山东临沂市沂水县第一中学2026-2027学年高二上学期数学周末测试9.5

**基本信息** 高二数学周测试卷聚焦圆、直线、空间向量及立体几何，通过翻折问题（第8题）、空间向量应用（第3、6题）考查数学眼光与思维，实现基础巩固与能力提升的有机统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|圆的方程、直线平行、空间基底、轨迹方程|基础题（1-2题）与能力题（7-8题）梯度分布，多选（9-11题）强化概念辨析| |填空题|3题15分|投影向量、空间向量垂直、定点问题|注重向量运算与几何意义的结合| |解答题|5题77分|直线方程、立体几何证明与夹角、圆的方程、翻折探究|综合题（16、18题）设置存在性探究，贴合高考命题趋势，考查数学语言表达能力|

高二数学周末检测 9.5 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 圆的圆心坐标和半径分别是（ ） A. （2，3），3 B. （-2，3）， C. （-2，-3），13 D. （2，-3）， 2. 若直线和直线平行，则（ ） A. 或3 B. 或2 C. D. 3 3. 如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（ ） A. B. C. D. 4.若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（　　） A. B. C. D. 7. 已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 将边长为1的正方形沿对角线翻折，使得二面角的平面角的大小为，若点,分别是线段和上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个命题中，说法不正确的是（ ） A. 空间任意两个单位向量必相等 B. 对于非零向量，由，则 C. 是共线的充分不必要条件 D. 若向量满足，则 10.已知在平面直角坐标系Oxy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论不正确的是（ ） A. 曲线C的方程为 B. 曲线C上存在点D，使得D到点的距离为10 C. 曲线C上存在点M，使得 D. 曲线C上的点到直线的最大距离为9 11. 已知棱长为2的正方体中，为的中点，为上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. C. 与的距离是 D. 动点的轨迹长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则在上的投影向量是________________ 13. 已知空间向量，，设，，与垂直，，，则________． 14. 已知直线过定点A，直线过定点B，与的交点为C，则的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（1）已知直线过点，它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求此直线的方程． （2）求直线：关于直线：对称的直线的方程． （3）求过三点，，的圆的一般式方程． 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD．是等腰三角形，且．在梯形ABCD中，，，，，． （1）求证：平面PCD； （2）求平面APB与平面PBC夹角的余弦值； （3）棱BC上是否存在点Q到平面PBA的距离为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 17.已知圆C经过点A（3，1）、B（－1，3），且它的圆心在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)若点D为圆C上任意一点，且点E（3，0），求线段ED中点M的轨迹方程. 18.已知平行四边形如图甲，，，沿将折起，使点到达点位置，且，连接得三棱锥，如图乙. （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 19. 已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作. (1)求点到线段l：的距离； (2)设l是长为2的线段，求点的集合所表示的图形面积； (3)写出到两条线段､距离相等的点的集合，其中，，，，， 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学周末检测 9.5 答案 1.【详解】由圆可知，所以，，所以圆心坐标为，半径为，故选：D 2.【详解】因为直线与直线平行，所以，解得或， 当时，和重合，不符合题意； 当时，与平行，符合题意.故选：D 3.【详解】由题意， ,故选：A 4.【详解】是空间的一个基底，故不共面， 对于A选项，假设共面，则存在唯一实数使得，则，所以为共面向量， 故不能构成空间的一个基底； 对于B选项，假设共面，则存在唯一实数使得，所以，无解，故不共面，故可构成空间的一个基底； 对于C选项，假设共面，则存在唯一实数使得， 所以，解得，故共面，故不能构成空间的一个基底； 对于D选项，假设共面，则存在唯一实数使得， 所以，解得，故共面， 故不能构成空间的一个基底.故选：B. 5.【详解】由直线的斜率公式可得：；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或.故选：C. 6.【详解】设直线与平面所成的角为，所以， 又，所以，故选：C. 7.【详解】由四点共面，可知，即，由，，当且仅当，即时等号成立，故选：B 8.【详解】设点为中点，连接，，由题意可知，，所以， 作，则P为OC中点作，则平面BCD，所以， 如图建立平面直角坐标系： 则，，设，，，，所以，，， 则，因为，所以，故选：B. 9.【详解】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相同，因此空间任意两个单位向量不一定相等，A错误. 选项B：因为为非零向量，所以可化为，故，无法推出，B错误. 选项C：若，则，即， 所以，说明反向共线；当共线时，①同向时，，②反向时，，所以不一定等于. 因此是共线的充分不必要条件，C正确. 选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D错误.故选：ABD. 10.【详解】对于A，由题意可设点，由，，，得， 化简得，即，故A错误； 对于B，点到圆上的点的最大距离，故不存在点D符合题意，故B错误；对于C，设，由，得，又， 联立方程消去得，得无解，故C错误；对于D，C的圆心到直线的距离为，且曲线C的半径为4，则C上的点到直线的最大距离，故D正确.故选：ABC. 11.【详解】根据题意以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示 设，易知， 易知； 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，可得法向量， 由平面可得，即可得； 因此可得即为，即点在直线上， 对于A，由正方体性质可得，又平面，平面， 所以平面，即A正确； 对于B，又，可得，显然，即B错误； 对于C，又，， 设与都垂直的向量为，可得， 令，可得，即， 又，所以与的距离为，即C正确； 对于D，由点在直线上且为上的动点，设点 连接交于点，因此动点的轨迹为线段，易知; 所以，即动点的轨迹长为，所以D正确.故选：ACD 12.【详解】因为，所以， 所以，， 所以在上的投影向量是.故答案为：. 13.【详解】∵，∴，化简得， 又∵，， ，∴，∴．故答案为：. 14.【详解】由，则过定点，由，则过定点， 显然，即、相互垂直，而与的交点为C，所以的轨迹是以为直径的圆，且圆心为、半径为，令，则，且， 所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大为.故答案为： 15.【详解】（1）若直线过坐标原点，则，直线的方程为，即， 此时横纵截距都等于0，满足题意； 若直线不过坐标原点，设直线的方程为，因为直线过点，所以，得， 所以直线方程为.综上，此直线的方程为或. （2）设直线关于直线对称的直线为，由，解得，所以直线经过点， 在上取一点关于对称的点设为，则有解得，所以直线经过点，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即. （3）设所求圆的方程为，其中， 因为圆过三点，，，所以，解得， 故所求圆的方程为． 16.【小问1】因为，平面PCD，平面PCD，所以平面PCD. 【小问2】取BC中点E，连接PE，因为，E为BC中点，所以， 因为平面PBC⊥平面ABCD，且平面平面，平面，所以平面ABCD， 因为平面ABCD，所以，过C作，交AB于F，则， 所以，则，则， 在中，. 以D为原点，DA、DC及平面ABCD过点D的垂线分别为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 设平面APB的法向量，则，即， 令，则，所以， 设平面PBC的法向量，则，即， 令，则，所以， 由图象可得平面APB与平面PBC夹角为锐二面角，所以， 所以平面APB与平面PBC夹角的余弦值为. 【小问3】假设BC上存在点Q到平面PBA的距离为，设，， 所以，由（2）得，平面PBA的法向量， 所以点Q到平面PBA的距离，解得或（舍）， 所以棱BC上存在点Q到平面PBA的距离为，且。 17.【详解】（1）由题可设圆C的标准方程为，则， 解之得，所以圆C的标准方程为； （2）设M（x，y），D，则，由E(3，0)及M为线段ED的中点得：，解得 又点D在圆C：上，所以有，化简得：． 故所求的轨迹方程为． 18.（1）证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，则， 因为，则，，由余弦定理可得， 所以，，则，同理可证，翻折后，则有，， 因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，则，因为，、平面，所以，平面，因为平面，故平面平面. （2）因为平面，，以点为坐标原点， 、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，设，其中，则，， 设平面的法向量为，则，取，则，，所以，， 易知平面的一个法向量为， 则，整理可得，因为，解得， 因此，线段上存在点，使二面角的余弦值为，且. 19.【详解】（1）设过点与直线垂直的直线为，代入点，解得：，所以，两直线垂直，联立得：，解得：，故垂足为，显然，设线段l：的端点，则为求点到线段l：的距离. （2）不妨设线段为l，且，，此时点集D由如下曲线围成，其中由两个半圆和两条线段组成，其中两半圆圆心分别为和，半径为1，两线段分别是（ ），（），故图形面积为. （3），，故，且，，所以，故四边形ABCD为等腰梯形，故到两条线段､距离相等的点的集合为线段AD或BC的垂直平分线，其中AD中点坐标为，BC的中点为，故直线GF：.所以 1 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) 高二数学周末测试试题 9.5 答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一．单项选择题（共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] )第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） ( 二．多项选择题（共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 1 1 [A] [B] [C] [D] ) ( 第 Ⅱ 卷 （请在各试题的答题区内作答） ) ( 三．填空题（共15分） 12 13 14 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四．解答题（共77分） 15. ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 16 ． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17 ． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19. ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页（共6页） 第5页（共6页） 第6页（共6页） 第1页（共6页） 第2页（共6页） 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $