A12 江苏省无锡市2025年中考数学试卷-【壹学知道】2026年江苏13大市中考数学精编28+6套卷

无锡市2025年中考数学试卷 (满分：150分考试时间：120分钟) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.计算一2+3的结果为 A.-5 B.-1 C.1 D.5 2.2025年春节期间，无锡市65家备案博物馆接待游客总数约819000人次.数据819000用科学记 数法表示为 ( ) A.8.19×10 B.81.9×104 C.0.819×10 D.0.819×10 3.下列运算正确的是 由 A.a2+a4=a6 B.a2·a4=a5 C.(a2)4=a D.a4÷a=a4 录 4.一组数据：13,14,14,16,18，这组数据的平均数和众数分别是 A.15,14 B.14,15 C.14,14 D.15,15 胸 5.在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点.若DE=4,则BC的长为 因 A.2 B.4 C.6 D.8 6.已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为90°，则这条弧的长为 A.2π B.3元 C.4π D.6π 7.分解因式a3一4a的结果是 ( A.a(a2+4) B.a(a-4) C.a(a+2)(a-2)D.a(a2-1) 8.小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑 行了6km,小亮的骑行时间比小红的少4min.设小红的骑行速度为xkm/h,则可列方程为 站 6 46 6+4=2 6 A.1.2z60x B.1.2x 646 C.1.2x60t 6一4= 6 D.1. 9.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OBA的直角边OB在x轴上，AO,AB分别与反 比例函数y=(6>0,c>0)的图像相交于点C,D,且C为A0的中点，过点C作工轴的垂线，垂 p 足为E,连接DE.若△BDE的面积为，则k的值为 A. B. C.5 D.10 A12-1 10.若函数y1的图像上存在点P,函数y2的图像上存在点Q,且P,Q关于y轴对称，则称函数y1 和y2具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”.现有下列结论：①函数y1= 2x十3与函数y2=一x十1不具有“对偶关系”；②函数y1=2x十3与函数y2=一x十1的“对偶 值”为一1，③若1是函数y=kx+3与函数y:=的“对偶值”，则=2，④若函数y=-2x+ 6(-2<x≤-1D与函数：(x>0)具有“对偶关系”，则3<6≤其中正确的是（） A.①④ B.②③ C.①③④ D.②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.1-3= 12.函数)一二中自变量x的取值花围是 13.请写出单项式ab的一个同类项： 14.请写出命题“若a>b,则a+1>b+1”的逆命题： 15.正七边形的内角和为 16.如图，AB与⊙O相切于点B,连接BO,过点O作BO的垂线，交⊙O于点C,连接AC,交线段 OB于点D.若AB=3,OC=2,则tanA的值为 (第16题) (第17题) 17.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，对角线AC,BD相交于点M.过点D作AC的平行 线交BC的延长线于点N,连接MN,则MN的长为 18.在平行四边形纸片ABCD中，∠ABC=60°，AB=4,BC=8.现将该纸片折叠，折痕与纸片 ABCD的两边交于点E,F.若点E与点A重合，点F在BC上，且EF⊥BC,则被折痕分成的 △EBF与四边形EFCD的面积比为 ;若折痕EF将纸片ABCD分成两个四边形，且被 分成的两个四边形的面积比为1：3，则折痕EF的长的取值范围是 三、解答题（本大题共10小题，共96分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19.(8分) 2x6, (1)解方程：x2一2x一2=0； (2)解不等式组：{ 3x-1≥x+1. A12-2 20台分洗化衡得术值二十后二其中阳-8 21.(10分)如图，在矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，点F在BC的延长线上，且BE=CF, 连接AE,DF (1)求证：△ABE≌△DCF. (2)求证：∠EAD=∠FDA. 22.(10分)一只不透明的袋子中装有标号分别为1,2,3,4的4个球，这些球除标号外都相同. (1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是 (2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号. 求两次摸到的球标号均小于3的概率.（请用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程) 23.(10分)2025年1月14日，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》（以下简称《指南》）， 旨在推动中小学科学教育工作更加重视激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜 质、愿意献身科学研究事业的青少年群体.某校为落实《指南》要求，准备在七年级开设“3D打印” “航模”“机器人”“无人机”共四类科技社团（每名学生必选且仅选一个社团参加）.为了解学生参 加各社团的意向，现随机抽取七年级部分学生进行问卷调查，并对调查数据进行收集、整理、描 述和分析，部分信息如下： A12-3 计划参加四类科技社团人数的条形统计图 计划参加四类科技社团人数分布的扇形统计图 人数 201 16 32% 无人机 15 机器人 10 3D打印 16% 22% 航模 3D打印航模机器人无人机社团 请根据以上信息，解答下列问题， (1)本次调查的样本容量为 ,并将条形统计图补充完整.（画图后请标注相应的数据） (2)若该校七年级共有1000名学生，请估计计划参加“机器人”社团的学生人数. (3)根据上述统计分析情况，请你为该校科技社团活动的顺利开展给出一条合理建议. 24.(10分)如图，AC为正方形ABCD的对角线 (1)尺规作图：作AD的垂直平分线L交AD于点E,在1上确定点F,使得点F到∠BAC的两 边距离相等.（不写作法，保留痕迹） (2)在(1)的条件下，求∠EFA的度数.（请直接写出∠EFA的度数） 25.(10分)如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC延长线上的一点，且CD=CA,DB的延长线交⊙O 于点E (1)求证：AB=BD. (2)若AB=3,os∠ABE=写，求AD的长. A12-4 26.(10分)某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动. 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（图1）.在点F处竖立标杆EF,直立在点Q处的小军 从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上.已知旗杆底端N与F,Q在同一条直线上， EF=2.8 m,PQ=1.4 m,QF=2 m,FN=16 m. 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一，该小组为 全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度.他们到达妙光塔后，发现塔顶A和 塔底中心B均无法到达.经研究，他们设计并实施了如下测量活动（图2）.在地面一条水平步道 上的点F处竖立标杆EF,直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线 上.小军沿FQ的方向走到点Q'处，此时标杆E'F'竖立于点F'处，从点P'处看到标杆顶E'、塔 顶A在同一条直线上.已知AB,EF,PQ,E'F和PQ'在同一平面内，点B,F,Q,F',Q'在同一 条直线上，EF=E'F'=2.8m,PQ=P'Q'=1.4m,FQ=1.2m,F'Q'=2.2m,QQ=30m. (1)求旗杆MN的高度. (2)求妙光塔AB的高度. pah 图1 图2 22+mx+ 27.(10分)已知二次函数y=- 3m(m≠0)的图像的顶点为A,与y轴交于点B,对称 轴与x轴交于点C. (1)若该函数的图像经过点(0，√3)，求点A的横坐标 (2)若m<3,点P(2,y1)和Q(4,y2)在该函数图像上，证明：y1>y2 (3)若△ABC是等腰三角形，求m的值. A12-5 28.(10分)【数学发现】 某校数学兴趣小组进行了如下探究：以△ABC内部任意一点O为中心，画出与△ABC成中心 对称的△A'BC.当点O处于不同位置时，从“形”的角度发现两个三角形的重叠部分只可能有 两种情况：如图1所示的平行四边形，如图2所示的有三组对边分别平行的六边形（称为“平行六 边形”)；从“数”的角度发现两个三角形重叠部分的面积并不固定 C B .0 图1 图2 【问题解决】 组员小明选择面积为1的△ABC,以其内部任意一点O为中心，画出与之成中心对称的 △A'B'C',探究了下列问题，请你帮他解答 (1)如图3，BC=2,当点A关于点O的对称点A'落在边BC上时，两个三角形的重叠部分为 ☐AQA'P ①若AA'⊥BC,求AO的长；（请直接写出答案） ②若口AQA'P的面积为，求A'C的长。 (2)如图4，D为BC的中点，点O在AD上.若两个三角形的重叠部分为“平行六边形” EFGHMN,求该“平行六边形”面积的最大值，并指出此时点O的位置. 图3 图4 A12-62,.AB=√AC2+BC=√22+22=2√2. 由(1)中结论可知，AC2-CD2=AD·BD, .22-CD2=2×(2√2-2)， ∴.CD2=8-42, .S正方形cDEF=CD2=8-4√2. (3)如图1，延长BD交⊙O于点F,连接OF,CF. BD平分∠ABC,∴.∠ABD=∠DBC, ..AF=FC 由(1)中结论可知，OB2-OD2=BD·DF, .92-52=BD·DF=56. :∠FBC=∠FBA,∠FCA=∠FBA, ∴.∠FCA=∠FBC. :∠DFC=∠CFB,.△DFC∽△CFB. 况名况 设DF=m(m>0),则CF=2m,BF=4m, .BD=BF-DF=3m. BD·DF=56,.3m·m=56,解得m= 2√/42 3,BD=3m=242. (4)如图2，过点D作DH⊥AE于点H,过点E 作EF⊥BD于点F. ,AD=DE=BE,∴∠DAE=∠DEA,∠EDB= ∠EBD. 设∠DAE=∠DEA=a,∠EDB=∠EBD=B, 则∠CDE=∠DAE+∠DEA=2a,∠CED= ∠EDB+∠EBD=2R, ∠C=120°，.2a+2B=60°，.a+B=30°， .∠DPH=30°. 在△ADH中，m∠CAE=分÷R器=行 .可设DH=n(n>0),则AH=5n. DA=DE,DH⊥AE,∴.EH=AH=5n. :∠DPH=30°，∴.PD=2n,∴.PH= √PD-DH=√3n,∴.PA=AH+PH=(5+√3)n, PE=EH-PH=(5-3)n. :AD=√JAH+DH=√/26n,.DE=BE= √26n. 在Rt△PEF中，∠EPF=∠DPH=30°，.EF= 2PE=53-3 2 n,PF= PE5 2n, DF=PD+PF-53+1 2n. ED=EB,EF LBD,BF=DF=53+1 2n, ∴.PB=BF+PF=(5√3-1)n, 小费器石。 故答案为 5-3 2 0 图1 图2 A12无锡市2025年中考数学试卷 1.C解析：本题考查了有理数的加法，掌握有理 数加法运算法则是解题的关键.一2+3=1. 2.A解析：本题考查了用科学记数法表示较大 的数.用科学记数法表示较大的数的一般形式为a× 10",其中1≤|a|<10,n等于原数的整数位数减1. .819000=8.19×105. 3.B解析：本题考查了合并同类项、同底数幂的 乘法与除法、幂的乘方.a2与a不是同类项，无法合 并，故A选项不符合题意；a2·a4=a+4=a°，故B选 项符合题意；(a2)4=ax4=a°，故C选项不符合题意； a4÷a=a-l=a3,故D选项不符合题意。 4.A解析：本题考查了平均数与众数.这组数据 的平均数为号×(13+14+14+16+18)=15.这组数 据中，14出现了2次，出现的次数最多，故众数为14. 5.D解析：本题考查了三角形的中位线定理. 在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，.DE 是△ABC的中位线，DE= BC.:DE=4, 1 .BC=2DE=2X4=8. 6.B解析：本题考查了圆的弧长的计算，熟练掌 握弧长公式是解题的关健，根据弧长公式1=可 知，这条弧的长为90X6=3元 180 7.C解析：本题考查了用提公因式法和公式法 分解因式.a3一4a=a(a2一4)=a(a+2)(a一2). 8.A解析：本题考查了由实际问题抽象出分式 方程，理解题意并列出相应的分式方程是解题的关键. 由题意可知，小亮的骑行速度为1.2xkm/h,小红的骑 行时间为2，小亮的踏行时间为2，由小亮的骑 行时侧比小红的少4m可列方裂为2：十。兰 9.C解析：本题是反比例函数与几何图形的综 合.设C(,)C为A0的中点A(2a,),则 D(2a会)，B2a,0BD-会，BE=a. 专D8E=方会a合片您得 1 k 10.B解析：本题考查了一次函数、反比例函数 的性质及轴对称与坐标变换.设点P的坐标为(， 2m十3)，则点P关于y轴对称的点Q的坐标为(-m, 2m+3),将点Q(-m,2m+3)的坐标代人y=一x+ 1,得2m十3=m十1，解得m=-2,即当m=-2时， 函数y1=2x+3与函数y2=一x十1具有“对偶关 系”，故①不正确；由①知，点（一2，一1）在y1=2x十3 的图像上，点(2，一1)在y2=一x十1的图像上，且点 (-2,-1)与点(2，一1)关于y轴对称，故函数y1= 2x十3与函数y2=一x十1具有“对偶关系”，且“对偶 值”为一1，故②正确；将y=1代入y=x十3，得1= kx+3,解得x=一会将y=1代入y=得1 x 解得红=1，则有-名-1，解得太=2，故③正确：函数 y=(x>0)关于y轴对称的函数为y=-上(x< 0),则当y=-2x+6(-2≤x≤-1)与y=-2(x< 0)的图像有交点时，函数y1=一2x十b(-2≤x≤-1) 与函数y=上(x>0)具有“对偶关系”，当x=-1时， y-片-1，当z-2时y--2合将点 (-1,1)的坐标代入y=-2x+b,得1=-2× (-1D+6,解得6=-1，将点(-2，)的坐标代入 y=-2x十6，得号=-2×(-2)+6，解得6=-子，结 7 合函数图像可知，6的取值范围为-名≤6≤-1，故④ 不正确.综上所述，正确的结论是②③. 11.3解析：本题考查了实数的绝对值.|一3=3. 12.x卡4解析：本题考查了分式有意义的条件」 根据题意，得x一4≠0，解得x≠4. 13.一3a2b(答案不唯一)解析：本题考查了同 类项，理解同类项的定义是解题的关键.同类项指的是 所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项，故α2b 的同类项可以是一3ab(答案不唯一). 14.若a+1>b十1，则a>b解析：本题考查了 逆命题.交换原命题的条件与结论的位置即可得到逆 命题，故命题“若a>b,则a十1>b+1”的逆命题为 “若a十1>b+1,则a>b”. 15.900解析：本题考查了多边形的内角和公 式.正七边形的内角和为(7-2)×180°=900° 16.号 解析：本题考查了圆的性质、切线的性 质、相似三角形的判定与性质、三角函数的应用.在⊙O 中，OB=OC=2..AB与⊙O相切于点B,.OB⊥AB. OC :CO⊥OB,.OC∥AB,.△CODn△ABD, “AB= OD ,2三x,解得x= D设0D=x,则BD=2-x心3=22 ,则BD=2号=S,在Rt△ABD中，tanA 6 BD 5 2 AB=3=5 17.√7解析：本题考查了菱形的性质、平行线的 性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角函数 的应用.，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°， .AC⊥BD,BM=MD,AB=BC=2,∠DBC=30°， AD∥BC,,.∠BMC=90°，△ABC是等边三角形， :AC=AB=2,MB=BC·cos30°=2X5=月， 2 ∴.MD=√3.DN∥AC,∴.∠MDN=∠BMC=90°， 四边形ACND是平行四边形，.DN=AC=2.在 Rt△MDN中，MN=W√MD2+DN=√/(3)2+22= √7. 18.1:72√3≤EF<4√5或2√13<EF< 2√21解析：本题考查了平行四边形的性质、垂线段 最短、三角函数的应用、矩形的判定与性质、勾股定理、图 形面积的计算.如图1，，EF⊥BC,∠ABC=60°，AB= 4,BF=2AB=2,EF=AB·sin∠ABC=4X 1 -2,Sm=号BF·EF=方X2X25 23,SOABCD BC.EF =8 X 23 16 3, ∴.S四边形ErCD=SGABCD-SAEBF=16V3-2V3=14V3, .S△EBr:S四边形Ercn=2V3：14V3=1:7.如图2，分别 取AD,BC的中点M,N,连接MN,则四边形 ABNM、四边形MNCD是面积相等的平行四边形.连 接AN,BM交于点O,当折痕EF(点E在AD上，点 F在BC上，EF不与AN,BM重合)经过点O时，四 边形ABFE与四边形EFNM的面积相等，此时折痕 EF将口ABCD分成面积比为1：3的两个四边形.当 EF⊥BC时，折痕EF最短，EF=23;在□ABNM 中，AB=BN=4,∠ABC=60°，则□ABNM是菱形， ∠ABO=30°，AN⊥BM,BM=2OB,在Rt△AOB中， OB=AB·cos∠AB0=4义VS=23,∴.BM月 2OB=2X2W3=43,,EF不与BM重合，.2√3 EF<4√5.如图3，分别取AB,CD的中点P,Q,连接 PQ,则四边形ADQP、四边形PQCB是面积相等的平 行四边形.连接AQ,DP交于点O',当折痕EF(,点E 在AB上，点F在CD上，EF不与AQ,DP重合)经过 点O时，四边形ADFE与四边形EFQP的面积相等， 此时折痕EF将口ABCD分成面积比为1：3的两个 四边形.过点D作DM⊥BA交BA的延长线于点M, 过点Q作QG⊥BM于点G,交AD于点H,则四边形 DMGQ是矩形，易求得DM=QG=4√3，GM=DQ= AP=2,AM=4,则AG=2,PM=6,∴.AQ= √JAG+QG=√2+(4V3)2=2/13,DP=√PMf+MD= √6+(4√3)2=2√2I.,EF不与AQ,DP重合， ∴2√I3<EF<2√2I.综上所述，折痕EF的长的取 值范围为2√3≤EF<4√3或2√13<EF<2√21. A(E) O 图1 M 图2 D 图3 19.解析：本题考查了一元二次方程与一元一次 不等式组的解法.(1)利用配方法求解即可；(2)先分别 求每个不等式的解集，再求它们的公共部分即可 解：(1)x2-2x-2=0,.x2-2x=2, x2-2x+1=2+1,.(x-1)2=3, .x-1=士3，.x=1士3， .x1=1十3，x2=1-√3. (2)解不等式2x<6,得x<3. 解不等式3x-1≥x+1,得x≥1. .不等式组的解集为1≤x<3. 20.解析：本题考查了分式的化简求值.同分母的 分式相加，分母不变，分子直接相加，再约分，最后代入 求值即可. 解：原式=1+m-2m=(m-1)2 m-1 m-1 =m-1.当 m=3时，原式=3-1=2. 21.解析：本题考查了矩形的性质、全等三角形的 判定与性质.(1)由矩形的性质可得AB=DC, ∠BAD=∠CDA=∠DCB=∠ABC=90°，进而得到 ∠ABE=∠DCF=90°，又BE=CF,根据“SAS”即可 证得结论；(2)由(1)中△ABE≌△DCF可得 ∠BAE=∠CDF,再根据∠BAD=∠CDA=90°及角 的和差即可证得结论. 证明：(1)，四边形ABCD是矩形，AB=DC, ∠BAD=∠CDA=∠DCB=∠ABC=90°， ∴.∠ABE=180°-∠ABC=90°，∠DCF=180°- ∠DCB=90°，∴.∠ABE=∠DCF. (AB=DC, 在△ABE和△DCF中，∠ABE=∠DCF, BE=CF, ∴.△ABE≌△DCF (2).‘△ABE2△DCF,.∴.∠BAE=∠CDF .∠BAD=∠CDA=90°，∴.∠BAD+∠BAE= ∠CDA+∠CDF,即∠EAD=∠FDA. 22.解析：本题考查了用列表法或画树状图法求 事件的概率、概率公式.(1)直接根据概率公式求解即 可；(2)先列表得出所有等可能的结果数，再找出两次 摸到的球标号均小于3的结果数，最后根据概率公式 求解即可 解：(1)从袋子中任意摸出1个球，共有4种等可 能的结果，摸到标号为2的球的结果只有1种，故摸到 标号为2的球的概率是4 故答案为子 (2)列表如下，共有12种等可能的结果，其中两次 摸到的球标号均小于3的结果有2种，∴.两次摸到的 球标号均小于3的税率为品-片 1 2 3 4 1 (2,1) (3,1) (4,1) (1,2) (3,2) (4,2) 3 (1,3) (2,3) (4,3) (1,4) (2,4) (3,4) 23.解析：本题考查了条形统计图、扇形统计图 用样本估计总体，从统计图中获取相关信息是解题的 关键.(1)根据计划参加“航模”社团的学生人数及所占 的百分比即可求出样本容量，进而求出计划参加“无人 机”社团的学生人数，最后补全条形统计图即可；(2)根 据扇形统计图中计划参加“机器人”社团的学生人数所 占的百分比即可估计出全校七年级学生中计划参加 “机器人”社团的学生人数；(3)答案不唯一，建议合理 即可， 解：(1)本次调查的样本容量为8÷16%=50. 故答案为50. 计划参加“无人机”社团的学生人数为50一11一 8-16=15,补全条形统计图如图所示. 人数 0 16 15 15 11 10 5 0 3D打印航模机器人无人机社团 (2)1000×32%=320(人).答：估计计划参加“机 器人”社团的学生有320人. (3)多做宣传（例如：设计科学小报，发放宣传小册 等)，激发学生对国家科学研究事业的兴趣.（答案不 唯一) 24.解析：本题考查了尺规作图、正方形的性质、 角的平分线的性质、平行线的性质.(1)分别作AD的 垂直平分线及∠BAC的平分线，它们的交点即为点 F;(2)根据正方形的性质得到AB⊥AD,∠BAC= 45°，从而得到EF∥AB,再根据角平分线的性质求出 ∠BAF的度数，进而根据平行线的性质求得∠EFA 的度数. 解：(1)如图，点F即为所求 (2)由作图可知，EF⊥AD,AF平分∠BAC. AC为正方形ABCD的对角线，.∠BAC=45°， AB⊥AD,·.EF∥AB,∠BAF= 2∠BAC= 2大 45°=22.5°，.∠EFA=∠BAF=22.5°. 25.解析：本题考查了圆周角定理、等腰三角形的 性质、勾股定理、三角函数的应用.(1)先由圆周角定理 得到BC⊥AD,再根据等腰三角形“三线合一”的性质 即可证得AB=BD;(2)先由圆周角定理得到 ∠AEB=90°，再在Rt△AEB中根据coS∠ABE=3 1 及勾股定理分别求得BE,AE的长，进而求得DE的 长，最后在Rt△AED中根据勾股定理即可求得AD 的长。 (1)证明：如图，连接BC. ,AB是⊙O的直径， ∴.∠BCA=90°，即BC⊥AD. CD=CA,∴.AB=BD. (2)解：如图，连接AE. .AB是⊙O的直径，.∠AEB=90° 在RIAAEB中，cOs∠ABE=E, =3BE=1, .AE=√AB2-BE=√32-1'=2N2. 由(1)知，AB=BD,.BD=3, ∴.DE=BE+BD=1+3=4. 在Rt△AED中，AD=√JAE+DE=√(2√2)2+4= 2√6. C D 26.解析：本题考查了相似三角形的判定与性质. (1)过点P作PH⊥MN于点H,交EF于点D,由ED∥ MH得到△PBD△PMH,从面得到册-沿求 得MH的长，进而可求得旗杆MN的高度；(2)延长 E'E交AB于点C,延长P'P交AB于点D,EF交PD 于点G,E'F'交PP'于点K,由EG∥AD得到 △PEG∽△PAD,由E'K∥AD得到△P'E'K∽ △P'AD,从而求得AD的长，进而可求得妙光塔AB 的高度. 解：(1)如图1，过点P作PH⊥MN于点H,交 EF于点D,则四边形DPQF,四边形DFNH是矩形， .'.PD=QF=2 m,DH=FN=16 m,HN=DF= PQ=1.4m,.ED=EF-DF=2.8-1.4=1.4(m), PH=PD+DH=2+16=18(m). .EF⊥NQ,MN⊥NQ,∴.EF∥MN,即ED∥ MH, △PEDAPMH,÷品-R即培-品 解得MH=12.6m, .MN=MH+HN=12.6+1.4=14(m). 答：旗杆MN的高度为14m. M 、E H oao 图1 (2)如图2，延长EE交AB于点C,延长P'P交 AB于点D,EF交PD于点G,E'F'交PP'于点K,则 四边形GPQF,四边形KP'Q'F',四边形PP'Q'Q,四 边形EEKG,四边形DPQB是矩形，.PG=FQ= 1.2 m,BD FG=PQ=1.4 m,PP'=QQ'=30 m, P'K=F'Q'=2.2 m,..E'K=EG=EF-FG=2.8- 1.4=1.4(m).设DG=xm. ,EF⊥BQ,AB⊥BQ,∴.EF∥AB,即EG∥AD, APAPAD.器品培品e E'F'⊥BQ',AB⊥BQ',.EF'∥AB,即E'K∥ AD△PEKAPAD.器-路若 2.2 x+1.2+30 12 2.2 x+1.2x+31.2解得x=34.8, 品号每得AD=a ∴.AB=AD+BD=42+1.4=43.4(m). 答：妙光塔AB的高度为43.4m. B 图2 27.解析：本题考查了二次函数的性质、等腰三角 1 形的性质.(1)将点(05)的坐标代入y=一2x2+ mx大3 m即可求得m的值，进而可求出顶点A的横 坐标；(2)分别将x=2,x=4代入函数表达式，求出 y1,y2,用作差法判断y1一y2的正负性即可；(3)先用 含m的代数式分别表示出AB2,AC2,BC2,然后分 AB=BC,AB=AC,BC=AC三种情况讨论. (1解：二次两数y-名++m的图 像经过点(0，√3)， .3m=3,m=3小y=-2x+3x+3. ,二次函数的图像的顶点为A, ∴点A的横坐标为 3 =3, 2x(-2) 1 （2)证明：当x=2时，y1=-2×4+2m+3 3n, 当x=4时：=-号×16十4m+怎网 3n, .y1-y2=6-2m. m<3,∴y1-y2>0,y1>y2. (3)解：y=- 3m、1 (x mr+(分m+n) 3m, A(n,日m+. 1 :B(0,n）cm,0, AB2=m2+(合m）=m+m,BC2=m2+ (n-wac-(m+j 当AB=BC时，m+子m=台m,解得m=0(会 4 去或m=士号厅， 当AB=AC时，m+子m=(分m+治n)。 3m,解 得m=0(舍去)或m= 当C=AC时，音m-(日+语)八，解得 m=0(合去)或m=-25成m=号5 综上所述，m的值为士子5或-2。 28.解析：本题是一道操作探究题，探究一个三角 形绕一点旋转180°后与原三角形重叠的图形的几种情 况.(1)①若AA'⊥BC,则O为△ABC的边BC上的 高的中点，根据面积公式得号BC·AA'=1,求得 AA'=1,又0为AA'的中点，则A0=2;②若 Sow=则S&me+Saar=至，面△PArC, △QBA'均与△ABC相似，设A'C=x,根据“相似三角 形面积的比等于相似比的平方”列方程求解即可. (2)由中心对称可知MH=EF.设BE=a,MH= EF=b,FC=c,则BC=a+b+c.由NE∥AC,MH∥ BC,GF∥AB可证得△NBE∽△AMHC∽△GFC∽ △ABC,根据“相似三角形面积的比等于对应边的比的 平方”，用含a,b,c的代数式分别将S△AwH,S△wNBs, S△GFC表示出来.当S△NBE十S△AMH十S△Grc最小时， S EFGHMN最大，据此求解即可. 解，I)DAM1BC,Se-合BC·M- 1.又BC=2,.AA'=1. :点A与点A'关于点O对称， ∴A0=方A'=号 ②设A'C=x,则BA'=BC-A'C-2-x. SoMokr SArWc Scom SAAnc 508e-1-7-3 A'P∥AB,△PA'Cn△ABC,SAAC S△PA'C= (C)-5e-号 x2 同理可得S△QBA= (2-x)2 4 2-子解得=1±安即AC的 4 长为1+支1-号 (2)△ABC的面积为1，当S△NBE十S△AMH十S△GPC 最小时，SEFGHMN最大.由△ABC与△A'B'C'成中心对 称可知，MH=EF.设BE=a,MH=EF=b,FC=c, 则BC=a十b+c. .NE∥AC,MH∥BC,GF∥AB, ∴.△NBE∽△AMH∽△GFC∽△ABC, S△AMH= /MH\& b2 BC)= (a+b+c)2' .S△AMH= (a+b+c)2 a? 同理可得S△NE一(a十b十c)2 c2 S△crc=(a+b+c) ·SANBE十SAAMH+SAcre= a2+b2+c2 (a+b+c)2 a2+b2+c2 a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc .(a-b)2≥0，(b-c)2≥0，(a-c)2≥0， .a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac, a2+b2+c2 SANE十SAAM十Sacr≥3(a2+b+c)=3' 当且仅当a=b=c时等号成立， 比时-号 ,AT MH 1 设AD与MH交于点T,则 D-BC-3 部-名 由△ABC与△A'B'C'成中心对称可知，TO=OD, ..AT-TO=OD 又：D为BC的中点， .此时点O为△ABC的重心. 综上所述，当点O在△ABC的重心处时，SEFGHMN 最大，最大值为1-3=3 12 A13泰州市2023年中考数学试卷 1.B解析：本题考查了有理数的乘方、算术平方 根.，(-2)2=4，∴.√（-2)2=√4=2. 2.C解析：本题考查了轴对称图形的概念.如果 一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合， 这个图形就叫作轴对称图形.根据定义可知，A,B,D 选项不符合题意，C选项符合题意. 3.A解析：本题考查了零指数幂、幂的除法运 算、负整数指数幂、合并同类项.（一a)°=1，故A选项 正确；a÷a3=a-3=a3,故B选项错误；一个非零数 的负整数指数幂等于其正整数指数幂的倒数，故C选 项错误；a和a3不是同类项，不能进行加减运算，故D 选项错误. 4.D解析：本题考查了利用频率估计概率的知 识.大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个 常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率. D选项说法正确. 5.C解析：本题考查了用待定系数法求函数的 表达式.通过描点画图像可以排除A、B、D选项，再通 过待定系数法可以求出二次函数的表达式，故C选项 符合题意. 6.A解析：本题考查了菱形的性质、等边三角形 的面积、菱形的面积、含30°角的直角三角形的性质.如 图，连接BD.根据题意和题目中的数据，易得AC= 25,CD=2g-2D'E=合(25-2)=月-1， EC=√3（√3一1）=3一√3，∴.重叠部分的面积S重養= 5ae-Sax-Se-Sae-×2-号X(5- 1)×(3-√3)=3-(23-3)=√3-2√5+3=3-√3. R 7.x≠2解析：本题考查了函数自变量的取值范 围.根据分母不为0可得x一2≠0，解得x≠2. 8.2.8×10-9解析：本题考查了科学记数法.用 科学记数法表示较小的数的一般形式为a×10-”,其 中1≤a<10,n的值等于原数从左边数起第一个不为 0的数的前面0的个数..0.0000000028=2.8× 109.