专题03 直线的方程9大考点（高效培优期末专项训练）高二数学上学期人教B版2019

专题03 直线的方程9大考点 考点01直线的倾斜角 考点02 直线的斜率 考点03已知直线平行求参数 考点04已知直线垂直求参数 考点05 求直线的方程 考点06由两条直线平行、垂直求方程 考点07 点到直线的距离问题 考点08两平行线间的距离问题 考点09直线的对称问题 考点01直线的倾斜角 1．若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．直线的倾斜角是（    ） A． B． C．arctan D． 3．已知是两两不等的实数，点，点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．已知过两点的直线的倾斜角为，则实数的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 5．（多选）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 考点02 直线的斜率 6．过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（   ） A． B． C．或2 D．或-2 7．已知过和的直线斜率为2，则的值是 8．设，为实数，已知直线的斜率，且，，是这条直线上的三个点，则 . 9．已知、，点在线段上，则的取值范围为 . 10．过点作直线，若与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 11．已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 ． 考点03已知直线平行求参数 12．已知直线，，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 13．（多选）已知直线，则（    ） A．无论如何变化，直线恒过定点 B．无论如何变化，直线一定不经过第三象限 C．无论如何变化，直线必经过第一、二、三象限 D．当取不同数值时，可得到一组平行直线 14．设，则“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（多选）直线与不相交，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 16．已知两条不重合的直线，的斜率分别是，，且，是方程的两个根，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 考点04已知直线垂直求参数 17．已知点，，，若直线与互相垂直，则实数n的值为（   ） A．8 B．10 C．6 D．4 18．已知直线，若，则（    ） A． B．2 C． D． 19．（多选）已知，且直线与直线互相垂直，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 20．若直线与垂直，则 ． 考点05 求直线的方程 21．已知平面直角坐标系中两点，则线段的垂直平分线方程为 ． 22．经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 . 23．已知的三个顶点分别是，，，则角平分线所在的直线方程为 . 24．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为 ． 25．已知直线的方程为，若与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，且的面积为2，则（    ） A． B．-1 C． D．0 26．已知两条直线方程分别是和，过点，作直线与这两条直线交于点，且恰为中点，求这条直线的方程． 27．已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 考点06由两条直线平行、垂直求方程 28．过点与直线平行的直线方程为 ． 29．已知点，则线段的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 30．已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 31．与直线垂直，且在y轴上的截距为2的直线的方程为 . 32．设直线过点，且和直线平行． (1)求直线的方程； (2)设直线与轴相交于点，求直线绕点逆时针旋转所得的直线方程． 33．（1）已知两点，求线段的垂直平分线的方程. （2）求经过两条直线和的交点，且平行于直线的方程. 考点07 点到直线的距离问题 34．已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 35．点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 36．已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．5 D． 37．已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高线所在直线的方程； (2)若直线过点，且点､到直线的距离相等，求直线的方程. 38．数学试卷（回忆版））在平面直角坐标系中，点到直线的距离为 . 39．以和轴上一点为顶点的三角形的面积为5，则的纵坐标为 . 40．已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 考点08两平行线间的距离问题 41．若两平行直线与之间的距离是，则（    ） A． B． C．12 D．14 42．直线与直线之间的距离为 . 43．已知直线与平行，则与的距离为 ． 44．已知直线与平行，且过点，则与间的距离为 . 45．若直线与直线间的距离为1，则 . 46．已知等腰直角三角形斜边所在直线过原点，且斜率为，一条直角边所在直线的方程为，且此三角形的面积为，求此直角三角形的直角顶点的坐标. 考点09直线的对称问题 47．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 48．已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 49．若点与点关于直线对称，则直线的一般式方程为 ． 50．在等腰直角中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则 ． 51．已知光线通过点，经轴反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 . 52．已知直线：与直线：交于点M，点M关于直线对称的点为，则的取值范围是 . 53．已知点在轴上，在直线上，，则的周长的最小值为 ． 54．已知实数满足，则的最小值为 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线的方程9大考点 考点01直线的倾斜角 考点02 直线的斜率 考点03已知直线平行求参数 考点04已知直线垂直求参数 考点05 求直线的方程 考点06由两条直线平行、垂直求方程 考点07 点到直线的距离问题 考点08两平行线间的距离问题 考点09直线的对称问题 考点01直线的倾斜角 1．若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，， 所以， 故该直线的倾斜角为. 故选：C. 2．直线的倾斜角是（    ） A． B． C．arctan D． 【答案】D 【详解】由题意得直线的斜率不存在，即倾斜角的正切值不存在， 又因为倾斜角的取值范围是，所以. 故选：D 3．已知是两两不等的实数，点，点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线PQ的斜率， 设直线的倾斜角为，则，且， 所以. 故选：B 4．已知过两点的直线的倾斜角为，则实数的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】因为过两点的直线的倾斜角为，所以直线的斜率为1，所以，解得． 故选：B． 5．（多选）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项. 由图像可知， 则， 故选：AD 考点02 直线的斜率 6．过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（   ） A． B． C．或2 D．或-2 【答案】B 【详解】因为过两点的直线倾斜角为45°，所以直线的斜率. 又因为， 所以， 整理可得，即，解得或. 当时，，，此时两点重合，不符合题意，舍去； 当时，，，此时两点不重合，符合题意. 综上，所以的取值为. 故选：B 7．已知过和的直线斜率为2，则的值是 【答案】 【详解】由题意可知，解之得. 故答案为： 8．设，为实数，已知直线的斜率，且，，是这条直线上的三个点，则 . 【答案】1 【详解】由直线的斜率，且，，得，解得. 同理，解得，所以. 故答案为：1. 9．已知、，点在线段上，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由直线的斜率公式可得：；.    将看成线段上一点与定点连线的斜率， 结合图形，要使直线经过点，且与线段有交点， 的斜率需满足或. 故答案为： 10．过点作直线，若与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】直线的斜率， 直线的斜率， 结合图象得：直线斜率的取值范围为或. 故选：B    11．已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当直线过A时，直线PA的斜率， 当直线过B时，直线PB的斜率， 由图知，直线过点且与线段相交，需使或， 故答案为：. 考点03已知直线平行求参数 12．已知直线，，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 【答案】B 【详解】由题意可知直线，， 故且， 解得， 故选：B 13．（多选）已知直线，则（    ） A．无论如何变化，直线恒过定点 B．无论如何变化，直线一定不经过第三象限 C．无论如何变化，直线必经过第一、二、三象限 D．当取不同数值时，可得到一组平行直线 【答案】BD 【详解】直线，即， 即， 因为直线的斜率，与轴的交点为，交于正半轴， 故直线恒过一、二、四象限，不过第三象限，即B正确，C错误， 当取不同数值时，也随着改变，直线与轴的交点也随着改变，又直线的斜率不变， 所以当取不同数值时，可得到一组平行直线，故D正确， 由D可知直线不过定点，故A错误； 故选：BD 14．设，则“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意知，若，则， 即，解得或或， 当时，轴，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，与重合，不符合题意, 综上，或. 所以“”是“”的充分不必要条件, 故选：A 15．（多选）直线与不相交，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】表示直线（去掉点）， ∴直线与不相交，即直线与平行或直线过点， ∴的取值为或. 故选：BD 16．已知两条不重合的直线，的斜率分别是，，且，是方程的两个根，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由，得，而直线不重合，则； 反之，由，且直线的斜率分别为， 则，方程有两个相等的根， 可得，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 考点04已知直线垂直求参数 17．已知点，，，若直线与互相垂直，则实数n的值为（   ） A．8 B．10 C．6 D．4 【答案】C 【详解】因为点，，所以直线的斜率． 因为，所以直线的斜率， 即，解得． 故选：C． 18．已知直线，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由，可知， 解得， 故选：C 19．（多选）已知，且直线与直线互相垂直，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以，即． 又，所以． 所以，当且仅当， 即时，取等号． 故选：ABC. 20．若直线与垂直，则 ． 【答案】0 【详解】直线与垂直， 可得，解得． 故答案为：0 考点05 求直线的方程 21．已知平面直角坐标系中两点，则线段的垂直平分线方程为 ． 【答案】 【详解】依题意，， 线段中点坐标为， 直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即. 故答案为： 22．经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 . 【答案】或 【详解】当直线在两坐标轴上的截距为时，可设为， 由点，则，解得，所以直线方程为； 当直线在两坐标轴上的截距不为时，可设为， 由点，则，解得，所以直线方程为. 故答案为：或. 23．已知的三个顶点分别是，，，则角平分线所在的直线方程为 . 【答案】 【详解】由题意知：，， 故与同方向的单位向量为：， 与同方向的单位向量为：， 故角平分线所在的直线的方向向量为：， 设角平分线所在的直线的斜率为， 又直线的方向向量可以表示为，，直线又过， 故角平分线所在的直线方程为：，即. 故答案为：. 24．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为 ． 【答案】或 【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零，所以设直线方程为或， 因为直线过点可得或，可得. 所以直线方程为或. 故答案为：或 25．已知直线的方程为，若与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，且的面积为2，则（    ） A． B．-1 C． D．0 【答案】B 【详解】如图， 在中， 令，得；令，得， 由题意，得，， 所以的面积， 即，解得. 故选：B. 26．已知两条直线方程分别是和，过点，作直线与这两条直线交于点，且恰为中点，求这条直线的方程． 【答案】 【详解】在上取点，则点关于点的对称点必在上， 由，得， 得， 于是， 求得， 所以， 故所求直线的方程为：， 即． 27．已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】 【详解】（1）由直线方程变形可得， 所以直线过直线与直线的交点， 联立，解得， 所以直线过定点. （2）已知直线：， 令，得，得. 令，得，得， 则三角形面积为， 当时，分母取得最大值，则此时取到最小值. 此时，直线的方程为，即. 考点06由两条直线平行、垂直求方程 28．过点与直线平行的直线方程为 ． 【答案】 【详解】设过点与直线平行的直线方程为， 代入点坐标，得，解得， 所求直线方程为． 故答案为：． 29．已知点，则线段的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得，直线的斜率不存在，所以线段的垂直平分线的斜率为， 且线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线的方程是． 故选：B 30．已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线与直线平行， 所以设直线的方程为． 因为直线过点，所以， 解得，所以直线的方程为． 故选:C． 31．与直线垂直，且在y轴上的截距为2的直线的方程为 . 【答案】 【详解】设该直线方程为， 直线与垂直，则， 直线在y轴上的截距为2，则， 所以该直线方程为. 故答案为：. 32．设直线过点，且和直线平行． (1)求直线的方程； (2)设直线与轴相交于点，求直线绕点逆时针旋转所得的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为直线的斜率为， 故直线的斜率为，又直线过点， 所以直线的方程为：，化简得：． （2）在直线的方程中，令可得，解得，即点， 直线绕点逆时针旋转所得直线与直线垂直，则所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，化简得：． 33．（1）已知两点，求线段的垂直平分线的方程. （2）求经过两条直线和的交点，且平行于直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 【详解】（1）已知两点，，， 故线段的垂直平分线的斜率， 由中点坐标公式求出线段的中点， 故线段的垂直平分线的方程为，整理得. （2）根据题意，解得， 设经过点且平行于直线的直线方程为， 故，解得. 故所求的直线的方程为. 考点07 点到直线的距离问题 34．已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】C 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 由题意得，解得或. 故选：C. 35．点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得， 令，则，解得， 故直线恒过定点， 记点为点，当与直线垂直时， 点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D 36．已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．5 D． 【答案】D 【详解】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离， 而点满足直线方程， 而直线外一点到直线上点的距离垂线段最短，则点到直线的距离， 因此， 的最小值为. 故选：D 37．已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高线所在直线的方程； (2)若直线过点，且点､到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1). (2)或. 【分析】 【详解】（1）由，，得直线的斜率为， 因为是边上的高线，所以直线的斜率为， 而，所以直线的方程为，即. （2）由点､到直线的距离相等，得直线与边所在的直线平行或过边的中点， ①当直线与直线平行时，由，，知直线的斜率为， 所以直线的斜率为，而直线过点， 所以直线的方程为，即； ②当直线过边的中点时，由，，得边的中点为， 又，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 38．数学试卷（回忆版））在平面直角坐标系中，点到直线的距离为 . 【答案】/0.6 【详解】根据点到直线的距离公式可得. 故答案为：. 39．以和轴上一点为顶点的三角形的面积为5，则的纵坐标为 . 【答案】或 【详解】∵点，∴， 设点P到的距离为d， ∵的面积为5，∴，得， ∵直线的方程为，即， 设P的坐标为， ∴，解得或， ∴的纵坐标为或． 故答案为：或． 40．已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为直线的斜率为，且过点， 所以直线的方程为，化为一般式方程为. （2）直线的方程可化为， 令，则，解得，即点， 所以点到直线的距离为. 考点08两平行线间的距离问题 41．若两平行直线与之间的距离是，则（    ） A． B． C．12 D．14 【答案】C 【详解】因为直线与平行， 所以，即， 因为直线与直线的距离为， 所以，即，解得或（舍去）， 故． 故选：C. 42．直线与直线之间的距离为 . 【答案】/ 【详解】因为， 所以平行线间的距离为， 故答案为：. 43．已知直线与平行，则与的距离为 ． 【答案】 【详解】因为直线与平行， 所以，解得. 所以直线变为，即. 则与的距离为. 故答案为：. 44．已知直线与平行，且过点，则与间的距离为 . 【答案】/ 【详解】因为直线：与：平行， 所以，所以，， 因为过点，所以，所以， 所以直线的方程为，即， 所以与间的距离. 故答案为：. 45．若直线与直线间的距离为1，则 . 【答案】6或 【详解】直线化为， 根据平行线间的距离公式：， 解得：或. 故答案为：6或-14 46．已知等腰直角三角形斜边所在直线过原点，且斜率为，一条直角边所在直线的方程为，且此三角形的面积为，求此直角三角形的直角顶点的坐标. 【答案】或 【详解】斜边所在直线过原点，且斜率为，斜边所在直线方程为； 设直角顶点为，到直线的距离为， 则，解得：； 设是与直线平行且距离为的直线，则与的交点即为直角顶点， 设，则，解得：； 当时，由得：，； 当时，由得：，； 综上所述：此直角三角形直角顶点的坐标为或. 考点09直线的对称问题 47．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点与点重合，则的中点为，， 所以的对称轴所在的直线的斜率为，则对称轴为，即， 由，即对称轴与轴的交点为， 而折叠后，轴与直线也正好重合，即轴与直线关于直线对称， 由在轴上，所以点、都在上，则. 故选：A 48．已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 49．若点与点关于直线对称，则直线的一般式方程为 ． 【答案】 【详解】易知的中点坐标为，两点连线斜率为， 所以直线的斜率为2，由点斜式可知其方程为：， 整理得. 故答案为： 50．在等腰直角中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则 ． 【答案】 【详解】在等腰直角中，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 则，的重心，直线方程为， 设关于和直线的对称点分别为，则， 记，则，解得， 由光的反射定律知，三点共线，则，即，而， 所以，即. 故答案为： 51．已知光线通过点，经轴反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 . 【答案】 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为， 由题意可知，反射光线所在直线为直线，且该直线的斜率为， 故反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 52．已知直线：与直线：交于点M，点M关于直线对称的点为，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由，解得，可得， 所以，即，， 当时，，，则无意义； 当时，， 当且仅当即时等号成立； 当时，， 当且仅当即时等号成立； 综上，的取值范围是. 故答案为： 53．已知点在轴上，在直线上，，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】 作点关于直线的对称点为， 再作点关于轴的对称点为， 由的周长， 因为， 所以的周长, 故答案为： 54．已知实数满足，则的最小值为 【答案】 【详解】， ， 则表示：直线上的点到点和的距离之和的最小值， 如图所示： 设点关于直线的对称点为， 得，解得， 得， 则 ， 等号成立时，三点共线， 故答案为： 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $