专题16 一次函数的图象和性质8大重难题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

专题16 一次函数的图象和性质 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、一次函数的规律探究问题 题型2、一次函数的函数值比较问题 题型3、一次函数的图象判断问题 题型4、一次函数的字母参数讨论问题 题型5、双一次函数的综合问题 题型6、一次函数的折叠问题 题型7、一次函数到平移问题 题型8、一次函数临界点问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一次函数的一般形式为（，k、b为常数）。解决一次函数问题，首先要把握k、b的几何意义：k决定直线的倾斜方向与增减性（k>0时y随x增大而增大，k<0时y随x增大而减小）；b决定直线与y轴交点的位置。求解析式常用待定系数法：设出解析式，代入已知点坐标建立方程组求解。对于图象判断问题，要抓住直线经过的象限、与坐标轴交点及k、b符号之间的关系。处理字母参数、函数值比较、最值等问题时，要注意分类讨论k的符号；涉及两直线综合问题，常通过求交点、与坐标轴交点，结合三角形面积、等腰三角形、折叠、平移等几何知识进行转化。 题型模版 题型特征：结合一次函数图象，通过计算点的坐标、线段长或面积，寻找循环或递推规律。 解题方法：求出初始若干项，观察坐标、线段长、面积的变化规律；注意周期性、递推关系及特殊位置（如等腰直角、正方形顶点）。 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标变化规律及正比例函数的性质，能通过计算得出是解题的关键．根据题意，依次求出，，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：∵点，且轴， ∴点的横坐标为2， 将代入得，， ∴点的坐标为， 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 将分别代入和得，，， ∴， 依次类推，，，…， ∴． 当时，． 故选：B． 2．（24-25八年级下·福建福州·期末）如下图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…记面积为，面积为，面积为，…则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，平面直角坐标系中点坐标的规律计算，理解图示，找出点坐标的规律，面积的计算方法是解题的关键． 根据题意，分别算出，，……的值，找出规律即可求解． 【详解】解：将代入得，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，且点在直线的图象上， ∴， ∴， ∴， 依此类推，，，， ∴（为正整数）， 当时，， 故选：B ． 3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与轴交于点，依次作正方形，正方形，，正方形，其中点，，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先通过求解一次函数图象与坐标轴的交点，可得出的坐标，进而得出的长，由正方形的性质可得，于是可得的坐标；，以此类推，同理可得，，，，，据此即可得出答案． 【详解】解：令，则， 解得：， ， ， 四边形是正方形， ， ， 令，则， 解得：， ， ， 四边形是正方形， ， 的纵坐标为：， ， 同理可得，，，， 故选：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的规律探究问题，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解一元一次方程，写出直角坐标系中点的坐标，已知两点坐标求两点距离，线段的和与差等知识点，通过确定，的横纵坐标数值，找出其变化的规律是解题的关键． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点…过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，解本题的关键在找出要求的点所在的象限，然后再根据点所在的象限找出这个象限的点的规律． 根据题意，先找到点所在的象限，然后再根据第三象限的点的变化，找出第三象限的点的规律，即可得出答案． 【详解】解：当时，； 点， 当时，， 点， 同理可得：， 观察可得到规律为： ，，， ，， …… 以此类推，可以发现以4个点为一周期， ∵， ∴点在第二象限， ∴． 故答案为：． ◆一次函数的函数值比较问题 题型模版 题型特征：利用一次函数的增减性比较函数值大小，或根据函数值大小关系判断自变量范围。 解题方法：先确定k的符号判断增减性；k>0时x越大y越大，k<0时x越大y越小；注意结合图象和分类讨论。 5．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，，是直线（b为常数）上的三个点，则下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征．根据所给一次函数解析式，结合一次函数的性质得出y随x的增大而减小，据此多所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：因为一次函数解析式为，， 所以y随x的增大而减小． 因为，，在直线上，且， 所以． 当时， 则，， 所以， 则． 故A选项符合题意，B选项不符合题意； 当时， 则，或，． 当，时无法得出的正负， 所以无法得出的正负， 所以CD选项不符合题意． 故选：A． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，，为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，由直线方程可知，，因此随增大而减小．由，得，再逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵直线，， ∴随增大而减小． ∵， ∴． A，若，因为，所以或； 当时，由于，无法确定和的符号，例如，若直线与x轴交点在和之间，则，故不能确定的正负 故选项A不符合题意； B，若，则异号，但不能确定的正负，故选项B不符合题意； 对于选项C：若， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴恒成立； 对于选项D，若，则同号，但不能确定的正负，故选项D不符合题意； 故选：C． 7．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）在直角坐标系中，点，，直线分别交轴，轴于点，点与点关于原点对称． (1)若直线过点，求直线的函数表达式． (2)当时，求的值． (3)直线交线段于点，若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及一次函数表达式的求解、点的对称性、线段长度的计算以及一次函数的单调性与最值问题． （）直线表达式已知，过点，代入点坐标建立关于的方程，解方程求出，得到直线的函数表达式； （）求点和点的坐标，计算和，再根据建立绝对值方程，分情况讨论求解； （）求线段的方程及点坐标、线段的方程和直线的方程，计算，得到一次函数，根据一次函数的增减性质，在的取值范围内求最大值． 【详解】（1）解： 直线过点，代入得： 解得：， 故直线的函数表达式为； 答：直线的函数表达式为； （2）解： 点是直线与轴交点， 令，得， ∴，， 点与关于原点对称， ∴， ∴ ∵由 ∴ 分情况讨论： ①当时，， 解得； ②当时，， 解得（舍去）； ③当时，， 解得； 答：的值为或 （3）解：∵， ∴直线为， ∵将代入得， ∴， ∵点在直线上，代入得：， 解得， ∴直线的方程为， ∵点在线段上，的方程为（从到）， ∴， ∵点在直线上，代入得： ∴ 该函数随增大而减小， ∴当时，取得最大值， 答：的最大值为． 8．已知一次函数（k，b是常数，且）． (1)若，该函数图像经过点，请判断是否经过点． (2)若，，点，在该函数图像上，且，判断，的大小关系． 【答案】(1)函数图像经过点 (2) 【分析】（1）首先利用待定系数法解得该一次函数解析式，然后验证是否经过点即可； （2）首先确定该一次函数的增减性，然后判断，的大小关系即可． 【详解】（1）解：把，点代入， 得，解得， ∴一次函数解析式为， 当时，， 所以该函数图像经过点； （2）∵当时，， 当时，， ∴该函数值y随x的增大而减小， ∵， ∴． ◆一次函数的图象判断问题 题型模版 题型特征：根据一次函数解析式中k、b的符号，判断直线经过的象限及大致形状。 解题方法：k决定倾斜方向，b决定与y轴交点；k>0过一、三象限，k<0过二、四象限；b>0交y轴正半轴，b<0交y轴负半轴。 9．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知，且，则一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图像，理解一次函数图像、正比例函数图像与参数的关系是解题的关键． 根据，且，可知，或；由可判断A、B选项，再分和两种情况可判定B、D选项． 【详解】解：∵，且， ∴，或， ∵， ∴函数的图像过二、四象限，故A、B选项不符合题意； 当，一次函数的函数值y随x的增大而增大，且与y轴的交点在y轴的负半轴，即B、D选项都不符合题意； 当，一次函数的函数值y随x的增大而增大，且与y轴的交点在y轴的正半轴，即D选项都符合题意． 故选：D． 10．平面直角坐标系中点和一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标和一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 先根据平面直角坐标系中点在那个象限，确定是正数还是负数，再根据一次函数的图象和性质判断即可． 【详解】解：A：∵点在第四象限， ∴，， ∴一次函数的图象随着的增大而增大，当的值为0时，图象交于轴的负半轴， ∴A选项图象符合； B：∵点在第二象限， ∴，， ∴一次函数的图象随着的增大而减小，当的值为0时，图象交于轴的正半轴， ∴B选项图象不符合； C：∵点在第一象限， ∴，， ∴一次函数的图象随着的增大而增大，当的值为0时，图象交于轴的正半轴， ∴C选项图象不符合； D：∵点在第四象限， ∴，， ∴一次函数的图象随着的增大而增大，当的值为0时，图象交于轴的负半轴， ∴D选项图象不符合； 故选：A． 11．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，若直线经过第一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据直线经过第一、三、四象限，可知，，可得，所以直线的图象经过一、二、三象限． 【详解】解：直线经过第一、三、四象限， ，， ， 直线的图象经过一、二、三象限． 故选：A． 12．（25-26八年级上·安徽·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图像与系数的关系，对于一次函数（k为常数，）图像与k、b的关系是解题的关键． 根据一次函数图像与系数的关系判断两个函数的图像对应解析式中m的符号，再看是否存在矛盾即可解答． 【详解】解：A．一次函数的图像经过第二、三、四象限，则；一次函数的图像经过第一、三、四象限，则，不存在矛盾，符合题意； B．一次函数的图像经过第一、二、四象限与矛盾，不符合题意； C．一次函数的图像经过第一、二、四象限与矛盾，不符合题意； D．一次函数的图像经过第一、三、四象限，则；一次函数的图像经过第二、三、四象限，则，二者存在矛盾，不符合题意． 故选：A． ◆一次函数的字母参数讨论问题 题型模版 题型特征：一次函数解析式中含有字母参数，根据图象经过的象限、最值或不等关系求参数范围。 解题方法：利用待定系数法或点的坐标满足解析式建立等式；根据增减性和给定范围确定最值点；结合不等式求参数范围，注意分类讨论。 13．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）已知直线经过第一、二、三象限，且点在该直线上，设，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数图像的性质等知识点，灵活运用一次函数的性质是解题的关键． 由函数过点易得，由直线经过第一、二、三象限可得且，即，解得：；再说明，最后根据一次函数的增减性即可求得的范围． 【详解】解：∵点在直线上， ∴，即 又∵直线经过第一、二、三象限， ∴且，即，解得： ∴， ∵， ∴n随k的增大而增大， ∵当时，，当时，， ∴的取值范围是． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求函数的最大值与最小值的差； (3)当时，函数的最大值与最小值的差是否会随着的变化而变化？若不变，则求出这个定值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)函数的最大值与最小值的差为 (3)不变，定值为 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，关键是灵活应用知识点解题； （1）将点坐标代入解析式即可求出结果； （2）根据一次函数的增减性可得当时函数值最大，当时函数值最小，两者求差即可； （3）根据一次函数的增减性可得当时函数值最大，当时函数值最小，两者求差即可； 【详解】（1）解：∵一次函数经过点， ，解得． （2）解：∵，所以随的增大而减小， ∴当时，的最大值为10；当时，的最小值为2， ∴函数的最大值与最小值的差为． （3）解：定值为，理由如下： ∵，所以随的增大而减小， ∴当时，的最大值为， 当时，的最小值为， ∴最大值与最小值的差为：． 15．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）已知一次函数（k，b为常数，且），的图像经过点． (1)若，求一次函数的表达式． (2)当时，该一次函数的最大值为8，求k的值． (3)若该一次函数的图像经过第一象限，且，求S的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质、待定系数法求解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）一次函数（k，b为常数，且）的图像经过点，得到，再结合得到二元一次方程组求解即可； （2）根据题意可得一次函数y随x的增大而减小，可得当时，，结合一次函数（k，b为常数，且）的图像经过点得到，二元一次方程组求解即可； （3）根据，即，进而得到，再根据一次函数的图像经过第一象限再结合可得，然后确定S的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数（k，b为常数，且），的图像经过点， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为：． （2）解：∵， ∴一次函数y随x的增大而减小， ∵当时，该一次函数的最大值为8， ∴当时，， ∵一次函数（k，b为常数，且），的图像经过点， ∴， ∴，解得：． （3）解：根据题意：，即， ∴， ∵一次函数的图像经过第一象限，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 16．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知关于的一次函数，其中． (1)若点在的图象上，则的值是______； (2)当时，若函数有最大值8，求的函数表达式； (3)关于的一次函数，其中．当时，若对一切实数，都成立，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的函数表达式为或 (3) 【分析】（1）将点代入一次函数，解方程即可； （2）根据，即时及，即时，分两种情况根据一次函数的增减性、给定的取值范围及函数值进行”分类讨论“，分别求解即可； （3）由当时，若对一切实数，都成立，可得两函数图象平行，一直在下方，即，，转化为关于k的不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：根据题意把点代入， 得，解得：； （2）解：当，即时，随的增大而增大， ∴当时，在时，有最大值， 由条件可得，解得， 此时一次函数的表达式为； 当，即时，随的增大而减小， ∴当时，在时，有最大值， 由条件可得，解得， 此时一次函数的表达式为， 综上，的函数表达式为或； （3）解：， ∵对一切实数都成立， ∴两条直线平行，且一直在下方， 且， ∴， ， 即当时，若对一切实数，都成立，的取值范围为． ◆双一次函数的综合问题 题型模版 题型特征：两条直线相交、与坐标轴围成图形，涉及面积、线段关系、存在性等问题。 解题方法：分别求出两直线与坐标轴交点及两直线交点；利用坐标求线段长、面积；存在性问题常通过列方程、分类讨论求解。 17．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，若一次函数图象经过，，则有．例如：一次函数的图象经过和，则有． (1)若点，在一次函数图象上，则______； (2)若一次函数在范围内，函数的最大值与最小值的差为3，求k的值； (3)如图2，点A，B在直线上，点C，D在直线上，已知轴，轴，且，求与满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：；理由如下 ∵轴，轴， ∴，，， 根据题意可得：， ， ∴， ∵， ∴，即． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，坐标和图形，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的性质． （1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）分两种情况：当时，当时，根据一次函数的增减性，进行求解即可； （3）根据轴，轴，得出，，，根据题意得出，，求出，最后根据即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点，在一次函数图象上， ∴； （2）解：当时，y随x的增大而增大， ∴当时，函数有最小值，当时，函数有最大值， ∵函数的最大值与最小值的差为3， ∴； 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，函数有最大值，当时，函数有最小值， ∵函数的最大值与最小值的差为3， ∴； 综上，； （3）略 18．如图，在直角坐标系中，直线和与坐标轴分别相交于A，B和C，D，若，则下列判断不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，，则可判断A选项．求出，，，，根据得到，即，即可判断B选项．根据直线经过第一、三、四象限得到，，从而有，即可判断D选项正确．举反例时，，即可判断C选项． 【详解】解：∵当时，，， ∴， ，故A选项正确． 对于直线，当时，， 当时，，解得， ∴，； 对于直线，当时，， 当时，，解得， ∴，， ∴，， ， ， ， ∴，故B选项正确． ∵直线经过第一、三、四象限， ∴， ∵， ， ，故D选项正确． 若时，，故C选项不一定成立． 19．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点． (1)求点坐标； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)的坐标为或． 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得的坐标； （2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）根据已知求得的横坐标为为或，通过直线的解析式即可求得的坐标． 【详解】（1）解：由直线可知：令，则， ∴； （2）解：， ∴点与轴的距离是4， ∵， 的面积； （3）解：存在； ∵直线， ∴，， ， ， ， 当点在延长线上时设， ，   ， ， 的横坐标为或10(舍去）， 代入直线得，， 的坐标为， 当点在线段延长线上时，设， ， ， ， 的横坐标为（舍去）或2， 代入直线得，， 的坐标为． 综上所述：的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想． 20．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且两直线交于点，点的坐标为． (1)求的值． (2)连接，求的面积． (3)平面内是否存在一点，使得与面积相等？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)96 (3)平面内存在一点，使得与面积相等，的值为或4 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）先求出点的坐标，再利用待定系数法求出的值即可； （2）求出A，B的坐标，利用分割法求出的面积即可； （3）利用平移思想，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， 且点在直线上， ，即点． ∵点在直线上， ， 解得． （2）解：如图1，设直线交轴于点． ， ， ∴当时，；当时，， ∴点． 在直线中，当时，， ∴点， ， ； （3）解：如图2，设点为与轴的交点， 可求得点的坐标为， ， ∴在点左侧轴上取点， 使， ∴点． 过点分别作， ∴点到的距离与点到的距离相等， 与的面积相等． ，直线的函数表达式为， ∴设直线的函数表达式为． 把点代入，得， ． 把点代入，得， 解得． 同理，可得直线的函数解析式为． 把点代入，得， ． 把点代入，得， 解得． 综上所述，平面内存在一点，使得与面积相等，的值为或4． ◆一次函数的折叠问题 题型模版 题型特征：将一次函数图象或平面图形沿某条直线折叠，求点坐标、解析式或图形性质。 解题方法：折叠前后对应点连线被折痕垂直平分；利用对称性求对应点坐标；结合一次函数性质建立方程求解。 21．（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知一次函数的图象经过点． (1)求k，b的值． (2)已知一次函数的图象与直线交于点，将点下方的图象沿着直线向上翻折，得到“V”字形图象，其对应的函数记为． ①求函数的表达式，并写出自变量的取值范围； ②当时，已知函数的最大值和最小值的差为3，求的值． 【答案】(1)， (2)①；②或2 【分析】本题主要考查了一次函数综合，待定系数法求一次函数解析式，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①根据（1）可求出点H的坐标为；在中，y随x的增大而减小，则当时，函数解析式保持不变，即当时，函数的表达式为；当时，函数的表达式为；②分三种情况：当，即时；当时；当，即时；根据一次函数的增减性可确定函数T的最小值，进而确定函数T的最大值，再根据取得最大值的情形建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得，一次函数的解析式为 在中，当时，， ∴点H的坐标为； ∵在中，， ∴y随x的增大而减小， ∵将点下方的图象沿着直线向上翻折，得到“V”字形图象，其对应的函数记为， ∴当时，函数解析式保持不变，即当时，函数的表达式为； 当时，函数的表达式为； 综上所述，； ②当，即时，则当时，函数的表达式为， ∴此时函数T的函数值随x的增大而减小， ∴当时，函数T有最大值，最大值为， 当时，函数T有最小值，最小值为 ∵函数T的最大值和最小值的差为3， ∴，此时方程无解，不符合题意； 当时，则当时，函数的表达式为， ∴此时函数T的函数值随x的增大而增大， ∴当时，函数T有最小值，最小值为， 当时，函数T有最大值，最大值为 ∵函数T的最大值和最小值的差为3， ∴，此时方程无解，不符合题意； 当，即时，则当时，函数的表达式为，此时函数T的函数值随x的增大而减小，当时，函数的表达式为，此时函数T的函数值随x的增大而增大， ∴当时，函数T有最小值，最小值为，当或时函数T有最大值， ∵函数T的最大值和最小值的差为3， ∴函数T的最大值为； ∴当或时，函数T的值为1， ∴或， 解得或． 22．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是OB上的一点，若将沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点处，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法确定一次函数解析式、勾股定理、轴对称折叠的性质等知识点，根据勾股定理构建方程求解线段长是解题的关键．根据直线解析式得出，，，，利用勾股定理得出，根据折叠性质得出，，，设，利用勾股定理求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】解：∵直线与轴，轴分别交于点和点， ∴当时，，当时，， ∴，，，， ∴， ∵将沿折叠，点恰好落在轴上的点处， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， ∵点是上的一点，， ∴． 故答案为． 23．（25-26八年级上·广东深圳·期末）小颖同学学习完一次函数的图象和性质后，继续对含绝对值的函数和进行探究，她画出函数的图象如图1所示． 【探究一】（1）为画出的图象，列表如表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 2 2 3 ．．． （2）请在图2的平面直角坐标系中画出函数图象； （3）请你根据画出的函数图象写出一条它的性质：___________． 【探究二】小颖通过比较和的函数图象，发现函数的图象是由函数的图象向___________（填“左侧”或“右侧”）平移___________个单位长度得到的． 【探究三】已知函数是由向右平移个单位长度得到的，若自变量的取值范围是时，该函数的最大值为4，则的值为多少？请直接写出结果． 【答案】探究一：（1）填表如下： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 2 1 2 3 ．．． （2）函数图象，如图所示： （3）当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）； 探究二：右侧；1； 探究三：的值为1或5 【分析】探究一：（1）把代入得出a的值，填表即可； （2）根据表格中的数据描点，再连线即可； （3）根据函数图象写出函数的一条性质即可； 探究二：根据函数图象进行求解即可； 探究三：先求出，根据当时，该函数的最大值为4，得出或，再分情况求出n的值，并进行验证，得出答案即可． 【详解】解：探究一：（1）把代入得：，填表略； （2）略 （3）当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；当时，y有最小值； 探究二：根据函数图象可得，函数的图象是由函数的图象向右侧平移1个单位长度得到的． 探究三：∵函数是由向右平移个单位长度得到， ∴， ∵当时，该函数的最大值为4， ∴当时，或当时，， ∴或， 即或， 当时，解得：或， 时，，当时，的最大值为4，符合题意； 时，，当时，的最大值为6，不符合题意； 当时，解得：或， 时，，当时，的最大值为4，符合题意； 时，，当时，的最大值为6，不符合题意； 综上，的值为1或5． 24．（25-26八年级下·北京·期中）小明探究函数的图象和性质的过程如下．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)函数的自变量的取值范围是_______，的取值范围是______； (2)由设计如下画图方案：将直线在轴下方的部分沿轴翻折，直线的其余部分保持不变，得到函数的图象．在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)利用函数图象解决问题： ①当时，的取值范围是___________； ②当时，的取值范围是___________； ③若对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)全体实数； (2) 解：函数的图象，如下图所示： (3)①；②或；③． 【详解】（1）解：函数，根据绝对值的性质可知，x的取值范围是：全体实数，y的取值范围是：； （2）略 （3）解： ①观察（2）中函数的图象，当时，的取值范围是； ②观察（2）中函数的图象，当时，的取值范围是或； ③可以由平移得到，如果都小于，只能向下平移，所以． ◆一次函数到平移问题 题型模版 题型特征：根据题意分析并求解。 解题方法：结合一次函数性质与图象特征进行推理计算。 25．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图1，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，与直线交于点，已知． (1)求直线的解析式； (2)连接，在直线上有一点P满足，求出点P的坐标； (3)如图2，将直线沿y轴向下平移6个单位长度，得到直线，直线与y轴相交于点F，在直线上是否存在点Q，使是以线段为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有可能的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由求得，由求得，得到，得到，得，设解析式为，求得，得到； （2）求出，得到，求出，得到，设，根据，得到，求得，或，得到 （3）将向下平移6个长度单位为，得到，得到，设，当时，，得到 ，当时，根据，得到，得到轴，得到． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， ∴， ∵中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设解析式为， 则， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴， ∴， ∵中，时，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 解得，或， ∴； （3）解：存在．理由： 将向下平移6个长度单位为， 当时，， ∴， ∴， 设， 当时，， 解得， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴轴， ∴． 故． 【点睛】本题主要考查了一次函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，三角形面积公式，函数的平移，等腰三角形判定和性质，分类讨论，是解题的关键． 26．（25-26八年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，顶点，，点C在y轴的正半轴上，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为________．    【答案】 【分析】先求出的长，可求出点C的坐标，再求出直线的解析式，再结合平移的性质可得到直线的解析式，即可求解． 【详解】解：∵点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵将向右平移得到， ∴， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为． 27．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）【阅读理解】 在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式． 例点从原点出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点，若都按乙方式，最终移动到点，若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点． 【应用】 点从原点出发连续移动次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点其中，按甲方式移动了次． （1）当，时，点的坐标是__________； （2）已知点，若无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上，若点关于直线的对称点落在坐标轴上，的值为________； 【答案】 或 【分析】（1）根据甲方式移动次数直接得纵坐标，用总次数减去甲方式次数得乙方式次数，进而得横坐标，即可确定点坐标； （2）先消去参数得到直线的方程，再分对称点在轴、轴两种情况，利用“中点在直线上对称点到直线上同一点距离相等”列方程求解即可得的值． 【详解】解：（1）甲方式移动次：每次，所以最终； 乙方式移动次数：次，每次，所以最终， ∴点坐标为； (2) 甲方式移动次：， 乙方式移动次：， 两式相加消去，得： ，即直线， 设点关于直线的对称点为，根据对称性质： 的中点在直线上； 直线上的点到、的距离相等（即对直线上任意一点，都有）， 我们分两种情况讨论： 情况1：在轴上，设为， 中点， 代入直线，得：， 整理得①， 取直线上的点（在轴上），由， 由距离公式得：， 两边平方，得：， 展开化简得：②， 把①代入②得：， 解得； 情况2：在轴上，设为， 中点，代入直线，得： ③ 取直线上的点（在轴上），由，由距离公式得： ​， 两边平方，得：， 展开化简得：④， 把③代入④得：， 解得； 综上，的值为或． 28．（25-26八年级下·河南南阳·期中）[问题情境] 老师在黑板上写了一道题目：在平面直角坐标系中，将直线向下平移4个单位长度，求平移后直线的函数表达式． 小明利用直线上下平移的规律“上加下减”求得平移后直线的函数表达式为；小丽认为平移前后直线中的不变，只要求出的值即可．她的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数表达式． 在课堂交流中，老师肯定了他们的做法，感兴趣的小明继续进行探究验证： [解决问题] (1)小明用小丽的方法进行了尝试：将点向下平移4个单位长度后的对应点的坐标为________，利用待定系数法求得过点的直线的函数表达式为________； (2)小明又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验这个方法：将直线向右平移2个单位长度，平移后直线的函数表达式为________，利用上下平移的规律，将直线向________（填“上”或“下”）平移________个单位长度也能得到这条直线； (3)[拓展应用]对于平面直角坐标系内的图形将图形上所有点都先向下平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，我们把这个过程称为图形的一次“斜平移”．请你求出将直线进行两次“斜平移”后得到直线的函数表达式． (4)请你直接写出次“斜平移”后得到直线的函数表达式． 【答案】(1)， (2)，下， (3) (4) 【分析】（1）根据点的平移规律求出平移后的坐标，再利用待定系数法求一次函数表达式； （2）先根据直线的平移规律求出平移后的表达式，再根据点的平移规律确定点的平移方向和距离； （3）先根据一次“斜平移”的定义求出一次“斜平移”后的直线表达式，再对其进行二次“斜平移”，从而得到表达式； （4）根据一次、二次、三次……“斜平移”后的表达式，分析规律即可得出次． 【详解】（1）解：向下平移4个单位长度， 即， ， 平移前后直线中的不变， 设过点的直线的函数表达式为， 代入， 得 ， 解得， ． （2）解：直线向右平移2个单位长度，平移后的函数表达式为，利用上下平移的规律，将直线向下平移6个单位长度也能得到这条直线． （3）解：直线一次“斜平移”为 ， 直线一次“斜平移”为． （4）解：一次“斜平移”后得到表达式， 二次“斜平移”后得到表达式， 三次“斜平移”后得到表达式， …… 次“斜平移”后得到表达式． ◆一次函数临界点问题 题型模版 题型特征：动直线或动点运动过程中，研究直线经过定点、与线段有交点、围成区域整点个数等临界状态。 解题方法：确定动点或动直线参数的表达式；找到边界位置（经过端点、平行特殊直线等）；结合图象分析临界范围，注意整点需枚举检验。 29．（25-26八年级下·河北秦皇岛·阶段检测）如图，，，动点P从原点O出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右移动，直线l：经过点P．设点P移动的时间为t秒，下列结论中正确的有（    ） ①；②当直线l经过点B时，t的值为7；③当直线l与线段有交点，且l与x轴，y轴以及线段所围成的封闭图形内部（不含边界）仅有5个整点（横、纵坐标均为整数）时，t的取值范围为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：动点P从原点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右移动，t秒后P的坐标为， 直线l：经过点， 代入得：， 解得，结论①正确； 已知，直线l的解析式为． 将代入得：， 解得，所以结论②正确； 线段的端点为，，是一条垂直于x轴的线段． 直线l：与的交点横坐标为3，代入得，交点需满足，即， 封闭图形内部的整点： 当时，直线l：，内部整点为、、，共3个，不符合； 当时，直线l：，内部整点为、、、、，共5个，符合； 实际满足“内部仅有5个整点”的t范围是，而非． 所以结论③错误． 30．将函数的图象记为．若一次函数的图象与有交点，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象性质与不等式的关系，找出一元一次不等式是解题的关键； 根据的非负性得或两种情况，分类讨论得一元一次不等式，解不等式即可得出结论； 【详解】图象如图所示：设, 当时，， ， 当时，， ， 过点，当y过处，即同时过A、B时， 将代入得： 解得： 当时，的图象与在第一象限有交点， 时，当与平行时，的图象与无交点， ， 时，的图象与在第二象限有交点， 故选：D 31．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画出图象，结合图象解题是关键．由，得出直线经过点，如图，当直线经过或时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的的值，结合图象即可得到结论． 【详解】解：， 直线经过点， 如图， 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则，解得； 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 则，解得； 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点， 则，解得； 直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 因此，当 且 时，区域中只有四个整点． 故答案为 且 ． 32．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，将函数的图象位于x轴下方的部分，沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数的图象，与直线的图象交点的横坐标x均满足，则b的取值范围为_____． 【答案】 【分析】当时，直线解析式为，当时，直线解析式为， 根据与直线的图象交点的横坐标x均满足，解答即可． 本题考查了一次函数的图象，交点问题，图象翻折问题，熟练掌握翻折问题是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得当时，直线解析式为， 当时，直线解析式为， 根据与直线的图象交点的横坐标x均满足， 故当时，，此时交点坐标为， 把代入，解得； 当时，，此时交点坐标为， 把代入，解得； 当时，，此时交点坐标为， 把代入，解得； 综上所述，当时，， 故答案为：． ◆压轴挑战 33．已知直线，直线，则这两条直线的位置关系是（    ） A．重合 B．平行 C．相交 D．垂直 【答案】C 【分析】先判断出这两条直线不重合也不平行，再根据勾股定理判断是否垂直即可． 【详解】解：∵直线的，；直线的，； ∴，， 可得这两条直线不重合也不平行， ∴这两条直线相交， 当时，解得， 此时， 即这两条直线相交于， 当时，直线，直线， 即与y轴交于，与y轴交于， ∵， ∴这两条直线不垂直， 因此两条直线的位置关系是相交． 34．已知关于x的一次函数与（a，b为常数，且），下列结论：①点在函数图象上；②若，则；③若，则函数一定不经过第二象限；④若函数经过点，则函数一定经过点．其中正确结论的序号是__________． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质．熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征，两直线交点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的图象位置与系数符号的关系，是解决本题的关键． ①将点代入即可判断； ②根据列不等式，结合解不等式即可； ③若，根据，得到，，可判断一次函数的图象的位置； ④将点代入，可得，将代入，得到，再判断其是否经过即可． 【详解】将代入， 得，， ∴点在函数图象上， 故①正确； ∵， ∴， 若，则， 解得， 故②正确； 若， 又， ∴，， ∴的图象过一、三、四象限， ∴函数一定不经过第二象限， 故③正确； 将代入， 得，， ∴， ∴， 当时，， ∴一定经过点， 故④正确． 故答案为：①②③④． 35．已知，则的最小值是_______； 【答案】 【分析】根据x的取值分五个区间讨论：时，时，时，时，时，根据绝对值的性质去掉绝对值符号得到一次函数，根据一次函数的增减性判断每个区间的最小值，比较所有区间的最小值即可得到最终结果． 【详解】解：根据x的取值分五个区间讨论： 当时，， ∵随增大而减小， ∴当时，y有最小值，为． 当时， ∵随增大而减小， ∴当时，y有最小值，为． 当时， ∵随增大而减小， ∴当时，y有最小值，为． 当时， ∵随增大而增大，又当时，， ∴； 当时， ， ∵随增大而增大，且当时，， ∴． 综上，的最小值是8． 36．（24-25八年级下·四川南充·期中）已知一次函数，当时，有最大值，则_______． 【答案】 或 【分析】本题根据一次函数的增减性，对一次项系数分大于0和小于0两种情况讨论，结合给定区间内y的最大值为5，分别计算得到k的值，排除一次项系数为0的不符合情况即可． 【详解】解：已知一次函数为，自变量范围为，y的最大值为． 当，即时，随的增大而增大， ∴时，取得最大值， 代入得， 解得； 当，即时， 随的增大而减小， ∴时，取得最大值， 代入得， 解得； 当，即时，， 不符合最大值为，舍去． 故的值为或． 37．（25-26八年级上·广东揭阳·阶段检测）如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点、，的面积为，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，数字类的规律性问题，解题的关键在于能够求出． 先利用一次函数与坐标轴交点的求解方法求出，，则，，从而得到，由此求解即可． 【详解】解：由题意得：和分别是直线与x轴，y轴的交点， 当时，当时， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， 故答案为：． 38．如图， 在平面直角坐标系中，直线与直线分别交y轴于点A，B．以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点C作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足照此规律进行下去，则的面积为_____ ． 【答案】 【分析】根据题意分别算出的值得到，，，由此即可求解． 【详解】解：在直线中，当时，，则， 在直线中，当时，，则， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴点的横坐标为， 在直线中，当时，，则， 在直线中，当时，，则， ∴，则，， ∴， 同理，，，， ∴，则， ∴， ， ∴ ． 39．如图，已知直线分别与轴和轴交于，两点，点C在线段上，将沿直线翻折，点的对应点落在轴上． (1)求直线的解析式； (2)将沿射线方向平移，速度为单位长度/秒，运动时间为秒，点，，的对应点分别是点，，．在平移过程中射线和射线分别交轴于点和点．当时，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出，，从而可得，，由勾股定理可得，再由折叠的性质并结合勾股定理求出，最后利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）可得，，直线的解析式为，则，求出直线的解析式为，则平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，从而可得，，直线的解析式为，结合题意可得，则，求出，得到，由，得出，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， ∴由勾股定理可得， 由折叠的性质可得，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）可得，，直线的解析式为， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵将沿射线方向平移，速度为单位长度/秒，运动时间为秒，直线的解析式为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴，，直线的解析式为， ∵在平移过程中射线和射线分别交轴于点和点， ∴， ∴， 在中，令，则， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或 综上所述，当时，的值为或． 40．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）已知一次函数（k为常数，且） (1)若点在一次函数的图象上． ①求k的值． ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 【答案】(1)①；②P的最大值为6； (2)一次函数解析式为或． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）①把已知点的坐标代入中即可得到k的值； ②用x表示P得到，根据一次函数的性质，时，P的值最大，然后计算自变量为所对应的函数值即可； （2）当时，，，则，当时，，，则，然后分别解方程求出k，从而得到对应的一次函数解析式． 【详解】（1）解：①把代入得：， 解得； ②当时，， ∴， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，时，P的值最大， 当时，， 即P的最大值为6； （2）解：当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 综上所述，一次函数解析式为或． 41．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数． ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②当时，都成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①见解析；②或 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，求不等式的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）①把点代入可得，从而得到，即可求解；②由①得，则，再分和两种情况讨论，求出的最小值，再结合“当时，都成立”，列出关于的不等式，即可求解． 【详解】（1）解：把点，代入得： ， 解得，     ∴的表达式为； （2）解：①把点代入得： ，即， ∵点和点分别在一次函数和的图象上， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴； ②由①得，， ∴， ∴， 当时，则， ∴随着的增大而增大， ∴当时，有最小值， ∵当时，都成立， ∴， 解得， ∴； 当时，则， ∴随着的增大而减小， ∴当时，有最小值， ∵当时，都成立， ∴， 解得， ∴； ∴综上所述，a的取值范围为或． 42．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知一次函数过定点，另一个一次函数为． (1)请你判断是否过定点，并说明理由． (2)点和点分别在一次函数和的图象上，求证：． (3)设函数，当时，函数有最大值，求的值． 【答案】(1)一次函数过定点，理由如下： 证明：因为一次函数过定点， 所以，； 当时，， 所以一次函数过定点． (2)证明：因为点和点分别在一次函数和的图象上， 所以，， 即； 因为， 所以； 因为， 所以， 即； (3)的值为或 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）根据题意得出，将代入，得出，即可求解； （2）将点和点分别代入一次函数和的解析式，得出，结合，即可得证． （3）先求得，根据当时，函数有最大值，分和，结合一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：略； （2）证明：略； （3）解：， ①若，随的增大而增大，当时，，解得； ②若，随的增大而减小，当时，，解得； 所以的值为或． 43．（24-25八年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)若一次函数的图象经过M点，则b_____0 (填“”或“”或“”)； (2)若一次函数的图象经过三个点中的某一点，求b的最大值； (3)①已知直线，则此直线一定过定点 ； ②当时，在图中用阴影表示直线扫过的区域，并判断在点M，N，P中直线不可能经过的点是 ． 【答案】(1) (2)8 (3)①； ②扫过的区域如图所示： N 【分析】本题考查一次函数的图象和性质的应用．用到的知识点为：一次函数的比例系数大于0，常数项大于0，图象过第一、二、三象限，一次函数的比例系数越大，随的增大越明显． （1）把点M的坐标代入一次函数求出b的值，即可得出答案； （2）根据一次函数的比例系数大于0，图象过第一、三象限，求的最大值，那么把第二象限内的点代入即可； （3）①把代入得：，即可得出答案； ②求出当时直线与轴的交点，进而根据经过点和可得直线扫过的区域，即可求得直线不可能经过的点． 【详解】（1）解：把代入一次函数得： ， 解得：， ∵， ∴； （2）解：∵一次函数的比例系数为，， ∴一次函数一定经过第一、三象限， ∵求b的最大值， ∴图象还应该经过第二象限的点， ∴， ∴； 答：b的最大值为8； （3）解：①把代入得：， ∴直线一定过定点； ②当时，， 把代入得：， 解得：， ∴图象经过 ∵图象必过点，， ∴直线扫过的区域为过点和点的直线l与y轴之间的区域（不包括直线l和y轴）． ∴直线不可能经过的点是N． 故答案为：N． 44．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）【定义】对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为“相关函数”． 例如：一次函数，它的“相关函数”为． 已知一次函数，请回答下列问题： (1)该一次函数的“相关函数”为________； (2)已知点在该一次函数的“相关函数”的图象上，求a的值； (3)当时，求该一次函数的“相关函数”的最大值和最小值； (4)已知直线与该一次函数的“相关函数”的图象只有一个交点时，直接写出b的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)当时，该一次函数的“相关函数”的最大值为，最小值为； (4) 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，准确理解题意求出相关函数及作出图象是解题关键． （1）根据相关函数的定义，即可得一次函数的“相关函数”； （2）将点代入一次函数的相关函数求解即可； （3）根据相关函数的图象和性质，结合的范围，即可得最值； （4）结合函数图象判断求解． 【详解】（1）解：根据相关函数的定义得： 一次函数的“相关函数”为， 故答案为：． （2）解：∵点在一次函数的相关函数上， ∴，或， ∴． （3）解：当时，一次函数的“相关函数”为， 图象如下： 当时，一次函数的“相关函数”取最大值，最大值为， 当时，一次函数的“相关函数”取最小值，最小值为， ∴当时，该一次函数的“相关函数”的最大值为，最小值为． （4）解：一次函数的“相关函数”为， 图象如下： 点的纵坐标为，点的纵坐标为， 当直线经过点时，， 当直线经过点时，， 随着增大，直线向上平移， ∵直线与该一次函数的“相关函数”的图象只有一个交点， ∴． 45．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一次函数、的图象交于轴上的点，其中为常数且，．点为正半轴上的一点，过点作轴的平行线分别交的图象于点、，过点、作轴的平行线分别交的图象于点、． 【特例探究】当时 （1）若点的纵坐标为3，则　　，　　，　　； （2）求的值； （3）求的值． 【归纳猜想】请运用特殊到一般的数学思想和归纳法进行猜想（不需要证明）： 　　；　　．（用含有的代数式表示） 【答案】特例探究：（1）4，4，12；（2）；（3）；归纳猜想：， 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解决本题的关键． 特例探究：（1）当时，则，，令求出点B和点C的坐标，再根据题意分别令和时，即可求出点D和点E的坐标，进而即可求出、和的值； （2）设点的纵坐标为，根据题意求出点B和点C的坐标，再求出和的值，进而即可求解； （3）由（2）进而求出和的值，进而即可求解； 归纳猜想：设P的纵坐标为m，根据题意求出点B和点C的坐标、点D和点E的纵坐标，进而求解即可． 【详解】解：特例探究：（1）当时，则，， 当点的纵坐标为3时，则 解得， 解得， ∴点B为，点C为， ∵过点、作轴的平行线分别交的图象于点、， ∴当时， ， 当时， ， ∴点D为，点E为， ∴，，， 故答案为：4，4，12； （2）设点的纵坐标为，则直线的方程为， 令，得， 解得， ∴点B为， 令，得 解得， ∴点C为， ∴，， ∴， ∴； （3）∵过作轴平行线（），交于D， ∴代入得， ∴点D为， ∴， ∵过作轴平行线（），交于E， ∴代入得， ∴点E为， ∴， ∴， ∴； 归纳猜想：∵，（，），点P在y正半轴上， ∴设P的纵坐标为m（）， ∵点B是l与的交点， ∴当时，得 解得， ∴点B为， ∵点C是l与的交点， ∴当时，得 解得， ∴点C为， ∴，， ∴， ∵过点B作y轴平行线（），交于D， ∴点D的纵坐标为， ∴ ∵过点C作y轴平行线（），交于E， ∴点E的纵坐标为， ∴， ∴， 故答案为：，． 46．（25-26八年级上·广东深圳·期中）小颖根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究，下面是小颖的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x ．．． 0 1 2 3 4 ．．． y ．．． 0 1 0 k ．．． ①_____；②若，为该函数图像上不同的两点，则_____； (2)描点并画出该函数的图像． (3)观察函数的图象，写出该图像的两条性质：_____；_____； (4)运用合适的方法探究：若在同一坐标系中另有一次函数．将沿轴怎样平移，能使平移后的与的函数图像只有一个交点？请直接写出具体的平移方向和距离． 【答案】(1)①；② (2) 描点连线如下图： (3)性质：该函数的最大值为1；该函数的图像关于直线对称（答案不唯一） (4)将沿轴向上平移个单位长度， 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图像，明确题意，画出相应的函数图像，利用数形结合的思想是解答本题的关键； （1）计算出当时，，当时，解出即可； （2）把值代入计算出值，然后描点画出图像即可； （3）根据图像找到最大值；借助图像得出对称性； （4）在同一坐标系中画出一次函数的图像，借助图像解题即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 解得：（舍去）， 故答案为：①；②； （2）解：略； （3）解：通过观察函数图像得：该函数的最大值为1；该函数的图像关于直线对称； 故答案为：该函数的最大值为1；该函数的图像关于直线对称； （4）解：将沿轴向上平移个单位长度，理由如下图： 在同一坐标系中画出一次函数的图像， 当时，分别计算出，，， 平移使与的函数图像只有一个交点．需将沿轴向上平移，平移的距离为个单位长度， 故将沿轴向上平移个单位长度即可． 47．如图，直线与直线交于点，与y轴交于点P，直线经过点，且与y轴交于点Q，直线分别交y轴、直线、于A，B，C三点．    (1)求m的值及直线的函数表达式； (2)当点A在线段上（不与点P，Q重合）时，若，求a的值； (3)设点关于直线的对称点为K，若点K在直线，直线与x轴所围成的三角形内部（包括边界），求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）当时，点，再将分别代入直线、的解析式，可求出点B、C的坐标，当时，分两种情况讨论，情况一：当点在点下方时；情况二：当点在点上方时，分别求解即可； （3）设对称点，当点落在直线上时，，进而求出a的值；当点落在轴上时，，进而求出a的值，因此即可得出直线与轴所围成的三角形内部（包括边界）时，a的取值范围． 【详解】（1）将点代入， 得， 解得． 点， 将点，点代入， 得， 解得， 直线的函数表达式为； （2）由题意可得，， 直线分别交轴、直线于点，点，点C， 当时，点， 由，解得， 则点， 由，解得， 则点， 当时， 情况一：当点在点下方时，如图1，此时点为的中点． ， 解得，且，符合题意；    情况二：如图2，当点在点上方时， ， ， 解得，且，符合题意． 综上所述，当或时，； （3）设点关于直线的对称点， 当点落在直线上时，， 此时， 当点落在轴上时，， 此时， 点在直线， 直线与轴所围成的三角形内部（包括边界）时，a的取值范围为． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数图像交点问题、待定系数法求函数解析式等问题，明确两直线平行则k值相等是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 一次函数的图象和性质 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、一次函数的规律探究问题 题型2、一次函数的函数值比较问题 题型3、一次函数的图象判断问题 题型4、一次函数的字母参数讨论问题 题型5、双一次函数的综合问题 题型6、一次函数的折叠问题 题型7、一次函数到平移问题 题型8、一次函数临界点问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一次函数的一般形式为（，k、b为常数）。解决一次函数问题，首先要把握k、b的几何意义：k决定直线的倾斜方向与增减性（k>0时y随x增大而增大，k<0时y随x增大而减小）；b决定直线与y轴交点的位置。求解析式常用待定系数法：设出解析式，代入已知点坐标建立方程组求解。对于图象判断问题，要抓住直线经过的象限、与坐标轴交点及k、b符号之间的关系。处理字母参数、函数值比较、最值等问题时，要注意分类讨论k的符号；涉及两直线综合问题，常通过求交点、与坐标轴交点，结合三角形面积、等腰三角形、折叠、平移等几何知识进行转化。 ◆一次函数的规律探究问题 题型模版 题型特征：结合一次函数图象，通过计算点的坐标、线段长或面积，寻找循环或递推规律。 解题方法：求出初始若干项，观察坐标、线段长、面积的变化规律；注意周期性、递推关系及特殊位置（如等腰直角、正方形顶点）。 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建福州·期末）如下图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…记面积为，面积为，面积为，…则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与轴交于点，依次作正方形，正方形，，正方形，其中点，，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点…过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标是______． 题型模版 题型特征：利用一次函数的增减性比较函数值大小，或根据函数值大小关系判断自变量范围。 解题方法：先确定k的符号判断增减性；k>0时x越大y越大，k<0时x越大y越小；注意结合图象和分类讨论。 5．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，，是直线（b为常数）上的三个点，则下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，，为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）在直角坐标系中，点，，直线分别交轴，轴于点，点与点关于原点对称． (1)若直线过点，求直线的函数表达式． (2)当时，求的值． (3)直线交线段于点，若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 8．已知一次函数（k，b是常数，且）． (1)若，该函数图像经过点，请判断是否经过点． (2)若，，点，在该函数图像上，且，判断，的大小关系． 题型模版 题型特征：根据一次函数解析式中k、b的符号，判断直线经过的象限及大致形状。 解题方法：k决定倾斜方向，b决定与y轴交点；k>0过一、三象限，k<0过二、四象限；b>0交y轴正半轴，b<0交y轴负半轴。 9．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知，且，则一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．平面直角坐标系中点和一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，若直线经过第一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·安徽·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型模版 题型特征：一次函数解析式中含有字母参数，根据图象经过的象限、最值或不等关系求参数范围。 解题方法：利用待定系数法或点的坐标满足解析式建立等式；根据增减性和给定范围确定最值点；结合不等式求参数范围，注意分类讨论。 13．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）已知直线经过第一、二、三象限，且点在该直线上，设，则的取值范围是________． 14．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求函数的最大值与最小值的差； (3)当时，函数的最大值与最小值的差是否会随着的变化而变化？若不变，则求出这个定值；若变化，请说明理由． 15．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）已知一次函数（k，b为常数，且），的图像经过点． (1)若，求一次函数的表达式． (2)当时，该一次函数的最大值为8，求k的值． (3)若该一次函数的图像经过第一象限，且，求S的取值范围． 16．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知关于的一次函数，其中． (1)若点在的图象上，则的值是______； (2)当时，若函数有最大值8，求的函数表达式； (3)关于的一次函数，其中．当时，若对一切实数，都成立，直接写出的取值范围． 题型模版 题型特征：两条直线相交、与坐标轴围成图形，涉及面积、线段关系、存在性等问题。 解题方法：分别求出两直线与坐标轴交点及两直线交点；利用坐标求线段长、面积；存在性问题常通过列方程、分类讨论求解。 17．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，若一次函数图象经过，，则有．例如：一次函数的图象经过和，则有． (1)若点，在一次函数图象上，则______； (2)若一次函数在范围内，函数的最大值与最小值的差为3，求k的值； (3)如图2，点A，B在直线上，点C，D在直线上，已知轴，轴，且，求与满足的数量关系，并说明理由． 18．如图，在直角坐标系中，直线和与坐标轴分别相交于A，B和C，D，若，则下列判断不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点． (1)求点坐标； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 20．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且两直线交于点，点的坐标为． (1)求的值． (2)连接，求的面积． (3)平面内是否存在一点，使得与面积相等？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 题型模版 题型特征：将一次函数图象或平面图形沿某条直线折叠，求点坐标、解析式或图形性质。 解题方法：折叠前后对应点连线被折痕垂直平分；利用对称性求对应点坐标；结合一次函数性质建立方程求解。 21．（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知一次函数的图象经过点． (1)求k，b的值． (2)已知一次函数的图象与直线交于点，将点下方的图象沿着直线向上翻折，得到“V”字形图象，其对应的函数记为． ①求函数的表达式，并写出自变量的取值范围； ②当时，已知函数的最大值和最小值的差为3，求的值． 22．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是OB上的一点，若将沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点处，则点C的坐标为______． 23．（25-26八年级上·广东深圳·期末）小颖同学学习完一次函数的图象和性质后，继续对含绝对值的函数和进行探究，她画出函数的图象如图1所示． 【探究一】（1）为画出的图象，列表如表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 2 2 3 ．．． （2）请在图2的平面直角坐标系中画出函数图象； （3）请你根据画出的函数图象写出一条它的性质：___________． 【探究二】小颖通过比较和的函数图象，发现函数的图象是由函数的图象向___________（填“左侧”或“右侧”）平移___________个单位长度得到的． 【探究三】已知函数是由向右平移个单位长度得到的，若自变量的取值范围是时，该函数的最大值为4，则的值为多少？请直接写出结果． ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 2 1 2 3 ．．． 24．（25-26八年级下·北京·期中）小明探究函数的图象和性质的过程如下．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)函数的自变量的取值范围是_______，的取值范围是______； (2)由设计如下画图方案：将直线在轴下方的部分沿轴翻折，直线的其余部分保持不变，得到函数的图象．在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)利用函数图象解决问题： ①当时，的取值范围是___________； ②当时，的取值范围是___________； ③若对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出的取值范围． 题型模版 题型特征：根据题意分析并求解。 解题方法：结合一次函数性质与图象特征进行推理计算。 25．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图1，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，与直线交于点，已知． (1)求直线的解析式； (2)连接，在直线上有一点P满足，求出点P的坐标； (3)如图2，将直线沿y轴向下平移6个单位长度，得到直线，直线与y轴相交于点F，在直线上是否存在点Q，使是以线段为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有可能的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（25-26八年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，顶点，，点C在y轴的正半轴上，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为________．    27．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）【阅读理解】 在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式． 例点从原点出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点，若都按乙方式，最终移动到点，若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点． 【应用】 点从原点出发连续移动次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点其中，按甲方式移动了次． （1）当，时，点的坐标是__________； （2）已知点，若无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上，若点关于直线的对称点落在坐标轴上，的值为________； 28．（25-26八年级下·河南南阳·期中）[问题情境] 老师在黑板上写了一道题目：在平面直角坐标系中，将直线向下平移4个单位长度，求平移后直线的函数表达式． 小明利用直线上下平移的规律“上加下减”求得平移后直线的函数表达式为；小丽认为平移前后直线中的不变，只要求出的值即可．她的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数表达式． 在课堂交流中，老师肯定了他们的做法，感兴趣的小明继续进行探究验证： [解决问题] (1)小明用小丽的方法进行了尝试：将点向下平移4个单位长度后的对应点的坐标为________，利用待定系数法求得过点的直线的函数表达式为________； (2)小明又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验这个方法：将直线向右平移2个单位长度，平移后直线的函数表达式为________，利用上下平移的规律，将直线向________（填“上”或“下”）平移________个单位长度也能得到这条直线； (3)[拓展应用]对于平面直角坐标系内的图形将图形上所有点都先向下平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，我们把这个过程称为图形的一次“斜平移”．请你求出将直线进行两次“斜平移”后得到直线的函数表达式． (4)请你直接写出次“斜平移”后得到直线的函数表达式． 题型模版 题型特征：动直线或动点运动过程中，研究直线经过定点、与线段有交点、围成区域整点个数等临界状态。 解题方法：确定动点或动直线参数的表达式；找到边界位置（经过端点、平行特殊直线等）；结合图象分析临界范围，注意整点需枚举检验。 29．（25-26八年级下·河北秦皇岛·阶段检测）如图，，，动点P从原点O出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右移动，直线l：经过点P．设点P移动的时间为t秒，下列结论中正确的有（    ） ①；②当直线l经过点B时，t的值为7；③当直线l与线段有交点，且l与x轴，y轴以及线段所围成的封闭图形内部（不含边界）仅有5个整点（横、纵坐标均为整数）时，t的取值范围为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 30．将函数的图象记为．若一次函数的图象与有交点，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 31．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是______． 32．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，将函数的图象位于x轴下方的部分，沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数的图象，与直线的图象交点的横坐标x均满足，则b的取值范围为_____． 33．已知直线，直线，则这两条直线的位置关系是（    ） A．重合 B．平行 C．相交 D．垂直 34．已知关于x的一次函数与（a，b为常数，且），下列结论：①点在函数图象上；②若，则；③若，则函数一定不经过第二象限；④若函数经过点，则函数一定经过点．其中正确结论的序号是__________． 35．已知，则的最小值是_______； 36．（24-25八年级下·四川南充·期中）已知一次函数，当时，有最大值，则_______． 37．（25-26八年级上·广东揭阳·阶段检测）如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点、，的面积为，则______． 38．如图， 在平面直角坐标系中，直线与直线分别交y轴于点A，B．以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点C作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足照此规律进行下去，则的面积为_____ ． 39．如图，已知直线分别与轴和轴交于，两点，点C在线段上，将沿直线翻折，点的对应点落在轴上． (1)求直线的解析式； (2)将沿射线方向平移，速度为单位长度/秒，运动时间为秒，点，，的对应点分别是点，，．在平移过程中射线和射线分别交轴于点和点．当时，求的值． 40．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）已知一次函数（k为常数，且） (1)若点在一次函数的图象上． ①求k的值． ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 41．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数． ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②当时，都成立，求a的取值范围． 42．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知一次函数过定点，另一个一次函数为． (1)请你判断是否过定点，并说明理由． (2)点和点分别在一次函数和的图象上，求证：． (3)设函数，当时，函数有最大值，求的值． 43．（24-25八年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)若一次函数的图象经过M点，则b_____0 (填“”或“”或“”)； (2)若一次函数的图象经过三个点中的某一点，求b的最大值； (3)①已知直线，则此直线一定过定点 ； ②当时，在图中用阴影表示直线扫过的区域，并判断在点M，N，P中直线不可能经过的点是 ． 44．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）【定义】对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为“相关函数”． 例如：一次函数，它的“相关函数”为． 已知一次函数，请回答下列问题： (1)该一次函数的“相关函数”为________； (2)已知点在该一次函数的“相关函数”的图象上，求a的值； (3)当时，求该一次函数的“相关函数”的最大值和最小值； (4)已知直线与该一次函数的“相关函数”的图象只有一个交点时，直接写出b的取值范围． 45．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一次函数、的图象交于轴上的点，其中为常数且，．点为正半轴上的一点，过点作轴的平行线分别交的图象于点、，过点、作轴的平行线分别交的图象于点、． 【特例探究】当时 （1）若点的纵坐标为3，则　　，　　，　　； （2）求的值； （3）求的值． 【归纳猜想】请运用特殊到一般的数学思想和归纳法进行猜想（不需要证明）： 　　；　　．（用含有的代数式表示） 46．（25-26八年级上·广东深圳·期中）小颖根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究，下面是小颖的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x ．．． 0 1 2 3 4 ．．． y ．．． 0 1 0 k ．．． ①_____；②若，为该函数图像上不同的两点，则_____； (2)描点并画出该函数的图像． (3)观察函数的图象，写出该图像的两条性质：_____；_____； (4)运用合适的方法探究：若在同一坐标系中另有一次函数．将沿轴怎样平移，能使平移后的与的函数图像只有一个交点？请直接写出具体的平移方向和距离． 47．如图，直线与直线交于点，与y轴交于点P，直线经过点，且与y轴交于点Q，直线分别交y轴、直线、于A，B，C三点．    (1)求m的值及直线的函数表达式； (2)当点A在线段上（不与点P，Q重合）时，若，求a的值； (3)设点关于直线的对称点为K，若点K在直线，直线与x轴所围成的三角形内部（包括边界），求a的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $