山东省临沂市沂水县第一中学2025-2026学年高二上学期期末数学模拟预测卷一

沂水一中高二数学期末模拟预测卷一 参考答案与评分标准 （时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线，若，则 A． B．2 C． D． 2．记等差数列的前项和为，则 A．120 B．140 C．160 D．180 3.若，则 A．0 B．2 C．－2 D．－4 4．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 A．，， B．，， C．，， D．，， 5．若平面的一个法向量为，点在平面内，则点到的距离为 A．3 B． C． D． 6．已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是 A． B． C． D． 7.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极小值10,则a+b等于 A．－7 B．0 C． －7或0 D．－15或6 8．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于、两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数在区间上不单调递增的是 A． B． C． D． 10．已知两点和，若直线上存在点P，使，则称该直线为“B型直线”．下列直线中为“B型直线”的是 A． B． C． D． 11．长方体中，，E为棱CD上一点，，F是平面ABCD内一动点，，则 A．存在点，使得平面 B．存在不与重合的点，使得平面 C．棱上存在两定点，使得 D．点的轨迹截直线所得弦长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列的前n项和，则 ． 13．已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ． 14．已知正方体的棱长为2，为侧面内（含边界）的一个动点，是线段的中点，若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于点，且． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，且，求． 16．（15分）在如图所示的多面体AFDCBE中，平面BCE，，，，，． (1)在线段BC上是否存在一点G，使得平面AFC？如果存在，请指出G点位置并证明；如果不存在，请说明理由； (2)当三棱锥的体积为8时，求二面角的余弦值． 17．（15分）已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值. 18．（17分）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 19．（17分）已知函数，． (1)若在其定义域上单调，求的取值范围； (2)若． （ⅰ）证明：； （ii）若，求的取值范围． 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 沂水一中高二数学期末模拟预测卷一 参考答案与评分标准 （时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线，若，则 A． B．2 C． D． 【答案】B 解析 由题意，解得.经检验成立.故选B 2．记等差数列的前项和为，则 A．120 B．140 C．160 D．180 【答案】C 解析 因为，所以，所以， 所以，故选C. 3.若，则 A．0 B．2 C．－2 D．－4 【答案】C 解析 因为，所以， 所以，则.故选C. 4．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 解析 对于A，因为，所以，，共面； 对于B，因为，所以，，共面； 对于C，因为，所以，，共面； 对于D，假设三个向量共面，则存在实数，使得成立， 则方程组无解，所以，，不共面；故选D 5．若平面的一个法向量为，点在平面内，则点到的距离为 A．3 B． C． D． 【答案】B 解析 由题意,所以点到的距离，故选B 6．已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 解析 圆的方程为，即，圆心为，半径，则表示圆上的点与点的连线的斜率，过点作圆的切线方程，显然，切线斜率存在，设切线方程为，即．则，解得，所以的取值范围为．故选C． 7.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极小值10,则a+b等于 A．－7 B．0 C． －7或0 D．－15或6 【答案】 A 【解析】 由函数f(x)=x3+ax2+bx+a2,得f′(x)=3x2+2ax+b. 又函数f(x)在x=1处有极小值10, 所以即解得或 当时,f′(x)=3x2+8x－11=(x－1)(3x+11). 令f′(x)>0,得x>1或x<－,令f′(x)<0,得－<x<1, 所以函数f(x)在(－∞,－)上单调递增,在(－,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.显然满足函数f(x)在x=1处有极小值10. 当时,f′(x)=3x2－6x+3=3(x－1)2≥0,所以函数f(x)在R上单调递增,不满足函数f(x)在x=1处有极小值10.所以a+b=4－11=－7.故选A. 8．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于、两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比 A． B． C． D． 【答案】D 解析 由题意可知，直线不与轴垂直，设其方程为，由题意可知，直线的斜率存在，则， 设点、，抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可得，可得， 联立，可得，， 由韦达定理可得，故，所以， 故.故选D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数在区间上不单调递增的是 A． B． C． D． 【答案】ABD 解析 对于A，的定义域为，在上单调递增，在上单调递增，在上不单调递增. 对于B，在上单调递减，在上不单调递增. 对于C，，在上单调递增. 对于D，在上单调递减，在上单调递增，在上不单调递增.故选ABD. 10．已知两点和，若直线上存在点P，使，则称该直线为“B型直线”．下列直线中为“B型直线”的是 A． B． C． D． 【答案】AB 解析：根据题意，满足的点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支； 则其中焦点坐标为和，即，， 可得； 故双曲线的方程为， 双曲线的渐近线方程为，直线与双曲线没有公共点， 直线经过点斜率，与双曲线也没有公共点 而直线、与直线都与双曲线，有交点 因此，在与上存在点使，满足型直线的条件 只有AB正确故选AB． 11．长方体中，，E为棱CD上一点，，F是平面ABCD内一动点，，则 A．存在点，使得平面 B．存在不与重合的点，使得平面 C．棱上存在两定点，使得 D．点的轨迹截直线所得弦长为 【答案】ACD 解析 如图建系，易知， 设，则：， 由，可得：， 化简可得，对于A，若平面，易得 又，可得：， 联立，消去可得：，有解， 所以存在点F，使得平面， 对于B，由长方体性质可知，，要使得平面， 则必有,， 所以，联立， 可得或，此时点与重合，故B错误； 对于C:由化简可得：， 即点的轨迹是椭圆，且焦点在轴上，且， 所以棱CD上存在两定点M，N，使得，故C正确； 对于D：在坐标平面中，直线的方程为：， 联立，可得：， ，所以点的轨迹截直线所得弦长为，故D正确，故选ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列的前n项和，则 ． 【答案】 解析 当时，， 当时，，当时，， 所以，， 所以.故答案为 13．已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 解析 在△PF1F2中，由正弦定理得，则由已知， 即a|PF1|=|cPF2|设点（x0，y0）由焦点半径公式， 得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0,则a（a+ex0）=c（a-ex0） 解得：x0=，由椭圆的几何性质知x0＞-a则>-a 整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜--1或e＞-1，又e∈（0，1）， 故椭圆的离心率e∈(-1，1)，故答案为(-1，1)． 14．已知正方体的棱长为2，为侧面内（含边界）的一个动点，是线段的中点，若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 ． 【答案】 解析 以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立坐标系 ， 易知平面 的一个法向量为 ， 设 ，当直线 与平面 所成的角为时， ， 所以 ，则点 的轨迹是以 为球心，为半径的球， 为侧面 内的一个动点， 则点 的轨迹在侧面 内是以 为圆心，为半径的劣弧， 设轨迹分别交 于点 ， ， 可得 ， 则 ，则 ， 劣弧 的长为 ，故答案为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于点，且． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，且，求． 解析（1）设点，则，所以． 将代入得，解得， 所以抛物线C的标准方程为.………………4分 （2）抛物线的焦点，设直线的方程为， 因为，所以，所以．………………6分 联立，得，， 所以，即， 又，所以，解得．…………10分 所以．………………13分 16．（15分）在如图所示的多面体AFDCBE中，平面BCE，，，，，． (1)在线段BC上是否存在一点G，使得平面AFC？如果存在，请指出G点位置并证明；如果不存在，请说明理由； (2)当三棱锥的体积为8时，求二面角的余弦值． 解析（1）存在，点为中点，理由如下：………………1分 取线段AB的中点H，连接EH、HG、EG． ∵，， ∴四边形AHEF是平行四边形，∴．………………2分 又∵平面AFC，平面AFC，∴平面AFC．………………3分 ∵H、G分别为AB、BC的中点， ∴HG是的中位线，∴．………………4分 ∵平面AFC，平面AFC，∴平面AFC． ∵，HG、平面EHG， ∴平面平面AFC．………………5分 ∵平面EHG，∴平面AFC．………………6分 （2）设， 由， 可得．………………8分 以E为坐标原点，EC、EB、EF所在直线分别为x、y、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 由题可知，，，，………………9分 ，，．…………10分 设平面AFC的法向量为， 则， 令，得，， 所以平面AFC的一个法向量为．………………12分 设平面AFD的法向量为， 则， 令，得， 所以平面AFD的一个法向量为．………………14分 ，由图可知二面角为锐角， 故二面角的余弦值为．………………15分 17．（15分）已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值. 解析（1）依题意得，解得 ，即；………………4分 （2）①由，………………5分 ， ， 所以 ，………………9分 ②由（1）易求得，所以不等式对一切恒成立， 即转化为对一切恒成立， 令，则 又，………………11分 当时，；时， 所以，且， 则所以实数的最大值为.………………15分 18．（17分）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 解析（1）由题意可知，，所以． 又， 所以椭圆的方程为；………………4分 （2）①设过点的直线方程为，点， 联立，得，………………6分 则， 则． 又因为点到直线的距离． 令，解得， 所以直线的方程为．………………10分 ②由①知， 则直线，直线，………………12分 由，整理得． 由①知，得， 所以，即，解得， 所以点在直线上．………………17分   19．（17分）已知函数，． (1)若在其定义域上单调，求的取值范围； (2)若． （ⅰ）证明：； （ii）若，求的取值范围． 解析（1），………………2分 因为函数在上单调， 若函数在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立，则； 若在上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，，则，此时. 综上，实数的取值范围是.………………6分 （2）当时，， （i）由题意即证明在区间上恒成立， 令，， 则， 当时，，则，，则， 所以，函数在区间上单调递增，所以， 所以.………………11分 （ii）由得在区间上恒成立， 令，， 则，且， 因为在区间上恒成立，所以，解得，…………14分 因为，所以，， 所以当时，， 此时函数在区间上单调递减，所以恒成立，合乎题意， 综上，实数的取值范围是.………………17分 12 学科网（北京）股份有限公司 $