2026年江苏省无锡市中考数学试卷

**基本信息** 2026年无锡中考数学卷以科技热点（生成式AI用户数据）、文化传承（《九章算术》）、生活实践（丢沙包轨迹）为情境，覆盖数与代数、图形与几何、统计与概率，梯度分布合理，突出数学眼光观察、思维推理、语言表达核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、分式、统计、函数图像|第3题科学记数法结合科技数据，第8题《九章算术》考查方程组建模| |填空题|8/24|因式分解、多边形、命题、函数应用|第13题窗棂正六边形外角，体现传统文化中的几何美| |解答题|10/96|方程、几何证明、统计分析、函数综合、新定义|26题丢沙包轨迹构建二次函数模型（数学语言表达），28题“等截线”新定义探究（创新意识）|

2026年江苏省无锡市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（3分）·【易】如果一辆汽车加油50L记作+50L，那么消耗油30L记作（　　） A．+80L B．﹣80L C．+30L D．﹣30L 2．（3分）·【易】使分式有意义的x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．x≥1 C．x≠1 D．x＜1 3．（3分）·【易】随着科技的不断进步，生成式人工智能成为我国经济社会数字化、智能化转型的重要引擎．截止2025年12月，我国生成式人工智能用户达602000000人．数据602000000用科学记数法表示为（　　） A．602×106 B．6.02×106 C．6.02×108 D．0.602×109 4．（3分）·【较易】体育课上5名男生进行引体向上训练，他们的成绩（单位：个）为8，9，9，10，11．这组数据的众数和中位数分别是（　　） A．8，9 B．9，9 C．9，8 D．11，9 5．（3分）·【较易】分式方程的解是（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝3 6．（3分）·【易】将函数y＝3x﹣2的图象向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（　　） A．y＝3x﹣4 B．y＝3x C．y＝5x﹣2 D．y＝x﹣2 7．（3分）·【较易】如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB′C′，若∠BAC＝30°，∠B′AC＝110°，则旋转角的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 8．（3分）·【较易】《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱．现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡酒各有多少？设浓酒x斗，淡酒y斗，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）·【较易】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B在y轴上，则不等式ax2+bx﹣mx≤0的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥0 B．x≤﹣1或x≥0 C．﹣3≤x≤0 D．﹣1≤x≤0 10．（3分）·【中档】在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝2，．点D在边AB上，将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD．当A′C∥DB时，△A′CD与△BCD重叠部分的面积是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。请把答案填在题中的横线上） 11．（3分）·【易】计算：　 　 ． 12．（3分）·【较易】因式分解：ab2﹣4a＝　 　 ． 13．（3分）·【易】窗棂是中国传统建筑的重要元素，既有吉祥寓意，又显几何之美．如图所示，某个窗棂图案的外框是正六边形，这个正六边形的每一个外角都等于　 　 度． 14．（3分）·【中档】命题“若x＜1，则x2＜1”是　 　 （填“真”或“假”）命题． 15．（3分）·【较易】在平面直角坐标系中，点A到原点的距离等于1．请写出一个符合条件的点A的坐标： 　 ． 16．（3分）·【较易】在弹性限度内，某弹簧最多可挂质量为30g的物体，弹簧长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：g）之间的函数表达式为y＝kx+9．若挂10g物体时弹簧的长度为11cm，则挂15g物体时弹簧的长度为　 　 cm． 17．（3分）·【较易】已知正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，F是CE的中点，则DF＝　 　 ． 18．（3分）·【中档】在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝5，点P在四边形ABCD内．如图1，PB，PD将该四边形分成两部分，面积分别记作S1，S2，则　 　 （填“存在”或“不存在”）点P，使得S1＝S2；如图2，将点P向右平移m（m＞0）个单位长度，得到点Q（点Q仍在该四边形内）．PB，PQ，QD将该四边形分成两部分，面积分别记作S1，S2．若存在点P，Q，使得S1＝S2，则m的取值范围是　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，共96分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）·【较易】（1）解方程：x2﹣3x+1＝0； （2）计算：（x+y）2+x（x﹣2y）． 20．（8分）·【较易】先化简，再求值：，其中m＝1，n＝2． 21．（10分）·【中档】如图，在矩形ABCD中，点E，F在AD上，AE＝DF，BE，CF的延长线相交于点G． （1）求证：△ABE≌△DCF； （2）求证：△BCG是等腰三角形． 22．（10分）·【中档】一只不透明的袋子中装有2个红球1个白球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，甲先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸出1个球． （1）求甲摸到红球的概率（请直接写出答案）； （2）有人设计了如下游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，两人摸出球的颜色不同则乙胜，请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）？ 23．（10分）·【中档】某校积极开展劳动教育，鼓励学生动手实践、磨炼意志．为了解本校学生参加家务劳动情况，现对八年级学生一周参加家务劳动时间（单位：min，按整数计）进行抽样调查，并把所得数据进行整理和分析，部分信息如下： 一周参加家务劳动时间的频数分布表 组别 劳动时间t/min 频数 A 140≤t＜160 3 B 160≤t＜180 m C 180≤t＜200 n D 200≤t＜220 18 E 220≤t＜240 9 请根据以上信息，解答下列问题： （1）m＝　 　 ；n＝　 　 ； （2）学校建议八年级学生每周参加家务劳动时间不少于3h．已知该校八年级共有600名学生，请你估计该校八年级学生一周参加家务劳动时间不少于3h的人数； （3）请结合数据对该校八年级学生一周参加家务劳动时间的情况作出评价． 24．（10分）·【中档】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC． （1）尺规作图：在AC上确定点D，使点D到A，B两点的距离相等；在AB的下方确定点E，使得四边形AEBD是菱形（不写作法，保留痕迹）； （2）在（1）的条件下，若BC＝4，AD＝3CD，求菱形AEBD的周长（请直接写出答案）． 25．（10分）·【中档】如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，过点B的切线交AD的延长线于点C，AD＝DC＝1． （1）求BC的长； （2）求图中阴影部分的面积． 26．（10分）·【中档】综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 （1）如图，小红丢沙包时的出手高度为1.5m，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为10m．沙包在距离出手点的水平距离为3m时达到最高点，最高点距离地面2m．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． （2）若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面1m．小红出手高度仍为1.5m，出手点与靶心的水平距离仍为10m．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为4m时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 27．（10分）·【较难】如图，点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，过A分别作x轴、y轴的平行线，与反比例函数y（x＞0）的图象相交于点B，C，过C作x轴的平行线，与反比例函数y的图象相交于点D（其中k1，k2为常数，且k1＞k2＞0）． （1）若点A（3，5），AB＝2，则k2＝　 　 ． （2）若点A的横坐标为2，且△ABC∽△CAD，求k1与k2之间的数量关系． （3）延长CB，DA相交于点P，当点A在函数图象上运动时，△PCD的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 28．（10分）·【较难】在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上．若BD＝DE＝EC，则称线段DE是△ABC中∠A所对的“等截线”． 【初步感知】（1）如图1，已知DE是△ABC中∠A所对的“等截线”，∠BDE＝150°，∠DEC＝120°，求tanC的值（请直接写出答案）． 【概念应用】（2）如图2，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BC＝2，求∠A所对的“等截线”的长度． 【深入探究】（3）小明探究发现，任意三角形都存在某个角所对的“等截线”，且这条“等截线”唯一存在．如何画出“等截线”？他从阅读著名数学家波利亚的名著中受到启发：以△ABC为例（AB＜AC＜2AB），画出∠A所对的“等截线”的部分步骤如下． 画法 图形 ①在AB上适当的位置取点P，作直线PK∥AC，PK交BC于点K ②在PK上截取PQ＝PB，连接BQ并延长，交AC于点G ③在KC上取点M，使得QM＝PQ ④作CN∥QM，CN交BG于点N … 请你根据以上信息，说明步骤④中的CN的长度即为∠A所对的“等截线”的长度． 2026年江苏省无锡市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（3分）·【易】如果一辆汽车加油50L记作+50L，那么消耗油30L记作（　　） A．+80L B．﹣80L C．+30L D．﹣30L 【解析】解：∵加油50L记作+50L， 说明用正数表示加油，负数表示消耗油， ∴消耗油30L记作﹣30L． 故答案为：D． 2．（3分）·【易】使分式有意义的x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．x≥1 C．x≠1 D．x＜1 【解析】解：由条件可知：x﹣1≠0， ∴x≠1． 故选：C． 3．（3分）·【易】随着科技的不断进步，生成式人工智能成为我国经济社会数字化、智能化转型的重要引擎．截止2025年12月，我国生成式人工智能用户达602000000人．数据602000000用科学记数法表示为（　　） A．602×106 B．6.02×106 C．6.02×108 D．0.602×109 【解析】解：602000000＝6.02×108． 故选：C． 4．（3分）·【较易】体育课上5名男生进行引体向上训练，他们的成绩（单位：个）为8，9，9，10，11．这组数据的众数和中位数分别是（　　） A．8，9 B．9，9 C．9，8 D．11，9 【解析】解：∵9出现次数最多， ∴众数为9． ∵将数据从小到大排列后，第3个数据为9， ∴中位数为9． 故选：B． 5．（3分）·【较易】分式方程的解是（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝3 【解析】解：分式方程， 方程两边同乘x（x+1），得3x＝2（x+1）， 去括号，得3x＝2x+2， 移项、合并同类项，得x＝2， 检验：当x＝2时，x（x+1）≠0， ∴x＝2是原分式方程的解． 故选：A． 6．（3分）·【易】将函数y＝3x﹣2的图象向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（　　） A．y＝3x﹣4 B．y＝3x C．y＝5x﹣2 D．y＝x﹣2 【解析】解：根据一次函数图象平移法则可知： 将函数y＝3x﹣2的图象向上平移2个单位长度得y＝3x﹣2+2＝3x． 故选：B． 7．（3分）·【较易】如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB′C′，若∠BAC＝30°，∠B′AC＝110°，则旋转角的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【解析】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′， ∵∠BAC＝30°，∠B′AC＝110°， ∴∠BAB′＝∠B′AC﹣∠BAC＝110°﹣30°＝80°． 即旋转角为80°． 故选：D． 8．（3分）·【较易】《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱．现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡酒各有多少？设浓酒x斗，淡酒y斗，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：根据题意得： ． 故选：D． 9．（3分）·【较易】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B在y轴上，则不等式ax2+bx﹣mx≤0的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥0 B．x≤﹣1或x≥0 C．﹣3≤x≤0 D．﹣1≤x≤0 【解析】本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．解：∵对于二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0），令x＝0，则y＝c， ∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与y轴的交点为（0，c）， ∵对于一次函数y＝mx+n，令x＝0，则y＝n， ∴一次函数y＝mx+n的图象与y轴的交点为（0，n）， ∵两个图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B在y轴上， c＝n． 则不等式ax2+bx﹣mx≤0可变形为ax2+bx+c﹣mx≤c，即ax2+bx+c≤mx+n， ∴由图象可得，它的解集是﹣3≤x≤0． 故选：C． 10．（3分）·【中档】在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝2，．点D在边AB上，将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD．当A′C∥DB时，△A′CD与△BCD重叠部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：如图， ∵∠ACB＝90°，AC＝2，， ∴AB3， 由折叠的性质得到：∠A′＝∠A，A′C＝AC＝2， ∵A′C∥DB， ∴∠A′＝∠BDE， ∴∠A＝∠BDE， ∴A′D∥CA， ∴∠CEA′＝∠ACB＝90°， ∴△A′EC∽△ACB， ∴CE：BC＝A′C：AB， ∴CE：2：3， ∴CE， ∴EB＝BC﹣BE， ∵ED∥CA， ∴△BED∽△BCA， ∴ED：CA＝BE：BC， ∴ED：2：， ∴ED， ∴△A′CD与△BCD重叠部分△CED的面积CE•ED． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。请把答案填在题中的横线上） 11．（3分）·【易】计算：　3　 ． 【解析】解：原式＝1+2 ＝3， 故答案为：3． 12．（3分）·【较易】因式分解：ab2﹣4a＝a（b+2）（b﹣2）　 ． 【解析】解：原式＝a（b2﹣4） ＝a（b+2）（b﹣2）， 故答案为：a（b+2）（b﹣2） 13．（3分）·【易】窗棂是中国传统建筑的重要元素，既有吉祥寓意，又显几何之美．如图所示，某个窗棂图案的外框是正六边形，这个正六边形的每一个外角都等于　60　 度． 【解析】解：∵任意多边形的外角和为360°，正六边形的6个外角大小相等， ∴正六边形的每一个外角度数为 360°÷6＝60°， 故答案为：60． 14．（3分）·【中档】命题“若x＜1，则x2＜1”是　假　 （填“真”或“假”）命题． 【解析】解：当x＝﹣2时，x2＞1， ∴命题“若x＜1，则x2＜1”是假命题； 故答案为：假． 15．（3分）·【较易】在平面直角坐标系中，点A到原点的距离等于1．请写出一个符合条件的点A的坐标：　（1，0）（答案不唯一）　 ． 【解析】解：点A到原点的距离等于1，设点A的坐标为（x，y）， 依题意得：x2+y2＝12＝1， 当x＝1时，代入等式得：y＝0，满足条件， ∴符合要求的点A坐标可以为（1，0）， 故答案为：（1，0）（答案不唯一）． 16．（3分）·【较易】在弹性限度内，某弹簧最多可挂质量为30g的物体，弹簧长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：g）之间的函数表达式为y＝kx+9．若挂10g物体时弹簧的长度为11cm，则挂15g物体时弹簧的长度为　12　 cm． 【解析】解：将x＝10，y＝11代入函数式，得11＝10k+9， 解得k＝0.2， ∴函数表达式为y＝0.2x+9（0≤x≤30）． 将x＝15代入函数式，得y＝0.2×15+9＝12， 即挂15g物体时弹簧长度为12cm． 故答案为：12． 17．（3分）·【较易】已知正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，F是CE的中点，则DF＝　　 ． 【解析】解：正方形边长为2，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， ∴A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2）， ∵E是AB的中点， ∴E的坐标为（1，0）， ∵F是CE的中点，C（2，2），E（1，0）， ∴F的横坐标为，纵坐标为，即， ∵D（0，2）， ∴， 故答案为：． 18．（3分）·【中档】在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝5，点P在四边形ABCD内．如图1，PB，PD将该四边形分成两部分，面积分别记作S1，S2，则　存在　 （填“存在”或“不存在”）点P，使得S1＝S2；如图2，将点P向右平移m（m＞0）个单位长度，得到点Q（点Q仍在该四边形内）．PB，PQ，QD将该四边形分成两部分，面积分别记作S1，S2．若存在点P，Q，使得S1＝S2，则m的取值范围是　0＜m　 ． 【解析】 解：如图1，连接BD，过点P作MN∥BD，分别交CD，BC于点M，N， 平行线间处处等距，MN上所有点到BD的距离都相等，进而确定点P的轨迹． 由题意可知，四边形ABCD是直角梯形， ∴， ∴． 又， ∴当S△BDP＝8﹣6＝2时， ∴S1S梯形ABCD＝S2， 在Rt△ABD中，， ∴点P到BD的距离为， 因此存在点P，使得S1＝S2， 此时点P的轨迹为线段MN（不包括端点），且MN与BD间的距离为； 如图2，考虑临界情况，当点P在AB上的点P'处，点Q在CD上的点Q'处时， 设P'Q'＝x，若S1＝S2，则， 解得， ∴S1， 解得（舍负）， ∴0． 故答案为：存在；0＜m． 三、解答题（本大题共10小题，共96分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）·【较易】（1）解方程：x2﹣3x+1＝0； （2）计算：（x+y）2+x（x﹣2y）． 【解析】解：（1）x2﹣3x+1＝0， a＝1，b＝﹣3，c＝1， b2﹣4ac ＝（﹣3）2﹣4×1×1 ＝9﹣4 ＝5， ∴， ； （2）（x+y）2+x（x﹣2y） ＝x2+2xy+y2+x2﹣2xy ＝x2+x2+y2+2xy﹣2xy ＝2x2+y2． 20．（8分）·【较易】先化简，再求值：，其中m＝1，n＝2． 【解析】解： ． 当m＝1，n＝2时，原式． 21．（10分）·【中档】如图，在矩形ABCD中，点E，F在AD上，AE＝DF，BE，CF的延长线相交于点G． （1）求证：△ABE≌△DCF； （2）求证：△BCG是等腰三角形． 【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）； （2）由（1）知，△ABE≌△DCF， ∴∠ABE＝∠DCF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴∠GBC＝90°﹣∠ABE，∠GCB＝90°﹣∠DCF， ∴∠GBC＝∠GCB， ∴△BCG是等腰三角形． 22．（10分）·【中档】一只不透明的袋子中装有2个红球1个白球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，甲先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸出1个球． （1）求甲摸到红球的概率（请直接写出答案）； （2）有人设计了如下游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，两人摸出球的颜色不同则乙胜，请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）？ 【解析】解：（1）在不透明的袋子中共有3个球，其中红球有2个， 由题意可知，甲摸到红球的概率为． （2）这个游戏规则对甲、乙双方不公平， 列表如下： 甲 乙 红1 红2 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，白） 由上表可知，共有9种等可能的结果，其中颜色相同的结果有5种，颜色不同的结果有4种． ∴P（甲胜），P（乙胜）． ∵（或）， ∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平． 23．（10分）·【中档】某校积极开展劳动教育，鼓励学生动手实践、磨炼意志．为了解本校学生参加家务劳动情况，现对八年级学生一周参加家务劳动时间（单位：min，按整数计）进行抽样调查，并把所得数据进行整理和分析，部分信息如下： 一周参加家务劳动时间的频数分布表 组别 劳动时间t/min 频数 A 140≤t＜160 3 B 160≤t＜180 m C 180≤t＜200 n D 200≤t＜220 18 E 220≤t＜240 9 请根据以上信息，解答下列问题： （1）m＝　6　 ；n＝　24　 ； （2）学校建议八年级学生每周参加家务劳动时间不少于3h．已知该校八年级共有600名学生，请你估计该校八年级学生一周参加家务劳动时间不少于3h的人数； （3）请结合数据对该校八年级学生一周参加家务劳动时间的情况作出评价． 【解析】解：（1）被调查的学生人数为3÷5%＝60（人）， 被调查的学生在B组的人数m＝60×10%＝6（人），在C组的人数n＝60×40%＝24（人）， 故答案为：6，24； （2）600510（名）， 答：该校八年级600名学生中一周参加家务劳动时间不少于3h的人数大约有510名； （3）该校八年级学生一周参加家务劳动情况较好． 24．（10分）·【中档】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC． （1）尺规作图：在AC上确定点D，使点D到A，B两点的距离相等；在AB的下方确定点E，使得四边形AEBD是菱形（不写作法，保留痕迹）； （2）在（1）的条件下，若BC＝4，AD＝3CD，求菱形AEBD的周长（请直接写出答案）． 【解析】解：（1）如图即为所求作图形： （2）设CD＝x，则AD＝3CD＝3x， ∵四边形AEBD是菱形， ∴DB＝DA＝3x， 在Rt△BCD中，∠ACB＝90°，BC＝4， ∴BC2+CD2＝BD2， 即42+x2＝（3x）2， 解得（舍负）． ∴． ∴菱形AEBD的周长为． 25．（10分）·【中档】如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，过点B的切线交AD的延长线于点C，AD＝DC＝1． （1）求BC的长； （2）求图中阴影部分的面积． 【解析】解：（1）连接BD， ∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线， ∴∠ABC＝∠ADB＝90°， ∵AD＝DC＝1， ∴AD＝BD＝CDAC＝1， ∴AB＝BC； （2）连接OD， ∵AD＝CD，AO＝BO， ∴OD∥BC， ∴∠DOB＝90°，OD＝OBBC， ∴阴影部分的面积（）． 26．（10分）·【中档】综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 （1）如图，小红丢沙包时的出手高度为1.5m，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为10m．沙包在距离出手点的水平距离为3m时达到最高点，最高点距离地面2m．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． （2）若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面1m．小红出手高度仍为1.5m，出手点与靶心的水平距离仍为10m．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为4m时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【解析】解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是（3，2），且经过点（0，1.5）， 设抛物线的解析式为，其中x＞0， 将点（0，1.5）代入得：（0﹣3）2a1+2＝1.5， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当y＝0时，， 解得x＝9或x＝﹣3＜0（不符合题意，舍去）， ∵9≠10， ∴沙包不能正好命中靶心． （2）建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点（0，1.5），（10，1），且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中x＞0，由条件可得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当x＝4时，y取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 27．（10分）·【较难】如图，点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，过A分别作x轴、y轴的平行线，与反比例函数y（x＞0）的图象相交于点B，C，过C作x轴的平行线，与反比例函数y的图象相交于点D（其中k1，k2为常数，且k1＞k2＞0）． （1）若点A（3，5），AB＝2，则k2＝　5　 ． （2）若点A的横坐标为2，且△ABC∽△CAD，求k1与k2之间的数量关系． （3）延长CB，DA相交于点P，当点A在函数图象上运动时，△PCD的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【解析】解：（1）∵点A（3，5）在反比例函数y（x＞0）的图象上， ∴k1＝3×5＝15， ∵AB⊥y轴，k1＞k2＞0，且AB＝2， ∴B（1，5）， ∵点B在反比例函数y（x＞0）的图象上， ∴k2＝1×5＝5， 故答案为：5； （2）点A的横坐标为2，点A在反比例函数y（x＞0）的图象上， ∴A（2，）， ∵AC∥y轴， ∴点C的横坐标为2， ∵点C在反比例函数y（x＞0）的图象上， ∴C（2，）， ∴AC（k1﹣k2）， ∵A（2，），AB⊥y轴， ∴点B的纵坐标为， ∵点B在反比例函数y（x＞0）的图象上， ∴B（，）， ∴AB＝2（k1﹣k2）， 同理：D（，），CD（k1﹣k2）， ∵△ABC∽△CAD， ∴， ∴， ∴k1k2＝16， 即k1与k2之间的数量关系为k1k2＝16； （3）如图，当点A在函数图象上运动时，△PCD的面积是定值，这个定值为， 设点A（m，）， 同（2）的方法得，B（，），C（m，），D（，）， ∴CDm， 直线BC的解析式为yx（k1+k2）①， 直线AD的解析式为yx（k1+k2）②， 联立①②解得，， ∴点P的纵坐标为（k1+k2）， ∴S△PCDCD•（yP﹣yC）[（k1+k2）]， 即当点A在函数图象上运动时，△PCD的面积是定值，这个定值为． 28．（10分）·【较难】在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上．若BD＝DE＝EC，则称线段DE是△ABC中∠A所对的“等截线”． 【初步感知】 （1）如图1，已知DE是△ABC中∠A所对的“等截线”，∠BDE＝150°，∠DEC＝120°，求tanC的值（请直接写出答案）． 【概念应用】 （2）如图2，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BC＝2，求∠A所对的“等截线”的长度． 【深入探究】 （3）小明探究发现，任意三角形都存在某个角所对的“等截线”，且这条“等截线”唯一存在．如何画出“等截线”？他从阅读著名数学家波利亚的名著中受到启发：以△ABC为例（AB＜AC＜2AB），画出∠A所对的“等截线”的部分步骤如下． 画法 图形 ①在AB上适当的位置取点P，作直线PK∥AC，PK交BC于点K ②在PK上截取PQ＝PB，连接BQ并延长，交AC于点G ③在KC上取点M，使得QM＝PQ ④作CN∥QM，CN交BG于点N … 请你根据以上信息，说明步骤④中的CN的长度即为∠A所对的“等截线”的长度． 【解析】解：（1）∵∠BDE＝150°，∠DEC＝120°， ∴∠ADE＝180°﹣∠BDE＝30°， ∠AED＝180°﹣∠DEC＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝90°， ∵DE是△ABC中∠A所对的“等截线”， ∴BD＝DE＝CE， 设BD＝DE＝CE＝2m， 则AE＝m，AD＝DE•cos∠ADEm， ∴AB＝AD+BDm+2m，AC＝AE+CE＝3m， ∴tanC， ∴tanC； （2）如图1，设DE是∠A所对的“等截线”，连接BE， 设DE＝BD＝CE＝x， ∵AB＝AC， ∴AD＝AE， ∵∠A＝36°， ∴∠ADE＝∠AED＝∠ABC＝∠C＝72°， ∴∠ABE＝∠DEB＝36°， ∴∠BEC＝72°， ∴∠BEC＝∠C，∠A＝∠ABE， ∴AE＝BE＝BC＝2， ∴AB＝AC＝x+2， ∵∠C＝∠C，∠ABC＝∠BEC， ∴△CAB∽△CBE， ∴， ∴， ∴x1（舍负）， ∴∠A所对的“等截线”的长度是1； （3）证明：如图2，作ND∥AC交AB于点D，过点D作DE∥CN交AC于点E， ∴四边形CEDN是平行四边形， ∵PQ∥AC，DN∥AC， ∴PQ∥DN， ∴△BPQ∽△BDN， ∴， ∵CN∥QM， ∴△BQM∽△BNC， ∴， ∴， ∵QM＝PQ， ∴CN＝DN， ∵平行四边形CEDN是菱形， ∴CN＝CE＝DE＝DN， ∵PQ∥DN， ∴∠PQB＝∠DNB， ∵BP＝PQ， ∴∠PQB＝∠PBQ， ∴∠DNB＝∠PBQ， ∴BD＝DN， ∴BD＝DE＝CE， ∴DE是∠A所对的“等截线”， 又∵CN＝CE＝DE＝DN， ∴CN是∠A所对的“等截线”的长度． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $