专题41 一次函数的意义（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以题型为载体，系统提炼一次函数从概念辨析到实际应用的解题方法，构建“概念-参数-解析式-性质-应用”的递进知识逻辑，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正比例函数概念|1典例+3变式|三条件判定法（整式/一次/系数非零）|从特殊（正比例）到一般（一次函数）概念生成| |参数求解|1典例+3变式|四步参数法（次数/常数项/系数限制/舍解）|通过概念逆向推导参数取值范围| |待定系数法|1典例+3变式|四步解析式法（设/代/解/验）|利用方程思想建立函数关系| |平移与应用|各1典例+3变式|平移口诀（上加下减常数项，左加右减自变量）；阶梯分段计费模型|从代数性质到几何变换再到实际问题，体现模型意识|

专题41 一次函数的意义 （题型突破·举一反三） ▌题型01 正比例函数的概念 【典例1】A． 【变式1-1】D． 【变式1-2】A． 【变式1-3】①③． ▌题型02 由正比例函数的概念求参数 【典例1】B． 【变式1-1】D． 【变式1-2】3． 【变式1-3】 【解答】解：根据正比例函数的定义，得：，， 解得2，， 又∵即， ∴当，时，是的正比例函数． ▌题型03 识别一次函数 【典例1】C． 【变式1-1】C． 【变式1-2】B． 【变式1-3】D． ▌题型04 由一次函数的定义求参数 【典例1】A． 【变式1-1】k≠﹣2． 【变式1-2】﹣1． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∵y是x的一次函数， ∴|m﹣1|＝1且4﹣2m≠0， ∴m＝0， ∴当m＝0时函数y＝（4﹣2m）x|m﹣1|+（n+3）是一次函数； （2）∵y是x的正比例函数， ∴|m﹣1|＝1且4﹣2m≠0且n+3＝0， 由|m﹣1|＝1得m﹣1＝±1， ∴m＝0或m＝2， 由4﹣2m≠0得m≠2， 由n+3＝0得n＝﹣3， ∴当m＝0、n＝﹣3时，函数y＝（4﹣2m）x|m﹣1|+（n+3）是正比例函数． ▌题型05 待定系数法求解析式 【典例1】B． 【变式1-1】D． 【变式1-2】yx． 【变式1-3】 【解答】解：（1）设这个函数解析式为：y＝kx+b， 将（1，﹣1），（﹣1，2）代入， 得：， 解得：， 故这个函数解析式为：yx； （2）在函数yx中， 当x＝2时，y2． ▌题型06 求一次函数自变量或函数值 【典例1】C． 【变式1-1】C． 【变式1-2】4． 【变式1-3】4． ▌题型07 点在直线上 【典例1】 【解答】解：（1）由题意可得y﹣2＝k（x+1），把当x＝1时，y＝4代入得：4﹣2＝k（1+1）， 解得k＝1， 所以y﹣2＝x+1， 故一次函数的解析式为y＝x+3； （2）∵点（﹣6，m+4）在这个函数的图象上， m+4＝﹣6+3， 解得m＝﹣7． 【变式1-1】 【解答】解：（1）设y﹣3＝kx（k为比例常数）， 将x＝2，y＝﹣1，代入得﹣1﹣3＝k•2，即﹣4＝2k， 解得k＝﹣2， ∴y﹣3＝﹣2x， ∴y＝﹣2x+3． （2）点A（﹣1，6）不在函数图象上． 理由：由（1）知函数表达式为y＝﹣2x+3， 当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）+3＝5， ∵5≠6， ∴点A（﹣1，6）不在函数图象上． 【变式1-2】 【解答】解：（1）设y﹣3＝k（x+1），即y＝kx+k+3， 把x＝2，y＝6代入得2k+k+3＝6， 解得k＝1， 所以y与x的函数表达式为y＝x+4； （2）将点（a，2）代入y＝x+4得2＝a+4， 解得a＝﹣2． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∵y﹣3与x成正比例， ∴设y﹣3＝kx（k≠0）， 将x＝1，y＝6代入，可得6﹣3＝k， 解得k＝3， ∴y与x之间的函数解析式y＝3x+3； （2）将点（a，4）代入函数y＝3x+3， 可得4＝3a+3， 解得：， ∴a的值为． ▌题型08 一次函数的平移 【典例1】 【解答】解：设直线AB的函数表达式为， ∵直线过点A（﹣3，0）得， ∴， 解得， ∴直线AB的函数表达式为． 故答案为：． 【变式1-1】y＝3x﹣9． 【变式1-2】7． 【变式1-3】 【解答】解：（1）直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2； （2）∵将直线AB向上平移5个单位长度得到直线CD， ∴直线CD的解析式为y＝﹣x﹣2+5＝﹣x+3， 当y＝0时，得：﹣x+3＝0， 解得：x＝3； 当x＝0时，得：y＝3， ∴C（3，0），D（0，3）， ∴； （3）直线AB上存在一点P，使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形；理由如下： ∵， ∴CD2＝18， 设P（a，﹣a﹣2）， ∵C（3，0），D（0，3）， ∴CP2＝（a﹣3）2+（﹣a﹣2﹣0）2＝（a﹣3）2+（a+2）2，DP2＝（a﹣0）2+（﹣a﹣2﹣3）2＝a2+（a+5）2， 当∠PDC＝90°时，由勾股定理得：PD2+CD2＝PC2， 即a2+（a+5）2+18＝（a﹣3）2+（a+2）2， 解得：； ∴； 当∠PCD＝90°时，由勾股定理得：PC2+CD2＝PD2， 即（a﹣3）2+（a+2）2+18＝a2+（a+5）2， 解得：， ∴， 综上所述，直线AB上存在一点P，使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形；或． ▌题型09 阶梯水费问题 【典例1】y＝2.5x﹣5． 【变式1-1】 【解答】解：（1）当0≤x≤6时，y＝1.5x， 当x＞6时，y＝1.5×6+2.2（x﹣6）＝2.2x﹣4.2， 综上所述，； （2）∵1.5×6＝9＜20， ∴该户居民12月的用水量超过6吨， 在y＝2.2x﹣4.2中， 当y＝20时，2.2x﹣4.2＝20， 解得x＝11， 答：该户居民 12月用了11吨水． 【变式1-2】 【解答】解：（1）根据题意得，y＝2.2×10+（x﹣10）×3＝3x﹣8， 答：应交水费y与用水量x的关系式为：y＝3x﹣8． （2）当y＝67时，3x﹣8＝67， 解得，x＝25， 答：小明家里用水25吨． 【变式1-3】 【解答】解：（1）当12＜x≤20时：y＝12×3.5+6（x﹣12）＝42+6x﹣72＝6x﹣30， 当x＞20时：y＝12×3.5+（20﹣12）×6+8.3（x﹣20）＝42+48+8.3x﹣166＝8.3x﹣76， 综上，函数关系式为：y； （2）12吨水费：12×3.5＝42元， 20吨水费：42+（20﹣12）×6＝90元， 已知水费131.5元＞90元，说明用水量超过20吨，代入y＝8.3x﹣76， 即8.3x﹣76＝131.5， 解得x＝25， 答：小滨家3月份用水量为25吨． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题41 一次函数的意义 （题型突破·举一反三） 题型01 正比例函数的概念 题型02 由正比例函数的概念求参数 题型03 识别一次函数 题型04 由一次函数的定义求参数 题型05 待定系数法求解析式 题型06 求一次函数的自变量或函数值 题型07 点在直线上 题型08 一次函数的平移 题型09 阶梯水费问题 ▌题型01 正比例函数的概念 一般地，形如y＝kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数。 满足三个条件才是正比例函数： 1. 函数解析式为整式； 2. 自变量的次数等于； 3. 常数项为，且系数k≠0。 【典例1】（2026春•城厢区校级期末）下列函数中是正比例函数的是（　　） A．y＝﹣7x B． C．y＝x+1 D．y＝kx 【分析】形如y＝kx（k为常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，由此判断即可． 【解答】解：正比例函数形如y＝kx（k≠0）． A．y＝﹣7x是正比例函数，故选项A正确； B.为反比例函数，故选项B错误； C．y＝x+1为一次函数但不是正比例函数，故选项C错误； D．y＝kx未注明k≠0，故选项D错误； 故选：A． 【变式1-1】（2025秋•任城区期末）下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝4x﹣1 B．y＝5x2 C． D．y＝﹣6x 【分析】根据正比例函数的定义解答即可． 【解答】解：A．y是x的一次函数，所以A选项不符合题意； B．y是x的二次函数，所以B选项不符合题意； C．y是x的反比例函数，所以C选项不符合题意； D．y是x的正比例函数，所以D选项符合题意． 故选：D． 【变式1-2】（2026春•金山区期末）下列函数中，是正比例函数的是（　　） A． B．y＝x2﹣1 C． D．y＝﹣2x+2 【分析】根据正比例函数的定义：形如y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数是正比例函数，据此逐一判断选项即可． 【解答】解：A、，符合y＝kx（）的形式，是正比例函数，符合题意； B、y＝x2﹣1，x的次数为2，不符合定义，不是正比例函数，不符合题意； C、是反比例函数，不符合定义，不是正比例函数，不符合题意； D、y＝﹣2x+2常数项不为0，属于一次函数，不符合定义，不是正比例函数，不符合题意． 故选：A． 【变式1-3】（2025秋•徐州月考）下列说法正确的是　①③　 ．（填序号） ①正比例函数一定是一次函数； ②一次函数一定是正比例函数； ③若y﹣1与x成正比例，则y是x的一次函数； ④若y＝kx+b，则y是x的一次函数． 【分析】根据一次函数和正比例函数的定义判断． 【解答】解：①正比例函数一定是一次函数，正确； ②一次函数一定是正比例函数，错误； ③若y﹣1与x成正比例，即y﹣1＝kx，y＝kx+1，则y是x的一次函数，正确； ④若y＝kx+b，当b＝0时，则y是x的正比例函数；当k＝0时，不是函数，错误． 故正确的是①③． ▌题型02 由正比例函数的概念求参数 1. 自变量次数等于； 2. 常数项等于； 3. 比例系数不等于； 4. 联立条件解方程，舍去使的解。 【典例1】（2026春•仓山区校级期末）如果y＝x+a是正比例函数，则a的值是（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2 【分析】根据正比例函数的定义作答即可． 【解答】解：∵y＝x+a是正比例函数， ∴a＝0． 故选：B． 【变式1-1】（2026春•呼图壁县期末）规定：[k，b]是一次函数y＝kx+b（k、b为实数，k≠0）的“特征数”．若“特征数”是[4，m﹣4]的一次函数是正比例函数，则点（2+m，2﹣m）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据正比例函数的定义求出m的值，然后求出点的坐标即可判断． 【解答】解：由题意得： ∵“特征数”是[4，m﹣4]的一次函数是正比例函数， ∴m﹣4＝0， ∴m＝4， ∴2+m＝6，2﹣m＝﹣2， ∴点（6，﹣2）在第四象限， 故选：D． 【变式1-2】（2026春•浦东新区期末）若函数是正比例函数，则m的值为　3　 ． 【分析】形如y＝kx（k为常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，由此计算即可． 【解答】解：若函数是正比例函数， 则m2﹣8＝1且m+3≠0， 解得m＝3， 故答案为：3． 【变式1-3】（2026春•汨罗市校级期中）已知函数．当为何值时，是的正比例函数？ 【分析】根据正比例函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数，据此求解即可． 【解答】解：根据正比例函数的定义，得：，， 解得2，， 又∵即， ∴当，时，是的正比例函数． ▌题型03 识别一次函数 一般地，形如y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数，正比例函数是特殊的一次函数。 判定一次函数三个必备条件： 1. 解析式为整式； 2. 自变量的次数为； 3. 一次项系数；无限制，可以为任意常数。 【典例1】（2026春•辽阳校级期末）下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B．y＝x2﹣2 C．y＝﹣2x D．y＝kx+b 【分析】一次函数的形式为y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），正比例函数是特殊的一次函数． 【解答】解：一次函数的形式为y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），正比例函数是特殊的一次函数．则： A、不符合一次函数定义，排除； B、y＝x2﹣2中x的次数为2，不符合一次函数定义，排除； C、y＝﹣2x中，k＝﹣2≠0，b＝0，满足一次函数定义，是一次函数； D、y＝kx+b未规定k≠0，若k＝0则不是一次函数，不符合要求，排除． 故选：C． 【变式1-1】（2026春•周口校级期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（　　） A．y＝﹣4x B．y＝4x2 C． D． 【分析】根据一次函数（形式为y＝kx+b，k≠0）和正比例函数（b＝0）的定义，逐一验证各选项是否符合“一次函数但b≠0”的条件． 【解答】解：y＝﹣4x是正比例函数，不符合要求； y＝4x2是二次函数，不符合要求； 是一次函数但不是正比例函数，符合要求； ，即y＝5﹣3x﹣1，x的次数为﹣1，不是一次函数，不符合要求， 故选：C． 【变式1-2】（2026春•普陀区校级期中）函数①y＝kx+b；②y＝3x；③；④；⑤y＝x2﹣2x+1．其中是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据一次函数的定义进行选择． 【解答】解：①y＝kx+b中未说明k≠0，因此不一定是一次函数，不符合题意； ②y＝3x，符合y＝kx+b（k＝3≠0，b＝0）的形式，是一次函数，符合题意； ③的自变量在分母上，不符合一次函数定义，不是一次函数，不符合题意； ④，符合y＝kx+b（，b＝3）的形式，是一次函数，符合题意； ⑤y＝x2﹣2x+1中自变量x的最高次数为2，不是一次函数，不符合题意． 综上，一次函数共有2个． 故选：B． 【变式1-3】（2026春•沂水县期末）下列用表格表示的变量关系中，y是x的一次函数的是（　　） A． x … 1 2 3 4 … y … 8 6 6 8 … B． x … 1 2 3 4 … y … 12 10 7 3 … C． x … 1 2 3 4 … y … ﹣3 ﹣6 ﹣11 ﹣12 … D． x … 1 2 3 4 … y … ﹣12 ﹣9 ﹣6 ﹣3 … 【分析】根据一次函数需满足y随x的变化量的比值恒定，即x每增加1，y的变化量相同，据此逐项判断即可得． 【解答】解：A、由表格中的数据可知，y随x的增大先减小、再不变、然后增大，变化不均匀，不满足一次函数的定义，y不是x的一次函数，不符合题意； B、由表格中的数据可知，y随x的增大而减小，但变化不均匀，y不是x的一次函数，不符合题意； C、由表格中的数据可知，y随x的增大而减小，但变化不均匀，y不是x的一次函数，不符合题意； D、由表格中的数据可知，y随x的增大而增大，且自变量每增加1，函数值增大3，变化均匀，y是x的一次函数，符合题意； 故选：D． ▌题型04 由一次函数的定义求参数 1. 的次数等于； 2. 一次项系数； 3. 常数项不用限制； 4. 解方程，舍去使的解。 【典例1】（2026春•西丰县期末）已知函数是关于x的一次函数，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．4 【分析】根据一次函数的定义即可作答． 【解答】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴m﹣2≠0且m2﹣3＝1 解得m＝﹣2， 故选：A． 【变式1-1】（2026春•浦东新区校级期中）若函数y＝kx+2（x﹣1）是关于x的一次函数，那么k的取值范围是k≠﹣2　 ． 【分析】先将给定函数整理为一次函数的一般形式，再根据一次函数的定义，要求一次项系数不为0，列不等式求出k的取值范围即可． 【解答】解：根据题意可知，y＝kx+2（x﹣1）＝（k+2）x﹣2， ∵函数是关于x的一次函数， ∴k+2≠0， 解得：k≠﹣2． 故答案为：k≠﹣2． 【变式1-2】（2026春•香坊区校级期末）若函数y＝（m﹣1）x|m|﹣3是一次函数，则m的值为　﹣1　 ． 【分析】根据一次函数的定义得到m﹣1≠0，|m|＝1，进而可知m的值． 【解答】解：由题意得，m﹣1≠0且|m|＝1， 解得：m≠1且m＝±1， ∴m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【变式1-3】（2025秋•淄博校级月考）已知函数y＝（4﹣2m）x|m﹣1|+（n+3）． （1）m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ （2）m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ 【分析】（1）根据一次函数的定义可得|m﹣1|＝1且4﹣2m≠0，求解即可获得答案； （2）根据正比例函数的定义可得|m﹣1|＝1且4﹣2m≠0，且n+3＝0，求解即可获得答案． 【解答】解：（1）∵y是x的一次函数， ∴|m﹣1|＝1且4﹣2m≠0， ∴m＝0， ∴当m＝0时函数y＝（4﹣2m）x|m﹣1|+（n+3）是一次函数； （2）∵y是x的正比例函数， ∴|m﹣1|＝1且4﹣2m≠0且n+3＝0， 由|m﹣1|＝1得m﹣1＝±1， ∴m＝0或m＝2， 由4﹣2m≠0得m≠2， 由n+3＝0得n＝﹣3， ∴当m＝0、n＝﹣3时，函数y＝（4﹣2m）x|m﹣1|+（n+3）是正比例函数． ▌题型05 待定系数法求解析式 1.设所求的一次函数表达式为y＝kx+b，其中k、b是待确定的常数，k≠0。 2.把两对已知的自变量与对应的函数值分别代入y＝kx+b，得到关于k、b的二元一次方程组。 3.解这个关于k、b的二元一次方程组，求出k、b的值。 4.把求得的k、b的值代人y＝kx+b，就得到所求的一次函数表达式。 【典例1】（2026春•澧县期末）已知一次函数的图象经过点A（﹣2，﹣1）、B（1，5），则此函数的解析式为（　　） A．y＝x+1 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣1 D．y＝﹣2x﹣5 【分析】利用待定系数法把A（﹣2，﹣1）和点B（1，5），代入一次函数y＝kx+b，可得到一个关于k、b的方程组，再解方程组即可得到k、b的值，然后即可得到一次函数的解析式． 【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b， 把A（﹣2，﹣1），B（1，5）代入得， ， 解得： 所以一次函数解析式为y＝2x+3， 故选：B． 【变式1-1】（2025秋•拱墅区期末）在平面直角坐标系中，已知点（1，3）与（2，4）在直线l上，则直线l必经过（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，﹣2） C．（6，3） D．（6，8） 【分析】根据点的坐标特征和待定系数法确定一次函数关系式，再进行判断． 【解答】解：设直线l的解析式为：y＝kx+b（k≠0）， ∵点（1，3）与（2，4）在直线l上， ∴， 解得， ∴直线l的解析式为：y＝x+2， 将四个选项代入，可知D符合要求． 故选：D． 【变式1-2】（2026春•滨海新区校级期末）已知直线l经过（﹣2，0）和（0，﹣3），把直线l沿y轴向上平移3个单位得到直线l′，则直线l′的解析式为　　 ． 【分析】先求出原直线l的解析式，再根据平移规律即可得到直线l′的解析式． 【解答】解：设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵直线l经过（﹣2，0）和（0，﹣3）， ∴， 解得， ∴直线l的解析式为， 将直线l沿y轴向上平移3个单位，得到直线l′的解析式为：． 故答案为：yx． 【变式1-3】（2026春•赫山区期末）已知一次函数的图象过点（1，﹣1），（﹣1，2）． （1）求这个函数的解析式； （2）求当x＝2时的函数值． 【分析】（1）已知函数经过点（1，﹣1）、（﹣1，2），根据待定系数法就可以求出函数解析式， （2）将x＝2代入（1）中函数解析式，计算可得． 【解答】解：（1）设这个函数解析式为：y＝kx+b， 将（1，﹣1），（﹣1，2）代入， 得：， 解得：， 故这个函数解析式为：yx； （2）在函数yx中， 当x＝2时，y2． ▌题型06 求一次函数自变量或函数值 1. 已知自变量，求函数值：代入计算； （1）把给定的值代入解析式； （2）按照有理数运算计算，得到。 2. 已知函数值，求自变量：列方程求解； （1）将的数值代入函数式，得到一元一次方程； （2） 解方程求出。 【典例1】（2026•南京一模）变量y与x之间的关系式是，当自变量x＝2时，因变量y的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1 【分析】直接把x＝2代入中进行求解即可． 【解答】解：在中，当x＝2时，， 故选：C． 【变式1-1】（2026春•金平区期末）已知y是x的正比例函数，且当x＝2时，y＝﹣6，则当x＝﹣3时，y的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣9 【分析】设正比例函数为y＝kx（k≠0），将x＝2，y＝﹣6代入求得k的值，然后将x＝﹣3代入函数解析式求得对应的y的值即可． 【解答】解：已知y是x的正比例函数， 设y＝kx（k≠0）， ∵当x＝2时，y＝﹣6， ∴2k＝﹣6， 解得：k＝﹣3， 则y＝﹣3x， 当x＝﹣3时， y＝﹣3×（﹣3）＝9， 故选：C． 【变式1-2】已知函数，当y＝3时，x＝　4　 ． 【分析】把y＝3代入解析式，解方程即可． 【解答】解：当y＝3时，x＝3， 解得x＝4， 故答案为：4． 【变式1-3】（2026•兴庆区校级三模）根据如图所示的计算程序计算变量y的值，若输入m＝3，n＝2时，则输出y的值是 　4　 ． 【分析】判断m与n的大小关系，确定计算程序计算哪个函数的值，将对应变量代入这个函数并计算即可． 【解答】解：∵m＝3，n＝2， ∴m＞n， ∴y＝3n﹣2＝3×2﹣2＝4， ∴输出y的值是4． 故答案为：4． ▌题型07 点在直线上 一次函数直线是无数个点的集合。如果一个点在这条直线上，那么这个点的横坐标、纵坐标就一定满足直线解析式；反过来，坐标满足解析式的点，一定在这条直线上。 1. 判断点是否在直线上 （1） 取出点横坐标、纵坐标； （2） 将代入解析式，算出对应的函数值； （3） 对比算出的y与点的实际纵坐标；相等则在直线上，不等则不在。 2. 已知点在直线上，求解析式中的参数 （1）将点代入解析式； （2）得到关于字母参数的一元一次方程； （3）解方程求出参数。 【典例1】（2025秋•金安区校级期末）已知y﹣2与x+1成正比例，当x＝1时，y＝4． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点P（﹣6，m+4）在该函数图象上，求m的值． 【分析】（1）根据题意设出函数解析式，把当x＝1时，y＝4代入解析式，便可求出未知数k的值，从而求出其解析式． （2）把点P（﹣6，m+4）代入即可求得m的值． 【解答】解：（1）由题意可得y﹣2＝k（x+1），把当x＝1时，y＝4代入得：4﹣2＝k（1+1）， 解得k＝1， 所以y﹣2＝x+1， 故一次函数的解析式为y＝x+3； （2）∵点（﹣6，m+4）在这个函数的图象上， m+4＝﹣6+3， 解得m＝﹣7． 【变式1-1】（2026春•盐城校级月考）已知y﹣3与x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣1． （1）求y关于x的函数表达式； （2）判断点A（﹣1，6）是否在函数的图象上，并说明理由． 【分析】（1）根据正比例关系设出函数表达式，利用给定点求比例系数，得到函数解析式； （2）将x＝﹣1代入（1）中的解析式，即可求解． 【解答】解：（1）设y﹣3＝kx（k为比例常数）， 将x＝2，y＝﹣1，代入得﹣1﹣3＝k•2，即﹣4＝2k， 解得k＝﹣2， ∴y﹣3＝﹣2x， ∴y＝﹣2x+3． （2）点A（﹣1，6）不在函数图象上． 理由：由（1）知函数表达式为y＝﹣2x+3， 当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）+3＝5， ∵5≠6， ∴点A（﹣1，6）不在函数图象上． 【变式1-2】（2026春•开福区校级月考）已知：y﹣3与x+1成正比例，且x＝2时，y＝6． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点（a，2）在这个函数的图象上，求a的值． 【分析】（1）根据待定系数法即可求得答案； （2）将点（a，2）代入y＝x+4求解即可． 【解答】解：（1）设y﹣3＝k（x+1），即y＝kx+k+3， 把x＝2，y＝6代入得2k+k+3＝6， 解得k＝1， 所以y与x的函数表达式为y＝x+4； （2）将点（a，2）代入y＝x+4得2＝a+4， 解得a＝﹣2． 【变式1-3】（2025秋•瑶海区期末）已知y﹣3与x成正比例，且当x＝1时，y＝6． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）若点（a，4）在这个函数图象上，求a的值． 【分析】（1）根据题意可，可设y﹣3＝kx（k≠0），将x＝1，y＝6代入求解，即可获得答案； （2）将点（a，4）代入函数y＝3x+3，求解即可． 【解答】解：（1）∵y﹣3与x成正比例， ∴设y﹣3＝kx（k≠0）， 将x＝1，y＝6代入，可得6﹣3＝k， 解得k＝3， ∴y与x之间的函数解析式y＝3x+3； （2）将点（a，4）代入函数y＝3x+3， 可得4＝3a+3， 解得：， ∴a的值为． ▌题型08 一次函数的平移 直线平移属于图形整体平移，直线倾斜程度不变，因此斜率保持不变，只有常数项发生改变。可以转化为点的平移：直线上所有点按照相同方向、相同距离移动，得到新直线。 口诀：上加下减常数项，左加右减自变量 已知原直线： 1. 上下平移（针对整个函数值，改变） - 向上平移个单位： - 向下平移个单位： 2. 左右平移（针对，只给做加减，注意加括号） - 向左平移个单位： - 向右平移个单位： 【典例1】（2025秋•左权县期末）如图，将直线向下平移后得到直线AB，点A的坐标为（﹣3，0），则直线AB的函数表达式为　　 ． 【分析】设直线AB的函数表达式为，代入A（﹣3，0）到函数表达式求出b的值，即可求解． 【解答】解：设直线AB的函数表达式为， ∵直线过点A（﹣3，0）得， ∴， 解得， ∴直线AB的函数表达式为． 故答案为：． 【变式1-1】（2025秋•阜宁县期末）将一次函数y＝3x﹣5的图象向下平移4个单位后，所得到的图象对应的函数表达式为y＝3x﹣9　 ． 【分析】直接利用一次函数平移规律，“上加下减”得出即可． 【解答】解：由题意得，平移后所得图象对应的函数表达式为：y＝3x﹣5﹣4，即y＝3x﹣9． 故答案为：y＝3x﹣9． 【变式1-2】（2025秋•连云港期末）将一次函数y＝﹣x+2的图象向下平移　7　 个单位长度后，恰好经过点（﹣3，﹣2）． 【分析】依据题意，设将一次函数y＝﹣x+2的图象向下平移b个单位长度后，恰好经过点（﹣3，﹣2），则平移后的解析式为y＝﹣x+2﹣b，又过（﹣3，﹣2），从而3+2﹣b＝﹣2，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，设将一次函数y＝﹣x+2的图象向下平移b个单位长度后，恰好经过点（﹣3，﹣2）， ∴平移后的解析式为y＝﹣x+2﹣b． 又∵过（﹣3，﹣2）， ∴3+2﹣b＝﹣2． ∴b＝7． 故答案为：7． 【变式1-3】（2026春•文山市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B（0，﹣2）． （1）求直线AB的解析式． （2）将直线AB向上平移5个单位长度得到直线CD，直线CD与x轴交于点C，与y轴交于点D，求线段CD的长． （3）直线AB上是否存在一点P，使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）直接根据待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的平移规律得到直线CD的解析式，得到D（0，3），C（3，0），进而根据两点间的距离公式计算即可； （3）设P（a，﹣a﹣2），根据两点间的距离公式求出CD2＝18，CP2＝（a﹣3）2+（a+2）2，DP2＝a2+（a+5）2，分∠PDC＝90°、∠PCD＝90°两种情况列方程求解即可． 【解答】解：（1）直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2； （2）∵将直线AB向上平移5个单位长度得到直线CD， ∴直线CD的解析式为y＝﹣x﹣2+5＝﹣x+3， 当y＝0时，得：﹣x+3＝0， 解得：x＝3； 当x＝0时，得：y＝3， ∴C（3，0），D（0，3）， ∴； （3）直线AB上存在一点P，使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形；理由如下： ∵， ∴CD2＝18， 设P（a，﹣a﹣2）， ∵C（3，0），D（0，3）， ∴CP2＝（a﹣3）2+（﹣a﹣2﹣0）2＝（a﹣3）2+（a+2）2，DP2＝（a﹣0）2+（﹣a﹣2﹣3）2＝a2+（a+5）2， 当∠PDC＝90°时，由勾股定理得：PD2+CD2＝PC2， 即a2+（a+5）2+18＝（a﹣3）2+（a+2）2， 解得：； ∴； 当∠PCD＝90°时，由勾股定理得：PC2+CD2＝PD2， 即（a﹣3）2+（a+2）2+18＝a2+（a+5）2， 解得：， ∴， 综上所述，直线AB上存在一点P，使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形；或． ▌题型09 阶梯水费问题 为节约用水，水费分多档计价：用水量在第一档，低价；超出部分，按更高单价计费。只有超出的部分执行高价，不是全部水量按高价，由此形成分段函数。 设用水量吨，水费元。 以两档举例： ①：全部按一档单价； ②：前吨按一档单价，超过的部分按二档单价。 第一档最大费用+超出水量×第二档单价 三档阶梯同理，依次累加前面所有档位的总费用，只对本档超出部分用本档单价。 【典例1】（2025秋•兴庆区校级期末）某城市自来水实行阶梯水价，收费标准如下表所示（超出的部分单独计算）： 月用水量/m3 x≤10 10＜x≤20 x＞20 收费标准/（元/m3） 2 2.5 3 当用水量超过10m3但不超过20m3时，写出应交水费y（元）与月用水量x（m3）之间的关系式y＝2.5x﹣5　 ． 【分析】由表格列出函数关系式y＝2×10+2.5（x﹣10）即可． 【解答】解：当10＜x≤20时，y＝2×10+2.5（x﹣10）＝2.5x﹣5， 故答案为：y＝2.5x﹣5． 【变式1-1】（2025秋•秦都区期末）我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨1.5元，超过6吨时，超过的部分按每吨2.2元收费．该市某户居民12月份用水x吨，应交水费y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）如果该户居民12月交水费20元，那么该户居民12月用了多少吨水？ 【分析】（1）分0≤x≤6和x＞6两种情况，根据所给收费标准列出对应的函数关系式即可； （2）可求出该户居民12月的用水量超过6吨，把y＝20代入y＝2.2x﹣4.2中求出x的值即可得到答案． 【解答】解：（1）当0≤x≤6时，y＝1.5x， 当x＞6时，y＝1.5×6+2.2（x﹣6）＝2.2x﹣4.2， 综上所述，； （2）∵1.5×6＝9＜20， ∴该户居民12月的用水量超过6吨， 在y＝2.2x﹣4.2中， 当y＝20时，2.2x﹣4.2＝20， 解得x＝11， 答：该户居民 12月用了11吨水． 【变式1-2】（2026春•平凉期末）某市为了加强公民节水意识，某市制定了如下用水收费标准．每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨2.2元：超过10吨时，超过的部分按每吨3元收费，现有某户居民7月份用水x吨（x＞10），应交水费y元，则求： （1）应交水费y与用水量x的关系式； （2）若小强家里本月缴水费67元，请问小强家里用水多少吨？ 【分析】（1）应交水费y＝10吨的水费+超过10吨的水费，依此列式即可． （2）将y＝67代入关系式，即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意得，y＝2.2×10+（x﹣10）×3＝3x﹣8， 答：应交水费y与用水量x的关系式为：y＝3x﹣8． （2）当y＝67时，3x﹣8＝67， 解得，x＝25， 答：小明家里用水25吨． 【变式1-3】（2026•灞桥区校级四模）为响应节约用水号召，西安市自来水公司执行三级阶梯水价制度，具体收费标准如下： 每月用水量（吨） 收费标准（元/吨） 不超过12吨 3.5 超过12吨但不超过20吨的部分 6 超过20吨的部分 8.3 （1）若小滨家一个月用水量为x吨（x＞12），需缴纳水费y元，求y与x的函数关系式； （2）若小滨家3月份的水费账单为131.5元，求小滨家3月份的用水量． 【分析】（1）按x的取值分两段：12＜x≤20和x＞20，分别按阶梯单价计算水费，整理得分段函数； （2）先算20吨水费，判断131.5元超20吨，代入对应函数式解方程，得用水量． 【解答】解：（1）当12＜x≤20时：y＝12×3.5+6（x﹣12）＝42+6x﹣72＝6x﹣30， 当x＞20时：y＝12×3.5+（20﹣12）×6+8.3（x﹣20）＝42+48+8.3x﹣166＝8.3x﹣76， 综上，函数关系式为：y； （2）12吨水费：12×3.5＝42元， 20吨水费：42+（20﹣12）×6＝90元， 已知水费131.5元＞90元，说明用水量超过20吨，代入y＝8.3x﹣76， 即8.3x﹣76＝131.5， 解得x＝25， 答：小滨家3月份用水量为25吨． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题41 一次函数的意义 （题型突破·举一反三） 题型01 正比例函数的概念 题型02 由正比例函数的概念求参数 题型03 识别一次函数 题型04 由一次函数的定义求参数 题型05 待定系数法求解析式 题型06 求一次函数的自变量或函数值 题型07 点在直线上 题型08 一次函数的平移 题型09 阶梯水费问题 ▌题型01 正比例函数的概念 一般地，形如y＝kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数。 满足三个条件才是正比例函数： 1. 函数解析式为整式； 2. 自变量的次数等于； 3. 常数项为，且系数k≠0。 【典例1】（2026春•城厢区校级期末）下列函数中是正比例函数的是（　　） A．y＝﹣7x B． C．y＝x+1 D．y＝kx 【变式1-1】（2025秋•任城区期末）下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝4x﹣1 B．y＝5x2 C． D．y＝﹣6x 【变式1-2】（2026春•金山区期末）下列函数中，是正比例函数的是（　　） A． B．y＝x2﹣1 C． D．y＝﹣2x+2 【变式1-3】（2025秋•徐州月考）下列说法正确的是　 　 ．（填序号） ①正比例函数一定是一次函数； ②一次函数一定是正比例函数； ③若y﹣1与x成正比例，则y是x的一次函数； ④若y＝kx+b，则y是x的一次函数． ▌题型02 由正比例函数的概念求参数 1. 自变量次数等于； 2. 常数项等于； 3. 比例系数不等于； 4. 联立条件解方程，舍去使的解。 【典例1】（2026春•仓山区校级期末）如果y＝x+a是正比例函数，则a的值是（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2 【变式1-1】（2026春•呼图壁县期末）规定：[k，b]是一次函数y＝kx+b（k、b为实数，k≠0）的“特征数”．若“特征数”是[4，m﹣4]的一次函数是正比例函数，则点（2+m，2﹣m）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-2】（2026春•浦东新区期末）若函数是正比例函数，则m的值为　 　 ． 【变式1-3】（2026春•汨罗市校级期中）已知函数．当为何值时，是的正比例函数？ ▌题型03 识别一次函数 一般地，形如y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数，正比例函数是特殊的一次函数。 判定一次函数三个必备条件： 1. 解析式为整式； 2. 自变量的次数为； 3. 一次项系数；无限制，可以为任意常数。 【典例1】（2026春•辽阳校级期末）下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B．y＝x2﹣2 C．y＝﹣2x D．y＝kx+b 【变式1-1】（2026春•周口校级期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（　　） A．y＝﹣4x B．y＝4x2 C． D． 【变式1-2】（2026春•普陀区校级期中）函数①y＝kx+b；②y＝3x；③；④；⑤y＝x2﹣2x+1．其中是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（2026春•沂水县期末）下列用表格表示的变量关系中，y是x的一次函数的是（　　） A． x … 1 2 3 4 … y … 8 6 6 8 … B． x … 1 2 3 4 … y … 12 10 7 3 … C． x … 1 2 3 4 … y … ﹣3 ﹣6 ﹣11 ﹣12 … D． x … 1 2 3 4 … y … ﹣12 ﹣9 ﹣6 ﹣3 … ▌题型04 由一次函数的定义求参数 1. 的次数等于； 2. 一次项系数； 3. 常数项不用限制； 4. 解方程，舍去使的解。 【典例1】（2026春•西丰县期末）已知函数是关于x的一次函数，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．4 【变式1-1】（2026春•浦东新区校级期中）若函数y＝kx+2（x﹣1）是关于x的一次函数，那么k的取值范围是　 　 ． 【变式1-2】（2026春•香坊区校级期末）若函数y＝（m﹣1）x|m|﹣3是一次函数，则m的值为　 　 ． 【变式1-3】（2025秋•淄博校级月考）已知函数y＝（4﹣2m）x|m﹣1|+（n+3）． （1）m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ （2）m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ ▌题型05 待定系数法求解析式 1.设所求的一次函数表达式为y＝kx+b，其中k、b是待确定的常数，k≠0。 2.把两对已知的自变量与对应的函数值分别代入y＝kx+b，得到关于k、b的二元一次方程组。 3.解这个关于k、b的二元一次方程组，求出k、b的值。 4.把求得的k、b的值代人y＝kx+b，就得到所求的一次函数表达式。 【典例1】（2026春•澧县期末）已知一次函数的图象经过点A（﹣2，﹣1）、B（1，5），则此函数的解析式为（　　） A．y＝x+1 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣1 D．y＝﹣2x﹣5 【变式1-1】（2025秋•拱墅区期末）在平面直角坐标系中，已知点（1，3）与（2，4）在直线l上，则直线l必经过（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，﹣2） C．（6，3） D．（6，8） 【变式1-2】（2026春•滨海新区校级期末）已知直线l经过（﹣2，0）和（0，﹣3），把直线l沿y轴向上平移3个单位得到直线l′，则直线l′的解析式为　 　 ． 【变式1-3】（2026春•赫山区期末）已知一次函数的图象过点（1，﹣1），（﹣1，2）． （1）求这个函数的解析式； （2）求当x＝2时的函数值． ▌题型06 求一次函数自变量或函数值 1. 已知自变量，求函数值：代入计算； （1）把给定的值代入解析式； （2）按照有理数运算计算，得到。 2. 已知函数值，求自变量：列方程求解； （1）将的数值代入函数式，得到一元一次方程； （2） 解方程求出。 【典例1】（2026•南京一模）变量y与x之间的关系式是，当自变量x＝2时，因变量y的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1 【变式1-1】（2026春•金平区期末）已知y是x的正比例函数，且当x＝2时，y＝﹣6，则当x＝﹣3时，y的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣9 【变式1-2】已知函数，当y＝3时，x＝　 　 ． 【变式1-3】（2026•兴庆区校级三模）根据如图所示的计算程序计算变量y的值，若输入m＝3，n＝2时，则输出y的值是 　 　 ． ▌题型07 点在直线上 一次函数直线是无数个点的集合。如果一个点在这条直线上，那么这个点的横坐标、纵坐标就一定满足直线解析式；反过来，坐标满足解析式的点，一定在这条直线上。 1. 判断点是否在直线上 （1） 取出点横坐标、纵坐标； （2） 将代入解析式，算出对应的函数值； （3） 对比算出的y与点的实际纵坐标；相等则在直线上，不等则不在。 2. 已知点在直线上，求解析式中的参数 （1）将点代入解析式； （2）得到关于字母参数的一元一次方程； （3）解方程求出参数。 【典例1】（2025秋•金安区校级期末）已知y﹣2与x+1成正比例，当x＝1时，y＝4． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点P（﹣6，m+4）在该函数图象上，求m的值． 【变式1-1】（2026春•盐城校级月考）已知y﹣3与x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣1． （1）求y关于x的函数表达式； （2）判断点A（﹣1，6）是否在函数的图象上，并说明理由． 【变式1-2】（2026春•开福区校级月考）已知：y﹣3与x+1成正比例，且x＝2时，y＝6． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点（a，2）在这个函数的图象上，求a的值． 【变式1-3】（2025秋•瑶海区期末）已知y﹣3与x成正比例，且当x＝1时，y＝6． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）若点（a，4）在这个函数图象上，求a的值． ▌题型08 一次函数的平移 直线平移属于图形整体平移，直线倾斜程度不变，因此斜率保持不变，只有常数项发生改变。可以转化为点的平移：直线上所有点按照相同方向、相同距离移动，得到新直线。 口诀：上加下减常数项，左加右减自变量 已知原直线： 1. 上下平移（针对整个函数值，改变） - 向上平移个单位： - 向下平移个单位： 2. 左右平移（针对，只给做加减，注意加括号） - 向左平移个单位： - 向右平移个单位： 【典例1】（2025秋•左权县期末）如图，将直线向下平移后得到直线AB，点A的坐标为（﹣3，0），则直线AB的函数表达式为　 　 ． 【变式1-1】（2025秋•阜宁县期末）将一次函数y＝3x﹣5的图象向下平移4个单位后，所得到的图象对应的函数表达式为　 　． 【变式1-2】（2025秋•连云港期末）将一次函数y＝﹣x+2的图象向下平移　 　 个单位长度后，恰好经过点（﹣3，﹣2）． 【变式1-3】（2026春•文山市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B（0，﹣2）． （1）求直线AB的解析式． （2）将直线AB向上平移5个单位长度得到直线CD，直线CD与x轴交于点C，与y轴交于点D，求线段CD的长． （3）直线AB上是否存在一点P，使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ▌题型09 阶梯水费问题 为节约用水，水费分多档计价：用水量在第一档，低价；超出部分，按更高单价计费。只有超出的部分执行高价，不是全部水量按高价，由此形成分段函数。 设用水量吨，水费元。 以两档举例： ①：全部按一档单价； ②：前吨按一档单价，超过的部分按二档单价。 第一档最大费用+超出水量×第二档单价 三档阶梯同理，依次累加前面所有档位的总费用，只对本档超出部分用本档单价。 【典例1】（2025秋•兴庆区校级期末）某城市自来水实行阶梯水价，收费标准如下表所示（超出的部分单独计算）： 月用水量/m3 x≤10 10＜x≤20 x＞20 收费标准/（元/m3） 2 2.5 3 当用水量超过10m3但不超过20m3时，写出应交水费y（元）与月用水量x（m3）之间的关系式　 　． 【变式1-1】（2025秋•秦都区期末）我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨1.5元，超过6吨时，超过的部分按每吨2.2元收费．该市某户居民12月份用水x吨，应交水费y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）如果该户居民12月交水费20元，那么该户居民12月用了多少吨水？ 【变式1-2】（2026春•平凉期末）某市为了加强公民节水意识，某市制定了如下用水收费标准．每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨2.2元：超过10吨时，超过的部分按每吨3元收费，现有某户居民7月份用水x吨（x＞10），应交水费y元，则求： （1）应交水费y与用水量x的关系式； （2）若小强家里本月缴水费67元，请问小强家里用水多少吨？ 【变式1-3】（2026•灞桥区校级四模）为响应节约用水号召，西安市自来水公司执行三级阶梯水价制度，具体收费标准如下： 每月用水量（吨） 收费标准（元/吨） 不超过12吨 3.5 超过12吨但不超过20吨的部分 6 超过20吨的部分 8.3 （1）若小滨家一个月用水量为x吨（x＞12），需缴纳水费y元，求y与x的函数关系式； （2）若小滨家3月份的水费账单为131.5元，求小滨家3月份的用水量． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $