重难点专题01 认识实数（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“概念辨析-性质应用-数形结合”为主线，系统构建无理数与实数的认知体系，通过分层训练实现从定义理解到综合应用的能力进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |无理数|2个重难点12题|定义辨析三步法、夹逼法估算、反证法证明|从无理数定义出发，通过辨析易混概念（如带根号数与无理数关系）建立认知，结合数轴作图实现几何直观| |实数|6个重难点34题|分类标准二分法、性质迁移应用、勾股定理构造法|以实数概念整合有理数与无理数，通过相反数/绝对值性质延伸，借助网格作图实现实数与数轴的一一对应|

重难点专题01 认识实数 模块一、无理数 重难点一、无理数 区分核心定义：无限不循环小数叫做无理数。常见三类：开方开不尽的数、含 π 的式子、特定无限不循环小数。注意有限小数、无限循环小数属于有理数，不要误认为带根号就是无理数。判断题优先化简，化简后再判断类别。 1．（2026·浙江绍兴·二模）科学生活中常会遇到各类常数，下列实数中，属于无理数的是（     ） A．“常压下水的沸点是”中的100 B．“氧气在空气中的占比约为”中的 C．“月球公转周期27天”中的27 D．“圆周率π”中的π 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】无理数 【详解】解：选项A的是整数，属于有理数； 选项B的是分数，属于有理数； 选项C的是整数，属于有理数； 选项D的是无限不循环小数，是无理数． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）以下说法错误的是（    ） A．无理数是无限小数 B．0.202202220…（相邻两个0之间依次多一个2）是无理数 C．无理数是带根号的数 D．无理数不可能是分数 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的定义与性质，解题关键是准确理解无理数“无限不循环”的本质，避免将“带根号”作为无理数的判定标准． 逐一分析每个选项，根据无理数的定义（无限不循环小数）来判断其正确性． 【详解】解：A、无理数是无限不循环小数，属于无限小数，该说法正确，不符合题意； B、（相邻两个之间依次多一个）是无限不循环小数，属于无理数，该说法正确，不符合题意； C、无理数不一定是带根号的数，例如是无理数但不带根号；而像这样带根号的数却是有理数，该说法错误，符合题意； D、分数是有理数，无理数不属于有理数，因此无理数不可能是分数，该说法正确，不符合题意． 故选：C． 3．（25-26八年级上·山西太原·期中）无理数和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映．下列四个数中，是无理数的是（   ） A．0.618 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】无理数 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数之比．通过判断每个选项是否可写为分数或是否为无限不循环小数来确定． 【详解】解：A．0.618 是有限小数，是有理数； B．是分数，属于有理数； C．是循环小数，属于有理数； D．是无理数． 故选：D． 4．（25-26七年级下·河北沧州·期末）关于的叙述，下列不正确的是（     ） A．是无理数 B．在数轴上可以找到表示的点 C． D．周长为8的正方形的边长是 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】无理数、实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】先化简，再结合无理数定义、实数与数轴的关系、无理数估算、正方形周长公式逐一判断选项，找出错误叙述即可． 【详解】∵是无限不循环小数，属于无理数，∴A叙述正确； ∵所有实数都能在数轴上找到对应点，是实数，∴B叙述正确； ∵，，且 ，∴ ，C叙述正确； ∵周长为8的正方形，边长为 ，∴D叙述不正确． 5．（25-26七年级下·北京·期末）有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、多个有理数的乘法运算、无理数、实数的分类、两个有理数的乘法运算 【分析】通过举反例和反证法逐个判断四个推断的正误即可得到结果． 【详解】① 推断“两个无理数的和一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此①错误； ② 推断“两个无理数的积一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此②错误； ③ 推断“一个有理数与一个无理数的和一定是无理数”，设是有理数，是无理数，假设为有理数，可得， ∵ 两个有理数的差仍为有理数， ∴ 为有理数，与是无理数矛盾，因此③正确； ④ 推断“一个有理数与一个无理数的积一定是无理数”，取有理数和无理数，，是有理数，因此④错误； 综上，正确的推断只有个． 6．（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，以1个单位长度为直径的圆从原点开始，沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点．点对应的数是无理数，则这个无理数的小数部分为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】无理数、圆的周长和面积问题 【分析】利用圆的周长公式计算滚动距离，确定点表示的实数，再根据无理数小数部分的定义（原数减去整数部分）进行计算即可． 【详解】 解： 圆的直径为 ， 圆的周长为， 圆从原点开始沿数轴向右滚动一周， 点对应的数为 ， ， 的整数部分为， 这个无理数的小数部分为． 7．（24-25八年级上·山西临汾·期中）综合与实践 如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． (1)图2中A、B两点表示的数分别为______，_____． (2)请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长_____；（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上用点M表示数．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法．） 【答案】(1)， (2) ①如图所示， 正方形的面积为5，所以边长； 故答案为：； ②如图所示，点M即为所求作． 【难度】0.85 【知识点】无理数、实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示无理数， 对于（1），根据勾股定理求出对角线的长，以原点为圆心，对角线长为半径画弧，即可得出答案； 对于（2）①，将图3分成4个直角三角形和1个小正方形，再图4中拼成正方形，进而得出正方形的边长； ②以数1为圆心，对角线为半径在右侧画弧，与数轴交点即为所求作. 【详解】（1）解：对角线的长为， 所以点A，点B表示的数是； 故答案为：； （2）略 8．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）图1、图2、图3均为网格，每个小正方形的边长为1．请在三幅图中各画出一个顶点均在格点上的直角三角形，且满足对应边长要求． (1)在图1中，画出的直角三角形三边长，仅有一条边长是无理数，另外两条边长均是有理数； (2)在图2中，画出的直角三角形三边长，仅有两条边长是无理数，另外一条边长是有理数； (3)在图3中，画出的直角三角形三边长都是无理数． 【答案】(1)解：如图所示，图中三角形即为所求； （答案不唯一）； (2)解：如图所示，图中三角形即为所求； （答案不唯一）； (3)解：如图所示，图中三角形即为所求； （答案不唯一）． 【难度】0.51 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题、无理数 【分析】（1）根据有理数与无理数的定义进行作图即可； （2）根据有理数与无理数的定义进行作图即可； （3）根据无理数的定义进行作图即可． 【详解】（1）解：∵， ∴为有理数，为无理数，且， ∴是直角三角形，符合题意； （2）解：∵， ∴为无理数，为有理数，且， ∴是直角三角形，符合题意； （3）解：∵， ∴都为无理数，且， ∴是直角三角形，符合题意． 重难点二、无理数的大小估算 采用 “夹逼法” 估算无理数，先找到相邻两个整数平方，锁定被开方数区间，确定无理数整数部分；求小数部分用原无理数减去整数部分。比较同类根式可比较被开方数，估算后能完成取值、整数部分相关题型。 1．（2026·北京·模拟预测）下列整数中与最接近的是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】无理数的大小估算 【分析】通过比较平方数确定的取值范围即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 因此下列整数中与最接近的是． 2．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】根据数轴可得点表示的数大于3且小于3.5，再根据无理数的估算方法求出四个选项中的数的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设点所代表的数为， 由数轴可知：，即，故B、C错误， ∵， ∴数轴上点表示的数可能是． 3．（21-22七年级下·广西南宁·期中）无理数位于（     ）之间． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题使用夹逼法，通过比较被开方数与相邻整数平方的大小，确定无理数的范围． 【详解】∵ ，， 又∵ ， ∴ ， 即 ， 因此位于和之间． 4．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，数轴上表示的点落在（     ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】根据，结合数轴求解即可； 【详解】解：， ， 根据数轴的意义，得落在段②； 5．（25-26七年级下·云南红河·阶段检测）正五角星是常见的图案，如图，在画正五角星时需满足．人们把这个数叫做黄金分割数．用你学过的知识估计的值应在（     ） A．0.1和0.5之间 B．0.5和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查无理数的估算. 先确定 的取值范围，再利用不等式的性质求出 的范围即可． 【详解】解： 即 即 该数值在 和 之间． 6．（2026·云南昆明·二模）中国古代建筑中蕴含着精妙的数学美学，许多经典楼阁的窗框比例接近黄金比．若某古建筑的窗高与窗宽的比值为，估计的值应该在（　　） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算 【详解】解：因为， 所以， 则， 所以． 7．（25-26七年级下·湖北鄂州·期末）人教版七年级下册数学课本第58页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得，两边平方得，即 ①； 故是偶数，因为只有偶数，其平方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数），代入①得，=________ 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾， 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【运用并解决】类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数； (3)【迁移与应用】长方形画纸的面积为，长与宽的比为，小明同学想从中裁出半径为的圆形画纸，他的想法可行吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得，则， 故是3的倍数， 因为只有3的倍数，其平方才是3的倍数， 所以是3的倍数， 设，得， 故也是3的倍数， 所以和都是3的倍数，不互质，这与假设和互质矛盾， 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (3)解：不可行， 理由：设长宽分别为，则 解得（负值舍去）， ∴长方形纸片的宽为， ∵， ∴， ∴， ∵圆的半径为， ∴圆的直径为， ∵， ∴不能裁出半径为的圆形画纸． 【难度】0.65 【知识点】无理数、无理数的大小估算 【分析】（1）假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得，两边平方得，推出矛盾即可； （2）假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得，则，推出矛盾即可； （3）设长宽分别为，求出长方形纸片的宽为，然后与圆的直径比较大小即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 8．（2022七年级·湖南长沙·竞赛）设，，，，都是有理数，是无理数． 求证： (1)当时，是有理数； (2)当时，是无理数． 【答案】(1)解：有意义， ． 已知，分两种情况讨论： ① 当时， ． ， 分子， ， 为有理数，， 是有理数，即是有理数． ② 当时， ， ， ， ， ， 为有理数，， 是有理数，即是有理数． 综上所述，当时，是有理数． (2)解：假设是有理数， ，， ， 整理得， 均为有理数， 和都是有理数， 若， 则是有理数，与是无理数矛盾， ， ，即， ， ， ，与已知矛盾， 假设不成立，即当时，是无理数． 【难度】0.4 【知识点】无理数、实数的分类 【分析】（1）把变形，再由，根据分式有意义的条件，分和两种情况进行讨论，从而得出y是有理数； （2）假设是有理数，把变形，再由，以及，，，都是有理数，推出x是有理数，与已知矛盾，进而得出y为无理数． 【详解】（1）略 （2）略 9．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 (1)请写出在哪两个连续整数之间： ； (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 【答案】(1)5；6 (2)方法一：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计， ∴，， ∴． 方法二：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【难度】0.62 【知识点】无理数的大小估算 【分析】（1）根据即可得出； （2）根据题干提供的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即； （2）略 10．（25-26七年级下·江西南昌·期末）若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ，． ．． 请根据上述方法解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为，第二块面积为，小智想知道第一块玻璃的边长比多出的长度，与第二块玻璃的边长比少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：，，，） 【答案】(1)； (2)第一块玻璃的边长比多出的长度小于第二块玻璃的边长比少的长度． 【难度】0.62 【知识点】无理数的大小估算、实数的大小比较 【分析】（1）利用结合作差法比较与的大小即可； （2）求解第一块的边长为，第二块的边长为，设第一块玻璃的边长比多出的长度为a，第二块玻璃的边长比少的长度为b，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵第一块面积为，第二块面积为， ∴第一块的边长为，第二块的边长为， 设第一块玻璃的边长比多出的长度为a，第二块玻璃的边长比少的长度为b， ∴，， ∴， ∵，， ∴，． ∴，即． ∴第一块玻璃的边长比多出的长度小于第二块玻璃的边长比少的长度． 11．（2026·浙江温州·二模）【阅读理解】 同学们，我们来学习用平方差公式：近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为，所以． 则有以下两种估算方式： 方式一： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 方式二： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 【比较分析】 (1)你认为用哪一种方式得出的的近似值精确度更高，请说明理由． 【迁移应用】 (2)请选择其中一种方式估算的近似值（结果保留2位小数）． 【答案】(1) 方式一得出的近似值精确度更高 (2) 选择方式一：，选择方式二： 【难度】0.55 【知识点】无理数的大小估算 【分析】（1）比较与6、7的距离，再判断估算方法的误差大小，由此即可求解； （2）先确定的取值范围，再根据材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴更接近6， ∴在方式一中用6代替所产生的误差更小， ∴方式一得出的近似值精确度更高； （2）解：∵， ∴， 方式一：∵， ∴，即， ∴； 方式二：∵， ∴，即， ∴； ∴选择方式一：，选择方式二：． 12．（20-21七年级下·上海杨浦·期中）阅读下面的文字，解答问题． 对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差． 例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2． （1）仿照以上方法计算：[]＝　 　{5﹣}＝　 　； （2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：　 　． （3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝　 　，n＝　 　． 【答案】（1）2；3﹣；（2）1、2、3；（3）256，4 【难度】0.4 【知识点】无理数的大小估算 【分析】（1）依照定义进行计算即可； （2）由题可知，，则可得满足题意的整数的的值为1、2、3； （3）由，可知，是某个整数的平方，又是符合条件的所有数中最大的数，则，再依次进行计算． 【详解】解：（1）由定义可得，，， ． 故答案为：2；． （2）， ，即， 整数的值为1、2、3． 故答案为：1、2、3． （3），即， 可设，且是自然数， 是符合条件的所有数中的最大数， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：256，4． 【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查估算无理数大小，无理数的整数部分和小数部分，理解定义内容是解题关键． 模块二、实数 重难点一、实数概念理解 有理数与无理数统称为实数。有理数能够写成两个整数之比，无理数不能。所有实数都可以写成小数形式；做题警惕误区，例如带根号的数不一定是无理数。实数延续有理数的运算规则，可进行加、减、乘、除、乘方运算。 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（   ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它可以表示成分数形式 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】实数概念理解、实数与数轴 【分析】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“”的意义是解题的关键．根据实数的分类和的特点进行解答即可得出答案． 【详解】解：圆周率是一个实数，是无理数，不能表示成分数形式，在数轴上有表示它的点， ∴关于圆周率说法正确的是C选项， 故选：C． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）设实数满足，且任意两数之和共10个数中最小的三个数是32、36、37，最大的两个数是48、51．则______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】实数概念理解、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式的加减．根据题意可得，，从而得到，，可求出a的值，即可求解． 【详解】解：∵，且任意两数之和中最小的三个数是32、36、37，最大的两个数是48、51， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为： 3．（第十二章实数【专项训练】-2020-2021学年七年级数学下学期期末专项复习（沪教版））判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．( ) (2)无理数都是无限小数．( ) (3)无限小数都是无理数．( ) (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．( ) (5)不带根号的数都是有理数．( ) (6)带根号的数都是无理数．( ) (7)有理数都是有限小数．( ) (8)实数包括有限小数和无限小数．( ) 【答案】 错误 正确 错误 错误 错误 错误 错误 正确 【难度】0.85 【知识点】有理数的定义、实数概念理解、无理数 【分析】根据有理数，无理数，实数的概念逐项判断即可 【详解】(1)( 错误)无理数不只是开方开不尽的数，还有，1．020 020 002…这类的数也是无理数；故答案为：错误． (2)( 正确)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数；故答案为：正确． (3)( 错误)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数；故答案为：错误． (4)( 错误)0是有理数；故答案为：错误． (5)( 错误)如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数；故答案为：错误． (6)( 错误)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数；故答案为：错误． (7)( 错误)有理数还包括无限循环小数；故答案为：错误． (8)( 正确)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以     实数可以用有限小数和无限小数表示；故答案为：正确． 【点睛】本题考查了有理数，无理数，实数的概念，理解概念是解题的关键． 4．（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）已知m，n是有理数，且，的值为_______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】实数概念理解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查的是实数的运算、无理数和有理数的定义，解题的关键是理解无理数与有理数的区别在中，等式的左边是含有这个无理数部分的，等式的右边为0是有理数，可知在等式的左边的系数部分应为0． 【详解】解：原式可化为， ∵m，n是有理数， ∴，解得， ∴． 故答案为． 5．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）如图，一游戏规则如下：请同学们心里想一个非零的实数，然后各自把这个数按照下面的程序进行计算． (1)当输入的实数为时，求输出的值是多少． (2)小康说：“无论同学们心里想的是哪个实数，我都可以准确地说出计算结果．”你认为小康的说法正确吗？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)小康的说法正确，见解析 【难度】0.85 【知识点】多项式除以单项式、运用完全平方公式进行运算、实数概念理解、运用平方差公式进行运算 【分析】（1）本题考查有理数的混合运算，根据流程图代入求解即可得到答案； （2）本题考查整式的四则混合运算，根据化简结果判断即可得到答案； 【详解】（1）解：由流程图可得， ； （2）解：小康的说法正确，理由如下： 输出 ， ∴小康的说法正确． 6．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）数轴上有A，B两点分别表示实数a和b，且满足． (1)______；______； (2)点P以每秒1个单位长度的速度从点A向右匀速运动，多长时间它与点B相距2个单位长度？ 【答案】(1)， (2)或 【难度】0.65 【知识点】实数概念理解、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性 【分析】本题考查了非负数的性质，一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离等知识，解题的关键是： （1）根据绝对值和偶次方的非负性求解即可； （2）设经过t秒，根据列出关于t的方程，然后解方程即可； 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：设经过t秒，则点P表示的数为， 根据题意，得， 解得或， ∴经过或秒，点P与点B相距2个单位长度 7．（21-22八年级下·安徽滁州·阶段检测）一组实数按如下规律排列：，___，_____． (1)两条横线上的实数分别____； (2)第11、12个实数分别是_____． 【答案】(1)； (2)； 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、实数概念理解 【分析】（1）观察实数发现的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，据此即可求解； （2）按照（1）中的方法即可求解． 【详解】（1）观察实数发现的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和， ∴横线上的实数，的系数为5+8=13，8+13=21， 所以横线上的实数分别为， （2）由（1）可知第8个数为， ∴第9个数为， 第10个数为， 第11个数为， 第12个数为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了实数的规律问题，观察数字中的系数，找到规律是解题的关键． 重难点二、实数的分类 实数有两种分类方式：按定义分为有理数、无理数；按正负分为正实数、0、负实数。分类前务必先化简数字，再归类。0 是特殊实数，既不是正数也不是负数。整理数集题目，逐一化简筛选，避免重复、漏写数字。 1．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）毕达哥拉斯学派发现无理数，这是数学史上的一件大事．在，，0，，，，，，这些数中，无理数的个数有______个． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】无理数、实数的分类 【分析】此题主要考查了无理数的定义．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可得到答案． 【详解】解：∵，没有意义， ∴在，，0，，，，，，这些数中，无理数有：，，，共个． 故答案为：． 2．（2022·河南郑州·模拟预测）数，，，－，，，0.301300130001…（3和1之间依次多一个0）中，无理数的个数为______． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】无理数、实数的分类 【分析】根据无理数的定义，逐个判断各数即可得到无理数的个数． 【详解】解：，是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； 故无理数有：，，（3和1之间依次多一个0），共个． 3．（25-26七年级下·青海西宁·期中）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 【答案】有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 【难度】0.85 【知识点】无理数、有理数的分类、实数的分类 【分析】根据有理数包括整数和分数，有理数和无理数统称为实数，整数包括正整数，负整数和0，负实数包括负有理数和负无理数解答． 【详解】解：有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各数填在相应的括号里：，，，0，，，2.9，1.3030030003…（相邻两个3之间依次多一个0）． （1）整数：{                                                    …}； （2）分数：{                                                    …}； （3）无理数：{                                                    …}． 【答案】（1）整数：； （2）分数：； （3）无理数：{，，（相邻两个3之间依次多一个0）}． 【难度】0.85 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键； 根据实数的分类将题干的八个数分别填到三个空内． 【详解】解：是整数；无法化简也不能化为分数形式，是无理数；是分数；0是整数，是无理数；是有限小数，是分数；是有限小数，是分数；（相邻两个3之间依次多一个0）是无限不循环小数，是无理数； ∴整数：； 分数：； 无理数：{，，（相邻两个3之间依次多一个0，…} ． 5．（25-26八年级上·江西萍乡·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） (1)整数集合：{____________…}； (2)分数集合：{____________…}； (3)负有理数集合：{____________…}； (4)无理数集合：{____________…}． 【答案】(1)③⑥⑧ (2)①②⑤⑦ (3)⑥⑦ (4)④⑨ 【难度】0.85 【知识点】有理数的定义、无理数、实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．分别根据整数、分数、负数和无理数的定义进行解答即可． （1）根据整数的概念求解即可； （2）根据分数的概念求解即可； （3）根据负有理数的概念求解即可； （4）根据无理数的概念求解即可． 【详解】（1）解：， 整数集合：③⑥⑧； （2）解：分数集合：①②⑤⑦； （3）解：负有理数集合：⑥⑦； （4）解：无理数集合：④⑨． 6．（25-26七年级下·吉林松原·期中）数学文化节主办方邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位．到访的“实数”嘉宾名单如下： （每两个“1”之间依次多一个“0”）． (1)主办方需要准备__________个“无理数”的席位； (2)请为“实数”嘉宾们安排合适的席位，并填入对应的区域内． “整数”席：（   ）； “分数”席：（    ）． 【答案】(1)3 (2)； 【难度】0.75 【知识点】有理数的定义、无理数、实数的分类 【分析】（1）根据无理数的定义解答； （2）根据有理数分类解答即可. 【详解】（1）解：由题可知，“无理数”有： 则共有无理数3个． （2）解：由题可知：“整数”席为：； “分数”席为：． 7．（25-26七年级下·全国·周测）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）． (1)有理数集合：{                                     …}； (2)无理数集合：{                                     …}； (3)正实数集合：{                                     …}； (4)负实数集合：{                                     …}． 【答案】(1) (2)，，…（小数部分由相继的正整数组成）， (3) (4)（小数部分由相继的正整数组成），，， 【难度】0.65 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据有理数、无理数、正实数、负实数的定义分类即可． 【详解】（1）解：有理数集合：； （2）解：无理数集合：{，，…（小数部分由相继的正整数组成），，}； （3）解：正实数集合：； （4）解：负实数集合：{（小数部分由相继的正整数组成），，，，}． 8．（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知代数式（n为正整数）． (1)当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）；当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）； (2)可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？ 【答案】(1)，无理数，，无理数 (2)不可能是偶数，也不可能是奇数，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】奇数和偶数，奇偶性分析、无理数、实数的分类 【分析】本题考查了二次根式的化简与分类、整数的奇偶性及反证法的应用． （1）分别代入和计算的值，再分别判断和的数的类型即可； （2）先假设是偶数，通过开方推导可得出其不是偶数；当时，，此时，不是奇数，当时，假设是奇数，不妨设（且k为整数），通过计算推导可证得不是奇数． 【详解】（1）解：当时，， ∵5不是完全平方数， ∴是无理数， 当时，， ∵7不是完全平方数， ∴是无理数， 故答案为：，无理数，，无理数． （2）解：不可能是偶数，也不可能是奇数， 理由：假设是偶数，则是偶数， 即是偶数①， ∵n是正整数， ∴是偶数， ∵3是奇数， ∴是奇数②， ∴①和②矛盾， ∴不是偶数， 当时，，此时，不是奇数， 当时，假设是奇数，不妨设（且k为整数）， ∴， 整理得， ∵为偶数且1为奇数， ∴为奇数， ∵是偶数， ∴不成立， ∴不是奇数， 综上所述，不可能是偶数，也不可能是奇数． 重难点三、实数的性质 实数范围内相反数、倒数、绝对值规则和有理数一致。实数a相反数为\(-a\)；非 0 实数才有倒数；正数绝对值是自身，负数绝对值是相反数。化简含根号绝对值式子，先判断根号内式子正负，再去掉绝对值符号完成化简。 1．（25-26七年级下·重庆·期中）对实数进行如下操作：先将其乘以2，再将所得的结果加上5，称为第一次操作，记结果为，将第一次操作的结果按相同规则再操作一次，得到第二次操作的结果，记为，以此类推，重复操作．记，则下列说法中正确的个数是（   ） ①当时，，； ②若，则； ③若为整数，则是偶数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】实数的性质、整式加减的应用、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】当时，分别计算、、、、的值，进而得到的值，可判断①；根据操作的结果用表示出和，再根据列出方程，可判断②；若为整数，则是奇数，是奇数……依此类推，都是奇数，进而得到的奇偶性，可判断③，即可得出结论． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， ∴， ∴，，故①正确； ， ， ， ， ， ， ∴， ∵ ∴， 解得，故②正确； ∵为整数， ∴是奇数， ∴是奇数…… 依此类推，都是奇数， ∵， ∴是2026个奇数的和， ∴是偶数，故③正确； 综上，正确的个数是3个． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各数的相反数和绝对值： (1)． (2)． 【答案】(1)的相反数为3， (2)的相反数为， 【难度】0.85 【知识点】相反数的定义、实数的性质、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的化简，以及相反数和绝对值的定义，掌握先化简根式，再根据定义求相反数和绝对值，绝对值要先判断数的正负是解题的关键． （1）先化简立方根得到，再根据相反数、绝对值的定义，分别计算的相反数和绝对值； （2）先判断的正负性，再根据相反数的定义改变符号，正数的绝对值为其本身，直接得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴的相反数为3． 由绝对值的意义，得． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴的相反数为． 由绝对值的意义，得． ．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】相反数的定义、实数的性质、已知式子的值，求代数式的值、倒数 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值的性质，求解代数式的值，正确掌握相关定义是解题关键． 根据相反数、倒数、绝对值的性质分别得出，然后代入计算即可解答． 【详解】解：∵实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为， ∴， ∴， ∴． 4．（第02讲实数（知识梳理 3课本习题典例 8题型 过关检测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版2024））判断下列说法是否正确： (1)无理数的平方一定是正数； (2)两个无理数的积仍为无理数； (3)分数一定可化为有限小数或无限循环小数． 【答案】(1)正确； (2)错误 ； (3)正确 【难度】0.85 【知识点】无理数、实数的性质 【分析】本题主要考查了实数的性质，对于每个说法，要依据无理数、分数的定义和性质，通过举例或推理来判断． （1）设无理数为a，（a不等于0），根据平方的性质，即可判断． （2）举例说明即可． （3）举例说明即可． 【详解】（1）解：无理数是无限不循环小数，不为0，设无理数为a，（a不等于0），根据平方的性质，，所以无理数的平方一定是正数，该说法正确． （2）解：例如，是无理数，但它们的积2是有理数，所以 “两个无理数的积仍为无理数” 说法错误． （3）解：分数是有理数，有理数包括整数和分数，分数可以通过分子除以分母化为有限小数（如）或无限循环小数（如），所以该说法正确． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）写出所有符合下列条件的数： (1)小于的所有正整数； (2)大于且小于的所有整数； (3)绝对值小于的所有整数． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】实数的性质、无理数的大小估算 【详解】（1）解：∵，即， 正整数是大于0的整数 ∴小于的所有正整数：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴大于且小于的所有整数； （3）解：∵绝对值小于的整数满足， 而， ∴， ∴绝对值小于的所有整数有：． 6．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图是三个的正方形方格，每个正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点就是格点． (1)线段的长度为________； (2)请在图中找到所有满足条件的格点，连接，使得； (3)在（2）的基础上，连接，计算的面积． 【答案】(1) (2)解：如图，即为所求 (3)或 【难度】0.64 【知识点】勾股定理与网格问题、实数的性质、利用网格求三角形面积 【分析】（1）利用勾股定理计算即可； （2）取格点，结合勾股定理满足即可； （3）连接，再利用割补法求解三角形的面积即可． 【详解】（1）解：． （2）略 （3）解：如图，连接， ∴； ． 7．（25-26八年级下·山东枣庄·阶段检测）阅读理解并解答： 【方法呈现】 (1)我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ∵， ∴． 则这个代数式的最小值是_____，这时相应的的值是_______． 【尝试应用】 (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值， 【拓展提高】 (3)已知a，b，c是的三边长，满足，且c是中最长的边，求c的取值范围． 【答案】(1)2， (2)最大值为84， (3) 【难度】0.52 【知识点】运用完全平方公式进行运算、实数的性质、三角形三边关系的应用 【分析】（1）根据实数的非负性，解答即可； （2）根据文中提供的解题方法解答即可； （3）根据，根据配方法，非负性，三角形三边关系，解答即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴． 且时即，取得最小值， 故这个代数式的最小值是2，这时相应的的值是． （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为84，且时取得最大值，此时； （3）解：， ， ， ， ， ， 解得， 由c是中最长的边， 故c的取值范围为即． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明． (1)已知两个实数a，b，则． (2)两个无理数的和一定是无理数． 【答案】(1)不正确；举例见详解 (2)不正确；举例见详解 【难度】0.65 【知识点】无理数、实数的性质、实数的大小比较 【分析】本题考查实数的性质，通过举反例判断说法的正确性． （1）考虑b的符号并举例即可判断． （2）考虑互为相反数的无理数即可求解． 【详解】（1）解：不正确，理由如下： 当时，，例如，则，因此说法不正确． （2）解：不正确，理由如下： 两个无理数的和不一定是无理数，例如无理数和， 它们的和为0（有理数），因此说法不正确． 9．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式. 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况： ； ； ． 从而化简代数式可分以下种情况： 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上讨论，. 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简． 【答案】(1)和的零点值分别为、； (2)． 【难度】0.65 【知识点】实数的性质 【分析】（）令和，求出的值即可求解； （）根据零点值分、和三种情况解答即可求解； 本题考查了绝对值的性质，解绝对值方程，理解零点值的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：令和， 解得，， 和的零点值分别为、； （2）解：在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：、和， 当时，； 当时，；     当时，； 综上，． 重难点四、实数与数轴 核心结论：实数和数轴上的点一一对应。任意实数都能在数轴找到对应点，数轴任意一点对应唯一实数。可借助勾股定理在数轴上画出无理数对应的线段；利用数轴位置直观判断实数大小，右边数字恒大于左边数字。 1．（2026·江苏南京·三模）实数在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列四个点中，表示原点的可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.81 【知识点】实数与数轴、数轴上找原点 【详解】解：由可知：实数在原点的同侧， 由数轴可知：当时，不满足，故舍去； ∴，即表示原点的可能是． 2．（25-26八年级下·天津宝坻·期末）如图，在数轴上找出表示的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】实数与数轴、用勾股定理解三角形 【详解】解：∵直线，， ∴ ∴点C表示的数是． 3．（24-25八年级下·四川南充·阶段检测）如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】利用勾股定理求出的长，再根据数轴上点的位置关系求解． 【详解】解：由图可知，点表示的数为1， 在网格中构造以为斜边的直角三角形，两直角边长分别为1和3， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点， ∴， ∵点在点的右侧， ∴点表示的数为． 4．（21-22八年级下·广西河池·阶段检测）如图，数轴上点A表示的实数是______． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】由图可知直角三角形的斜边长为，则点A表示的数可确定． 【详解】解：由勾股定理得直角三角形的斜边长为， ∴点A表示的数为． 5．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】由勾股定理求出的长度，进而得的长度，则可求得点表示的数． 【详解】解：由勾股定理得， 由作图知， 则点表示的数为． 6．（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图1，教材有这样一个探究，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的大正方形面积为______，它的边长就是原边长为小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为______； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为_______； (3)请你参照上面的方法：把图中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的面积是______，则长为宽为的长方形的对角线长为________．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙） (4)参照图的画法，在（）的基础上，画出数轴上表示数以及的点、．（图中保留必要的作图痕迹）． 【答案】(1)； (2) (3)； (4)图形见解析 【难度】0.43 【知识点】无理数、实数与数轴 【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解． （1）根据题意，得到大正方形的面积，求出边长，即可得到小正方形的对角线； （2）由（1）可得边长为的正方形的对角线为，再根据数轴，即可得到点表示的数； （3）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可； （4）从原点开始画一个长是，高是的长方形，对角线长即是，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点，再把这个长方形向左平移个单位，用同样的方法得到点． 【详解】（1）解：由图可得，大正方形的面积为， ∴边长为： ∴小正方形对角线为：． （2）解：由题意可得，小正方形的边长为， ∴对角线为， ∴点表示的数为：． （3）解：如图所示： ∵长方形的面积为 ∴拼成的正方形的面积也为； ∴正方形的边长为： ∴长为宽为的长方形的对角线长为． （4）解：如图，即为所求． 7．（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）综合与实践：小谦在学完“无理数”后非常兴奋，想自己动手探索“如何在数轴上表示无理数”，于是按照课堂学习的过程，开展了下面的探索： 探索“如何在数轴上表示无理数” 工具准备：两张边长为1个单位长度的正方形卡纸；若干张白纸，铅笔，记号笔，剪刀，圆规等． 操作一：如图1，把两张边长为1个单位长度的正方形卡纸分别沿对角线裁开后拼成一个边长为的大正方形． (1)大正方形的面积为______；小正方形的对角线长为______． 操作二：如图2，在白纸上画出数轴，将边长为1个单位长度的正方形卡纸如图放置，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与坐标轴分别交于点，点． (2)点表示的数为______；点表示的数为______． 操作三：在上面数轴上用记号笔标出点的位置，表示数2的点记为，原点记为点，然后将数轴的正半轴剪下，得到如图3的“纸条”． (3)______；______； (4)如图4，将“纸条”沿着点对折，则点的对应点表示的数为______． 【答案】(1)2，； (2)，； (3)，； (4)． 【难度】0.62 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】（1）两个边长为1的小正方形面积和等于大正方形面积；由勾股定理求小正方形对角线； （2）圆半径为，原点右侧A为正数、左侧B为负数； （3）是圆的半径；用计算； （4）折叠后是、中点，利用中点公式求对应的数． 【详解】（1）解：小正方形面积：，两个小正方形总面积，因此拼成的大正方形面积为． 小正方形边长为，由勾股定理，对角线长． （2）解：圆半径等于小正方形对角线长． 点在原点右侧，故表示的数为； 点在原点左侧，故表示的数为． （3）解：是圆的半径，因此； 表示数字，即， ． （4）解：纸条沿对折，说明是线段的中点． ， 则点表示的数为． 8．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，半径为 个单位长度的圆片上有一点与数轴上的原点重合．（所有结果均保留） (1)若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点，设点表示的数为．求的值： (2)若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：，，，，． ①第几次滚动后，点距离原点最近？第几次滚动后，点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，点运动的路程共有多少？此时点所表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)①第四次滚动距离原点最近，第三次滚动距离原点最远； ②点运动的路程共有，此时点所表示的数是 【难度】0.57 【知识点】正负数的实际应用、有理数的加减混合运算、实数与数轴 【分析】（1）将的值代入，计算算术平方根即可得； （2）①分别求出第次滚动后，点距离原点的距离，由此即可得； ②先将滚动记录的数字的绝对值相加，再乘以即可得点运动的总路程；先将滚动记录的数字相加，再乘以即可得此时点所表示的数． 【详解】（1）解：该圆片滚动一周的距离为， ∵该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点， ∴点表示的数； （2）解：①第1次滚动后，，点距离原点2周， 第2次滚动后，，点距离原点1周， 第3次滚动后，，点距离原点4周， 第4次滚动后，，点在原点处， 第5次滚动后，，点距离原点3周， 由此可知，第4次滚动后，点距离原点最近；第3次滚动后，点距离原点最远； ②∵， ∴当圆片结束运动时，点运动的路程共有； ∵， ∴当圆片结束运动时，此时点所表示的数是． 9．（25-26八年级下·全国·周测）解答下列问题： (1)在图①所示的数轴上作出表示的点，并写出作法． (2)如图②，在中，．若是的中点，于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.4 【知识点】实数与数轴、用勾股定理解三角形、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）作直角三角形，使，，利用勾股定理可计算出，然后以为圆心，为半径画弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为 （2）连接，根据勾股定理可知，由此得证． 【详解】（1）解：如图①，点在表示0的位置上，点在表示的位置上，即． 过点向上（垂直于数轴的方向）取，连接，则． 以点为圆心，的长为半径画弧，该弧与数轴的交点即为表示的点． （2）证明：如图②，连接． 是的中点， ． 又，， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ． 10．（25-26八年级上·广东清远·阶段检测）如图，正方形的面积为，顶点在数轴上且表示的数为，点在数轴上，且，，点是数轴上的一个动点． (1)线段的长为___________，点所表示的数为___________； (2)当点表示的数为多少时，和全等？请说明理由； (3)若是等腰三角形，则点表示的数为多少？直接写出所有符合条件的答案． 【答案】(1)，； (2)当点所表示的数为时，和全等，理由见解析； (3)点表示的数为或或或． 【难度】0.4 【知识点】实数与数轴、等腰三角形的定义、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（）由正方形的面积为，得，根据勾股定理得，从而可得点所表示的数为； （）由四边形是正方形，则，，由和全等，判断只有时，所以，从而可得当点所表示的数为时，和全等； （）分当或时，当时，当时进行分析求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵顶点在数轴上且表示的数为， ∴点所表示的数为， 故答案为：，； （2）解：当点所表示的数为时，和全等，理由如下， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵和全等， ∴只有， ∴， ∵顶点在数轴上且表示的数为， ∴点所表示的数为， ∴当点所表示的数为时，和全等； （3）解：如图，当或时， ∴点所表示的数为或点所表示的数为； 如图，当时，过作， ∴， 同（）得， ∴， ∴点所表示的数为； 如图，当时，过作， 同（）得，， 设，则， ∴， ∴，解得：， ∴点所表示的数为； 综上可得：点表示的数为或或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，算术平方根，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，实数与数轴等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 11．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是____________ (2)求的值 (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c、d，且实数c满足，实数d表示面积为27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程． 【答案】(1) (2) (3)在点B的右侧，过程见解析 【难度】0.4 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较 【分析】本题主要考查实数与数轴，化简绝对值，相反数的意义，非负数的性质及算术平方根的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值与算术平方根的意义． （1）根据利用数轴表示数的方法求解即可； （2）将m的值代入，判断、的正负，然后化简绝对值计算即可； （3）先根据求出，再求出，再根据题意求出小蚂蚁最后的位置表示的数，进一步判断出在点B的左侧还是右侧即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， 则，， ∴ （3）在点B的右侧， 理由：∵， ∴， 解得， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∵实数d表示面积为27的正方形的边长， ∴， ∵小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，爬行时间为2秒， ∴小蚂蚁爬行的路程为个单位长度， ∵点C表示的数为，点D表示的数为， ∴， ∴此时小蚂蚁的位置表示的数为， ∵，且， ∴， ∴小蚂蚁在原点右侧， 则， ∵，， ∴ ∴在点B的右侧． 重难点五、实数的大小比较 常用方法：数轴比较法、平方比较法、作差法。正数大于 0，负数小于 0；两个负实数，绝对值大的数值更小。对于带根号实数，可同时平方去掉根号比较；多个实数排序，先区分正负，再对同类数字估算大小。 1．（25-26七年级下·福建厦门·期末）下列各数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】实数的大小比较 【详解】∵负数小于，小于正数，在四个选项的数中，只有是负数， ∴， ∴最小的数是． 2．（2022·浙江台州·模拟预测）大于且小于的整数的个数有（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算、实数的大小比较 【分析】通过平方法比较平方数的大小，确定两个无理数的取值范围，再统计范围内的整数个数． 【详解】解：， 又， ， ， ，， 满足条件的整数有、、、0、1、2、3、4，共8个． 3．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，家用小型长方体保温箱，蚂蚁位于保温箱底部处，它想到箱体顶部点寻找掉落的面包碎屑，它沿长方体的侧面爬行的最短距离是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、实数的大小比较 【分析】分三种情况，展开长方体的侧面，分别利用勾股定理求出的长，比较大小即可． 【详解】解：展开长方体的侧面（如图），连接， 由勾股定理得， 图（1）中， 图（2）中， 图（3）中， ， 它沿长方体的侧面爬行的最短距离是10． 4．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期末）在，，，0中，最小的数是____________． 【答案】 【难度】0.9 【知识点】实数的大小比较 【详解】解：，，， ， 最小的数是． 5．（25-26七年级下·吉林四平·期末）比较大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】实数的大小比较 【分析】比较两个非负数的大小，可对两个数分别平方，通过比较平方结果的大小判断原数大小，平方结果更大的原数更大． 【详解】解：对两个数分别平方，可得，， ∵， ∴． 6．（2022·陕西·模拟预测）比较大小：_____(填，， 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实数的大小比较 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）已知四个数满足，则之间的大小关系是____________．（用“”连接） 【答案】 【难度】0.4 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了用字母表示数，比较数的大小，熟练掌握相关知识点是解题关键．设，得的表达式，通过比较常数项与的关系即可确定大小． 【详解】解：设，则 ，，，。 比较差值： ，故 ； ，故 ； ，故 。 因此，大小关系为 ； 故答案为： ． 8．（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）如图1，探究：把两个面积为的小正方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，因此，可得大正方形的边长为．启发：把两个长为3、宽为2的长方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形． (1)求的值； (2)比较和的大小． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.62 【知识点】算术平方根的实际应用、无理数的大小估算、实数的大小比较 【分析】（1）根据大正方形面积＝空白部分面积+4个直角三角形的面积，通过计算得出的值； （2）由（1）可确定k的取值范围，再确定的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意，得， 即，解得或（舍去）． 因此的值为. （2）解：，即， ． ． 9．（25-26八年级下·江苏盐城·期末）明回看自己的《学习笔记》： 学习笔记 问题1： 已知的三边长分别为，，，求的面积． 思考1： 问题2： 在实数范围内因式分解：． 思考2： ． 思考3： 与的大小关系是确定的． 请与小明一起思考，完成下列问题： (1)写出“问题1”的解答过程； (2)①“思考3”中与的大小关系是________； ②当，时，与的大小关系是________，说明理由； (3)根据上面的活动经验，完成问题： 已知的三边长分别为，，，且．求面积的最大值． 【答案】(1)解：的三边长分别为，，， 且， ， ， 故． (2)①解： ， 故即； ②解：，理由是： ． ， ． ． ， ，． ． 即． ． (3)50 【难度】0.42 【知识点】勾股定理与网格问题、运用完全平方公式进行运算、判断三边能否构成直角三角形、实数的大小比较 【分析】（1）利用勾股定理逆定理判定三角形的形状，再利用直角三角形的面积公式求解即可； （2）①利用平方幂的非负性，建立不等式求解即可； ②利用非负性求解即可； （3）表示出面积，利用前面的不等式结论，结合，求得面积的最大值即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，． 如图， 在两邻边长分别为的矩形中，构造，其中，，． ． ， ． ．即面积的最大值为50． 重难点六、勾股定理与无理数 利用勾股定理构造长度为无理数的线段，在网格或者数轴作图题高频使用。以整数长度为直角边，斜边常为无理数；作图时借助方格画出直角三角形，再用圆规平移线段到数轴上，实现无理数的数轴定位。 1．（25-26八年级下·山西大同·期末）如图．点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是1，线段与数轴垂直，且．以A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数、用勾股定理解三角形 【分析】首先利用勾股定理求出，然后得到，即可得到点D表示的数． 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图得，， ∴， ∴点D表示的数是． 2．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，若边长为1的等腰直角三角形的一条直角边在数轴上，数轴上点所表示的数为，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】通过图形可知，利用勾股定理求出，可以求出，即可解答． 【详解】解：由图可知， 由图形可知， 根据勾股定理得：， ∴， ∴A表示的数为，则． 3．（25-26八年级下·湖北黄石·期中）某班级的四个数学小组在制作直角三角形模型，分别以下列各组数为边，其中不能组成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．，， C．6，8，10 D．7，24，25 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与无理数、判断三边能否构成直角三角形 【详解】解：A．， ∴3，4，5能组成直角三角形，该选项不符合题意； B．，，， ∴，，不能组成直角三角形，该选项符合题意； C．， ∴6，8，10能组成直角三角形，该选项不符合题意； D．， ∴7，24，25能组成直角三角形，该选项不符合题意； 4．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，于点B，且．连接，在上截取，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【难度】0.6 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数、用勾股定理解三角形 【分析】先根据勾股定理求出的长，再结合求出的长，最后根据圆的半径相等得出的长，从而确定点表示的数． 【详解】解：由题意可知，点表示，点表示， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点， ∴， ∵点表示的数为，且点在点的右侧， ∴点表示的实数是． 5．（23-24八年级下·内蒙古·期中）如图，数轴上点表示的数为1，点，，在的正方形网格的格点（网格线的交点）上．以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点，则点表示的数为____________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键． 直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案． 【详解】解：， ， ， ，， ， ， ∴点所表示的数为：． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）如图，通过画边长为的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则点表示的实数为_____．（结果保留根号） 【答案】 【难度】0.4 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据勾股定理可得，经过逐步推理计算即可． 【详解】解：由题意可得，， 且右侧最近的整数点为， 表示的数是， ， 表示的数是． 且右侧最近的整数点为， 表示的数是， ， 表示的数是． 故答案为：． 7．（21-22八年级上·河南郑州·阶段检测）解决下列问题： (1)写出两个无理数，使它们的差为，并写出具体算式； (2)如图2，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 ； (3)有理数a、b、c在数轴上的位置如图1所示，试化简：． 【答案】(1)两个无理数分别是和， (2) (3)0 【难度】0.52 【知识点】整式的加减运算、数轴上两点之间的距离、无理数、实数与数轴、勾股定理与无理数、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】（1）根据无理数的定义写出一个无理数，然后写出另一个无理数等于其加5的和即可； （2）先利用勾股定理求出正方形对角线长，再根据数轴上两点之间的距离求解即可． （3）根据数轴上各点的位置，可以判断出，，即，，，由此进行化简即可； 【详解】（1）解：两个无理数分别是和， ∴． （2）解：正方形的对角线长， ∵以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧， 且点A在原点的左侧， ∴点A表示的数为：． （3）解：根据数轴可知∶，， ∴，，， ∴ 8．（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）图1，图2均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形． (1)在图1中画一条长度等于的线段． (2)只用无刻度的直尺在图2中，画一格点，使得． 【答案】(1)如图，线段即为所求； (2)如图，点即为所求． 【难度】0.7 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题、格点作图题、勾股定理与无理数 【分析】（1）根据作图即可； （2）根据网格和勾股定理构造等腰直角三角形即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴． 9．（23-24七年级下·广东韶关·期中）阅读材料，完成任务． 材料1：数形结合是重要的数学思想．按照图1所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图2和图3所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数m． 材料2：实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图4，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 材料3：如图5，改变图4中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数．按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点． 任务： (1)材料1中，无理数m是________，画图确定表示m的点M； (2)如图5，点B表示的数为________，点表示的数为________； (3)数轴上分别标出表示数-0.5以及的点，并比较它们的大小． (4)若，，求代数式的值，并在数轴上表示对应的点． 【答案】(1) 解：由勾股定理得：，如图，M点表示的数为； (2)， (3) 点A表示，点B表示，表示数和的点如图所示： ． (4) 由（1），得，， 原式 ． 【难度】0.4 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，掌握数轴上确定表示无理数所在点的位置的方法，是解题的关键． （1）根据图形，利用勾股定理求出大正方形的边长，即可，根据数轴构造无理数的方法，作图即可； （2）由图可知，点到1的距离为，根据两点间的距离即可得出结果； （3）以为圆心，为半径化弧，与数轴的交点到的距离即为，确定点位置，进行比较即可； （4）将的值代入，化简绝对值，然后在数轴上表示出结果即可． 【详解】（1）略 （2）由图可知，点到1的距离为， ∴点B表示的数为，点表示的数为：； 故答案为：，； （3）略 （4）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题01 认识实数 模块一、无理数 重难点一、无理数 区分核心定义：无限不循环小数叫做无理数。常见三类：开方开不尽的数、含 π 的式子、特定无限不循环小数。注意有限小数、无限循环小数属于有理数，不要误认为带根号就是无理数。判断题优先化简，化简后再判断类别。 1．（2026·浙江绍兴·二模）科学生活中常会遇到各类常数，下列实数中，属于无理数的是（     ） A．“常压下水的沸点是”中的100 B．“氧气在空气中的占比约为”中的 C．“月球公转周期27天”中的27 D．“圆周率π”中的π 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）以下说法错误的是（    ） A．无理数是无限小数 B．0.202202220…（相邻两个0之间依次多一个2）是无理数 C．无理数是带根号的数 D．无理数不可能是分数 3．（25-26八年级上·山西太原·期中）无理数和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映．下列四个数中，是无理数的是（   ） A．0.618 B． C． D． 4．（25-26七年级下·河北沧州·期末）关于的叙述，下列不正确的是（     ） A．是无理数 B．在数轴上可以找到表示的点 C． D．周长为8的正方形的边长是 5．（25-26七年级下·北京·期末）有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，以1个单位长度为直径的圆从原点开始，沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点．点对应的数是无理数，则这个无理数的小数部分为________． 7．（24-25八年级上·山西临汾·期中）综合与实践 如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． (1)图2中A、B两点表示的数分别为______，_____． (2)请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长_____；（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上用点M表示数．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法．） 8．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）图1、图2、图3均为网格，每个小正方形的边长为1．请在三幅图中各画出一个顶点均在格点上的直角三角形，且满足对应边长要求． (1)在图1中，画出的直角三角形三边长，仅有一条边长是无理数，另外两条边长均是有理数； (2)在图2中，画出的直角三角形三边长，仅有两条边长是无理数，另外一条边长是有理数； (3)在图3中，画出的直角三角形三边长都是无理数． 重难点二、无理数的大小估算 采用 “夹逼法” 估算无理数，先找到相邻两个整数平方，锁定被开方数区间，确定无理数整数部分；求小数部分用原无理数减去整数部分。比较同类根式可比较被开方数，估算后能完成取值、整数部分相关题型。 1．（2026·北京·模拟预测）下列整数中与最接近的是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·广西南宁·期中）无理数位于（     ）之间． A．和 B．和 C．和 D．和 4．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，数轴上表示的点落在（     ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 5．（25-26七年级下·云南红河·阶段检测）正五角星是常见的图案，如图，在画正五角星时需满足．人们把这个数叫做黄金分割数．用你学过的知识估计的值应在（     ） A．0.1和0.5之间 B．0.5和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 6．（2026·云南昆明·二模）中国古代建筑中蕴含着精妙的数学美学，许多经典楼阁的窗框比例接近黄金比．若某古建筑的窗高与窗宽的比值为，估计的值应该在（　　） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 7．（25-26七年级下·湖北鄂州·期末）人教版七年级下册数学课本第58页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得，两边平方得，即 ①； 故是偶数，因为只有偶数，其平方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数），代入①得，=________ 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾， 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【运用并解决】类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数； (3)【迁移与应用】长方形画纸的面积为，长与宽的比为，小明同学想从中裁出半径为的圆形画纸，他的想法可行吗？请说明理由． 8．（2022七年级·湖南长沙·竞赛）设，，，，都是有理数，是无理数． 求证： (1)当时，是有理数； (2)当时，是无理数． 9．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 (1)请写出在哪两个连续整数之间： ； (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 10．（25-26七年级下·江西南昌·期末）若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ，． ．． 请根据上述方法解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为，第二块面积为，小智想知道第一块玻璃的边长比多出的长度，与第二块玻璃的边长比少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：，，，） 11．（2026·浙江温州·二模）【阅读理解】 同学们，我们来学习用平方差公式：近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为，所以． 则有以下两种估算方式： 方式一： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 方式二： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 【比较分析】 (1)你认为用哪一种方式得出的的近似值精确度更高，请说明理由． 【迁移应用】 (2)请选择其中一种方式估算的近似值（结果保留2位小数）． 12．（20-21七年级下·上海杨浦·期中）阅读下面的文字，解答问题． 对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差． 例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2． （1）仿照以上方法计算：[]＝　 　{5﹣}＝　 　； （2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：　 　． （3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝　 　，n＝　 　． 模块二、实数 重难点一、实数概念理解 有理数与无理数统称为实数。有理数能够写成两个整数之比，无理数不能。所有实数都可以写成小数形式；做题警惕误区，例如带根号的数不一定是无理数。实数延续有理数的运算规则，可进行加、减、乘、除、乘方运算。 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（   ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它可以表示成分数形式 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）设实数满足，且任意两数之和共10个数中最小的三个数是32、36、37，最大的两个数是48、51．则______． 3．（第十二章实数【专项训练】-2020-2021学年七年级数学下学期期末专项复习（沪教版））判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．( ) (2)无理数都是无限小数．( ) (3)无限小数都是无理数．( ) (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．( ) (5)不带根号的数都是有理数．( ) (6)带根号的数都是无理数．( ) (7)有理数都是有限小数．( ) (8)实数包括有限小数和无限小数．( ) 4．（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）已知m，n是有理数，且，的值为_______． 5．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）如图，一游戏规则如下：请同学们心里想一个非零的实数，然后各自把这个数按照下面的程序进行计算． (1)当输入的实数为时，求输出的值是多少． (2)小康说：“无论同学们心里想的是哪个实数，我都可以准确地说出计算结果．”你认为小康的说法正确吗？请判断并说明理由． 6．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）数轴上有A，B两点分别表示实数a和b，且满足． (1)______；______； (2)点P以每秒1个单位长度的速度从点A向右匀速运动，多长时间它与点B相距2个单位长度？ 7．（21-22八年级下·安徽滁州·阶段检测）一组实数按如下规律排列：，___，_____． (1)两条横线上的实数分别____； (2)第11、12个实数分别是_____． 重难点二、实数的分类 实数有两种分类方式：按定义分为有理数、无理数；按正负分为正实数、0、负实数。分类前务必先化简数字，再归类。0 是特殊实数，既不是正数也不是负数。整理数集题目，逐一化简筛选，避免重复、漏写数字。 1．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）毕达哥拉斯学派发现无理数，这是数学史上的一件大事．在，，0，，，，，，这些数中，无理数的个数有______个． 2．（2022·河南郑州·模拟预测）数，，，－，，，0.301300130001…（3和1之间依次多一个0）中，无理数的个数为______． 3．（25-26七年级下·青海西宁·期中）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各数填在相应的括号里：，，，0，，，2.9，1.3030030003…（相邻两个3之间依次多一个0）． （1）整数：{                                                    …}； （2）分数：{                                                    …}； （3）无理数：{                                                    …}． 5．（25-26八年级上·江西萍乡·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） (1)整数集合：{____________…}； (2)分数集合：{____________…}； (3)负有理数集合：{____________…}； (4)无理数集合：{____________…}． 6．（25-26七年级下·吉林松原·期中）数学文化节主办方邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位．到访的“实数”嘉宾名单如下： （每两个“1”之间依次多一个“0”）． (1)主办方需要准备__________个“无理数”的席位； (2)请为“实数”嘉宾们安排合适的席位，并填入对应的区域内． “整数”席：（   ）； “分数”席：（    ）． 7．（25-26七年级下·全国·周测）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）． (1)有理数集合：{                                     …}； (2)无理数集合：{                                     …}； (3)正实数集合：{                                     …}； (4)负实数集合：{                                     …}． 8．（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知代数式（n为正整数）． (1)当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）；当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）； (2)可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？ 重难点三、实数的性质 实数范围内相反数、倒数、绝对值规则和有理数一致。实数a相反数为\(-a\)；非 0 实数才有倒数；正数绝对值是自身，负数绝对值是相反数。化简含根号绝对值式子，先判断根号内式子正负，再去掉绝对值符号完成化简。 1．（25-26七年级下·重庆·期中）对实数进行如下操作：先将其乘以2，再将所得的结果加上5，称为第一次操作，记结果为，将第一次操作的结果按相同规则再操作一次，得到第二次操作的结果，记为，以此类推，重复操作．记，则下列说法中正确的个数是（   ） ①当时，，； ②若，则； ③若为整数，则是偶数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各数的相反数和绝对值： (1)． (2)． ．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 4．（第02讲实数（知识梳理 3课本习题典例 8题型 过关检测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版2024））判断下列说法是否正确： (1)无理数的平方一定是正数； (2)两个无理数的积仍为无理数； (3)分数一定可化为有限小数或无限循环小数． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）写出所有符合下列条件的数： (1)小于的所有正整数； (2)大于且小于的所有整数； (3)绝对值小于的所有整数． 6．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图是三个的正方形方格，每个正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点就是格点． (1)线段的长度为________； (2)请在图中找到所有满足条件的格点，连接，使得； (3)在（2）的基础上，连接，计算的面积． 7．（25-26八年级下·山东枣庄·阶段检测）阅读理解并解答： 【方法呈现】 (1)我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ∵， ∴． 则这个代数式的最小值是_____，这时相应的的值是_______． 【尝试应用】 (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值， 【拓展提高】 (3)已知a，b，c是的三边长，满足，且c是中最长的边，求c的取值范围． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明． (1)已知两个实数a，b，则． (2)两个无理数的和一定是无理数． 9．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式. 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况： ； ； ． 从而化简代数式可分以下种情况： 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上讨论，. 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简． 重难点四、实数与数轴 核心结论：实数和数轴上的点一一对应。任意实数都能在数轴找到对应点，数轴任意一点对应唯一实数。可借助勾股定理在数轴上画出无理数对应的线段；利用数轴位置直观判断实数大小，右边数字恒大于左边数字。 1．（2026·江苏南京·三模）实数在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列四个点中，表示原点的可能是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·天津宝坻·期末）如图，在数轴上找出表示的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川南充·阶段检测）如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 4．（21-22八年级下·广西河池·阶段检测）如图，数轴上点A表示的实数是______． 5．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是________． 6．（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图1，教材有这样一个探究，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的大正方形面积为______，它的边长就是原边长为小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为______； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为_______； (3)请你参照上面的方法：把图中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的面积是______，则长为宽为的长方形的对角线长为________．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙） (4)参照图的画法，在（）的基础上，画出数轴上表示数以及的点、．（图中保留必要的作图痕迹）． 7．（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）综合与实践：小谦在学完“无理数”后非常兴奋，想自己动手探索“如何在数轴上表示无理数”，于是按照课堂学习的过程，开展了下面的探索： 探索“如何在数轴上表示无理数” 工具准备：两张边长为1个单位长度的正方形卡纸；若干张白纸，铅笔，记号笔，剪刀，圆规等． 操作一：如图1，把两张边长为1个单位长度的正方形卡纸分别沿对角线裁开后拼成一个边长为的大正方形． (1)大正方形的面积为______；小正方形的对角线长为______． 操作二：如图2，在白纸上画出数轴，将边长为1个单位长度的正方形卡纸如图放置，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与坐标轴分别交于点，点． (2)点表示的数为______；点表示的数为______． 操作三：在上面数轴上用记号笔标出点的位置，表示数2的点记为，原点记为点，然后将数轴的正半轴剪下，得到如图3的“纸条”． (3)______；______； (4)如图4，将“纸条”沿着点对折，则点的对应点表示的数为______． 8．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，半径为 个单位长度的圆片上有一点与数轴上的原点重合．（所有结果均保留） (1)若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点，设点表示的数为．求的值： (2)若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：，，，，． ①第几次滚动后，点距离原点最近？第几次滚动后，点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，点运动的路程共有多少？此时点所表示的数是多少？ 9．（25-26八年级下·全国·周测）解答下列问题： (1)在图①所示的数轴上作出表示的点，并写出作法． (2)如图②，在中，．若是的中点，于点，求证：． 10．（25-26八年级上·广东清远·阶段检测）如图，正方形的面积为，顶点在数轴上且表示的数为，点在数轴上，且，，点是数轴上的一个动点． (1)线段的长为___________，点所表示的数为___________； (2)当点表示的数为多少时，和全等？请说明理由； (3)若是等腰三角形，则点表示的数为多少？直接写出所有符合条件的答案． 11．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是____________ (2)求的值 (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c、d，且实数c满足，实数d表示面积为27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程． 重难点五、实数的大小比较 常用方法：数轴比较法、平方比较法、作差法。正数大于 0，负数小于 0；两个负实数，绝对值大的数值更小。对于带根号实数，可同时平方去掉根号比较；多个实数排序，先区分正负，再对同类数字估算大小。 1．（25-26七年级下·福建厦门·期末）下列各数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 2．（2022·浙江台州·模拟预测）大于且小于的整数的个数有（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，家用小型长方体保温箱，蚂蚁位于保温箱底部处，它想到箱体顶部点寻找掉落的面包碎屑，它沿长方体的侧面爬行的最短距离是（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期末）在，，，0中，最小的数是____________． 5．（25-26七年级下·吉林四平·期末）比较大小：________．（填“”“”或“”） 6．（2022·陕西·模拟预测）比较大小：_____(填，， 7．（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）已知四个数满足，则之间的大小关系是____________．（用“”连接） 8．（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）如图1，探究：把两个面积为的小正方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，因此，可得大正方形的边长为．启发：把两个长为3、宽为2的长方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形． (1)求的值； (2)比较和的大小． 9．（25-26八年级下·江苏盐城·期末）明回看自己的《学习笔记》： 学习笔记 问题1： 已知的三边长分别为，，，求的面积． 思考1： 问题2： 在实数范围内因式分解：． 思考2： ． 思考3： 与的大小关系是确定的． 请与小明一起思考，完成下列问题： (1)写出“问题1”的解答过程； (2)①“思考3”中与的大小关系是________； ②当，时，与的大小关系是________，说明理由； (3)根据上面的活动经验，完成问题： 已知的三边长分别为，，，且．求面积的最大值． 重难点六、勾股定理与无理数 利用勾股定理构造长度为无理数的线段，在网格或者数轴作图题高频使用。以整数长度为直角边，斜边常为无理数；作图时借助方格画出直角三角形，再用圆规平移线段到数轴上，实现无理数的数轴定位。 1．（25-26八年级下·山西大同·期末）如图．点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是1，线段与数轴垂直，且．以A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，若边长为1的等腰直角三角形的一条直角边在数轴上，数轴上点所表示的数为，则为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖北黄石·期中）某班级的四个数学小组在制作直角三角形模型，分别以下列各组数为边，其中不能组成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．，， C．6，8，10 D．7，24，25 4．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，于点B，且．连接，在上截取，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（     ） A． B．1 C． D． 5．（23-24八年级下·内蒙古·期中）如图，数轴上点表示的数为1，点，，在的正方形网格的格点（网格线的交点）上．以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点，则点表示的数为____________． 6．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）如图，通过画边长为的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则点表示的实数为_____．（结果保留根号） 7．（21-22八年级上·河南郑州·阶段检测）解决下列问题： (1)写出两个无理数，使它们的差为，并写出具体算式； (2)如图2，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 ； (3)有理数a、b、c在数轴上的位置如图1所示，试化简：． 8．（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）图1，图2均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形． (1)在图1中画一条长度等于的线段． (2)只用无刻度的直尺在图2中，画一格点，使得． 9．（23-24七年级下·广东韶关·期中）阅读材料，完成任务． 材料1：数形结合是重要的数学思想．按照图1所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图2和图3所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数m． 材料2：实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图4，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 材料3：如图5，改变图4中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数．按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点． 任务： (1)材料1中，无理数m是________，画图确定表示m的点M； (2)如图5，点B表示的数为________，点表示的数为________； (3)数轴上分别标出表示数-0.5以及的点，并比较它们的大小． (4)若，，求代数式的值，并在数轴上表示对应的点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $