周周测17 期末考试专题复习（数学人教B版选择性必修第一册+选择性必修第二册）

**基本信息** 2026-2027学年高二上学期数学周周测17聚焦期末专题复习，覆盖解析几何、立体几何、排列组合等模块，通过正四面体垂线、椭圆面积最值等问题，融合空间观念与运算能力，适配高二期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|直线倾斜角、圆轨迹、排列问题|结合正四面体模型考查空间几何直观| |多选|3/18|线面位置关系、双曲线性质|通过物理化学选课情境强化推理意识| |填空|3/15|二项式定理、圆公共弦|设置有理项判断考查数学抽象能力| |解答|5/77|立体几何二面角、椭圆定点问题|以参赛方案设计体现数学模型应用，椭圆综合题训练运算与论证能力|

2026-2027学年高二上学期数学周周测17 期末考试专题复习 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（    ）    A． B． C． D． 3．直线过点且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 4．当点在圆上运动时，连接它与定点，线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 6．下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 7．如图，一块长方形花圃，计划在A、B、C、D四个区域分别种上3种不同颜色鲜花中的某一种，允许同一种颜色的鲜花使用多次，但相邻区域必须种不同颜色的鲜花，不同的种植方案有（    ） A．9种 B．8种 C．7种 D．6种 8．已知双曲线C：的右焦点为F，离心率为，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．直线的方向向量，平面的法向量是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 10．已知双曲线，则下列各选项正确的是（    ） A．双曲线C的焦点坐标为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的离心率为 D．双曲线C的虚轴长为4 11．某学生想在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（    ） A．若任意选择三门课程，选法总数为 B．若物理和化学至少选一门，选法总数为 C．若物理和历史不能同时选，选法总数为 D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为20 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知的展开式中共有项，则有理项共____项．（用数字表示） 13．已知，则________．（用数字作答） 14．已知相交两圆，圆，公共弦所在直线方程为___________，公共弦的长度为___________. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知：直线：与直线：交于点P． (1)求直线和交点P的坐标． (2)若过点P的直线l与两坐标轴截距互为相反数，求l的直线方程． 16．已知二项式的展开式中共有10项． (1)求展开式的第5项的二项式系数； (2)求展开式中含的项． 17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，点P在棱DF上． （1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值； （2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，求PF的长度． 18．某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加． (1)求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？ (2)若甲同学主攻数学方向，必须选择数学竞赛，乙同学主攻物理方向，必须选择物理竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？ 19．已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点P为上一点，周长为，其中为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与交于A，B两点， ①求面积的最大值； ②设，试证明点Q在定直线上，并求出定直线方程 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测17 期末考试专题复习 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线过点且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线垂直，斜率相乘得，可求得斜率，利用点斜式求解即可. 【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即. 故选：. 2．当点在圆上运动时，连接它与定点，线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出的坐标，根据中点坐标关系用的坐标表示出的坐标，结合在圆上得到的坐标所满足的关系式，即为的轨迹方程. 【详解】设，因为的中点为， 所以，所以， 又因为在圆上，所以， 所以的轨迹方程即为， 故选：C. 3．已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直线与抛物线相切时，切点到直线的距离即为最小值，由此可求解． 【详解】设直线与抛物线相切于点，显然切点位于第一象限， 在第一象限内，由，得，则， 所以，即，所以点的坐标为， 所以的最小值为点到直线的距离，即. 故选：A. 4．下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【答案】B 【分析】根据排列的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确； 对于C，确定直线不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误； 对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误． 故选：B 5．如图，一块长方形花圃，计划在A、B、C、D四个区域分别种上3种不同颜色鲜花中的某一种，允许同一种颜色的鲜花使用多次，但相邻区域必须种不同颜色的鲜花，不同的种植方案有（    ） A．9种 B．8种 C．7种 D．6种 【答案】D 【分析】可按区域分四步，由分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，按区域分四步：第一步A区域有3种颜色可选；第二步B区域有2种颜色可选； 第三步C区域有1种颜色可选；第四步D区域只有1种颜色可选， 由分步计数原理可得，共有种不同的种植方案. 故选：D. 6．已知双曲线C：的右焦点为F，离心率为，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由双曲线的对称性与定义得到，关于的表达式，从而利用题设条件与余弦定理得到关于的表达式，再利用基本不等式即可得解. 【详解】如图，记双曲线C的左焦点为，连接，由对称性可知，四边形是平行四边形， 则，因为，则， 设，则，又， 所以，即，，则， 因为，所以， 在中，， 即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 此时由于，当且仅当时，等号成立， 注意当时，，不满足题意， 故，所以当时，有解， 且由得，满足题意，所以的最小值为．   故选：B    【点睛】关键点睛：本题的关键是利用双曲线定义和余弦定理得到，最后利用基本不等式求出最值. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．直线的方向向量，平面的法向量是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AB 【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法，结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可. 【详解】对A，两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确； 对B，两个不同的平面，的法向量分别是，， 则，所以，B正确； 对C，直线的方向向量，平面的法向量是， 则，所以或，C错误； 对D，直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误． 故选：AB 8．某学生想在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（    ） A．若任意选择三门课程，选法总数为 B．若物理和化学至少选一门，选法总数为 C．若物理和历史不能同时选，选法总数为 D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为20 【答案】AB 【分析】利用组合的概念可判断A，利用分类考虑，物理和化学只选一门、物理和化学都选，可判断B，利用间接法可判断C，若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D． 【详解】对于A，若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误； 对于B，若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法，若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法， 由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误； 对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确； 对于D，若物理和化学至少选一门，有3种情况， 只选物理不选历史，有种选法， 选化学，不选物理，有种选法， 物理与化学都选，不选历史，有种选法 故总数为种，故D正确. 故选：AB. 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知的展开式中共有项，则有理项共____项．（用数字表示） 【答案】 【分析】先求n，然后化简通项，由指数为整数可得. 【详解】因为的展开式中共有项，所以， 则通项， 当时，，相应项为有理项，故有理项共有4项. 故答案为：4 10．已知，则________．（用数字作答） 【答案】210 【分析】根据二项展开式的通项可知展开式中奇次项的系数为负，偶次项的系数为正，可得，令，即可求解． 【详解】解：因为， 所以展开式中奇次项的系数为负，偶次项的系数为正， 所以， 展开式的通项公式为， 所以，， 在二项展开式中，令， 可得， ， 故答案为：． 四、解答题：本题共2小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，点P在棱DF上． （1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值； （2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，求PF的长度． 【答案】（1）．（2）． 【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，则（﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1），计算夹角得到答案. （2）设，0≤λ≤1，计算P（0，2λ，2﹣2λ），计算平面APC的法向量（1，﹣1，），平面ADF的法向量（1，0，0），根据夹角公式计算得到答案. 【详解】（1）∵BAF＝90°，∴AF⊥AB， 又∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB， ∴AF⊥平面ABCD，又四边形ABCD为矩形， ∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系， ∵AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，P是DF的中点， ∴B（2，0，0），E（1，0，2），C（2，2，0），P（0，1，1）， （﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1）， 设异面直线BE与CP所成角的平面角为θ， 则cosθ， ∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为． （2）A（0，0，0），C（2，2，0），F（0，0，2），D（0，2，0）， 设P（a，b，c），，0≤λ≤1，即（a，b，c﹣2）＝λ（0，2，﹣2）， 解得a＝0，b＝2λ，c＝2﹣2λ，∴P（0，2λ，2﹣2λ）， （0，2λ，2﹣2λ），（2，2，0）， 设平面APC的法向量（x，y，z）， 则，取x＝1，得（1，﹣1，）， 平面ADP的法向量（1，0，0）， ∵二面角D﹣AP﹣C的正弦值为， ∴|cos|， 解得，∴P（0，，）， ∴PF的长度|PF|． 【点睛】本题考查了异面直线夹角，根据二面角求长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 12．已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点P为上一点，周长为，其中为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与交于A，B两点， ①求面积的最大值； ②设，试证明点Q在定直线上，并求出定直线方程. 【答案】(1) (2)①； ②设， 由可得，即. 因为，所以，故， 于是有，所以点Q在定直线. 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出及，即可得解； （2）①设，.联立直线和椭圆组成的方程组，利用韦达定理求出，再求出点O到直线的距离，即可得的面积，再利用基本不等式即可求出最大值；②设,由得到三点坐标之间的关系，再利用韦达定理转化成之间的关系，即可得证. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c， 依题意有，解得. 又因为，所以椭圆的方程为； （2） ①设，. 由消去,得*. 因为直线与交于A，B两点， 所以方程*的，解得. 又由韦达定理可知，， 所以弦长 ， 又因为点O到直线的距离， 所以的面积 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以面积的最大值为； ②略 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测17 期末考试专题复习 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线过点且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 2．当点在圆上运动时，连接它与定点，线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 4．下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 5．如图，一块长方形花圃，计划在A、B、C、D四个区域分别种上3种不同颜色鲜花中的某一种，允许同一种颜色的鲜花使用多次，但相邻区域必须种不同颜色的鲜花，不同的种植方案有（    ） A．9种 B．8种 C．7种 D．6种 6．已知双曲线C：的右焦点为F，离心率为，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分.） 7．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．直线的方向向量，平面的法向量是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 8．某学生想在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（    ） A．若任意选择三门课程，选法总数为 B．若物理和化学至少选一门，选法总数为 C．若物理和历史不能同时选，选法总数为 D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为20 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知的展开式中共有项，则有理项共____项．（用数字表示） 10．已知，则________．（用数字作答） 四、解答题：本题共2小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，点P在棱DF上． （1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值； （2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，求PF的长度． 12．已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点P为上一点，周长为，其中为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与交于A，B两点， ①求面积的最大值； ②设，试证明点Q在定直线上，并求出定直线方程. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测17 期末考试专题复习 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程和倾斜角定义求解. 【详解】直线为平行于轴的直线， 所以倾斜角为. 故选：B 2．如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的基本定理结合空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式. 【详解】记线段的中点为，由正四面体的性质可知，为的重心，    因为为的中点，则，所以，， 所以，，所以 所以 . 故选：B. 3．直线过点且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线垂直，斜率相乘得，可求得斜率，利用点斜式求解即可. 【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即. 故选：. 4．当点在圆上运动时，连接它与定点，线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出的坐标，根据中点坐标关系用的坐标表示出的坐标，结合在圆上得到的坐标所满足的关系式，即为的轨迹方程. 【详解】设，因为的中点为， 所以，所以， 又因为在圆上，所以， 所以的轨迹方程即为， 故选：C. 5．已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直线与抛物线相切时，切点到直线的距离即为最小值，由此可求解． 【详解】设直线与抛物线相切于点，显然切点位于第一象限， 在第一象限内，由，得，则， 所以，即，所以点的坐标为， 所以的最小值为点到直线的距离，即. 故选：A. 6．下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【答案】B 【分析】根据排列的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确； 对于C，确定直线不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误； 对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误． 故选：B 7．如图，一块长方形花圃，计划在A、B、C、D四个区域分别种上3种不同颜色鲜花中的某一种，允许同一种颜色的鲜花使用多次，但相邻区域必须种不同颜色的鲜花，不同的种植方案有（    ） A．9种 B．8种 C．7种 D．6种 【答案】D 【分析】可按区域分四步，由分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，按区域分四步：第一步A区域有3种颜色可选；第二步B区域有2种颜色可选； 第三步C区域有1种颜色可选；第四步D区域只有1种颜色可选， 由分步计数原理可得，共有种不同的种植方案. 故选：D. 8．已知双曲线C：的右焦点为F，离心率为，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由双曲线的对称性与定义得到，关于的表达式，从而利用题设条件与余弦定理得到关于的表达式，再利用基本不等式即可得解. 【详解】如图，记双曲线C的左焦点为，连接，由对称性可知，四边形是平行四边形， 则，因为，则， 设，则，又， 所以，即，，则， 因为，所以， 在中，， 即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 此时由于，当且仅当时，等号成立， 注意当时，，不满足题意， 故，所以当时，有解， 且由得，满足题意，所以的最小值为．   故选：B    【点睛】关键点睛：本题的关键是利用双曲线定义和余弦定理得到，最后利用基本不等式求出最值. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．直线的方向向量，平面的法向量是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AB 【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法，结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可. 【详解】对A，两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确； 对B，两个不同的平面，的法向量分别是，， 则，所以，B正确； 对C，直线的方向向量，平面的法向量是， 则，所以或，C错误； 对D，直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误． 故选：AB 10．已知双曲线，则下列各选项正确的是（    ） A．双曲线C的焦点坐标为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的离心率为 D．双曲线C的虚轴长为4 【答案】BC 【分析】根据双曲线方程求出、、，再一一判断即可. 【详解】解：双曲线，则、，所以， 则焦点坐标为，故A错误； 离心率，故C正确，虚轴长为，故D错误； 渐近线方程为，即，故B正确； 故选：BC 11．某学生想在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（    ） A．若任意选择三门课程，选法总数为 B．若物理和化学至少选一门，选法总数为 C．若物理和历史不能同时选，选法总数为 D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为20 【答案】AB 【分析】利用组合的概念可判断A，利用分类考虑，物理和化学只选一门、物理和化学都选，可判断B，利用间接法可判断C，若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D． 【详解】对于A，若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误； 对于B，若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法，若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法， 由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误； 对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确； 对于D，若物理和化学至少选一门，有3种情况， 只选物理不选历史，有种选法， 选化学，不选物理，有种选法， 物理与化学都选，不选历史，有种选法 故总数为种，故D正确. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知的展开式中共有项，则有理项共____项．（用数字表示） 【答案】 【分析】先求n，然后化简通项，由指数为整数可得. 【详解】因为的展开式中共有项，所以， 则通项， 当时，，相应项为有理项，故有理项共有4项. 故答案为：4 13．已知，则________．（用数字作答） 【答案】210 【分析】根据二项展开式的通项可知展开式中奇次项的系数为负，偶次项的系数为正，可得，令，即可求解． 【详解】解：因为， 所以展开式中奇次项的系数为负，偶次项的系数为正， 所以， 展开式的通项公式为， 所以，， 在二项展开式中，令， 可得， ， 故答案为：． 14．已知相交两圆，圆，公共弦所在直线方程为___________，公共弦的长度为___________. 【答案】 【分析】直接由两圆方程作差可得，将代入可解得， 结合即可求解 【详解】   联立作差可得，将代入可解得， 故答案为：； 【点睛】本题考查两圆的相交弦、弦长的求法，考查了直观想象，数学运算的核心素养，属于基础题 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知：直线：与直线：交于点P． (1)求直线和交点P的坐标． (2)若过点P的直线l与两坐标轴截距互为相反数，求l的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解方程组 ， 解得 ， ∴点的坐标为, （2）直线的斜率显然存在且不为0，设： 令，得，令，得， 所以 ∴，∴或， 得为：或 16．已知二项式的展开式中共有10项． (1)求展开式的第5项的二项式系数； (2)求展开式中含的项． 【答案】(1)126 (2) 【分析】（1）根据项数可求得，根据二项式系数与项数之间关系列出等式，解出即可； （2）由（1）中的，求出通项，使的幂次为4，求出含的项即可. 【详解】（1）解：因为二项式的展开式中共有10项，所以， 所以第5项的二项式系数为； （2）由（1）知，记含的项为第项， 所以， 取，解得，所以， 故展开式中含的项为. 17．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，点P在棱DF上． （1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值； （2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，求PF的长度． 【答案】（1）．（2）． 【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，则（﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1），计算夹角得到答案. （2）设，0≤λ≤1，计算P（0，2λ，2﹣2λ），计算平面APC的法向量（1，﹣1，），平面ADF的法向量（1，0，0），根据夹角公式计算得到答案. 【详解】（1）∵BAF＝90°，∴AF⊥AB， 又∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB， ∴AF⊥平面ABCD，又四边形ABCD为矩形， ∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系， ∵AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，P是DF的中点， ∴B（2，0，0），E（1，0，2），C（2，2，0），P（0，1，1）， （﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1）， 设异面直线BE与CP所成角的平面角为θ， 则cosθ， ∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为． （2）A（0，0，0），C（2，2，0），F（0，0，2），D（0，2，0）， 设P（a，b，c），，0≤λ≤1，即（a，b，c﹣2）＝λ（0，2，﹣2）， 解得a＝0，b＝2λ，c＝2﹣2λ，∴P（0，2λ，2﹣2λ）， （0，2λ，2﹣2λ），（2，2，0）， 设平面APC的法向量（x，y，z）， 则，取x＝1，得（1，﹣1，）， 平面ADP的法向量（1，0，0）， ∵二面角D﹣AP﹣C的正弦值为， ∴|cos|， 解得，∴P（0，，）， ∴PF的长度|PF|． 【点睛】本题考查了异面直线夹角，根据二面角求长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 18．某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加． (1)求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？ (2)若甲同学主攻数学方向，必须选择数学竞赛，乙同学主攻物理方向，必须选择物理竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？ 【答案】(1)540种； (2)65种. 【分析】（1）对参加三个学科的人数分三种情况讨论，先分组、再分配求出各组情况的方案数，最后相加； （2）对选择化学竞赛的人数分四种情况讨论，利用分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得. 【详解】（1）若参加三个学科的人数分别为1，1，4时，共有种参赛方案； 若参加三个学科的人数分别为1，2，3时，共有种参赛方案； 若参加三个学科的人数分别为2，2，2时，共有种参赛方案； 该校派出的6名学生总共有种不同的参赛方案． （2）若有4人选择化学竞赛，则有1种参赛方案； 若有3人选择化学竞赛，余下的一人有2种选法，则有种参赛方案； 若有2人选择化学竞赛，余下的两人各有2种选法，则有种参赛方案； 若有1人选择化学竞赛，余下的三人各有2种选法，则有种参赛方案； 所以总共有种不同的参赛方案． 19．已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点P为上一点，周长为，其中为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与交于A，B两点， ①求面积的最大值； ②设，试证明点Q在定直线上，并求出定直线方程. 【答案】(1) (2)①； ②设， 由可得，即. 因为，所以，故， 于是有，所以点Q在定直线. 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出及，即可得解； （2）①设，.联立直线和椭圆组成的方程组，利用韦达定理求出，再求出点O到直线的距离，即可得的面积，再利用基本不等式即可求出最大值；②设,由得到三点坐标之间的关系，再利用韦达定理转化成之间的关系，即可得证. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c， 依题意有，解得. 又因为，所以椭圆的方程为； （2） ①设，. 由消去,得*. 因为直线与交于A，B两点， 所以方程*的，解得. 又由韦达定理可知，， 所以弦长 ， 又因为点O到直线的距离， 所以的面积 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以面积的最大值为； ②略 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $