2026年山东省济南市中考数学试题

秘密★启用前 济南市2026年初中学业水平考试 数学试题参考答案及评分意见 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C A A C D B B C 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．3 12． 13． 14． 15． 三、解答题：本题共10小题，共90分。 16．解：原式 5分 7分 17．解：解不等式①，得， 2分 解不等式②，得， 4分 在同一条数轴上表示不等式①②的解集， 原不等式组的解集是， 6分 整数解为，0，1，2． 7分 18．证明：四边形是平行四边形， ，， 2分 ． 3分 ， ， 4分 ， 5分 ， 6分 即． 7分 19．解：（1）如答案图1，过点作，垂足为点，则， 在中，，， ． 1分 ，， ，， ． 又，即， 四边形是矩形， 2分 ， ． 答：甲同学的成绩是． 3分 （2）如答案图2，过点作，垂足为点，交的延长线于点， 4分 在中，， ，， ． 5分 又，则， 四边形是矩形，则，． 在中，，则． 又， ． 6分 在中，， ，， ， 7分 ． 答：乙同学的成绩是． 8分 20．解：（1）如答案图1，连接． 直线与相切于点， ． 1分 ，， ， ， 2分 ． ， ， 3分 ， 平分． 4分 （2）如答案图2，过点作，垂足为点，设的半径为． ，． ，． 在中，，又， ， 5分 ． ，，， ， ． 6分 ，， ， 7分 即， ． 8分 21．解：（1）（人）， 答：随机抽取的学生人数为50人． 2分 （2）28.8 3分 5分 （4）79 7分 （5） 8分 （人） 答：估计该校七年级参与此次测评成绩达到80分及以上的学生人数有288人． 9分 22．解：（1）设甲型视力训练仪的单价为元，乙型视力训练仪的单价为元， 1分 根据题意，得， 3分 解得． 4分 答：甲型视力训练仪的单价为200元，乙型视力训练仪的单价为150元． 5分 （2）设购买甲型视力训练仪台，则购买乙型视力训练仪台，购买甲型和乙型视力训练仪共花费元， 6分 根据题意，得， 7分 解得， ． 8分 ， 的值随值的增大而增大， 当时，取得最小值， 9分 此时（元）． 答：购买甲型视力训练仪40台时花费最少，最少花费为10200元． 10分 23．解：（1）四边形是矩形，点的坐标为，点为的中点， 点的坐标为， 1分 将点代入反比例函数，得， 2分 反比例函数的表达式为． （2）①设点的坐标为，轴，点在矩形的内部，在上， 则，边上的高为， 3分 ， 4分 ． 5分 点的坐标为． 6分 ②如答案图，过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点． 设直线的表达式为， 将，代入，得解得 直线的表达式为． 7分 由题意，设点的坐标为，， 则，． ， ，即． ，， ． 又，， ， ，， 点的坐标为． 8分 是反比例函数图象上一点， ， 解得（舍去），， 9分 将代入， 得点的坐标为． 10分 24．解：（1）①抛物线与轴交于，点在该抛物线上， ， 1分 解得， 2分 抛物线的表达式是， 3分 令，即解得（舍去），， 点的坐标是． 4分 ②如答案图1，连接，，过点作轴，交于点． 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 又点到轴的距离为， 又， ， ． 5分 设直线的表达式为， 将，代入，得解得， 直线的表达式为． ，可设直线的表达式为，将代入，得， 直线的表达式为． 6分 联立和，得，解得（舍去），， 点的坐标为． 设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 7分 当时，取得最大值，最大值为， 平行四边形面积的最大值为． 8分 （2）抛物线与轴交于， 即， ， 令，得（舍去），， 点的坐标为，， 当时，，即点的坐标为， 可得直线的表达式为． 9分 如答案图2，以为斜边作等腰直角和等腰直角， 分别以，为圆心，以和的长为半径作，，与坐标轴的交点分别为，，，． 圆心角， 当点在优弧和优弧上（异于，）时，圆周角， 当直线与优弧和优弧共有两个交点（异于，）时，使的点恰有两个． ，， 当直线与相交时，符合题意． 10分 直线过点或时恰好与相切， 将代入直线的表达式，得， 将代入直线的表达式，得， 11分 的取值范围是或． ， 的取值范围是或． 12分 25．解：（1）；， 2分 （2）①． 证明如下： 如答案图1，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点． ，， 又点为中点 即， 即为的中点，为的中位线， 同理， ． 3分 ，， （当时，，） ． 又， ， 4分 ，即． 5分 ②， 6分 证明如下： 如答案图2，延长，交于点，连接， 四边形是矩形， ， ． 又，， ， ，． 7分 ，即垂直平分， ． 在中，由勾股定理得， 即． 8分 （3）如答案图3，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 由题意得，，，，． 平分，，， ，，又，则， 设，． 在中，由勾股定理得，解得， 由得， ， ． 9分 当点与点重合时，点落在点的位置， 此时，， ，， 连接，，由于，， ，，， （当时，） 即． ， ， ， 点在过点并且垂直于的射线上运动，， 当点与点重合时，点落在点的位置， 点的轨迹是线段． 10分 作关于的对称点，连接，过点作，交的延长线于点， 则，，， 当，，三点共线时，取最小值． 11分 ， 四边形是矩形， ，， ， ， 的最小值为． 12分 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 济南市2026年初中学业水平考试 数学试题 本试卷共8页，满分150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5 mm黑色签字笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1．的倒数是 A．7 B． C． D． 2．如图是一个由数控车床制造的高精度零件，其主视图是 A． B． C． D． 3．在《城市综合发展指数报告（2025年）》中，济南位列宜居城市第二名，吸引了大量游客前来旅游．据统计，2026年5月1日当天，济南市某景点接待游客约183000人．数据183000用科学记数法表示为 A． B． C． D． 4．下列地铁标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 A． B． C． D． 5．下列运算正确的是 A． B． C． D． 6．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 7．计算的结果是 A． B． C． D． 8．经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好有一人直行，另一人右拐的概率是 A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图象上一动点，连接，．则的最小值为 A． B． C． D． 10．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，连接，，，垂足为点．以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点．设，，，，，有下列结论： ①； ②； ③若，则； ④是二次函数的图象与轴的一个交点； ⑤若为的中点，则． 以上结论正确的有 A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11．27的立方根是________． 12．如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑砖上的概率是________． 13．如图，菱形的边长为4，，以点为圆心，以的长为半径作弧，则图中阴影部分的面积是________（结果保留）． 14．某学校组织七、八年级的学生“徒步母亲河—黄河”活动，两个年级匀速步行前进，七年级比八年级早出发，七年级经过抵达目的地．两个年级之间的距离（单位：）和七年级出发后的时间（单位：）之间的关系如图所示．则八年级从出发到抵达目的地所用的时间是________． 15．如图，平行四边形纸片中，，，，是上一点，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，点落在点处，折痕交于点，与交于点．若，则________． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分7分） 计算：． 17．（本小题满分7分） 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18．（本小题满分7分） 已知：如图，，是平行四边形对角线上的两点，且． 求证：． 19．（本小题满分8分） 小明学习了直角三角形的边角关系一章后，发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成绩可以利用所学的知识进行估算．估算前，需要借助AI工具测量三条线段（手臂、上半身、腿近似看成线段）的长度以及两个角（手臂与上半身、上半身与腿的夹角）的度数．小明帮甲、乙两位同学测量相关数据，并绘制成如下表格，请根据下表提供的信息完成相关任务． 动作图片 任务和示意图 相关条件 （1）计算甲同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， （2）计算乙同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， ， （结果精确到，参考数据：，，；，） 20．（本小题满分8分） 如图，是的直径，直线与相切于点，，垂足为点，交于点，连接，交弦于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 21．（本小题满分9分） 某校组织七年级学生进行济南特色文化相关知识测评（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组： A：；B：；C：；D：；E：． 下面给出了部分信息： a．C组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，77，77，77，78，79，79． b．不完整的学生成绩频数直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的学生人数； （2）扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为________度； （3）请补全频数直方图； （4）抽取的学生成绩的中位数是________分； （5）该校七年级共600人参与了此次测评，请你估计该校七年级参与此次测评成绩达到80分及以上的学生人数． 22．（本小题满分10分） 为改善学生视力状况，某学校将课间时间延长至15分钟，倡导学生主动放松眼睛，还准备购买甲、乙两种型号的视力训练仪．已知购买2台甲型视力训练仪和3台乙型视力训练仪共需花费850元，购买3台甲型视力训练仪和4台乙型视力训练仪共需花费1200元． （1）求甲、乙两种型号视力训练仪的单价分别是多少元？ （2）学校准备购买甲、乙两种型号的视力训练仪共60台，购买甲型视力训练仪的数量不少于乙型视力训练仪数量的2倍，且商家给出了甲型视力训练仪打九折的优惠，请问购买甲种型号的视力训练仪多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 23．（本小题满分10分） 在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，点的坐标为．反比例函数的图象经过的中点，与交于点． （1）求的值； （2）点是图象上一点． ①如图1，若点在矩形的内部，轴，垂足为点，连接，，若的面积为2，求点的坐标； ②如图2，作直线，连接，在上方作，过点作的垂线，交于点，当点落在直线上时，求点的坐标． 24．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点右侧），点的坐标为，与轴交于点． （1）若点在该抛物线上． ①求该抛物线的表达式及点的坐标； ②如图，连接，为线段上一点，连接并延长，交抛物线于点，为第四象限内抛物线上一点，且点到轴的距离为，以，为边作平行四边形，若的面积为，求平行四边形面积的最大值； （2）作直线，是直线上一点，若使的点恰有两个，求的取值范围． 25．（本小题满分12分） 矩形中，，为对角线的中点，为边上一点，连接，过点作的垂线，交于点，连接． （1）如图1，当时，请完成填空：与的数量关系为________________；用等式表示线段，，的数量关系为________________； （2）如图2，当时， ①写出与的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明； （3）如图3，当，时，连接，过点作，垂足为点，为上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，当平分时，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $