精品解析：2025年辽宁省中考数学试题

2025年辽宁省初中学业水平考试 数学试卷 （本试卷共23小题满分120分考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标是 第一部分选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列几何体中，主视图为三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从正面看到的图形，据此判断出对应几何体的主视图形状即可得到答案． 【详解】解；A、圆锥的主视图是三角形，符合题意； B、圆柱的主视图是长方形，不符合题意； C、球的主视图是圆，不符合题意； D、正方体的主视图是正方形，不符合题意； 故选：A． 2. 十年砥砺，春华秋实．据2025年5月6日《辽宁日报》报道，辽宁省科学技术馆作为我省重要的科普宣传阵地和科学文化交流平台，自2015年开馆以来，累计接待公众超1900万人次．数据19000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 3. 数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意． 故选D． 5. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出相同颜色的小球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 红 黄 红 (红，红) (红，黄) 黄 (黄，红) (黄，黄) 共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种， ∴两次摸出的都是红球的概率为． 故选：C． 6. 如图，点在 的边 上，，垂足为， ，若，则 的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，求出 的度数即可． 【详解】解：∵， ，， ∴， ∴； 故选C． 7. 如图，在矩形中，点在边上，，连接，若， ，则的长为（　　） A. 1 B. 5 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，是解题的关键，勾股定理求出的长，进而得到的长，推出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D. 8. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，根据平移的性质，由点A平移后的对应点C的坐标确定平移规则，再应用于点B即可得到点D的坐标． 【详解】解：由题意，点向上平移5个单位得到点， ∴点向上平移5个单位得到点， ∴点的坐标为，即； 故选B． 9. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 10. 如图，在中，， ，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点 ，再分别以点和点 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到 ，，进而求出的长，得到 垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 【详解】解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴ ，， ∴ 垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 第二部分非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若超出标准质量用“”表示，那么低于标准质量就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作， 故答案为： ． 12. 在电压不变的情况下，电流 （单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流 与电阻之间的函数表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，设电流 与电阻之间的函数表达式为，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设电流 与电阻之间的函数表达式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 甲、乙两名运动员进行跳远测试，每人测试10次，他们各自测试成绩（单位：）的平均数和方差如下表： 运动员 平均数 方差 甲 601 乙 601 则这两名运动员测试成绩更稳定的是___________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，方差越小，成绩越稳定，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴甲的方差小于乙的方差， ∴这两名运动员测试成绩更稳定的是甲， 故答案为：甲． 14. 如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为___________ （结果精确到 ．参考数据：，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确使用三角函数是解题的关键． 在 中，由即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴在 中，， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，对角线与 相交于点，点在线段 上， ，点在线段 上，，连接，点为的中点，连接，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等．由菱形对角线互相垂直且平分，可得，，取 中点H，连接 ，则，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：在菱形中，对角线与 相交于点， ，， ， ， 如图，取 中点H，连接 ， 点为的中点，点H为 的中点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别进行乘方、乘法运算，以及求立方根和绝对值，再进行加减计算； （2）先将除法化为乘法，再进行分式的减法计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． （1）求种文创产品每件的进价； （2）小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 【答案】（1）种文创产品每件的进价为元 （2）小张最多可以购进50件种文创产品 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设种文创产品每件的进价为元，根据种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可； （2）设小张购进件种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设种文创产品每件的进价为元，则：种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得： ， 答：种文创产品每件的进价为元； 【小问2详解】 设小张购进件种文创产品，由（1）可知，种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：； 答：小张最多可以购进50件种文创产品． 18. 种下绿色希望，建设美丽辽宁．某学校学生积极参与春季义务植树活动，在活动结束后，该学校为了解八年级学生植树棵数的情况，随机抽取若干名八年级参加植树的学生，统计每人的植树棵数，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 抽取的八年级学生植树棵数的人数扇形统计图 抽取的八年级学生植树棵数的人数统计表 棵数/棵 1 2 3 4 5 人数/人 4 10 6 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求的值； （2）求被抽取的八年级学生植树棵数的中位数； （3）本次植树活动中，植树不少于4棵的学生将被学校评为“绿动先锋”，该学校八年级有320名学生参加了此次植树活动，请你估计这些学生中被评为“绿动先锋”的人数． 【答案】（1） （2）3 （3）估计这些学生中被评为“绿动先锋”的人数为人 【解析】 【分析】本题考查统计图表，求中位数，利用样本估计总体，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键： （1）先用植树棵数为2棵的人数除以所占的比例求出调查的人数，进而用总人数乘以植树棵数为3棵的人数所占的比例，求出的值，再用总数减去其它组的数量求出 的值即可； （2）根据中位数的确定方法进行求解即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可. 【小问1详解】 解： （人）； ∴，； 故答案为：； 【小问2详解】 将数据排序后，位于第20个和第21个数据均为3， ∴中位数为3； 【小问3详解】 （人）； 答：估计这些学生中被评为“绿动先锋”的人数为人. 19. 为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱 的长为，且，垂足为． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为 ，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 【答案】（1） （2）这根材料的长度够用 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）求出点坐标，代入函数解析式，进行求解即可； （2）求出的坐标，进而求出的长，进行判断即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：，， ∴， 把代入 ，得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 由题意，可知：， ∴关于轴对称， ∵， ∴当 时，， ∴， ∵， 故这根材料的长度够用． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段 上（不与点，重合），过点作 的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． （1）求证：； （2）设点的坐标为，当 时，线段与线段相交于点，求四边形 面积的最大值. 【答案】（1） 证明：对于直线 ， 令，则 ；令，则 ， ∴，， ∴ ，， ∵， ∴； （2）四边形 面积的最大值为． 【解析】 【分析】（1）先求得，，得到 ，，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立； （2）由题意得 ， ，根据折叠的性质得 ， ，利用等腰直角三角形的判定和性质求得 ， ，再利用梯形的面积公式求得四边形 面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点的坐标为， ∴ ， ， ∵点关于直线的对称点为， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 面积 ∵， ∴当，四边形 面积有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质．第2问求得四边形 面积关于的二次函数的解析式是解题的关键． 21. 如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接 ，与相交于点． （1）如图1，连接，求的度数； （2）如图2，若点为的中点，且，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接 ，先证明，得到，由等腰三角形性质得到，设，在四边形 中，由四边形内角和等于计算即可； （2） 根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求度数，再由弧长公式即可求解． 【小问1详解】 解：连接 ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在四边形 中，∵ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接 ， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为：． 22. （1）如图1，在与中，与相交于点， ，求证：； （2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点 ，连接，求的面积． 【答案】（1）证明：∵ ， ∴，即， ∵ ，， ∴； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角求得，再利用证明即可； （2）由题意得，得到，，，作于点，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得 ，，证明，推出，利用相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）设，由旋转的性质得，则，利用三角形内角和定理以及平角的性质求得，，推出，求得，作于点，求得，再求得，据此求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵，即， ∴，，， 作于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）设， 由旋转的性质得，则， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于点， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵，，即， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数 的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． （1）求点的坐标及 的值． （2）直线与二次函数的图象分别相交于点 ，与直线相交于点，当 时， ①求证： ； ②当四边形 的一组对边平行时，请直接写出的值． （3）二次函数与二次函数组成新函数，当 时，函数的最小值为，最大值为 ，求 的取值范围． 【答案】（1）点的坐标为 ， 的值分别为 （2）①证明：如图， 设直线的解析式为 ，将 ， 分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 设点E的坐标为 ∵， ∴， 将代入得 ， 将代入，得 ， ∴， ， ∴ ②或 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像综合问题，二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数，平行线的性质，相似三角形，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先求出 ， ，再分别代入 ，列出二元一次方程组，即可解答． （2）①设直线的解析式为 ，将 ， 分别代入，得直线的解析式为，设点E的坐标为 ，求出，设 ， ，则， ，即可解答． ②当 时， ，当时， ，再分类讨论，即可解答． （3）易得，当时，取得最小值为，解出；当时，函数的最大值为 ，解得；当 时， ，解得，或（舍去），，即可解答． 【小问1详解】 解：当 时， ， 解得 ， ∴ ， 将代入 ，得， ∴ ， 将 ， 分别代入 ，得 ， 解得． 答：点的坐标为 ， 的值分别为． 【小问2详解】 ①略 ②如图 当 时， ， ∴ ， ∴， 即，解得． 当时， ， ∴ ， ∴， 即，解得， ∴或． 【小问3详解】 ∵次函数与二次函数组成新函数， ∴， ∴当 时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 当 时，y随x的增大而增大．且当时，取得最小值． ∵当 时，函数的最小值为，最大值为 ， ∴当时，取得最小值为，即， 解得． ∵ 时，函数的最大值为 ， ∴当时，函数的最大值为 ，即 ， 解得； 当 时， ， 解得，或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 解得，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年辽宁省初中学业水平考试 数学试卷 （本试卷共23小题满分120分考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标是 第一部分选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列几何体中，主视图为三角形的是（　　） A. B. C. D. 2. 十年砥砺，春华秋实．据2025年5月6日《辽宁日报》报道，辽宁省科学技术馆作为我省重要的科普宣传阵地和科学文化交流平台，自2015年开馆以来，累计接待公众超1900万人次．数据19000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，点在 的边 上，，垂足为， ，若，则 的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，点在边 上，，连接，若， ，则的长为（　　） A. 1 B. 5 C. 2 D. 8. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 9. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 10. 如图，在 中，， ，，的平分线与 相交于点．在线段 上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点 ，再分别以点和点 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接 ．则的周长为（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 第二部分非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作___________． 12. 在电压不变的情况下，电流 （单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流 与电阻之间的函数表达式为___________． 13. 甲、乙两名运动员进行跳远测试，每人测试10次，他们各自测试成绩（单位：）的平均数和方差如下表： 运动员 平均数 方差 甲 601 乙 601 则这两名运动员测试成绩更稳定的是___________（填“甲”或“乙”）． 14. 如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为___________ （结果精确到 ．参考数据：，）． 15. 如图，在菱形中，对角线 与 相交于点，点在线段 上， ，点在线段 上，，连接，点为的中点，连接，则的长为___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． （1）求种文创产品每件的进价； （2）小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 18. 种下绿色希望，建设美丽辽宁．某学校学生积极参与春季义务植树活动，在活动结束后，该学校为了解八年级学生植树棵数的情况，随机抽取若干名八年级参加植树的学生，统计每人的植树棵数，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 抽取的八年级学生植树棵数的人数扇形统计图 抽取的八年级学生植树棵数的人数统计表 棵数/棵 1 2 3 4 5 人数/人 4 10 6 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求的值； （2）求被抽取的八年级学生植树棵数的中位数； （3）本次植树活动中，植树不少于4棵的学生将被学校评为“绿动先锋”，该学校八年级有320名学生参加了此次植树活动，请你估计这些学生中被评为“绿动先锋”的人数． 19. 为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（ 的长）为； 3．立柱 的长为，且，垂足为． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与 垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段 所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为 ，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段 上（不与点，重合），过点作 的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接 ． （1）求证：； （2）设点的坐标为，当 时，线段 与线段相交于点，求四边形 面积的最大值. 21. 如图，在 中，，以为直径作，与 相交于点．连接 ，与相交于点． （1）如图1，连接 ，求的度数； （2）如图2，若点为 的中点，且，求的长． 22. （1）如图1，在 与中，与 相交于点， ，求证：； （2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与 相交于点：若，求的长； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点 ，连接，求的面积． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数 的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． （1）求点的坐标及 的值． （2）直线与二次函数的图象分别相交于点 ，与直线相交于点，当 时， ①求证： ； ②当四边形 的一组对边平行时，请直接写出的值． （3）二次函数与二次函数组成新函数，当 时，函数的最小值为，最大值为 ，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $