精品解析：山东省郯城第一中学2025-2026学年高二上学期阶段性诊断测试数学试题

高二上学期阶段性诊断测试数学试题 2026.1.19 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列椭圆的形状更接近于圆的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在处可导，若，则（ ） A. 27 B. 2 C. 3 D. 7 4. 若函数在上既有极大值也有极小值，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 5. 如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定的程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，，按规则有，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（ ） A. 15 B. 21 C. 27 D. 31 8. 在等比数列中，已知，（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在正方体中，是棱上的动点．则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. C. 二面角的大小为 D. 直线与平面所成角的大小不变 10. 下列函数在区间上不单调递增的是（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，已知曲线：，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则是椭圆 B. 若，则是椭圆 C. 若，则是双曲线 D. 若，则是双曲线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，求数列__________. 13. 已知抛物线，其焦点为点，点是拋物线上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为___________. 14. 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则______. 四、解答题：本题共4小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 已知数列满足：，，. （1）记，求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求. 16. 棱锥中，，且平面，过点的平面与侧棱分别交于点，且四边形为菱形. （1）求证：平面； （2）求线段的长； （3）求平面与平面所成角的余弦值. 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最大值与最小值. 18. 已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值. 19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2，该椭圆的左右顶点分别为，过作直线交椭圆上的另一点，过作直线交椭圆上的另一点，两条直线的斜率为． （1）求椭圆的方程； （2）若，则直线是否过定点，若是，求出该点坐标；若不是，请说明理由； （3）设直线过点，分别记和的面积为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上学期阶段性诊断测试数学试题 2026.1.19 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本初等函数的导数公式计算可得. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 2. 下列椭圆的形状更接近于圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出四个椭圆的离心率，根据离心率越小越接近于圆可得答案. 【详解】对于A，，，则，所以； 对于B，，，则，所以； 对于C，，，则，所以； 对于D，，，则，所以. 因为， 所以椭圆的形状更接近于圆. 故选：D. 3. 已知函数在处可导，若，则（ ） A. 27 B. 2 C. 3 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】因为 ， 所以. 故选：C. 4. 若函数在上既有极大值也有极小值，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，由分析可得有解，利用即可求得实数的取值范围. 【详解】由， 可得， 恒成立，为开口向上的抛物线， 若函数在既有极大值也有极小值， 则有解，所以， 解得或. 故选：B 5. 如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过和分别作，，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可． 【详解】解：过和分别作，， 在矩形，， ， ， 则，即， 平面与平面所成角的余弦值为， ,， ， ，， 则， 即与之间距离为， 故选：C． 6. 不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出的关系，然后利用基本不等式求出的最小值. 【详解】由直线， 得：，即恒过点， 因为直线过此定点，其中m，n是正实数 所以， 则， ，当且仅当时取等号； 故选：B 7. 如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定的程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，，按规则有，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（ ） A. 15 B. 21 C. 27 D. 31 【答案】D 【解析】 【分析】根据递归公式计算即可. 【详解】由题意可知，，. 故选：D 8. 在等比数列中，已知，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出等比数列的公比，再利用等比数列的前和公式求和. 【详解】设等比数列的公比为.∵，∴， ∴. 故选：D 【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据数列的通项特征，灵活选择求和的方法求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在正方体中，是棱上的动点．则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. C. 二面角的大小为 D. 直线与平面所成角的大小不变 【答案】ABC 【解析】 【分析】由平面平面，平面，即可判断A；建立空间直角坐标系计算即可判断选项B；先找出二面角的平面角为即可判断选项C，利用向量方法求直线与平面所成角的大小判断D. 【详解】对于选项A：因为平面平面，平面， 所以平面，故选项A正确； 如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，， ，，， 对于选项B：，， 因为， 所以，即，故选项B正确； 因为，在棱上，所以二面角即二面角， 因为，， 平面，平面， 所以即为二面角的平面角， 在正方形中，， 所以二面角的大小为，故选项C正确； 直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 随的值的变化其正弦值也变化，故直线与平面所成角也变化，D错误. 故选：ABC 10. 下列函数在区间上不单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A选项，根据解析式判断函数单调性，对B，C，D选项，求导并利用导数正负判断函数单调性. 【详解】在A选项中，的定义域为，在上单调递增，在上单调递增，不满足在上单调递增， 在B选项中，因为，所以在上单调递减，不满足在上单调递增， 在C选项中，因为，所以在上单调递增， 在D选项中，因为，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以不满足在上单调递增. 故选：ABD. 11. 在平面直角坐标系中，已知曲线：，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则是椭圆 B. 若，则是椭圆 C. 若，则是双曲线 D. 若，则是双曲线 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A,取验证即可；对于B，变形方程后进行判断即可；对于C，变形方程后进行判断即可；对于D,取验证即可. 【详解】当时，若，方程为，此时为圆，故A错误； 当时，方程化为， 因为，则，且， 符合椭圆方程的标准形式，故B正确； 若时，， 因为，则，符合双曲线的标准方程形式，故C正确； 若，令，方程化为，即，故D错误， 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，求数列__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件时，求出，时通过前项和与前项和作差得，可得通项公式. 【详解】时，， 时，由， 有， 两式相减，得，则有， 时，不符合， 所以. 故答案为： 13. 已知抛物线，其焦点为点，点是拋物线上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】通过确定直线过定点M，得到Q在以FM为直径的圆上，将P到Q的距离转化为到圆心的距离的问题，再利用抛物线的定义就可得到最小值. 【详解】将已知直线化为，当时，可确定直线过定点，记为M点. ∵过点F做直线的垂线，垂足为Q， ∴直线，即， 故Q点的轨迹是以FM为直径的圆，半径，其圆心为FM的中点，记为点H，∴， ∵P在抛物线上，其准线为， ∴等于P到准线的距离. 过P作准线的垂线，垂足为R.要使取到最小，即最小， 此时R、P、Q三点共线，且三点连线后直线RQ过圆心H.如图所示， 此时. 故答案为： 14. 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】应用导数的几何意义求得在处的切线，对求导，结合已知得切点在直线上，即可得. 【详解】由题设，则，则处切线为，即， 对于，有，又也是的切线， 令，可得，则，即切点在直线上， 所以. 故答案为：2 四、解答题：本题共4小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 已知数列满足：，，. （1）记，求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2）353 【解析】 【分析】（1）令n取代入已知条件可以得到，从而求出数列的通项公式 （2）先分奇偶求出数列的表达式，分别求奇数项的和与偶数项的和，相加得到 【小问1详解】 因为，令n取，则， 即，，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列，所以 【小问2详解】 令n取2n，则， 所以， 由（1）可知，； ；所以 16. 棱锥中，，且平面，过点的平面与侧棱分别交于点，且四边形为菱形. （1）求证：平面； （2）求线段的长； （3）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 因为平面，平面，所以， 因为，，所以，则， 因为，所以，即， 又，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，可证，根据条件，可证，根据线面垂直的判定定理，即可得证. （2）如图建系，求得各点坐标，设，根据向量的运算法则，可得坐标，根据条件，可得，整理计算，结合求模公式，即可得答案. （3）分别求出平面与平面ABCD的法向量，根据二面角的向量求法，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，直线两两垂直， 以点为原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则， 设， 则， 所以， 则， , 因为为菱形，所以， 可得， 解得， 所以. 又因为，所以，即的长为. 【小问3详解】 依题意 设平面的一个法向量为， 则 ，即， 令，可取 又因为平面的一个法向量为， 所以， 故平面与平面所成角的余弦值为. 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）求得，得到，得到切线的斜率为，结合导数的几何意义，即可求解； （2）由（1）知，得出函数的单调性，进而求得函数的最值. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 则，即切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 解：由（1）知， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此为的极小值点，也是最小值点， 又由，其中， 所以在上的最小值为，最大值为. 18. 已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【小问1详解】 依题意得，解得 ，即； 【小问2详解】 ①由， ， ， 所以 ， ②由（1）易求得，所以不等式对一切恒成立， 即转化为对一切恒成立， 令，则 又 当时，；时， 所以，且， 则 所以实数的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离构造函数，差比判断函数的单调性. 19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2，该椭圆的左右顶点分别为，过作直线交椭圆上的另一点，过作直线交椭圆上的另一点，两条直线的斜率为． （1）求椭圆的方程； （2）若，则直线是否过定点，若是，求出该点坐标；若不是，请说明理由； （3）设直线过点，分别记和的面积为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）直线过定点 （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率可得，结合短轴长可得，，即可得椭圆方程； （2）设直线，与椭圆方程联立可得韦达定理，可得，，代入结合韦达定理分析求解即可； （3）可得，，整理可得，进而求的取值范围即可. 【小问1详解】 由题意可知：，可得， 且，即，可得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知：，， 因为直线的斜率可能不存在，但不为0， 设直线，，， 联立方程，消去x可得， 则， 可得， 因为点在椭圆上，则，即 设直线的斜率为，则， 即， 又因为，即，可得， 即，可得， 整理可得， 即， 因为，则， 可得，整理可得， 则直线过定点， 且点在椭圆内，直线与椭圆必相交，符合题意， 所以直线过定点. 【小问3详解】 若直线过点，点在椭圆内，直线与椭圆必相交， 因为， 则，可得， 则，整理可得， 设，则，解得， 即，则，可得， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $