专题42 一次函数的图象与性质（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以12类题型构建“概念-图象-性质-应用”递进体系，提炼解题步骤与技巧，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正比例函数图象与性质|2题型/2典例|k符号与象限、增减性对应|从特殊（正比例）到一般（一次函数）| |k/b符号与图象|2题型/2典例|四象限分类表、排除法|参数对图象位置的影响推导| |交点与画图|2题型/2典例|坐标轴交点求法、描点连线步骤|代数计算与几何作图结合| |性质综合与参数|3题型/3典例|增减性判k、最值“顺逆”口诀|性质应用到参数范围推理| |多图象最值|1题型/1典例|取函数最值段、拐点分析|单函数到多函数综合应用|

专题42 一次函数的图象与性质 （题型突破·举一反三） 题型01 正比例函数的图象 题型02 正比例函数的性质 题型03 由k、b的正负性确定函数图象 题型04 双一次函数图象问题 题型05 根据一次函数经过的象限求k、b的范围 题型06 一次函数与坐标轴的交点 题型07 画函数图象 题型08 一次函数的图象和性质综合 题型09 根据一次函数的增减性求参数 题型10 比较一次函数值的大小 题型11 一次函数最值问题 题型12 多图象求解最值 ▌题型01 正比例函数的图象 正比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）的图像是经过原点的一条直线. 的符号 图像 图像的位置 增减性 图像经过原点 和第一、三象限 y随x增大而增大 图像经过原点 和第二、四象限 y随x增大而减小 【典例1】（2025春•厦门校级期中）在下列各图象中，表示函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】由y＝kx（k＞0）的图象经过一，三象限可得答案． 【解答】解：正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当k＞0时，经过一，三象限． 故选：A． 【变式1-1】（2025秋•太谷区期末）正比例函数y＝﹣x的图象经过的象限是（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【分析】根据正比例函数的图象与性质即可得到结论． 【解答】解：∵k＝﹣1＜0， ∴图象经过第二、四象限， 故选：B． 【变式1-2】（2026春•龙湖区期末）正比例函数y＝kx的图象如图所示，则k的值为 　　 ． 【分析】由函数图象可知点（3，4）在函数上，因此将此点代入函数解析式即可求得k值． 【解答】解：由图知，点（3，4）在函数y＝kx上， ∴3k＝4， 解得：k． 故答案为：． 【变式1-3】（2025秋•连云港校级期末）如图是四个正比例函数的图象，则k1，k2，k3，k4的大小关系是k3＞k4＞k1＞k2 ． 【分析】先由正比例函数的图象与性质得到k3＞0，k4＞0，k1＜0，k2＜0，然后通过取点作垂线求解即可． 【解答】解：由条件可知k3＞0，k4＞0；k1＜0，k2＜0， 在直线y＝k3x上任取一点A，过点A作AC⊥x轴，交直线y＝k4x，x轴于点B，C， 设A（m，k3m），则B（m，k4m）， ∵k3m＞k4m，且m＞0， ∴k3＞k4； 在直线y＝k2x上任取一点D，过点D作DF⊥x轴，交直线y＝k1x，x轴于点E，F， 设D（n，k2n），则E（n，k1n）， ∵k2n＞k1n，且n＜0， ∴k2＜k1； ∴k3＞k4＞k1＞k2， 故答案为：k3＞k4＞k1＞k2． ▌题型02 正比例函数的性质 1.当时，直线经过第一、三象限；从左向右，直线上升；随增大而增大。 2. 当时，直线经过第二、四象限；从左向右，直线下降；随增大而减小。 3.同一坐标系中， 越大，直线越陡，变化速度越快。 【典例1】（2026春•浏阳市期末）关于正比例函数y＝﹣3x，下列结论正确的是（　　） A．图象必经过点（﹣1，﹣3） B．图象经过第一、三象限 C．y随x的增大而减小 D．不论x取何值，总有y＜0 【分析】分别根据正比例函数的性质，一次函数图象上点的坐标特点对各选项进行分析即可． 【解答】解：A、∵当x＝﹣1时，y＝﹣3×（﹣1）＝3≠﹣3， ∴函数图象不经过（﹣1，﹣3），原说法错误，不符合题意； B、∵k＝﹣3＜0， ∴函数图象经过第二、四象限，不经过第一、三象限，原说法错误，不符合题意； C、∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小，正确，符合题意； D、∵k＝﹣3＜0， ∴函数图象经过第二、四象限， ∴当x＜0时，y＞0，原说法错误，不符合题意， 故选：C． 【变式1-1】（2026春•海东市期末）正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，则k的值可能是（　　） A．﹣9 B．﹣3 C．3 D．﹣3或3 【分析】根据函数图象经过的象限确定k的取值范围，再从选项中选取符合条件的数值即可． 【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限， ∴k＞0． 故选：C． 【变式1-2】（2026春•鹤山区校级期中）若正比例函数y＝（1﹣2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m＞0 C． D． 【分析】由当x1＜x2时，y1＜y2，可得出y随x的增大而增大，利用一次函数的性质，可得出1﹣2m＞0，解之可得出m的取值范围． 【解答】解：∵正比例函数y＝（1﹣2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＜y2， ∴y随x的增大而增大， ∴1﹣2m＞0， 解得：m． 故选：C． 【变式1-3】（2025春•牡丹江期末）已知一次函数y＝（m+2）x+m﹣1的函数值y随x的增大而增大，且与y轴的交点在x轴的下方，则m的取值范围是　﹣2＜m＜1　 ． 【分析】利用一次函数的性质及其与系数的关系可得m+2＞0，m﹣1＜0，解不等式组即可． 【解答】解：由条件可知m+2＞0，m﹣1＜0， 解得﹣2＜m＜1， 故答案为：﹣2＜m＜1． ▌题型03 由k、b的正负性确定函数图象 一次函数 、 的符号 图像 经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限 【典例1】（2026春•徐汇区期末）一次函数y＝x﹣3的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】一次函数y＝kx+b，当k＞0，b＜0时，函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，从而可得答案． 【解答】解：∵一次函数y＝x﹣3，k＝1＞0，b＝﹣3＜0， ∴一次函数y＝x﹣3的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限， ∴选项B符合题意． 故选：B． 【变式1-1】（2026春•江阳区校级期末）已知点（b，k）在第四象限，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据点在第四象限，则得b，k的符号，根据b，k的符号即可确定一次函数y＝kx+b的图象经过的象限，从而确定大致图象． 【解答】解：∵点（b，k）在第四象限， ∴b＞0，k＜0， 当k＜0时，一次函数y＝kx+b经过二、四象限；当b＞0时，一次函数y＝kx+b经过第一象限， 即一次函数y＝kx+b经过第一、二、四象限； 故选：A． 【变式1-2】（2026春•裕华区校级期中）如图，若kb＜0，且k＜0，则函数y＝kx+b的图象大数是（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据题意得到b＞0，进而判断出函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，据此可得答案． 【解答】解：∵kb＜0，且k＜0， ∴b＞0， ∴函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选：C． 【变式1-3】（2025秋•南郑区期末）如图，是函数y＝kx+b的图象，则函数y＝bx﹣k的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的图象和性质进行求解即可． 【解答】解：由条件可知一次函数y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∴﹣k＞0， ∵直线与y轴交于负半轴， ∴b＜0， 则y随x的增大而减小，直线与y轴交于正半轴， 故选：A． ▌题型04 双一次函数图象问题 1. 一次函数的图像性质 ：直线从左向右上升； ：直线从左向右下降； ：交y轴正半轴； ：交y轴负半轴； ：过原点。 2. 解题步骤 （1）分别分析每条直线的k：判断上升还是下降； （2）分别分析每条直线的b：判断与y轴交于正半轴还是负半轴； （3）判断k_1与k_2是否相等：相等则平行，不等则相交； （4）对照选项，把矛盾的选项直接排除。 【典例1】（2026春•徐汇区校级月考）一次函数y1＝mx﹣n与y2＝nx﹣m（m，n常数，且mn≠0）是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先通过分析一次项系数与常数项的符号，再逐一验证选项是否符合图象特征即可． 【解答】解：A：y1的图象从左到右上升， ∴m＞0，y1与y轴交于正半轴， ∴﹣n＞0，即n＜0；此时y2＝nx﹣m的斜率n＜0，m＞0，图象应下降，且与y轴交于负半轴， ∴与图象不符，故A错误，不符合题意； B：y1的图象从左到右上升， ∴m＞0，y1与y轴交于正半轴， ∴n＜0；此时y2＝nx﹣m的斜率n＜0，m＞0，图象应下降，且与y轴交于负半轴， ∴与图象相符合，故B正确，符合题意； C：y1的图象从左到右上升， ∴m＞0，y1与y轴交于负半轴， ∴n＞0；此时y2＝nx﹣m的斜率n＞0，m＞0，图象应上升，且与y轴交于负半轴， ∴与图象不符，故C错误，不符合题意； D：y1的图象从左到右上升， ∴m＞0，y1与y轴交于负半轴， ∴﹣n＜0，即n＞0；此时y2＝nx﹣m的斜率n＞0，m＞0，图象应上升，且与y轴交于负半轴， ∴与图象不符，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】（2026•九龙县模拟）直线l1：y＝kx+2和直线l2：y＝﹣2x﹣k在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别根据两条直线系数判断经过的象限，找出两者一致的即可． 【解答】解：由l2：y＝﹣2x﹣k可知，﹣2＜0图象经过第二四象限，故C不符合题意； 当k＜0时，直线l1：y＝kx+2的图象经过第一二四象限，由l2：y＝﹣2x﹣k的图象经过第一二四象限，选项都不符合题意， 当k＞0时，直线l1：y＝kx+2的图象经过第一二三象限，由l2：y＝﹣2x﹣k的图象经过第二三四象限，选项B符合题意，选项AD不符合题意， 故选：B． 【变式1-2】（2026春•阳谷县期末）一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝kbx在同一坐标系中的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y＝kx+b图象分析可得k、b的符号，进而可得kb的符号，从而判断y＝kbx的图象是否正确，进而比较可得答案． 【解答】解：A、由一次函数y＝kx+b图象可知k＜0，b＞0，则kb＜0；由正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0，故此选项符合题意； B、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＜0；即kb＜0，由正比例函数y＝kbx的图象可知kb＞0，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数y＝kx+b图象可知k＜0，b＞0；即kb＜0，由正比例函数y＝kbx的图象可知kb＞0，矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＞0；即kb＞0，由正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】（2025秋•市南区期末）已知mn≠0，则一次函数y＝﹣2mx+n和y＝﹣2nx+m在同一坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据m、n同正，同负，一正一负时利用一次函数的性质进行判断． 【解答】解：①当m，n同正时， 一次函数y＝﹣2mx+n的图象经过第一、二、四象限，一次函数y＝﹣2nx+m的图象经过第一、二、四象限； ②当m，n同负时， 一次函数y＝﹣2mx+n的图象经过第一、三、四象限，一次函数y＝﹣2nx+m的图象经过第二、三、四象限； ③当m＞0，n＜0时， 一次函数y＝﹣2mx+n的图象经过第二、三、四象限，一次函数y＝﹣2nx+m的图象经过第一、二、三象限； ④当m＜0，n＞0时， 一次函数y＝﹣2mx+n的图象经过第一、二、三象限，一次函数y＝﹣2nx+m的图象经过第二、三、四象限； 故选项B符合题意． 故选：B． ▌题型05 根据一次函数经过的象限求k、b的范围 1. 一次函数经过的象限 解析式 符号 符号 经过象限 一、二、三象限 一、三、四象限 一、二、四象限 二、三、四象限 2.解题步骤 （1）先看：确定直线必过哪两个象限，判断还是； （2）再看：看直线与轴交点位置，确定或； （3）列出关于参数的不等式； （4）解不等式得到参数取值范围； （5）注意：，不要漏掉这个条件。 【典例1】（2026春•衡阳县期末）一次函数y＝（a﹣3）x+2a+4的图象不过第三象限，则（　　） A．﹣2＜a＜3 B．a＜﹣2或a＞3 C．﹣2＜a≤3 D．﹣2≤a＜3 【分析】先根据一次函数定义确定一次项系数不为0，再结合图象不经过第三象限的条件列出不等式组求解即可． 【解答】解：∵一次函数y＝（a﹣3）x+2a+4的图象不过第三象限， ∴a﹣3＜0且2a+4≥0， 解得﹣2≤a＜3． 故选：D． 【变式1-1】（2026•金乡县一模）已知过点（2，1）的直线y＝kx+b不经过第四象限，w＝k+2b，则w的最小值为（　　） A．0 B． C．1 D． 【分析】先利用直线过已知点得到k与b的关系式，再根据直线不经过第四象限的性质得到k和b的取值范围，将w转化为关于单个变量的一次函数，根据一次函数的增减性求w的最小值． 【解答】解：∵直线y＝kx+b过点（2，1）， ∴将点代入直线方程得 2k+b＝1， 整理得 b＝1﹣2k， ∵直线y＝kx+b不经过第四象限，可得 k≥0，b≥0， 将b＝1﹣2k代入b≥0，得 1﹣2k≥0， 解得 ， 综上所述，k的取值范围为 ， ∵w＝k+2b，将b＝1﹣2k代入得： w＝k+2（1﹣2k）＝2﹣3k， ∵﹣3＜0， ∴w随k的增大而减小， ∴当k取最大值时，w取得最小值，代入得： ， 故选：B． 【变式1-2】（2026春•农安县校级期中）已知一次函数y＝（2m+4）x+（5﹣n） （1）求m，n为何值时，函数是正比例函数？ （2）若图象经过第一，三，四象限，求m，n的取值范围？ 【分析】（1）根据正比例函数定义，得到2m+4≠0，5﹣n＝0，求解即可得到答案； （2）根据题意，作出图象，结合图象得到2m+4＞0，5﹣n＜0，求解即可得到答案． 【解答】解：（1）由条件可知2m+4≠0，5﹣n＝0， 解得m≠﹣2，n＝5； （2）如图所示： ∴2m+4＞0，5﹣n＜0， 解得m＞﹣2，n＞5． 【变式1-3】（2026春•长安区校级期末）已知关于x的一次函数y＝（m﹣2）x+m+3． （1）若该函数的图象与y轴的交点在x轴的下方，求m的取值范围； （2）该函数的图象不经过第三象限，且m为整数，求m的值． 【分析】（1）根据题意得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可； （2）根据题意得出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可． 【解答】解：（1）∵该函数的图象与y轴的交点在x轴的下方， ∴m﹣2≠0且m+3＜0， 解得m＜﹣3； （2）∵该函数的图象不经过第三象限， ∴， 解得﹣3≤m＜2． ∵m为整数， ∴m＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1． ▌题型06 一次函数与坐标轴的交点 坐标轴分为x轴、y轴： - y轴上所有点：x=0 - x轴上所有点：y=0 把、分别代入一次函数，就可以求出两个交点坐标。 【典例1】（2025春•海淀区校级期中）已知函数y＝|2x﹣6|． （1）该函数图象与x轴的交点坐标为　（3，0）　 ； （2）若方程|2x﹣6|＝x+m有两个正实数解，则m的取值范围是　﹣3＜m＜6　 ． 【分析】（1）令y＝0求出x值，即可得到函数与x轴的交点坐标； （2）方程|2x﹣6|＝x+m可以看作两个函数y＝|2x﹣6|和y＝x+m的交点的横坐标，画出函数图象，数形结合解答即可． 【解答】解：（1）令y＝0，则x＝3， ∴函数y＝|2x﹣6|图象与x轴的交点坐标为（3，0）， 故答案为：（3，0）． （2）|2x﹣6|＝x+m的解可以看作两个函数y＝|2x﹣6|和y＝x+m的交点的横坐标， 画出两个函数的大致图象如下： 由图象可知，若方程|2x﹣6|＝x+m有两个正实数解，则m的取值范围是﹣3＜m＜6． 故答案为：﹣3＜m＜6． 【变式1-1】（2026春•封开县期末）如图，根据函数y＝﹣2x+3的图象，回答下列问题： （1）y的值随x值的增大而　减小　 （选填“增大”或“减小”）； （2）图象与x轴的交点坐标是　　 ，图象与y轴的交点坐标是　（0，3）　 ． 【分析】（1）由一次函数图象求解即可； （2）由一次函数图象求解即可． 【解答】解：（1）由一次函数的图象可得，y的值随x值的增大而减小， 故答案为：减小； （2）由一次函数的图象可得，函数图象与x轴的交点坐标是（1.5，0），函数图象与y轴的交点坐标是（0，3）， 故答案为：（1.5，0），（0，3）． 【变式1-2】（2026春•浦东新区校级期末）已知一次函数y＝（9+3m）x+n﹣8． （1）m为何值时，y随x的增大而减小？ （2）m、n为何值时，函数图象与y轴交点在x轴的上方？ 【分析】（1）根据一次函数的增减性可得一次项系数小于0，据此建立不等式求解即可； （2）根据交点在x轴的上方得到交点的纵坐标大于0，据此建立不等式求出n的取值范围，再根据一次函数的定义得到一次项系数不为0，则可求出m的取值范围． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝（9+3m）x+n﹣8的图象是y随x的增大而减小， ∴9+3m＜0， ∴m＜﹣3； （2）∵一次函数y＝（9+3m）x+n﹣8与y轴交点在x轴的上方， ∴n﹣8＞0， ∴n＞8； 又∵9+3m≠0， ∴m≠﹣3； 综上所述，当m≠﹣3且n＞8时，函数图象与y轴交点在x轴的上方． 【变式1-3】（2025春•绿园区校级月考）已知，一次函数y＝﹣2x+4的图象分别与x轴，y轴交于点A，B． （1）请直接写出A，B两点坐标：A：　（2，0）　 ，B：　（0，4）　 ； （2）在直角坐标系中画出函数图象（不用列表，直接描点、连线）； （3）点P是一次函数y＝﹣2x+4上一动点，则OP的最小值为 　　 ． 【分析】（1）根据题目即可求出A、B两点的坐标； （2）根据（1）中A、B两点的坐标即可画出函数图象； （3）先利用勾股定理求出AB，当OP与一次函数y＝﹣2x+4垂直时，OP有最小值，再根据等面积法，即可求出OP的最短距离． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A、B， ∴当x＝0时，y＝4， 当y＝0时，x＝2， ∴A、B两点的坐标为（2，0），（0，4）， 故答案为：（2，0），（0，4）； （2）由（1）得：A、B两点的坐标为（2，0），（0，4）， ∴函数图象如图所示： （3）如图所示，当OP与一次函数y＝﹣2x+4垂直时，OP有最小值， 此时，， ∵OA＝2，OB＝4， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ▌题型07 画函数图象 求点 → 列表 → 描点 → 连线 1. 找两个便于画图的整数坐标点，优先坐标轴交点； 2. 列出、对应表格； 3. 坐标系描点； 4. 连线：无范围画直线（两端出头）；有自变量范围画线段。 【典例1】分别在同一个平面直角坐标系中（如图）画出下列函数的图象： （1）y＝2x与y＝2x+3； （2）y＝2x+1与yx+1． 【分析】（1）根据函数图象的作图方法画出相应的函数图象即可； （2）根据函数图象的作图方法画出相应的函数图象即可． 【解答】解：（1）y＝2x与y＝2x+3， 列表， ， 描点，连线， ； （2）y＝2x+1与yx+1， 列表， ， 描点，连线， ． 【变式1-1】（2026春•丰台区期末）已知一次函数y＝﹣2x+4． （1）在平面直角坐标系xOy中画出此函数的图象； （2）当0＜y≤2时，直接写出x的取值范围． 【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特点画出函数图象即可； （2）根据图象直接写出即可． 【解答】解：（1） （2）根据图象直接可得1≤x＜2 【变式1-2】（2026春•滨城区期末）萍萍在学习中遇到了这样一个问题：探究函数y＝|x﹣2|﹣2的性质，此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是萍萍的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 k … 直接填空：k＝　1　 ； （2）描点并正确地画出该函数图象； （3）①根据函数图象可得：该函数的最小值为　﹣2　 ； ②观察函数y＝|x﹣2|﹣2的图象，写出该图象的一条性质：　图象关于直线x＝2对称；当x＜2时，y随x的增大而减小（答案不唯一）　 ． 【分析】（1）将x＝5代入y＝|x﹣2|﹣2即可； （2）描出表格中的点，再连线即可； （3）①结合图象判断最小值；②由图象写出函数的性质，如对称性，增减性和最值． 【解答】解：（1）当x＝5时，y＝|5﹣2|﹣2＝1， ∴k＝1， 故答案为：1； （2）如图， ； （3）①由图可知，该函数的最小值为﹣2， 故答案为：﹣2； ②图象关于直线x＝2对称；当x＜2时，y随x的增大而减小（答案不唯一）， 故答案为：图象关于直线x＝2对称；当x＜2时，y随x的增大而减小（答案不唯一）． 【变式1-3】（2026春•海安市期中）请根据函数相关知识，对函数y＝2|x﹣3|﹣1的图象与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 5 m 1 ﹣1 1 3 n 7 … （1）表格中：m＝　3　 ，n＝　5　 ． （2）在直角坐标系中画出该函数图象． （3）观察图象： ①根据函数图象可得，该函数的最小值是 　﹣1　 ； ②观察函数y＝2|x﹣3|﹣1的图象，写出该图象的两条性质． 【分析】（1）观察表格可知，当x＝2，x＝3，x＝4时，函数值的变化规律，由此即可求解； （2）利用描点，连线的方法即可求解函数图象； （3）①从（2）中图象可求解；②根据图象，对称性，即可求解． 【解答】解：（1）当x＝2时，y＝1；当x＝3时，y＝﹣1；当x＝4时，y＝1， ∴函数关系y＝2|x﹣3|﹣1的图象关于x＝3对称， ∴x＝1的函数值与x＝5的函数值相等，x＝0的函数值与x＝6的函数值相等， ∴m＝3，n＝5， 故答案为：3，5； （2）根据表格数轴，运用描点，连线方法画函数图象，如图所示， ∴图示即为所求函数y＝2|x﹣3|﹣1的图象． （3）根据函数图象可得，函数的最小值是﹣1； 故答案为：﹣1； ②观察函数y＝2|x﹣3|﹣1的图象，该图象的性质有：关于x＝3对称，即对称轴为x＝3；当x＜3时，函数值随自变量的增大而减小，当x＞3时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）． ▌题型08 一次函数的图象和性质综合 1. 一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线，通常也称直线. 2. 一次函数的性质： 一次函数 k、b 的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限 【典例1】（2026•朝阳区校级模拟）关于一次函数y＝﹣2x+4的图象，下列说法正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．经过二、三、四象限 C．与x轴的交点坐标为（﹣2，0） D．当x＜2时，y＞0 【分析】根据一次函数的性质解答即可． 【解答】解：A、∵k＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意； B、∵k＝﹣2＜0，b＝4＞0， ∴函数图象经过第一、二、四象限，原说法错误，不符合题意； C、令y＝0，得﹣2x+4＝0，解得x＝2， ∴函数图象与x轴的交点坐标为（2，0），原说法错误，不符合题意； D、∵y随x的增大而减小，当x＝2时，y＝0， ∴当x＜2时，y＞0，正确，符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（2026•开福区校级二模）对于一次函数y＝3x﹣1，下列结论正确的是（　　） A．y随x的增大而减小 B．当时，y＜0 C．它的图象与y轴交于点（0，﹣1） D．它的图象经过第一、二、三象限 【分析】根据一次函数的图象与性质、一次函数的系数k相等，两直线平行、一次函数图象上点的坐标特征逐项判断即可． 【解答】解：A．∵k＝3＞0， ∴y随x的增大而增大，故本选项不符合题意； B．当x时，y＞0，故本选项不符合题意； C．当x＝0时，y＝﹣1，则它的图象与y轴交于点（0，﹣1），故本选项符合题意； D．它的图象经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（2026•雨花区校级二模）关于一次函数y＝2x+4，下列说法正确的是（　　） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点（0，4） C．y随x的增大而减小 D．当x＞﹣2时，y＜0 【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【解答】解：∵一次函数y＝2x+4， ∴该函数图象经过第一、二、三象限，故选项A错误，不符合题意； 图象与y轴交于点（0，4），故选项B正确，符合题意； y随x的增大而增大，故选项C错误，不符合题意； 当x＞﹣2时，y＞0，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】（2025秋•沛县期末）下列关于直线y＝3x﹣1的说法不正确的是（　　） A．一定经过点（1，2） B．与y轴交于点（﹣1，0） C．y随x的增大而增大 D．图象过一、三、四象限 【分析】利用一次函数图象的性质解答即可． 【解答】解：A．x＝1时，y＝2，说法正确； B．与y轴交于点（0，﹣1），说法不正确； C．y随x的增大而增大，说法正确； D．k＝3＞0，b＝﹣1＜0，经过第一、四、三象限，说法正确； 故选：B． ▌题型09 根据一次函数的增减性求参数 1. 读题：随增大而增大；减小； 2. 写出一次项系数，列出不等式； 3. 如果是一次函数定义类题目，额外加上，次数为1； 4. 解不等式（组），得到参数取值； 5. 不参与增减性判断，不要乱用列不等式。 【典例1】（2026•新疆三模）已知一次函数y＝（k﹣2）x+5，若y的值随x的值的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A．k＞2 B．k＜2 C．0＜k＜2 D．k＜0 【分析】利用一次函数的性质，可得出k﹣2＜0，解之即可得出k的取值范围． 【解答】解：∵y的值随x的值的增大而减小， ∴k﹣2＜0， 解得：k＜2， ∴k的取值范围为k＜2． 故选：B． 【变式1-1】（2026•沈阳开学）已知一次函数y＝（2m﹣2）x+m+1． （1）已知y随x增大而减小，求m的取值范围； （2）函数图象与y轴交点在x轴上方，求m的取值范围； （3）图象不经过第三象限，求m的取值范围． 【分析】（1）根据y随x增大而减小可知2m﹣2＜0，求出m的取值范围即可； （2）由于函数图象与y轴交点在x轴上方，故m+1＞0，再结合一次函数的定义，进而可得而出m的取值范围； （3）根据图象不经过第三象限，列出关于m的方程组，求出m的取值范围． 【解答】解：（1）∵y随x增大而减小， ∴2m﹣2＜0， 解得m＜1； （2）∵函数图象与y轴交点在x轴上方， ∴m+1＞0且2m﹣2≠0， 解得m＞﹣1且m≠1； （3）∵图象不经过第三象限， ∴， 解得﹣1≤m＜1． 【变式1-2】（2026春•鼓楼区校级期中）已知一次函数y＝（m﹣2）x+3m﹣1． （1）图象经过（﹣1，2），求m的值； （2）y随x的增大而减小，求m的取值范围． 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值； （2）利用一次函数的性质，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围． 【解答】解：（1）∵函数图象经过点（﹣1，2）， ∴2＝﹣（m﹣2）+3m﹣1， 解得：m； （2）∵y随x的增大而减小， ∴m﹣2＜0， 解得m＜2， ∴m的取值范围为m＜2． 【变式1-3】（2026春•雨花区期末）已知一次函数. （1）若其图象与轴交于点，求的值； （2）当为何值时，随的增大而减小？ 【分析】（1）依据题意，把代入，从而计算可以得解； （2）依据题意，由一次函数为，且随的增大而减小，则，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，把代入, ∴， 解得 （2）由题意，∵一次函数为，且随的增大而减小， ∴，则， ∴当时，随的增大而减小． ▌题型10 比较一次函数值的大小 1. 增减性法 看正负：同向比；反向比。 2. 代入计算法（万能稳妥） 把代入，算出的具体数值，直接比较。 3. 图像法 同一横坐标，图像在上，函数值大。 【典例1】（2026•颍泉区校级一模）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且y1＞y2＞y3，则以下判断正确的是（　　） A．若x1x2＞0，则y1y3＞0 B．若x1x3＜0，则y1y2＞0 C．若x2x3＞0，则y1y3＞0 D．若x2x3＜0，则y1y2＞0 【分析】由﹣2＜0且y1＞y2＞y3，可得 x1＜x2＜x3，再结合一次函数性质与有理数乘法法则分析，即可解题． 【解答】解：由﹣2＜0可知一次函数y随x增大而减小， ∴x1＜x2＜x3， 若x1x2＞0，x1＝1，x2＝2，x3＝3，此时满足x1x2＞0成立，但y1＝1，y3＝﹣3，则y1y3＜0；故A选项不符合题意； 对于C选项，取x1＝1，x2＝2，x3＝3，此时满足x2x3＞0，但y1＝1，y3＝﹣3，则y1y3＜0，故C选项不符合题意； 若x1x3＜0，则x1＜0且x3＞0， 计算y1＝﹣2x1+3， ∵x1＜0， ∴﹣2x1＞0， ∴y1＞3＞0， ∴y2可取正数，0，负数，即推不出y1y2＞0，故B选项不符合题意； 若x2x3＜0，则x2＜0且x3＞0（因x2＜x3）． ∴x1＜0， ∴y1＞3＞0， 计算y2＝﹣2x2+3， ∵x2＜0， ∴﹣2x2＞0， ∴y2＞3＞0， ∴y1y2＞0，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（2025秋•大渡口区期末）若点A（﹣2，y1），B（1，y2）都在一次函数y＝（m2+1）x+b的图象上，则y1与y2大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法比较大小 【分析】由k＝m2+1＞0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，再结合﹣2＜1，即可得出y1＜y2． 【解答】解：∵k＝m2+1＞0， ∴y随x的增大而增大， 又∵点A（﹣2，y1），B（1，y2）都在一次函数y＝（m2+1）x+b的图象上，且﹣2＜1， ∴y1＜y2． 故选：A． 【变式1-2】（2025秋•博山区期末）已知点A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝3x﹣5的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 【分析】根据一次函数y＝3x﹣5中k＝3＞0，函数值随x增大而增大，比较各点横坐标大小即可确定纵坐标大小关系． 【解答】解：∵k＝3＞0， ∴y随x增大而增大， 又∵点A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝3x﹣5的图象上且﹣3＜﹣2＜1， ∴y2＜y1＜y3， 故选：B． 【变式1-3】（2026春•惠州期末）已知点A（﹣3，y1），B（1，y2）都在一次函数y＝﹣2x+1的图象上，则y1　＞　 y2．（填“＞”或“＜”） 【分析】根据函数解析式可得y随x增大而减小，由﹣3＜1可得y1＞y2． 【解答】解：∵一次函数解析式为y＝﹣2x+1，﹣2＜0， ∴y随x增大而减小， ∵点A（﹣3，y1），B（1，y2）都在一次函数y＝﹣2x+1的图象上，﹣3＜1， ∴y1＞y2， 故答案为：＞． ▌题型11 一次函数最值问题 已知，， 1. 当时，随增大而增大 -取最小值，取得最小值； - 取最大值，取得最大值。 2. 当时，随增大而减小 - 取最小值，取得最大值； - 取最大值，取得最小值。 简记：增函数，两头顺着来；减函数，两头反过来。 【典例1】（2026•新华区一模）当2≤x≤5时，一次函数y＝（m+1）x+m+1最小值为6，则实数m的值为（　　） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 【分析】一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小．分两种情况讨论：m+1＞0或m+1＜0，得到关于m的方程，即可求解． 【解答】解：当m+1＞0（m＞﹣1）时，此一次函数y的值随自变量x值的增大而增大， ∴当x＝2时，此一次函数有最小值， ∴2（m+1）+m+1＝6， ∴m＝1，满足m＞﹣1； 当m+1＜0（m＜﹣1）时，此一次函数y的值随自变量x值的增大而减小， ∴当x＝5时，此一次函数有最小值， ∴5（m+1）+m+1＝6， ∴m＝0，不满足m＜﹣1， 综上所述，m＝1． 故选：B． 【变式1-1】（2025秋•路桥区期末）已知一次函数y＝（k﹣1）x+2k﹣3，其中k为常数，且k≠1．当﹣3≤x≤2时，函数y的最小值为﹣6，则k的值为　6或　 ． 【分析】需要分类讨论：当k＞1时，x＝﹣3时y＝﹣6；当k＜1时，x＝2时y＝﹣6，据此作答即可． 【解答】解：∵y＝（k﹣1）x+2k﹣3，当﹣3≤x≤2时，函数y的最小值为﹣6， ∴①当k﹣1＞0，即k＞1时，y随x的增大而增大， ∴当x＝﹣3时，y＝﹣6， ∴﹣3（k﹣1）+2k﹣3＝﹣6， ∴k＝6， ②当k﹣1＜0，即k＜1时，y随x的增大而减小， ∴当x＝2时，y＝﹣6， ∴2（k﹣1）+2k﹣3＝﹣6， ∴k， ∴k的值为6或． 故答案为：6或． 【变式1-2】（2026春•玉泉区期末）已知一次函数y＝kx+b（k≠0），当﹣2≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为3，则k的值为 　或　 ． 【分析】根据一次函数的性质和分类讨论的方法，可以求得k的值． 【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx+b中的y随x的增大而增大， ∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为3， ∴（3k+b）﹣（﹣2k+b）＝3， 解得k； 当k＜0时，一次函数y＝kx+b中的y随x的增大而减小， ∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为3， ∴（﹣2k+b）﹣（3k+b）＝3， 解得k； 故答案为：或． 【变式1-3】（2026春•庆云县期末）已知一次函数y＝（k﹣1）x﹣3，其中k为常数，且k≠1．当﹣3≤x≤2时，函数y的最小值为﹣6，则k的值为　2或　 ． 【分析】根据一次项系数的符号分情况讨论函数的增减性，结合x的取值范围确定最小值对应的自变量取值，代入一次函数解析式求解k即可． 【解答】解：根据一次项系数的符号分情况讨论函数的增减性如下： 当k﹣1＞0，即k＞1时，y随x的增大而增大， ∴当x＝﹣3时，y取得最小值﹣6， 代入解析式得﹣6＝﹣3（k﹣1）﹣3， 解得k＝2，符合k＞1； 当k﹣1＜0，即k＜1时，y随x的增大而减小， ∴当x＝2时，y取得最小值﹣6， 代入解析式得﹣6＝2（k﹣1）﹣3， 解得，符合k＜1； 综上所述，k的值为2或． 故答案为：2或． ▌题型12 多图象求解最值 多图像求最值，一般是多个一次函数图像，取上侧/下侧图像得到新函数，再求最值。 同一个坐标系内有若干条直线：，… 1. {,}：取同一下，函数值更大的那一段图像； 2. {,}：取同一下，函数值更小的那一段图像； 新得到的图像是分段折线，折线的拐点就是两条直线的交点。 求这个分段折线的最值，看自变量范围，最值出现在所给范围端点、各个交点拐点。 【典例1】（2026春•晋安区期末）已知函数y1＝x，，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1，y2，y3三个函数值中的最小值，则y的最大值为（　　） A．1 B． C． D．2 【分析】根据无论x取何值，y总取y1、y2、y3中的最小值，y最大值即求三个函数的公共部分的最大值． 【解答】解：由于y总取y1、y2、y3中的最小值，设y1与y2交于点A，y1与y3交于点B，y2与y3交于点C， ∴x﹣y的图象如图所示． 分别求出y1，y2，y3交点的坐标A（1，1），B（，），C（2，）， ∴当x＜1时，y＝y1； 当1≤x≤2时，y＝y2； 当x＞2时，y＝y3． ∴y最大值为． 故选：B． 【变式1-1】（2026春•德州期末）已知直线的图象如图所示．若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最大值，则y的最小值是（　　） A．4 B．3 C． D． 【分析】读懂题意，根据图象分段找到y 的值应该属于那条直线上的部分，在从范围内找到最低点，求值即可． 【解答】解：过y1、y2 的交点作y轴的平行线l，过y2、y3的交点作y轴的平行线m， 由题意根据一次函数图象的性质可知，符合条件的y的取值如图所示， ∴y的最小值是y2、y3交点坐标的纵坐标值． 联立两直线解析式：， 解得x，代入y2 或y3解析式求得y． 故选：C． 【变式1-2】（2025秋•丹阳市期末）已知直线y1＝﹣x、y2x+1、y3＝2x﹣1的图象如图所示，无论x取何值，y总取y1、y2、y3中的最大值，则y的最小值是（　　） A． B． C． D． 【分析】读懂题意，根据图象分段找到y的值应该属于哪条直线上的部分，在范围内找到最低点，求值即可． 【解答】解：由条件可知y的最小值是y2、y3交点坐标的纵坐标值． 联立可得：， 解得，代入y3解析式求得． 故选：D． 【变式1-3】（2025秋•临平区期末）已知直线y1＝﹣x，，的图象如图所示．若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最大值，则y的最小值是（　　） A．0 B．4 C． D． 【分析】过y1和y2的交点作y轴的平行线l，过y2和y3的交点作y轴的平行线m，由图象可知，y的最小值是y2和y3交点的纵坐标的值，联立两直线求出交点坐标，即可得答案． 【解答】解：过y1和y2的交点作y轴的平行线l，过y2和y3的交点作y轴的平行线m， 由图象可知，y的最小值是y2和y3交点的纵坐标值， 联立直线y2和y3解析式得：， ∴， 解得：， ∴， ∴y的最小值是． 故选：C． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题42 一次函数的图象与性质 （题型突破·举一反三） 题型01 正比例函数的图象 题型02 正比例函数的性质 题型03 由k、b的正负性确定函数图象 题型04 双一次函数图象问题 题型05 根据一次函数经过的象限求k、b的范围 题型06 一次函数与坐标轴的交点 题型07 画函数图象 题型08 一次函数的图象和性质综合 题型09 根据一次函数的增减性求参数 题型10 比较一次函数值的大小 题型11 一次函数最值问题 题型12 多图象求解最值 ▌题型01 正比例函数的图象 正比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）的图像是经过原点的一条直线. 的符号 图像 图像的位置 增减性 图像经过原点 和第一、三象限 y随x增大而增大 图像经过原点 和第二、四象限 y随x增大而减小 【典例1】（2025春•厦门校级期中）在下列各图象中，表示函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025秋•太谷区期末）正比例函数y＝﹣x的图象经过的象限是（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【变式1-2】（2026春•龙湖区期末）正比例函数y＝kx的图象如图所示，则k的值为 　 　 ． 【变式1-3】（2025秋•连云港校级期末）如图是四个正比例函数的图象，则k1，k2，k3，k4的大小关系是　 　 ． ▌题型02 正比例函数的性质 1.当时，直线经过第一、三象限；从左向右，直线上升；随增大而增大。 2. 当时，直线经过第二、四象限；从左向右，直线下降；随增大而减小。 3.同一坐标系中， 越大，直线越陡，变化速度越快。 【典例1】（2026春•浏阳市期末）关于正比例函数y＝﹣3x，下列结论正确的是（　　） A．图象必经过点（﹣1，﹣3） B．图象经过第一、三象限 C．y随x的增大而减小 D．不论x取何值，总有y＜0 【变式1-1】（2026春•海东市期末）正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，则k的值可能是（　　） A．﹣9 B．﹣3 C．3 D．﹣3或3 【变式1-2】（2026春•鹤山区校级期中）若正比例函数y＝（1﹣2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m＞0 C． D． 【变式1-3】（2025春•牡丹江期末）已知一次函数y＝（m+2）x+m﹣1的函数值y随x的增大而增大，且与y轴的交点在x轴的下方，则m的取值范围是　 　 ． ▌题型03 由k、b的正负性确定函数图象 一次函数 、 的符号 图像 经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限 【典例1】（2026春•徐汇区期末）一次函数y＝x﹣3的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026春•江阳区校级期末）已知点（b，k）在第四象限，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026春•裕华区校级期中）如图，若kb＜0，且k＜0，则函数y＝kx+b的图象大数是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025秋•南郑区期末）如图，是函数y＝kx+b的图象，则函数y＝bx﹣k的图象可能是（　　） A． B． C． D． ▌题型04 双一次函数图象问题 1. 一次函数的图像性质 ：直线从左向右上升； ：直线从左向右下降； ：交y轴正半轴； ：交y轴负半轴； ：过原点。 2. 解题步骤 （1）分别分析每条直线的k：判断上升还是下降； （2）分别分析每条直线的b：判断与y轴交于正半轴还是负半轴； （3）判断与是否相等：相等则平行，不等则相交； （4）对照选项，把矛盾的选项直接排除。 【典例1】（2026春•徐汇区校级月考）一次函数y1＝mx﹣n与y2＝nx﹣m（m，n常数，且mn≠0）是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026•九龙县模拟）直线l1：y＝kx+2和直线l2：y＝﹣2x﹣k在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026春•阳谷县期末）一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝kbx在同一坐标系中的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025秋•市南区期末）已知mn≠0，则一次函数y＝﹣2mx+n和y＝﹣2nx+m在同一坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． ▌题型05 根据一次函数经过的象限求k、b的范围 1. 一次函数经过的象限 解析式 符号 符号 经过象限 一、二、三象限 一、三、四象限 一、二、四象限 二、三、四象限 2.解题步骤 （1）先看：确定直线必过哪两个象限，判断还是； （2）再看：看直线与轴交点位置，确定或； （3）列出关于参数的不等式； （4）解不等式得到参数取值范围； （5）注意：，不要漏掉这个条件。 【典例1】（2026春•衡阳县期末）一次函数y＝（a﹣3）x+2a+4的图象不过第三象限，则（　　） A．﹣2＜a＜3 B．a＜﹣2或a＞3 C．﹣2＜a≤3 D．﹣2≤a＜3 【变式1-1】（2026•金乡县一模）已知过点（2，1）的直线y＝kx+b不经过第四象限，w＝k+2b，则w的最小值为（　　） A．0 B． C．1 D． 【变式1-2】（2026春•农安县校级期中）已知一次函数y＝（2m+4）x+（5﹣n） （1）求m，n为何值时，函数是正比例函数？ （2）若图象经过第一，三，四象限，求m，n的取值范围？ 【变式1-3】（2026春•长安区校级期末）已知关于x的一次函数y＝（m﹣2）x+m+3． （1）若该函数的图象与y轴的交点在x轴的下方，求m的取值范围； （2）该函数的图象不经过第三象限，且m为整数，求m的值． ▌题型06 一次函数与坐标轴的交点 坐标轴分为x轴、y轴： - y轴上所有点：x=0 - x轴上所有点：y=0 把、分别代入一次函数，就可以求出两个交点坐标。 【典例1】（2025春•海淀区校级期中）已知函数y＝|2x﹣6|． （1）该函数图象与x轴的交点坐标为　 　 ； （2）若方程|2x﹣6|＝x+m有两个正实数解，则m的取值范围是　 　 ． 【变式1-1】（2026春•封开县期末）如图，根据函数y＝﹣2x+3的图象，回答下列问题： （1）y的值随x值的增大而　 　 （选填“增大”或“减小”）； （2）图象与x轴的交点坐标是　 　 ，图象与y轴的交点坐标是　 　． 【变式1-2】（2026春•浦东新区校级期末）已知一次函数y＝（9+3m）x+n﹣8． （1）m为何值时，y随x的增大而减小？ （2）m、n为何值时，函数图象与y轴交点在x轴的上方？ 【变式1-3】（2025春•绿园区校级月考）已知，一次函数y＝﹣2x+4的图象分别与x轴，y轴交于点A，B． （1）请直接写出A，B两点坐标：A：　 　 ，B：　 　 ； （2）在直角坐标系中画出函数图象（不用列表，直接描点、连线）； （3）点P是一次函数y＝﹣2x+4上一动点，则OP的最小值为　 　 ． ▌题型07 画函数图象 求点 → 列表 → 描点 → 连线 1. 找两个便于画图的整数坐标点，优先坐标轴交点； 2. 列出、对应表格； 3. 坐标系描点； 4. 连线：无范围画直线（两端出头）；有自变量范围画线段。 【典例1】分别在同一个平面直角坐标系中（如图）画出下列函数的图象： （1）y＝2x与y＝2x+3； （2）y＝2x+1与yx+1． 【变式1-1】（2026春•丰台区期末）已知一次函数y＝﹣2x+4． （1）在平面直角坐标系xOy中画出此函数的图象； （2）当0＜y≤2时，直接写出x的取值范围． 【变式1-2】（2026春•滨城区期末）萍萍在学习中遇到了这样一个问题：探究函数y＝|x﹣2|﹣2的性质，此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是萍萍的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 k … 直接填空：k＝　 　 ； （2）描点并正确地画出该函数图象； （3）①根据函数图象可得：该函数的最小值为　 　 ； ②观察函数y＝|x﹣2|﹣2的图象，写出该图象的一条性质：　 　　 　　 　　 　． 【变式1-3】（2026春•海安市期中）请根据函数相关知识，对函数y＝2|x﹣3|﹣1的图象与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 5 m 1 ﹣1 1 3 n 7 … （1）表格中：m＝　 　 ，n＝　 　 ． （2）在直角坐标系中画出该函数图象． （3）观察图象： ①根据函数图象可得，该函数的最小值是 　 　； ②观察函数y＝2|x﹣3|﹣1的图象，写出该图象的两条性质． ▌题型08 一次函数的图象和性质综合 1. 一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线，通常也称直线. 2. 一次函数的性质： 一次函数 k、b 的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限 【典例1】（2026•朝阳区校级模拟）关于一次函数y＝﹣2x+4的图象，下列说法正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．经过二、三、四象限 C．与x轴的交点坐标为（﹣2，0） D．当x＜2时，y＞0 【变式1-1】（2026•开福区校级二模）对于一次函数y＝3x﹣1，下列结论正确的是（　　） A．y随x的增大而减小 B．当时，y＜0 C．它的图象与y轴交于点（0，﹣1） D．它的图象经过第一、二、三象限 【变式1-2】（2026•雨花区校级二模）关于一次函数y＝2x+4，下列说法正确的是（　　） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点（0，4） C．y随x的增大而减小 D．当x＞﹣2时，y＜0 【变式1-3】（2025秋•沛县期末）下列关于直线y＝3x﹣1的说法不正确的是（　　） A．一定经过点（1，2） B．与y轴交于点（﹣1，0） C．y随x的增大而增大 D．图象过一、三、四象限 ▌题型09 根据一次函数的增减性求参数 1. 读题：随增大而增大；减小； 2. 写出一次项系数，列出不等式； 3. 如果是一次函数定义类题目，额外加上，次数为1； 4. 解不等式（组），得到参数取值； 5. 不参与增减性判断，不要乱用列不等式。 【典例1】（2026•新疆三模）已知一次函数y＝（k﹣2）x+5，若y的值随x的值的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A．k＞2 B．k＜2 C．0＜k＜2 D．k＜0 【变式1-1】（2026•沈阳开学）已知一次函数y＝（2m﹣2）x+m+1． （1）已知y随x增大而减小，求m的取值范围； （2）函数图象与y轴交点在x轴上方，求m的取值范围； （3）图象不经过第三象限，求m的取值范围． 【变式1-2】（2026春•鼓楼区校级期中）已知一次函数y＝（m﹣2）x+3m﹣1． （1）图象经过（﹣1，2），求m的值； （2）y随x的增大而减小，求m的取值范围． 【变式1-3】（2026春•雨花区期末）已知一次函数. （1）若其图象与轴交于点，求的值； （2）当为何值时，随的增大而减小？ ▌题型10 比较一次函数值的大小 1. 增减性法 看正负：同向比；反向比。 2. 代入计算法（万能稳妥） 把代入，算出的具体数值，直接比较。 3. 图像法 同一横坐标，图像在上，函数值大。 【典例1】（2026•颍泉区校级一模）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且y1＞y2＞y3，则以下判断正确的是（　　） A．若x1x2＞0，则y1y3＞0 B．若x1x3＜0，则y1y2＞0 C．若x2x3＞0，则y1y3＞0 D．若x2x3＜0，则y1y2＞0 【变式1-1】（2025秋•大渡口区期末）若点A（﹣2，y1），B（1，y2）都在一次函数y＝（m2+1）x+b的图象上，则y1与y2大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法比较大小 【变式1-2】（2025秋•博山区期末）已知点A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝3x﹣5的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 【变式1-3】（2026春•惠州期末）已知点A（﹣3，y1），B（1，y2）都在一次函数y＝﹣2x+1的图象上，则y1　 　 y2．（填“＞”或“＜”） ▌题型11 一次函数最值问题 已知，， 1. 当时，随增大而增大 -取最小值，取得最小值； - 取最大值，取得最大值。 2. 当时，随增大而减小 - 取最小值，取得最大值； - 取最大值，取得最小值。 简记：增函数，两头顺着来；减函数，两头反过来。 【典例1】（2026•新华区一模）当2≤x≤5时，一次函数y＝（m+1）x+m+1最小值为6，则实数m的值为（　　） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 【变式1-1】（2025秋•路桥区期末）已知一次函数y＝（k﹣1）x+2k﹣3，其中k为常数，且k≠1．当﹣3≤x≤2时，函数y的最小值为﹣6，则k的值为　 　． 【变式1-2】（2026春•玉泉区期末）已知一次函数y＝kx+b（k≠0），当﹣2≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为3，则k的值为 　 　 ． 【变式1-3】（2026春•庆云县期末）已知一次函数y＝（k﹣1）x﹣3，其中k为常数，且k≠1．当﹣3≤x≤2时，函数y的最小值为﹣6，则k的值为　 　． ▌题型12 多图象求解最值 多图像求最值，一般是多个一次函数图像，取上侧/下侧图像得到新函数，再求最值。 同一个坐标系内有若干条直线：，… 1. {,}：取同一下，函数值更大的那一段图像； 2. {,}：取同一下，函数值更小的那一段图像； 新得到的图像是分段折线，折线的拐点就是两条直线的交点。 求这个分段折线的最值，看自变量范围，最值出现在所给范围端点、各个交点拐点。 【典例1】（2026春•晋安区期末）已知函数y1＝x，，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1，y2，y3三个函数值中的最小值，则y的最大值为（　　） A．1 B． C． D．2 【变式1-1】（2026春•德州期末）已知直线的图象如图所示．若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最大值，则y的最小值是（　　） A．4 B．3 C． D． 【变式1-2】（2025秋•丹阳市期末）已知直线y1＝﹣x、y2x+1、y3＝2x﹣1的图象如图所示，无论x取何值，y总取y1、y2、y3中的最大值，则y的最小值是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025秋•临平区期末）已知直线y1＝﹣x，，的图象如图所示．若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最大值，则y的最小值是（　　） A．0 B．4 C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题42 一次函数的图象与性质 （题型突破·举一反三） ▌题型01 正比例函数的图象 【典例1】A． 【变式1-1】B． 【变式1-2】． 【变式1-3】k3＞k4＞k1＞k2． ▌题型02 正比例函数的性质 【典例1】C． 【变式1-1】C． 【变式1-2】C． 【变式1-3】﹣2＜m＜1． ▌题型03 由k、b的正负性确定函数图象 【典例1】B． 【变式1-1】A． 【变式1-2】C． 【变式1-3】A． ▌题型04 双一次函数图象问题 【典例1】B． 【变式1-1】B． 【变式1-2】A． 【变式1-3】B． ▌题型05 根据一次函数经过的象限求k、b的范围 【典例1】D． 【变式1-1】B． 【变式1-2】 【解答】解：（1）由条件可知2m+4≠0，5﹣n＝0， 解得m≠﹣2，n＝5； （2）如图所示： ∴2m+4＞0，5﹣n＜0， 解得m＞﹣2，n＞5． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∵该函数的图象与y轴的交点在x轴的下方， ∴m﹣2≠0且m+3＜0， 解得m＜﹣3； （2）∵该函数的图象不经过第三象限， ∴， 解得﹣3≤m＜2． ∵m为整数， ∴m＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1． ▌题型06 一次函数与坐标轴的交点 【典例1】 【解答】解：（1）令y＝0，则x＝3， ∴函数y＝|2x﹣6|图象与x轴的交点坐标为（3，0）， 故答案为：（3，0）． （2）|2x﹣6|＝x+m的解可以看作两个函数y＝|2x﹣6|和y＝x+m的交点的横坐标， 画出两个函数的大致图象如下： 由图象可知，若方程|2x﹣6|＝x+m有两个正实数解，则m的取值范围是﹣3＜m＜6． 故答案为：﹣3＜m＜6． 【变式1-1】 【解答】解：（1）由一次函数的图象可得，y的值随x值的增大而减小， 故答案为：减小； （2）由一次函数的图象可得，函数图象与x轴的交点坐标是（1.5，0），函数图象与y轴的交点坐标是（0，3）， 故答案为：（1.5，0），（0，3）． 【变式1-2】 【解答】解：（1）∵一次函数y＝（9+3m）x+n﹣8的图象是y随x的增大而减小， ∴9+3m＜0， ∴m＜﹣3； （2）∵一次函数y＝（9+3m）x+n﹣8与y轴交点在x轴的上方， ∴n﹣8＞0， ∴n＞8； 又∵9+3m≠0， ∴m≠﹣3； 综上所述，当m≠﹣3且n＞8时，函数图象与y轴交点在x轴的上方． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A、B， ∴当x＝0时，y＝4， 当y＝0时，x＝2， ∴A、B两点的坐标为（2，0），（0，4）， 故答案为：（2，0），（0，4）； （2）由（1）得：A、B两点的坐标为（2，0），（0，4）， ∴函数图象如图所示： （3）如图所示，当OP与一次函数y＝﹣2x+4垂直时，OP有最小值， 此时，， ∵OA＝2，OB＝4， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ▌题型07 画函数图象 【典例1】 【解答】解：（1）y＝2x与y＝2x+3， 列表， ， 描点，连线， ； （2）y＝2x+1与yx+1， 列表， ， 描点，连线， ． 【变式1-1】 【解答】解：（1） （2）根据图象直接可得1≤x＜2 【变式1-2】 【解答】解：（1）当x＝5时，y＝|5﹣2|﹣2＝1， ∴k＝1， 故答案为：1； （2）如图， ； （3）①由图可知，该函数的最小值为﹣2， 故答案为：﹣2； ②图象关于直线x＝2对称；当x＜2时，y随x的增大而减小（答案不唯一）， 故答案为：图象关于直线x＝2对称；当x＜2时，y随x的增大而减小（答案不唯一）． 【变式1-3】 【解答】解：（1）当x＝2时，y＝1；当x＝3时，y＝﹣1；当x＝4时，y＝1， ∴函数关系y＝2|x﹣3|﹣1的图象关于x＝3对称， ∴x＝1的函数值与x＝5的函数值相等，x＝0的函数值与x＝6的函数值相等， ∴m＝3，n＝5， 故答案为：3，5； （2）根据表格数轴，运用描点，连线方法画函数图象，如图所示， ∴图示即为所求函数y＝2|x﹣3|﹣1的图象． （3）根据函数图象可得，函数的最小值是﹣1； 故答案为：﹣1； ②观察函数y＝2|x﹣3|﹣1的图象，该图象的性质有：关于x＝3对称，即对称轴为x＝3；当x＜3时，函数值随自变量的增大而减小，当x＞3时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）． ▌题型08 一次函数的图象和性质综合 【典例1】D． 【变式1-1】C． 【变式1-2】B． 【变式1-3】B． ▌题型09 根据一次函数的增减性求参数 【典例1】B． 【变式1-1】 【解答】解：（1）∵y随x增大而减小， ∴2m﹣2＜0， 解得m＜1； （2）∵函数图象与y轴交点在x轴上方， ∴m+1＞0且2m﹣2≠0， 解得m＞﹣1且m≠1； （3）∵图象不经过第三象限， ∴， 解得﹣1≤m＜1． 【变式1-2】 【解答】解：（1）∵函数图象经过点（﹣1，2）， ∴2＝﹣（m﹣2）+3m﹣1， 解得：m； （2）∵y随x的增大而减小， ∴m﹣2＜0， 解得m＜2， ∴m的取值范围为m＜2． 【变式1-3】 【解答】解：（1）由题意，把代入, ∴， 解得 （2）由题意，∵一次函数为，且随的增大而减小， ∴，则， ∴当时，随的增大而减小． ▌题型10 比较一次函数值的大小 【典例1】 【解答】解：由﹣2＜0可知一次函数y随x增大而减小， ∴x1＜x2＜x3， 若x1x2＞0，x1＝1，x2＝2，x3＝3，此时满足x1x2＞0成立，但y1＝1，y3＝﹣3，则y1y3＜0；故A选项不符合题意； 对于C选项，取x1＝1，x2＝2，x3＝3，此时满足x2x3＞0，但y1＝1，y3＝﹣3，则y1y3＜0，故C选项不符合题意； 若x1x3＜0，则x1＜0且x3＞0， 计算y1＝﹣2x1+3， ∵x1＜0， ∴﹣2x1＞0， ∴y1＞3＞0， ∴y2可取正数，0，负数，即推不出y1y2＞0，故B选项不符合题意； 若x2x3＜0，则x2＜0且x3＞0（因x2＜x3）． ∴x1＜0， ∴y1＞3＞0， 计算y2＝﹣2x2+3， ∵x2＜0， ∴﹣2x2＞0， ∴y2＞3＞0， ∴y1y2＞0，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】A． 【变式1-2】B． 【变式1-3】＞． ▌题型11 一次函数最值问题 【典例1】B． 【变式1-1】6或． 【变式1-2】或． 【变式1-3】2或． ▌题型12 多图象求解最值 【典例1】B． 【变式1-1】C． 【变式1-2】D． 【变式1-3】C． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $