2026年辽宁省中考数学试卷

**基本信息** 2026年辽宁省中考数学试卷以东北足球联赛、乡村振兴等现实情境为载体，覆盖数与代数、图形与几何等核心知识，通过基础题、中档题、难题梯度设计，考查抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|科学记数法、三视图、菱形性质|结合“东北超”联赛数据考科学记数法，体现数感| |填空题|5/15|因式分解、抽样估计、概率|以节水宣传抽样估计全校参与人数，考查数据意识| |解答题|8/75|方程应用、统计分析、函数综合|乡村振兴助农直播考二元一次方程组，收割机拨禾轮探究考解直角三角形，二次函数综合题考动态几何与最值，凸显应用意识与创新意识|

2026年辽宁省中考数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）·【易】下列各数中，比﹣4小的数是（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5 2．（3分）·【易】如图，是由4个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）·【易】山海关不住，东北超级酷．“东北超”（即东北地区城市足球联赛）辐射近1.2亿人口，贯穿东北文旅体商消费黄金季．数据120000000用科学记数法表示为（　　） A．120×105 B．12×106 C．1.2×107 D．1.2×108 4．（3分）·【较易】不等式组的解集是（　　） A．1＜x＜2 B．﹣1＜x＜2 C．x＜2 D．x＞﹣1 5．（3分）·【易】计算（2a3）2的结果是（　　） A．2a5 B．2a6 C．4a5 D．4a6 6．（3分）·【较易】如图，AB∥CD，直线l分别与AB、CD相交于点E、F，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠CFE＝140°，则∠EGF的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 7．（3分）·【中档】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC上，连接AE．将△ABE沿AE折叠，使AB的对应线段AF经过点C．若BC＝13，BD＝24，则CF的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 8．（3分）·【较易】我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．问方、圆径各若干？”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为252平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设：正方形田地的边长为x步，根据题意可列方程为（　　） A． B． C．x2+πx2＝252 D．4x+πx＝252 9．（3分）·【较易】有一个试验室在0：00﹣2：00保持18℃的恒温，在2：00﹣6：00匀速升温至30℃，试验室温度T（单位：℃）关于时间t（单位：h）的函数图象如图所示，则这个试验室在5：00时的温度为（　　） A．18℃ B．21℃ C．24℃ D．27℃ 10．（3分）·【中档】如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交CD于点E，连接BE，再分别别以点C和E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BE于点P，连接CP，则△BCP的面积为（　　） A．12 B．16 C．24 D．30 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）·【易】因式分解：x2﹣xy＝　 　 ． 12．（3分）·【较易】水润辽兴，水赋新能．某校为了了解学生参与节水宣传活动情况，随机抽取200名学生进行调查，结果显示有180名学生参与了活动．已知全校共有1600名学生，估计全校参与这项活动的学生约有　 　 名． 13．（3分）·【较易】3支试管中装有无色无味溶液，分别为稀H2SO4、NaOH溶液、Ca（OH）2溶液，将紫色石蕊溶液（紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红，遇碱性溶液变蓝）随机滴加到1支试管中，溶液颜色变红的概率是　 　 ． 14．（3分）·【较易】如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为点F，G．若AB＝10，CD＝15，则的值为　 　 ． 15．（3分）·【中档】如图，y1与y2关于y轴对称，且，一条平行于x轴的直线与y1和y2共有四个交点，从左到右依次记为A、B、C、D，当AB＝BC＝CD时，则AD＝　 　 ． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（10分）·【较易】（1）计算：． （2）计算：． 17．（8分）·【中档】乡村振兴，辽宁在行动．某助农直播间销售我省的大米和小米两种农产品．开播伊始，第一单售出大米和小米各1袋，收款100元；第二单售出2袋大米和3袋小米，收款240元． （1）大米和小米每袋各多少元？ （2）仓库中剩余大米、小米各25袋，若大米售价不变，小米降价销售，为保证剩余大米、小米的销售额不低于2450元，则每袋小米至多降价多少元？ 18．（8分）·【中档】某工厂计划生产一批智能机器人的关节部件，其外壳部分需要使用3D打印技术制造．现有甲、乙两个品牌的钛合金粉末（打印原料）可供选择，工厂的质检部门各随机抽取了10桶进行测试打印，按顺序记录下每桶原料打印的合格产品数量，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一： 每桶打印合格产品数（单位：个） 甲：48 51 48 51 48 50 51 50 51 52 乙：45 49 46 56 45 49 54 48 49 59 信息二： 信息三： 每桶打印合格产品数统计表 品牌 平均数 中位数 方差 甲 m 50.5 2 乙 50 n 20.6 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求甲品牌每桶打印合格产品数的平均数m的值； （2）求乙品牌每桶打印合格产品数的中位数n的值； （3）若每桶打印合格产品数越稳定越有利于生产，你认为工厂的质检部门会推荐哪个品牌？说明理由． 19．（8分）·【中档】2026年夏，我国多地冬小麦丰收．为助力“科学收粮，颗粒归仓”，某校数学“综合与实践”活动小组开展收割机发禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究活动，部分内容已录如下： 活动主题 收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究 活动准备 1．查阅有关资料： 2．准备皮尺、测角仪等测量工具． 采集信息 收割机的前端装置包含拨禾轮、支撑臂和割台等，拨禾轮的侧面是正五边形． 如图是收割机前端部分装置侧面示意图： 1．点A是拨禾轮中心，OA是拨禾轮支撑臂； 2．OC⊥CD，AB⊥OC，AD⊥CD； 3．OA＝80cm，AN＝40cm，OC＝90cm； 4．收割作业前，∠AOC＝113°． 设计方案 为减少小麦漏收情况，收割作业时需要将拨禾轮下降，使拨禾轮最低点与割台之间的垂直距离NF保持在5﹣10cm之间． 确定方案：绕点O旋转拨禾轮支撑臂OA，将拨禾轮下降，使∠AOC＝57°． 如图是拨禾轮下降后部分装置侧面示意图： 1．OC⊥CF，AE⊥OC，点A，N，F在一条直线上，AF⊥CF； 2．OA，AN，OC的长度保持不变． 根据以上信息，解决下列问题（图中所有点在同一平面内）： （1）求图1中AD的长； （2）求图2中NF的长，并判断小组所设计的方案是否可行． （参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin57°≈0.84，cos57°≈0.54） 20．（8分）·【中档】如图，BC为⊙O的直径，点A，D在⊙O上，并在BC的两侧，连接AB、AC、AD、CD，若，BE⊥AD，垂足为点E． （1）求∠ADC的度数； （2）若，求线段CD的长． 21．（8分）·【中档】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与交于点A（m，3）． （1）求m、k的值； （2）点B是直线在第一象限内图象上一点，BC⊥x轴于点C，点P为反比例函数图象上的点，点P到y轴的距离是点B到y轴距离的2倍，求△PBC面积的最大值及P点坐标． 22．（12分）·【较难】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝α，点D在边AB上，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转α得到线段DF． （1）当α＝45°且点E与点C重合时， ①如图1，点F在AC上，求∠BCD的度数； ②如图2，若DF∥BC，连接AF并延长与BC的延长线交于点G，求证：AB＝BG； （2）如图3，当α＝60°，AB＝11，BE＝2AD＝6时，连接AF、CF，求△ACF的周长． 23．（13分）·【较难】已知，二次函数y＝x2+bx+c与x的几组对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … （1）选取部分数据求二次函数y＝x2+bx+c的表达式； （2）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2+bx+c向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到y1，点A（3，m）是抛物线y1与抛物线的一个交点． ①过点B（t，0）作垂直于x轴的直线l，直线l与y1、y2分别交于点M、N，若点N在点M的上方，且，求t的值； ②若函数，其中﹣2＜a＜3，且y的最大值与最小值差为，求a值； ③若函数，其中a＞0，且y的图象与x轴恰好有两个交点，请直接写出a的取值范围． 2026年辽宁省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）·【易】下列各数中，比﹣4小的数是（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5 【解析】解：A．∵|﹣5|＝5，|﹣4|＝4，5＞4，∴﹣5＜﹣4，故符合题意； B．∵|﹣3|＝3，|﹣4|＝4，3＜4，∴﹣3＞﹣4，故不符合题意； C．3＞﹣4，故不符合题意； D．5＞﹣4，故不符合题意； 故选：A． 2．（3分）·【易】如图，是由4个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：从正面看，底层是三个正方形，上层的中间是一个正方形． 故选：C． 3．（3分）·【易】山海关不住，东北超级酷．“东北超”（即东北地区城市足球联赛）辐射近1.2亿人口，贯穿东北文旅体商消费黄金季．数据120000000用科学记数法表示为（　　） A．120×105 B．12×106 C．1.2×107 D．1.2×108 【解析】解：120000000＝1.2×108． 故选：D． 4．（3分）·【较易】不等式组的解集是（　　） A．1＜x＜2 B．﹣1＜x＜2 C．x＜2 D．x＞﹣1 【解析】解：， 解不等式①得，x＞﹣1， 结合不等式②x＜2， ∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜2， 故选：B． 5．（3分）·【易】计算（2a3）2的结果是（　　） A．2a5 B．2a6 C．4a5 D．4a6 【解析】解：（2a3）2＝4a6． 故选：D． 6．（3分）·【较易】如图，AB∥CD，直线l分别与AB、CD相交于点E、F，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠CFE＝140°，则∠EGF的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【解析】解：∵AB∥CD，∠CFE＝140°， ∴∠BEF＝∠CFE＝140°． ∵EG平分∠BEF， ∴∠BEG∠BEF＝70°， ∵AB∥CD， ∴∠EGF＝∠BEG＝70°． 故选：C． 7．（3分）·【中档】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC上，连接AE．将△ABE沿AE折叠，使AB的对应线段AF经过点C．若BC＝13，BD＝24，则CF的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，且BC＝13，BD＝24， ∴AB＝BC＝13，OB＝ODBD＝12，AC＝2OC，AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， 在Rt△OBC中，∠BOC＝90°， 由勾股定理得：OC5， ∴AC＝2OC＝10， ∵将△ABE沿AE折叠，使AB的对应线段AF经过点C， ∴AF＝AB＝13，AF＝AC+CF， ∴CF＝AF﹣AC＝13﹣10＝3． 故选：C． 8．（3分）·【较易】我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．问方、圆径各若干？”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为252平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设：正方形田地的边长为x步，根据题意可列方程为（　　） A． B． C．x2+πx2＝252 D．4x+πx＝252 【解析】解：根据题意可列方程为x2+π（）2＝252． 故选：B． 9．（3分）·【较易】有一个试验室在0：00﹣2：00保持18℃的恒温，在2：00﹣6：00匀速升温至30℃，试验室温度T（单位：℃）关于时间t（单位：h）的函数图象如图所示，则这个试验室在5：00时的温度为（　　） A．18℃ B．21℃ C．24℃ D．27℃ 【解析】解：已知在2：00﹣6：00匀速升温至30℃， ∴每小时升高3℃， 这个试验室在5：00时的温度为18+（5﹣2）×3＝27℃， 故选：D． 10．（3分）·【中档】如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交CD于点E，连接BE，再分别别以点C和E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BE于点P，连接CP，则△BCP的面积为（　　） A．12 B．16 C．24 D．30 【解析】解：由作图知BE＝AB＝10， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCE＝90°， ∵BC＝6， ∴CE8， 由作图知，MN垂直平分CE， ∴PE＝PC， ∴∠CEP＝∠PCE， ∵∠CEP+∠CBE＝∠ECP+∠PCB＝90°， ∴∠PCB＝∠CBP， ∴PC＝PB， ∴PE＝PB， ∴△BCP的面积S△BCE12． 故选：A． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）·【易】因式分解：x2﹣xy＝x（x﹣y）　 ． 【解析】解：x2﹣xy＝x（x﹣y）． 故答案为：x（x﹣y）． 12．（3分）·【较易】水润辽兴，水赋新能．某校为了了解学生参与节水宣传活动情况，随机抽取200名学生进行调查，结果显示有180名学生参与了活动．已知全校共有1600名学生，估计全校参与这项活动的学生约有　1440　 名． 【解析】解：估计全校参与这项活动的学生约有：16001440（名）， 故答案为：1440． 13．（3分）·【较易】3支试管中装有无色无味溶液，分别为稀H2SO4、NaOH溶液、Ca（OH）2溶液，将紫色石蕊溶液（紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红，遇碱性溶液变蓝）随机滴加到1支试管中，溶液颜色变红的概率是　　 ． 【解析】解：∵3支试管中装有无色无味溶液，分别为稀H2SO4、NaOH溶液、Ca（OH）2溶液， ∴将紫色石蕊溶液（紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红，遇碱性溶液变蓝）随机滴加到1支试管中，溶液颜色变红的概率为， 故答案为：． 14．（3分）·【较易】如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为点F，G．若AB＝10，CD＝15，则的值为　　 ． 【解析】解：由题知， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C． ∵AF⊥BC，DG⊥BC， ∴∠AFB＝∠DGC， ∴△AFB∽△DGC， ∴． 故答案为：． 15．（3分）·【中档】如图，y1与y2关于y轴对称，且，一条平行于x轴的直线与y1和y2共有四个交点，从左到右依次记为A、B、C、D，当AB＝BC＝CD时，则AD＝　3　 ． 【解析】解：设直线AB交第二象限的图象的对称轴于点G，交y轴于点P，交第一象限的图象的对称轴于点H， 设AB＝BC＝CD＝a， ∴AG＝BG＝CH＝DHa， ∴GH＝BG+BC+CH＝2a＝1﹣（﹣1）＝2． ∴a＝1． ∴AD＝AB+BC+CD＝3a＝3． 故答案为：3． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（10分）·【较易】（1）计算：． （2）计算：． 【解析】解：（1）原式＝4﹣2﹣3+3 ＝2； （2）原式• • ． 17．（8分）·【中档】乡村振兴，辽宁在行动．某助农直播间销售我省的大米和小米两种农产品．开播伊始，第一单售出大米和小米各1袋，收款100元；第二单售出2袋大米和3袋小米，收款240元． （1）大米和小米每袋各多少元？ （2）仓库中剩余大米、小米各25袋，若大米售价不变，小米降价销售，为保证剩余大米、小米的销售额不低于2450元，则每袋小米至多降价多少元？ 【解析】解：（1）设每袋大米x元，每袋小米y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每袋大米60元，每袋小米40元； （2）设每袋小米降价m元， 根据题意得：60×25+25（40﹣m）≥2450， 解得：m≤2， ∴m的最大值为2． 答：每袋小米至多降价2元． 18．（8分）·【中档】某工厂计划生产一批智能机器人的关节部件，其外壳部分需要使用3D打印技术制造．现有甲、乙两个品牌的钛合金粉末（打印原料）可供选择，工厂的质检部门各随机抽取了10桶进行测试打印，按顺序记录下每桶原料打印的合格产品数量，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一： 每桶打印合格产品数（单位：个） 甲：48 51 48 51 48 50 51 50 51 52 乙：45 49 46 56 45 49 54 48 49 59 信息二： 信息三： 每桶打印合格产品数统计表 品牌 平均数 中位数 方差 甲 m 50.5 2 乙 50 n 20.6 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求甲品牌每桶打印合格产品数的平均数m的值； （2）求乙品牌每桶打印合格产品数的中位数n的值； （3）若每桶打印合格产品数越稳定越有利于生产，你认为工厂的质检部门会推荐哪个品牌？说明理由． 【解析】解：（1）根据题意，甲品牌10个数据的总和为： 48+51+48+51+48+50+51+50+51+52＝500， 则甲品牌每桶打印合格产品数的平均数m为： ， 答：甲品牌每桶打印合格产品数的平均数m的值为 50． （2）将乙品牌的10个数据按从小到大的顺序排列 为： 45，45，46，48，49，49，49，54，56，59， 位于中间的两个数（第5个和第6个）均为49， 则乙品牌每桶打印合格产品数的中位数n为： ， 答：乙品牌每桶打印合格产品数的中位数n的值为 49． （3）工厂的质检部门会推荐甲品牌， 理由如下：由统计表可知，甲品牌的方差为2，乙品牌的方差为 20.6， ∵2＜20.6， ∴甲品牌的方差小于乙品牌的方差， ∴甲品牌每桶打印合格产品数更稳定， ∴推荐甲品牌． 19．（8分）·【中档】2026年夏，我国多地冬小麦丰收．为助力“科学收粮，颗粒归仓”，某校数学“综合与实践”活动小组开展收割机发禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究活动，部分内容已录如下： 活动主题 收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究 活动准备 1．查阅有关资料： 2．准备皮尺、测角仪等测量工具． 采集信息 收割机的前端装置包含拨禾轮、支撑臂和割台等，拨禾轮的侧面是正五边形． 如图是收割机前端部分装置侧面示意图： 1．点A是拨禾轮中心，OA是拨禾轮支撑臂； 2．OC⊥CD，AB⊥OC，AD⊥CD； 3．OA＝80cm，AN＝40cm，OC＝90cm； 4．收割作业前，∠AOC＝113°． 设计方案 为减少小麦漏收情况，收割作业时需要将拨禾轮下降，使拨禾轮最低点与割台之间的垂直距离NF保持在5﹣10cm之间． 确定方案：绕点O旋转拨禾轮支撑臂OA，将拨禾轮下降，使∠AOC＝57°． 如图是拨禾轮下降后部分装置侧面示意图： 1．OC⊥CF，AE⊥OC，点A，N，F在一条直线上，AF⊥CF； 2．OA，AN，OC的长度保持不变． 根据以上信息，解决下列问题（图中所有点在同一平面内）： （1）求图1中AD的长； （2）求图2中NF的长，并判断小组所设计的方案是否可行． （参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin57°≈0.84，cos57°≈0.54） 【解析】解：（1）如图1所示： ∵OC⊥CD，AB⊥OC，AD⊥CD，点B，O，C共线， ∴∠BCD＝∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC， ∵∠AOC＝113°， ∴∠AOB＝180°﹣∠AOC＝67°， 在Rt△AOB中，∠ABC＝90°， ∴cos∠AOB， ∴OB＝OA•cos∠AOB， 又∵OA＝80cm，cos67°≈0.39， ∴OB＝80×cos67°≈80×0.39＝31.2（cm）， ∵OC＝90cm，点O在线段BC上， ∴BC＝OB+OC＝90+31.2＝121.2（cm）， 答：图1中AD的长约为121.2cm． （2）如图2所示： ∵OC⊥CF，AE⊥OC，点A，N，F在一条直线上，AF⊥CF， ∴∠ECF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，∠AEO＝90°， ∴四边形AECF是矩形，△AOE是直角三角形， ∴AF＝EC，在Rt△AOE中，∠AEO＝90°， ∴cos∠AOC， ∴OE＝OA•cos∠AOC， ∵OA＝80cm，∠AOC＝57°，cos57°≈0.54， ∴OE＝80×cos57°≈80×0.54＝43.2（cm）， ∵OC＝90cm，点E在OC上， ∴EC＝OC﹣OE＝90﹣43.2＝46.8（cm）， ∴AF＝EC＝46.8cm， ∵AN＝40cm，点A，N，F在一条直线上， ∴NF＝AF﹣AN＝46.8﹣40＝6.8（cm）， 又∵5cm＜6.8cm＜10cm， ∴该小组所设计的方案可行． 答：图2中NF的长约为6.8cm，该小组所设计的方案可行． 20．（8分）·【中档】如图，BC为⊙O的直径，点A，D在⊙O上，并在BC的两侧，连接AB、AC、AD、CD，若，BE⊥AD，垂足为点E． （1）求∠ADC的度数； （2）若，求线段CD的长． 【解析】解：（1）∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∵， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°， ∴∠ADC＝∠ABC＝45°； （2）连接BD， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BCAB， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BDC＝∠AEB， ∵∠BCD＝∠BAE， ∴△BCD∽△BAE， ∴CD：AE＝BC：AB：1， ∵AE， ∴CD＝2． 21．（8分）·【中档】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与交于点A（m，3）． （1）求m、k的值； （2）点B是直线在第一象限内图象上一点，BC⊥x轴于点C，点P为反比例函数图象上的点，点P到y轴的距离是点B到y轴距离的2倍，求△PBC面积的最大值及P点坐标． 【解析】解：（1）∵直线与交于点A（m，3）． ∴3， ∴m＝﹣2， ∴A（﹣2，3）， 把A的坐标代入得，3， 解得k＝﹣6； （2）∵点B是直线在第一象限内图象上一点，BC⊥x轴于点C， ∴设点B（t，），则C（t，0）， ∴0，解得t＜4， ∵点P到y轴的距离是点B到y轴距离的2倍， ∴点P的横坐标为﹣2t， ∴S△PBC•（）•（t+2t）t2+3t（t﹣2）2+3， ∵t＜4， ∴当t＝2时，S△PBC的值最大，最大值为3， 此时P点的横坐标为﹣4， 把x＝﹣4代入y得，y， ∴P点的坐标为（﹣4，）． 22．（12分）·【较难】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝α，点D在边AB上，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转α得到线段DF． （1）当α＝45°且点E与点C重合时， ①如图1，点F在AC上，求∠BCD的度数； ②如图2，若DF∥BC，连接AF并延长与BC的延长线交于点G，求证：AB＝BG； （2）如图3，当α＝60°，AB＝11，BE＝2AD＝6时，连接AF、CF，求△ACF的周长． 【解析】（1）①解：∵AC＝BC，∠B＝45°， ∴∠A＝∠B＝45°， ∴∠ACB＝90°， ∵段DE绕点D逆时针旋转α得到线段DF， ∴DE＝DF，∠EDF＝45°， ∴∠DCF＝∠DFC（180°﹣45°）＝67，5°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝22.5°； ②证明：∵DF∥BC， ∴∠CDF＝∠DCB， ∵∠CDF＝45°， ∴∠DCB＝45°＝∠B， ∴∠BDC＝90°， ∴CD⊥AB， ∴ADC＝90°， ∴∠ADF＝45°， ∵AC＝BC， ∴∠B＝∠BAC＝45°， ∴∠ACB＝90°， ∴CD＝AD＝BDAB， 由①知DF＝DE， ∴DF＝AD， ∴∠DAF＝∠AFD， ∵DF∥BC， ∴∠DFA＝∠G， ∴∠G＝∠DAF， ∴AB＝BG； （2）∵AC＝BC，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝11，∠ACB＝60°， ∵BE＝2AD＝6， ∴AD＝3，CE＝5， 连接EF， ∵将线段DE绕点D逆时针旋转α得到线段DF， ∴DE＝DF，∠EDF＝60°， ∴△DEF是等边三角形， ∴EF＝DE， 过点E作EG⊥AB于点G， ∴∠EGB＝∠EGD＝90°， ∴BGBE＝3， ∴DG＝AB﹣AD﹣BG＝5＝CE， ∵∠B＝60°，∠BGE＝90°， ∴∠BEG＝30°， ∴∠CEF+∠DEG＝180°﹣∠DEF﹣∠BEG＝90°， ∵∠EDG+∠DEG＝90°， ∴∠CEF＝∠EDG， ∴△CEF≌△GDE（SAS）， ∴CF＝EG＝3，∠DGE＝90°， ∴∠ACF＝30°， 过点F作FH⊥AC于点H， ∴∠CHF＝∠AHF＝90°， ∴FHCF，CHCF， ∴AH， ∴AF7， ∴△ACF的周长＝AF+AC+CF＝7+11+318+3． 23．（13分）·【较难】已知，二次函数y＝x2+bx+c与x的几组对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … （1）选取部分数据求二次函数y＝x2+bx+c的表达式； （2）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2+bx+c向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到y1，点A（3，m）是抛物线y1与抛物线的一个交点． ①过点B（t，0）作垂直于x轴的直线l，直线l与y1、y2分别交于点M、N，若点N在点M的上方，且，求t的值； ②若函数，其中﹣2＜a＜3，且y的最大值与最小值差为，求a值； ③若函数，其中a＞0，且y的图象与x轴恰好有两个交点，请直接写出a的取值范围． 【解析】解：（1）根据题意，由表格可知顶点为（﹣1，﹣4）， ∴y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3； （2）平移后的函数解析式为y1＝x2﹣1， 将点A代入y1得，A（3，8）， 将A（3，8）代入中， ∴n＝﹣1， ∴， ①过点B（t，0）作直线l⊥x轴，交函数y1和函数y2与点M，N，如图1所示， ∴M（t，t2﹣1），N（t，﹣t2+6t﹣1）， ∵点N在点M的上， ∴﹣t2+6t﹣1﹣（t2﹣1）， 解得t； ②如图2所示， 当x＝3时，代入y1＝x2﹣1中，得y1＝8， ∴函数y的最大值为8， ∴最小值为8， 当﹣2≤a＜0时，最小值始终在x＝a处取得，即y最小值为﹣a2+6a﹣1， ∴﹣a2+6a﹣1， 解得a或a（舍）； 当0≤a＜3时，最大值为8，最小值始终在x＝0处取得，即y的最小值为﹣1， ∴8﹣（﹣1）＝9，不符合题意； 综上所述：a的值为； ③如图3所示， 根据题意可知， y1＝x2﹣1与x轴的两个交点为（1，0），（﹣1，0）， 与x轴的两个交点为（3﹣2，0），（3+2，0）， 当a≤1时，a+1≤2， 此时根据图象可知，函数y与x轴的交点个数小于2，不满足要求， 当a＞1时，函数y1的图象始终与x轴有两个交点，此时只要保证函数y2的图象与x轴无交点即可， ∴a+1＜3+2， ∴a＜2+2， ∴1＜a＜2+2， 根据图象可知，当a＞3+2时， 函数y1与x轴有两个交点，此时函数y2与x轴无交点，满足题意， ∴a＞3+2， 综上所述：a的取值范围是1＜a＜2+2或a＞3+2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $