专题01 勾股定理定理及其逆定理11类热考题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 以“通法归纳+题型精讲+压轴挑战”构建勾股定理专项训练体系，提炼“正用先确认、逆用比最大”核心方法，覆盖11类热考题型，培养几何直观与推理能力，实现从基础到压轴的能力递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心总结|直角三角形边关系、定理正逆用、图形构造转化；两条应用原则|概念原理→方法提炼| |题型精讲|11类（每类1典例+3变式）|每类题型特征+方法+易错提醒（如折叠问题设元列方程、网格构造直角三角形）|基础应用→拓展应用（面积/网格/折叠等）| |压轴挑战|16道综合题|综合运用勾股定理与几何变换、函数图象等|综合压轴→思维突破|

专题01 勾股定理定理及其逆定理11类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、用勾股定理解三角形 1 类型二、勾股定理的证明 2 类型三、以直角三角形三边为边长的图形面积 8 类型四、勾股定理与网格问题 13 类型五、勾股定理与折叠问题 17 类型六、以弦图为背景的计算问题 20 类型七、利用勾股定理求两条线段的平方和/差 24 类型八、勾股定理与无理数 27 类型九、利用勾股定理构造图形解决问题 31 类型十、直角三角形的判定 39 类型十一、利用勾股定理逆定理求解 44 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 勾股定理及其逆定理是初中几何中联系三角形边与角、代数与图形的枢纽内容，所有题型均围绕直角三角形边的关系、定理的正用与逆用、图形的构造转化三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是 "正用先确认"—— 用勾股定理求边前必须先确认三角形是直角三角形，并分清直角边与斜边（斜边为最长边），两直角边的平方和等于斜边的平方；二是 "逆用比最大"—— 用逆定理判定直角三角形时，须先找出最长边，验证最长边的平方是否等于另两边平方之和，三边数值须先化简。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、用勾股定理解三角形 典例精讲1（26-27九年级上·北京·开学考试）在中，，，则的长为__________． 【答案】或 【详解】解：当为斜边时，和为直角边， ∵ 在中，，， ∴ 由勾股定理得：； 当为斜边时，和为直角边， ∴ 由勾股定理得：； 当为斜边时，，斜边长度小于直角边，此种情况不存在，舍去； 综上，的长为或． 题型归纳 1.特征：已知直角三角形的两边求第三边，或已知一边及比例求其它边。 2.方法：确认直角三角形并识别直角边、斜边→若知两边直接代入 a²+b²=c² 求第三边→若知一边一比例，设元后用勾股定理列方程求解。 3.易错提醒：求斜边用加法、求直角边用减法（c²−a²），须先判断所求边是斜边还是直角边 变式训练1（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）若的两直角边a、b与斜边c，满足：，，则（     ） A．20 B．15 C．12 D．14 【答案】D 【分析】需结合勾股定理与完全平方公式的变形，整体求解的值． 【详解】解：∵中为斜边，， ∴， ∵， ∴， 将代入上式，得， ∴． 变式训练2（21-22八年级下·四川德阳·阶段检测）在中，，垂直交于，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出，根据等面积法得到，进而根据勾股定理计算即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 变式训练3（2022·山东枣庄·模拟预测）如图，已知是的中线，，垂足为点A，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】延长到E使，连结，先根据证明，则可得 ，在中根据勾股定理可得，进而可得，再在中根据勾股定理求得，进而可得． 【详解】解：延长到E使，连接， ∵是的中线， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， ∴， ∴． 类型二、勾股定理的证明 典例精讲2（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则，据此可判断A；小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则，据此可判断B；C选项中的图形不能证明勾股定理；中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去个直角三角形面积，则，据此可判断D． 【详解】解：A、大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于， ， ， ， 故该选项能证明勾股定理，不符合题意； B、小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则小正方形的面积等于， ， ， ，故该选项能证明勾股定理，不符合题意； C、选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意； D、中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去个直角三角形面积，则中间等腰直角三角形的面积为， ， ， ，故该选项能证明勾股定理，不符合题意． 题型归纳 1.特征：利用图形面积（割补、拼接）证明勾股定理 a²+b²=c²。 2.方法：选择或构造图形（如赵爽弦图、毕达哥拉斯拼图）→用两种方法表示同一图形的总面积（整体与分割）→建立等式化简得 a²+b²=c²。 3.易错提醒：面积等式的两边必须表示同一图形；用字母表示边长与面积时须标注清晰，避免含混。 变式训练1（25-26八年级上·湖北武汉·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式与数形结合思想，熟练掌握以上知识点是解题的关键．运用平方差公式与数形结合思想，根据等式的几何意义，判断各选项图形是否符合该等式． 【详解】解：选项A是推导的图形，不涉及，不符合题意； 选项B是推导的图形，符合题意； 选项C是勾股定理的相关图形，与等式无关，不符合题意； 选项D表示边长为的大正方形与边长为的小正方形的面积差，等于4个长为、宽为的长方形的面积和，符合等式； 故选B． 变式训练2（25-26八年级下·北京昌平·期中）如图，两个全等的直角三角形与一个小直角梯形恰好拼成一个大直角梯形，请你利用此图证明勾股定理． 【答案】证明：如图． 由两个全等的直角三角形，得． ， ， ， ， ． 【分析】先说明，由图形可知，然后运用三角形的面积公式化简整理即可证明结论． 【详解】证明：略． 变式训练3（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法．下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由个正方形和个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由个全等的直角三角形和个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为_____． ，_____，_____， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． (3)这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式． 【答案】(1)，， (2) 由题意可知，， ， ∵， ∴，即． (3) 如图所示：可解释的代数恒等式为． 【分析】（1）根据直角三角形和正方形的面积公式，得到三角形面积为，正方形的面积为即可； （2）分别表示和，根据即可得结论； （3）根据完全平方公式，画出图形即可． 【详解】（1）证明：由图1，知，正方形的边长为， ∵，，， ，即． （2）略 （3）略 类型三、以直角三角形三边为边长的图形面积 典例精讲3（21-22八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，，若，，则的值为（     ） A．4 B．3 C．22 D．不能确定 【答案】A 【分析】先由正方形的面积公式将，，，分别用含、、的式子表示，再根据勾股定理得到、、之间的等式，再转化为，，之间的等式，代入数值，即可求出的值． 【详解】解：∵以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型归纳 1.特征：以直角三角形三边为边作正方形（或其它图形），求面积或面积关系。 2.方法：由勾股定理 a²+b²=c²→三边对应图形的面积间满足 "两小图形面积之和 = 最大图形面积"→按比例或已知面积求未知面积。 3.易错提醒：面积关系由勾股定理导出，须先确认三图形分别以三边为边；最大面积对应斜边，勿配错。 变式训练1（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形．若正方形A，C的面积分别为1和6，则正方形B的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先得到，，证明，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意得，， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴正方形B的面积为7． 变式训练2（25-26八年级下·湖北孝感·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，，若，，则_________． 【答案】 【分析】连接，根据正方形的面积公式推出，根据勾股定理可得，据此代入求值即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，，，，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴或（舍去）． 变式训练3（25-26八年级下·广西崇左·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)【初步探究】如图①，分别以三条边为边向外作正方形，其面积分别用表示．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (2)【类比探究】如图②，分别以三条边为直径向外作半圆，其面积分别用表示，请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (3)【探究应用】如图③，分别以三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用表示，则之间满足的等量关系是 ． (4)【拓展应用】如图④，在四边形中，，现以四边形的四条边为边向外作正方形，其面积分别为．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】(1) 解：，理由如下： 在中，根据勾股定理得，， 又∵，， ∴； (2) 解：，理由如下： 设，，， ∴，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴； (3) (4) 解：，理由如下： 如图，与的交点记为点， ∵， ∴ ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴，， ∴． 【分析】（1）根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （2）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （3）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （4）与的交点记为点，由勾股定理，结合正方形的面积，可得，，，，即可得、、、之间的数量关系． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图， 设，，，则，，， ，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴； （4）略 类型四、勾股定理与网格问题 典例精讲4（25-26八年级下·山东日照·期末）如图，在的正方形网格中标记了和，则与的度数之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可以设正方形边长为1，标出对应格点，通过勾股定理逆定理判定出为等腰直角三角形，再由平行性质知，即可求出． 【详解】解：如图，标出和，设正方形边长为1， 由点都在格点上和勾股定理可求得， ，且 是等腰直角三角形，， 由平行线性质知， ． 题型归纳 1.特征：在网格中求线段长、判断角度或验证勾股关系。 2.方法：利用网格线构造直角三角形→以格距为单位数出两直角边→用勾股定理求斜边长或判断线段是否构成直角三角形。 3.易错提醒：斜线段长度必须用勾股定理计算，不能直接数格；网格单位长度须统一，注意正方形网格与长方形网格的区别。 变式训练1（25-26八年级下·宁夏固原·期中）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，A，B，C三点均在正方形的顶点上，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．点A到直线的距离是2 【答案】A 【分析】先利用勾股定理计算三边长度，再通过勾股定理逆定理判断直角，接着用直角三角形面积公式求面积，最后用等面积法求点到直线的距离，逐一验证选项． 【详解】解：∵，，， ， ，故B，C选项的结论正确，不符合题意； ，故A选项的结论错误，符合题意； 设点到直线的距离是，则， ，故D选项的结论正确，不符合题意． 变式训练2（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E都是网格线交点，则______°． 【答案】 【分析】连接、，由勾股定理逆定理得到是等腰直角三角形，，再证明，得到，由即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 由勾股定理得：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 变式训练3（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，在单位长度为1的的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，线段，的顶点都在格点上． （1）线段，的长度分别为______，______； （2）设，所夹的锐角为，则的度数为______°． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理在网格中的应用（用于计算线段长度），以及平移法或特殊三角形性质（用于确定两线段夹角）．解题时需准确识别网格中线段的横向、纵向格数差，再结合几何定理推导． （1）利用勾股定理，结合网格中线段横向与纵向的格数差确定直角边长度，进而求出斜边（即线段长度）； （2）可通过构造平行线转化夹角，再结合特殊三角形性质确定角度即可． 【详解】解：（1）由题意得，， 故线段，的长度分别为，． 故答案为：，． （2）如图，选取格点，连接，． 由勾股定理逆定理，易得为等腰直角三角形， 所以， 由图可知， 所以． 故答案为：． 类型五、勾股定理与折叠问题 典例精讲5（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，，，，点D在上，将 沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上，则线段的长为______． 【答案】5 【分析】先根据勾股定理，求得，接着利用折叠可得，，，最后在中利用勾股定理求得答案． 【详解】解：， ∴， ∴由翻折得，，， ∴，，， ∴， v即， 解得． 题型归纳 1.特征：图形折叠后求线段长，常结合直角三角形。 2.方法：折叠前后对应边相等、对应角相等→标出相等线段→设未知数，用勾股定理列方程→求解。 3.易错提醒：折叠重合的边须标清；设元后各边均须能用未知数表示，方程中勿混入已知量与未知量。 变式训练1（2022·宁夏吴忠·模拟预测）如图中，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为________． 【答案】5 【分析】设，由翻折的性质可知，则，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，由翻折的性质可知，则， 是的中点， ． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 即． 变式训练2（25-26八年级下·北京·期末）如图，在中，，，．将分别沿，折叠，使点A，C都与点B重合，若，则________． 【答案】 【分析】根据折叠计算可得，设，则，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：， ， 由折叠得，，，，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得， ． 变式训练3（25-26八年级下·安徽六安·期中）如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则 (1)请试着判断的形状，是__________三角形； (2)线段的长为__________． 【答案】(1)等腰直角 (2)/ 【分析】（1）根据折叠可得，，，，，然后推导出是等腰直角三角形； （2）求得，，，从而求得，． 【详解】（1）解：根据折叠的性质可知，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 类型六、以弦图为背景的计算问题 典例精讲6（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【答案】D 【分析】首先利用大正方形的边长，结合勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，从而确定小正方形的边长，最后运用勾股定理计算直角三角形中的长度． 【详解】解： 大正方形的边长为，， 直角三角形另一条直角边． ， ， ， ∴在正方形中，， 在直角三角形中，． 题型归纳 1.特征：以弦图（赵爽弦图等）为背景，利用其边长关系求面积、周长或边长。 2.方法：识别弦图结构（四个全等直角三角形围成中间小正方形）→利用全等三角形对应边、勾股定理建立关系→列式求解。 3.易错提醒：弦图中 "大正方形边长、小正方形边长、直角三角形两直角边" 三者关系须理清；面积计算注意加减关系。 变式训练1（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 【答案】D 【分析】根据题意确定延长的直角边，利用勾股定理求出“数学风车”叶片的斜边长，再根据周长公式计算即可． 【详解】解：，，， 为较短的直角边， 将较短的直角边向外延长一倍， 延长部分， 新直角三角形的直角边， 在中，由勾股定理得：， “数学风车”的周长为． 变式训练2（25-26八年级下·重庆·期末）我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给了如图所示的图形：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，后世称之为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图所示的新图案．若图中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图中阴影部分的面积为，则的值为（     ） A．18 B．22 C．26 D．30 【答案】B 【分析】分别求出三角形的面积，正方形的面积，计算即可． 【详解】解：如下图， 由题意得：， ， ， 同理， ． 变式训练3（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大、一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边长为，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，求该飞镖状图案的面积． 【答案】(1) 证明：根据题意，得， ， 则，即； (2) 【分析】此题考查了勾股定理与弦图，完全平方公式， （1）根据，，进行推理验证即可； （2）求出直角三角形的边长，设，依题意有，求出x，再根据直角三角形的面积去求． 【详解】（1）略 （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为， ， 设，则， 由勾股定理，得， 解得， ， ∴该飞镖状图案的面积是． 类型七、利用勾股定理求两条线段的平方和/差 典例精讲7（2026·安徽六安·一模）如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 【答案】C 【分析】取斜边中点，得，设，则，由勾股定理得代入变形求解即可． 【详解】解：取斜边中点， ∵是等腰直角三角形， 则，且， 设，则， 在中，由勾股定理：， 则， 即：， 故． 题型归纳 1.特征：求两条线段（或两数）的平方和或平方差，常需构造直角三角形。 2.方法：将所求两线段分别作为直角边（或斜边与直角边）构造直角三角形→由勾股定理直接得出平方和 / 差→按需求化简。 3.易错提醒：构造的直角三角形须使所求线段恰为定理中对应的边；平方差对应 "斜边 ²−直角边 ²"，注意顺序。 变式训练1（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 变式训练2（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则__________． 【答案】60 【分析】本题主要查了勾股定理，理解并灵活运用勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，，从而得到，再代入相关数据即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ． 故答案为：60． 变式训练3（22-23八年级下·山西大同·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为___________．    【答案】 【分析】根据常见的“手拉手全等模型”，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    因为和都是等腰直角三角形，， 即 故 故答案为： 【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．掌握相关几何知识是解题的关键． 类型八、勾股定理与无理数 典例精讲9（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是________． 【答案】 【分析】由勾股定理求出的长度，进而得的长度，则可求得点表示的数． 【详解】解：由勾股定理得， 由作图知， 则点表示的数为． 题型归纳 1.特征：借助勾股定理构造线段表示无理数（如√2、√3 在数轴上的表示）。 2.方法：将无理数写成两平方数之和 / 差的算术平方根→构造对应直角边长度的直角三角形→斜边即为该无理数长度→在数轴上截取。 3.易错提醒：数轴上的表示须从原点起作垂线构造；连续构造时注意用已作出的线段作为下一步的直角边。 变式训练1（25-26八年级上·山西运城·期中）小丽同学在数轴上按照如图所示的方法画出了，，，及点，则点表示的数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，利用勾股定理解答即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 变式训练2（25-26八年级下·陕西商洛·期末）我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图①，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是 ； (2)在图②中，作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹） 【答案】(1) (2)如图，点表示的实数为． 构造直角如图所示，直角边落在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，，则，， 由勾股定理得， 以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则， ∴点表示的实数为． 【分析】（1）根据勾股定理求出，得到，即可解答； （2）以实数为圆心，半径长作弧与数轴的交点即为表示的实数为，通过构造直角三角形得到半径长即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由作图，可知， ∵点与数轴原点重合， ∴点表示的实数是； （2）略 变式训练3（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）综合与实践：小谦在学完“无理数”后非常兴奋，想自己动手探索“如何在数轴上表示无理数”，于是按照课堂学习的过程，开展了下面的探索： 探索“如何在数轴上表示无理数” 工具准备：两张边长为1个单位长度的正方形卡纸；若干张白纸，铅笔，记号笔，剪刀，圆规等． 操作一：如图1，把两张边长为1个单位长度的正方形卡纸分别沿对角线裁开后拼成一个边长为的大正方形． (1)大正方形的面积为______；小正方形的对角线长为______． 操作二：如图2，在白纸上画出数轴，将边长为1个单位长度的正方形卡纸如图放置，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与坐标轴分别交于点，点． (2)点表示的数为______；点表示的数为______． 操作三：在上面数轴上用记号笔标出点的位置，表示数2的点记为，原点记为点，然后将数轴的正半轴剪下，得到如图3的“纸条”． (3)______；______； (4)如图4，将“纸条”沿着点对折，则点的对应点表示的数为______． 【答案】(1)2，； (2)，； (3)，； (4)． 【分析】（1）两个边长为1的小正方形面积和等于大正方形面积；由勾股定理求小正方形对角线； （2）圆半径为，原点右侧A为正数、左侧B为负数； （3）是圆的半径；用计算； （4）折叠后是、中点，利用中点公式求对应的数． 【详解】（1）解：小正方形面积：，两个小正方形总面积，因此拼成的大正方形面积为． 小正方形边长为，由勾股定理，对角线长． （2）解：圆半径等于小正方形对角线长． 点在原点右侧，故表示的数为； 点在原点左侧，故表示的数为． （3）解：是圆的半径，因此； 表示数字，即， ． （4）解：纸条沿对折，说明是线段的中点． ， 则点表示的数为． 类型九、利用勾股定理构造图形解决问题 典例精讲10（25-26八年级上·河南郑州·期末）勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 【答案】(1) 验证：在图中，， 在图中， ∴， ∴． (2)； (3) 【分析】（1）利用正方形的面积一定，得出等式，化简即可； （2）利用勾股定理求出的长，进而计算即可； （3）利用勾股定理，结合（2）的思路，得出的最小值为的长即可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴最大为． （3）解：由图可得，，， ∴， 由（2）可知，点在线段上时，取最小值， ∴的最小值为的长， ∵正方形的边长为， ∴， ∴的最小值为． 题型归纳 1.特征：实际问题或几何问题需通过作辅助线构造直角三角形后用勾股定理求解。 2.方法：分析题意确定需求量→作高、连线等辅助线构造直角三角形→标出已知边角→用勾股定理列式求解。 3.易错提醒：辅助线构造的三角形须确为直角三角形；实际应用（如最短路径、测量）中注意将问题转化为数学图形。 变式训练1（25-26八年级上·湖南郴州·期末）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 【答案】(1)10 (2)①；② 【分析】本题考查了勾股定理的应用、三角形三边关系、将军饮马模型以及数形结合思想，解题的关键是根据代数式的几何意义构造直角三角形，将代数问题转化为几何最值或求解问题。 （1）构造以、和、为直角边的两个直角三角形，拼接成共边线段长为的图形，过其中一个直角三角形的顶点作平行线构造新的直角三角形，利用勾股定理计算出共线时的线段长度，即为代数式的最小值； （2）①构造以为公共直角边，斜边分别为、的两个直角三角形，结合已知等式判断出大三角形为直角三角形，利用面积法或两边平方的代数方法求解的值； ②构造两个直角三角形表示出代数式中的两个根式，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”，确定三点共线时差值取得最大值，再构造直角三角形用勾股定理计算该最大值。 【详解】（1）如图（1），作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为10． （2）解：①如图（2），作与，且使，，， 则，，， 在中，，即为直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ②如图（3），作与，使，，， 则， 过点作于，连接，则，，，， 在中，由三边关系得：， 如图（4），当、、三点共线时，有最大值为． 【点睛】 变式训练2（25-26八年级上·江苏苏州·期中）借助勾股定理，我们可以在数轴上找到一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，等腰直角三角形的直角边长为1个单位长度，以原点为圆心，斜边长为半径画弧与数轴交于点，则点对应的数为． 拓展思考：如图2，改变图1中三角形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段，其中仍在原点，点在原点的左侧，可由线段的长得到点所表示的无理数，按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点． 任务： (1)点表示的数为______． (2)把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图3中画出裁剪线，并在图4的框中画出所拼得的大正方形的示意图 (3)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)如同： (3) 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片， 理由：正方形纸片的面积为，故其边长为． 设长方形的宽为，则长为， 由面积得：，即，解得， ∴长方形的长为． ∵，，且， ∴，即长方形的长超过了正方形的边长． 答：小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 【分析】本题考查了勾股定理的应用、数轴上无理数的表示，解题的关键是结合图形构造的线段长度，确定数轴上点对应的数． （1）根据图2中直角三角形的边长，结合圆弧的圆心与半径，确定点B表示的数； （2）由小正方形总面积确定大正方形边长，进行裁剪拼接； （3）通过计算长方形与正方形的边长，判断能否裁出． 【详解】（1）解：图2中，构造的直角三角形直角边长为1，由勾股定理得斜边长为， 以数轴上表示1的点为圆心，为半径画弧，交原点左侧的数轴于点B， 则点B表示的数为． 故答案为：． （2）解：5个小正方形的总面积为，故大正方形的边长为． 裁剪线：在图3中，将右上角小正方形沿对角线裁剪为两个直角三角形，再分割左侧的正方形（裁剪线如下图左所示）； 拼接示意图：将裁剪后的部分拼接成边长为的正方形（如下图右所示）． （3）略 变式训练3（24-25八年级下·广西崇左·期末）如图1，已知点O是矩形的边上一点， 求证：． 分析求证：观察求证目标，为二次型等式，结构与勾股定理类似，考虑构造直角三角形利用勾股定理进行求证． 证明：过O 点作 垂直，垂足为E， 设，，， 在直角三角形中， 在直角三角形中， 所以 即得证 请您模仿以上方法完成以下问题； (1)如图2，已知点O 是矩形内任意一点，求证：； (2)如图3，已知点O在矩形的外部，结论还能成立吗？请给予证明． 【答案】(1) 证明：过O点作垂直与分别交于点， 设， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 所以， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ， 即． (2) 解：结论仍成立，证明如下： 过O点作垂直与分别交于点， 设， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 所以， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 所以， 所以． 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． （1）过O点作垂直与分别交于点，设，根据勾股定理分别表示出，， ，，即可证明； （2）结论仍成立，同（1）思路即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 类型十、直角三角形的判定 典例精讲10（26-27八年级上·全国·课后作业）试判断下列各组以为三边长的三角形是不是直角三角形．如果是，那么哪一条边所对的角是直角？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是直角三角形，边所对的角是直角 (2)是直角三角形，边所对的角是直角 (3)不是直角三角形 (4)是直角三角形，边所对的角是直角 【分析】（1）先确定最长边，计算两条较短边的平方和与最长边的平方，根据二者是否相等判断是否为直角三角形；若为直角三角形，最长边所对的角为直角.是直角三角形； （2）类比（1）求解即可； （3）类比（1）求解即可； （4）类比（1）求解即可． 【详解】（1）解：∵ ，最长边为， 又，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，边所对的角是直角； （2）解：∵，最长边为， 又，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，边所对的角是直角； （3）解：∵，最长边为和（长度均为）， 又，， ∴， ∴最长边所对的角不是直角，该三角形不是直角三角形； （4）解：设三边长的每份长度为（），则，，，最长边为， 又，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，边所对的角是直角． 题型归纳 1.特征：判断一个三角形是否为直角三角形，或由条件证明其为直角三角形。 2.方法：已知三边用勾股定理逆定理（最大边平方 = 另两边平方和）；已知角用角的关系（两锐角互余或有一个直角）→给出判定结论并说明理由。 3.易错提醒：用逆定理时须先找最大边再验证，不可随意选两边比较；勾股定理与逆定理方向不可混淆。 变式训练1（24-25八年级上·河南平顶山·期中）已知，点，，、 (1)在这个坐标平面内画出 (2)计算的面积； (3)若点P在y轴上，且与的面积相等，求点 P 的坐标． 【答案】(1) 如图所示． (2) (3)点的坐标是或 【分析】本题主要考查的是点的坐标与图形的性质，在网格中判断直角三角形，以及三角形的面积等知识． （1）确定出点、、的位置，连接、、即可； （2）先判断是直角三角形，然后根据三角形的面积公式求解即可； （3）设点，然后根据与的面积相等得出求解即可． 【详解】（1）略 （2）因为， 所以， 所以是直角三角形， 所以． （3）设点， ∵与的面积相等， ∴， ∴， 所以或， 所以点的坐标是或． 变式训练2（25-26八年级上·广东河源·期末）如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上． (1)直接写出 ， ， ； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理求出线段长即可； （2）根据勾股定理的逆定理求出结论即可； 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）可知中，，． ，且， ∴ ∴是直角三角形． 变式训练3（25-26八年级上·北京西城·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． (1)在图①中以线段为腰画一个等腰锐角三角形； (2)在图②中以线段为底画一个等腰直角三角形； (3)在图③中画等腰钝角三角形． 【答案】(1) 如下图所示，即为所求作， (2) 如下图所示，即为所求作， (3) 如图，为所求作， 【分析】本题考查借助网格作图、勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形． （1）以点为等腰三角形的顶点，作，即为所求； （2）借助网格作，，可得：，根据勾股定理的逆定理可知是以线段为底的等腰直角三角形； （3）借助网格作．且，是以为底边的等腰三角形． 【详解】（1） 由勾股定理可知：， 即是等腰三角形； （2） 由图可知，，， ， 是等腰直角三角形； （3） 如图：．且， 是等腰钝角三角形． 类型十一、利用勾股定理逆定理求解 典例精讲11（25-26八年级下·重庆丰都·期中）一个三角形的三边长分别为，则这个三角形最长边上的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题先利用勾股定理逆定理判断三角形的形状，确定最长边为直角三角形的斜边，再利用三角形面积的两种表示方法列方程求解最长边上的高． 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形，最长边是斜边， 设最长边上的高为， ∵ 三角形面积可表示为，也可表示为， ∴， 解得． 题型归纳 1.特征：已知三角形三边满足 a²+b²=c²（或由条件推出），利用逆定理求角度、面积或其它量。 2.方法：先由三边关系用逆定理判定直角三角形→确认直角所对边→再利用直角三角形性质（勾股定理、面积公式）求解。 3.易错提醒：判定后直角顶点与斜边须对应正确；求面积时两直角边互为底和高，勿错用斜边。 变式训练1（2026·广东广州·一模）如图，在中，，，，点是的中点，则长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】首先根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 是直角三角形，且， 点是的中点， 是斜边上的中线， ． 变式训练2（25-26八年级下·山东临沂·期中）高师傅有5根长度（单位：dm）分别为的钢条，准备选三根焊接一个直角三角形钢架，请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合________． 【答案】5，12，13和9，12，15 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是利用基础勾股数及其倍数规律快速筛选，再通过“最长边优先”原则验证，减少无效计算． 先列出常见基础勾股数及其倍数，与题目中的钢条长度比对，直接锁定符合条件的组合；再按最长边优先原则验证，排除其余组合． 【详解】解：常见基础勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25等，其正整数倍仍为勾股数． 5，12，13为基础勾股数，故组合5，12，13满足条件． 9，12，15是3，4，5的3倍，故组合9，12，15满足条件． 其余组合均不满足勾股定理的逆定理． 故答案为：5，12，13 和 9，12，15． 变式训练3（25-26八年级上·江苏·阶段检测）如图，在中，平分，，，且的面积为4，则的面积为__________． 变式：若，则__________， __________． 【答案】 7 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，运用勾股定理以及角平分线的性质求解． 过点分别作的垂线，垂足分别为，根据角平分线性质定理得到，由面积法得到，即可求解，即可求解的面积；过点作于点，由面积法得到，则，即可求解，然后通过勾股定理逆定理证明，则，可得为等腰直角三角形，，通过等面积得到，，最后再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵的面积为4， ∴ ∴的面积为； 过点作于点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7，，． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义分别判断即可． 【详解】解：A、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项A不符合题意； B、∵，，，，，， ∴， 解得：，， ∵m、n无正整数解，故选项B符合题意； C、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项C不符合题意； D、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项D不符合题意． 2（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在网格中有5个格点，分别为、、、、，下列说法错误的是（     ） A． B． C．与不全等，但是面积相等 D．与的面积相等 【答案】C 【分析】根据网格的特点和全等三角形的判定定理可判断A、B、C；根据网格的特点求出和的面积可判断D． 【详解】解：A、由网格的特点可得， ∴，原说法正确，不符合题意； B、由网格的特点可得， ∴，原说法正确，不符合题意； C、设网格中的小正方形的边长为1，则，， 又∵， ∴，原说法错误，符合题意； D、设网格中的小正方形的边长为1，则，， ∴与面积相等，原说法正确，不符合题意． 3（2026·广东深圳·三模）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 4（21-22八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，，平分交于点D，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线，交于点P，则的长为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可以得到既是高线又是中线，进而可得到，的长度，然后由垂直平分线的性质得到，最后在中通过勾股定理求得的长． 【详解】解：连接，如图所示： 由题可得为等腰三角形，，，为的垂直平分线， ∵平分， ∴且D点为的中点， ∴，， 设，则， 在中，， 解得：， 即． 5．（21-22八年级下·浙江杭州·开学考试）如图，中，，两直角边，在三角形内有一点到各边的距离相等，则这个距离是（     ） A．1 B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据点P到各边的距离相等，结合勾股定理，三角形的面积求解即可； 【详解】解：连接， 设， ， ． 再根据直角三角形的面积，， ， ， 解得． 6．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在网格中，且，，都在格点处，现要找一格点，使得平分，甲乙两位同学给出了各自的作法，则下列说法正确的是（     ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 【答案】C 【分析】图甲中可证明，则由三线合一定理可得平分；图乙中可证明，则，再由平行线的性质得到，则可证明，即平分． 【详解】解：如图甲所示， 设小方格的边长为1， ∴，， ∴， 由网格的特点可知， ∴平分； 如图乙所示， 同理可得，则， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； 综上所述，甲乙都对． 7．（25-26八年级下·陕西商洛·期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到是解题的关键．根据勾股定理的逆定理可以证明为直角三角形，根据三个角都是直角的四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，时，的值最小，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∵于点E，于点F， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，当的值最小时，的值最小， 当时，的值最小， 此时， ∴的最小值为， 8．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，点与原点重合，连接，以点为圆心，以长为半径画弧，与数轴负半轴交于点，则点所表示的数是________． 【答案】 【分析】根据勾股定理求解． 【详解】解：由题意知：， 在中，， ∵是以长为半径画弧， ∴， ∵点在原点的左侧， ∴点所表示的数为． 9．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，分别以的三边为边作正方形，正方形，正方形，交于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得，则有，然后根据割补法可进行求解． 【详解】解：在中，， ∴由勾股定理得：， ∵以的三边为边作正方形，正方形，正方形， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，，于点，是边的中点，若． （1）的度数为________； （2）的值为________． 【答案】 45 【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质和三角形的内角和计算； （2）根据勾股定理计算． 【详解】解：（1）设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 设， 则， ∴，， ∴． 11．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知，，点是轴上的动点，作交轴于点，为的中点，连接，则的最小值是____________ 【答案】 【分析】设点坐标为，点坐标为，利用及相似三角形性质得出与的数量关系；根据中点坐标公式表示出点的坐标，表示出的长度，配方后求解即可． 【详解】设，， ， ∴， ， ， ∵， ∴ ， 整理得，即点坐标为， 为的中点 , 设，则，， ∴， ∴ ， ， ∴当时，有最小值，最小值为． 12．（26-27八年级上·全国·课后作业）欧几里得在《几何原本》中给出了勾股定理的一个证明，其思路是把直角三角形斜边所构成的正方形分割成两个长方形，然后证明每个长方形的面积分别与两个由直角边所构成的正方形的面积相等．如图，在中，，由的三边分别向外作正方形，过点C作的垂线，分别交、于点J和点K，这样就把正方形分成两个长方形和．连结、．请试着利用该图形证明勾股定理． 【答案】证明：如图，过点C作的垂线，分别交于点J和点K，连接、、、． ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】如图，过点C作的垂线，分别交于点J和点K，连接、、、．先根据证明，则可得，进而可得，同理可得，进而可得，从而可得． 【详解】略 【点睛】本题主要考查利用割补法和面积法证明勾股定理，证明， 是解题的关键． 13（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，小方格都是边长为的正方形．求四边形的面积和周长（均精确到）． 【答案】四边形的面积为，周长约为 【分析】利用割补法求面积：把四边形的面积转化为个三角形的面积和，计算四边形的边长时利用勾股定理解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：由图可知，， 格点图形中每个小正方形的边长为， ，， ， 根据格点图形的特征，由勾股定理可得： ， ， ， ， 四边形的周长为：． 四边形的面积为，周长约为． 14．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知的三边长分别为，，，分别以它的三边为直径向上作三个半圆．求图中着色部分的面积． 【答案】 【分析】设以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为，可得， 根据圆的面积公式以及直角三角形的面积公式，分别求得、、、的面积，即可解答． 【详解】解：如图，设以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为， 的三边长分别为，，， ，，，， ； 15．（26-27八年级上·全国·课后作业）已知的三边长满足条件：．试判断的形状． 【答案】解：由题意得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴是等腰三角形或直角三角形． 【分析】利用提取公因式法和公式法分解已知等式，由此即可得． 【详解】略． 16．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）【初步探究】 (1)如图1，在中，，在外作线段（点B、A、D不在同一条直线上），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【实践应用】 (2)某校数学兴趣小组开展了几何图形探究与设计实践活动，组员们利用四边形和等边三角形的组合性质，设计了一个几何探究图形如图2，在四边形中，是对角线，是等边三角形，小组在测量和研究中发现，，对角线，为了完整确定这个探究图形的所有边长，兴趣小组需要求出的长，请你运用几何知识帮他们完成探究计算． 【答案】(1)猜想：，理由如下， ， ，． 由旋转性质得，． ， ， 即． 在和中， ， ． (2)4 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）以为边作等边，连接，证明，得到，推出为直角三角形，勾股定理求出的长即可. 【详解】（1）略 （2）解：如图，以为边作等边，连接， 是等边三角形， ，． 为等边三角形， ，． ， 即． 在和中， ， ， ，， ， 为直角三角形，其中，， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理定理及其逆定理11类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、用勾股定理解三角形 1 类型二、勾股定理的证明 2 类型三、以直角三角形三边为边长的图形面积 4 类型四、勾股定理与网格问题 5 类型五、勾股定理与折叠问题 6 类型六、以弦图为背景的计算问题 8 类型七、利用勾股定理求两条线段的平方和/差 9 类型八、勾股定理与无理数 10 类型九、利用勾股定理构造图形解决问题 12 类型十、直角三角形的判定 15 类型十一、利用勾股定理逆定理求解 16 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 勾股定理及其逆定理是初中几何中联系三角形边与角、代数与图形的枢纽内容，所有题型均围绕直角三角形边的关系、定理的正用与逆用、图形的构造转化三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是 "正用先确认"—— 用勾股定理求边前必须先确认三角形是直角三角形，并分清直角边与斜边（斜边为最长边），两直角边的平方和等于斜边的平方；二是 "逆用比最大"—— 用逆定理判定直角三角形时，须先找出最长边，验证最长边的平方是否等于另两边平方之和，三边数值须先化简。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、用勾股定理解三角形 典例精讲1（26-27九年级上·北京·开学考试）在中，，，则的长为__________． 题型归纳 1.特征：已知直角三角形的两边求第三边，或已知一边及比例求其它边。 2.方法：确认直角三角形并识别直角边、斜边→若知两边直接代入 a²+b²=c² 求第三边→若知一边一比例，设元后用勾股定理列方程求解。 3.易错提醒：求斜边用加法、求直角边用减法（c²−a²），须先判断所求边是斜边还是直角边 变式训练1（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）若的两直角边a、b与斜边c，满足：，，则（     ） A．20 B．15 C．12 D．14 变式训练2（21-22八年级下·四川德阳·阶段检测）在中，，垂直交于，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式训练3（2022·山东枣庄·模拟预测）如图，已知是的中线，，垂足为点A，若，，则的长为_____． 类型二、勾股定理的证明 典例精讲2（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：利用图形面积（割补、拼接）证明勾股定理 a²+b²=c²。 2.方法：选择或构造图形（如赵爽弦图、毕达哥拉斯拼图）→用两种方法表示同一图形的总面积（整体与分割）→建立等式化简得 a²+b²=c²。 3.易错提醒：面积等式的两边必须表示同一图形；用字母表示边长与面积时须标注清晰，避免含混。 变式训练1（25-26八年级上·湖北武汉·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（    ） A． B． C． D． 变式训练2（25-26八年级下·北京昌平·期中）如图，两个全等的直角三角形与一个小直角梯形恰好拼成一个大直角梯形，请你利用此图证明勾股定理． 变式训练3（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法．下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由个正方形和个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由个全等的直角三角形和个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为_____． ，_____，_____， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． (3)这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式． 类型三、以直角三角形三边为边长的图形面积 典例精讲3（21-22八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，，若，，则的值为（     ） A．4 B．3 C．22 D．不能确定 题型归纳 1.特征：以直角三角形三边为边作正方形（或其它图形），求面积或面积关系。 2.方法：由勾股定理 a²+b²=c²→三边对应图形的面积间满足 "两小图形面积之和 = 最大图形面积"→按比例或已知面积求未知面积。 3.易错提醒：面积关系由勾股定理导出，须先确认三图形分别以三边为边；最大面积对应斜边，勿配错。 变式训练1（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形．若正方形A，C的面积分别为1和6，则正方形B的面积为（     ） A． B． C． D． 变式训练2（25-26八年级下·湖北孝感·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，，若，，则_________． 变式训练3（25-26八年级下·广西崇左·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)【初步探究】如图①，分别以三条边为边向外作正方形，其面积分别用表示．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (2)【类比探究】如图②，分别以三条边为直径向外作半圆，其面积分别用表示，请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (3)【探究应用】如图③，分别以三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用表示，则之间满足的等量关系是 ． (4)【拓展应用】如图④，在四边形中，，现以四边形的四条边为边向外作正方形，其面积分别为．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． 类型四、勾股定理与网格问题 典例精讲4（25-26八年级下·山东日照·期末）如图，在的正方形网格中标记了和，则与的度数之和为（     ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：在网格中求线段长、判断角度或验证勾股关系。 2.方法：利用网格线构造直角三角形→以格距为单位数出两直角边→用勾股定理求斜边长或判断线段是否构成直角三角形。 3.易错提醒：斜线段长度必须用勾股定理计算，不能直接数格；网格单位长度须统一，注意正方形网格与长方形网格的区别。 变式训练1（25-26八年级下·宁夏固原·期中）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，A，B，C三点均在正方形的顶点上，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．点A到直线的距离是2 变式训练2（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E都是网格线交点，则______°． 变式训练3（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，在单位长度为1的的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，线段，的顶点都在格点上． （1）线段，的长度分别为______，______； （2）设，所夹的锐角为，则的度数为______°． 类型五、勾股定理与折叠问题 典例精讲5（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，，，，点D在上，将 沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上，则线段的长为______． 题型归纳 1.特征：图形折叠后求线段长，常结合直角三角形。 2.方法：折叠前后对应边相等、对应角相等→标出相等线段→设未知数，用勾股定理列方程→求解。 3.易错提醒：折叠重合的边须标清；设元后各边均须能用未知数表示，方程中勿混入已知量与未知量。 变式训练1（2022·宁夏吴忠·模拟预测）如图中，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为________． 变式训练2（25-26八年级下·北京·期末）如图，在中，，，．将分别沿，折叠，使点A，C都与点B重合，若，则________． 变式训练3（25-26八年级下·安徽六安·期中）如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则 (1)请试着判断的形状，是__________三角形； (2)线段的长为__________． 类型六、以弦图为背景的计算问题 典例精讲6（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 题型归纳 1.特征：以弦图（赵爽弦图等）为背景，利用其边长关系求面积、周长或边长。 2.方法：识别弦图结构（四个全等直角三角形围成中间小正方形）→利用全等三角形对应边、勾股定理建立关系→列式求解。 3.易错提醒：弦图中 "大正方形边长、小正方形边长、直角三角形两直角边" 三者关系须理清；面积计算注意加减关系。 变式训练1（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 变式训练2（25-26八年级下·重庆·期末）我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给了如图所示的图形：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，后世称之为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图所示的新图案．若图中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图中阴影部分的面积为，则的值为（     ） A．18 B．22 C．26 D．30 变式训练3（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大、一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边长为，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，求该飞镖状图案的面积． 类型七、利用勾股定理求两条线段的平方和/差 典例精讲7（2026·安徽六安·一模）如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 题型归纳 1.特征：求两条线段（或两数）的平方和或平方差，常需构造直角三角形。 2.方法：将所求两线段分别作为直角边（或斜边与直角边）构造直角三角形→由勾股定理直接得出平方和 / 差→按需求化简。 3.易错提醒：构造的直角三角形须使所求线段恰为定理中对应的边；平方差对应 "斜边 ²−直角边 ²"，注意顺序。 变式训练1（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 变式训练2（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则__________． 变式训练3（22-23八年级下·山西大同·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为___________．    类型八、勾股定理与无理数 典例精讲9（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是________． 题型归纳 1.特征：借助勾股定理构造线段表示无理数（如√2、√3 在数轴上的表示）。 2.方法：将无理数写成两平方数之和 / 差的算术平方根→构造对应直角边长度的直角三角形→斜边即为该无理数长度→在数轴上截取。 3.易错提醒：数轴上的表示须从原点起作垂线构造；连续构造时注意用已作出的线段作为下一步的直角边。 变式训练1（25-26八年级上·山西运城·期中）小丽同学在数轴上按照如图所示的方法画出了，，，及点，则点表示的数为_____． 变式训练2（25-26八年级下·陕西商洛·期末）我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图①，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是 ； (2)在图②中，作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹） 变式训练3（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）综合与实践：小谦在学完“无理数”后非常兴奋，想自己动手探索“如何在数轴上表示无理数”，于是按照课堂学习的过程，开展了下面的探索： 探索“如何在数轴上表示无理数” 工具准备：两张边长为1个单位长度的正方形卡纸；若干张白纸，铅笔，记号笔，剪刀，圆规等． 操作一：如图1，把两张边长为1个单位长度的正方形卡纸分别沿对角线裁开后拼成一个边长为的大正方形． (1)大正方形的面积为______；小正方形的对角线长为______． 操作二：如图2，在白纸上画出数轴，将边长为1个单位长度的正方形卡纸如图放置，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与坐标轴分别交于点，点． (2)点表示的数为______；点表示的数为______． 操作三：在上面数轴上用记号笔标出点的位置，表示数2的点记为，原点记为点，然后将数轴的正半轴剪下，得到如图3的“纸条”． (3)______；______； (4)如图4，将“纸条”沿着点对折，则点的对应点表示的数为______． 类型九、利用勾股定理构造图形解决问题 典例精讲10（25-26八年级上·河南郑州·期末）勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 题型归纳 1.特征：实际问题或几何问题需通过作辅助线构造直角三角形后用勾股定理求解。 2.方法：分析题意确定需求量→作高、连线等辅助线构造直角三角形→标出已知边角→用勾股定理列式求解。 3.易错提醒：辅助线构造的三角形须确为直角三角形；实际应用（如最短路径、测量）中注意将问题转化为数学图形。 变式训练1（25-26八年级上·湖南郴州·期末）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 变式训练2（25-26八年级上·江苏苏州·期中）借助勾股定理，我们可以在数轴上找到一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，等腰直角三角形的直角边长为1个单位长度，以原点为圆心，斜边长为半径画弧与数轴交于点，则点对应的数为． 拓展思考：如图2，改变图1中三角形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段，其中仍在原点，点在原点的左侧，可由线段的长得到点所表示的无理数，按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点． 任务： (1)点表示的数为______． (2)把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图3中画出裁剪线，并在图4的框中画出所拼得的大正方形的示意图 (3)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由． 变式训练3（24-25八年级下·广西崇左·期末）如图1，已知点O是矩形的边上一点， 求证：． 分析求证：观察求证目标，为二次型等式，结构与勾股定理类似，考虑构造直角三角形利用勾股定理进行求证． 证明：过O 点作 垂直，垂足为E， 设，，， 在直角三角形中， 在直角三角形中， 所以 即得证 请您模仿以上方法完成以下问题； (1)如图2，已知点O 是矩形内任意一点，求证：； (2)如图3，已知点O在矩形的外部，结论还能成立吗？请给予证明． 类型十、直角三角形的判定 典例精讲10（26-27八年级上·全国·课后作业）试判断下列各组以为三边长的三角形是不是直角三角形．如果是，那么哪一条边所对的角是直角？ (1)； (2)； (3)； (4)． 题型归纳 1.特征：判断一个三角形是否为直角三角形，或由条件证明其为直角三角形。 2.方法：已知三边用勾股定理逆定理（最大边平方 = 另两边平方和）；已知角用角的关系（两锐角互余或有一个直角）→给出判定结论并说明理由。 3.易错提醒：用逆定理时须先找最大边再验证，不可随意选两边比较；勾股定理与逆定理方向不可混淆。 变式训练1（24-25八年级上·河南平顶山·期中）已知，点，，、 (1)在这个坐标平面内画出 (2)计算的面积； (3)若点P在y轴上，且与的面积相等，求点 P 的坐标． 变式训练2（25-26八年级上·广东河源·期末）如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上． (1)直接写出 ， ， ； (2)判断的形状，并说明理由． 变式训练3（25-26八年级上·北京西城·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． (1)在图①中以线段为腰画一个等腰锐角三角形； (2)在图②中以线段为底画一个等腰直角三角形； (3)在图③中画等腰钝角三角形． 类型十一、利用勾股定理逆定理求解 典例精讲11（25-26八年级下·重庆丰都·期中）一个三角形的三边长分别为，则这个三角形最长边上的高是（     ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：已知三角形三边满足 a²+b²=c²（或由条件推出），利用逆定理求角度、面积或其它量。 2.方法：先由三边关系用逆定理判定直角三角形→确认直角所对边→再利用直角三角形性质（勾股定理、面积公式）求解。 3.易错提醒：判定后直角顶点与斜边须对应正确；求面积时两直角边互为底和高，勿错用斜边。 变式训练1（2026·广东广州·一模）如图，在中，，，，点是的中点，则长为（    ） A． B．2 C． D． 变式训练2（25-26八年级下·山东临沂·期中）高师傅有5根长度（单位：dm）分别为的钢条，准备选三根焊接一个直角三角形钢架，请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合________． 变式训练3（25-26八年级上·江苏·阶段检测）如图，在中，平分，，，且的面积为4，则的面积为__________． 变式：若，则__________， __________． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 2（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在网格中有5个格点，分别为、、、、，下列说法错误的是（     ） A． B． C．与不全等，但是面积相等 D．与的面积相等 3（2026·广东深圳·三模）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（     ） A． B． C． D． 4（21-22八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，，平分交于点D，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线，交于点P，则的长为（     ） A．1 B． C． D． 5．（21-22八年级下·浙江杭州·开学考试）如图，中，，两直角边，在三角形内有一点到各边的距离相等，则这个距离是（     ） A．1 B．3 C．6 D． 6．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在网格中，且，，都在格点处，现要找一格点，使得平分，甲乙两位同学给出了各自的作法，则下列说法正确的是（     ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 7．（25-26八年级下·陕西商洛·期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为____________． 8．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，点与原点重合，连接，以点为圆心，以长为半径画弧，与数轴负半轴交于点，则点所表示的数是________． 9．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，分别以的三边为边作正方形，正方形，正方形，交于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______． 10．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，，于点，是边的中点，若． （1）的度数为________； （2）的值为________． 11．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知，，点是轴上的动点，作交轴于点，为的中点，连接，则的最小值是____________ 12．（26-27八年级上·全国·课后作业）欧几里得在《几何原本》中给出了勾股定理的一个证明，其思路是把直角三角形斜边所构成的正方形分割成两个长方形，然后证明每个长方形的面积分别与两个由直角边所构成的正方形的面积相等．如图，在中，，由的三边分别向外作正方形，过点C作的垂线，分别交、于点J和点K，这样就把正方形分成两个长方形和．连结、．请试着利用该图形证明勾股定理． 13（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，小方格都是边长为的正方形．求四边形的面积和周长（均精确到）． 14．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知的三边长分别为，，，分别以它的三边为直径向上作三个半圆．求图中着色部分的面积． 15．（26-27八年级上·全国·课后作业）已知的三边长满足条件：．试判断的形状． 16．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）【初步探究】(1)如图1，在中，，在外作线段（点B、A、D不在同一条直线上），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【实践应用】(2)某校数学兴趣小组开展了几何图形探究与设计实践活动，组员们利用四边形和等边三角形的组合性质，设计了一个几何探究图形如图2，在四边形中，是对角线，是等边三角形，小组在测量和研究中发现，，对角线，为了完整确定这个探究图形的所有边长，兴趣小组需要求出的长，请你运用几何知识帮他们完成探究计算． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $