专题02 勾股定理与实际问题13类热考题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 以“建模定形—求解验证”为核心通法，系统归纳13类实际问题题型，通过典例精讲与变式训练，构建“情境—模型—应用”的完整解题逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳+13类题型|13类题型各含1典例+3变式|每类题型提炼特征、方法步骤及易错提醒，如梯子滑落问题“双直角三角形斜边不变”|从实际情境抽象直角三角形模型，应用勾股定理及逆定理求解，强化几何直观与模型意识|

专题02 勾股定理与实际问题13类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、梯子滑落高度 1 类型二、求旗杆高度 2 类型三、求小鸟飞行距离 5 类型四、求大树折断前高度 6 类型五、解决水杯中筷子问题 7 类型六、解决航海问题 9 类型七、求河宽 11 类型八、求台阶上地毯长度 12 类型九、判断汽车是否超速 13 类型十、判断是否受台风影响 14 类型十一、选址使两地距离相等 16 类型十二、求最短距离 18 类型十三、勾股定理逆定理与实际问题 20 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 勾股定理与实际问题是将几何知识应用于现实情境的核心内容，所有题型均围绕实际问题建模、直角三角形构造、勾股定理求解三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是 "建模定形"—— 把实际问题中的物体、路径、位置关系抽象为几何图形，识别或作辅助线构造直角三角形，明确哪条边是斜边、哪两条是直角边；二是 "求解验证"—— 用勾股定理列式求解，求出的长度必须符合实际意义（为正、大小合理），涉及逆定理判定的先验证三边关系。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、梯子滑落高度 典例精讲1（26-27八年级上·全国·课后作业）一架长的梯子靠在墙壁上，梯子的底部离墙，如果梯子的顶部滑下，梯子的底部向外滑出多远？ 题型归纳 1.特征：梯子靠墙，滑动后顶端或底端移动，求移动距离或某边长度。 2.方法：梯子长不变，是直角三角形的斜边→分别画出滑动前后两个直角三角形→用勾股定理求各位置直角边→作差求移动量。 3.易错提醒：梯子长度（斜边）在两个位置保持不变；顶端下降量与底端外移量不相等，须分别求出再比较。 变式训练1（25-26八年级下·山东德州·期末）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离； (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 变式训练2（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：） 变式训练3（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，向左滑动滑块B，物体C升高．滑块B移动距离比物体C升高高度多，求此时物体C升高了多少？ 类型二、求旗杆高度 典例精讲2（25-26八年级下·安徽六安·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为16米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？ 题型归纳 1.特征：旗杆（或树、建筑物）拉绳、系绳或利用影子等情境，求其高度。 2.方法：旗杆与地面垂直，与绳长构成直角三角形→标出斜边（绳长）与直角边→用勾股定理求竖直高度。 3.易错提醒：绳长对应斜边，勿与竖直高度混淆；如绳子分两部分（系住部分、多余部分）须先算出实际参与构成三角形的绳长。 变式训练1（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）某旗杆位于八级台阶的平台上（每个台阶的高度为）．甲、乙两个数学兴趣小组分别对旗杆的高度进行了探究； 甲：如图1，测得每个台阶的宽度为，最上面台阶宽度为．在点D处测得，点D到台阶最低点M的距离为． 乙：如图2，旗杆上的绳子长，将绳子拉直后测出绳子的末端P到台阶最低点M的距离为．将绳子加长后再拉直，绳子末端位于地面点Q处，测得．Q，P，M，C在同一条直线上． (1)根据甲组的测量数据，的长为________m； (2)根据乙组的测量数据，求旗杆的高度． 变式训练2（25-26八年级上·河南郑州·期末）小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，小华的身高为1.8米． (1)在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 变式训练3（25-26八年级上·广东深圳·期中）在城市建筑测量中，经常会用到几何知识．小明家附近有一栋居民楼，楼顶处刚好有一根绳子（）垂直落到地面，绳子（）比楼高（）多米．小明想了解楼的高度，于是他把绳子拉开米时（即米），绳子（）刚好举过头顶，小明的身高是米（即米），小明能够求出这栋居民楼的高度，请帮小明写出完整的过程． 类型三、求小鸟飞行距离 典例精讲3（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）如图，有两棵树，一棵高，一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行（   ）m A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：小鸟从一点飞到另一点，涉及竖直高度与水平距离，求飞行路程。 2.方法：将高度差、水平距离看作两直角边→飞行路径为斜边→用勾股定理计算飞行距离。 3.易错提醒：高度差须用两位置高度相减求得；方向须对应直角边，斜边才是实际飞行路程。 变式训练1（25-26八年级上·河北沧州·期末）有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树的一棵大树上，大树高，且巢离树顶部．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为，那它至少需要时间___才能赶回巢中． 变式训练2（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 变式训练3（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，已知某山的高度为800米，从山上A处与山下B处各建一个索道口，且米，，欢欢从山下索道口B坐缆车沿索道到山顶A，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能到达山顶？ 类型四、求大树折断前高度 典例精讲4（26-27八年级上·全国·课后作业）折竹抵地（源自《九章算术》）： 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？ 意即： 一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远．求折断后竹子离地面的高度． 题型归纳 1.特征：大树被风吹断，折断部分落地，求树原来的高度。 2.方法：折断处以上部分为斜边、水平地面距离与剩余树干分别为两直角边→用勾股定理求斜边→原高度 = 剩余树干 + 斜边。 3.易错提醒："折断前高度" 是剩余树干与折断部分之和，勿只求折断部分；地面距离是断端到树根的水平距离。 变式训练1（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，由于大风，山坡上的树甲从点处被拦腰折断，其树顶端恰好落在树乙的根部处．已知树甲的部分主干水平线，树乙垂直水平线，经测量，树甲的根部与点的距离米，两棵树的根部距离米，两棵树的水平距离为12米，请根据以上数据，求树甲折断前的高度． 变式训练2（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 变式训练3（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 类型五、解决水杯中筷子问题 典例精讲5（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 题型归纳 1.特征：筷子插入杯中，露出部分长度变化，求杯深、杯径或筷子长度。 2.方法：杯中部分（斜边）、杯深与杯口直径构成直角三角形→利用勾股定理或露出的长度差列式求解。 3.易错提醒：筷子的不同倾斜位置对应不同的斜边；露出长度 = 筷子总长−杯中部分，勿直接相加。 变式训练1（25-26八年级下·北京·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度（1丈等于10尺）． 变式训练2（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面1米，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水中，仔细观察发现荷花偏离原地3米，请问：水深和荷花的高度各是多少米？    变式训练3（23-24八年级下·广东湛江·阶段检测）将一根长是的细木棒置于内部底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设细木棒露在杯子外的部分的长为，请探究h的取值范围． 类型六、解决航海问题 典例精讲6（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）小颖的爸爸在航海运输公司工作，他给小颖出了一个与航海有关的问题．在港有两艘货轮甲船和乙船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时海里的速度前进．两船同时出发，两小时后，甲船到岛，乙船到岛，试求岛与岛之间的距离． 题型归纳 1.特征：船沿两个方向航行（如先向东后向北），求距离出发点的直线距离或相关量。 2.方法：两段航程看作两直角边→直线距离为斜边→用勾股定理计算；涉及方向角时先转化为角度关系。 3.易错提醒：航向变化（如东转北）构成直角才可直接用勾股定理；非直角转向须先构造直角三角形。 变式训练1（25-26八年级下·重庆巴南·期末）一巡逻船在点处发现正北方向 海里的 点处，有一艘可疑船正沿 点的北偏东方向行驶，行驶速度 海里每小时，在巡逻船的北偏东方向有一个补给点，点在点 的正东方向．（参考数据： ， ） (1)巡逻船先直接去点补给，再沿点的正北方向行驶，准备在可疑船行驶路线上的点拦截可疑船，求的距离（结果保留一位小数）； (2)若巡逻船沿点 的路线以每小时 海里的速度行驶，补给所需时间为小时，请计算说明巡逻船能否比可疑船先到达点．（结果保留一位小数） 变式训练2（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 变式训练3（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． (1)请问“远方”号沿哪个方向航行？ (2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 类型七、求河宽 典例精讲7（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，为了求出位于湖两岸的点、之间的距离，一名观测者在点处设桩，使恰好为直角三角形．通过测量，得到的长为，的长为．问：从点穿过湖到点有多远？ 题型归纳 1.特征：利用岸边两点及垂直关系间接测量河宽。 2.方法：在河的一岸取点构造直角三角形（河宽为一直角边）→量出另一直角边与斜边→用勾股定理求河宽。 3.易错提醒：测量构造的三角形须确保直角；河宽对应河岸垂直方向的边，勿与沿河距离混淆。 变式训练1（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 变式训练2（23-24八年级下·重庆巴南·期末）某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东方向和东南方向各修一步道，从A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测得米．（参考数据：） (1)求A、C两地之间距离．（结果精确到1米） (2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择路线，小明决定选择路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？ 类型八、求台阶上地毯长度 典例精讲8（25-26八年级下·广东惠州·期末）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 题型归纳 1.特征：给出台阶的水平宽、垂直高与级数，求铺地毯的长度或面积。 2.方法：地毯长度 = 所有台阶水平宽度之和 + 所有台阶垂直高度之和 = 总水平宽 + 总垂直高→按台阶数或直接由整体宽高计算。 3.易错提醒：地毯铺的是台阶表面（水平面 + 竖直面），不是斜着拉直的长度；勿用勾股定理求斜边代替。 变式训练1（24-25七年级上·山东东营·期中）如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？ 变式训练2（22-23八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ 类型九、判断汽车是否超速 典例精讲9（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 题型归纳 1.特征：汽车在公路上行驶，利用两个测速点或摄像头位置判断是否超速。 2.方法：由三角形边长关系用勾股定理求出行驶距离→结合通过时间算速度→与限速比较判断。 3.易错提醒：行驶距离须用实际路径长度（斜边），不是垂直距离；单位换算（米 / 秒与千米 / 时）须一致。 变式训练1（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 变式训练2（25-26八年级下·福建厦门·期末）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由调整为，小型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 变式训练3（25-26八年级下·北京·期中）如图，某中学门口有一条东西方向的公路，在中学门口有两条长度均为米的通道，通往公路旁的两个公交站，，且的距离是米．为了行车安全，在公路旁的点和点设置区间测速装置，其中点在点的东侧，且，公路限速千米/小时（约米/秒）．一辆汽车经过区间用时秒，试判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据，，） 类型十、判断是否受台风影响 典例精讲10（25-26八年级上·广东茂名·期中）我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 题型归纳 1.特征：台风（或龙卷风）中心移动，判断某地是否进入影响范围。 2.方法：求台风中心到该地的最短距离（点到直线的距离，作垂线用勾股定理或面积法）→与影响半径比较→判断并求受影响时间。 3.易错提醒：最短距离是垂线段长度；受影响时间须由进入与离开影响圆的两个位置间的路程除以速度求得。 变式训练1（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上A、B两点距离分别为150 m、200 m，公路总长，工程车周边150米范围为噪声影响区域． (1)求的度数； (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (3)若压路工程车行驶速度为每分钟40 m，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ 变式训练2（25-26八年级下·四川广安·期末）沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气很混浊，水平能见度很低的一种天气现象．人类在发展经济过程中大肆破坏植被，导致沙尘暴爆发频数增加．如图，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向由向移动，已知点为一城镇，且点与直线上的两点，的距离分别为：，，，以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)请通过计算说明城镇是否会受到沙尘暴影响的原因？ (2)若沙尘暴中心的移动速度为，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？ 变式训练3（25-26八年级下·重庆长寿·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 类型十一、选址使两地距离相等 典例精讲11（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，某地一条公路旁有两个居民点，它们各自到公路的垂直距离分别为，公路上的两地相距．现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等．试在图上确定医院E的建造位置，并求出该医院离A地的距离． 题型归纳 1.特征：在某条线（如公路、河岸）上选址，使该点到两地的距离相等。 2.方法：设选址点位置为 x→用勾股定理分别表示到两地的距离→由距离相等列方程→解方程得位置。 3.易错提醒：两个距离表达式须与各自直角三角形对应；解出的位置须在该线段范围内，超范围须舍去或另行讨论。 变式训练1（22-23八年级上·河南郑州·开学考试）如图，铁路上，两点相距，，为两村庄，于，于，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得，两村到站的距离相等． (1)站应建在站多少处？ (2)求两村与土特产品收购站围成的三角形的面积． 变式训练2（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）如图1，在一条公路上有A，B两站相距，C，D为两个小镇，小镇C到公路的距离（的长）为，小镇D到公路的距离（的长）为． (1)求小镇C，D之间的距离； (2)如图2，现计划在A，B两站之间的公路上修建一个加油站E，使E到C，D两镇的距离相等，请通过计算说明加油站E应建在公路上距A站多远处？（结果取整数） 变式训练3（25-26八年级下·河南焦作·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，，，，请依据图1推导勾股定理． (2)如图2，在中，，，，，垂足为，求的长． (3)如图3，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，现要在上建造一个供应站，使得，请用尺规作图在图中作出点的位置并直接写出的距离．（不写作法，保留作图痕迹） 类型十二、求最短距离 典例精讲12（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在长、宽、高的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点G处．试帮这只蚂蚁设计一条最佳路线，使其爬行的路程最短． 题型归纳 1.特征：求表面（如长方体、圆柱侧面）上两点间的最短路径。 2.方法：将立体图形表面展开成平面图形→两点间线段即为最短路径→用勾股定理计算其长度；不同展开方式须逐一比较。 3.易错提醒：最短路径是展开图上的直线段，不是空间斜线；长方体有不同展开方式，须比较后取最小值。 变式训练1（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从顶点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达顶点B，那么所用细线最短需要多少厘米？如果从顶点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达顶点B，那么所用细线最短又需要多少厘米？绕3圈呢？绕n圈呢？（保留根号） 变式训练2（25-26八年级上·山西临汾·期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？ 变式训练3（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是多少？ 变式训练4（25-26八年级上·贵州·期末）【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 类型十三、勾股定理逆定理与实际问题 典例精讲13（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，四边形是某农场一块试验田的示意图，对角线是一条小路（宽度忽略不计），已知，，，，，求这块试验田的面积（即四边形的面积）． 题型归纳 1.特征：实际情境中已知三边（或可测三边），判断是否构成直角、是否垂直或是否偏离航线。 2.方法：由实际条件求出三角形三边→用逆定理验证最大边平方是否等于另两边平方和→据此作出判断（垂直、成直角、方向正确等）。 3.易错提醒：验证前须先确定最大边；实际测量数据须统一单位，判断结论须结合问题情境表述。 变式训练1（25-26八年级下·陕西商洛·期末）如图，是某公园一片草坪的示意图，的中线是草坪中间的一条石板小路（宽度忽略不计），经过测量得到 ，，，求这片草坪的面积． 变式训练2（25-26八年级下·福建福州·期末）为落实闽都文化育人与劳动教育要求，某中学将校内如图所示的四边形闲置地块打造为茉莉花种植劳动实践基地．学校数学实践小组对地块边界进行实地勘测，测得，，，，． (1)为便于日常管护，计划在B，D两点间修建一条笔直步道，这条步道最短需要多少米？ (2)为满足茉莉植株根系生长需求，基地全园统一铺设厚的腐殖种植土．请计算该基地总共需要多少立方米的种植土（边界厚度与步道宽度均忽略不计）． 变式训练3（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，阴影部分是某学校七（6）班的班级菜园，经测量，，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)该班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要10元，求购买西红柿苗总共需要的费用． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26八年级下·陕西安康·期末）如图，直线是一条公路，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C．某次从点C观测到一辆车从点A行驶到点B，过点C作于点H，测得，，，求这辆车行驶的距离．（结果保留根号） 2．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图1是小明在草地上放风筝的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离（点C在上，且）．经测量，．如图2，风筝沿方向再竖直上升到达点E处时（即），小明放风筝的手移至点F处（点F在上），若风筝线的长度不变（即），则小明移动的距离为多少米？（整个过程中风筝线近似地看作线段） 3．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，在一个宽阔的十字路口，两条道路互相垂直．小明站在其中一条道路的边缘点A处，米，小亮站在另一条道路的边缘点B处，此时两人之间的直线距离为25米，而他们手中的对讲机恰好处于信号传输的极限状态． (1)求此时的长度； (2)当小明沿路边向北走了9米到达点C处（即米），同时小亮沿路边向东走到了点D处，若两人之间的直线距离仍然处于对讲机信号传输的极限状态（即保持25米不变），求的长度． 4．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）公园中一长方体石凳如图所示，长为，宽为，高为，一只蚂蚁以的速度从顶点爬到对角顶点（，不在同一个面上） (1)若要通过展开长方体表面为平面的方法找最短爬行路径，一共有几种形状不同的展开方式？请分别画出对应的平面展开示意图． (2)在的基础上，求蚂蚁从点爬到点的最短爬行路线长度，以及按此路线爬行最快需要多长时间到达（结果保留小数点后一位）？（，） 5．（25-26八年级下·贵州遵义·期末）综合与实践 为落实校园安全与应急救援科普，某校八年级开展实践活动，分两个场景进行探究与应用： 场景一：应急梯滑动探究 如图1，一架总长的应急梯子，斜靠在教学楼竖直墙面，梯子顶端距离地面垂直高度为． (1)梯子底端到墙角的水平距离=____________； (2)当梯子顶端沿墙面向下滑动到达点时，梯子底端向外滑动到点，求的长； 场景二：模拟消防云梯救援应用 如图2，消防车高为，搭载一架长的云梯，云梯顶端接触楼房墙面处距离地面的高度为，被困人员在点正上方的处，云梯长度保持不变，将云梯顶端上移至被困人员位置，消防车同步向楼房靠近．（点，，，，均在同一平面内） (3)求消防车向楼房移动的距离的长． 6．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，某海警巡逻舰在A处巡航时，发现位于A处北偏东方向距离为海里的C处有一艘可疑渔船，该渔船正沿向C的正南方向逃窜，D点位于航线上，且恰在C的正南方．巡逻舰立即从A出发，沿正东方向的航线展开追击．已知港口B在A的正东方向，两地相距110海里，B，C两地直线距离为50海里．（参考数据：，，） (1)若巡逻舰恰好在D处追上可疑渔船，求的长度； (2)在（1）的条件下，若可疑渔船的逃窜速度为8海里/时，当可疑渔船行驶4小时时，求此时巡逻舰与可疑渔船的直线距离．（结果精确到十分位） 7．（25-26八年级下·山西大同·期中） 项目主题 小区路灯维修梯子使用方案 项目背景 路灯维修工人使用一架长的绝缘梯，斜靠在路灯杆上．此时，工人怀疑灯杆可能倾斜，不再垂直于地面． 测量示意图 说明：点、、、在同一竖直平面内 问题解决： (1)初始时，工人测量梯子底端到灯杆底部的距离，梯子顶端离地高度．请你判断灯杆与地面是否垂直，并说明理由； (2)在任务1的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端下移到，底端则沿射线方向移动到点，量得，求的长． 8．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）综合与实践 【问题背景】 “数形结合”是数学中重要的思想方法之一，在遇到一些具备一定特征的代数问题时，有时会将其转化为更直观的几何问题解决．例如：已知，是正数，且，求的最小值．如图，令线段，其中，，然后构造和，使，，则，，因此，当点、、三点共线时，如图，的值最小． (1)【解决问题】已知，是正数，且，则的最小值为 ； (2)【实践探究】已知，是正数，且，求的最小值；（请画出示意图并求解） (3)【拓展应用】求的最小值为 （直接写出答案）． 9．（25-26八年级上·河南南阳·期末）消防队的云梯是一种伸缩梯，它通过液压系统驱动，能够快速调整高度，方便消防员迅速到达高层建筑进行灭火或救援．如图，一架伸缩梯斜靠在墙上，此时它伸长至最长，达17米，量得它在地面上的位置A与墙的距离（的长）为15米． (1)求处与地面的距离； (2)若此伸缩梯向墙面靠近6米到点处，其上端到达处上方4米的点处，求此时伸缩梯的长度； (3)现有一辆高4米的消防车，它上面的新型云梯最多伸长到25米．一天，某栋楼高24米处一老人需要救援，消防员将此云梯伸到最长，要想顺利救下老人，则此云梯底端应距离高楼_____米．（不考虑其他因素） 10．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中． (1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的示意图； (2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，求这一层圆形旋转楼梯的扶手长度．（取3） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理与实际问题13类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、梯子滑落高度 1 类型二、求旗杆高度 2 类型三、求小鸟飞行距离 10 类型四、求大树折断前高度 13 类型五、解决水杯中筷子问题 16 类型六、解决航海问题 19 类型七、求河宽 23 类型八、求台阶上地毯长度 27 类型九、判断汽车是否超速 29 类型十、判断是否受台风影响 34 类型十一、选址使两地距离相等 39 类型十二、求最短距离 45 类型十三、勾股定理逆定理与实际问题 51 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 勾股定理与实际问题是将几何知识应用于现实情境的核心内容，所有题型均围绕实际问题建模、直角三角形构造、勾股定理求解三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是 "建模定形"—— 把实际问题中的物体、路径、位置关系抽象为几何图形，识别或作辅助线构造直角三角形，明确哪条边是斜边、哪两条是直角边；二是 "求解验证"—— 用勾股定理列式求解，求出的长度必须符合实际意义（为正、大小合理），涉及逆定理判定的先验证三边关系。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、梯子滑落高度 典例精讲1（26-27八年级上·全国·课后作业）一架长的梯子靠在墙壁上，梯子的底部离墙，如果梯子的顶部滑下，梯子的底部向外滑出多远？ 【答案】梯子的底部向外滑出 【分析】先利用勾股定理求梯子原先顶部的高度，然后求出梯子下滑后顶部的高度，最后利用勾股定理求出下滑后梯子底部到墙的距离即可解答本题． 【详解】解：如图，，，， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 即梯子的底部向外滑出． 题型归纳 1.特征：梯子靠墙，滑动后顶端或底端移动，求移动距离或某边长度。 2.方法：梯子长不变，是直角三角形的斜边→分别画出滑动前后两个直角三角形→用勾股定理求各位置直角边→作差求移动量。 3.易错提醒：梯子长度（斜边）在两个位置保持不变；顶端下降量与底端外移量不相等，须分别求出再比较。 变式训练1（25-26八年级下·山东德州·期末）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离； (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)处与地面的距离是米 (2)消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再根据求出处与地面的距离； （2）利用勾股定理求出的长度，根据求出结果． 【详解】（1）解：在中， 米，米，米， （米），                （米）， 答：处与地面的距离是米；                                （2）解：由题意得米， 米，（米）， （米），        （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 变式训练2（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：） 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想的应用．先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：由题意得，， ，， ， ， ， ， 即这两面直立墙壁之间的安全通道的宽． 变式训练3（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，向左滑动滑块B，物体C升高．滑块B移动距离比物体C升高高度多，求此时物体C升高了多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）设物体C升高了，则滑块B移动距离为，进而表示出和的长，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∴， ∴绳子的总长度为， 答：绳子的总长度为； （2）解：设物体C升高了，则滑块B移动距离为， 则，， ∴， ∵在中，， ∴， 解得， 答：物体C升高了． 类型二、求旗杆高度 典例精讲2（25-26八年级下·安徽六安·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为16米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为31.7米 (2)他应该往回收线14米 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，，    米（负值舍去）， （米）， 答：风筝的高度为31.7米． （2）解：由题意得，米， 米， （米），    （米）， 他应该往回收线米． 题型归纳 1.特征：旗杆（或树、建筑物）拉绳、系绳或利用影子等情境，求其高度。 2.方法：旗杆与地面垂直，与绳长构成直角三角形→标出斜边（绳长）与直角边→用勾股定理求竖直高度。 3.易错提醒：绳长对应斜边，勿与竖直高度混淆；如绳子分两部分（系住部分、多余部分）须先算出实际参与构成三角形的绳长。 变式训练1（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）某旗杆位于八级台阶的平台上（每个台阶的高度为）．甲、乙两个数学兴趣小组分别对旗杆的高度进行了探究； 甲：如图1，测得每个台阶的宽度为，最上面台阶宽度为．在点D处测得，点D到台阶最低点M的距离为． 乙：如图2，旗杆上的绳子长，将绳子拉直后测出绳子的末端P到台阶最低点M的距离为．将绳子加长后再拉直，绳子末端位于地面点Q处，测得．Q，P，M，C在同一条直线上． (1)根据甲组的测量数据，的长为________m； (2)根据乙组的测量数据，求旗杆的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据台阶的宽度求出线段的长度，从而求出的长度，利用等腰直角三角形的性质求出答案； （2）在不同的直角三角形中利用勾股定理求的长，利用等量代换求解． 【详解】（1）解：设的中点为， ∵， ∴， ∵每个台阶的高度为，宽度为，共八级台阶， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）解：设， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ，由勾股定理求得， 由（1）可知, 旗杆的高度为． 变式训练2（25-26八年级上·河南郑州·期末）小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，小华的身高为1.8米． (1)在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 【答案】(1)此时风筝离地面的垂直高度为米 (2)他应该朝射线方向前进4米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式． （1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可； （2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【详解】（1）解：中， 米， 米， 答：此时风筝离地面的垂直高度为米； （2）解：米， 由题意可得：米， 中， 米， 米． 答：他应该朝射线方向前进4米． 变式训练3（25-26八年级上·广东深圳·期中）在城市建筑测量中，经常会用到几何知识．小明家附近有一栋居民楼，楼顶处刚好有一根绳子（）垂直落到地面，绳子（）比楼高（）多米．小明想了解楼的高度，于是他把绳子拉开米时（即米），绳子（）刚好举过头顶，小明的身高是米（即米），小明能够求出这栋居民楼的高度，请帮小明写出完整的过程． 【答案】居民楼的高度为米． 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将实际问题转化为直角三角形的几何模型，利用勾股定理列方程计算是解题关键． 过点作，则，，设居民楼的实际高度为米，然后对、进行表示，再利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作．可知，． 设居民楼的实际高度为米，根据题意， 绳子的长度为米，米，米， 在中，根据勾股定理： ， 代入已知条件： ， 展开化简： ， ， ， 可得． 答：居民楼的高度为米． 类型三、求小鸟飞行距离 典例精讲3（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）如图，有两棵树，一棵高，一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行（   ）m A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形；将两棵树的高度差和两树距离作为直角边，利用勾股定理求出斜边即为小鸟飞行的最短距离． 【详解】解：如图，设较高的树为，较矮的树为，两树相距，过点作于点，则四边形为矩形， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 小鸟至少要飞行． 故选：． 题型归纳 1.特征：小鸟从一点飞到另一点，涉及竖直高度与水平距离，求飞行路程。 2.方法：将高度差、水平距离看作两直角边→飞行路径为斜边→用勾股定理计算飞行距离。 3.易错提醒：高度差须用两位置高度相减求得；方向须对应直角边，斜边才是实际飞行路程。 变式训练1（25-26八年级上·河北沧州·期末）有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树的一棵大树上，大树高，且巢离树顶部．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为，那它至少需要时间___才能赶回巢中． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，过A作于E．则，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，由题意知，． 过A作于E．则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴它至少需要才能赶回巢中． 故答案为：． 变式训练2（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 变式训练3（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，已知某山的高度为800米，从山上A处与山下B处各建一个索道口，且米，，欢欢从山下索道口B坐缆车沿索道到山顶A，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能到达山顶？ 【答案】大约34分钟后，欢欢才能到达山顶 【分析】根据勾股定理求出，再根据缆车的速度即可求解． 【详解】解：∵，米，米， ∴（米）， ∵缆车每分钟走50米， ∴（分钟）， 答：大约34分钟后，欢欢才能到达山顶． 类型四、求大树折断前高度 典例精讲4（26-27八年级上·全国·课后作业）折竹抵地（源自《九章算术》）： 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？ 意即： 一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远．求折断后竹子离地面的高度． 【答案】4.55尺 【分析】设折断后竹子离地面的高度为x尺，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：1丈=10尺 设折断后竹子离地面的高度为x尺，根据勾股定理得 ， ∴， ∴， ∴． 答：折断后竹子离地面的高度为4.55尺． 题型归纳 1.特征：大树被风吹断，折断部分落地，求树原来的高度。 2.方法：折断处以上部分为斜边、水平地面距离与剩余树干分别为两直角边→用勾股定理求斜边→原高度 = 剩余树干 + 斜边。 3.易错提醒："折断前高度" 是剩余树干与折断部分之和，勿只求折断部分；地面距离是断端到树根的水平距离。 变式训练1（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，由于大风，山坡上的树甲从点处被拦腰折断，其树顶端恰好落在树乙的根部处．已知树甲的部分主干水平线，树乙垂直水平线，经测量，树甲的根部与点的距离米，两棵树的根部距离米，两棵树的水平距离为12米，请根据以上数据，求树甲折断前的高度． 【答案】树甲折断前的高度是19米 【分析】根据勾股定理在中先求出长度，则长度可知，再在中利用勾股定理求出长度，则树甲折断前的高度为即可求解． 【详解】解：∵， ∴和是直角三角形， ∴在中，（米）， ∴（米）， ∵在中，（米）， ∴（米）． 答：树甲折断前的高度是19米． 变式训练2（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【答案】(1)米； (2)米 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 变式训练3（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【答案】树枝落地时会砸着小轿车； 理由如下： 由题意可知，， ∴为直角三角形， 在中，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴树枝落地时会砸着小轿车． 【分析】本题考查勾股定理，大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为，比较和的大小，可知大树砸不到小车． 【详解】略 类型五、解决水杯中筷子问题 典例精讲5（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 【答案】(1)18 (2) 【分析】（1）图①中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为，即杯内搅拌棒长度为，题目要求长出杯口，两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据此求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为， 露在杯子外面的长； ． 题型归纳 1.特征：筷子插入杯中，露出部分长度变化，求杯深、杯径或筷子长度。 2.方法：杯中部分（斜边）、杯深与杯口直径构成直角三角形→利用勾股定理或露出的长度差列式求解。 3.易错提醒：筷子的不同倾斜位置对应不同的斜边；露出长度 = 筷子总长−杯中部分，勿直接相加。 变式训练1（25-26八年级下·北京·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度（1丈等于10尺）． 【答案】12尺 【分析】设水池深度为尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：设水池深度为尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：水池的深度为12尺． 变式训练2（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面1米，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水中，仔细观察发现荷花偏离原地3米，请问：水深和荷花的高度各是多少米？    【答案】4米，5米 【分析】设水深为x米，根据题意，得米，米，米， 米，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：设水深为x米，根据题意，得米，米，米， 米， 根据勾股定理得， 解得（米）， 故（米）． 变式训练3（23-24八年级下·广东湛江·阶段检测）将一根长是的细木棒置于内部底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设细木棒露在杯子外的部分的长为，请探究h的取值范围． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据杯子内筷子长度的取值范围得出杯子外面筷子长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解∵，， ∴， 当点E与A重合时，最短为：， 当点E与B重合时，最长为：， ∴h的取值范围是：． 类型六、解决航海问题 典例精讲6（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）小颖的爸爸在航海运输公司工作，他给小颖出了一个与航海有关的问题．在港有两艘货轮甲船和乙船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时海里的速度前进．两船同时出发，两小时后，甲船到岛，乙船到岛，试求岛与岛之间的距离． 【答案】海里 【分析】由方向角的定义说明是直角三角形，在直角三角形中应用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，由题意得，，（海里），（海里）， ， 是直角三角形， 由勾股定理得（海里）． 答：岛与岛之间的距离为海里． 题型归纳 1.特征：船沿两个方向航行（如先向东后向北），求距离出发点的直线距离或相关量。 2.方法：两段航程看作两直角边→直线距离为斜边→用勾股定理计算；涉及方向角时先转化为角度关系。 3.易错提醒：航向变化（如东转北）构成直角才可直接用勾股定理；非直角转向须先构造直角三角形。 变式训练1（25-26八年级下·重庆巴南·期末）一巡逻船在点处发现正北方向 海里的 点处，有一艘可疑船正沿 点的北偏东方向行驶，行驶速度 海里每小时，在巡逻船的北偏东方向有一个补给点，点在点 的正东方向．（参考数据： ， ） (1)巡逻船先直接去点补给，再沿点的正北方向行驶，准备在可疑船行驶路线上的点拦截可疑船，求的距离（结果保留一位小数）； (2)若巡逻船沿点 的路线以每小时 海里的速度行驶，补给所需时间为小时，请计算说明巡逻船能否比可疑船先到达点．（结果保留一位小数） 【答案】(1)可疑船行驶的路线的距离为 海里 (2)巡逻船能比可疑船先到达点 【分析】 （1）在等腰直角三角形中得到 ，在 中，由含的直角三角形及勾股定理求出，最后由 求出答案即可； （2）分别计算出巡逻船的用时及可疑船的用时，比较时间大小即可得到答案． 【详解】（1）解： 在 中， ， ， 海里， ∴ ， （海里）， 在 中， ， ，则 ， 由勾股定理可得，则， （海里）， （海里）， 答：可疑船行驶的路线的距离为 海里； （2）解：在 中， ，由勾股定理可得（海里）， 巡逻船的路程 （海里）， 巡逻船从到达所用时间为 （小时）； 由（1）知，可疑船到达点的路程为 海里，速度为 海里每小时， 可疑船到达点所用时间为 （小时）， ， 巡逻船能比可疑船先到达点． 变式训练2（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【答案】(1)500海里 (2)360海里 【分析】（1）根据题意可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作于点E，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，海里，海里， ∴由勾股定理得海里， 答：渔船与渔船之间的距离为500海里； （2）解：如图所示，过点C作于点E， 则， ∵， ∴， ∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 在中，由勾股定理得海里， ∴海里 答：渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是360海里． 变式训练3（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． (1)请问“远方”号沿哪个方向航行？ (2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 【答案】(1)“远方”号沿东南方向航行 (2)25海里 【分析】（1）根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：由题知，海里，海里，，， ， ， 是直角三角形，且， ， 即“远方”号沿东南方向航行． （2）解：根据题意得：海里，海里， 在中，， ∴海里， 即此时“前行”号与“远方”号的距离是25海里． 类型七、求河宽 典例精讲7（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，为了求出位于湖两岸的点、之间的距离，一名观测者在点处设桩，使恰好为直角三角形．通过测量，得到的长为，的长为．问：从点穿过湖到点有多远？ 【答案】从点穿过湖到点有米 【分析】已知是直角三角形，，根据勾股定理可得，将，代入上式中即可求得的长度． 【详解】解：为直角三角形，且如图所示，， （）． 答：从点穿过湖到点有米． 题型归纳 1.特征：利用岸边两点及垂直关系间接测量河宽。 2.方法：在河的一岸取点构造直角三角形（河宽为一直角边）→量出另一直角边与斜边→用勾股定理求河宽。 3.易错提醒：测量构造的三角形须确保直角；河宽对应河岸垂直方向的边，勿与沿河距离混淆。 变式训练1（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【答案】18米 【分析】可证明，则，据此利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵米，米，米， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵米， ∴米， ∴米， 答：点、之间的距离为18米． 变式训练2（23-24八年级下·重庆巴南·期末）某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东方向和东南方向各修一步道，从A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测得米．（参考数据：） (1)求A、C两地之间距离．（结果精确到1米） (2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择路线，小明决定选择路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？ 【答案】(1)A、C两地之间距离为1930米 (2)小华先到达C地 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，含30度直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，方位角等知识，构造直角三角形是解题的关键． （1）连接，过D作于E；分别在，中利用勾股定理求出，即可求得结果； （2）设两人速度为1，由（1）的计算可得的长；由题意得是等腰直角三角形，由（1）的结论及勾股定理求得，即可求得；比较即可谁先到达C地． 【详解】（1）解：如图，连接，过D作于E； 由题意得：； 在中，则， ， 由勾股定理得：， 米； 则米； 在中，， 则米，由勾股定理得：米， (米)； （2）解：由（1）的计算知，米， 米； 由题意得分别在东南方向、西南方向，则， ， 即是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 米， 米； ， ，即小华的路程更小， 又∵两人速度相同， 所以小华先到达C地． 类型八、求台阶上地毯长度 典例精讲8（25-26八年级下·广东惠州·期末）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 【答案】(1)共需购买68平方米的地毯 (2)购买地毯需花费8160元 【分析】（1）求出台阶的水平宽，计算地毯长度，再计算地毯的面积即可； （2）用地毯的单价乘以面积求出购买地毯的费用． 【详解】（1）解：依题意图中直角三角形一直角边为，斜边为， 根据勾股定理另一直角边长，即台阶的水平宽为：， 则需购买地毯的长为， 因为地毯的宽则是台阶的宽4米， 所以面积是：． 故共需购买的地毯． （2）解：由地毯的价格为120 元， 则购买地毯的费用为：元， 故购买地毯需花费8160元． 题型归纳 1.特征：给出台阶的水平宽、垂直高与级数，求铺地毯的长度或面积。 2.方法：地毯长度 = 所有台阶水平宽度之和 + 所有台阶垂直高度之和 = 总水平宽 + 总垂直高→按台阶数或直接由整体宽高计算。 3.易错提醒：地毯铺的是台阶表面（水平面 + 竖直面），不是斜着拉直的长度；勿用勾股定理求斜边代替。 变式训练1（24-25七年级上·山东东营·期中）如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示，    ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是13． 变式训练2（22-23八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ 【答案】平方米 【分析】根据勾股定理先求出棚顶的宽，然后根据长方形的面积公式即可求出需要多少塑料薄膜． 【详解】解：棚高，棚宽，设棚顶的宽为b， 则， 棚的长d为， ∴． 【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的实际应用能力，理清题意，掌握勾股定理是解题的关键． 类型九、判断汽车是否超速 典例精讲9（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 【答案】(1) (2)未超速，理由如下， 如图，，过点作于点， 在中，， ∴ ∵卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为， ∴卡车在该路段行驶过程中的速度为， ∴卡车未超速 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，进而根据等面积法，即可求解； （2），过点作于点，勾股定理求得，则，进而根据路程除以时间计算速度，即可求解． 【详解】（1）解：∵、，， ∴是直角三角形，且 设楼到的距离为， ∴ ∴ （2）略 题型归纳 1.特征：汽车在公路上行驶，利用两个测速点或摄像头位置判断是否超速。 2.方法：由三角形边长关系用勾股定理求出行驶距离→结合通过时间算速度→与限速比较判断。 3.易错提醒：行驶距离须用实际路径长度（斜边），不是垂直距离；单位换算（米 / 秒与千米 / 时）须一致。 变式训练1（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【答案】(1)外来车辆的平均速度为 (2)能成功在处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得， 在中，由勾股定理，得， 由（1）可知， ， 外来车辆到达处所需的时间为． 安保人员的速度为， 安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆． 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，利用勾股定理在中，可得，在中，可得，从而求得，即可得出外来车辆的平均速度； （2）先利用勾股定理在中，可得，结合（1）可得，从而可以算出外来车辆及安保人员达处所需的时间，通过比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 速度为， 答：外来车辆的平均速度为； （2）略． 变式训练2（25-26八年级下·福建厦门·期末）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由调整为，小型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)没有超速，理由： 结合（1）可得小汽车的速度为； ； 这辆小汽车没有超速行驶． 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ； （2）略 变式训练3（25-26八年级下·北京·期中）如图，某中学门口有一条东西方向的公路，在中学门口有两条长度均为米的通道，通往公路旁的两个公交站，，且的距离是米．为了行车安全，在公路旁的点和点设置区间测速装置，其中点在点的东侧，且，公路限速千米/小时（约米/秒）．一辆汽车经过区间用时秒，试判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据，，） 【答案】 解：该车没有超速．理由如下： 如图，过点作交于点， 由题意可得， 米，米， 米， 在中，（米）， 在中，， （米）， （米）， 米， 汽车经过区间用时秒， 该车的速度为（米/秒）， ， 该车没有超速． 【分析】过点作交于点，根据三线合一可求出的长，然后在中，利用勾股定理可求出的长，再在中，根据含角直角三角形的性质结合勾股定理可求得的长，从而可得的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】略 类型十、判断是否受台风影响 典例精讲10（25-26八年级上·广东茂名·期中）我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 【答案】(1)证明：，，， ． 是直角三角形，即； (2)解：海港受台风影响，理由如下 如图，过点作于， ， ， ， 海港受台风影响． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）过点作于，再利用三角形面积得出的长，结合题意，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 题型归纳 1.特征：台风（或龙卷风）中心移动，判断某地是否进入影响范围。 2.方法：求台风中心到该地的最短距离（点到直线的距离，作垂线用勾股定理或面积法）→与影响半径比较→判断并求受影响时间。 3.易错提醒：最短距离是垂线段长度；受影响时间须由进入与离开影响圆的两个位置间的路程除以速度求得。 变式训练1（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上A、B两点距离分别为150 m、200 m，公路总长，工程车周边150米范围为噪声影响区域． (1)求的度数； (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (3)若压路工程车行驶速度为每分钟40 m，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ 【答案】(1) (2)学校C会受到噪声影响．原因： 过作于， ∵， ∴（m）， ∵（噪声影响范围半径）， ∴学校C会受到噪声影响． (3)4.5分钟 【分析】（1）已知三边长度，因为三边满足勾股定理的逆定理的条件，所以可通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出的度数． （2）要判断学校是否受噪声影响，需先求点C到直线的距离，因为点到直线的最短距离是垂线段长度，所以过C作的垂线段，用等面积法求出垂线段长度后，与比较即可． （3）求噪声持续时间，先确定工程车在上到C点距离等于的两个交点，因为这两个交点之间的距离就是噪声影响的行驶路程，所以用勾股定理求出该路段长度后，再结合速度公式即可计算时间． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，． （2）略． （3）解：设工程车进入影响区的点为，离开影响区的点为， 则． 在中，∵（m）， ∴， ∵行驶速度为分钟， ∴持续时间：（分钟） ， 即噪声持续干扰的时间为4.5分钟． 变式训练2（25-26八年级下·四川广安·期末）沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气很混浊，水平能见度很低的一种天气现象．人类在发展经济过程中大肆破坏植被，导致沙尘暴爆发频数增加．如图，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向由向移动，已知点为一城镇，且点与直线上的两点，的距离分别为：，，，以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)请通过计算说明城镇是否会受到沙尘暴影响的原因？ (2)若沙尘暴中心的移动速度为，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？ 【答案】(1)解：如图所示：过点作， ，，， ， 为直角三角形，， ， 即， ， 以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域，， 城镇会受到沙尘暴影响； (2) 【分析】（1）过点作，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，利用等面积法得出，根据题意以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域，即可得到城镇会受到沙尘暴的影响； （2）在边上找、两点，连接、，使，根据勾股定理可得，根据等腰三角形的性质求出，再由速度与时间、路程的关系即可得出影响的时间． 【详解】（1）略 （2）解：在边上找、两点，连接、，使， ， ，， ， ， 沙尘暴中心的移动速度为， ， 答：城镇会受到沙尘暴的影响，持续的时间为． 变式训练3（25-26八年级下·重庆长寿·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)见解析 (2)海港C受到台风影响，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）过点C作于D．根据直角三角形的面积，可得，即可求解； （3）在线段上取点E，F，使，，则台风中心在线段EF上时正好影响C港口．根据等腰三角形的性质可得，然后根据勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵km，km，km， ∴． ∴是直角三角形， ∴； （2）解：海港C受台风影响．理由如下： 如图，过点C作于D． ∵， ∴． ∵， ∴海港C受到台风影响． （3）解：如图，在线段AB上取点E，F，使，，则台风中心在线段EF上时正好影响C港口． ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∵台风的速度为， ∴． ∴台风影响该海港持续的时间为． 类型十一、选址使两地距离相等 典例精讲11（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，某地一条公路旁有两个居民点，它们各自到公路的垂直距离分别为，公路上的两地相距．现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等．试在图上确定医院E的建造位置，并求出该医院离A地的距离． 【答案】 该医院离A地的距离 【分析】作的垂直平分线与交于点，交于点，则点即为所作；连接，设，用勾股定理表示出，利用列出方程求值即可． 【详解】解：连接，作线段的垂直平分线，交于E，交于点，则点E就是医院的建造位置，图略，连接，设，则． ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得， 答：该医院离A地的距离． 题型归纳 1.特征：在某条线（如公路、河岸）上选址，使该点到两地的距离相等。 2.方法：设选址点位置为 x→用勾股定理分别表示到两地的距离→由距离相等列方程→解方程得位置。 3.易错提醒：两个距离表达式须与各自直角三角形对应；解出的位置须在该线段范围内，超范围须舍去或另行讨论。 变式训练1（22-23八年级上·河南郑州·开学考试）如图，铁路上，两点相距，，为两村庄，于，于，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得，两村到站的距离相等． (1)站应建在站多少处？ (2)求两村与土特产品收购站围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)平方千米 【分析】（1）由题意可知，根据勾股定理得到，设，求出x的值即可； （2）证明，得到，，可知即，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：，两村到站的距离相等． ， 于，于， ， ，， ， 设，则， ，， ， 解得：， ； （2）解：，，， ∴， ，， ∵， ， ， ， 两村与土特产品收购站围成的三角形的面积为：平方千米． 变式训练2（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）如图1，在一条公路上有A，B两站相距，C，D为两个小镇，小镇C到公路的距离（的长）为，小镇D到公路的距离（的长）为． (1)求小镇C，D之间的距离； (2)如图2，现计划在A，B两站之间的公路上修建一个加油站E，使E到C，D两镇的距离相等，请通过计算说明加油站E应建在公路上距A站多远处？（结果取整数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作于点E，则四边形是矩形，在中，由勾股定理求出即可； （2）设，则，根据，由勾股定理得出，代入数据求解即可． 【详解】（1）解：如图1，作于点E， 依题意： ∴四边形是矩形 ∴ 在中， 由勾股定理得： 即小镇C，D之间的距离为． （2）解：如图2，设，则 由勾股定理得： ∵ ∴ 即： 解得： 即加油站E应建在距A站约处． 变式训练3（25-26八年级下·河南焦作·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，，，，请依据图1推导勾股定理． (2)如图2，在中，，，，，垂足为，求的长． (3)如图3，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，现要在上建造一个供应站，使得，请用尺规作图在图中作出点的位置并直接写出的距离．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) ∵ ， 整理得： (2) (3) 点P即为所求， 的距离为16千米 【分析】（1）用两种方法表示出梯形的面积，再根据它们相等整理即可证明结论； （2）设，分别在和中，表示出，列出方程，求出x，再利用勾股定理即可求出的值. （3）先根据，作的垂直平分线交于P，设千米，则千米，根据勾股定理列式代入数值计算化简，即可作答． 【详解】（1）解：略； （2）解：设 ∵ ∴ ∴和都是直角三角形 在中， 在中， ∴ ∵，， 则 解得，即 在中，由勾股定理，得. （3）解：如图，连接，作的垂直平分线交于P， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ， ， 解得 类型十二、求最短距离 典例精讲12（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在长、宽、高的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点G处．试帮这只蚂蚁设计一条最佳路线，使其爬行的路程最短． 【答案】这只蚂蚁爬行的最佳路线是将长方体的左面上面展开，最短路径的长为． 【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和G点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离． 【详解】解：（1）如图： 由勾股定理得； （2）如图： 由勾股定理得； （3）如图： 由勾股定理得． ∵， ∴这只蚂蚁爬行的最佳路线是将长方体的左面上面展开，最短路径的长为． 题型归纳 1.特征：求表面（如长方体、圆柱侧面）上两点间的最短路径。 2.方法：将立体图形表面展开成平面图形→两点间线段即为最短路径→用勾股定理计算其长度；不同展开方式须逐一比较。 3.易错提醒：最短路径是展开图上的直线段，不是空间斜线；长方体有不同展开方式，须比较后取最小值。 变式训练1（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从顶点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达顶点B，那么所用细线最短需要多少厘米？如果从顶点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达顶点B，那么所用细线最短又需要多少厘米？绕3圈呢？绕n圈呢？（保留根号） 【答案】10厘米；厘米；厘米；厘米 【分析】将长方体展开，利用两点间距离最短，以及勾股定理进行求解即可. 【详解】解：如图，是长方体的侧面展开图， 根据题意可得，从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B时，最短距离为， （厘米）； 缠绕2圈，则长方形的长变为， （厘米）； 缠绕3圈，则长方形的长变为， （厘米）； 缠绕圈，则长方形的长变为， （厘米）. 变式训练2（25-26八年级上·山西临汾·期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？ 【答案】雕刻在石柱上的巨龙至少为20米． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题．根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴，， 在中 ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 变式训练3（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是多少？ 【答案】米 【分析】本题考查平面展开图—最短路径问题、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识解决实际问题是解题的关键． 先画出展开图，再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽， 长为米；宽为4米． ∴最短路径为：（米）． 变式训练4（25-26八年级上·贵州·期末）【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）厘米；（3）； 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长，宽， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 类型十三、勾股定理逆定理与实际问题 典例精讲13（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，四边形是某农场一块试验田的示意图，对角线是一条小路（宽度忽略不计），已知，，，，，求这块试验田的面积（即四边形的面积）． 【答案】这块试验田的面积是 【分析】在中由勾股定理求出，再证明是直角三角形，再根据解答即可． 【详解】解：，，， ． 在中，，，， ∴，，， ， 是直角三角形，， ， 这块试验田的面积是． 题型归纳 1.特征：实际情境中已知三边（或可测三边），判断是否构成直角、是否垂直或是否偏离航线。 2.方法：由实际条件求出三角形三边→用逆定理验证最大边平方是否等于另两边平方和→据此作出判断（垂直、成直角、方向正确等）。 3.易错提醒：验证前须先确定最大边；实际测量数据须统一单位，判断结论须结合问题情境表述。 变式训练1（25-26八年级下·陕西商洛·期末）如图，是某公园一片草坪的示意图，的中线是草坪中间的一条石板小路（宽度忽略不计），经过测量得到 ，，，求这片草坪的面积． 【答案】这片草坪的面积是 【分析】证明是直角三角形，得到，根据三角形面积公式即可求出答案． 【详解】解：是的中线，， ∴ 在中，，，， ， 是直角三角形，， ， ， ∴这片草坪的面积是． 变式训练2（25-26八年级下·福建福州·期末）为落实闽都文化育人与劳动教育要求，某中学将校内如图所示的四边形闲置地块打造为茉莉花种植劳动实践基地．学校数学实践小组对地块边界进行实地勘测，测得，，，，． (1)为便于日常管护，计划在B，D两点间修建一条笔直步道，这条步道最短需要多少米？ (2)为满足茉莉植株根系生长需求，基地全园统一铺设厚的腐殖种植土．请计算该基地总共需要多少立方米的种植土（边界厚度与步道宽度均忽略不计）． 【答案】(1)这条步道最短需要米 (2)该基地总共需要57.6立方米的种植土 【分析】（1）在中利用勾股定理求即可； （2）先由勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后根据求出面积，然后求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，，，， ∴， 答：这条步道最短需要米； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：该基地总共需要57.6立方米的种植土． 变式训练3（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，阴影部分是某学校七（6）班的班级菜园，经测量，，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)该班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要10元，求购买西红柿苗总共需要的费用． 【答案】(1)证明：，，， ， 是直角三角形． (2)元 【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明即可； （2）过作交于，利用勾股定理求出，再根据求出面积，进而得到总费用． 【详解】（1）略 （2）解：过作交于， ，， 为中点， ∴， ， ， 是直角三角形， ， ， 则购买西红柿苗总共需要的费用为：（元）， 答：购买西红柿苗总共需要元． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26八年级下·陕西安康·期末）如图，直线是一条公路，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C．某次从点C观测到一辆车从点A行驶到点B，过点C作于点H，测得，，，求这辆车行驶的距离．（结果保留根号） 【答案】 【分析】对和运用勾股定理求解即可． 【详解】解：， 与均为直角三角形， 在中，由勾股定理得，， ∵， ∴ ，              在中，由勾股定理得，， ∵ ∴， ． 答：这辆车行驶的距离为． 2．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图1是小明在草地上放风筝的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离（点C在上，且）．经测量，．如图2，风筝沿方向再竖直上升到达点E处时（即），小明放风筝的手移至点F处（点F在上），若风筝线的长度不变（即），则小明移动的距离为多少米？（整个过程中风筝线近似地看作线段） 【答案】4m 【分析】先根据勾股定理求出，进而得出，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案． 【详解】解：在中，， ， 由题意可得，， 在中，， ． 答：小明移动的距离为4m． 3．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，在一个宽阔的十字路口，两条道路互相垂直．小明站在其中一条道路的边缘点A处，米，小亮站在另一条道路的边缘点B处，此时两人之间的直线距离为25米，而他们手中的对讲机恰好处于信号传输的极限状态． (1)求此时的长度； (2)当小明沿路边向北走了9米到达点C处（即米），同时小亮沿路边向东走到了点D处，若两人之间的直线距离仍然处于对讲机信号传输的极限状态（即保持25米不变），求的长度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理求出米，即可求出的长度． 【详解】（1）解：由题意得，米，米， ∴米； （2）解：∵米， ∴米， ∵米，， ∴米， 因此米． 4．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）公园中一长方体石凳如图所示，长为，宽为，高为，一只蚂蚁以的速度从顶点爬到对角顶点（，不在同一个面上） (1)若要通过展开长方体表面为平面的方法找最短爬行路径，一共有几种形状不同的展开方式？请分别画出对应的平面展开示意图． (2)在的基础上，求蚂蚁从点爬到点的最短爬行路线长度，以及按此路线爬行最快需要多长时间到达（结果保留小数点后一位）？（，） 【答案】(1)解：有三种展开方式，如图， ；；； (2)最短路线长度为，最快需要秒． 【分析】根据蚂蚁从点爬到顶点，有三种展开方式，分别画出图形即可； 求出各种展开方式下点到点的距离，然后比较可得出最短爬行路线长度，再求出时间即可． 【详解】（1）解：蚂蚁从点爬到顶点，有三种展开方式： 将前面和上面（或后面和下面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为，，展开图如下： 将前面和右面（或后面和左面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为：，，展开图如下： 将右面和下面（或左面和上面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为：，，展开图如下： （2）解：第两种展开方式下点到点的距离相等： ， 第②种展开方式下点到点的距离为： ， ∵， ∴最短路线长度为，， 答：最快需要秒． 5．（25-26八年级下·贵州遵义·期末）综合与实践 为落实校园安全与应急救援科普，某校八年级开展实践活动，分两个场景进行探究与应用： 场景一：应急梯滑动探究 如图1，一架总长的应急梯子，斜靠在教学楼竖直墙面，梯子顶端距离地面垂直高度为． (1)梯子底端到墙角的水平距离=____________； (2)当梯子顶端沿墙面向下滑动到达点时，梯子底端向外滑动到点，求的长； 场景二：模拟消防云梯救援应用 如图2，消防车高为，搭载一架长的云梯，云梯顶端接触楼房墙面处距离地面的高度为，被困人员在点正上方的处，云梯长度保持不变，将云梯顶端上移至被困人员位置，消防车同步向楼房靠近．（点，，，，均在同一平面内） (3)求消防车向楼房移动的距离的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对运用勾股定理求解； （2）对运用勾股定理求解； （3）对运用勾股定理求解，对运用勾股定理求解，再由． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵ ∴ （2）解：由题意得，， ∴在中， ∴； （3）解：延长交于点， 由题意得，，，，， ∴， ∴在中，， 在中， ∴ 答：消防车向楼房移动的距离的长为． 6．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，某海警巡逻舰在A处巡航时，发现位于A处北偏东方向距离为海里的C处有一艘可疑渔船，该渔船正沿向C的正南方向逃窜，D点位于航线上，且恰在C的正南方．巡逻舰立即从A出发，沿正东方向的航线展开追击．已知港口B在A的正东方向，两地相距110海里，B，C两地直线距离为50海里．（参考数据：，，） (1)若巡逻舰恰好在D处追上可疑渔船，求的长度； (2)在（1）的条件下，若可疑渔船的逃窜速度为8海里/时，当可疑渔船行驶4小时时，求此时巡逻舰与可疑渔船的直线距离．（结果精确到十分位） 【答案】(1)40海里 (2)海里 【分析】（1）设海里，则海里，由勾股定理可得，则，解方程即可得到答案； （2）求出可疑渔船行驶4小时时的路程，以及到达点D的时间，进而求出巡逻舰的速度，从而求出巡逻舰的路程，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设海里，则海里， 由题意得，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得 ∴，即， 解得， ∴海里， ∴海里， 答：的长度为40海里； （2）解：∵可疑渔船的逃窜速度为8海里/时， ∴当可疑渔船行驶4小时时，行驶的路程为海里，且其到达点D的时间为小时， ∴巡逻舰的速度为海里/小时， 设可疑渔船行驶4小时时的位置在点E，巡逻舰的位置在点F， 在中，海里，海里， ∴海里， 答：此时巡逻舰与可疑渔船的直线距离约为海里． 7．（25-26八年级下·山西大同·期中） 项目主题 小区路灯维修梯子使用方案 项目背景 路灯维修工人使用一架长的绝缘梯，斜靠在路灯杆上．此时，工人怀疑灯杆可能倾斜，不再垂直于地面． 测量示意图 说明：点、、、在同一竖直平面内 问题解决： (1)初始时，工人测量梯子底端到灯杆底部的距离，梯子顶端离地高度．请你判断灯杆与地面是否垂直，并说明理由； (2)在任务1的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端下移到，底端则沿射线方向移动到点，量得，求的长． 【答案】(1)灯杆与地面垂直，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求出即可； （2）根据勾股定理求出的长，进而可知的长． 【详解】（1）解：灯杆与地面垂直． 理由如下：，， ． 是直角三角形． ， 即灯杆与地面垂直； （2）解：由题意得（）． ∵， ∴在中，（）， （）． 答：的长为． 8．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）综合与实践 【问题背景】 “数形结合”是数学中重要的思想方法之一，在遇到一些具备一定特征的代数问题时，有时会将其转化为更直观的几何问题解决．例如：已知，是正数，且，求的最小值．如图，令线段，其中，，然后构造和，使，，则，，因此，当点、、三点共线时，如图，的值最小． (1)【解决问题】已知，是正数，且，则的最小值为 ； (2)【实践探究】已知，是正数，且，求的最小值；（请画出示意图并求解） (3)【拓展应用】求的最小值为 （直接写出答案）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将和分别转化为两个直角三角形的斜边，再根据两点之间线段最短，当三点共线时，两条线段的和取最小值，通过勾股定理计算出最小值； （2）先构造直角三角形，把和转化为两条线段，利用“三点共线时线段和最小”的原理，用勾股定理计算出最小值； （3）先构造直角三角形，把和转化为两条线段，利用“三点共线时线段和最小”的原理，用勾股定理计算出最小值． 【详解】（1）解：根据题意可知，、、三点共线时，的值最小，即为可取到的最小值， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故的最小值为． （2）解：如图，构造和，使，，， 过点作，交的延长线于点， 设，， ，， ， 据图可知，当点、、三点共线时，的值最小，最小值为， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故的最小值为． （3）解：如图，构造和，使，，，过点作，交的延长线于点， 设，则， ，， ， 据图可知，当点、、三点共线时，的值最小，最小值为， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故的最小值为． 9．（25-26八年级上·河南南阳·期末）消防队的云梯是一种伸缩梯，它通过液压系统驱动，能够快速调整高度，方便消防员迅速到达高层建筑进行灭火或救援．如图，一架伸缩梯斜靠在墙上，此时它伸长至最长，达17米，量得它在地面上的位置A与墙的距离（的长）为15米． (1)求处与地面的距离； (2)若此伸缩梯向墙面靠近6米到点处，其上端到达处上方4米的点处，求此时伸缩梯的长度； (3)现有一辆高4米的消防车，它上面的新型云梯最多伸长到25米．一天，某栋楼高24米处一老人需要救援，消防员将此云梯伸到最长，要想顺利救下老人，则此云梯底端应距离高楼_____米．（不考虑其他因素） 【答案】(1)B处与地面的距离是8米 (2)伸缩梯的长度是15米 (3)15 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）直接根据勾股定理在中求解即可； （2）先求出，，再根据勾股定理在中求解即可； （3）根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，米，米， ∴（米）， 答：处与地面的距离是8米． （2）解：由题意得米，米， ∴（米）， （米）， ∴在中，（米）， 答：此时伸缩梯的长度是15米． （3）解：如图， 由题意可得米，米，米，， ∴（米）， ∴在中，（米）． 答：此云梯底端应距离高楼15米． 故答案为：15． 10．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中． (1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的示意图； (2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，求这一层圆形旋转楼梯的扶手长度．（取3） 【答案】(1) 如图3所示，线段即为所求； (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意画出对应的展开示意图是解题的关键． （1）展开图所示的长方形的一条对角线（经过点A）即为该扶手在展开图中的位置，据此作图即可； （2）利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图3所示，根据题意可得， 在中，由勾股定理得， 答：这一层圆形旋转楼梯的扶手长度为． 1 / 10 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