2026年山东省济南市中考数学试卷

**基本信息** 2026年济南中考数学卷以地域文化（如黄河徒步、宜居城市）和生活实践（视力训练仪、坐位体前屈估算）为情境，覆盖代数、几何、统计核心知识，通过基础巩固（如科学记数法）、能力提升（函数最值）、创新应用（动态几何）的梯度设计，考查抽象能力、推理意识与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|实数、视图、概率等|结合数控零件主视图考查空间观念| |填空题|5/20|立方根、概率、阴影面积等|菱形与扇形结合考查几何直观| |解答题|10/90|方程、函数、统计、动态几何等|坐位体前屈估算（AI工具）体现数学应用，矩形折叠问题考查推理能力|

2026年山东省济南市中考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1．（4分）·【易】﹣7的倒数是（　　） A．7 B．﹣7 C． D． 2．（4分）·【易】如图是一个由数控车床制造的高精度零件，其主视图是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）·【易】在《城市综合发展指数报告（2025年）》中，济南位列宜居城市第二名，吸引了大量游客前来旅游．据统计，2026年5月1日当天，济南市某景点接待游客约183000人．数据183000用科学记数法表示为（　　） A．1.83×104 B．18.3×104 C．1.83×105 D．0.183×106 4．（4分）·【易】下列地铁标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）·【易】下列运算正确的是（　　） A．x4•x3＝x7 B．（xy）2＝x2y C．x8÷x2＝x4 D．3x+3y＝6xy 6．（4分）·【较易】若关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m＜4 C．m≥﹣4 D．m＞﹣4 7．（4分）·【较易】计算的结果是（　　） A．1 B．2﹣x C．x+2 D．x﹣2 8．（4分）·【较易】经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或者右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好有一人直行，另一人右拐的概率是（　　） A． B． C． D． 9．（4分）·【中档】如图，在平面直角坐标系xOy中，A（3，0），B（9，0）是x轴上的两点，P是函数图象上一动点，连接AP，BP．则AP2+BP2的最小值为（　　） A．30 B．36 C．42 D．63 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。直接填写答案。 11．（4分）·【易】27的立方根是　 　 ． 12．（4分）·【较易】如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑砖上的概率是　 　 ． 13．（4分）·【较易】如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧BD，则图中阴影部分的面积是　 　 （结果保留π）． 14．（4分）·【中档】某学校组织七、八年级的学生“徒步母亲河—黄河”活动，两个年级匀速步行前进，七年级比八年级早出发20min，七年级经过40min抵达目的地．两个年级之间的距离y（单位：m）和七年级出发后的时间x（单位：min）之间的关系如图所示．则八年级从出发到抵达目的地所用的时间是　 　 min． 15．（4分）·【中档】如图，平行四边形纸片ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝4，M是AD上一点，将纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，点C落在点F处，折痕交BC于点N，EF与BC交于点G．若BE＝2AE，则BG＝　 　 ． 三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（7分）·【较易】计算：4sin60°． 17．（7分）·【较易】解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18．（7分）·【较易】已知：如图，E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，且∠BAE＝∠DCF．求证：BF＝DE． 19．（8分）·【中档】小明学习了直角三角形的边角关系一章后，发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成绩可以利用所学的知识进行估算．估算前，需要借助AI工具测量三条线段（手臂、上半身、腿近似看成线段）的长度以及两个角（手臂与上半身、上半身与腿的夹角）的度数．小明帮甲、乙两位同学测量相关数据，并绘制成如下表格，请根据下表提供的信息完成相关任务． 动作图片 任务和示意图 相关条件 （1）计算甲同学的成绩（线段AE的长度）． AB＝58cm， BC＝40cm， CD＝78cm， ∠ABC＝150°， ∠BCD＝30°， ED⊥CD． （2）计算乙同学的成绩（线段AE的长度）． AB＝61cm， BC＝41cm， CD＝78.5cm， ∠ABC＝122°， ∠BCD＝45°， ED⊥CD， AE⊥ED． （结果精确到0.01cm，参考数据：sin77°≈0.974，cos77°≈0.225，tan77°≈4.331；1.414，1.732） 20．（8分）·【中档】如图，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点D，BE⊥l，垂足为点E，交⊙O于点C，连接OE，交弦BD于点F． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若DF＝2，cos∠ABC，求BF的长． 21．（9分）·【中档】某校组织七年级学生进行济南特色文化相关知识测评（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组： A：50≤x＜60；B：60≤x＜70；C：70≤x＜80；D：80≤x＜90；E：90≤x≤100． 下面给出了部分信息： a．C组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，77，77，77，78，79，79． b．不完整的学生成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的学生人数； （2）扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为　 　 度； （3）请补全频数分布直方图； （4）抽取的学生成绩的中位数是　 　 分； （5）该校七年级共600人参与了此次测评，请你估计该校七年级参与此次测评成绩达到80分及以上的学生人数． 22．（10分）·【中档】为改善学生视力状况，某学校将课间时间延长至15分钟，倡导学生主动放松眼睛，还准备购买甲、乙两种型号的视力训练仪．已知购买2台甲型视力训练仪和3台乙型视力训练仪共需花费850元，购买3台甲型视力训练仪和4台乙型视力训练仪共需花费1200元． （1）求甲、乙两种型号视力训练仪的单价分别是多少元？ （2）学校准备购买甲、乙两种型号的视力训练仪共60台，购买甲型视力训练仪的数量不少于乙型视力训练仪数量的2倍，且商家给出了甲型视力训练仪打九折的优惠，请问购买甲种型号的视力训练仪多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 23．（10分）·【较难】在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，点B的坐标为（6，4）．反比例函数y（x＞0）的图象经过BC的中点D，与AB交于点E． （1）求k的值； （2）点P是y（x＞0）图象上一点． ①如图1，若点P在矩形OABC的内部，PF⊥x轴，垂足为点F，连接PE，EF，若△PEF的面积为2，求点P的坐标； ②如图2，作直线AC，连接OP，在OP上方作∠OPQ＝∠OAC，过点O作OP的垂线，交PQ于点M，当点M落在直线AC上时，求点P的坐标． 24．（12分）·【较难】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c≠0）与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C． （1）若点（2，3）在该抛物线上． ①求该抛物线的表达式及点B的坐标； ②如图，连接BC，D为线段BC上一点，连接AD并延长，交抛物线于点E，F为第四象限内抛物线上一点，且点F到x轴的距离为h，以AE，AF为边作平行四边形AEGF，若△ADF的面积为2h，求平行四边形AEGF面积的最大值； （2）作直线BC，P是直线BC上一点，若使∠APO＝45°的点P恰有两个，求b的取值范围． 25．（12分）·【难】矩形ABCD中，BC＝kAB（k≥1），O为对角线AC的中点，M为边AB上一点，连接OM，过点O作OM的垂线，交BC于点N，连接MN． （1）如图1，当k＝1时，请完成填空：OM与ON的数量关系为　 　 ；用等式表示线段AM，MN，NC的数量关系为　 　 ； （2）如图2，当k＞1时， ①写出OM与ON的数量关系，并证明； ②用等式表示线段AM，MN，NC的数量关系，并证明； （3）如图3，当，AB＝6时，连接OB，过点N作NH⊥OB，垂足为点H，E为AD上一点，连接EC，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，连接MF，DF，当NO平分∠CNH时，求MF+DF的最小值． 2026年山东省济南市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1．（4分）·【易】﹣7的倒数是（　　） A．7 B．﹣7 C． D． 【解析】解：﹣7的倒数是． 故选：D． 2．（4分）·【易】如图是一个由数控车床制造的高精度零件，其主视图是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：从正面看，可得选项B的图形． 故选：B． 3．（4分）·【易】在《城市综合发展指数报告（2025年）》中，济南位列宜居城市第二名，吸引了大量游客前来旅游．据统计，2026年5月1日当天，济南市某景点接待游客约183000人．数据183000用科学记数法表示为（　　） A．1.83×104 B．18.3×104 C．1.83×105 D．0.183×106 【解析】解：183000＝1.83×105． 故选：C． 4．（4分）·【易】下列地铁标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 5．（4分）·【易】下列运算正确的是（　　） A．x4•x3＝x7 B．（xy）2＝x2y C．x8÷x2＝x4 D．3x+3y＝6xy 【解析】解：A、x4•x3＝x7，故该项正确，符合题意； B、（xy）2＝x2y2，故该项不正确，不符合题意； C、x8÷x2＝x6，故该项不正确，不符合题意； D、3x与3y不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意． 故选：A． 6．（4分）·【较易】若关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m＜4 C．m≥﹣4 D．m＞﹣4 【解析】解：∵关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m≥0， 解得m≥﹣4． 故选：C． 7．（4分）·【较易】计算的结果是（　　） A．1 B．2﹣x C．x+2 D．x﹣2 【解析】解： ＝x﹣2， 故选：D． 8．（4分）·【较易】经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或者右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好有一人直行，另一人右拐的概率是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：两人经过该十字路口时，恰好有一人直行，作树状图如下： 共有9种等可能的结果数，其中恰有一人直行，另一人左拐的结果数为2， 所以恰有一人直行，另一人左拐的概率． 故选：B． 9．（4分）·【中档】如图，在平面直角坐标系xOy中，A（3，0），B（9，0）是x轴上的两点，P是函数图象上一动点，连接AP，BP．则AP2+BP2的最小值为（　　） A．30 B．36 C．42 D．63 【解析】解：设P（t，t）， ∵A（3，0），B（9，0）， ∴AP2+BP2＝（t﹣3）2+（t）2+（t﹣9）2+（t）2 ＝t2﹣6t+9+t2﹣18t+81t2 t2﹣24t+90 （t）2+42， ∴当t时，AP2+BP2有最小值，最小值为42． 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。直接填写答案。 11．（4分）·【易】27的立方根是　3　 ． 【解析】解：∵33＝27， ∴27的立方根是3， 故答案为：3． 12．（4分）·【较易】如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑砖上的概率是　　 ． 【解析】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为5个小正方形的面积， ∴小球停在阴影部分的概率是． 故答案为：． 13．（4分）·【较易】如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧BD，则图中阴影部分的面积是　8π　 （结果保留π）． 【解析】解：过D作DH⊥AB于H， ∵四边形ABCD是边长为4的菱形， ∴AB＝AD＝4， ∵∠DAB＝30°，∠AHD＝90°， ∴DHAD＝2， ∴菱形ABCD的面积＝AB•DH＝4×2＝8， ∵扇形ADB的面积π， ∴图中阴影部分的面积是8π． 故答案为：8π． 14．（4分）·【中档】某学校组织七、八年级的学生“徒步母亲河—黄河”活动，两个年级匀速步行前进，七年级比八年级早出发20min，七年级经过40min抵达目的地．两个年级之间的距离y（单位：m）和七年级出发后的时间x（单位：min）之间的关系如图所示．则八年级从出发到抵达目的地所用的时间是　　 min． 【解析】解：由图象可得， 七年级的速度为：1500÷20＝75（m/min）， 八年级的速度为：75+（1500﹣1200）÷（40﹣20）＝90（m/min）， 总路程为：75×40＝3000（m）， 八年级从出发到抵达目的地所用的时间是[3000﹣（40﹣20）×90]÷90+（40﹣20） ＝（3000﹣20×90）÷90+20 ＝（3000﹣1800）÷90+20 ＝1200÷90+20 20 （min）， 故答案为：． 15．（4分）·【中档】如图，平行四边形纸片ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝4，M是AD上一点，将纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，点C落在点F处，折痕交BC于点N，EF与BC交于点G．若BE＝2AE，则BG＝　　 ． 【解析】解：如图，在BA延长线上截取AP＝AM， ∵AB＝3，BE＝2AE， ∴BE＝2，AE＝1， 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°， ∴∠BAD＝120°，∠MAP＝60°， ∴△APM为等边三角形， ∴∠P＝60°， 过M作MQ⊥AP于点Q， 设AQ＝m，则MQm，AM＝2m， ∵AD＝4， ∴DM＝AD﹣AM＝4﹣2m， 由折叠可知DM＝EM＝4﹣2m， 在Rt△MEQ中，MQ2+EQ2＝EM2， ∴3m2+（1+m）2＝（4﹣2m）2， 解得m， ∴AM＝2mAP＝PM，EM＝4﹣2x， ∴PE＝AE+AP， 由折叠可得∠MEG＝∠D＝∠B＝60°， ∵∠AEG＝∠AEM+∠MEG＝∠EGB+∠B， ∴∠AEM＝∠EGB， ∵∠P＝∠B＝60°， ∴△EPM∽△GBE， ∴，即， 解得BG； 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（7分）·【较易】计算：4sin60°． 【解析】解：原式＝423﹣2+1 ＝223﹣2+1 ＝﹣4． 17．（7分）·【较易】解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【解析】解：不等式组：， 解不等式①，得x≥﹣1． 解不等式②，得x＜3． 原不等式组的解集是﹣1≤x＜3． ∴整数解为﹣1，0，1，2． 18．（7分）·【较易】已知：如图，E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，且∠BAE＝∠DCF．求证：BF＝DE． 【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB＝CD，AB∥CD ∴∠ABE＝∠CDF． 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴BE＝DF． ∴BE+EF＝DF+EF， 即BF＝DE． 19．（8分）·【中档】小明学习了直角三角形的边角关系一章后，发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成绩可以利用所学的知识进行估算．估算前，需要借助AI工具测量三条线段（手臂、上半身、腿近似看成线段）的长度以及两个角（手臂与上半身、上半身与腿的夹角）的度数．小明帮甲、乙两位同学测量相关数据，并绘制成如下表格，请根据下表提供的信息完成相关任务． 动作图片 任务和示意图 相关条件 （1）计算甲同学的成绩（线段AE的长度）． AB＝58cm， BC＝40cm， CD＝78cm， ∠ABC＝150°， ∠BCD＝30°， ED⊥CD． （2）计算乙同学的成绩（线段AE的长度）． AB＝61cm， BC＝41cm， CD＝78.5cm， ∠ABC＝122°， ∠BCD＝45°， ED⊥CD， AE⊥ED． （结果精确到0.01cm，参考数据：sin77°≈0.974，cos77°≈0.225，tan77°≈4.331；1.414，1.732） 【解析】解：（1）过点B作BP⊥CD，垂足为点P，则∠BPC＝∠BPD＝90°． ∴∠CPB＝90°， ∴cosC＝cos30°， ∵BC＝40， ∴CP＝BC•cos30°＝402034.640， ∵∠BCD＝30°，∠ABC＝150°， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴AB∥CD． ∴∠PBE＝180°﹣∠BPD＝90°． 又∵ED⊥CD， 即∠PDE＝90°， ∴四边形BPDE是矩形． ∴BE＝DP， ∴AE＝AB+CP﹣CD＝58+34.640﹣78＝14.640≈14.64（cm）， 答：甲同学的成绩是14.64cm； （2）过点B作BM⊥CD，垂足为点M，交AE的延长线于点N． 则∠BMC＝90°， ∴（cm）， 又∵AE⊥ED，ED⊥CD， 则∠DEN＝∠NMD＝∠EDM＝90°， ∴四边形NMDE是矩形， ∴NE＝MD，∠ANB＝90°， 在Rt△BMC中，∠C＝45°， ∴∠CBM＝45°． 又∵∠ABC＝122°， ∴∠ABN＝∠ABC﹣∠CBM＝77°， 在Rt△ANB中，∠ANB＝90°，sin∠ABN＝sin77°， ∵AB＝60cm， ∴AN＝AB•sin77°＝61×0.974≈59.414（cm）， ∴AE＝CM+AN﹣CD＝28.987+59.414﹣78.5≈9.90（cm）， 答：乙同学的成绩是9.90cm． 20．（8分）·【中档】如图，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点D，BE⊥l，垂足为点E，交⊙O于点C，连接OE，交弦BD于点F． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若DF＝2，cos∠ABC，求BF的长． 【解析】（1）证明：如图，连接OD． ∵直线l与⊙O相切于点D， ∴∠ODE＝90°． ∵BE⊥l， ∴∠BED＝90°． ∴∠ODE+∠BED＝180°， ∴OD∥BE． ∴∠ODB＝∠DBC． ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠OBD． ∴∠OBD＝∠DBC， ∴BD平分∠ABC； （2）如图，过点D作DG⊥AB，垂足为点G，设⊙O的半径为r． ∵OD∥BE， ∴∠GOD＝∠ABC． ∵DG⊥AB， ∴∠DGO＝90°． 在Rt△DGO中，cos∠GOD， ∴OGr， ∴BG＝OG+OBr， ∵∠DGB＝∠DEB＝90°，∠DBG＝∠DBE，DB＝DB， ∴△DBG≅△DBE， ∴． ∵∠ODF＝∠EBF，∠OFD＝∠EFB， ∴△ODF∽△EBF， ∴，即， 解得：BF． 21．（9分）·【中档】某校组织七年级学生进行济南特色文化相关知识测评（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组： A：50≤x＜60；B：60≤x＜70；C：70≤x＜80；D：80≤x＜90；E：90≤x≤100． 下面给出了部分信息： a．C组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，77，77，77，78，79，79． b．不完整的学生成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的学生人数； （2）扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为　28.8　 度； （3）请补全频数分布直方图； （4）抽取的学生成绩的中位数是　79　 分； （5）该校七年级共600人参与了此次测评，请你估计该校七年级参与此次测评成绩达到80分及以上的学生人数． 【解析】解：（1）6÷12%＝50（人） 答：随机抽取的学生人数为50人； （2）扇形统计图中A组所对应扇形的圆心角为360°28.8°， 故答案为：28.8； （3）D组频数＝50﹣4﹣6﹣16﹣14＝10， 补全频数分布直方图如图所示： （4）从小到大排列，第25、26个数据分别为79分，79分， ∴中位数为79（分）， 故答案为：79； （5）600288（人）， 答：估计该校七年级参与此次测评成绩达到80分及以上的学生人数有288人． 22．（10分）·【中档】为改善学生视力状况，某学校将课间时间延长至15分钟，倡导学生主动放松眼睛，还准备购买甲、乙两种型号的视力训练仪．已知购买2台甲型视力训练仪和3台乙型视力训练仪共需花费850元，购买3台甲型视力训练仪和4台乙型视力训练仪共需花费1200元． （1）求甲、乙两种型号视力训练仪的单价分别是多少元？ （2）学校准备购买甲、乙两种型号的视力训练仪共60台，购买甲型视力训练仪的数量不少于乙型视力训练仪数量的2倍，且商家给出了甲型视力训练仪打九折的优惠，请问购买甲种型号的视力训练仪多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【解析】解：（1）设甲型视力训练仪的单价为x元，乙型视力训练仪的单价为y元． ∵购买2台甲型视力训练仪和3台乙型视力训练仪共需花费850元，购买3台甲型视力训练仪和4台乙型视力训练仪共需花费1200元， ∴， 解得， 答：甲型视力训练仪的单价为200元，乙型视力训练仪的单价为150元； （2）设购买甲型视力训练仪m台，则购买乙型视力训练仪（60﹣m）台，购买甲型和乙型视力训练仪共花费w元． 由题意可得，w＝200×0.9m+150（60﹣m）＝30m+9000， ∴w随m的增大而增大， ∵购买甲型视力训练仪的数量不少于乙型视力训练仪数量的2倍， ∴m≥2（60﹣m）， 解得m≥40， ∴当m＝40时，w取得最小值，此时w＝10200， 答：购买甲种型号的视力训练仪40台时花费最少，最少花费为10200元． 23．（10分）·【较难】在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，点B的坐标为（6，4）．反比例函数y（x＞0）的图象经过BC的中点D，与AB交于点E． （1）求k的值； （2）点P是y（x＞0）图象上一点． ①如图1，若点P在矩形OABC的内部，PF⊥x轴，垂足为点F，连接PE，EF，若△PEF的面积为2，求点P的坐标； ②如图2，作直线AC，连接OP，在OP上方作∠OPQ＝∠OAC，过点O作OP的垂线，交PQ于点M，当点M落在直线AC上时，求点P的坐标． 【解析】解：（1）∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（6，4），点D为BC的中点 ∴点D的坐标为（3，4）， 将点D（3，4）代入反比例函数，得k＝3×4＝12， 即k的值为12； （2）①由（1）知，k＝12， ∴反比例函数的表达式为， 设点P的坐标为（a，）， ∵PF⊥x轴，点P在矩形OABC的内部，E在AB上， ∴PF，PF边上的高为6﹣a， ∴S△PEF（6﹣a）＝2， ∴a， ∴点P的坐标为； ②设直线AC的表达式为y＝sx+t， 将A（6，0），C（0，4）代入，得 ， ∴， ∴直线AC的表达式为， 设点M的坐标为， 则，OG＝﹣n． ∵∠OPM＝∠OAC， ∴tan∠OPM＝tan∠OAC， ∴， ∵∠OMG+∠MOG＝90°，∠POH+∠MOG＝90°， ∴∠OMG＝∠POH， 又∵∠MGO＝∠OHP＝90°， ∴△MGO∽△OHP， ∴， ∴OHMG＝﹣n+6，PHOGn， ∴点P的坐标为， ∵P是反比例函数图象上一点， ∴， 解得（舍去），， 将代入， 得点P坐标为， 即点P的坐标为（3，）． 24．（12分）·【较难】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c≠0）与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C． （1）若点（2，3）在该抛物线上． ①求该抛物线的表达式及点B的坐标； ②如图，连接BC，D为线段BC上一点，连接AD并延长，交抛物线于点E，F为第四象限内抛物线上一点，且点F到x轴的距离为h，以AE，AF为边作平行四边形AEGF，若△ADF的面积为2h，求平行四边形AEGF面积的最大值； （2）作直线BC，P是直线BC上一点，若使∠APO＝45°的点P恰有两个，求b的取值范围． 【解析】解：（1）①∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），点（2，3）在该抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式是y＝﹣x2+2x+3． 令y＝0，即﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1（舍去），x2＝3． ∴点B的坐标是（3，0）． ②∵点A（﹣1，0），点B（3，0），点C（0，3）， ∴AB＝4． 又∵点F到x轴距离为h， ∴S△ABF2h， ∵S△ADF＝2h， ∴S△ABF＝S△ADF， ∴AF∥BC． 设直线BC的表达式为y＝kx+a， 将B（3，0），C（0，3）代入得， ， 解得， ∴直线BC：y＝﹣x+3． ∵AF∥BC， ∴可设直线AF解析式为y＝﹣x+t， 将点A（﹣1，0）代入得t＝﹣1， ∴直线AF：y＝﹣x﹣1． 联立y＝﹣x2+2x+3和y＝﹣x﹣1，得﹣x2+2x+3＝﹣x﹣1， 解得x1＝﹣1（舍去），x2＝4， ∴点F的坐标为（4，﹣5）， 设点E的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则点H的坐标为（m，﹣m﹣1）， ∴EH＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m﹣1）＝﹣m2+3m+4， ∴， ∴， ∴当时，S平行四边形AEGF取得最大值，最大值为， ∴平行四边形AEGF面积的最大值为； （2）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）， ∴﹣1﹣b+c＝0，即b＝c﹣1， ∴y＝﹣x2+（c﹣1）x+c， 令y＝0，得x1＝﹣1（舍去），x2＝c， ∴点B的坐标为（c，0），c＞﹣1， 当x＝0时，y＝c，即点C的坐标为（0，c）， ∴直线BC的表达式为y＝﹣x+c， 如图2，以AO为斜边作等腰直角△AOO1和等腰直角△AOO2， 分别以O1，O2为圆心，以O1O和O2O的长为半径作⊙O1，⊙O2，与坐标轴的交点分别为A（﹣1，0），O（0，0），M（0，1），N（0，﹣1）， ∵圆心角∠AO1O＝∠AO2O＝90°， ∴当点P在优弧AMO和优弧ANO上（异于A，O）时，圆周角∠APO＝45°， ∴当直线BC与优弧AMO和优弧ANO共有两个交点（异于A，O）时，使∠APO＝45°的点P恰有两个， ∵c＞﹣1，c≠0， ∴当直线BC与⊙O1相交时，符合题意； 直线BC：y＝﹣x+c过点M（0，1）或A（﹣1，0）时恰好与⊙O1相切， 将M（0，1）代入直线BC的表达式y＝﹣x+c，得c＝1， 将A（﹣1，0）代入直线BC的表达式y＝﹣x+c，得c＝﹣1， ∴c的取值范围是﹣1＜c＜0或0＜c＜1， ∵b＝c﹣1， ∴b的取值范围是﹣2＜b＜﹣1或﹣1＜b＜0． 25．（12分）·【难】矩形ABCD中，BC＝kAB（k≥1），O为对角线AC的中点，M为边AB上一点，连接OM，过点O作OM的垂线，交BC于点N，连接MN． （1）如图1，当k＝1时，请完成填空：OM与ON的数量关系为OM＝ON ；用等式表示线段AM，MN，NC的数量关系为AM2+NC2＝MN2 ； （2）如图2，当k＞1时， ①写出OM与ON的数量关系，并证明； ②用等式表示线段AM，MN，NC的数量关系，并证明； （3）如图3，当，AB＝6时，连接OB，过点N作NH⊥OB，垂足为点H，E为AD上一点，连接EC，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，连接MF，DF，当NO平分∠CNH时，求MF+DF的最小值． 【解析】解：（1）当k＝1时，BC＝AB，此时矩形ABCD为正方形， 如图1，连接OB， 在正方形ABCD中AB＝BC，OB垂直平分AC， ∴OA＝OB＝OC，∠AOB＝90°，∠OAM＝∠OBN＝45°， ∵∠MON＝90°， ∴∠AOM＝∠BON＝90°﹣∠BOM， ∴△AOM≌△BON（ASA）， ∴OM＝ON，AM＝BN， ∴AB﹣AM＝BC﹣BN，即BM＝CN， 在Rt△BMN中，BN2+BM2＝MN2， ∴AM2+NC2＝MN2； 故答案为：OM＝ON；AM2+NC2＝MN2； （2）①OM＝kON； 证明：如图2，过点O作OP⊥BC，垂足为点P，过点O作OQ⊥AB，垂足为点Q， ∵OQ⊥AB，BC⊥AB， ∴OQ∥BC， 又∵点O为AC中点，即， ∴， 即Q为AB的中点， ∴OQ为△ABC 的中位线， ∴， 同理， ∴， ∵∠MOQ+∠MOP＝90°，∠NOP+∠MOP＝90°（当时，∠MOQ+∠QON＝90°，∠NOP+∠QON＝90°）， ∴∠MOQ＝∠NOP， 又∵∠OQM＝∠OPN＝90°， ∴△OQM∽△OPN， ∴，即OM＝kON， ②AM2+NC2＝MN2； 证明：如图3，延长NO，交AD于点N'，连接MN'， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠OCN＝∠OAN′， 又∵∠CON＝∠AON'，OA＝OC， ∴△OCN≌△OAN'（ASA）， ∴ON＝ON'，CN＝AN'， ∵OM⊥NN'，即MO垂直平分NN'， ∴MN＝MN'， 在Rt△MAN′中，由勾股定理得AM2+AN'2＝MN'2， 即AM2+NC2＝MN2； （3）如图4，过点O作OP⊥BC，垂足为点P，过点O作OQ⊥AB，垂足为点Q， 由题意得，，OP＝BQ＝AQ＝3，OQ＝BP＝4，OB＝5， ∵NO平分∠CNH，OP⊥BC，OH⊥HN， ∴OH＝OP＝3，BH＝2， 又∵ON＝ON， ∴Rt△OHN≌Rt△OPN（HL）， ∴设NH＝NP＝x，BN＝4﹣x， 在Rt△BHN中，由勾股定理得22+x2＝（4﹣x）2， 解得， 由△OQM∽△OPN得， ∴， ∴AM＝AQ﹣MQ＝1， 当点E与点D重合时，点F落在点F0的位置， 此时DC＝DF0＝6，∠CDF0＝90°， ∴∠DF0C＝∠DCF0＝45°，， 连接FC，FF0， 由于EF＝EC，∠FEC＝90°， ∴∠ECF＝45°，，∠DCF0＝∠ECF， ∴∠DCF0﹣∠DCF＝∠ECF﹣∠DCF（当AE＜2时，∠DCF+∠DCF＝∠ECF+∠DCF）， 即∠ECD＝∠FCF0， ∵， ∴△EDC∽△FF0C， ∴∠FF0C＝∠EDC＝90°， ∴点F在过点F0并且垂直于CF0的射线F0F上运动，∠FF0D＝∠FF0C﹣∠DF0C＝45°， 当点E与点A重合时，点F落在点F1的位置， ∴点F的轨迹是线段F0F1， 作D关于F0F1的对称点D'，连接MD'，过点M作MG⊥D'F0，交D'F0的延长线于点G， 则MF+DF＝MF+D′F≥MD′，∠DF0D'＝2∠DF0F＝90°＝∠GF0A，D'F0＝DF0＝6， 当M．F，D′三点共线时，MF+DF取最小值， ∵∠G＝∠GF0A＝∠MAF0＝90°， ∴四边形AMGF0是矩形， ∴MG＝AF0＝14，AM＝F0G＝1， ∴D'G＝D'F0+F0G＝6+1＝7， ∴， ∴MF+DF的最小值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $