2026年湖北省武汉市中考数学试卷

**基本信息** 2026年武汉中考数学卷以真实情境为载体，融合文化传承与科技热点，如对称汉字、新能源汽车里程等，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查学生抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|对称、概率、视图、科学记数法、整式运算|结合汉字对称、地铁进站等生活情境，考查空间观念与数据意识| |填空题|6/18|反比例函数、几何翻折、抛物线性质|龟山电视塔测量（量感）、矩形翻折（几何直观）| |解答题|8/72|统计、圆综合、网格作图、函数应用、几何探究|手工文创成本利润（模型意识）、正方形旋转探究（推理能力）、二次函数综合（创新意识）|

2026年湖北省武汉市中考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）·【易】现实世界中，对称现象无处不在，我国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）·【易】袋中只有2个红球和1个黑球，从中一次摸出两个球，下列事件是不可能事件的是（　　） A．两个球都是黑球 B．两个球中必有一个红球 C．两个球都是红球 D．两个球中一个是红球一个是黑球 3．（3分）·【易】如图所示的几何体是由一个球和一个长方体组成，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）·【易】“十四五”期间，我国每年城镇新增就业稳定在1200万人以上，就业形势总体稳定．将数据1200万用科学记数法表示是（　　） A．12×106 B．1.2×107 C．0.12×108 D．1.2×108 5．（3分）·【较易】下列计算结果为a6的是（　　） A．a3+a3 B．a2×a4 C．（a2）4 D．a12÷a2 6．（3分）·【较易】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，若点D在边BC上，则∠CDE的大小是（　　） A．20° B．30° C．40° D．70° 7．（3分）·【较易】乘坐地铁已经成为市民出行的主要方式．小美和小好约定在某地铁站内会面，该地铁站有3个入口，他们各自随机选择一个入口进站，两人刚好从同一个入口进站的概率是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）·【较易】随着我国新能源产业的高速发展，新能源汽车进入了千家万户．雷叔叔早晨7：00先在充电站给汽车充电，然后驾车前往相距200km的工厂．汽车显示的可用里程数y（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示．他到达工厂的时间是（　　） A．上午9：30 B．上午10：00 C．上午10：45 D．上午11：15 9．（3分）·【中档】如图，△ABC内接于⊙O，AB＝11，BC＝5，，则⊙O的直径是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）·【较易】对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程x2+8x＝48为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为48+4×22＝64，则该方程的正数解为8﹣2×2＝4．小美尝试用此方法解关于x的方程x2+12x+c＝0，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为100，则方程x2+12x+c＝0的正数解是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）·【易】科学实验表明，原子中的原子核与电子所带电荷是两种相反的电荷．氢原子中的原子核与电子各带1个电荷，若把其中原子核所带电荷用数表示是+1，则电子所带电荷用数表示是　 　 ． 12．（3分）·【较易】反比例函数（k为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的k的值是　 　 ． 13．（3分）·【较易】已知，代数式x2﹣y2的值是　 　 ． 14．（3分）·【中档】如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔AB的高度． 具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面100m的C处，测得龟山电视塔顶端A的仰角为50.5°，底端B的俯角为45°，则龟山电视塔的高度约是　 　 m（结果取整数，参考数据：sin50.5°≈0.772，cos50.5°≈0.636，tan50.5°≈1.213）． 15．（3分）·【中档】如图，E、F分别是矩形ABCD边AB、CD上的点，连接EF．将四边形ADFE沿EF翻折得到四边形GHFE，边GH经过点C．若AB＝8，AD＝6，DF＝3，则CH的长是　 　 ，EF的长是　 　 ． 16．（3分）·【中档】抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a＞0）经过（1，0），（0，2）两点．下列五个结论：①抛物线不经过第三象限；②将抛物线向左平移m（m＞0）个单位长度，若平移后的抛物线经过原点，则m＝1；③b＜﹣2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的整数根，则满足条件的整数a的值只有一个；⑤对于函数，若，则当x＜1时，y随x的增大而增大．其中正确的是　 　 （填写序号）． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）·【较易】解不等式组． 18．（8分）·【中档】如图，点A、B、C、D在一条直线上，AE＝DF，CE＝BF，AB＝DC． （1）求证：△ACE≌△DBF； （2）连接BE、CF，添加一个条件，使四边形BECF是菱形（不需要说明理由）． 19．（8分）·【中档】学校开展“阳光一小时”活动以来，学生的身体素质普遍得到提高，某校为了解九年级学生的“1分钟跳绳”成绩情况，随机抽取了m名学生进行测试，将测试的成绩分成四组，绘制成如下不完整的统计图表． “1分钟跳绳”成绩频数分布表 组别 次数x 频数 A x＜120 B 120≤x＜140 24 C 140≤x＜160 32 D x≥160 16 根据以上图表信息，解答下列问题： （1）m的值是　 　 ，D组对应扇形的圆心角大小是　 　 ； （2）样本的中位数所在组别是　 　 ； （3）估计该校九年级1200名学生中“1分钟跳绳”成绩不低于140次的人数． 20．（8分）·【中档】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点A的直线和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接AC． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若AE＝6，ED＝3．求图中阴影部分的面积． 21．（8分）·【中档】如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫作格点，△ABC的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个画图任务，每个任务的画线不得超过五条． （1）如图1，先在AB上画点D，使∠BCD＝45°，再画点A关于点D的对称点E； （2）如图2，P是边AC与网格线的交点，先将AB平移到FP（P是点B的对应点），再在FP上画点G，使∠BGP＝∠APF． 22．（10分）·【中档】某校九年级开展了“手工文创作品制作•模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查 选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． 成本核算 分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立 设销售A品和B品的总利润为w元，A品售价为x元/件，求关于x的函数解析式（不要求写自变量x的取值范围）． 方案设计 若制作A品和B品的总成本不超过1400元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 23．（10分）·【难】将正方形ABCD的边CD绕点D逆时针旋转得到DE，连接AE交边CD于点F，DG平分∠CDE交AE于点G，连接CG、CE． （1）如图1，求证：△CGE是等腰直角三角形（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明∠DAE＝∠DEG＝∠DCG）． （2）如图2，连接BD交AE于点H，求证：AF•AE＝2AH•AG． （3）如图3，点K在线段AE上，，连接CK．若AB＝4，直接写出CK的最小值． 24．（12分）·【难】抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）． （1）求A、B两点的坐标． （2）如图1，直线y＝d（d＜0）交抛物线C1于C、D两点，△BCD的外心E在边CD上，求d的值． （3）如图2，抛物线C2：y＝x2+px+q与抛物C1交于M、N两点，连接MN．T是线段MN上一点，过点T作y轴的平行线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，连接PM、PN、QM、QN．求证：△PMN与△QMN的面积相等． 2026年湖北省武汉市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）·【易】现实世界中，对称现象无处不在，我国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，故D符合题意， 故选：D． 2．（3分）·【易】袋中只有2个红球和1个黑球，从中一次摸出两个球，下列事件是不可能事件的是（　　） A．两个球都是黑球 B．两个球中必有一个红球 C．两个球都是红球 D．两个球中一个是红球一个是黑球 【解析】解：袋中有2个红球、1个黑球，一次摸出2个球， ∵黑球仅有1个， ∴两个球都是黑球是不可能事件， 故选：A． 3．（3分）·【易】如图所示的几何体是由一个球和一个长方体组成，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：从正面看，上层是圆，底层是一个长方形， 故选：D． 4．（3分）·【易】“十四五”期间，我国每年城镇新增就业稳定在1200万人以上，就业形势总体稳定．将数据1200万用科学记数法表示是（　　） A．12×106 B．1.2×107 C．0.12×108 D．1.2×108 【解析】解：1200万＝12000000＝1.2×107． 故选：B． 5．（3分）·【较易】下列计算结果为a6的是（　　） A．a3+a3 B．a2×a4 C．（a2）4 D．a12÷a2 【解析】解：A、a3+a3＝2a3≠a6，不符合题意． B、a2×a4＝a2+4＝a6，符合题意． C、（a2）4＝a2×4＝a8≠a6，不符合题意． D、a12÷a2＝a12﹣2＝a10≠a6，不符合题意． 故选：B． 6．（3分）·【较易】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，若点D在边BC上，则∠CDE的大小是（　　） A．20° B．30° C．40° D．70° 【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE， ∴∠BAD＝40°，∠ADE＝∠B，AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB70°， ∴∠ADE＝70°， ∴∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB＝40°． 故选：C． 7．（3分）·【较易】乘坐地铁已经成为市民出行的主要方式．小美和小好约定在某地铁站内会面，该地铁站有3个入口，他们各自随机选择一个入口进站，两人刚好从同一个入口进站的概率是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：设字母A、B、C分别表示三个入口， 画树状图如下： 其中两人刚好从同一个入口进站的情况有3种，共有9种等可能的结果， ∴两人刚好从同一个入口进站的概率为． 故选：C． 8．（3分）·【较易】随着我国新能源产业的高速发展，新能源汽车进入了千家万户．雷叔叔早晨7：00先在充电站给汽车充电，然后驾车前往相距200km的工厂．汽车显示的可用里程数y（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示．他到达工厂的时间是（　　） A．上午9：30 B．上午10：00 C．上午10：45 D．上午11：15 【解析】解：由图象可知，当t＝1时，y＝460km， ∴汽车行驶速度为（500﹣460）÷（1﹣0.5）＝80（km/h）， ∴行驶所需时间为200÷80＝2.5（h）， ∴到达工厂时经过的总时间为0.5+2.5＝3（h）， ∵出发时间为早晨7：00， ∴到达时间为上午10：00． 故选：B． 9．（3分）·【中档】如图，△ABC内接于⊙O，AB＝11，BC＝5，，则⊙O的直径是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：如图，过点C作CD⊥AB于D，作直径CE，连接AE， 在Rt△CDB中，sinB， 则， ∴CD＝4， 由勾股定理得：BD3， ∴AD＝AB﹣BD＝11﹣3＝8， ∴AC4， 由圆周角定理得：∠E＝∠B， ∴sinE，即， ∴CE＝5， 故选：A． 10．（3分）·【较易】对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程x2+8x＝48为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为48+4×22＝64，则该方程的正数解为8﹣2×2＝4．小美尝试用此方法解关于x的方程x2+12x+c＝0，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为100，则方程x2+12x+c＝0的正数解是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】解：如图2，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为3x的矩形， ∴四个小正方形的边长为3， 由条件可知大正方形的边长为， ∴方程的正数解是10﹣2×3＝4． 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）·【易】科学实验表明，原子中的原子核与电子所带电荷是两种相反的电荷．氢原子中的原子核与电子各带1个电荷，若把其中原子核所带电荷用数表示是+1，则电子所带电荷用数表示是　﹣1　 ． 【解析】解：∵原子核与电子所带电荷是两种相反的电荷，且原子核所带电荷用数表示为+1， ∴表示电子所带电荷的数是与+1意义相反的数，即﹣1， 故答案为：﹣1． 12．（3分）·【较易】反比例函数（k为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的k的值是　1（答案不唯一，k＜2即可）　 ． 【解析】解：由条件可知k﹣2＜0，解得k＜2， 只要取小于2的任意实数都符合条件，例如1． 故答案为：1（答案不唯一，k＜2即可）． 13．（3分）·【较易】已知，代数式x2﹣y2的值是　　 ． 【解析】解：由条件可得： ∴，， ∴． 故答案为：4． 14．（3分）·【中档】如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔AB的高度． 具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面100m的C处，测得龟山电视塔顶端A的仰角为50.5°，底端B的俯角为45°，则龟山电视塔的高度约是　221　 m（结果取整数，参考数据：sin50.5°≈0.772，cos50.5°≈0.636，tan50.5°≈1.213）． 【解析】解：如图：过点C作CD⊥AB，垂足为D， 由题意得：CE＝BD＝100m， 在Rt△BCD中，∠BCD＝45°， ∴CD100（m）， 在Rt△ACD中，∠ACD＝50.5°， ∴AD＝CD•tan50.5°≈1.213×100＝121.3（m）， ∴AB＝AD+BD＝100+121.3≈221（m）， ∴龟山电视塔的高度约为221m． 15．（3分）·【中档】如图，E、F分别是矩形ABCD边AB、CD上的点，连接EF．将四边形ADFE沿EF翻折得到四边形GHFE，边GH经过点C．若AB＝8，AD＝6，DF＝3，则CH的长是　4　 ，EF的长是　　 ． 【解析】解：设GE与CB的交点为M， ∵四边形ABCD是矩形，且AB＝8，AD＝6， ∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，BC＝AD＝6，DC＝AB＝8， 作FN⊥AB于N，则四边形ADFN是矩形， ∴AN＝DF＝3，NF＝AD＝6， 根据折叠的性质可知FH＝DF＝3，GH＝AD＝6，EG＝AE，∠H＝∠D＝90°，∠G＝∠A＝90°， ∵DC＝8，DF＝3， ∴FC＝5， ∴， ∴GC＝HG﹣HC＝6﹣4＝2， ∵∠BCD＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠G＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3， 又∵∠H＝∠G， ∴△FHC∽△CGM， ∴，即， 解得，， ∴， ∴BM＝GM， 又∵∠B＝∠G，∠4＝∠3， ∴△EBM≌△CGM（ASA）， ∴EB＝CG＝2， ∴NE＝AB﹣AN﹣EB＝8﹣3﹣2＝3， ∴， 故答案为：4；． 16．（3分）·【中档】抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a＞0）经过（1，0），（0，2）两点．下列五个结论： ①抛物线不经过第三象限； ②将抛物线向左平移m（m＞0）个单位长度，若平移后的抛物线经过原点，则m＝1； ③b＜﹣2； ④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的整数根，则满足条件的整数a的值只有一个； ⑤对于函数，若，则当x＜1时，y随x的增大而增大． 其中正确的是　①④⑤　 （填写序号）． 【解析】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（1，0），（0，2），代入得： c＝2，a+b+c＝0， 整理得：b＝﹣a﹣2， ∴y＝ax2﹣（a+2）x+2， 当x＜0时， ∵a＞0， ∴ax2＞0，﹣（a+2）x＞0， ∴y＝ax2﹣（a+2）x+2＞0， ∴抛物线不经过第三象限， 故①正确，符合题意； 将y＝0代入y＝ax2﹣（a+2）x+2，得： ax2﹣（a+2）x+2＝0， 解得：x＝1或， ∴抛物线与x轴的交点为（1，0）和， ∴向左平移m（m＞0）个单位后，交点变为（1﹣m，0）和， ∵平移后过原点， ∴m＝1或，因此m不一定等于1， 故结论②错误，不符合题意； ∵a＞0， ∴b＝﹣a﹣2＜﹣2． ∵对称轴直线x≥1，即1，且a＞0， ∴﹣b≥2a， ∴﹣b≥﹣2（b﹣2）， ∴b≥﹣4， ∴﹣4≤b≤﹣2， 故结论③错误，不符合题意； 由②可得，方程ax2+bx+c＝0的根为x＝1和， ∵方程有两个不相等的整数根，且a为正整数， ∴为不等于1的正整数，即a为2的正因数，且a≠2， ∴a＝1， 故结论④正确，符合题意； 对于⑤：∵， ∴， ∴， 设t＝x2﹣5x+4， ∴t与x成二次函数关系， ∵， ∴该抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当x＜1时，t随x的增大而减小， 又∵当x＝1时，t＝1﹣5+4＝0， ∴t＞0， ∵， ∴y与t成反比例函数关系， ∵t＞0， ∴y随t的增大而减小， 又∵t随x的增大而减小， ∴y随x的增大而增大， 故结论⑤正确，符合题意， 综上所述，正确的结论为①④⑤， 故答案为：①④⑤． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）·【较易】解不等式组． 【解析】解：解不等式①得：x＞2， 解不等式②得：x＜3， 故原不等式组的解集为2＜x＜3． 18．（8分）·【中档】如图，点A、B、C、D在一条直线上，AE＝DF，CE＝BF，AB＝DC． （1）求证：△ACE≌△DBF； （2）连接BE、CF，添加一个条件，使四边形BECF是菱形（不需要说明理由）． 【解析】（1）证明：∵AB＝DC， ∴AB+BC＝DC+BC， ∴AC＝DB， 在△ACE和△DBF中， ， ∴△ACE≌△DBF（SSS）； （2）解：BE＝CE， 理由：∵△ACE≌△DBF， ∴∠ACE＝∠DBF，CE＝BF， ∴CE∥BF， ∴四边形BECF是平行四边形， ∵BE＝CE， ∴四边形BECF是菱形． 19．（8分）·【中档】学校开展“阳光一小时”活动以来，学生的身体素质普遍得到提高，某校为了解九年级学生的“1分钟跳绳”成绩情况，随机抽取了m名学生进行测试，将测试的成绩分成四组，绘制成如下不完整的统计图表． “1分钟跳绳”成绩频数分布表 组别 次数x 频数 A x＜120 B 120≤x＜140 24 C 140≤x＜160 32 D x≥160 16 根据以上图表信息，解答下列问题： （1）m的值是　80　 ，D组对应扇形的圆心角大小是　72°　 ； （2）样本的中位数所在组别是C ； （3）估计该校九年级1200名学生中“1分钟跳绳”成绩不低于140次的人数． 【解析】解：（1）用B组的频数除以占比求解m值，然后求出D组的占比，再由360°乘以占比求解圆心角可得： m＝24÷30%＝80； ， ∴m的值是80；D组对应扇形的圆心角大小是72°； 故答案为：80；72°； （2）A组的频数为80﹣24﹣32﹣16＝8，共80个数据，则中位数是第40、41个数据的平均数，A、B组累计8+24＝32个数据，C组有32个数据，那么第40、41个数据在C组， ∴样本的中位数所在组别是C组； 故答案为：C． （3）用样本估计总体的方法求解可得： （人） 答：该校九年级1200名学生中“1分钟跳绳”成绩不低于140次的人数为720人． 20．（8分）·【中档】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点A的直线和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接AC． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若AE＝6，ED＝3．求图中阴影部分的面积． 【解析】（1）证明：如图1，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∵AD⊥CD， ∴OC∥AD， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴AC平分∠DAB； （2）解：如图2，AB为直径，连接BE，交OC于点F，连接OE，交AC于点G， ∴∠AEB＝90°， ∴∠DEB＝90°， ∵OC⊥CD，AD⊥CD， ∴四边形CDEF为矩形， ∴OC⊥BE，CF＝ED＝3， ∴BF＝EF， ∵OA＝OB， ∴OF是△ABE的中位线， ∴， ∴OA＝OC＝OF+CF＝6， ∴OA＝OE＝AE＝6， ∴△AOE为等边三角形， ∴∠EOA＝60°， ∵OC∥AD， ∴∠EOC＝60°， ∵AE＝AO，∠EAG＝∠OAG， ∴AG⊥OE，即OE⊥AC， ∴， ∴， ∴． 21．（8分）·【中档】如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫作格点，△ABC的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个画图任务，每个任务的画线不得超过五条． （1）如图1，先在AB上画点D，使∠BCD＝45°，再画点A关于点D的对称点E； （2）如图2，P是边AC与网格线的交点，先将AB平移到FP（P是点B的对应点），再在FP上画点G，使∠BGP＝∠APF． 【解析】解：（1）如图1中，点D，点E即为所求； （2）如图2中，线段PF，点G即为所求． 22．（10分）·【中档】某校九年级开展了“手工文创作品制作•模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查 选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． 成本核算 分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立 设销售A品和B品的总利润为w元，A品售价为x元/件，求关于x的函数解析式（不要求写自变量x的取值范围）． 方案设计 若制作A品和B品的总成本不超过1400元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 【解析】解：（1）设制作一件B品的成本为a元，则制作一件A品的成本为（a+2）元， 由题意可知：， 解得：a＝4， 经检验：a＝4是原方程的根，符合题意， 故a+2＝6， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； （2）∵当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件， ∴A品的销量为：220﹣10（x﹣18）＝400﹣10x（件）， ∴B品的销量为：300﹣（400﹣10x）＝10x﹣100（件）， ∴w＝（x﹣6）（400﹣10x）+（16﹣4）（10x﹣100）＝﹣10x2+580x﹣3600， 答：w关于x的函数解析式为：w＝﹣10x2+580x﹣3600； （3）制作A品和B品的总成本不超过1400元， ∴6（400﹣10x）+4（10x﹣100）≤1400， 解得：x≥30， 又∵400﹣10x≥0且10x﹣100≥0，即10≤x≤40， ∴30≤x≤40， ∵w＝﹣10x2+580x﹣3600＝﹣10（x﹣29）2+4810，﹣10＜0， ∴当30≤x≤40时，w随着x的增大而减小， ∴当x＝30时，， 此时400﹣10x＝100，10x﹣100＝200，总成本等于1400元， 答：制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大． 23．（10分）·【难】将正方形ABCD的边CD绕点D逆时针旋转得到DE，连接AE交边CD于点F，DG平分∠CDE交AE于点G，连接CG、CE． （1）如图1，求证：△CGE是等腰直角三角形（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明∠DAE＝∠DEG＝∠DCG）． （2）如图2，连接BD交AE于点H，求证：AF•AE＝2AH•AG． （3）如图3，点K在线段AE上，，连接CK．若AB＝4，直接写出CK的最小值． 【解析】（1）证明：∵DG平分∠CDE， ∴∠CDG＝∠EDG， ∵正方形ABCD的边CD绕点D逆时针旋转得到DE， ∴AD＝CD＝DE， ∵DG＝DG， ∴△DCG≌△DEG（SAS）， ∴CG＝EG，∠DEG＝∠DCG， ∵AD＝CD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEG， ∴∠DAE＝∠DCG， ∵∠AFD＝∠CFG， ∴∠CGF＝∠ADF＝90°， ∴∠CGE＝90°， ∴△CGE是等腰直角三角形． （2）证明：由（1）证得△DCG≌△DEG，∠CGE＝90°， ∴， ∴∠AGD＝180°﹣∠EGD＝180°﹣135°＝45°， ∴∠AGD＝∠ADB＝45°， 又∵∠DAG＝∠FAD， ∴△ADH∽△AGD， ∴，即AD2＝AH•AG， 如图，过D作DM⊥AE于M，则∠AMD＝∠ADF＝90°， ∵∠DAM＝∠FAD， ∴△ADM∽△AFD， ∴，即AD2＝AM•AF②， ∵AD＝DE，DM⊥AE， ∴， ∴， 由①②两式得，， 即AF•AE＝2AH•AG． （3）解：如图，取AD中点M，连接KM．即，由（1）可得CG＝EG， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵AD＝DE， ∴∠KAM＝∠GED，， ∴△AKM∽△EGD， ∴∠AKM＝∠EGD＝135°， ∴K点在以O圆心，OA为半径的圆上运动， 当K点运动到OC上时，即O、K、C三点共线时，CK取得最小值CKmin＝OC﹣OK． 如图，过O作OH⊥BC于H，交AD于P，在圆O上取一点N，连接AN，MN，则四边形MKAN是圆O的内接四边形， ∴∠AKM+∠ANM＝180°， ∵∠AKM＝135°， ∴∠ANM＝180°﹣∠AKM＝45°， ∴∠AOM＝2∠ANM＝90°， ∵， ∴， ∴，OH＝OP+PH＝1+4＝5，CH＝BC﹣BH＝4﹣1＝3， ∴， ∴， ∴CK的最小值为． 24．（12分）·【难】抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）． （1）求A、B两点的坐标． （2）如图1，直线y＝d（d＜0）交抛物线C1于C、D两点，△BCD的外心E在边CD上，求d的值． （3）如图2，抛物线C2：y＝x2+px+q与抛物C1交于M、N两点，连接MN．T是线段MN上一点，过点T作y轴的平行线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，连接PM、PN、QM、QN．求证：△PMN与△QMN的面积相等． 【解析】（1）解：当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∵点A在点B左侧， ∴A（﹣1，0），B（3，0）； （2）解：如图，连接BE， ∵△BCD的外心E在CD上， ∴EB＝EC＝ED， ∴E为线段CD的中点， 设C（xC，d），D（xD，d），则xC，xD是方程﹣x2+2x+3＝d的两根， 整理得x2﹣2x+（d﹣3）＝0， 由韦达定理得xC+xD＝2， ∴点E的横坐标为，即E（1，d）， ∵B（3，0）， 由勾股定理得BE2＝（3﹣1）2+（0﹣d）2＝4+d2． 又∵CE＝|xE﹣xC|＝|1﹣xC|， 由求根公式，方程x2﹣2x+（d﹣3）＝0的根为， ∵xC＜0， ∴， ∴，即CE2＝4﹣d， ∵BE＝CE， ∴4+d2＝4﹣d， 整理得d2+d＝0， 解得d＝0或d＝﹣1， ∵d＜0， ∴d＝﹣1； （3）证明：设直线MN的解析式为y＝kx+b，点T的横坐标为t，则T（t，kt+b）， ∵PQ∥y轴， ∴P（t，﹣t2+2t+3），Q（t，t2+pt+q）， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立直线MN与抛物线C1得kx+b＝﹣x2+2x+3， 整理得：x2+（k﹣2）x+（b﹣3）＝0， ∵M，N是直线与C1的交点， ∴x1，x2是该方程的两根， ∴， 同理，联立直线MN与抛物线C2得kx+b＝x2+px+q， 整理得x2+（p﹣k）x+（q﹣b）＝0， ∵M，N也在抛物线C2上， ∴x1，x2也是该方程的两根． ∴， ∴PT＝QT， 过点M作MH⊥PQ于点H，则MH是△PMT和△QMT的公共高， ∵，，且PT＝QT， ∴S△PMT＝S△QMT， 同理，过点N作NG⊥PQ于点G，可得S△PNT＝S△QNT， ∵S△PMN＝S△PMT+S△PNT，S△QMN＝S△QMT+S△QNT， ∴S△PMN＝S△QMN． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $