3.2.1 课时1 单调性课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性，涵盖定义、判断（定义法、图象法）、证明步骤及单调区间求法。课堂导入从初中函数图象性质切入，通过“说一说”活动引导观察曲线规律，衔接旧知，搭建从直观到抽象的学习支架。 其亮点是以小组合作探究为主，结合y=x²、y=1/x等实例，通过画图、作差变形培养数学眼光（几何直观）、数学思维（推理能力）和数学语言（符号表达）。总结方法清晰（如证明四步法），助学生构建知识体系，教师可借活动提升课堂互动与教学效率。

3.2.1 课时1 单调性 说一说：观察右图，你能描述该曲线的规律吗？你是否还能举出类似的例子呢？ 在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性. 如何用符号语言来刻画呢？ 探究1 借助函数图像，理解函数的单调性 活动1：小组合作完成下列问题： （1）请完成下表，并在纸上画出函数的图象. （2）结合图象描述函数单调性. x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 f（x） 16 9 4 1 0 1 4 9 16 在轴左侧， 图象下降的； 即当时，即随着的增大而减小； 在y轴右侧，图象上升的； 即当时，即随着的增大而增大. 用数学语言描述： 在轴左侧， 图象下降的； 即当时，即随着的增大而减小； 符号语言：任意取,， 当有 这时我们就说函数在区间上是单调递减的. 思考1：（1）你能说明为什么吗？ （2）如果，且单调递减，你能得到什么结论？ 在轴右侧，图象上升的； 即当时，即随着的增大而增大. 符号语言：任意取, 当，有 这时我们就说函数在区间上是单调递增的. 思考2：（1）你能说明为什么吗？ （2）如果，且单调递增，你能得到什么结论？ 一般地，设函数: 如果,当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增. 就叫做函数的单调递增区间，简称增区间. 如果,当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减. 就叫做函数的单调递减区间，简称减区间. 归纳总结 函数的单调性 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它为增函数. 如：就是在R上的增函数. 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它为减函数. 如：就是在R上的减函数. (1)仿照，用符号语言刻画函数和各有怎样的单调性？ 提示：（1）画出函数图像; （2）用数学语言描述函数单调性. 活动2：小组合作完成下列问题，请尝试总结得出的发现. (2)反比例函数减函数吗？如何描述它的单调性. 符号语言： (1)任意取, 当 函数在区间上是单调递增的. (2)任意取, 当 函数在区间上是单调递减的. 符号语言： (1)任意取, 函数在区间上是单调递减的. (2)任意取, 函数在区间上是单调递增的. (2)反比例函数减函数吗？如何描述它的单调性. 分段描述！ 注意1：增函数、减函数是针对的是函数的整个定义域，是函数的整体性质，而函数的单调性是对定义域下的某个区间，是函数的局部性质.一个函数在定义域下的某个区间具有单调性，但在整个定义上不一定具有单调性. 注意2：若函数的单调区间有多个，则函数的单调区间不能用“”连接，只能用“，”或“和”连接. x O y ,或者 单调递减区间 思考3：设A是区间D上的自变量的某些值组成的集合，而且，当x1<x2，都有，能说明函数在区间上单调递增吗？试举例说明. 对于函数，取区间, 集合，则，当，都有.但在上并不单调递增. 注意3：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，它属于函数的局部性质，当函数在定义域内有增又有减时，说明该函数是不单调的.因此，在说明函数增减性时，一定要说明区间. （1）对于函数f（x）=x2,如何从数学运算的角度说明f(x1)和f(x2)的大小关系？ 作差法： 探究2 利用定义判断函数的单调性 活动3：解答下列问题，请尝试归纳证明函数单调性的方法. （2）根据定义，研究函数的单调性. 归纳总结 求证:函数y=x+在区间)上单调递增. 任意取值 作差变形 定号 结论 练一练 (1)下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3x C.f(x)=- D.f(x)=-|x| (2)函数y=x2-2|x|+1的单调递增区间是(　　) A.(-1,0) B.(-1,0)和(1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,-1)和(0,1) C B 作出函数图象如图所示, 由图象可知,函数的单调递增区间为(-1,0)和(1,+∞).故选B. 探究3 求函数的单调区间 活动4 小组合作完成下列问题，并总结求解此类问题的方法. ①图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间； ②定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解． 归纳总结 函数单调区间的两种求法： 1.函数单调性的定义； 2.函数单调性的判断（定义法、图象法）； 3.证明函数单调性的步骤； 4.求单调区间； 两个单调区间不能任意的合并 取值、作差变形、定号、结论 本节课我们学到了哪些知识与方法？ 1.（多选题）若函数 在区间 上单调递增，对于任意的 ， ，则下列结论中正确的有( ) A. B. C. D. 2.函数 在 上是减函数，则有( ) A. B. C. D. AB C 3.函数 在区间 上( ) A.单调递减 B.单调递增 C.先单调递减后单调递增 D.先单调递增后单调递减 C 4.已知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,试比较 f(a2-a+1)与f 的大小. 利用定义证明函数单调性的步骤 1.取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. 2.作差变形：作差fx1－fx2，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子. 3.定号：确定fx1－fx2的符号. 4.结论：根据fx1－fx2的符号及定义判断单调性. (2)由题得,y= 解：∵a2-a+1=, ∴与a2-a+1都是区间(0,+∞)上的值. ∵f(x)在区间(0,+∞)上单调递减, ∴f≥f(a2-a+1). $