式，避免漏乘，最后化为最简根式，减少计算失误。 1．（25-26八年级下·福建厦门·期末）若的计算结果为整数，则a的值可以是（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 2．（22-23九年级下·河南郑州·开学考试）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级上·河南郑州·阶段检测）与的关系是（   ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．不能确定 4．（25-26八年级下·云南红河·期末）估计的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 5．（26-27八年级·全国·暑假作业）化简：________． 6．（21-22八年级下·贵州黔西南·期中）计算______． 7．（2023·吉林长春·模拟预测）计算：________． 8．（25-26八年级下·天津河西·期末）若一个三角形的三边长分别为，，，则此三角形的面积为______________． 9．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）计算： (1) (2) 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）计算：． 11．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）计算： (1) (2) 重难点二、二次根式的除法 除法公式，两种解题思路：一是直接相除再化简，二是先分母有理化。分母含根式时，分子分母同乘分母根式消去根号，注意分母不为 0，符号与取值范围同步检验。 1．（24-25八年级下·广东汕头·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南许昌·期末）计算：（     ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·重庆·开学考试）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（2022·山东潍坊·模拟预测）化简：（1）_____； （2）_____； （3）_____；（4）_____； （5）_____；（6）_____； （7）_____；（8）_____． 6．（25-26八年级下·广东潮州·期末）计算：__________． 7．（2026八年级下·全国·专题练习）若与互为相反数，则的值为__________． 8．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）计算： 9．（25-26八年级下·广西玉林·期末）计算 (1)． (2)． 10．（25-26八年级上·北京顺义·期中）我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 重难点三、二次根式的乘除混合计算 乘除混合统一转化为乘法计算，从左至右依次运算；系数、根式分开分组计算，简化步骤。遇分式根式先统一根号内式子，及时约分，提前消去公因数，降低大数开方难度，运算结束必须化为最简二次根式。 1．（25-26八年级下·广东阳江·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东佛山·二模）计算：______． 3．（2024·江苏南京·中考真题）计算的结果是______． 4．（2026·河北沧州·三模）计算的结果为____________． 5．（2022·天津河西·模拟预测）化简______． 6．（25-26八年级下·天津河东·阶段检测）计算： (1)； (2)． 7．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知，，均为实数，求的值． 8．（25-26八年级下·广西河池·期中）计算： (1)； (2)． 9．（25-26八年级下·重庆开州·期末）计算： (1)； (2)． 10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算： (1) (2) 11．（23-24八年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中：，． 模块二、最简二次根式 重难点一、最简二次根式的判断 判断最简根式抓两大标准：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数 / 因式；分母不能带根号。快速排查技巧：分解数字看是否有平方数，分式根式直接判定非最简，含小数先化分数再判断。 1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东汕尾·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东德州·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·福建福州·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·山东菏泽·阶段检测）下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 6．（21-22八年级下·山东日照·开学考试）在、、、、中，最简二次根式的个数是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·重庆忠县·期末）在给出的4个代数式，，，中，最简二次根式的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（25-26八年级下·山东滨州·期末）下列二次根式：，，，，，，，其中最简二次根式的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（25-26八年级下·湖北·期末）下列二次根式：，，，，中，是最简二次根式的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）下列说法不正确的是（    ） A．（）是二次根式 B．当时， C．（）是最简二次根式 D．成立的条件是 重难点二、化为最简二次根式 化简分整数、分式两类：整数根式分解质因数，提取平方因数开方；分式根式分子分母同乘分母消去根号，再约分。有系数时单独计算系数，化简后核对两大判定条件，确保无开方因数、无分母根号。 1．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若能与最简二次根式合并，则的值为________． 2．（25-26八年级下·天津南开·期末）化简的结果为________． 3．（25-26八年级下·山东滨州·期末）已知一个正方形的面积为，则其边长为________． 4．（25-26八年级下·广西钦州·期末）化简的结果为_________． 重难点三、已知最简二次根式求参数 解题核心：最简根式两大限制条件列不等式组。1. 被开方数无平方因式，字母指数小于 2；2. 不含分母，被开方数为整式；同时保证被开方数≥0。联立方程与不等式求解参数，求出后代回根式验证是否符合最简要求。 1．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）若是最简二次根式，则a的值可以是（     ） A．0.1 B．12 C．15 D． 2．（25-26八年级下·广东惠州·期中）如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2021九年级上·甘肃天水·竞赛）最简二次根式和可以合并，那么（     ） A．2 B． C．3 D． 4．（25-26八年级下·河南许昌·期末）若式子是最简二次根式，请写出一个符合条件的实数x的值________． 5．（25-26八年级下·陕西延安·期末）若是最简二次根式，则整数的值可以是__________．（写出一个符合题意的数即可） 6．（25-26八年级下·新疆吐鲁番·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值为________． 7．（2026·河北石家庄·模拟预测）若最简二次根式与能合并，则的值为__________． 8．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）若与最简二次根式能合并，则的值为__________． 9．（25-26八年级下·重庆长寿·期中）若与最简二次根式能合并，则___________． 10．（2026·山东潍坊·模拟预测）若二次根式与能合并，则整数的值除9之外还可能是__________． 11．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）与最简二次根式能合并，则__________． 12．（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 13．（21-22八年级下·内蒙古赤峰·阶段检测）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a的值是_____． 模块三、二次根式的加减法 重难点一、同类二次根式 同类根式判定步骤：先全部化为最简二次根式，再看被开方数完全相同，仅系数不同即为同类根式。易错点：不化简直接判断，如，化简后被开方数一致，属于同类根式，化简是判断前提。 1．（25-26八年级下·山东临沂·期末）下列二次根式中，能与合并的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则是（     ） A．7 B．5 C．2 D．1 3．（2022·河北石家庄·模拟预测）如果最简二次根式能与合并，那么的值为（     ） A．1 B．2 C．6 D．10 4．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·广西河池·期末）如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（21-22九年级下·江苏连云港·阶段检测）下列式子中和是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）下列是同类二次根式的一组是（     ） A．， B．， C．， D．， 9．（2022·河北石家庄·模拟预测）小明的作业本上有以下四题，做错的题是（     ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 10．（25-26八年级下·江西赣州·期末）最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 11．（26-27九年级·全国·暑假作业）在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的个数有_________个． 12．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 重难点二、二次根式的加减法 加减运算口诀：先化简，再合并。第一步把所有根式化为最简；第二步找出同类二次根式，合并同类项，根式部分不变，仅系数相加减；非同类根式无法合并，直接保留原式，运算结束统一整理书写。 1．（21-22八年级下·广西河池·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）________； 3．（21-22八年级下·江苏泰州·期末）计算：________． 4．（25-26八年级下·广东潮州·期末）计算的结果是_______ 5．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算的结果是________． 6．（23-24八年级下·广西柳州·期中）计算：． 7．（25-26八年级下·吉林·期末）计算：． 8．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）计算：． 9．（25-26八年级下·福建·期末）计算：； 10．（25-26八年级下·青海西宁·期末）计算： 重难点三、二次根式的混合运算 混合运算遵循整式运算顺序：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内。乘法分配律、平方差、完全平方公式均可套用简化计算；每一步及时化简根式，合并同类根式，减少后续计算量，最后化为最简形式。 1．（25-26八年级下·北京·期末）计算：． 2．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）计算： 3．（25-26八年级下·陕西延安·期末）计算： 4．（25-26八年级下·广东珠海·期末）计算： (1)； (2) 5．（25-26八年级下·河北保定·期末）计算： (1) (2) 6．（2022·陕西商洛·模拟预测）计算：． 7．（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）计算： (1)； (2)． 重难点四、分母有理化 分母有理化分两种题型：分母为单项根式，分子分母同乘分母根式；分母为根式加减式，利用平方差公式，分子分母同乘共轭根式消去根号。计算后约分，保证分母为整数，全程留意被开方数非负的取值限制。 1．（22-23八年级下·浙江杭州·阶段检测）计算：________． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期末）计算的结果是______． 3．（2022·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）分母有理化后的结果是______ 4．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知，则=________． 5．（22-23八年级下·新疆克拉玛依·开学考试）分母有理化：（1）______；（2）_______ 6．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）计算：_______． 7．（25-26八年级下·广东肇庆·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)____________． (2)化简：． (3)若，求的值． 8．（25-26九年级下·山东淄博·期末）阅读材料：小颖同学在学习二次根式时，发现：一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方．如：，． (1)类比归纳：①将含根号的式子直接写成另一个式子的平方的形式： ； ②的算术平方根是： ； (2)类比归纳：小颖同学进一步研究发现：形如式子的化简，如果我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有： ；（用含，的式子直接写出结果） (3)迁移应用：如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，，若这两个小正方形的面积分别为，，求剩余部分的面积（矩形与矩形的面积和）． 9．（25-26八年级下·河南信阳·期末）阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，通过适当的运算，把分母变为有理数的过程称为分母有理化．例如：，， 其中、叫做有理化因式，其实，有一个类似的方法叫作“分子有理化”， 即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：，， ， ． (1)将二次根式进行“分子有理化”； (2)比较和的大小． 10．（25-26七年级下·山东济南·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)仿照上面的解题过程，化简：__________，__________； (2)已知，，求的值； (3)解关于的方程：． 11．（25-26八年级下·河南三门峡·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效地去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 ， 所以． 请你根据上面材料提供的方法解决下列问题： (1)已知：，求的值； (2)计算：． 12．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）观察下列计算：，，，… (1)______；______． (2)用含n的代数式表示你所发现的规律； (3)利用这一规律计算：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $