专题03 难建系问题与巧设点（高效培优专项训练）高二数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间直角坐标系建立难点，通过六类题型系统提炼从线线垂直到投影构造的建系策略，培养空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三条实线|3题|三线两两垂直时以交点为原点建系|从线线垂直基础模型出发，构建坐标系| |两条实线|3题|线面垂直时以垂线为z轴建系|进阶至线面垂直条件下的坐标设置| |一条实线|3题|面面垂直时在交线作垂线为z轴建系|拓展至面面垂直场景的建系技巧| |凌空建系|3题|正棱锥以底面中心与顶点连线为z轴|针对特殊几何体的对称建系方法| |倒置坐标系|3题|非规则几何体作辅助线与底面垂直建系|培养构造辅助线解决复杂问题的推理能力| |利用投影建系|3题|以投影点为原点建立坐标系|强化空间位置关系的转化与应用意识|

专题03 难建系问题与巧设点 题型1：三条实线 题型2：两条实线 题型3：一条实线 题型4：凌空建系 题型5：倒置坐标系 题型6：利用投影建系 题型一：三条实线 若直线OA,OB,OC两两垂直，则可以点O为原点，这三条直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz,如下图所示： 1．（25-26高三上·辽宁铁岭·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，直线与平面所成的角的正切值为.    (1)求四棱锥的体积； (2)点Q在线段上，直线平面，求二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据棱锥的体积公式，结合线面角的定义进行求解即可； （2）建立空间直角坐标系，利用线面平行的性质、空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以，因此， 因为平面ABCD，直线与平面所成的角的正切值为， 所以， 四棱锥的体积为； （2）因为平面ABCD，平面， 所以，，又因为， 所以可以建立如图所示的空间直角坐标系，    由题意得， 显然平面的法向量为， 因为点在线段上，所以设，， 而，由空间向量的加法法则得， 得到，且， 可得，故， 设平面的法向量为，又，， 因为直线平面， 所以当直线平面，显然点不与点重合， 则当时，，取， 因为直线平面， 所以，即， 可得， 由图可知二面角是锐二面角， 故二面角的余弦值为. 2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）如图，在棱长为的正方体中，点在棱上，点在棱上，且，点到平面的距离为.    (1)求四棱锥的表面积； (2)求点到直线的距离. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）通过已知棱长求出四棱锥各面的边长，再根据三角形和梯形面积公式计算各面面积，最后求和得到表面积； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求出点的坐标，再根据向量关系求出点到直线的距离. 【详解】（1）已知正方体棱长为，则； 在中，根据勾股定理； 同理，在中，； 在正方形中，； 的面积； 的面积：先求边上的高，根据勾股定理， 再根据三角形面积公式可得； 和的面积：这两个三角形是全等的直角三角形，； 梯形的面积： ；   四棱锥的表面积为各面面积之和，即； （2）建立空间直角坐标系并求出相关点的坐标和向量 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系：    则，设，其中， 可得， 设平面的法向量为，因为法向量与平面内的向量垂直， 所以，即， 令，由可得，将代入，得，解得，所以平面的一个法向量， 设到平面的距离为，根据点到平面的距离， 已知，所以，即， 因为，所以，则，解得，故， 此时， 根据点到直线的距离公式， 所以点到直线的距离为. 3．（25-26高二上·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，底面满足底面，且. (1)求四棱锥的体积； (2)若侧面与侧面的交线为，求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)； (2) 由底面上，则， 由平面平面，则平面， 平面平面，平面，则， 又底面，底面，所以， 由题知，又，平面， 所以平面，故平面； (3). 【分析】（1）根据已知四棱锥的高，再由棱锥的体积公式求体积； （2）由已知，再由线面平行的判定定理和性质定理得，根据线面垂直的性质和判定证得平面，即可证结论； （3）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）因为底面，则四棱锥的高，则其体积为； （2）略 （3）由上易知两两垂直，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 由平面，故平面的法向量为， 设面的法向量为，则，取，则， 设平面与平面的夹角为， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 题型二：两条实线 当一条直线与一个平面垂直时，可以这条直线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 4．（2026·河南南阳·模拟预测）如图，在四棱柱中，底面ABCD是正方形，AC，BD交于点O，P为的中点，.    (1)证明：平面平面； (2)若为等边三角形，求平面PCD与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明：在四棱柱中，由正方形，得，而， 平面，则平面，而平面， 所以平面平面. (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （2）取中点，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面PCD与平面，利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）略 （2）取中点，连接，由为等边三角形，得，而， 则，又平面平面，平面平面， 平面，则平面，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    由，P为的中点，得，， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 所以平面PCD与平面夹角的余弦值为. 5．（2026·辽宁锦州·模拟预测）如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥，设，点分别为棱的中点． (1)当平面平面时，求证：； (2)当二面角大小为时，求异面直线所成角的余弦值． 【答案】(1)因为平面平面 ，是交线， 又，平面 ，故平面， 平面，可得， 又 ，，平面，平面， 平面，又平面，故． (2) 【分析】（1）根据面面垂直推出线面垂直后再得到线线垂直. （2）建立空间坐标系，根据面面角向量法求得点坐标，再利用异面直线夹角的余弦公式求值. 【详解】（1）略 （2）以为原点以方向为轴正方向以方向为轴正方向，垂直于平面 的直线为 轴建立空间直角坐标系， 则 设， 因为，即， 设平面法向量 ，， 则，令，则， 又平面 法向量 ， 所以，解得， 由题意可知三棱锥是由平面图形向上翻折所得，点在平面 上方，故，， 所以 设异面直线所成角为， 因为． 所以异面直线所成角的余弦值． 6．（2026·广东东莞·模拟预测）如图，三棱锥的四个顶点均在半径为2的球O的球面上， ，点分别为棱的中点. (1)证明: ； (2)若 ，三棱锥的体积为 时，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1) 已知 ，是 中点，所以， 又 分别为 中点，故 是 的中位线，得 ， 由 ，知 ，因此 ， 因为 ，且 平面 ，所以 平面 ， 又 平面 ，故 ，得证； (2) 【分析】（1）通过证明平面 ，即可求证； （2）建系求得两平面法向量，代入夹角公式即可. 【详解】（1）略 （2） 由（1），以 为原点， 为 轴， 为 轴，过作平面 的垂线为轴， 又，可得： ，，，，， 由 ，，设， ， 三棱锥体积 ， 解得 ，即 ， 因为平面 ，故平面 的一个法向量为 ， 在平面 中，， 设其法向量为， 则 令，得， 即， 设平面与平面所成角为， 则， 即平面与平面所成角余弦值是. 题型三：一条实线 当两个平面互相垂直时，可在一个平面内作一条直线与另一个平面垂直，并以这条直线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 7．（25-26高三上·辽宁·期末）如图，在三棱柱 中，，， 为棱 的中点， 是棱 上一点，且 ，. (1)求证：平面 平面 ； (2)求点 到平面 的距离； (3)求二面角 的正弦值. 【答案】(1) 取的中点，连接、、， 在中，，，， 由余弦定理得， ，又，， ， ，. 又，，平面，， 平面，. 取中点，连接、，为中点， ，又. ，四边形为平行四边形， ， 又因为在四边形中，，， ，又，、平面，平面 平面，平面平面. (2) (3) 【分析】（1）要证明面面垂直，则需要证明线面垂直，即证明平面. （2）先建立空间直角坐标系，然后列出的坐标求出平面的法向量，进而根据向量的数量积求出距离. （3）先求出平面和平面的法向量，进而可求出二面角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）因为，，，所以 如图，以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向， 建立空间直角坐标系，因为，， 所以，，，， ，， 设平面的法向量， 由，有，， 令，则.   ， 所以，，， 点B到平面的距离. （3）由（2）中的空间直角坐标系可知，，，， 所以， 设平面的法向量为，由， 有，令，则，那么，    取平面的法向量，所以， 设二面角的平面角为锐角，则. ∴二面角的正弦值为. 8．（25-26高二下·湖南长沙·期中）如图1所示，△ABE是边长为2的正三角形，四边形BCDE是一个梯形；其中BE∥CD，ED＝DC＝CB＝1，现在沿着BE把△ABE折起到△的位置，连接，且使得＝2，如图2所示． (1)求证：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明线面垂直，即证明垂直于底面上的两条相交直线和，最终推导出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系将几何问题代数化，利用空间向量求出平面的法向量，通过计算法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，直接得到线面角的正弦值. 【详解】（1）取BE的中点为O，连接，OC，OD， 由图1中，△ABE是边长为2的正三角形，等腰梯形BCDE， 且ED＝DC＝CB＝1，可得OC＝OD＝1，且， 因为＝2，所以，所以， 又由△正三角形性质，可得， 因为OCBE＝O，且OC，BE平面BCDE，所以平面BCDE， 又因为平面，所以平面平面BCDE． （2）取CD的中点F，连接OF，因为四边形BCDE为等腰梯形， 且O为BE的中点，所以OF⊥BE，又因为⊥平面BCDE， 以O为坐标原点，OB，OF，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，， 所以，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 设直线与平面夹角为，则， 所以直线与平面夹角的正弦值为． 9．（2026·山东泰安·三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，． (1)证明：； (2)求D到平面MOB的距离． 【答案】(1)连接PO，BD，如图一所示， ，，∵平面平面ABCD， 平面平面，平面，平面ABCD， 平面ABCD，， 又平面PAD，平面PAD， 又平面PAD，. (2) 【分析】（1）通过面面垂直得到，继而通过平面PAD，最终完成证明 （2）建系利用向量法求解或利用等体积法求解 【详解】（1）略 （2）由（1）得,又∵O为AD的中点,， ,是正三角形，,. 法一：以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图一所示的空间直角坐标系， 则 ， ， 设平面MOB的一个法向量为， 则即， 取，则，， ∴点D到平面MOB的距离， ∴点D到平面MOB的距离为. 法二：连接MD，设点D到平面MOB的距离为h， ， ，M到平面ABCD的距离为P到平面ABCD距离的， 即，，， ，∴点D到平面MOB的距离为. 题型四：凌空建系 对于正棱锥，可以底面中心为原点，中心与顶点连线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 10．（25-26高二上·辽宁大连·期末）在如图所示的几何体中，底面是菱形，，底面，，，且平面平面． (1)在线段EB上是否存在点M，使得四点共面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1) 线段上存在点，且为的中点，使得四点共面.证明如下： 连接.∵四边形是菱形，. 又平面，平面，. 又，平面，平面. 连接.∵为的中点，，. 又平面平面，平面平面，平面，平面. ，（垂直于同一个平面的两条直线互相平行）， ∴在线段上存在点，且为的中点，使得四点共面. (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明得平面，再由面面垂直的性质定理证明得平面，从而证明得，可得四点共面； （2）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，求解平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角计算公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，设交于点，连接，， 则，且. 平面，平面. 又，∴以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.    ∵底面是菱形，，，. ，. 由（1）知，∴四边形是矩形，， ∴，，，， ，，. 设平面的法向量为， 则，即， 取，则. 设平面的法向量为， 所以，即， 取，则. ， 所以二面角的正弦值为. 11．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）如图所示，四边形与均为菱形，，且. (1)求证：平面； (2)求面与面所成二面角的余弦值. 【答案】(1) 设与相交于点，连接，为菱形，， 连接，四边形为菱形且，为等边三角形， 又为中点， ， 又平面，平面，， 平面. (2) 【分析】（1）用线面垂直的判定定理证明即可； （2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，再代入公式即可求出. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知 ，又为中点，，， 又平面，平面，，平面， 两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，四边形为菱形且，， 为等边三角形，， 则 ， 设平面的法向量为， 则，令，则，得， 由图可知平面的法向量为， ， 故平面与平面所成二面角的余弦值为. 12．（2026·山西朔州·二模）如图，四棱锥的底面是菱形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：，，是的中点， ，且. 在中，同理可得，. ， . 又平面， 平面. (2). 【分析】(1)分别证明，，利用线面垂直的判定定理即可证明结论； (2)设与相交于点.以为坐标原点，直线，分别为，轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，表示各点的坐标，求出平面的法向量，利向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）设与相交于点. 以为坐标原点，直线，分别为，轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，. 设. 则，可得， 则，，. 设平面的法向量为， 则，即，可取. 设直线与平面所成的角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 题型五：倒置坐标系 对于一些非规则的几何体或者斜棱柱这类的几何体，有时很难在图形中找到线面垂直或面面垂直，这时可通过作辅助线，即过一个适当的点作出一条直线与某平面（一般为底面）垂直，再以这条直线为z轴，建立空间直角坐标系. 13．（2026·辽宁朝阳·模拟预测）如图，在斜三棱柱中，，侧面为矩形，在底面内的射影为. (1)求证：； (2)若，与底面所成角的余弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由射影得直线垂直于平面，再结合三角形性质和线面垂直判定定理证明. （2）建立空间直角坐标系，求相关向量与法向量，利用向量夹角公式求平面夹角余弦值. 【详解】（1）因为在底面内的射影为， 所以平面， 又平面，则， 在斜三棱柱中， ，， 又因为侧面为矩形， 所以，因此， 因为，，平面， 所以平面，又平面， 所以，结合，得． （2）由（1）知，，两两垂直，以为原点，所在直线为轴，平行于轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 已知，设，则，， 又因为与底面所成角的余弦值为， 所以，， 则，，， ， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则，， 令，解得， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则，， 令，解得， 又因为两个平面的夹角范围为， 所以． 14．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）如图，在平面中，为正三角形，为直角三角形，且．以为折痕把和向上折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，且满足平面平面． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． (3)在（2）的条件下，求异面直线和的距离． 【答案】(1) 取BD中点H，连接EH， FH， 因为，则， 故， 因为，EH，FH平面EFH，所以BD⊥平面EFH， 又因为平面EFH，所以. (2) (3) 【分析】（1）取BD中点H，连接EH， FH，先证明，可得BD⊥平面EFH，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面夹角即可； （3）先求出和的公垂线的方向向量，进而求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为为直角三角形，且， 所以，又因为为等边三角形， 所以，而，则为等边三角形， 取点O为AH中点，则， ∵， 则，又，平面， ∴平面，即四点共面， 又∵平面， 所以，又，平面， 所以EO⊥平面ABD， 过点O作交AD于点M，则， 以O为坐标原点，OM所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面ABE的法向量为，则, 令，则，得， 设直线DF与平面ABE所成角为， 则， 所以直线DF与平面ABE所成角的正弦值为. （3）由（2）得， 设为和的公垂线的方向向量， 则，令，得， 则异面直线和的距离为. 15．（2026·辽宁朝阳·三模）如图，已知是边长为的等边三角形，分别是的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥． (1)设平面平面，证明：平面； (2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)若点在平面的射影在四边形的内部，四棱锥的体积，求直线被四棱锥外接球球截得的弦长的取值范围． 【答案】(1)因为，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面平面平面，所以， 又平面，平面，所以平面． (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用线面平行的判定，得到平面，再由线面平行的性质得，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面平面与平面的法向量，利用面面角的向量法，即可求解； （3）根据条件可设设球的半径为，球心，再利用，进而得到，即可求解. 【详解】（1）略 （2）取中点，连，则为的中点， 在平面内，过作， 在等边中，由，得， 又，所以， 所以，所以平面， 又平面，所以， 所以两两垂直，以为坐标原点， 直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则， 则， 又，则，所以，解得， 则，所以， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设平面的法向量为，则， 令，得， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）因为点在平面内的射影在四边形内部， 所以，由，得到， 因为，所以， 则，又， 所以，则，所以， 在等腰梯形中，，则， 则为等腰梯形外接圆圆心，设球的半径为，球心， 则，又， 则，整理得到， 又因为， 所以， 因为，且，得到， 又，令，易知在区间上单调递增， 当时，，所以，则． 题型六：利用投影建系 利用已知条件，先找到某个点在底面的投影，用投影点作为坐标原点建系。 16．（2026·江西赣州·二模）如图，在三棱柱中，平面平面，，且， (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明：在平面内作交于点，连接， 由与，得， 所以， 又平面平面，平面平面， ，平面， 故平面， 又因为平面，故， 在中，由与， 则， 即， 在中，，即， 所以，故，即， 又，且，、平面， 故平面， 因为平面，所以， 又因为四边形为菱形，故， 又，、平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）在平面内作交于点，连接，利用面面垂直的性质定理得出平面，可得出，利用余弦定理结合勾股定理逆定理得出，结合得出平面，可得出，再利用菱形的几何性质以及线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，， 故以点为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系， 故、、、、， ，，，则， 设为平面的一个法向量， 则，取，得， 由（1）知平面，且， 故令为平面的一个法向量， 记二面角的平面角为（显然为锐角）， 故， 即二面角的余弦值为. 17．（2026·辽宁大连·一模）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，D为AB的中点. (1)求证：； (2)若二面角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明如下： 取AC中点E，连接，DE. 因为，， 所以为等边三角形，所以. 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为D，E分别为AB，AC的中点，所以. 因为，所以. 因为，，平面， 所以平面. 因为平面， 所以. (2) 【分析】（1）应用面面垂直性质定理得出平面，再应用线面垂直判定定理得出平面，即可得出线线垂直； （2）先根据二面角计算边长得出△ABC是等腰直角三角形，再建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而得出线面角正弦即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）得为二面角的平面角， 因为， 所以，所以， 所以. 中，， 所以△ABC是等腰直角三角形. 连接BE，以E为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系. ，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量， 则， 即， 令，则，， 所以，. 设直线与平面所成角为， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18．（25-26高二上·宁夏石嘴山·阶段检测）如图，斜棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面，.    (1)在棱（包括端点和）上是否存在点，使得平面？若存在，求的长，若不存在，说明理由； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)存在，2 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标及平面的法向量，结合线面平行时向量关系求解即可. （2）求出平面的法向量，利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）连接，交于点，则为，中点， 因为，，所以，为等边三角形， 所以. 又因为，，所以为等边三角形， 所以，平面， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，平面， 所以. 以点为原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.    则，，，，， 则，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以. 设，则， 因为平面，所以，即，解得， 此时点与重合，则. （2）由（1）知，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以. 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 难建系问题与巧设点 题型1：三条实线 题型2：两条实线 题型3：一条实线 题型4：凌空建系 题型5：倒置坐标系 题型6：利用投影建系 题型一：三条实线 若直线OA,OB,OC两两垂直，则可以点O为原点，这三条直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz,如下图所示： 1．（25-26高三上·辽宁铁岭·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，直线与平面所成的角的正切值为. (1)求四棱锥的体积； (2)点Q在线段上，直线平面，求二面角的余弦值. 2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）如图，在棱长为的正方体中，点在棱上，点在棱上，且，点到平面的距离为. (1)求四棱锥的表面积； (2)求点到直线的距离. 3．（25-26高二上·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，底面满足底面，且. (1)求四棱锥的体积； (2)若侧面与侧面的交线为，求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 题型二：两条实线 当一条直线与一个平面垂直时，可以这条直线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 4．（2026·河南南阳·模拟预测）如图，在四棱柱中，底面ABCD是正方形，AC，BD交于点O，P为的中点，. (1)证明：平面平面； (2)若为等边三角形，求平面PCD与平面夹角的余弦值. 5．（2026·辽宁锦州·模拟预测）如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥，设，点分别为棱的中点． (1)当平面平面时，求证：； (2)当二面角大小为时，求异面直线所成角的余弦值． 6．（2026·广东东莞·模拟预测）如图，三棱锥的四个顶点均在半径为2的球O的球面上， ，点分别为棱的中点. (1)证明: ； (2)若 ，三棱锥的体积为 时，求平面与平面所成角的余弦值. 题型三：一条实线 当两个平面互相垂直时，可在一个平面内作一条直线与另一个平面垂直，并以这条直线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 7．（25-26高三上·辽宁·期末）如图，在三棱柱 中，，， 为棱 的中点， 是棱 上一点，且 ，. (1)求证：平面 平面 ； (2)求点 到平面 的距离； (3)求二面角 的正弦值. 8．（25-26高二下·湖南长沙·期中）如图1所示，△ABE是边长为2的正三角形，四边形BCDE是一个梯形；其中BE∥CD，ED＝DC＝CB＝1，现在沿着BE把△ABE折起到△的位置，连接，且使得＝2，如图2所示． (1)求证：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 9．（2026·山东泰安·三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，． (1)证明：； (2)求D到平面MOB的距离． 题型四：凌空建系 对于正棱锥，可以底面中心为原点，中心与顶点连线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 10．（25-26高二上·辽宁大连·期末）在如图所示的几何体中，底面是菱形，，底面，，，且平面平面． (1)在线段EB上是否存在点M，使得四点共面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． (2)若，求二面角的正弦值． 11．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）如图所示，四边形与均为菱形，，且. (1)求证：平面； (2)求面与面所成二面角的余弦值. 12．（2026·山西朔州·二模）如图，四棱锥的底面是菱形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型五：倒置坐标系 对于一些非规则的几何体或者斜棱柱这类的几何体，有时很难在图形中找到线面垂直或面面垂直，这时可通过作辅助线，即过一个适当的点作出一条直线与某平面（一般为底面）垂直，再以这条直线为z轴，建立空间直角坐标系. 13．（2026·辽宁朝阳·模拟预测）如图，在斜三棱柱中，，侧面为矩形，在底面内的射影为. (1)求证：； (2)若，与底面所成角的余弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值. 14．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）如图，在平面中，为正三角形，为直角三角形，且．以为折痕把和向上折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，且满足平面平面． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． (3)在（2）的条件下，求异面直线和的距离． 15．（2026·辽宁朝阳·三模）如图，已知是边长为的等边三角形，分别是的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥． (1)设平面平面，证明：平面； (2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)若点在平面的射影在四边形的内部，四棱锥的体积，求直线被四棱锥外接球球截得的弦长的取值范围． 题型六：利用投影建系 利用已知条件，先找到某个点在底面的投影，用投影点作为坐标原点建系。 16．（2026·江西赣州·二模）如图，在三棱柱中，平面平面，，且， (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 17．（2026·辽宁大连·一模）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，D为AB的中点. (1)求证：； (2)若二面角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（25-26高二上·宁夏石嘴山·阶段检测）如图，斜棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面，. (1)在棱（包括端点和）上是否存在点，使得平面？若存在，求的长，若不存在，说明理由； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $