精品解析：2026年山东青岛市中考数学试题

2026年青岛市初中学业水平考试数学试题 （考试时间：120分钟　满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25小题．第Ⅰ卷为选择题，共9小题，27分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，93分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共27分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1. 的绝对值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 2. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误，不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，选项错误，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项正确，符合题意． 3. 如图是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由图可知，其左视图是． 4. 我国科研团队首次在三维晶体中发现并操控“一维带电畴壁”，为下一代超高密度存储与人工智能芯片奠定了科学基础．“一维带电畴壁”厚度约为2.55埃米，相当于0.000000000255米，将0.000000000255用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴A错误； ∵， ∴B错误； ∵与不能合并，， ∴C错误； ∵， ∴D正确． 6. 为提升学生体质健康水平，学校开展了丰富多彩的体育活动．甲、乙两名同学进行了定点投篮练习，每人每次定点投篮5个，最近10次练习的数据如图所示．甲、乙两名同学这10次练习投中个数的平均数分别记为和，方差分别记为和．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据甲、乙的进球的统计图可计算出平均数，得出甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度大，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度大， ∴． 甲10次练习的数据分别为：， ， 乙10次练习的数据分别为：， ， ∴． 7. 如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据直径所对圆周角是直角得出，进而求出，最后利用同弧所对圆周角相等求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵与都是弧所对的圆周角， ∴． 8. 张老师去书店购买图书，他先用108元买了一种史学书若干本，又用150元买了一种哲学书若干本．已知所买史学书的单价是哲学书单价的1.2倍，张老师所买史学书比哲学书少2本．设这种哲学书的单价为元，根据题意可列分式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设哲学书单价为元，则史学书单价为元，根据“史学书比哲学书少2本”列方程即可． 【详解】解：哲学书单价为元，则史学书单价为元．哲学书的购买数量为本，史学书的购买数量为本． ∵史学书比哲学书少2本， ∴． 9. 如图，在正方形中，，为边上一点，将沿所在直线折叠得到，的延长线交于点，若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过作于，延长交于，根据正方形性质得四边形是矩形，根据矩形性质得，，，根据折叠性质得，，，进而求出，，根据直角三角形中30度所对边性质得，再根据勾股定理列方程求出，再根据求出，进而得，进一步求出、、、，即可得，再根据，，即可证明，进而得的长，最后根据计算即可得的长． 【详解】解：如图， ∵沿所在直线折叠得到， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴， 过作于，延长交于， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵即， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 第Ⅱ卷（共93分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 计算：＝________． 【答案】 【解析】 【分析】积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，根据法则计算即可． 【详解】=， 故答案为：． 【点睛】此题考查积的乘方：等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 11. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点平移的坐标变化规律，向右平移横坐标增加，向下平移纵坐标减少，计算即可得到答案． 【详解】解：∵点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 12. 若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图象与轴有两个交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根，因此判别式大于0，代入二次函数系数，解不等式即可得到的取值范围。 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点， 故一元二次方程有两个不相等的实数根， 即判别式， 将，，代入得：， 化简得， 解得． 13. 如图，点是正五边形的中心，，，连接，则的度数为__________． 【答案】 36 【解析】 【分析】根据正五边形的性质求出中心角的度数及，由两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，结合邻边相等判定为菱形，利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：∵点是正五边形的中心， ，． ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． ∴，. 14. 如图，是的切线，是切点，过点作的平行线，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】连接,根据,,可求得,由于与同底等高，用替换，阴影部分的面积就变成了求扇形的面积，所以求出扇形的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，连接． ∵点是切点， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴, ∵, ∴为等腰三角形， ∴, ∴, ∵与同底等高， ∴， ∵半径，圆心角， ∴扇形面积． 15. 我们约定：在平面直角坐标系中，点的“伴点”是点（其中，不同时为0）．例如，点的“伴点”是点．下列结论：①点的“伴点”是点；②存在点，使点与它的“伴点”均在反比例函数的图象上；③存在点，使点与它的“伴点”均在一次函数的图象上；④有且只有一个点，使点与它的“伴点”均在二次函数的图象上．正确的是__________（填写序号）． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据伴点的定义，逐个验证四个结论，利用函数图象上点的坐标满足函数解析式，列方程或方程组判断解的存在性与个数即可． 【详解】解：① 对于点，，，其伴点为，因此①正确； ② 若和都在的图象上， 由在图象上，可得， 由在图象上，可得，即， 联立得，矛盾，不存在满足条件的点，因此②错误； ③ 若和都在的图象上， 可得方程组 ，解得， ∴存在这样的点P，使点与它的“伴点”均在一次函数的图象上，因此③正确； ④ 若和都在的图象上， 可得方程组 ，整理得， 因此可得或， 当时，代入得， 该方程有两个不同实根，对应两个不同的点； 当时，代入得， 该方程判别式大于，有两个不同实根，对应两个不同的点，综上共有个不同的点满足条件，不符合“有且只有一个点”的描述，因此④错误． 综上，正确结论为①③． 三、作图题（本大题满分4分） 16. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，． 求作：，使，点，分别在边，上，且点到边，的距离相等． 【答案】解：如图，为所求． 【解析】 【分析】由于点到边，的距离相等，则点D在的平分线上，因此根据作角平分线的尺规作图的方法作出的角平分线，交于点D．由于，则，根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图的方法，过点D作的垂线，交于点E，则为所求． 【详解】略 四、解答题（本大题共9小题，共71分） 17. 解不等式组、计算 （1）解不等式组： （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求解两个不等式，取两个解集的公共部分得到最终结果； （2）将分式除法转化为乘法，分解因式后约分，再通分化简得到结果． 【小问1详解】 解： 对于不等式组 解不等式①得 ， ， 解不等式②得，两边同乘得 ， ， ； 所以不等式组的解集为 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 小明和小颖都想去参观非遗剪纸展览，但只有一张门票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去参观展览．游戏规则如下：A盒中装有2个白球和1个红球，B盒中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．小明从A盒中随机摸出一个球，小颖从B盒中随机摸出一个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明获胜；若摸出的两个球颜色不同，则小颖获胜．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，并说明这个游戏是否公平． 【答案】解：将A盒中的2个白球记为白1、白2，红球记为红1；B盒中的白球记为白3，红球记为红2． 列表如下： 白1 白2 红1 白3 （白1，白3） （白2，白3） （红1，白3） 红2 （白1，红2） （白2，红2） （红1，红2） 可知所有等可能出现的结果共6种，其中摸出的两个球颜色相同的结果有3种，颜色不同的结果有3种． ∴小明获胜的概率为． 小颖获胜的概率为． ∵两人获胜的概率相等， ∴这个游戏公平． 【解析】 【分析】标记两盒中的球，用列表列出所有等可能结果，分别计算两人获胜的概率，比较概率大小判断游戏是否公平． 【详解】略． 19. 为了解学生在阅览室的阅读情况，某校随机抽取了部分学生，并对他们在阅览室的一周阅览时长进行了收集、整理和描述．所抽取学生在阅览室的一周阅览时长（单位：小时）均不高于小时． 【收集数据】 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长如下： ， ， ， ． 【整理数据】 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的不完整统计表如下： 分组 组 （） 组 （） 组 （） 组 （） 人数 【描述数据】 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的不完整统计图如下： 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的频数直方图 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的扇形统计图 根据以上信息，解决下列问题： （1）补全频数直方图； （2）所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的众数为________小时；所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的中位数为________小时； （3）扇形统计图中，组所对应的扇形圆心角度数为________； （4）该校共有名学生，请估计该校在阅览室的一周阅览时长不低于小时的学生人数． 【答案】（1）补全频数直方图如图所示， （2）；； （3） （4）估计该校在阅览室的一周阅览时长不低于小时的学生有人 【解析】 【分析】（1）先根据组人数与占比算出样本总人数，再求出组的人数频数补全直方图即可； （2）根据全部数据以及样本总人数，找出出现最多的数据得到众数，取排序后第位数据平均值得到中位数； （3）求出组占样本总人数的比例，乘即可求出圆心角的度数； （4）先计算出本次抽样调查中阅览时长不低于小时人数，再根据用样本估计总体即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵组共人，扇形图组占， ∴本次抽样调查的总人数为：（人）， ∴组的人数为：，据此补全频数直方图即可； 【小问2详解】 解：根据抽取学生的一周阅览时长数据，本次抽样调查的总人数为人， 可得众数为，出现次数最多共次， 中位数是第个数的平均数，即：； 【小问3详解】 解：∵组共人， ∴组所对应的扇形圆心角度数为：； 【小问4详解】 解：本次抽样调查中阅览时长不低于小时人数，即组和组的人数和：（人）， 估计该校一周阅览时长不低于小时的学生人数为：（人）． 答：估计该校在阅览室的一周阅览时长不低于小时的学生有人． 20. 如图是某公园的部分平面示意图，环湖观景路线由木栈道和圆弧形观景步道组成，，分别表示观景亭和喷泉．点，，在同一直线上，且点是所在圆的圆心，，米．在处测得，，在处测得，求，两点间的距离（结果精确到米）．（参考数据：，，，，，） 【答案】米 【解析】 【分析】在中，利用的三角函数值求出、长，再利用圆的定义求出长，进而求出长，在中，利用进行求解即可． 【详解】解：， ， 在中，，米． 米、米， 点是所在圆的圆心， 米， 米， ∵， 在中，， 米， 答：，两点间的距离为米． 21. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，分别在轴，轴上，在反比例函数的图象上，将矩形绕原点按顺时针方向旋转，得到矩形，，，直线经过点，． （1）求点的坐标； （2）求直线与轴的交点的坐标； （3）根据图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质结合线段等量关系求出、的长度，再根据矩形坐标特点写出点坐标； （2）由（1）得到点的坐标，将、两点坐标代入，解二元一次方程组求出，，再令求得直线与轴交点的横坐标，从而可得到点的坐标； （3）不等式代表在范围内，一次函数图像位于轴上方且在反比例函数图像下方，结合点和点的横坐标，直接得出对应的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由旋转得，， ， ， ，即， ， ，解得， ，， 四边形是矩形， ，， ； 【小问2详解】 解：由（1）得， ， 把，代入得，解得， ， 令得，解得， ； 【小问3详解】 解：， 应取轴正半轴上的图象在上方的部分， 当时，． 22. 已知：如图，四边形是平行四边形，平分，平分，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）证明：∵点F为线段中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴． （2） 四边形为正方形， 证明：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形为矩形， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形． 【解析】 【分析】（1）根据题干中的几何关系找到能证明两三角形全等的条件即可． （2）当时结合四边形为平行四边形，可得到四边形为矩形，通过矩形的性质结合角平分线得到，最后再利用（1）得到的全等三角形即可进一步完成证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 根据以下探究完成相关题目： （1）探究一：如图①，在中，，，．在该三角形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在三角形内部，互不重叠，且一边与平行），最多能排列多少个小正方形？我们不妨这样思考： 如图②，排列第一层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第一层最多排列个； 如图③，排列第二层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第二层最多排列个；按上述思路，可求得在内部能排列的小正方形个数最多为________个； （2）探究二：如图④，在梯形中，，，，，．在该梯形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在梯形内部，互不重叠，且一边与平行）．在梯形内部能排列的小正方形个数最多为________个； （3）探究三：如图⑤，在五边形中，，，，，，，，在该五边形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在五边形内部，互不重叠，且一边与平行）．在五边形内部能排列的小正方形个数最多为________个． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用相似三角形求出每层位置上水平方向最大宽度，宽度除以正方形边长得到本层最多可放置的正方形数量，逐层累加即可得到总数； （2）梯形上下底长度已知，先判断底部几层宽度充足，再利用相似三角形求出靠上位置截面宽度，逐层计算正方形个数求和； （3）把五边形分成一个矩形和一个梯形，分别计算最多可放置的正方形数量，相加即可得到总数． 【小问1详解】 解：由题意得第一层最多排列个，第二层最多排列个， 如图，排列第三层时，， ， ， ， ， ， 第三层无法排列完整的小正方形， ， 在内部能排列的小正方形个数最多为个； 【小问2详解】 解：， 以为宽度能排列两排， ， 第一层最多排列个，第二层最多排列个， 如图，排列第三层时，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 第三层最多排列个， ， 第四层最多排列个， ， 在梯形内部能排列的小正方形个数最多为个； 【小问3详解】 解：如图， ，， 四边形和是矩形， ，，，， ，， ，， 在矩形中最多放置三列，每列最多放个， ， 在矩形中最多可排列个， 由（2）的第一层一共可放置个， ， 在梯形中，第一层最多排列个， ， ， ， ， 在梯形中，第二层最多排列个， ，， ， ， ， ， 在梯形中，第三层无法排列完整的小正方形， ， 在梯形中最多可排列个， ， 在五边形内部能排列的小正方形个数最多为个． 24. 某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） （1）求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； （2）投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ （3）投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 【答案】（1） （2）生产24万件时总利润最大，最大总利润是96万元 （3）m的最小值是24 【解析】 【分析】（1）代入两组已知的产量与总成本的对应值，得到关于的二元一次方程组，解方程组求出二次函数的系数即可得到函数解析式； （2）根据总利润的计算公式列出利润关于产量的函数，结合二次函数的开口方向、对称轴与产量的取值范围，求出最大利润； （3）先列出总利润关于产量和售价的函数关系式，根据二次函数的单调性与对称轴的关系，结合产量的取值范围列不等式，求解得到的最小值． 【小问1详解】 解：将和代入 得： 解得： 总成本与产量之间的函数关系式为． 【小问2详解】 设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： ． 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 距离对称轴比距离对称轴远， 当时，取得最大值， ． 答：生产该产品24万件时总利润最大，最大总利润是96万元． 【小问3详解】 设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： 对称轴为直线． 总利润随着产量的增大而增大，且， 对称轴， 解得：． 的最小值为． 25. 如图，在矩形中，，．动点从点开始沿对角线以的速度运动，动点从点开始沿边以的速度运动．与相交于点，是的中线，连接．点和点同时出发．设动点的运动时间为（）． 解答下列问题： （1）当点在线段的垂直平分线上时，求的值； （2）设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻，使的值最小？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，此时的值为 【解析】 【分析】（1）根据点在线段的垂直平分线上，得到，结合矩形的性质可得，得出，根据点的运动速度即可求解； （2）根据矩形的性质，结合勾股定理及正弦的定义求得，，．当动点，运动时，，，，．过点作于点，作于点，通过解直角三角形求得，，根据，结合三角形的面积公式即可求解； （3）证明，得到，因此，进而可推出，根据点是的中点，得到，从而，即当最小时，取得最小值．作点关于的对称点，连接，，，证明点，，在同一直线上，根据勾股定理求出，再由即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵动点从点开始沿边以的速度运动， ∴， ∴，解得． 【小问2详解】 解：∵在矩形中，，，， ∴在中，， ， 在中，． 当动点，运动时，，， ∴，． 过点作于点，作于点， ∴在中，， 在中，， ∴ ， ∴与之间的函数关系式为． 【小问3详解】 解：由（2）有，，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ∵是的中线， ∴， ∴， ∴当最小时，取得最小值． 作点关于的对称点，连接，，， ∴，，， ∴， ∴点，，在同一直线上， ∴， ∴在中，． ∵， ∴的最小值为， 此时，的最小值为， 即存在某一时刻，使的值最小，此时的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年青岛市初中学业水平考试数学试题 （考试时间：120分钟　满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25小题．第Ⅰ卷为选择题，共9小题，27分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，93分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共27分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1. 的绝对值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 我国科研团队首次在三维晶体中发现并操控“一维带电畴壁”，为下一代超高密度存储与人工智能芯片奠定了科学基础．“一维带电畴壁”厚度约为2.55埃米，相当于0.000000000255米，将0.000000000255用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 为提升学生体质健康水平，学校开展了丰富多彩的体育活动．甲、乙两名同学进行了定点投篮练习，每人每次定点投篮5个，最近10次练习的数据如图所示．甲、乙两名同学这10次练习投中个数的平均数分别记为和，方差分别记为和．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 张老师去书店购买图书，他先用108元买了一种史学书若干本，又用150元买了一种哲学书若干本．已知所买史学书的单价是哲学书单价的1.2倍，张老师所买史学书比哲学书少2本．设这种哲学书的单价为元，根据题意可列分式方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，，为边上一点，将沿所在直线折叠得到，的延长线交于点，若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共93分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 计算：＝________． 11. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，则点的坐标为__________． 12. 若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________． 13. 如图，点是正五边形的中心，，，连接，则的度数为__________． 14. 如图，是的切线，是切点，过点作的平行线，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）． 15. 我们约定：在平面直角坐标系中，点的“伴点”是点（其中，不同时为0）．例如，点的“伴点”是点．下列结论：①点的“伴点”是点；②存在点，使点与它的“伴点”均在反比例函数的图象上；③存在点，使点与它的“伴点”均在一次函数的图象上；④有且只有一个点，使点与它的“伴点”均在二次函数的图象上．正确的是__________（填写序号）． 三、作图题（本大题满分4分） 16. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，． 求作：，使，点，分别在边，上，且点到边，的距离相等． 四、解答题（本大题共9小题，共71分） 17. 解不等式组、计算 （1）解不等式组： （2）计算：． 18. 小明和小颖都想去参观非遗剪纸展览，但只有一张门票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去参观展览．游戏规则如下：A盒中装有2个白球和1个红球，B盒中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．小明从A盒中随机摸出一个球，小颖从B盒中随机摸出一个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明获胜；若摸出的两个球颜色不同，则小颖获胜．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，并说明这个游戏是否公平． 19. 为了解学生在阅览室的阅读情况，某校随机抽取了部分学生，并对他们在阅览室的一周阅览时长进行了收集、整理和描述．所抽取学生在阅览室的一周阅览时长（单位：小时）均不高于小时． 【收集数据】 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长如下： ， ， ， ． 【整理数据】 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的不完整统计表如下： 分组 组 （） 组 （） 组 （） 组 （） 人数 【描述数据】 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的不完整统计图如下： 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的频数直方图 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的扇形统计图 根据以上信息，解决下列问题： （1）补全频数直方图； （2）所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的众数为________小时；所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的中位数为________小时； （3）扇形统计图中，组所对应的扇形圆心角度数为________； （4）该校共有名学生，请估计该校在阅览室的一周阅览时长不低于小时的学生人数． 20. 如图是某公园的部分平面示意图，环湖观景路线由木栈道和圆弧形观景步道组成，，分别表示观景亭和喷泉．点，，在同一直线上，且点是所在圆的圆心，，米．在处测得，，在处测得，求，两点间的距离（结果精确到米）．（参考数据：，，，，，） 21. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，分别在轴，轴上，在反比例函数的图象上，将矩形绕原点按顺时针方向旋转，得到矩形，，，直线经过点，． （1）求点的坐标； （2）求直线与轴的交点的坐标； （3）根据图象，直接写出当时的取值范围． 22. 已知：如图，四边形是平行四边形，平分，平分，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 23. 根据以下探究完成相关题目： （1）探究一：如图①，在中，，，．在该三角形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在三角形内部，互不重叠，且一边与平行），最多能排列多少个小正方形？我们不妨这样思考： 如图②，排列第一层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第一层最多排列个； 如图③，排列第二层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第二层最多排列个；按上述思路，可求得在内部能排列的小正方形个数最多为________个； （2）探究二：如图④，在梯形中，，，，，．在该梯形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在梯形内部，互不重叠，且一边与平行）．在梯形内部能排列的小正方形个数最多为________个； （3）探究三：如图⑤，在五边形中，，，，，，，，在该五边形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在五边形内部，互不重叠，且一边与平行）．在五边形内部能排列的小正方形个数最多为________个． 24. 某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） （1）求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； （2）投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ （3）投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 25. 如图，在矩形中，，．动点从点开始沿对角线以的速度运动，动点从点开始沿边以的速度运动．与相交于点，是的中线，连接．点和点同时出发．设动点的运动时间为（）． 解答下列问题： （1）当点在线段的垂直平分线上时，求的值； （2）设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻，使的值最小？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $