2026年山东省青岛市中考数学试卷

**基本信息** 立足青岛中考要求，以“一维带电畴壁”科技前沿、乡村振兴企业生产等真实情境为载体，通过小正方形排列探究等梯度问题，考查抽象能力、推理意识与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9/27|绝对值、轴对称图形、三视图等基础概念|第4题结合科学记数法呈现科技情境，体现数学眼光| |填空题|6/18|整式运算、坐标变换、二次函数等|第15题“伴点”概念创新，考查抽象与推理能力| |作图题|1/4|角平分线与垂线作图|融合几何直观与空间观念| |解答题|9/71|函数应用、几何综合、统计分析等|23题分层探究小正方形排列，24题用二次函数模型解决利润问题，体现应用意识与推理能力|

2026年山东省青岛市中考数学试卷 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1．（3分）·【易】的绝对值为（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 2．（3分）·【易】下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）·【易】如图是由5个大小相同的小立方方块搭成的几何体，其左视图是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）·【易】我国科研团队首次在三维晶体中发现并操控“一维带电畴壁”，为下一代超高密度存储与人工智能芯片奠定了科学基础．“一维带电畴壁”厚度约为2.55埃米，相当于0.000000000255米，将0.000000000255用科学记数法表示为（　　） A．0.255×10﹣9 B．2.55×10﹣9 C．2.55×10﹣10 D．25.5×10﹣11 5．（3分）·【较易】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）·【较易】为提升学生体质健康水平，学校开展了丰富多彩的体育活动．甲、乙两名同学进行了定点投篮练习，每人每次定点投篮5个，最近10次练习的数据如图所示．甲、乙两名同学这10次练习投中个数的平均数分别记为和，方差分别记为s甲2和s乙2．下列结论正确的是（　　） A．s甲2＞s乙2 B．s甲2＜s乙2 C． D． 7．（3分）·【较易】如图，AD是⊙O的直径，B，C，E是⊙O上的三点，∠B＝112°，则∠E的度数为（　　） A．20° B．22° C．30° D．32° 8．（3分）·【较易】张老师去书店购买图书，他先用108元买了一种史学书若干本，又用150元买了一种哲学书若干本．已知所买史学书的单价是哲学书单价的1.2倍，张老师所买史学书比哲学书少2本．设这种哲学书的单价为x元，根据题意可列分式方程为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）·【较难】如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AD边上一点，将△ABE沿BE所在直线折叠得到△HBE，DH的延长线交BC于点F．若∠DEH＝60°，则FC的长为（　　） A． B．1 C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10．（3分）·【易】计算：（﹣2a3b）2＝　 　 ． 11．（3分）·【较易】在平面直角坐标系中，将点A（﹣5，2）先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标为　 　 ． 12．（3分）·【较易】若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是　 　 ． 13．（3分）·【较易】如图，点O是正五边形ABCDE的中心，DF∥OE，EF∥OD，连接OF，则∠OFD的度数为　 　 °． 14．（3分）·【较易】如图，PA是⊙O的切线，A是切点，过点A作OP的平行线，交⊙O于点B，若OB＝3，∠APO＝36°，则图中阴影部分的面积为　 　 （结果保留π）． 15．（3分）·【中档】我们约定：在平面直角坐标系中，点P（a，b）的“伴点”是点Q（﹣b，a）（其中a，b不同时为0）．例如，点（3，2）的“伴点”是点（﹣2，3）．下列结论：①点（﹣5，1）的“伴点”是点（﹣1，﹣5）；②存在点P（a，b），使点P与它的“伴点”均在反比例函数的图象上；③存在点P（a，b），使点P与它的“伴点”均在一次函数y＝3x+2的图象上；④有且只有一个点P（a，b），使点P与它的“伴点”均在二次函数y＝2x2﹣3的图象上．正确的是　 　 （填写序号）． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。 16．（4分）·【较易】已知：如图，△ABC． 求作：Rt△ADE，使∠AED＝90°，点D，E分别在边BC，AB上，且点D到边AB，AC的距离相等． 四、解答题（本大题共9小题，共71分） 17．（8分）·【较易】（1）解不等式组：； （2）计算：1． 18．（6分）·【较易】小明和小颖都想去参观非遗剪纸展览，但只有一张门票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去参观展览．游戏规则如下：A盒中装有2个白球和1个红球，B盒中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．小明从A盒中随机摸出一个球，小颖从B盒中随机摸出一个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明获胜；若摸出的两个球颜色不同，则小颖获胜． 请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，并说明这个游戏是否公平． 19．（6分）·【中档】为了解学生在阅览室的阅读情况，某校随机抽取了部分学生，并对他们在阅览室的一周阅览时长进行了收集、整理和描述．所抽取学生在阅览室的一周阅览时长t（单位：小时）均不高于4小时． 【收集数据】 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长如下： 0.6，0.8，0.9，1.0，1.2，1.2，1.3，1.4，1.4，1.4， 1.6，1.6，2.1，2.2，2.2，2.3，2.3，2.4，2.4，2.5， 2.6，2.6，2.6，2.6，2.6，2.7，2.7，2.8，2.8，2.8， 3.0，3.1，3.2，3.3，3.3，3.5，3.7，3.7，3.8，3.8． 【整理数据】 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的不完整统计表如下： 分组 A组（0≤t＜1） B组（1≤t＜2） C组（2≤t＜3） D组（3≤t≤4） 人数 3 a 18 10 【描述数据】 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的不完整统计图表如下： 根据以上信息，解决下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的众数为　 　 小时；所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的中位数为　 　 小时； （3）扇形统计图中，A组所对应的扇形圆心角度数为　 　 ℃； （4）该校共有600名学生，请估计该校在阅览室的一周阅览时长不低于2小时的学生人数． 20．（6分）·【中档】如图是某公园的部分平面示意图．环湖观景路线由木栈道AB和圆弧形观景步道组成，D，E分别表示观景亭和喷泉，点A，E，C在同一直线上，且点E是所在圆的圆心，BE⊥AC，AB＝50米．在A处测得∠BAC＝53°，∠CAD＝16°，在C处测得∠ACD＝90°，求C，D两点间的距离（结果精确到0.1米）． （参考数据：sin53°，cos53°，tan53°，sin16°，cos16°，tan16°） 21．（8分）·【较难】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，A，C分别在x轴，y轴上，B在反比例函数y1（x＞0）的图象上，将矩形OABC绕原点O按顺时针方向旋转90°，得到矩形OA1B1C1，CA1＝5，C1A＝3，直线y2＝ax+b经过点A1，B． （1）求点B的坐标； （2）求直线A1B与x轴的交点D的坐标； （3）根据图象，直接写出当0＜y2＜y1时x的取值范围． 22．（8分）·【中档】已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，F是BC的中点，过点B作EC的平行线，交EF的延长线于点G． （1）求证：△BFG≌△CFE； （2）若∠A＝90°，请判断四边形BGCE的形状，并证明你的结论． 23．（9分）·【较难】探究一：如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝10．在该三角形内部排列边长为1.2的小正方形（小正方形完全在三角形内部，互不重叠，且一边与BC平行），最多能排列多少个小正方形？我们不妨这样思考： 如图②，排列第一层时，因为EB＝1.2，所以AE＝4﹣1.2＝2.8，易得△AEF∽△ABC，所以，解得EF＝7．因为7÷1.2＝5，所以第一层最多排列5个； 如图③，排列第二层时，因为GB＝2.4，所以AG＝4﹣2.4＝1.6，易得△AGH∽△ABC，所以，解得GH＝4．因为4÷1.2＝3，所以第二层最多排列3个． （1）按上述思路，可求得在Rt△ABC内部能排列的小正方形个数最多为　 　 个； 探究二：如图④，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝4，BC＝10，CD＝2.4．在该梯形内部排列边长为1.2的小正方形（小正方形完全在梯形内部，互不重叠，且一边与BC平行）． （2）在梯形ABCD内部能排列的小正方形个数最多为　 　 个； 探究三：如图⑤，在五边形ABCJK中，AB∥CJ，AK∥BC，∠B＝90°，AB＝4，BC＝10，CJ＝1.2，AK＝3.6，在该五边形内部排列边长为1.2的小正方形（小正方形完全在五边形内部，互不重叠，且一边与BC平行）． （3）在五边形ABCJK内部能排列的小正方形个数最多为　 　 个． 24．（10分）·【中档】某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本y（万元）与产量x（万件）之间将近似满足二次函数关系y＝﹣x2+bx+c（13≤x≤24），部分数据见表： 产量x（万件） … 15 18 20 … 总成本y（万元） … 285 336 360 … （总利润＝总销售额﹣总成本） （1）求投产第一年该产品的总成本y与产量x之间的函数关系式； （2）投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ （3）投产第一年，如果该产品每件售价为m元时，总利润会随着产量x的增大而增大，则m的最小值是多少？ 25．（10分）·【难】如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm；动点P从点B开始沿对角线BD以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿边CD以cm/s的速度运动．BD与AQ相交于点E，PF是△APQ的中线，连接BQ．点P和点Q同时出发，设动点的运动时间为ts（0＜t． 解答下列问题： （1）当点Q在线段AB的垂直平分线上时，求t的值； （2）设四边形APQD的面积为Scm2，求S与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使PFBQ的值最小？若存在，求出此时PFBQ的值；若不存在，说明理由． 2026年山东省青岛市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1．（3分）·【易】的绝对值为（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 【解析】解：根据负数的绝对值是它的相反数可得： ． 故选：C． 2．（3分）·【易】下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 3．（3分）·【易】如图是由5个大小相同的小立方方块搭成的几何体，其左视图是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：由图可知，该几何的左视图是 ． 故选：B． 4．（3分）·【易】我国科研团队首次在三维晶体中发现并操控“一维带电畴壁”，为下一代超高密度存储与人工智能芯片奠定了科学基础．“一维带电畴壁”厚度约为2.55埃米，相当于0.000000000255米，将0.000000000255用科学记数法表示为（　　） A．0.255×10﹣9 B．2.55×10﹣9 C．2.55×10﹣10 D．25.5×10﹣11 【解析】解：0.000000000255＝2.55×10﹣10． 故选：C． 5．（3分）·【较易】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、3与不能合并，，原计算错误，不符合题意； D、，正确，符合题意． 故选：D． 6．（3分）·【较易】为提升学生体质健康水平，学校开展了丰富多彩的体育活动．甲、乙两名同学进行了定点投篮练习，每人每次定点投篮5个，最近10次练习的数据如图所示．甲、乙两名同学这10次练习投中个数的平均数分别记为和，方差分别记为s甲2和s乙2．下列结论正确的是（　　） A．s甲2＞s乙2 B．s甲2＜s乙2 C． D． 【解析】解：由题意可知，甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度大， ∴． 乙10次练习的数据分别为：3、4、3、3、3、4、2、4、3、5， ， 甲10次练习的数据分别为：4、5、1、3、4、3、4、4、1、5， ， ∴． 故选：A． 7．（3分）·【较易】如图，AD是⊙O的直径，B，C，E是⊙O上的三点，∠B＝112°，则∠E的度数为（　　） A．20° B．22° C．30° D．32° 【解析】解：连接BD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∵∠ABC＝112°， ∴∠CBD＝112°﹣90°＝22°， ∴∠E＝∠CBD＝22°． 故选：B． 8．（3分）·【较易】张老师去书店购买图书，他先用108元买了一种史学书若干本，又用150元买了一种哲学书若干本．已知所买史学书的单价是哲学书单价的1.2倍，张老师所买史学书比哲学书少2本．设这种哲学书的单价为x元，根据题意可列分式方程为（　　） A． B． C． D． 【解析】解：根据题意可得：． 故选：A． 9．（3分）·【较难】如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AD边上一点，将△ABE沿BE所在直线折叠得到△HBE，DH的延长线交BC于点F．若∠DEH＝60°，则FC的长为（　　） A． B．1 C． D． 【解析】解：如图，△ABE沿BE所在直线折叠得到△HBE， ∴△ABE≌△HBE， ∴AE＝EH，∠AEB＝∠HEB，∠ABE＝∠HBE， ∵∠DEH＝60°， ∴∠AEH＝180°﹣∠DEH＝120°， ∴∠AEB＝∠HEB∠AEH＝60°， ∴∠ABE＝∠HBE＝30°， ∴AEBE， ∴2AE＝BE， 在直角三角形ABE中，AB＝4， 由勾股定理得：AE2+AB2＝BE2，即AE2+42＝（2AE）2， 解得：AE（负值已舍去）， ∴AE＝EH， 过H作HM⊥AD于M，延长MH交BC于N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴HN⊥BC，∠MDH＝∠HFN， ∴四边形ABNM是矩形， ∴AM＝BN，∠EMH＝∠DMH＝∠FNH＝90°，MN＝AB＝4， ∵∠DEH＝60°，即∠MEH＝60°， ∴∠EHM＝30°， ∴EMEH， ∴AM＝BN＝AE+EM＝2， 在直角三角形HEM中，由勾股定理得：HM2， ∴HN＝MN﹣HM＝2，MD＝NC＝4﹣2， ∴HM＝HN＝2， 在△MDH和△NFH中， ， ∴△MDH≌△NFH（AAS）， ∴MD＝FN＝4﹣2， ∴FC＝FN+NC8﹣4， ∴FC的长为， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10．（3分）·【易】计算：（﹣2a3b）2＝　4a6b2 ． 【解析】解：（﹣2a3b）2＝（﹣2）2•（a3）2•b2 ＝4a6b2． 故答案为：4a6b2． 11．（3分）·【较易】在平面直角坐标系中，将点A（﹣5，2）先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标为　（﹣1，﹣1）　 ． 【解析】解：∵点A（﹣5，2）先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点A′， ∴点A′的纵坐标为2﹣3＝﹣1，点A′的横坐标为﹣5+4＝﹣1， ∴点A′的坐标为（﹣1，﹣1）． 故答案为：（﹣1，﹣1）． 12．（3分）·【较易】若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是　　 ． 【解析】解：∵二次函数的图象与x轴有两个交点， 故有两个不相等的实数根， 即Δ＝b2﹣4ac＞0， 将，b＝﹣1，c＝k代入得：， 化简得1﹣2k＞0， 解得． 故答案为：． 13．（3分）·【较易】如图，点O是正五边形ABCDE的中心，DF∥OE，EF∥OD，连接OF，则∠OFD的度数为　36　 °． 【解析】解：∵点O是正五边形ABCDE的中心， ∴∠DOE72°，OD＝OE． ∵DF∥OE，EF∥OD， ∴四边形ODFE是平行四边形． ∵OD＝OE， ∴四边形ODFE是菱形． ∴∠EFD＝∠DOE＝72°，∠OFD∠DFE72°＝36°， 故答案为：36． 14．（3分）·【较易】如图，PA是⊙O的切线，A是切点，过点A作OP的平行线，交⊙O于点B，若OB＝3，∠APO＝36°，则图中阴影部分的面积为　　 （结果保留π）． 【解析】解：如图，PA是⊙O的切线，A是切点，∠APO＝36°，连接OA，则∠OAP＝90°， ∴∠AOP＝90°﹣36°＝54°， ∵AB∥OP， ∴∠OAB＝∠AOP＝54°， ∵OA＝OB， ∴△AOB为等腰三角形， ∴∠OBA＝∠OAB＝54°， ∴∠AOB＝180°﹣54°﹣54°＝72°， ∵△AOB与△ABP同底等高， ∴S△AOB＝S△ABP， ∵半径r＝3，圆心角n＝72°， ∴扇形面积， 故答案为：． 15．（3分）·【中档】我们约定：在平面直角坐标系中，点P（a，b）的“伴点”是点Q（﹣b，a）（其中a，b不同时为0）．例如，点（3，2）的“伴点”是点（﹣2，3）．下列结论：①点（﹣5，1）的“伴点”是点（﹣1，﹣5）；②存在点P（a，b），使点P与它的“伴点”均在反比例函数的图象上；③存在点P（a，b），使点P与它的“伴点”均在一次函数y＝3x+2的图象上；④有且只有一个点P（a，b），使点P与它的“伴点”均在二次函数y＝2x2﹣3的图象上．正确的是　①③　 （填写序号）． 【解析】解：根据伴点的定义逐项分析判断如下： ①对于点（﹣5，1），a＝﹣5，b＝1，其伴点为（﹣1，﹣5），因此①正确，符合题意； ②由P（a，b）在图象上，可得ab＝6， 由Q（﹣b，a）在图象上，可得（﹣b）•a＝6，即﹣ab＝6， 联立得6＝﹣6，矛盾，不存在满足条件的点，因此②错误，不符合题意； ③由条件可知， 解得， ∴存在这样的点P，使点P与它的“伴点”均在一次函数y＝3x+2的图象上，因此③正确，符合题意； ④若P（a，b）和Q（﹣b，a）都在y＝2x2﹣3的图象上， 可得方程组 ， 整理得（b﹣a）[1+2（a+b）]＝0， 因此可得b＝a或， 当b＝a时，代入b＝2a2﹣3得2a2﹣a﹣3＝0， 该方程有两个不同实根，对应两个不同的点P； 当时，代入b＝2a2﹣3得：， 该方程判别式大于0，有两个不同实根，对应两个不同的点P，综上共有4个不同的点P满足条件，不符合“有且只有一个点”的描述，因此④错误，不符合题意． 故答案为：①③． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。 16．（4分）·【较易】已知：如图，△ABC． 求作：Rt△ADE，使∠AED＝90°，点D，E分别在边BC，AB上，且点D到边AB，AC的距离相等． 【解析】解：如图，△ADE为所作． 四、解答题（本大题共9小题，共71分） 17．（8分）·【较易】（1）解不等式组：； （2）计算：1． 【解析】解：（1）， 解不等式①，得：x≥﹣1， 解不等式②，得：x＜4， 原本不等式组的解集为﹣1≤x＜4； （2）1 ＝1• 1 ． 18．（6分）·【较易】小明和小颖都想去参观非遗剪纸展览，但只有一张门票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去参观展览．游戏规则如下：A盒中装有2个白球和1个红球，B盒中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．小明从A盒中随机摸出一个球，小颖从B盒中随机摸出一个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明获胜；若摸出的两个球颜色不同，则小颖获胜． 请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，并说明这个游戏是否公平． 【解析】解：将A盒中的2个白球记为白1、白2，红球记为红1；B盒中的白球记为白3，红球记为红2． 列表如下： 白1 白2 红1 白3 （白1，白3） （白2，白3） （红1，白3） 红2 （白1，红2） （白2，红2） （红1，红2） 可知所有等可能出现的结果共6种，其中摸出的两个球颜色相同的结果有3种，颜色不同的结果有3种． ∴小明获胜的概率为． 小颖获胜的概率为． ∵两人获胜的概率相等， ∴这个游戏公平． 19．（6分）·【中档】为了解学生在阅览室的阅读情况，某校随机抽取了部分学生，并对他们在阅览室的一周阅览时长进行了收集、整理和描述．所抽取学生在阅览室的一周阅览时长t（单位：小时）均不高于4小时． 【收集数据】 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长如下： 0.6，0.8，0.9，1.0，1.2，1.2，1.3，1.4，1.4，1.4， 1.6，1.6，2.1，2.2，2.2，2.3，2.3，2.4，2.4，2.5， 2.6，2.6，2.6，2.6，2.6，2.7，2.7，2.8，2.8，2.8， 3.0，3.1，3.2，3.3，3.3，3.5，3.7，3.7，3.8，3.8． 【整理数据】 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的不完整统计表如下： 分组 A组（0≤t＜1） B组（1≤t＜2） C组（2≤t＜3） D组（3≤t≤4） 人数 3 a 18 10 【描述数据】 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的不完整统计图表如下： 根据以上信息，解决下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的众数为　2.6　 小时；所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的中位数为　2.55　 小时； （3）扇形统计图中，A组所对应的扇形圆心角度数为　27　 ℃； （4）该校共有600名学生，请估计该校在阅览室的一周阅览时长不低于2小时的学生人数． 【解析】解：（1）样本总量＝10÷25%＝40（人）， a＝40﹣3﹣18﹣10＝9， ； （2）数据一共 40 个，已经从小到大排好：0.6，0.8，0.9，1.0，1.2，1.2，1.3，1.4，1.4，1.4，1.6，1.6，2.1，2.2，2.2，2.3，2.3，2.4，2.4，2.5，2.6，2.6，2.6，2.6，2.6，2.7，2.7，2.8，2.8，2.8，3.0，3.1，3.2，3.3，3.3，3.5，3.7，3.7，3.8，3.8， 2.6一共出现 5 次，出现次数最多， 故众数为2.6， 40 是偶数，第20个：2.5， 第21个：2.6， 中位数＝（2.5+2.6）÷2＝2.55； 故答案为：2.6；2.55； （3）扇形统计图中，A组所对应的扇形圆心角度数为27°， 故答案为：27； （4）该校在阅览室的一周阅览时长不低于2小时的学生人数为600420（人）， 估计该校在阅览室的一周阅览时长不低于2小时的学生人数为420人． 20．（6分）·【中档】如图是某公园的部分平面示意图．环湖观景路线由木栈道AB和圆弧形观景步道组成，D，E分别表示观景亭和喷泉，点A，E，C在同一直线上，且点E是所在圆的圆心，BE⊥AC，AB＝50米．在A处测得∠BAC＝53°，∠CAD＝16°，在C处测得∠ACD＝90°，求C，D两点间的距离（结果精确到0.1米）． （参考数据：sin53°，cos53°，tan53°，sin16°，cos16°，tan16°） 【解析】解：∵BE⊥AC， ∴∠AEB＝90°， 在Rt△ABE中，∠BAC＝53°，AB＝50米． ∴（米），（米）， ∵点E是所在圆的圆心， ∴CE＝BE＝40米， ∴AC＝AE+EC＝30+40＝70（米）， ∵∠ACD＝90°， 在Rt△ACD中，∠CAD＝16°， ∴（米）， 答：C，D两点间的距离为20.4米． 21．（8分）·【较难】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，A，C分别在x轴，y轴上，B在反比例函数y1（x＞0）的图象上，将矩形OABC绕原点O按顺时针方向旋转90°，得到矩形OA1B1C1，CA1＝5，C1A＝3，直线y2＝ax+b经过点A1，B． （1）求点B的坐标； （2）求直线A1B与x轴的交点D的坐标； （3）根据图象，直接写出当0＜y2＜y1时x的取值范围． 【解析】解：（1）∵将矩形OABC绕原点O按顺时针方向旋转90°，得到矩形OA1B1C1， ∴OC＝OC1，OA＝OA1， ∵CA1＝5， ∴CO+OA1＝5， ∴OC1+OA＝5，即OC1+OC1+C1A＝5， ∵C1A＝3， ∴2OC1+3＝5， 解得OC1＝1， ∴OC＝1，OA＝OA1＝4， ∵四边形OABC是矩形， ∴AB＝OC＝1，CB＝OA＝4， ∴B（4，1）； （2）由（1）得OA1＝4， ∴A1（0，﹣4）， 把A1（0，﹣4），B（4，1）代入y2＝ax+b得， 解得：， ∴， 当y2＝0时，得：， 解得：， ∴； （3）当0＜y2＜y1时x的取值范围为．理由如下： ∵0＜y2＜y1， ∴x应取y轴正半轴上y1的图象在y2上方的部分， ∴当0＜y2＜y1时x的取值范围为． 22．（8分）·【中档】已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，F是BC的中点，过点B作EC的平行线，交EF的延长线于点G． （1）求证：△BFG≌△CFE； （2）若∠A＝90°，请判断四边形BGCE的形状，并证明你的结论． 【解析】（1）证明：∵点F为线段BC中点， ∴BF＝CF， ∵EC∥BG， ∴∠ECF＝∠GBF， 又∵∠CFE＝∠BFG， 在△BFG和△CFE中， ， ∴△BFG≌△CFE（ASA）； （2）解：四边形BGCE为正方形．理由如下： 证明：如图，四边形ABCD是平行四边形，且∠A＝90°， ∴四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°， ∵BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD， ∴∠EBC＝∠ECB＝45°， ∴∠BEC＝90°，即△BEC为等腰直角三角形， ∴BE＝CE， 由（1）得△BFG≌△CFE， ∴BG＝CE， 又∵BG∥EC， ∴四边形BGCE是平行四边形， 又∵∠BEC＝90°， ∴四边形BGCE为矩形， 又∵BE＝CE， ∴四边形BGCE为正方形． 23．（9分）·【较难】探究一：如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝10．在该三角形内部排列边长为1.2的小正方形（小正方形完全在三角形内部，互不重叠，且一边与BC平行），最多能排列多少个小正方形？我们不妨这样思考： 如图②，排列第一层时，因为EB＝1.2，所以AE＝4﹣1.2＝2.8，易得△AEF∽△ABC，所以，解得EF＝7．因为7÷1.2＝5，所以第一层最多排列5个； 如图③，排列第二层时，因为GB＝2.4，所以AG＝4﹣2.4＝1.6，易得△AGH∽△ABC，所以，解得GH＝4．因为4÷1.2＝3，所以第二层最多排列3个． （1）按上述思路，可求得在Rt△ABC内部能排列的小正方形个数最多为　8　 个； 探究二：如图④，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝4，BC＝10，CD＝2.4．在该梯形内部排列边长为1.2的小正方形（小正方形完全在梯形内部，互不重叠，且一边与BC平行）． （2）在梯形ABCD内部能排列的小正方形个数最多为　18　 个； 探究三：如图⑤，在五边形ABCJK中，AB∥CJ，AK∥BC，∠B＝90°，AB＝4，BC＝10，CJ＝1.2，AK＝3.6，在该五边形内部排列边长为1.2的小正方形（小正方形完全在五边形内部，互不重叠，且一边与BC平行）． （3）在五边形ABCJK内部能排列的小正方形个数最多为　17　 个． 【解析】解：（1）由题意得第一层最多排列5个，第二层最多排列3个， 如图③，排列第三层时，AM＝AB﹣MB＝4﹣3.6＝0.4， ∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC， ∴，即， 解得：MN＝1， ∵1＜1.2， ∴第三层无法排列完整的小正方形， ∵5+3＝8， ∴在Rt△ABC内部能排列的小正方形个数最多为8个， 故答案为：8； （2）∵2.4÷1.2＝2， ∴以10为宽度能排列两排， ∵， ∴第一层最多排列8个，第二层最多排列8个， 如图④，排列第三层时AE＝AB﹣EB＝4﹣2.4＝1.6，AF＝AE﹣EF＝1.6﹣1.2＝0.4， ∵∠DEB＝∠EBC＝∠BCD＝90°， ∴四边形BCDE是矩形， ∴ED＝BC＝10， ∵FG∥ED， ∴△AFG∽△AED， ∴，即， 解得：FG＝2.5， ∵， ∴第三层最多排列2个， ∵AF＝0.4＜1.2， ∴第四层最多排列0个， ∵8+8+2＝18， ∴在梯形ABCD内部能排列的小正方形个数最多为18个， 故答案为：18； （3）如图⑤， ∵∠A＝∠AKO＝∠B＝90°，∠C＝∠DOC＝∠JDO＝90°， ∴四边形ABOK和DOCJ是矩形， ∴KO＝AB＝4，BO＝AK＝3.6，DJ＝OC＝BC﹣BO＝10﹣3.6＝6.4，DO＝CJ＝1.2， ∴KD＝KO﹣DO＝4﹣1.2＝2.8，KE＝KD﹣ED＝2.8﹣1.2＝1.6， ∵3.6÷1.2＝3，， ∴在矩形ABOK中最多放置三列，每列最多放3个， ∵3×3＝9， ∴在矩形ABOK中最多可排列9个， 由（2）的第一层一共可放置8个， ∵8﹣3＝5， ∴在梯形JCOK中，第一层最多排列5个， ∵EF∥DJ， ∴△KEF∽△KDJ， ∴，即， 解得：EF， ∵1.23， ∴在梯形JCOK中，第二层最多排列3个， ∵KM＝KE﹣ME＝1.6﹣1.2＝0.4，MN∥EF， ∴△KMN∽△KEF， ∴，即， 解得：MN， ∵1， ∴在梯形JCOK中，第三层无法排列完整的小正方形， ∵5+3＝8， ∴在梯形JCOK中最多可排列8个， ∵9+8＝17， ∴在五边形ABCJK内部能排列的小正方形个数最多为17个， 故答案为：17． 24．（10分）·【中档】某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本y（万元）与产量x（万件）之间将近似满足二次函数关系y＝﹣x2+bx+c（13≤x≤24），部分数据见表： 产量x（万件） … 15 18 20 … 总成本y（万元） … 285 336 360 … （总利润＝总销售额﹣总成本） （1）求投产第一年该产品的总成本y与产量x之间的函数关系式； （2）投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ （3）投产第一年，如果该产品每件售价为m元时，总利润会随着产量x的增大而增大，则m的最小值是多少？ 【解析】解：（1）将x＝15，y＝285和x＝20，y＝360代入 y＝﹣x2+bx+c得：， 解得：， ∴y＝﹣x2+50x﹣240（13≤x≤24）； （2）设生产该产品x万件时，总利润为w万元， w＝20x﹣（﹣x2+50x﹣240） ＝x2﹣30x+240 ＝（x﹣15）2+15． ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝15， ∵13≤x≤24， ∴当15＜x≤24时，w随x的增大而增大，当13≤x＜15时，w随x的增大而减小； ∵x＝24距离对称轴x＝15比x＝13距离对称轴x＝15远， ∴当x＝24时，w取得最大值， ． 答：生产该产品24万件时总利润最大，最大总利润是96万元． （3）设生产该产品x万件时，总利润为w万元， w＝mx﹣（﹣x2+50x﹣240） ＝x2+（m﹣50）x+240 ∴对称轴为直线． ∵总利润随着产量x的增大而增大，且13≤x≤24， ∴对称轴， 解得：m≥24． ∴m的最小值为24． 25．（10分）·【难】如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm；动点P从点B开始沿对角线BD以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿边CD以cm/s的速度运动．BD与AQ相交于点E，PF是△APQ的中线，连接BQ．点P和点Q同时出发，设动点的运动时间为ts（0＜t． 解答下列问题： （1）当点Q在线段AB的垂直平分线上时，求t的值； （2）设四边形APQD的面积为Scm2，求S与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使PFBQ的值最小？若存在，求出此时PFBQ的值；若不存在，说明理由． 【解析】解：（1）∵点Q在线段AB的垂直平分线上， ∴AQ＝BQ， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝8cm，CD＝AB＝6cm，∠BCQ＝∠ADQ＝90°． 在Rt△ADQ和Rt△BCQ中， ， ∴Rt△ADQ≌Rt△BCQ（HL）， ∴DQ＝CQ， ∵DQ+CQ＝CD＝6cm， ∴CQ＝3cm， ∵动点Q从点C开始沿边CD以cm/s的速度运动， ∴CQtcm， ∴t＝3， 解得：t； （2）在矩形ABCD中，AD＝BC＝8cm，CD＝AB＝6cm，∠BCQ＝∠BAD＝90°， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD10（cm）， sin∠ADB， 在Rt△BCD中，sin∠BDC． 当动点P，Q运动ts时，BP＝tcm，CQtcm， ∴DP＝BD﹣BP＝（10﹣t）cm，DQ＝CD﹣CQ＝（6t）cm． 过点P作PM⊥AD于点M，作PN⊥CD于点N， 在Rt△DPM中，PM＝DP•sin∠ADB＝（10﹣t）（6t）cm， 在Rt△PDN中，PN＝DP•sin∠BDC＝（10﹣t）（8t）cm， ∴S四边形APQD＝S△APD+S△QPD ， ∴S与t之间的函数关系式为St+48（0＜t）； （3）存在某一时刻t，使PFBQ的值最小；理由如下： 由（2）有DP＝（10﹣t）cm，DQ＝（6t）cm，PM＝（6t）cm，PN＝（8t）cm， ∴． ∵cos∠ADB， ∴， ∴DM＝（8t）cm， ∴AM＝AD﹣DM＝8﹣（8t）tcm， ∵cos∠BDC， ∴， ∴DN＝（6t）cm， ∴QN＝DN﹣DQ＝（6t）﹣（6t）tcm， ∴， ∴， ∵∠PMA＝∠PNQ＝90°， ∴△APM∽△QPN， ∴∠APM＝∠QPN， ∵PM⊥AD，PN⊥CD，∠ADC＝90°， ∴四边形PNDM是矩形， ∴∠MPN＝90°， ∴∠APQ＝∠APM+∠MPQ＝∠QPN+∠MPQ＝∠MPN＝90°． ∵PF是△APQ的中线， ∴， ∴PFBQAQBQ（AQ+BQ）， ∴当AQ+BQ最小时，取得最小值． 如图2，作点A关于CD的对称点A′，连接A′D，A′Q，A′B， ∴A′D＝AD＝8cm，A′Q＝AQ，∠CDA′＝∠CDA＝90°， ∴∠ADA′＝∠ADC+∠A′DC＝180°， ∴点A，D，A′在同一直线上， ∴AA′＝AD+A′D＝8+8＝16cm， 在Rt△ABA′中，由勾股定理得：A′B（cm）． ∵AQ+BQ＝A′Q+BQ≥A′B＝2， ∴AQ+BQ的最小值为cm， 此时，的最小值为PFBQ（AQ+BQ）（cm）， 即存在某一时刻t，使的值最小，此时的值为cm． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $