专题09平行四边形易错必刷题型专项训练(22大题型共计66道题)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题09平行四边形易错必刷题型专项训练 本专题汇总平行四边形全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.平行四边形性质求解 题型02.平行四边形性质证明 题型03.平行四边形性质应用 题型04.数图形中平行四边形个数 题型05.平行四边形构成判断 题型06.补充条件证平行四边形 题型07.三点找平行四边形第四个点 题型08.证明四边形是平行四边形 题型09.平行四边形判定与性质求解 题型10.平行四边形判定与性质证明 题型11.平行四边形判定与性质应用 题型12.三角形中位线求解问题 题型13.三角形中位线证明问题 题型14.三角形中位线实际应用 题型15.平行四边形与角平分线综合 题型16.平行四边形对角线计算与证明 题型17.平行四边形与动点问题 题型18.平行四边形存在性问题 题型19.平行四边形与全等三角形综合 题型20.平行四边形与最值问题 题型21.平行四边形与坐标系综合 题型22.平行四边形与折叠问题 易错必刷题型01.平行四边形性质求解 典题特征：已知平行四边形边长、角度、对角线条件，求边长、内角度数、周长、面积 易错点：混淆普通平行四边形对角线互相平分和矩形对角线相等；把邻角互补错记成对角互补；求面积找错对应的底和高 1．小区休闲区有一个平行四边形花坛，如图，将的一边延长至点E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 2．如图，的周长为16，对角线相交于点O，点E在上，，则的周长是_________． 【答案】8 【分析】由平行四边形对角线互相平分及得到垂直平分，结合垂直平分线性质、三角形周长与平行四边形周长求解即可． 【详解】解：在中，对角线、相交于点，则， ， 垂直平分， ， 则的周长是， 的周长为16， 的周长是． 3．如图，在中，对角线AC、BD交于点O，，，． (1)求证：； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、勾股定理等： （1）根据平行四边形对角线互相平分可知，根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，可得； （2）利用勾股定理分别求得，的长度即可． 【详解】（1）∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴． 又， ∴． ∴． （2）在中， ． 在中， ． ∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴的周长． 易错必刷题型02.平行四边形性质证明 典题特征：利用平行四边形性质，证明线段相等、线段平行、角度相等 易错点：没先证明是平行四边形，就直接乱用对边平行、对边相等的性质；证明跳步，省略关键得分步骤 4．如图，在中，，交于点，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的性质．掌握平行四边形的对角线互相平分是解题关键． 根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解： A、根据平行四边形的对角线互相平分，无法得到，故本选项错误，不符合题意； B、根据平行四边形的对角线互相平分，无法得到，故本选项错误，不符合题意； C、根据平行四边形的对角线互相平分，可得，故本选项正确，符合题意； D、根据平行四边形的对角线互相平分，无法得到，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 5．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，已知，则的周长为______． 【答案】16 【分析】根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质证明，，再求出，进而计算即可． 【详解】解：由知，，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长为． 6．解答： (1)【探究发现】如图1，的对角线，相交于点，过对角线交点作直线，分别交、的延长线于、，求证：． (2)【解决问题】 学校有一块平行四边形空地，计划栽种面积相等的黄、紫两种菊花，供师生欣赏．亮亮组设计如下：如图2，过的对角线交点，作直线交于点，于，阴影部分、空白部分各栽种一种菊花，就能满足要求．你认为合理吗?请说明理由． (3)晶晶组说：如图3，若米，米，边的高米．在上铺设宽为米的小路，每平方米的造价元，小路总造价不超过元．聪明的你，请通过计算说明． 【答案】(1)见解析 (2)合理，理由见解析 (3)小路的总造价不超过元 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，进而得到，结合对顶角相等即可证得； （2）根据平行四边形的性质分别证明，，，进而证明，即可得解； （3）根据等面积法可得边上的高，进而可求得小路的面积和总造价，即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，，， ； （2）解：合理，理由如下： 四边形是平行四边形， ，，，， ，，， ，，， ， ， ，，， ， ， ，，， ， ， ，即， 阴影部分、空白部分各栽种一种菊花就能满足要求． （3）解：设边上的高为米． ， （米）， 小路的面积为（平方米）， 小路的总造价为（元）， ， 小路的总造价不超过元． 易错必刷.题型03.平行四边形性质应用 典题特征：结合简单几何模型，综合运用平行四边形性质解题 易错点：图形边角对应关系看错混淆；不会灵活套用平行四边形基础性质 7．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．OB＝OD B．AB＝BC C．AC⊥BD D．∠ABD＝∠CBD 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可． 【详解】解：平行四边形对角线互相平分，A正确，符合题意； 平行四边形邻边不一定相等，B错误，不符合题意； 平行四边形对角线不一定互相垂直，C错误，不符合题意； 平行四边形对角线不一定平分内角，D错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键． 8．如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】50 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【详解】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC， 即S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△APD， ∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2， ∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 9．如图，在中，，点在上，作交于点，延长至点使得，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形定义“两组对边平行的四边形是平行四边形”，证明，即可证明； （2）根据平分，，可证，在中，根据勾股定理可得，即可求得面积． 【详解】（1）证明：， 又， 四边形是平行四边形 （2）平分，，， ， ，且，， 在中，. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质和判定，勾股定理的应用，主要在于熟练掌握各个知识点的衔接. 易错必刷题型04.数图形中平行四边形个数. 典题特征：多个小图形拼接组合，数出图中所有平行四边形总数量 易错点：不按从小到大分类去数，容易漏数、重复多数；漏掉多个小图形拼成的大平行四边形 10．在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】首先根据已知条件找出图中的平行线，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， , ， 根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可得图中平行四边形有：, 共6个． 11．如图，，若，则_____；图中共有_____个平行四边形． 【答案】 4 3 【分析】此题主要考查平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定找出平行四边形有3个．根据平行四边形的性质，对边相等可得出． 【详解】解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得图中的平行四边形有、、三个． ∵四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：4；3． 12．如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定； 首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴ ∴平行四边形有：、、、、、、、；；共个． 故选：C． 易错必刷题型05.平行四边形构成判断 典题特征：给出线段长度、边角条件，判断能不能组成平行四边形 易错点：错认为一组对边平行另一组对边相等，就能判定平行四边形；记混平行四边形各个判定定理 13． 日常生活中随处可见各类几何图形，下列常见的物品结构设计中，整体形状属于平行四边形但不是矩形或菱形的是（    ） A．家用正方形桌面 B．小区长方形宣传栏 C．楼梯倾斜防滑挡板 D．三角形警示牌 【答案】C 【分析】结合平行四边形定义即可选出正确答案. 【详解】∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正方形和长方形属于特殊的平行四边形，本题所指为一般的平行四边形. ∴D选项三角形警示牌是三角形，直接排除； A选项家用正方形桌面是正方形，属于特殊平行四边形，不符合要求； B选项小区长方形宣传栏是长方形，属于特殊平行四边形，不符合要求； C选项楼梯倾斜防滑挡板整体是两组对边分别平行的平行四边形，符合要求； 故选：C. 14．梦梦拿出两段长度相等的木棒平行摆放，然后顺次连接四个端点，得到的图形一定是______，理由是_______． 【答案】 平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【分析】将两段平行且相等的木棒对应为四边形的一组对边，利用平行四边形的核心判定条件分析． 【详解】解：设两段木棒为线段和，由题意得且，顺次连接四个端点得到四边形． ∵，， ∴四边形是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)． 15．在四边形中，已知，添加以下条件不能证明四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐项验证各条件能否推出四边形是平行四边形即可． 【详解】解：已知在四边形中，， A 若，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； B 若，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； C ， ， 又， ， ，因此四边形两组对边分别平行，可判定是平行四边形，不符合题意； D ，本身即可推出， 无法推出另一组对边平行或，不能判定四边形是平行四边形，符合题意． 易错必刷题型06.补充条件证平行四边形 典题特征：已知四边形现有条件，补充一个条件，使四边形成为平行四边形 易错点：补充的条件和题干已知条件重复；补充的条件不充分，达不到平行四边形判定要求 16．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，这个条件可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】给出一组对边相等，那么只需要这一组对边平行或者另一组对边相等即可，当然也可以添加条件证明这一组对边平行或者证明另一组对边相等． 【详解】解：∵， 当添加时，则四边形为平行四边形； 或添加时，四边形为平行四边形． 17．如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】2或3 【分析】分两种情况讨论：①设t秒后四边形是平行四边形；根据题意得：厘米，厘米，由得出方程，解方程即可；②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米，由得出方程，解方程即可． 【详解】解：①设经过t秒四边形是平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 即经过2秒四边形为平行四边形； ②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴ 解得． 综上，经过2秒或3秒直线将四边形截出一个平行四边形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意要分情况讨论，不要漏解． 18．如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的，则被墨迹覆盖住的条件可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知条件中有，因此被覆盖住的条件应为，或者能够推导出． 【详解】解：A．添加后，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，不合题意； B．由可得，仅有一组对边平行，不能证明四边形是平行四边形，不合题意； C．添加后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形，不合题意； D．由可得，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，符合题意． 易错必刷题型07.三点找平行四边形第四个点 典题特征：平面内给出三个定点，找出能构成平行四边形的第四个顶点 易错点：只找一种情况，漏掉另外两种对角线分类情况；计算坐标时数值、正负号容易算错 19．在一个虚拟的游戏世界地图中，以游戏中的城堡为原点建立平面直角坐标系，勇士A的坐标为，魔法师B的坐标为，弓箭手C的坐标为，游戏中要设置一个新点D，使它与勇士A、魔法师B、弓箭手C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，通过中点坐标公式分三种情况讨论点的坐标：①以为对角线；②以为对角线；③以为对角线，计算出所有可能的点坐标后，对比选项即可确定不可能的坐标． 【详解】解：设，分三种情况讨论： ①当为平行四边形的对角线时， ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴、的中点和、的中点重合． 、的中点为，、的中点为， 则，解得，即； ②当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； ③当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； 综上，点的坐标可能是、、，不可能是． 20．在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________________． 【答案】或或 【分析】分三种情况，得出点的坐标，即可解决问题． 【详解】解：如图， 分三种情况： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．按下列要求作图： (1)在图中，将绕点按逆时针方向旋转，得到． (2)在图中，找出所有符合条件的点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据图形旋转的性质确定点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据平行四边形的判定方法结合网格特点画图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形； （2）解：如图所示， 易错必刷题型08.证明四边形是平行四边形 典题特征：根据题干边角、对角线条件，规范完整证明四边形为平行四边形 易错点：乱用错误的判定方法；证明逻辑颠倒混乱，书写步骤不严谨，关键条件写不全 22．如图，四边形的对角线交于点，从下列条件：①；②；③；④．以中选出两个可使四边形是平行四边形，则你选的两个条件是__________．（填写一组序号即可） 【答案】①③（答案不唯一） 【分析】根据一组对边平行且相等证明是平行四边形即可． 【详解】选择①③， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； 故答案为：①③（答案不唯一）． 【点睛】本题考查平行四边形的判定定理和全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 23．如图，在四边形中，对角线，相交于点E，，，，，则四边形的面积为（   ） A．24 B．48 C．80 D．96 【答案】D 【分析】在中，由勾股定理可求得，再根据，则．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，进而可求得四边形的面积． 【详解】解：在中，，，， ∴． ， ， ∵， 四边形是平行四边形． 四边形的面积为． 24．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，E、F为垂足；②；③． 符合条件的选项有： ． (2)选择其中一个条件，写出证明过程：我选择 ， 证明过程如下： 【答案】(1)①② (2)①，证明见解析（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的性质和判定解答即可． 【详解】（1）解：符合条件的选项有：①②； （2）解：我选择①，证明过程如下： ∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 我选择②，证明过程如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 易错必刷题型09.平行四边形判定与性质求解 典题特征：先判定图形是平行四边形，再套用性质求边长、角度、线段长度 易错点：判定过程书写随意、步骤不完整；判定完之后，乱用平行四边形边角、对角线性质 25．如图，的对角线，相交于点O，，．如果，，那么四边形的周长是________． 【答案】5 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质．证明四边形是平行四边形可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形的周长． 故答案为：5． 26．如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接交于点，连接，，若，，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．1 【答案】C 【分析】由题意先判断四边形和四边形都是平行四边形，再根据，可得，再根据比例关系即可求解． 【详解】解：∵,, ∴, ∵ ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ， ∴． 27．如图，E，F分别是平行四边形边，上的点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的内角和定理； （1）根据平行四边形的性质得到，，再利用，即可得到四边形是平行四边形，进而得到，根据线段的和差解答即可； （2）根据平行四边形的性质得到，再根据三角形的内角和定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，． 易错必刷题型10.平行四边形判定与性质证明 典题特征：同一道题里，既要判定平行四边形，又要完成后续边角、线段证明 易错点：判定定理和图形性质来回混用，解题思路混乱；前面判定出错，导致整道证明题全错 28．如图，在中，对角线交于点O，点E在线段上（不与点A，O重合），点F在线段O，C上（不与点O，C重合），当E，F的位置满足__________条件时，四边形是平行四边形． 【答案】如，答案不唯一 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形． 当时四边形是平行四边形；根据四边形是平行四边形，可得，，再由条件可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形． 【详解】解：当时，四边形是平行四边形，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：． 29．已知：如图，四边形是平行四边形，点为上的一点（不与点重合），连接．求作：点，使得点在上，且． 甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下： 甲：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接； 乙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接； 丙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接． 上述三名同学的作法一定正确的是（  ） A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】本题考查了基本的尺规作图，平行四边形的性质与判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．结合基本的尺规操作，利用平行四边形的判定定理逐项进行判定即可． 【详解】解：甲：如图所示， 此时，四边形不是平行四边形， ∴与不平行，故甲作法错误； 乙：如图所示， 此时， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴，故乙作法正确； 丙：如图所示， 此时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，故丙作法正确； ∴作法一定正确的是乙、丙； 故选：B． 30．如图，在中，于点，，连接交于点． (1)如图1所示，，，求的值． (2)如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连接． ①证明：． ②直接写出的等量关系． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）在中，用勾股定理求出；由算出，进而求出底边；过作延长线，利用平行四边形性质得、；求出，再在中用勾股定理求． （2）①由、，得两个直角；利用同角的余角相等，推出一组对应角相等；结合已知，用证三角形全等．②利用平行四边形对角线中点性质，结合直角三角形斜边中线得、；借用前一问全等结论，得、，推一组夹角相等；用证，得、；由等腰直角三角形三边关系，推出数量关系． 【详解】（1）解：∵， 在中，，， 由勾股定理得： 又， ， ． 四边形是平行四边形， ，，且， ， ，即． 过点作，交的延长线于点， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∴， 在中： ； （2）解：①在▱中，， 又， ， ， ， ， 在和中， ， ②连接， 在中，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， 易错必刷题型11.平行四边形判定与性质应用 典题特征：几何大题综合题型，结合多个考点，搭配平行四边形判定和性质解题 易错点：题干条件繁杂，找不到解题关键有用条件；不会灵活切换运用判定和性质 31．如图，中，过对角线上一点作，，图中面积分别相等的四边形共有________对． 【答案】5 【分析】本题考查了平行四边形的性质；平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．所以三角形的面积等于三角形的面积．三角形的面积等于的面积，三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到5对四边形的面积分别相等． 【详解】解：为平行四边形，为对角线， 的面积等于的面积， 同理三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到的面积等于的面积， 四边形和的面积相等，四边形和四边形的面积相等，四边形和四边形的面积相等，四边形和四边形的面积相等， 共5对， 故答案为：5． 32．某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 【答案】C 【分析】由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，得出的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，得出四边形的面积四边形的面积，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：   ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， 的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，故A，D选项正确 四边形的面积四边形的面积，故B选项正确 ∴A、B、D正确，C不正确； 故选：C． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，利用平行四边形性质比较三角形面积大小，结合图形解题较为简便． 33．图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、点、点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． 图①                           图②                       图③ (1)在图①中，作使点在边上，点、点均在格点上且点不与点、点重合（画出一个即可）； (2)在图②中，作使点为对称中心； (3)在图③中，过点作直线，直线将的面积分成相等的两部分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）在中，且， 又因为长度为五个网格， 所以长度为五个网格，且点、点均在格点上且点不与点、点重合， 所以如下图所示，即可画出符合题意的图形． （2）因为点是的对称中心， 所以点是对角线的交点， 根据平行四边形性质（对角线互相平分）可得，连接并延长到，使，连接，，即可画出． （3）由性质可得：若直线将的面积分成相等的两部分， 那么直线必过的对角线交点． 所以只需要作出两条对角线，连接点和对角线交点作直线即可． 易错必刷题型12.三角形中位线求解问题 典题特征：给出三角形边长、中点条件，利用中位线定理求线段长度 易错点：记错定理，忘记中位线长度是第三边的一半；随便找线段乱套定理，认错线段中点 34．如图，两点被池塘隔开，小林在池塘外选定一点，然后测量出的中点的距离，若，则两点间的距离为______m． 【答案】 【分析】连接，根据三角形的中位线性质得出，再代入求出答案即可． 【详解】解：连接， ∵分别是的中点， ∴， ∵， ∴， 即两点间的距离是． 35．如图，在中，D是的中点，平分，，垂足为E，连接．若，则的长是（  ） A．3 B．6 C．4 D．5 【答案】A 【分析】延长交于F，证，得，是中位线，即可求解． 【详解】解：延长交于F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴， ∵D是的中点，， ∴． 36．如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）根据三角形中位线定理证明，由已知即可证明结论； （2）先求出，，，然后根据三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵，是的中位线， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积． 易错必刷题型13.三角形中位线证明问题 典题特征：用三角形中位线定理，证明线段平行、线段倍分数量关系 易错点：只证明平行，不证明长度二分之一的倍分关系；没证出两边都是中点，就直接套用中位线定理 37．如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到，是的中位线，得到，，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】∵点，，分别是各边上的中点， ∴，是的中位线 ∴， ∴ ∵ ∴． 故选：C． 38．在中，，对角线与相交于点O．已知点E，F分别在边，上，且，连接与．若点M，N分别为，的中点，连接，则=_______． 【答案】 / 【分析】连接，利用平行四边形对角线互相平分得出点为中点，再根据三角形中位线定理求出，的长及，与，的位置关系，进而求出的度数，判定为等边三角形即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 点，分别为，的中点， 是的中位线， ，， 点在边上， ， 同理可得是的中位线， ，， 点在边上， ， ，，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 39．如图，在中，，，连接，，点，，在同一条直线上，，点为的中点，连接． (1)如图，当时，求证：； (2)当时，如图；当时，如图，分别写出线段，，之间的数量关系，并选择图或图进行证明． 【答案】(1) 证明过程见解析； (2) 当时，，证明过程见解析； 当时，，证明过程见解析． 【分析】（1）延长到点，使，连接，，由线段垂直平分线的性质，可得，由三角形的内角和定理，结合等边对等角，可得，是等边三角形，证明，可得，是的中位线，可得，即可证得结论； （2）当时，延长到点，使，连接，，由线段垂直平分线的性质，可得，由三角形的内角和定理，结合等边对等角，可得，可得，证明，可得，是的中位线，，由勾股定理可得，即可得线段，，之间的数量关系；当时，延长到点，使，连接，，作于点，由线段垂直平分线的性质，可得，由三角形的内角和定理，结合等边对等角，可得，可得，证明，可得，是的中位线，，由角所对的直角边与斜边的关系，结合勾股定理可得，即可得线段，，之间的数量关系． 【详解】（1）证明：如图，延长到点，使，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴点为的中点， 又∵点为的中点， ∴， ∵，点为的中点， ∴垂直平分， ∴, ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴． （2）解：图结论：， 证明：延长到点，使，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点，分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 在中，，， ∴． ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 图③结论：， 证明：延长到点，使，连接，，作于点， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点，分别是和的中点， ∴是的中位线． ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题型14.三角形中位线实际应用 典题特征：生活实际场景应用题，用中位线知识求距离、线段总长 易错点：不会把实际场景转化成标准三角形模型；计算时忘记除以2，倍数关系算错 40．如图，小乐为测量自家池塘边上A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取一点O，记的中点分别为点D，E，测得米，则A，B间的距离是（    ） A．18米 B．24米 C．34米 D．36米 【答案】C 【分析】根据三角形的中位线定理作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵的中点分别为点， ∴是的中位线， ∵米， ∴米． 41．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝20，BC＝32，则线段EF的长为________； 【答案】6 【分析】延长AF交BC于G，证明△ABF≌△GBF，根据全等三角形的性质得到BG＝AB＝20，AF＝FG，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：延长AF交BC于G， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠GBF， 在△ABF和△GBF中， ∵， ∴△ABF≌△GBF（SAS）， ∴BG＝AB＝20，AF＝FG， ∴GC＝BC−BG＝12， ∵D为AB的中点， ∴DF是的中位线， ∴DE∥BC， ∴EF是的中位线， ∴EF＝CG＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 42．如图，在中，，，点D为的中点，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，过点F作，交直线与点H，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．延长交于点G，易得，再说明为的中位线可得，进而得到与都是等腰直角三角形，然后再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】解：与的数量关系是：．理由如下： 如图：延长交于点G， 由题意，知，， ∴， 又∵点D为的中点， ∴点G为的中点，且， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵，， ∴， ， ∴． ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题型15.平行四边形与角平分线综合 典题特征：平行四边形内搭配角平分线，求边长、角度，证明等腰三角形 易错点：看不出平行线+角平分线=等腰三角形的固定模型；不会互相转化相等线段 43．如图，在中，已知，，平分交边于点E，则的值为________． 【答案】2 【分析】根据平行四边形的性质得出对边相等且平行，即 ，，利用平行线的性质得出内错角相等，结合角平分线的定义通过等量代换证得 ，根据等角对等边得出 ，最后利用线段的和差关系计算 的长． 【详解】解： 四边形 是平行四边形， ，， ， 平分 ， ， ， ， ， ． 44．如图，在中，点在上，，平分，，则的面积为（   ） A．32 B．24 C．18 D．16 【答案】D 【分析】首先根据平行四边形的性质得到，从而推出，再结合角平分线的定义得到 ，进而证得是等腰三角形，求出的长． 最后过点作边上的高，利用含角的直角三角形性质求出高，即可计算面积． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ． 平分， ， ， ． ， ． 如图，过点作于点， 在 中，，， ． ． 45．如图，已知两个条件：①四边形是平行四边形，②P是上一点，且和分别平分和． (1)根据条件①与②，你能得到什么结论？写出一个结论并证明这个结论． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）根据平行四边形的性质及角平分线定义解答即可； （2）根据平行四边形及角平分线的性质推出，得到，同理，得到，由，根据勾股定理求出求的长． 【详解】（1）解：（1）（答案不唯一：1．；2．，；3．；4．；5．、均为等腰三角形等，任选其一给予证明即可．） 下面给出两个结论及证明． 结论：． 证明：因为四边形是平行四边形，所以， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 因为平分，平分， 所以，， 所以， 所以． 结论：． 证明：因为四边形是平行四边形，所以，， 因为平分，所以， 又，所以， 所以，，同理可证：， 因为，所以． （2）因为四边形是平行四边形，平分， 所以， 所以， 所以， 同理， 所以， 又因为（若第一问没有证明，此处必须证明）， 所以． 易错必刷题型16.平行四边形对角线计算与证明 典题特征：依托平行四边形对角线，求对角线长度、取值范围，做相关几何证明 易错点：普通平行四边形乱用对角线相等的错误结论；不会结合三角形三边关系求对角线范围 46．如图，在中，点E，F在对角线上，连接． (1)求证：． (2)连接与相交于点O，求证：与互相平分． (3)若，，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明全等三角形，得出结论； （2）利用（1）的结论进行证明； （3）利用平行四边形的性质以及勾股定理求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴与互相平分； （3）解：∵， ∴和为直角三角形． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴． 47．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点O任意作直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形的周长为24 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，而，即要根据证明； （2）由全等三角形的性质得，，则，，再根据四边形的周长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，对角线，交于点O， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为24． 48．如图，平行四边形的对角线，交于点，平分，交于点，连接，且，设． (1)求证：； (2)若，请判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，当时，请求出平行四边形的面积； (4)设，请直接写出与满足的关系． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据中，，可得是等边三角形，进而可以证明结论； （2）根据 ，可得，结合是等边三角形，即，，易证，即可得出结论； （3）利用含30度角的直角三角形可得的长，进而可得，即可求出平行四边形的面积； （4）由平行四边形的性质可得：，进而得，再由平分，得出，然后表示出与的关系即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， 由（1）知是等边三角形，即，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：由（2）知是直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积； （4）解：由平行四边形的性质可得：， ， ， 平分，， ， ，即， ， ∴． 易错必刷题型17.平行四边形与动点问题 典题特征：点在平行四边形四条边上运动，求运动时间、线段长、图形形状 易错点：不分动点不同位置分类讨论；忽略动点运动起止边界，算出超出范围的无效答案 49．如图，平行四边形中，，，，，分别是边，上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】延长至点，使得，连接，作于点，容易证明，则，因此，当、、三点共线时，取得最小值．利用含角的直角三角形的性质可计算出，则，利用勾股定理计算出，再计算出即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 由勾股定理可得，， 在中，， ∴取得最小值． 50．如图，在中，，，为边上的一个动点，以，为邻边作，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【分析】连接交于点，作于点，作于点，根据平行四边形的性质，得到，，进而得到当最小时，的值最小，根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小为的长，根据平行线间的距离处处相等，得到，进而求出的长即可. 【详解】解：连接交于点，作于点，作于点， ∵， ∴，， ∴点为的中点，当最小时，的值最小，， ∴当点与点重合时，最小为的长， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为. 51．如图1，点是射线上的一个动点，点在射线的上方．现以点为顶点构造平行四边形．的平分线分别交于点，直线与相交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为中点，连接并延长交线段于点，若，求的长； (3)如图1，在点的运动过程中，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【分析】（）根据平行四边形的性质得到，，再根据角平分线得到平分，平分，通过即可求证． （）延长交于,通过，点为中点，平分，平分，求得，，再根据，证得；同理可证,得到是的中点，最后证明为的中位线即可． （）过作交于，先证出四边形是平行四边形，再结合，得到，最后证出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴∠， ∴． （2）解：延长交于, 由（）知，点为中点，， ∴， ∴, ∵平分，平分， ∴，， ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴，， ∴∠，， ∴，， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴； 同理可证, ∴是的中点， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴． （3）解：如图， 过作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴,,， 由（）知， ∴， ∴， ∵, ∴， 由（）可知，，,， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，中点的性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 易错必刷题型18.平行四边形存在性问题 典题特征：结合几何图形、动点，判断满足条件的平行四边形是否存在，求对应顶点位置、边长 易错点：不会分类讨论不同构成情况；找不准平行四边形成立的边角条件；容易漏写符合要求的答案 52．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点，使得以，，，四点组成的四边形为平行四边形，请写出点坐标______________． 【答案】 【分析】分三种情况讨论：以分别为对角线，利用平行四边形对角线互相平分的性质，由中点坐标公式列方程求解；以为对角线时；以为对角线时；以为对角线时． 【详解】解：设点的坐标为, ①若四边形为平行四边形，则对角线与互相平分， ， 解得， ， ②若四边形为平行四边形， 则对角线与互相平分， ， 解得， ， ③若四边形为平行四边形，则对角线与互相平分， ， 解得， ， 综上所述点坐标为或或． 故答案为：． 53．如图，在四边形中，，动点、分别从、同时出发，点以每秒2个单位的速度沿着折线先由向运动，再由向运动，点以每秒1个单位的速度由向运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)两平行线与之间的距离是___________． (2)当、与的某两个顶点围成一个平行四边形时，的值为___________． (3)当直线恰好平分四边形的面积时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）过点作于点，求出，得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）根据题意可知，只有点P在上时，才满足、与的某两个顶点围成一个平行四边形，分两种情况：四边形为平行四边形和四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边相等建立方程求解即可； （3）可证明当点P在线段上时，，则点P一定在线段上；则有，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∴， ∵ ， ， ， ∴两平行线与之间的距离是； （2）解：根据题意可知，只有点P在上时，才满足、与的某两个顶点围成一个平行四边形， 当四边形为平行四边形时，则， ， ， 当四边形为平行四边形时，则， ， ， 综上所述当点、与 的某两个顶点围成一个平行四边形时，或； （3）解：∵， ∴， ∴， 由（1）得两平行线与之间的距离是， ∴，， ∴，即， 当点P在线段上时，， 此时不满足直线恰好平分四边形的面积， ∴点P一定在线段上； 如图所示，∵直线恰好平分四边形的面积， ∴， ∴， ∴， 解得． 54．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)平行四边形， (3)当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）由平移的性质可得，进一步求解即可； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． （3）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 易错必刷题型19.平行四边形与全等三角形综合 典题特征：平行四边形结合全等三角形，综合证明边角相等、线段平行关系 易错点：找错全等三角形对应边、对应角；证明解题顺序颠倒，逻辑混乱理不清 55．如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】15 【分析】利用平行四边形的性质得出，利用勾股定理的逆定理得出直角三角形，证明，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 56．如图，为平行四边形的对角线，，于点，于点，，相交于点，射线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据余角的性质得出，根据平行四边形的性质得出，即可得出，说明①正确；证明，得出，根据平行四边形的性质得出，即可得出，判断②正确；根据，，，即可得出，判断③错误；根据勾股定理得出，根据，得出，即可判断④正确． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在平行四边形中，， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ， ， 在平行四边形中，， ∴，故②正确； ∵在平行四边形中，， ∴， ，， ， ，故③错误； ∵在平行四边形中，， ∴， ， ∵， ，故④正确； 综上，正确的有①②④． 57．如图，在四边形中，，，，垂足分别为，，若．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】证明得出，即可证明，结合，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 又∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 易错必刷题型20.平行四边形与最值问题 典题特征：平行四边形边上动点移动，求线段最短、周长最小、面积最大最小值 易错点：找不到取到最值时动点的准确位置；不会用垂线段最短、对称法转化线段；忽略平行四边形边长本身限制 58．如图，在中，，，，点分别是上动点．连接，点分别为中点，连接．则最小值为______． 【答案】 【分析】连接，根据三角形中位线定理可得，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵点、分别是、的中点， ∴， ∴当取最小值时，可取得最小值， 如图，过点作于点，此时线段的长最小， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ 在中，，． ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 59．如图，在平行四边形中，，，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，含的直角三角形的性质，平行四边形的性质等知识点，添加辅助线构造中位线是解题的关键．连接，过点A作交于点M．即可得，结合图形可得当时最小，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，，过点A作交于点M． ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴是的中位线， ∵要使线段最小， ∴最小即可， 则当时最小， ∵， ∴， ∴， ， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， ． 故选：C． 60．在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形M，N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值为，最小值为，则称比值为图形M和图形N的“距离关联值”，记为．已知顶点坐标为，，，． (1)若E为边上任意一点，则的最大值为_____，最小值为_____，因此 (2)若为对角线上一点，为对角线上一点，其中． ①若，则_____； ②若，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)2，1，2 (2)①6；②或 【分析】（1）当点E在点B或点D处时，的长最大，根据两点间距离公式求解即可，当点E在平行四边形与y轴的交点处时，的长最小，即可解答； （2）①先求出，再求出，，即可得到答案； ②先求出，分和两种情况，分别求出，的值，即可分别列不等式求解． 【详解】（1）解：由图可知，当点E在点B或点D处时，的长最大，最大值为， 当点E在平行四边形与y轴的交点处时，的长最小，最小值为1， ，， ； （2）解：①如图，当时，，， 设直线为， 把代入，得， ， 直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ， 由图可知，线段上的点到上的点之间的距离的最大值为的长， ，即， 最小值为线段与之间的距离，即， ； ②将代入，得， ， ， 当时，线段上的点到上的点之间的最大距离为的长， ，即， 最小距离为线段与之间的距离，即， ， ， 解得； 当时，线段上的点到上的点之间的最大距离为的长， ，即， 最小距离为线段与之间的距离，即， ， ， 解得； 综上所述，m的取值范围是或． 【点睛】本题在解答时要先理解“距离关联值”的定义，并结合图形逐步求解，对于第（2）小题要注意分类讨论． 易错必刷题型21.平行四边形与坐标系综合 典题特征：坐标系中给出平行四边形顶点、边长、平移条件，求坐标、周长、边长、平移后位置 易错点：横纵坐标经常看反写颠倒；不会用对边平行相等找坐标平移规律；不同象限坐标正负号写错；平移坐标加减计算容易出错 61．如图，平行四边形中，若平分交直线于点，点，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出的长度，再根据平行四边形的性质和平行线、角平分线的性质推出等腰三角形，进而求出的长度，最后结合点的坐标求出点的坐标． 【详解】解：点， ． 四边形是平行四边形， ． ． 平分， ． ． ． 点的坐标为，且轴， 点的纵坐标为，横坐标为． 故D点的坐标是． 62．如图，是以的对角线为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称，若点的坐标为，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，涉及到了平行四边形的性质，轴对称的性质，勾股定理等内容． 先根据轴对称的性质得到点的坐标为，，求得，，利用勾股定理得到，从而得到，再根据三角形全等得到，即可求解． 【详解】解：设与的交点为，如图， ∵点C与点E关于x轴对称，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴，，， ∴， ∴， 在平行四边形中，，， ∴， 由题意可得，， ∴， ∴， ∴，即． 63．如图1，在平面直角坐标系中，点为x轴上一点，以为边作平行四边形，交轴于点，，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点在线段上，连接，若线段的长为，的面积为，用含m的式子表示s． (3)在（2）的条件下，如图3，若时，交y轴于点F，点E在的延长线上，连接AE，若，求点E的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平行四边形性质及勾股定理，求得，得 ，进而得 ． （2）利用同高三角形面积比等于底边比，得出． （3）由 得 ，推出 为等腰三角形．利用平行线性质转化角，结合题设角关系，推导出 为 的角平分线．再利用角平分线性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）及三角形的面积比得出 ，求得 ，从而算出 的横坐标． 【详解】（1）解：由得， 又∵，故． ∵四边形为平行四边形， ∴且． ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∴ （2）解：如图，连接， ∵， ∴的面积为 （3）解：当时，即，解得，即， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∴， 即是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即点E的横坐标为． 【点睛】这道题是一道典型的初中几何综合压轴题，融合了坐标系、平行四边形性质、勾股定理以及角平分线性质． 1．数形结合：第（1）、（2） 问充分利用了坐标系的特点，将几何长度转化为坐标运算，体现了“以数解形”的思想． 2．转化思想：第 （3） 问中，面对复杂的角关系式，通过平行线性质和等腰三角形性质，将其转化为“角平分线”这一几何模型，是解题的关键突破点． 3．面积法：利用“等高三角形面积比等于底边比”建立面积关系，进而求出线段比，是处理此类几何难题的常用高级技巧． 易错必刷题型22.平行四边形与折叠问题 典题特征：将平行四边形沿直线折叠，求折叠后角度、边长、线段长度、重叠部分相关计算 易错点：找不准折叠前后对应相等的边和角；看不出折叠隐藏的等腰三角形；套用勾股定理列式计算容易出错；折叠后图形对应位置辨认错误 64．如图，将沿对折，使点落在点处，若，，，则的面积为______． 【答案】19 【分析】过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质求出的度数，利用含30度角的直角三角形性质和勾股定理求出和的长，根据折叠的性质可得，设，在中利用勾股定理列出方程求出的值，再根据平行线的性质和折叠的性质证得，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】过点作交的延长线于点． 在中，，，，． ， ， ． 在中，， ． 由勾股定理可知：． 由折叠的性质可知，． 设，则，， ． 在中，由勾股定理得：， 即， 解得． ． ， ． 由折叠可知， ， ． ． 65．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若的周长为12，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，图形的周长，熟练掌握性质是解题的关键．根据平行四边形的性质，得，结合折叠的性质，得，继而证明，根据图形的周长定义计算即可． 【详解】解：， ， ， 根据折叠的性质，得， ， ， 又的周长是， 故的周长是， 的周长为12， ， 故的周长是6， 故选：B． 66．如图1，在平行四边形中，，，，点E，F分别为边，上的动点（不与顶点重合），且，连接，将四边形沿着折叠（在边的上方）得到四边形．        (1)连接交于点O，连接． ①求证：． ②如图2，连接交于点H，若，求的长． (2)若点落在平行四边形的边上，请直接写出所有可能的值． 【答案】(1)①见解析；② (2)或或 【分析】（1）①根据平行四边形的性质得到，，求得，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到结论； ②过D作于G，根据平行线的性质得到，求得，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，根据中位线定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到结论； （2）当在边上时，过D作，得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到；当C在边上时，设，交于H，连接，根据折叠的性质得到，，，故是中位线，求得，根据等腰直角三角形 的性质得到；当点与点A重合时，过A作于H，求得，根据勾股定理得到． 【详解】（1）解：在中，，， ， 即， ， ，， ， ； ②过D作于点G，如图所示： 则， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ， ∴为等腰直角三角形， ， ∴， 在中，， 根据解析①可得：， ∴， 由折叠可知．， 又， 是的中位线， ， 是的中垂线， ； （2）解：当在边上时（图1）， 由折叠可知，根据解析（1）可得：，， 过D作， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 根据解析（1）可得：， ， 由折叠，； 当在边上时（图2）， 由折叠，，， 又，故是中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 当与A重合时（图3）， 过点A作， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 综上所述，或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09平行四边形易错必刷题型专项训练 本专题汇总平行四边形全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.平行四边形性质求解 题型02.平行四边形性质证明 题型03.平行四边形性质应用 题型04.数图形中平行四边形个数 题型05.平行四边形构成判断 题型06.补充条件证平行四边形 题型07.三点找平行四边形第四个点 题型08.证明四边形是平行四边形 题型09.平行四边形判定与性质求解 题型10.平行四边形判定与性质证明 题型11.平行四边形判定与性质应用 题型12.三角形中位线求解问题 题型13.三角形中位线证明问题 题型14.三角形中位线实际应用 题型15.平行四边形与角平分线综合 题型16.平行四边形对角线计算与证明 题型17.平行四边形与动点问题 题型18.平行四边形存在性问题 题型19.平行四边形与全等三角形综合 题型20.平行四边形与最值问题 题型21.平行四边形与坐标系综合 题型22.平行四边形与折叠问题 易错必刷题型01.平行四边形性质求解 典题特征：已知平行四边形边长、角度、对角线条件，求边长、内角度数、周长、面积 易错点：混淆普通平行四边形对角线互相平分和矩形对角线相等；把邻角互补错记成对角互补；求面积找错对应的底和高 1．小区休闲区有一个平行四边形花坛，如图，将的一边延长至点E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，的周长为16，对角线相交于点O，点E在上，，则的周长是_________． 3．如图，在中，对角线AC、BD交于点O，，，． (1)求证：； (2)求的周长． 易错必刷题型02.平行四边形性质证明 典题特征：利用平行四边形性质，证明线段相等、线段平行、角度相等 易错点：没先证明是平行四边形，就直接乱用对边平行、对边相等的性质；证明跳步，省略关键得分步骤 4．如图，在中，，交于点，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，已知，则的周长为______． 6．解答： (1)【探究发现】如图1，的对角线，相交于点，过对角线交点作直线，分别交、的延长线于、，求证：． (2)【解决问题】 学校有一块平行四边形空地，计划栽种面积相等的黄、紫两种菊花，供师生欣赏．亮亮组设计如下：如图2，过的对角线交点，作直线交于点，于，阴影部分、空白部分各栽种一种菊花，就能满足要求．你认为合理吗?请说明理由． (3)晶晶组说：如图3，若米，米，边的高米．在上铺设宽为米的小路，每平方米的造价元，小路总造价不超过元．聪明的你，请通过计算说明． 易错必刷.题型03.平行四边形性质应用 典题特征：结合简单几何模型，综合运用平行四边形性质解题 易错点：图形边角对应关系看错混淆；不会灵活套用平行四边形基础性质 7．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．OB＝OD B．AB＝BC C．AC⊥BD D．∠ABD＝∠CBD 8．如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 9．如图，在中，，点在上，作交于点，延长至点使得，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，求四边形的面积． 易错必刷题型04.数图形中平行四边形个数. 典题特征：多个小图形拼接组合，数出图中所有平行四边形总数量 易错点：不按从小到大分类去数，容易漏数、重复多数；漏掉多个小图形拼成的大平行四边形 10．在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 11．如图，，若，则_____；图中共有_____个平行四边形． 12．如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 易错必刷题型05.平行四边形构成判断 典题特征：给出线段长度、边角条件，判断能不能组成平行四边形 易错点：错认为一组对边平行另一组对边相等，就能判定平行四边形；记混平行四边形各个判定定理 13． 日常生活中随处可见各类几何图形，下列常见的物品结构设计中，整体形状属于平行四边形但不是矩形或菱形的是（    ） A．家用正方形桌面 B．小区长方形宣传栏 C．楼梯倾斜防滑挡板 D．三角形警示牌 14．梦梦拿出两段长度相等的木棒平行摆放，然后顺次连接四个端点，得到的图形一定是______，理由是_______． 15．在四边形中，已知，添加以下条件不能证明四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 易错必刷题型06.补充条件证平行四边形 典题特征：已知四边形现有条件，补充一个条件，使四边形成为平行四边形 易错点：补充的条件和题干已知条件重复；补充的条件不充分，达不到平行四边形判定要求 16．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，这个条件可以是______． 17．如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 18．如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的，则被墨迹覆盖住的条件可能是（    ） A． B． C． D． 易错必刷题型07.三点找平行四边形第四个点 典题特征：平面内给出三个定点，找出能构成平行四边形的第四个顶点 易错点：只找一种情况，漏掉另外两种对角线分类情况；计算坐标时数值、正负号容易算错 19．在一个虚拟的游戏世界地图中，以游戏中的城堡为原点建立平面直角坐标系，勇士A的坐标为，魔法师B的坐标为，弓箭手C的坐标为，游戏中要设置一个新点D，使它与勇士A、魔法师B、弓箭手C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 20．在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________________． 21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．按下列要求作图： (1)在图中，将绕点按逆时针方向旋转，得到． (2)在图中，找出所有符合条件的点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形． 易错必刷题型08.证明四边形是平行四边形 典题特征：根据题干边角、对角线条件，规范完整证明四边形为平行四边形 易错点：乱用错误的判定方法；证明逻辑颠倒混乱，书写步骤不严谨，关键条件写不全 22．如图，四边形的对角线交于点，从下列条件：①；②；③；④．以中选出两个可使四边形是平行四边形，则你选的两个条件是__________．（填写一组序号即可） 23．如图，在四边形中，对角线，相交于点E，，，，，则四边形的面积为（   ） A．24 B．48 C．80 D．96 24．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，E、F为垂足；②；③． 符合条件的选项有： ． (2)选择其中一个条件，写出证明过程：我选择 ， 证明过程如下： 易错必刷题型09.平行四边形判定与性质求解 典题特征：先判定图形是平行四边形，再套用性质求边长、角度、线段长度 易错点：判定过程书写随意、步骤不完整；判定完之后，乱用平行四边形边角、对角线性质 25．如图，的对角线，相交于点O，，．如果，，那么四边形的周长是________． 26．如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接交于点，连接，，若，，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．1 27．如图，E，F分别是平行四边形边，上的点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 易错必刷题型10.平行四边形判定与性质证明 典题特征：同一道题里，既要判定平行四边形，又要完成后续边角、线段证明 易错点：判定定理和图形性质来回混用，解题思路混乱；前面判定出错，导致整道证明题全错 28．如图，在中，对角线交于点O，点E在线段上（不与点A，O重合），点F在线段O，C上（不与点O，C重合），当E，F的位置满足__________条件时，四边形是平行四边形． 29．已知：如图，四边形是平行四边形，点为上的一点（不与点重合），连接．求作：点，使得点在上，且． 甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下： 甲：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接； 乙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接； 丙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接． 上述三名同学的作法一定正确的是（  ） A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 30．如图，在中，于点，，连接交于点． (1)如图1所示，，，求的值． (2)如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连接． ①证明：． ②直接写出的等量关系． 易错必刷题型11.平行四边形判定与性质应用 典题特征：几何大题综合题型，结合多个考点，搭配平行四边形判定和性质解题 易错点：题干条件繁杂，找不到解题关键有用条件；不会灵活切换运用判定和性质 31．如图，中，过对角线上一点作，，图中面积分别相等的四边形共有________对． 32．某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 33．图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、点、点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． 图①                           图②                       图③ (1)在图①中，作使点在边上，点、点均在格点上且点不与点、点重合（画出一个即可）； (2)在图②中，作使点为对称中心； (3)在图③中，过点作直线，直线将的面积分成相等的两部分． 易错必刷题型12.三角形中位线求解问题 典题特征：给出三角形边长、中点条件，利用中位线定理求线段长度 易错点：记错定理，忘记中位线长度是第三边的一半；随便找线段乱套定理，认错线段中点 34．如图，两点被池塘隔开，小林在池塘外选定一点，然后测量出的中点的距离，若，则两点间的距离为______m． 35．如图，在中，D是的中点，平分，，垂足为E，连接．若，则的长是（  ） A．3 B．6 C．4 D．5 36．如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的面积． 易错必刷题型13.三角形中位线证明问题 典题特征：用三角形中位线定理，证明线段平行、线段倍分数量关系 易错点：只证明平行，不证明长度二分之一的倍分关系；没证出两边都是中点，就直接套用中位线定理 37．如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 38．在中，，对角线与相交于点O．已知点E，F分别在边，上，且，连接与．若点M，N分别为，的中点，连接，则=_______． 39．如图，在中，，，连接，，点，，在同一条直线上，，点为的中点，连接． (1)如图，当时，求证：； (2)当时，如图；当时，如图，分别写出线段，，之间的数量关系，并选择图或图进行证明． .易错必刷题型14.三角形中位线实际应用 典题特征：生活实际场景应用题，用中位线知识求距离、线段总长 易错点：不会把实际场景转化成标准三角形模型；计算时忘记除以2，倍数关系算错 40．如图，小乐为测量自家池塘边上A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取一点O，记的中点分别为点D，E，测得米，则A，B间的距离是（    ） A．18米 B．24米 C．34米 D．36米 41．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝20，BC＝32，则线段EF的长为________； 42．如图，在中，，，点D为的中点，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，过点F作，交直线与点H，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由． 易错必刷题型15.平行四边形与角平分线综合 典题特征：平行四边形内搭配角平分线，求边长、角度，证明等腰三角形 易错点：看不出平行线+角平分线=等腰三角形的固定模型；不会互相转化相等线段 43．如图，在中，已知，，平分交边于点E，则的值为________． 44．如图，在中，点在上，，平分，，则的面积为（   ） A．32 B．24 C．18 D．16 45．如图，已知两个条件：①四边形是平行四边形，②P是上一点，且和分别平分和． (1)根据条件①与②，你能得到什么结论？写出一个结论并证明这个结论． (2)若，，求的长． 易错必刷题型16.平行四边形对角线计算与证明 典题特征：依托平行四边形对角线，求对角线长度、取值范围，做相关几何证明 易错点：普通平行四边形乱用对角线相等的错误结论；不会结合三角形三边关系求对角线范围 46．如图，在中，点E，F在对角线上，连接． (1)求证：． (2)连接与相交于点O，求证：与互相平分． (3)若，，且，求的长． 47．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点O任意作直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 48．如图，平行四边形的对角线，交于点，平分，交于点，连接，且，设． (1)求证：； (2)若，请判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，当时，请求出平行四边形的面积； (4)设，请直接写出与满足的关系． 易错必刷题型17.平行四边形与动点问题 典题特征：点在平行四边形四条边上运动，求运动时间、线段长、图形形状 易错点：不分动点不同位置分类讨论；忽略动点运动起止边界，算出超出范围的无效答案 49．如图，平行四边形中，，，，，分别是边，上的动点，且，则的最小值为______． 50．如图，在中，，，为边上的一个动点，以，为邻边作，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 51．如图1，点是射线上的一个动点，点在射线的上方．现以点为顶点构造平行四边形．的平分线分别交于点，直线与相交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为中点，连接并延长交线段于点，若，求的长； (3)如图1，在点的运动过程中，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 易错必刷题型18.平行四边形存在性问题 典题特征：结合几何图形、动点，判断满足条件的平行四边形是否存在，求对应顶点位置、边长 易错点：不会分类讨论不同构成情况；找不准平行四边形成立的边角条件；容易漏写符合要求的答案 52．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点，使得以，，，四点组成的四边形为平行四边形，请写出点坐标______________． 53．如图，在四边形中，，动点、分别从、同时出发，点以每秒2个单位的速度沿着折线先由向运动，再由向运动，点以每秒1个单位的速度由向运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)两平行线与之间的距离是___________． (2)当、与的某两个顶点围成一个平行四边形时，的值为___________． (3)当直线恰好平分四边形的面积时，求的值． 54．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 易错必刷题型19.平行四边形与全等三角形综合 典题特征：平行四边形结合全等三角形，综合证明边角相等、线段平行关系 易错点：找错全等三角形对应边、对应角；证明解题顺序颠倒，逻辑混乱理不清 55．如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是________． 56．如图，为平行四边形的对角线，，于点，于点，，相交于点，射线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 57．如图，在四边形中，，，，垂足分别为，，若．求证：四边形为平行四边形． 易错必刷题型20.平行四边形与最值问题 典题特征：平行四边形边上动点移动，求线段最短、周长最小、面积最大最小值 易错点：找不到取到最值时动点的准确位置；不会用垂线段最短、对称法转化线段；忽略平行四边形边长本身限制 58．如图，在中，，，，点分别是上动点．连接，点分别为中点，连接．则最小值为______． 59．如图，在平行四边形中，，，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 60．在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形M，N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值为，最小值为，则称比值为图形M和图形N的“距离关联值”，记为．已知顶点坐标为，，，． (1)若E为边上任意一点，则的最大值为_____，最小值为_____，因此 (2)若为对角线上一点，为对角线上一点，其中． ①若，则_____； ②若，请直接写出m的取值范围． 易错必刷题型21.平行四边形与坐标系综合 典题特征：坐标系中给出平行四边形顶点、边长、平移条件，求坐标、周长、边长、平移后位置 易错点：横纵坐标经常看反写颠倒；不会用对边平行相等找坐标平移规律；不同象限坐标正负号写错；平移坐标加减计算容易出错 61．如图，平行四边形中，若平分交直线于点，点，则点的坐标是______． 62．如图，是以的对角线为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称，若点的坐标为，则点的坐标是______． 63．如图1，在平面直角坐标系中，点为x轴上一点，以为边作平行四边形，交轴于点，，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点在线段上，连接，若线段的长为，的面积为，用含m的式子表示s． (3)在（2）的条件下，如图3，若时，交y轴于点F，点E在的延长线上，连接AE，若，求点E的横坐标． 易错必刷题型22.平行四边形与折叠问题 典题特征：将平行四边形沿直线折叠，求折叠后角度、边长、线段长度、重叠部分相关计算 易错点：找不准折叠前后对应相等的边和角；看不出折叠隐藏的等腰三角形；套用勾股定理列式计算容易出错；折叠后图形对应位置辨认错误 64．如图，将沿对折，使点落在点处，若，，，则的面积为______． 65．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若的周长为12，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．8 D．12 66．如图1，在平行四边形中，，，，点E，F分别为边，上的动点（不与顶点重合），且，连接，将四边形沿着折叠（在边的上方）得到四边形．        (1)连接交于点O，连接． ①求证：． ②如图2，连接交于点H，若，求的长． (2)若点落在平行四边形的边上，请直接写出所有可能的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $