1.2 一定是直角三角形吗（分层作业·练题型）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 本同步练习围绕“一定是直角三角形吗”主题，采用A/B/C组及拓展分层设计，覆盖勾股定理逆定理从基础应用到综合拓展的完整路径，梯度清晰，适配新授课分层巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|直角三角形判定、勾股数、勾股树等基础应用|单选/填空/解答结合，如网格图形判断，培养几何直观与推理意识| |B组能力进阶|面积法、方位角、倍长中线等综合应用|复杂情境题，如四边形面积计算，提升运算能力与模型意识| |C组思维拔高|动态问题、最值探究等拓展应用|开放解答题，如动点直角三角形存在性，发展创新意识| |拓展链接中考|中考题型适配|真题改编题，强化应用意识与问题解决能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.2一定是直角三角形吗 A组 巩固过关 颗型01 判断三边能否构成直角三角形 一、单选题 1.A2.C 3.C4.B5.C6.B7.C8.A9.B 10.B 二、填空题 11.90° 12.不是 三、解答题 13解：a-9+b-12+c-15=0 .a=9,b=12,c=15, .92+122=152, ∴.△ABC是直角三角形 14.解：由三边长之比为3：4：5，故设三边长为3xcm,4xcm,5xcm, 由三角形的周长为24cm可得3x+4x+5x=24, 解得x=2, 三边分别：6cm,8cm,10cm, 62+82=102 ,该三角形为直角三角形. 15,证明：正方形ABCD的边长是4，r为CD的中点，E是BC上一点，且EC=8C。 8C-D:48-8C-CD-4 CE-C CF-DF-2 .BE=3, 试卷第1页，共3页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE=AB2+BE2=5 EF=CE2+CF2=5 AF=AD2+DF2=215 AF2+EF2=20+5=25=AE2 ∴△AEF是直角三角形 16.解：是直角三角形，理由如下： (AB21 ×2×2, 又9+8，=3 .AC2+BC2=AB2. .△ABC是直角三角形. 17.解：连接AC, D 街 A 街道 C 在Rt△ABC中，AB=7m,BC=24m. AC=VAB+BC2 =25m .CD=20m,AD=15m, .AD2+CD2=152+202=625, 试卷第2页，共3页 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 .'AD2+CD2=AC2, ∴.△ACD是直角三角形，且∠D=90°， S四边形ABCD=S△MCD+SAMC =AD.CD+AB.BC 2 1 =5×20×15+。×7×24 2 =150+84 =234(m2) 答：空地的面积是234m 颗型02 勾股数的认识 一、单选题 1.B2.C 3.D4.B 二、填空题 5.13,84,85 题型03 勾股树 一、单选题 1.B2.D 二、填空题 3.3 4.2026 5.127 题型04 网格中的直角三角形 一、单选题 1.B2.A 二、填空题 3.④⑤ 三、解答题 4.(1)解：四边形ABCD的面积为：5×5-2×1÷2-4×2÷2-5×1÷2-4×1÷2-1=14.5 (2)证明：如图，连接BD 试卷第3页，共3页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D BD2=32+42=25, BC2+CD2=(42+2)+(2+12)=20+5=25 .'BC2+CD2=BD2, ∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90° 5.(1)解：△BAC是直角三角形. 理由：由题意，得AB2=42+22=20,AC2=22+1P=5,BC2=42+32=25, .AB2+AC2=25=BC2, .△BAC是直角三角形，且∠BAC=90°. (2),∠BAC=90°， 5e-号4cAa-x5x25=5 设点A到边BC的距离为h, 1 5ac=2BC-h=5,即2x5h=5, ∴.h=2,即点A到边BC的距离为2. 6.(1)AB=VP+32=V10 (2)AC=P+32=V0.BC=V2+4=25 :1B+AC2=20=BC2 '△ABC的形状是一个直角三角形 (3)由(2)可知△ABC是直角三角形 试卷第4页，共3页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 seB-4c-i而x0-5 (4)图形如图所示： B B 1 题型05 勾股定理逆定理与三角形的面积 一、单选题 1.D2.B 二、填空题 3.5 4.36 5139 三、解答题 6.(1)解：如图：连接BD, AB=AD=2,∠A=90°， :BD=VAD+AB=2V2,∠ADB=∠ABD=450 .CD2=1,BD2=8,BC2=9, .CD2+BD2=BC2, ∴△BCD为直角三角形，∠BDC=90°， .∠ADC=∠BDC+∠ADB=135° (2四边形ABCD的面积为：Se+5n分D4B+×cD-80号×2x2+k25-2+5 2 试卷第5页，共3页 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(1)解：CD⊥AB, .∠BDC=∠ADC=90°， ..CD=BC2-BD2 =12 AB=25,DB=9 .AD=AB-DB=16. ∴.AC=VAD2+CD2=20 (2)证明：AC=20,BC=15,AB=25, .AC2+BC2=AB2 ∴△ABC是直角三角形， 8.解：如图，连接AC A B D 在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8, :4C=V62+82=10 CD=24,AD=26,AC=10, .'AC2+CD2=AD2, ∴.△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°， e=5w5-分10x24-6x8=120-24=96 故阴影部分的面积是96. 9.(1)解：∠ADB=90°，理由如下： BD=64CD2=4BC2=68 .BC2 BD2+CD2, .∠BDC=90°， ∠ADB=180°-∠BDC=90°： 试卷第6页，共3页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在Rt△ABD中， 由勾股定理得D=VAB-BD2=V172-8=15 .AC=AD+CD=17. 1 1 “S△Ac=)AC·BD=)×17×8=68 2 2 题型06 利用面积法求斜边上的高 一、单选题 1.D 二、填空题 6 60 2.3 3.13 题型07 方位角与逆定理 一、填空题 1.西北 二、解答题 2.解：由题意，得AB=l5×2=30 amile,AC=20×2=40 nmile,BC=50 nmile, ·AB2+AC2=BC2 ∴.△ABC是直角三角形，且LBAC=90° :货船沿南偏东80°方向航行， ∴客船航行的方向为北偏东90°-80°=10° 3.解：由题意可得：RP=12×1.5=18海里，P2=16×1.5=24海里，QR=30海里， .182+242=302, 、△RPO是直角三角形， .∠RPQ=90° 试卷第7页，共3页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,“龙腾”号沿东北方向航行，即沿北偏东45°方向航行， ∠RPS=45」 ·“海天”号沿北偏西45°（或西北）方向航行. 颗型08 倍长中线与勾股定理逆定理 一、填空题 1.2v 二、解答题 2.解：延长AD到点G;使DG=AD,连接BG. ,点D为BC的中点， .DC=DB. AD-DG ∠ADC=∠GDB DC=DB △CAD≌△BGD(SAS) D G .AC=BG,∠CAD=∠G AB=5,AC=3,AD=2, .'AB=5,BG=3.AG=2AD=4 32+42=52, ..AG2+BG2=AB2 .∠G=90° CD=BD=BG2+DG2=32+22=13 试卷第8页，共3页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(1)证明：：AD是△ABC的中线， .CD=BD. 在△ECD和△ABD中， CD=BD ∠EDC=∠ADB ED=AD △ECD≌AABD(SAS) .CE=AB (2)解：AD=6,DE=AD, ∴.AE=AD+DE=12, 又：AB=5,AC=13, .CE=AB=5. .52+122=25+144=169=132, .AE2 +CE2=AC2, ∴△ACE是直角三角形，且∠E=90°， CD=DE2+CE2=6+5=61 61 :CD的长为 B组 能力进阶 一、单选题 1.A2.B3.C4.B5.A6.D7.C8.C9.D10.C 二、填空题 13 11.51112.不能13.2414.6或4或2 三、解答题 15.(1)解：(1)，AB=12,BC=13,AC=5, 试卷第9页，共3页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB2+AC2=12+52=169=132=BC2, ∴.△ABC是直角三角形，∠BAC=90°， ×AB×4C=x12x5=30. .S。ABc=2 3 (2)解：.B=V④.BC=8AC=5 .AB2+AC2=(N④+52=66≠64=82=BC2 ∴.△ABC不是直角三角形，如图， A B D 过点A作AD⊥BC于点D, ∴.∠ADC=∠ADB=90°， 设BD=x,则CD=8-x, .AC2-CD2=AB2-BD2=AD2. .52-(8-x}2=(4-x2 .x=5, .BD=5,CD=3, :4D=VAC2-CD=V25-9=4 S-号8c×AD-号x8x4=16, 16.解：如图，连接AC. D B 试卷第10页，共3页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据勾股定理，得4C=VAB+BC=6+8=10 AD=5 CD=55 ∴.AC2+AD2=100+25=125=CD2 aACD为直角三角形，且LCAD=90°， 5边形C0=Sac+54m=2X6x8+2×5x10=49.。 17.解：MN=16米，NH=30米，MH=34米， ∴MN2+NH2=MH2 .△MWH为直角三角形，且∠N=90°， 在Rt△NPH中，HP-31米，NH=30米， :NP=VHP2-NH=6I米， :MP=MN-NP=6-V6)米， 即这条河的宽度MP为16-v6)米. 18.解：：∠ABC=90°，AB=3,BC=4, AC=AB2+BC7=5 .AC=CD .CD=5; 过点D作DE⊥BC交BC延长线于E. D .∠CED=90°， AD=52, 试卷第11页，共3页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC2+CD2=50, AD2=(5V2=50 .AC2+CD2=AD2, .△ACD是直角三角形，∠ACD=90° ∴，∠BAC+∠ACB=∠ACB+∠ECD=90°， .∠BAC=∠ECD 在△ABC和△CED中， 「∠ABC=∠CED ∠BAC=∠ECD AC=CD △ABC≌△CED(AAS) ∴.AB=CE=3,BC=DE=4, .BE=BC+CE=7, BD=BE+DE=65 19.(1)证明：AD是△ABC的中线， .BD=CD 又：∠ADB=∠EDC,AD=ED, △DEC≌△DAB(SAS) (2)解：.△DEC≌△DAB」 ..CE=AB=3, DE=AD=2, .AE AD+DE=4, .AE2+CE2=42+32=16+9=25, 又：AC2=52=25, .AE2+CE2=AC2, .∠AEC=90°： 试卷第12页，共3页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△CED中，由勾股定理得CD=CE+DE=V3+2=i3, :AD是△ABC的中线， BC-2CD=23 (3)解：△DEC≌△DAB」 .-S.cn S.c=S0+.4C =S.ECD+S.ACD =S。ACE 方c =6 20.(1)解：：在△ABC中，AD为BC边上的高， ∴.∠ADB=∠ADC=90°， CD=2,AD=4,BD=8, AC2=AD2+CD2=42+22=20,AB2=AD2+BD2=42+82=80BC=CD+BD=10 .AC2+AB2=100=102=BC2, ∴.∠BAC=90°， .AB L AC: (2)解：正确，理由如下： :AD⊥BC, RtAACD AD2=AC2-CD2① 在 中，由勾股定理得 在RteABD AD=AB2-BD② 中，由勾股定理得 试卷第13页，共3页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①+②，2AD2=AC2-CD2+AB2-BD2=AC2+AB2-CD2-BD2 得： AD2=BD.CD ..2BD.CD=AC2+AB2-CD2-BD2 .BD2+2BD.CD+CD2=AC2+AB2, (BD+CD)-C+AB ∴△ABC为直角三角形： (3)解：安全，理由如下： .BC=4m,BD =2.4m BD L AC, 在RtBCD中，根据勾股定理得CD=VBC2-BD=V4-(2.4=32(m). .AD=5-3.2=1.8. 4B-AD+BD=3 .AB2+BC2=32+42=25=AC2, △ABC是直角三角形， ∴这个房梁安全. C组 思维拔高 一、单选题 1.D 二、解答题 2.(1)解：AB与BC的位置关系为AB⊥BC,理由： 根据题意可知，BD=13km,CD=5km,∠BCD=90°， 试卷第14页，共3页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.BC=Vi32-S=12(km) 又，AB=16km,AC=20km, .AB2+BC2=162+122=202=AC2, ∴.△ABC是直角三角形，∠ABC=90°， .AB⊥BC (2)解：作AP⊥CD,交DC延长线于点P,则四边形ABCP是长方形， ∴.∠P=90°，CP=AB=16km,AP=BC=12km, :Dp=5+16=21(m） .4D=V2P+12=365(km） ÷线段D的长度为 3v65km 3(1)AC=4,BC=7.5,AB=8.5 p=4+7.5+8.5 =10 :Sac=Vi0x10-4×10-7.5)x(I0-8.5=V10x6x2.5x15=V25=15 (2)证明：：AC=4,BC=7.5,AB=8.5 A4c-=6g.c得学8g9 4, .AC2+BC2=64+225289 AB2 444 .∠C=90° 所以△ABC为直角三角形： 试卷第15页，共3页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.BC- 1 *4x75=15 1 4.(1)证明：RtAABES≌RtADEC, ∴.∠AEB=∠DCE, ∠A=∠D=90°， ∠DEC+∠DCE=90°， ∴∠DEC+∠AEB=90°，即∠BEC=90°， 1 1 1 c2 S,Bac+SABE+S.DEc=)×cxc+7×axb+)×a×b= +ab, 2 2 2 2 Smc(a+b)(a+b) 1 2+ab, 2 +ab=c a2+b2 +ab,即a2+b=c2 2 (2)解：AD⊥CD,AD=4,CD=3, 、.AC=VCD2+AD2=V32+42=5 AB=13.BC=12. .AC2+BC2=AB2 .∠ACB=90°， Smw=S.c-S.c=x5x12-x3x4=24 2 答：阴影部分面积为24； (3)解：设4H=x千米， BH=(14-千米， CH⊥AB, .∠CHA=∠CHB=90° 在RtAHC中，CH=AC-AH 在 在Rt△BHC中，CH2=BC2-BH2, 4C2-AH=BC2-BH,即1.32-2=1.5-04-x 整理得，2.8x=14, 试卷第16页，共3页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得，x=0.5, .AH=0.5千米， CH=VAC2-AH2=V1.32-0.52=1.2 (千米)， 答：新修路CH的长为1.2千米 5.(1)解：延长AD到点E;使DE=AD,连接BE. ,AD是边BC上的中线， .'DC=DB. AD=DE ∠ADC=∠EDB DC=DB ACAD≌△BED(SAS) E .'AC=BE AB-BE<AE<AB+BE AB-AC<AE-AB+4C .AB=6,AC=4, ∴.2<2AD<10 故l<AD<5. 故答案为：1<AD<5 (2)解：延长AD到点G;使DG=AD,连接BG. ,AD是边BC上的中线， .'DC=DB. 试卷第17页，共3页 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=DG ∠ADC=∠GDB DC=DB △CAD≌△BGD(SAS) B D G .AC=BG,∠CAD=∠G. .AB=10,AC=6,AD=4, .AB=10,BG=6,AG=2AD=8 .AG2+BG2=AB2 .∠CAD=∠G=90° DC=VAD:+AC=213 故8C=2DC=4B (3)解：延长MD到点O:使D0=MD,连接BQ,N№ :点D是AB的中点，DN⊥DM, ∴.AD=DB,直线DN是线段MO的垂直平分线， .MN =ON, AD=DB ∠ADM=∠BDQ DM=DO △MAD≌△OBD(SAS) 试卷第18页，共3页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 C .AM=BQ,∠A=∠DBQ B0∥AC, .∵∠C=90° :.∠QBN=90°， ,AM=1,BN=3 :.0=VBW2+BQ2=V10 :w=0 √10 故答案为： 试卷第19页，共3页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 试卷第20页，共3页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 试卷第21页，共3页 分层作业 1.2 一定是直角三角形吗 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断三边能否构成直角三角形 题型02勾股数的认识 题型03 勾股树 题型04 网格中的直角三角形 题型05 勾股定理逆定理与三角形的面积 题型06 利用面积法求斜边上的高 题型07 方位角与勾股定理逆定理 题型08 倍长中线与勾股定理逆定理 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 判断三边能否构成直角三角形题型01 一、单选题 1．三边分别为、、，在下列条件下，不是直角三角形的是（     ） A．，， B． C．，， D． 【答案】A 【分析】若三角形三边长满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形，根据该定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，，， ，， ，即， 不是直角三角形，符合题意； 选项B：，由勾股定理逆定理可知是直角三角形，不符合题意； 选项C：，，， ， 是直角三角形，不符合题意； 选项D：设，，（）， ， 是直角三角形，不符合题意． 2．下列四组线段中，可以作为直角三角形三边的是（     ）． A． B．，， C．， D．，， 【答案】C 【分析】本题利用勾股定理的逆定理判断，找出每组中的最长边，计算两条短边的平方和，与最长边的平方比较，若相等则可构成直角三角形． 【详解】解：根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形， A选项：∵，，， ∴不能构成直角三角形； B选项：∵最长边为，，，， ∴不能构成直角三角形； C选项：∵最长边为，，，满足， ∴可以构成直角三角形； D选项：∵最长边为，，，， ∴不能构成直角三角形． 3．有①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，，各组数为边长，能组成直角三角形的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】若三角形三边中两个较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，结合三角形三边关系定理逐一验证各组数即可统计得到结果． 【详解】①，，, ， 能组成直角三角形； ②，，， ， 能组成直角三角形； ③，，， ， 能组成直角三角形； ④，，， ，，， 不能组成直角三角形； ⑤，，， ，不满足三角形三边关系定理， 不能构成三角形，故不能组成直角三角形； 综上，能组成直角三角形的个数为，故选C． 4．在中，若，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对已知等式变形，再根据勾股定理逆定理判断直角位置即可得到结论． 【详解】解：∵ ， ∴  ， 根据勾股定理的逆定理，可知为斜边，斜边所对的角为， ∴ ． 5．下列每组数据中的三个数值分别是三角形的三边长，则能构成直角三角形的有（   ） ①1，2，3；②，，2；③3，4，5；④0.5，1.2，1.3． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足两个较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，依次验证每组数据即可． 【详解】解：①最长边为3，验证 ，而，故不能构成直角三角形，不符合题意； ②最长边为2，验证，与相等，满足条件，能构成直角三角形，符合题意； ③最长边为5，验证，与相等，满足条件，能构成直角三角形，符合题意； ④最长边为，验证，与相等，满足条件，能构成直角三角形，符合题意； 综上，符合条件的有②③④，共3组． 6．李老师做了一个三角形教具，做好后量得三边长分别是、、，据此李老师判断这个教具的形状一定是直角三角形，李老师这样判断的依据是（   ） A．直角三角形两个锐角互余 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和等于 D．勾股定理 【答案】B 【分析】利用勾股定理的逆定理求解即可. 【详解】解：∵ 三角形三边长为、、， 而， 即两条较短边的平方和等于最长边的平方， 这种由边长关系判定直角三角形的依据是勾股定理的逆定理. ∴B符合题意. 7．如果将直角三角形的三条边长同时扩大到原来的6倍，那么得到的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】利用勾股定理，勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：设原直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则， ∵三条边长同时扩大6倍为， ∴，， ∴， ∴如果将直角三角形的三条边长同时扩大6倍，那么得到的三角形是直角三角形． 8．已知直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，下列说法正确的是（   ） A．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 B．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 C．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 D．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 【答案】A 【分析】本题需依据勾股定理及其逆定理，结合直角三角形三边关系，对各选项逐一验证判断即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c， ∴， A、∵ ∴长为的三条线段满足勾股定理逆定理，能组成直角三角形； B、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为， ∵，，， ∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形； C、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为， ∵，，， ∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形． D、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为， ∵，，， ∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形． 故选：A． 9．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，若三角形中，两较小边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此判断出对应图形中直角三角形的个数即可得到答案． 【详解】解：A、，， ∴图中只有一个直角三角形，不符合题意； B、，， ∴图中有两个直角三角形，符合题意； C、，， ∴图中没有直角三角形，不符合题意； D、，， ∴图中没有直角三角形，不符合题意； 故选：B． 10．下列选项中，正确的是（    ） A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形 C．的三边分别为，若，则是直角 D．在中，若，则是直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，以及三角形内角和定理；根据各选项条件逐一判断即可. 【详解】解：对于A：∵在中，两边长分别为6和8，∴已知的两边6和8可能是两条直角边，或一条直角边和斜边，∴第三边不一定为10，故A错误； 对于B：设三边为，∴满足勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形，故B正确； 对于C：∵，∴由勾股定理逆定理，（对），而非，故C错误； 对于D：设，则∴，故不是直角三角形，D错误； 故选：B. 二、填空题 11．在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则______． 【答案】 【分析】先利用平方差公式化简已知等式，再根据勾股定理的逆定理判断的形状，即可得到的度数． 【详解】解：对已知等式利用平方差公式展开得：， 移项得：， 根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，为斜边，是所对的角， 因此． 12．一个三角形的三边长分别是厘米，厘米，厘米，这个三角形___________（填“是”或“不是”）直角三角形． 【答案】不是 【分析】根据勾股定理的逆定理，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，否则不是直角三角形，验证三边长是否满足该关系，即可判断． 【详解】解：由题意可知三角形三边长分别为厘米，厘米，厘米，其中最长边为厘米， 计算两条较短边的平方和：， 最长边的平方为：， ∵， 即， 故这个三角形不是直角三角形． 三、解答题 13．已知中，、、所对边长分别为、、，若、、三边满足，试判断的形状． 【答案】 是直角三角形 【分析】根据绝对值的非负性可求出的值，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 14．一个三角形的周长为，三边长之比为，求这个三角形三边的长度，并判断三角形的形状． 【答案】三边分别：，，，该三角形为直角三角形 【分析】根据三边长之比为，设三边长分别为，，，再根据周长，列方程求解即可． 【详解】解：由三边长之比为，故设三边长为，，， 由三角形的周长为可得， 解得， 三边分别：，，， ， ∴该三角形为直角三角形． 15．如图，在边长为4的正方形中，为的中点，是上一点，且．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键；由题意易得，，，，然后由勾股定理可得，，，进而根据勾股定理逆定理可进行求解． 【详解】证明：正方形的边长是4，为的中点，是上一点，且． ，，，， ， ， ， ， ， 是直角三角形． 16．如图，分别以的三边为直径向图形外作半圆，这三个半圆的面积分别为，，，且，那么是不是直角三角形？请说明理由． 【答案】是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据圆的面积公式，结合题意求出是解题关键．分别求出，再结合，即可得出，说明是直角三角形． 【详解】解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 17．在玉溪精心勾勒生态宜居图景的进程中，志愿者们巧将临街一块闲置的四边形空地，雕琢成一方充满生机的小微绿地．为城市街角注入鲜活绿意．经测量米，米，米，米，求空地的面积． 【答案】空地的面积是 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理及三角形面积． 由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形．且，然后由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：连接， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ ． 答：空地的面积是． 勾股数的认识题型02 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．7，24，25 C．，， D．，， 【答案】B 【分析】勾股数需满足两个条件，三个数均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、0.3，0.4，0.5不是正整数，故不是勾股数，该选项不符合题意； B、，且7，24，25都是正整数，故7，24，25是勾股数，该选项符合题意； C、，，不是正整数，故不是勾股数，该选项不符合题意； D、，，不是正整数，故不是勾股数，该选项不符合题意． 2．下列几组数，能组成勾股定理的（   ） （1），， （2），，（3）， ， （4），， （5），， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先求出各组数较小两个数的平方和，与最大的数的平方进行比较，若结果相等，则能满足勾股定理，反之不能． 【详解】解：（1），，故，故能组成勾股定理； （2），，故，故不能组成勾股定理； （3），，故，故不能组成勾股定理； （4），， 故，故能组成勾股定理； （5），， 故，故能组成勾股定理； 综上，故能组成勾股定理的有组数． 故选：C ． 3．手工课上，同学们制作直角三角形书签，需要选择三条整数长度的纸条作为三边．下列四组纸条长度中，能构成直角三角形三边的勾股数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】勾股数是指满足（为三个数中的最大数）的三个正整数，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：，故A不满足勾股数的定义； 对于选项B：，故B不满足勾股数的定义； 对于选项C：，，都不是正整数，故C不满足勾股数的定义； 对于选项D：，且，，都是正整数，满足勾股数的定义，故D正确． 4．有下列各组数：①；②；③；④，其中勾股数有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数的定义（正整数且满足两数平方和等于第三数平方）；解题关键是依据勾股数的定义逐一判断各组数是否符合． 勾股数是指满足勾股定理的三个正整数，需逐一验证各组是否均为正整数且满足即可． 【详解】∵勾股数需为正整数，且满足， 对于①：均为正整数，且，∴是勾股数， 对于②：均为正整数，且，∴是勾股数， 对于③：均不是整数，∴不是勾股数， 对于④：中和不是整数，∴不是勾股数． ∴勾股数有2组． 故选B． 二、填空题 5．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⑤11，60，61…根据上述规律，写出第⑥组勾股数为______． 【答案】13，84，85 【分析】本题考查了数的规律问题，勾股数． 观察勾股数序列，第一个数字为连续奇数，第⑥组第一个数字为13，设第二个数字为b，则第三个数字为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：由题意可知，第⑥组勾股数的第一个数字为13， 设第二个数字为b，则第三个数字为， 由勾股定理，得， 即， 整理得， 解得， 故． 因此第⑥组勾股数为． 故答案为：． 勾股树题型03 一、单选题 1．如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积分别为，，，，则正方形的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由勾股定理可得，相邻两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，依次相加即可． 【详解】解：如图， 在中，， ∴， 同理可得，， ∴． 2．如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为按照此规律继续下去，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分、、、的值，根据面积的变化即可找出变化规律“”，依此规律即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 二、填空题 3．如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 【答案】3 【详解】解：在中，由勾股定理得：， ∴ 同理可得：， ∴， ∴． 4．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是_______． 【答案】2026 【分析】本题考查勾股定理的应用、图形类规律探究，解题的关键是探究出规律． 根据直角三角形性质得到“生长”规律，进而求解即可． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边为：a、b，斜边为c， ∴， ∵正方形的边长为1， ∴， 由图①可知，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， ∴所有正方形的面积和为：， 由图②可知，“生长”2次后，所有正方形的面积和为：， ∴“生长”2025次后，所有正方形的面积和为：． 故答案为：2026． 5．如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第六代勾股树图形中正方形的个数为______． 【答案】127 【分析】本题考查图形的规律．根据前三代的正方形的个数分别为3、7、15可得第n代有个正方形，据此即可解答． 【详解】解：第一代有3个正方形， 第二代有7个正方形， 第三代有15个正方形， 第n代有个正方形， 故第六代有（个）正方形， 故答案为：127． 网格中的直角三角形题型04 一、单选题 1．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，， A. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； B. 中，，则是直角三角形，故该选项符合题意；     C. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；     D. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 二、填空题 3．图中，是直角三角形的序号是________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理求边长及逆定理证明直角三角形；先分别求出每个三角形的边长，再根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：三角形的三边长分别为，，3，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，3，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以是直角三角形，故符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以是直角三角形，故符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 故答案为：． 三、解答题 4．如图是由边长都为1的小正方形组成的网格，四边形的四个顶点均在格点(小正方形的顶点)上． (1)求四边形的面积； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及三角形的面积； （1）根据正方形的面积减去4个三角形的面积以及1个正方形面积即可求解； （2）根据已知边长得出，进而可得出． 【详解】（1）解：四边形的面积为：． （2）证明：如图，连接． ∵， ， ∴， 是直角三角形，且． 5．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求点A到边的距离． 【答案】(1)是直角三角形．理由见解析 (2)点A到边的距离为2 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． （1）由题意易得，，，然后利用勾股定理逆定理可求解； （2）设点A到边的距离为h，则由等面积法可进行求解． 【详解】（1）解：是直角三角形． 理由：由题意，得，，， ∴， ∴是直角三角形，且． （2）∵， ∴． 设点A到边的距离为h， ∴，即， ∴，即点A到边的距离为2． 6．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C均落在格点上． (1)计算线段AB的长度 ； (2)判断△ABC的形状 ； (3)写出△ABC的面积 ； (4)画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1． 【答案】(1) (2)直角三角形 (3)5 (4)图形见解析 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）求出BC、AC的长即可判断△ABC的形状； （3）由（2）可知△ABC是直角三角形，直接利用公式求面积； （4）分别画出A、B、C关于直线l的轴对称点，再依次链接即可． 【详解】（1） （2）， ∴ ∴△ABC的形状是一个直角三角形 （3）由（2）可知△ABC是直角三角形 ∴ （4）图形如图所示： 【点睛】本题考查网格中作对称及利用勾股定理求边长，属于常规题，解题的关键是熟练在网格中找到线段所在的直角三角形． 勾股定理逆定理与三角形的面积题型05 一、单选题 1．若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据边长比例设三边长为，，，结合周长求出，再利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，最后计算面积即可． 【详解】解：∵三角形三条边长之比为 ∴设三边长分别为，， ∵三角形周长为 ∴ 解得 ∴三角形三边长分别为，， ∵ ∴该三角形是直角三角形，两条直角边为和 ∴面积为． 2．如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，可知，由勾股定理的逆定理得到是一个直角三角形，则四边形面积可求． 【详解】解：连接，如图所示： 在 中， ， ∴ 在中，， 即， ∴为直角三角形， ∴. 二、填空题 3．在中，，，，则的面积为 _______________． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理判断的形状，再利用直角三角形面积公式计算面积． 【详解】解：由题意得 ，，， 可得 ， 根据勾股定理逆定理可知 是直角三角形，， 由三角形面积公式得 ． 4．如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理的逆定理可得，从而利用四边形的面积等于两个直角三角形的面积之和求解即可. 【详解】解：连接， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴. 5．如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】根据题意证明，得到，据此根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∴． 三、解答题 6．如图，四边形，，，，．    (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据勾股定理逆定理得出为直角三角形，，再由等腰直角三角形的性质确定，即可求解； （2）结合（1）中结论，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：连接，   ， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴ （2）四边形的面积为：． 7．如图，在中，于点D，已知，，． (1)求，的长； (2)求证：是直角三角形． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）利用勾股定理先求解，进一步利用勾股定理求解即可． （2）证明即可． 【详解】（1）解：， ， ． ，， ， ． （2）证明：，，， ． 是直角三角形． 8．某中学计划在如图所示的阴影区域展示学生学习数学知识的笔记，现测得，，，，，试求阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积是96 【分析】先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，进而可得出结论． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 故阴影部分的面积是96． 9．如图，在中，，点D在边上，，． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，求的面积． 【答案】(1)；理由见解析 (2)68 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，熟练掌握相关定理并应用为解题关键． （1）利用股定理逆定理得到，从而求出结果； （2）利用勾股定理求出的长，利用求出的长，最后求三角形面积即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ，，， ， ， ； （2）在中， 由勾股定理得， ， ． 利用面积法求斜边上的高题型06 一、单选题 1．一个三角形的三边长分别为，则这个三角形最长边上的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题先利用勾股定理逆定理判断三角形的形状，确定最长边为直角三角形的斜边，再利用三角形面积的两种表示方法列方程求解最长边上的高． 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形，最长边是斜边， 设最长边上的高为， ∵ 三角形面积可表示为，也可表示为， ∴， 解得． 二、填空题 2．若三角形的三边分别为1，，，则该三角形最大边上的高长为：________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再用面积法求出最大边上的高． 【详解】解：∵， ∴该三角形的最大边为， ∵，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，直角边为和， 设最大边上的高为，根据三角形面积相等可得： ， 化简得 ， 解得：． 3．在中，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是___． 【答案】 【分析】作于，根据垂线段最短推出此时最小，根据勾股定理的逆定理证明，根据三角形的面积公式求出． 【详解】解：作于， 由垂线段最短可知，此时最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 方位角与逆定理题型07 一、填空题 1．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个小时后分别位于点Q、R处，且相距20海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿____方向航行． 【答案】西北 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答． 根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可． 【详解】解：由题知，海里，海里，海里，， ， ， 是直角三角形，且， ， “海天”号沿西北方向航行． 故答案为：西北． 二、解答题 2．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船的速度是，货船的速度是，货船沿南偏东方向航行，后，货船到达B处，客船到达C处，此时两船相距．求客船航行的方向． 【答案】北偏东 【分析】证明是直角三角形，即可求解． 【详解】解：由题意，得，，． ， 是直角三角形，且． 货船沿南偏东方向航行， 客船航行的方向为北偏东． 3．在军事和航海上经常要确定方向和位置．从而经常需要使用一些数学知识和方法．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“龙腾”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“龙腾”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“龙腾”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】沿北偏西（或西北）方向航行 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大． 求出的长，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“海天”号航行方向． 【详解】解：由题意可得：海里，海里，海里， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵“龙腾”号沿东北方向航行，即沿北偏东方向航行， ∴， ∴“海天”号沿北偏西（或西北）方向航行． 倍长中线与勾股定理逆定理题型08 一、填空题 1．如图，在中，，，边的中线，为了求出边的长，小明同学做了以下辅助线：延长到E，使，连接．则________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 由两边和夹角对应相等可得，得到，，证明是直角三角形，利用勾股定理求得的长度即可解答． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 二、解答题 2．如图，中，点D为的中点，，，，求：的长． 【答案】 【分析】延长到点G；使，连接．利用勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形全等的判定和性质，求解即可． 【详解】解：延长到点G；使，连接． ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵，，， ∴，， ∵， ∴． ∴． ∴． 3．如图，在中，，，边上的中线，延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的应用，三角形中线的定义等知识，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义得，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先推出，确定是直角三角形，且，再根据勾股定理得即可． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的长为． 一、单选题 1．下列各数中，能与5，12组成一组勾股数的是（    ） A．13 B． C．13或 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数，熟知勾股定理和勾股数的知识是解题的关键．勾股数是指三个正整数满足勾股定理，需检查选项是否为正整数且与5、12满足． 【详解】解：当5和12为直角边时，斜边，为正整数； 当12为斜边时，另一直角边，不是正整数； ∴ 只有13满足勾股数定义， 故选：A． 2．下列条件中，不能判定为直角三角形的个数为（    ） ①，，；②；③，，；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；因此此题可根据勾股定理逆定理进行排除选项即可． 【详解】解：①因为，所以不能构成直角三角形； ②因为，所以能构成直角三角形； ③因为，所以不能构成直角三角形； ④由，可设， 所以，能构成直角三角形； 综上所述：不能判定为直角三角形的个数为2个； 故选B． 3．五根小木棒的长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成下列图形，其中包含两个直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理逐项分析即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、，，故不包含两个直角三角形，故不符合题意； B、，，故不包含两个直角三角形，故不符合题意； C、，，故包含两个直角三角形，故符合题意； D、，，故不包含两个直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 4．从长度分别为的5根长短不一的木棒中随机抽取一根，能与和的木棒围成直角三角形的概率为，则是（    ） A．5 B． C．或5 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理与概率的综合应用，先根据勾股定理确定能与、围成直角三角形的木棒长度，再结合概率条件确定的值． 【详解】解：∵能与木棒围成直角三角形，需分两种情况： ①当为直角边时，斜边长度为； ②当为斜边、为直角边时，另一直角边长度为； ∵从5根木棒中抽取符合条件的概率为，说明有2根木棒符合条件； 已知原木棒中有的木棒且长短不一， ∴需，此时符合条件的木棒共2根，满足概率要求． 综上，是． 故选：B． 5．已知的三边分别为，，，则为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形． 6．下列命题： ①如果直角三角形的两边是5，12，那么斜边必是13； ②如果a、b、c为一组勾股数，那么、、仍是勾股数； ③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形； ④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（），那么． 其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据勾股定理、勾股定理的逆定理和勾股数的定义，逐一判断每个命题即可得到答案． 【详解】解：对四个命题逐一判断： ①∵题目未说明5和12都是直角边，当12是斜边时，斜边不是13，∴①错误； ②∵，，是一组勾股数，不妨设， ∴， ∴，，仍是勾股数，故②正确； ③∵，，，不满足直角三角形的条件， ∴该三角形不是直角三角形，故③错误； ④∵等腰直角三角形中，a为斜边， ∴由勾股定理得，代入得， ∴，故④正确； 综上，正确的命题是②④． 7．如图，在中，若，，，则边上的中线的长为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵是边上的中线， ∴， ∴． 8．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（     ） A．40 B．45 C．47 D．50 【答案】C 【详解】解：如图， 由题意得，， ． 9．如图，在中，，点是的中点，连接，则的长为（   ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再根据中点的定义求出的长度，最后在中用勾股定理计算的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ∴， ∴． ∵点是的中点， ∴． ∴在中， ． 10．如图，中，平分，，，，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，在上截取，连接，可证明，得到，则当C、M、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，可证明，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且垂线段最短， ∴当C、M、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 二、填空题 11．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，∵重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第八代勾股树中正方形的个数为________ 【答案】511 【分析】通过观察图形，分析每一代勾股树中正方形个数的构成，归纳出第代正方形个数的规律，代入利用有理数的乘方运算进行计算． 【详解】解：第一代勾股树中正方形有（个）， 第二代勾股树中正方形有（个）， 第三代勾股树中正方形有（个）， ∴第n代勾股树中正方形有（个）， 第八代勾股树中正方形有（个）． 12．如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握知识点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：由图，得 ，，， ∵， 即， ∴三条线段不能组成直角三角形． 故答案为：不能． 13．如图，在中，点D是内一点，连接．已知，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】24 【分析】在中，利用勾股定理可得，再利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，然后根据图中阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴图中阴影部分的面积为． 14．如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为______ 时， 为直角三角形． 【答案】或或 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作于，如图： 则四边形为长方形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，， ， 当时，， 即， ， 解得，； 当时，如图：作于， 由勾股定理得，，， ， 在中，， 即， ， 解得：； 当时，在中， 则， 解得：， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 三、解答题 15．如图，在中， (1)当，，时，求的面积． (2)当，，时，求的面积． 【答案】(1)30 (2)16 【分析】本题考查勾股定理逆定理，用勾股定理解三角形，三角形面积的计算； （1）先根据题干中所给出的三角形的三边长，利用勾股定理逆定理判断出直角三角形，再根据直角三角形的两条直角边，计算出三角形的面积； （2）首先根据边长关系判断不是直角三角形，过点A作于点D，根据列方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：（1）∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴. （2）解：∵，，， ∴， ∴不是直角三角形，如图， 过点A作于点D， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出长度，利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形，最后利用面积公式求解． 【详解】解：如图，连接． 根据勾股定理，得． ，， ， 为直角三角形，且， ． 17．如图，小微同学想测量一条河的宽度，出于安全考虑，河岸边不宜到达，她在地面上取一个参考点，发现延长线上的点处有一棵大树，用测距仪测得米，米，米，已知米，请你计算这条河的宽度．（结果保留根号） 【答案】米． 【分析】根据勾股定理的逆定理，确定，再利用勾股定理解答即可． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：米，米，米， ， 为直角三角形，且， 在中，米，米， 米， 米， 即这条河的宽度为米． 18．如图．四边形中，，连接，且，若，求的长． 【答案】 【分析】根据，，，利用勾股定理求出；过点作交延长线于，利用勾股定理得到是直角三角形，再证明得到，的长，最后，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴； 过点作交延长线于． ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 19．如图，中，，，边上的中线，延长到点E，使得，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求的面积． 【答案】(1)证明：∵是的中线， ∴， 又∵， ∴； (2) (3)6 【分析】（1）利用即可证明； （2）可证明，得到；再利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）由全等三角形的性质得到，则可证明，据此根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵是的中线， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 20． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． 一、单选题 1．如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则的最小值为 二、解答题 2．第12届世界运动会于2025年8月7日至8月17日在四川成都举行，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．为了方便人们运动，现在对市郊区绿道进行修整．绿道分布具体如下：已知，，，点B在点C的正西方向，点D在点C的正北方处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)修整好后，居委会派出无人机进行环境检测，无人机从A飞到D，求线段的长度． 【答案】(1)与的位置关系为，理由见解析； (2)线段的长度为． 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理． （1）由勾股定理可得，根据勾股定理的逆定理可得，从而可得与的位置关系； （2）作，交延长线于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可得线段的长度． 【详解】（1）解：与的位置关系为，理由： 根据题意可知，，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． （2）解：作，交延长线于点，则四边形是长方形， ∴，，， ∴， ∴ ∴线段的长度为． 3．【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知在中，，，． (1)请你用“海伦—秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦—秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 【答案】(1)15 (2)有，见解析 【分析】（1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可； (2)计算得到AC2+BC2=AB2，即△ABC为直角三角形，直接两直角边的积除以2求面积， 【详解】（1）∵，，    ∴ ∴ （2）证明：∵，， ∴，， ∴ ∴ 所以∆ABC为直角三角形； ∴ 【点睛】本题考查了代数式求值，勾股定理逆定理，准确计算是解题关键． 4．解决问题 (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理； (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长为______千米．（只填空） 【答案】(1)见详解； (2)24； (3)1.2 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，即， ， ， ，即； （2）解：，，， ， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 5．如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】 （1）解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到，把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线的取值范围是________； 【应用】 （2）如图②，在中，点为边的中点，已知，，，求的长； 【拓展】 （3）如图③，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点N，连接．已知，，则的长为________． 【答案】（1）（2） （3） 【分析】（1）根据，得到，利用三角形三边关系定理解答即可． （2）延长到点G；使，连接．证明， 得到，，，根据勾股定理的逆定理，证明．根据勾股定理解答即可． （3）延长到点Q；使，连接，先证明，再证明，得到直角三角形，利用勾股定理，线段垂直平分线解答即可得证． 本题考查了中线的应用，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握判定，性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：延长到点E；使，连接． ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵, ∴， ∵，， ∴ 故． 故答案为：． （2）解：延长到点G；使，连接． ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵，，， ∴，， ∵． ∴． ∴， 故． （3）解：延长到点Q；使，连接． ∵点D是的中点，， ∴，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2 一定是直角三角形吗 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断三边能否构成直角三角形 题型02勾股数的认识 题型03 勾股树 题型04 网格中的直角三角形 题型05 勾股定理逆定理与三角形的面积 题型06 利用面积法求斜边上的高 题型07 方位角与勾股定理逆定理 题型08 倍长中线与勾股定理逆定理 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 判断三边能否构成直角三角形题型01 一、单选题 1．三边分别为、、，在下列条件下，不是直角三角形的是（     ） A．，， B． C．，， D． 2．下列四组线段中，可以作为直角三角形三边的是（     ）． A． B．，， C．， D．，， 3．有①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，，各组数为边长，能组成直角三角形的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．在中，若，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 5．下列每组数据中的三个数值分别是三角形的三边长，则能构成直角三角形的有（   ） ①1，2，3；②，，2；③3，4，5；④0.5，1.2，1.3． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 6．李老师做了一个三角形教具，做好后量得三边长分别是、、，据此李老师判断这个教具的形状一定是直角三角形，李老师这样判断的依据是（   ） A．直角三角形两个锐角互余 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和等于 D．勾股定理 7．如果将直角三角形的三条边长同时扩大到原来的6倍，那么得到的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 8．已知直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，下列说法正确的是（   ） A．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 B．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 C．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 D．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形 9．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（   ） A．B． C． D． 10．下列选项中，正确的是（    ） A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形 C．的三边分别为，若，则是直角 D．在中，若，则是直角三角形 二、填空题 11．在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则______． 12．一个三角形的三边长分别是厘米，厘米，厘米，这个三角形___________（填“是”或“不是”）直角三角形． 三、解答题 13．已知中，、、所对边长分别为、、，若、、三边满足，试判断的形状． 14．一个三角形的周长为，三边长之比为，求这个三角形三边的长度，并判断三角形的形状． 15．如图，在边长为4的正方形中，为的中点，是上一点，且．求证：是直角三角形． 16．如图，分别以的三边为直径向图形外作半圆，这三个半圆的面积分别为，，，且，那么是不是直角三角形？请说明理由． 17．在玉溪精心勾勒生态宜居图景的进程中，志愿者们巧将临街一块闲置的四边形空地，雕琢成一方充满生机的小微绿地．为城市街角注入鲜活绿意．经测量米，米，米，米，求空地的面积． 勾股数的认识题型02 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．7，24，25 C．，， D．，， 2．下列几组数，能组成勾股定理的（   ） （1），， （2），，（3）， ， （4），， （5），， A．个 B．个 C．个 D．个 3．手工课上，同学们制作直角三角形书签，需要选择三条整数长度的纸条作为三边．下列四组纸条长度中，能构成直角三角形三边的勾股数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．有下列各组数：①；②；③；④，其中勾股数有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 二、填空题 5．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⑤11，60，61…根据上述规律，写出第⑥组勾股数为______． 勾股树题型03 一、单选题 1．如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积分别为，，，，则正方形的面积为（   ）． A． B． C． D． 2．如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为按照此规律继续下去，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 4．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是_______． 5．如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第六代勾股树图形中正方形的个数为______． 网格中的直角三角形题型04 一、单选题 1．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 二、填空题 3．图中，是直角三角形的序号是________． 三、解答题 4．如图是由边长都为1的小正方形组成的网格，四边形的四个顶点均在格点(小正方形的顶点)上． (1)求四边形的面积； (2)求证：． 5．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求点A到边的距离． 6．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C均落在格点上． (1)计算线段AB的长度 ； (2)判断△ABC的形状 ； (3)写出△ABC的面积 ； (4)画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1． 勾股定理逆定理与三角形的面积题型05 一、单选题 1．若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 二、填空题 3．在中，，，，则的面积为 _______________． 4．如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为_________． 5．如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 三、解答题 6．如图，四边形，，，，．    (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 7．如图，在中，于点D，已知，，． (1)求，的长； (2)求证：是直角三角形． 8．某中学计划在如图所示的阴影区域展示学生学习数学知识的笔记，现测得，，，，，试求阴影部分的面积． 9．如图，在中，，点D在边上，，． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，求的面积． 利用面积法求斜边上的高题型06 一、单选题 1．一个三角形的三边长分别为，则这个三角形最长边上的高是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 2．若三角形的三边分别为1，，，则该三角形最大边上的高长为：________． 3．在中，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是___． 方位角与勾股定理逆定理题型07 一、填空题 1．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个小时后分别位于点Q、R处，且相距20海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿____方向航行． 二、解答题 2．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船的速度是，货船的速度是，货船沿南偏东方向航行，后，货船到达B处，客船到达C处，此时两船相距．求客船航行的方向． 3．在军事和航海上经常要确定方向和位置．从而经常需要使用一些数学知识和方法．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“龙腾”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“龙腾”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“龙腾”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 倍长中线与勾股定理逆定理题型08 一、填空题 1．如图，在中，，，边的中线，为了求出边的长，小明同学做了以下辅助线：延长到E，使，连接．则________． 二、解答题 2．如图，中，点D为的中点，，，，求：的长． 3．如图，在中，，，边上的中线，延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)求的长． 一、单选题 1．下列各数中，能与5，12组成一组勾股数的是（    ） A．13 B． C．13或 D．10 2．下列条件中，不能判定为直角三角形的个数为（    ） ①，，；②；③，，；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．五根小木棒的长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成下列图形，其中包含两个直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 4．从长度分别为的5根长短不一的木棒中随机抽取一根，能与和的木棒围成直角三角形的概率为，则是（    ） A．5 B． C．或5 D．无法确定 5．已知的三边分别为，，，则为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 6．下列命题： ①如果直角三角形的两边是5，12，那么斜边必是13； ②如果a、b、c为一组勾股数，那么、、仍是勾股数； ③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形； ④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（），那么． 其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 7．如图，在中，若，，，则边上的中线的长为（   ） A．5 B．4 C． D． 8．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（     ） A．40 B．45 C．47 D．50 9．如图，在中，，点是的中点，连接，则的长为（   ） A．6 B． C．7 D． 10．如图，中，平分，，，，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 二、填空题 11．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，∵重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第八代勾股树中正方形的个数为________ 12．如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）． 13．如图，在中，点D是内一点，连接．已知，则图中阴影部分的面积为______． 14．如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为______ 时， 为直角三角形． 三、解答题 15．如图，在中， (1)当，，时，求的面积． (2)当，，时，求的面积． 16．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 17．如图，小微同学想测量一条河的宽度，出于安全考虑，河岸边不宜到达，她在地面上取一个参考点，发现延长线上的点处有一棵大树，用测距仪测得米，米，米，已知米，请你计算这条河的宽度．（结果保留根号） 18．如图．四边形中，，连接，且，若，求的长． 19．如图，中，，，边上的中线，延长到点E，使得，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求的面积． 20． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 一、单选题 1．如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 二、解答题 2．第12届世界运动会于2025年8月7日至8月17日在四川成都举行，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．为了方便人们运动，现在对市郊区绿道进行修整．绿道分布具体如下：已知，，，点B在点C的正西方向，点D在点C的正北方处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)修整好后，居委会派出无人机进行环境检测，无人机从A飞到D，求线段的长度． 3．【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知在中，，，． (1)请你用“海伦—秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦—秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 4．解决问题 (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理； (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长为______千米．（只填空） 5．如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】 （1）解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到，把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线的取值范围是________； 【应用】 （2）如图②，在中，点为边的中点，已知，，，求的长； 【拓展】 （3）如图③，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点N，连接．已知，，则的长为________． 学科网（北京）股份有限公司 $