新疆生产建设兵团第二师八一中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试卷

**基本信息** 高二年级开学考试，120分钟150分，覆盖复数、立体几何、统计、解三角形、向量等高一核心知识，通过“天宫课堂”调查、塔高测量等情境，诊断学情并衔接高二内容，适配开学检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数（1）、圆锥体积（2）、分层抽样（3）等|题3结合“天宫课堂”调查考统计，体现时代性| |多选题|3/18|复数性质（9）、解三角形判定（10）等|题10多选项辨析，考查推理意识| |填空题|3/15|向量投影（12）、塔高测量（13）等|题13以实际测量考正弦定理，培养应用意识| |解答题|5/77|向量运算（15）、立体几何证明（17）、解三角形综合（19）等|题19分三问，从求角到周长、中线范围，梯度考查数学思维与表达|

第二师八一中学高二年级第一学期开学考试 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知为虚数单位，复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若体积为的圆锥的高为1，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 3．实验中学为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取80人进行调查.已知该校高一年级学生有300人，高二年级学生有400人，高三年级学生有500人，则抽取的学生中，高一年级有（   ） A．32人 B．24人 C．20人 D．18人 4．已知两条不同直线，，两个不同平面，，下列命题中正确的是（ ） A．若，，则； B．若，，，，则； C．若，，则； D．若，，，则或与异面 5．若非零向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 6．在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．已知正四棱锥的底面边长为2，高为，点M为棱的中点，则直线与底面所成角的正切值为（     ） A． B． C．1 D． 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，，满足条件的△ABC有两个，则b可能为（    ） A．2 B． C． D．3 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知复数（为虚数单位），则（    ） A．在复平面内对应的点位于第二象限 B．的共轭复数为 C． D．若复数，则 10．已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则此三角形为等腰三角形 B．若，则 C．若，，，则解此三角形必有两解 D．若是锐角三角形，则 11．已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且高为3，则下列说法正确的有（   ） A．该四棱台的体积为14 B．若为的中点，则平面 C．该四棱台的侧面积为 D．该四棱台的外接球表面积为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 13．如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 14．在三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为____________. 四、解答题（共5小题，共77分, 15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知＝2，＝，． (1)求与的夹角； (2)若，且，求实数t的值及． 16．如图，在四边形ABCD中，，，. （1）求的大小； （2）若，，求AD的长. 17．如图，已知在三棱柱中，平面，点是的中点． (1)求证：平面； (2)若，，，求三棱锥的体积． 18．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 19．在锐角中，设角所对的边分别为，已知且． (1)求角； (2)求周长的取值范围； (3)求边上的中线的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C D D D A B CD BCD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】根据共轭复数的定义，化简可得，再根据复数的几何意义即可得解. 【详解】依题意得，因此 ，根据复数的几何意义， 它在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B 2．A 【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得， 故所求母线长为． 3．C 【分析】确定高一，高二，高三的人数比，由分层抽样特征即可求解. 【详解】该校高一年级学生有300人，高二年级学生有400人，高三年级学生有500人， 则高一年级，高二年级与高三年级的学生人数比为， 则抽取的学生中，高一年级有. 4．D 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系及相关判定、性质定理，逐一判断即可. 【详解】对选项A：根据线面平行的判定定理，平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，才可推出该直线与此平面平行， 该选项未说明，当时也满足且，故A错误； 对选项B：根据面面平行的判定定理，一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，才可推出两平面平行， 该选项未说明与为相交直线，若，则与可能相交，故B错误； 对选项C：若，则与内的直线无公共点，位置关系为平行或异面，不一定平行，故C错误； 对选项D：若，则与无公共点，因此分别在两平面内的直线、也无公共点，无公共点的两条直线位置关系为平行或异面，故D正确. 5．D 【分析】利用夹角公式计算，利用垂直和模长关系建立模长与数量积之间的关系计算夹角的余弦值． 【详解】设，则． 由得， 所以， 所以． 6．D 【分析】将正三棱柱补成直四棱柱，平移到即可解. 【详解】将正三棱柱补成直四棱柱， 使正三棱柱与正三棱柱全等， 则由直棱柱性质可知，与所成角为（或其补角）； 因为，， 所以， 所以. 7．A 【详解】连接交于点，连接，由正四棱锥的性质可知，， 取的中点，连接， 是中点，是中点， ， 底面，故底面， 是在底面的射影，是直线与底面所成角，    则，，， . 底面，底面， ，即是直角三角形， ． 8．B 【分析】已知边a与其对角A，求边b可利用正弦定理，建立边b与角B之间的关系，因为△ABC有两个，故角B有两个，根据正弦函数图象确定范围即可． 【详解】由正弦定理可得：，因为a＝2，， 故，故， 因为△ABC有两个，故存在两个不同的角B满足题意， 则（否则角B不满足有两个三角形的条件），（否则B只能有直角一个值）， 故且，则， 故，解得．故只有B选项符合题意． 9．CD 【分析】先对复数化简，再根据复数的性质一一验证. 【详解】， 在复平面内，对应的点为，位于第三象限， 选项A错误； ，选项B错误； ，选项C正确； ， ，选项D正确. 10．BCD 【分析】根据正弦函数的性质及诱导公式判断A、D，利用正弦定理判断B、C. 【详解】对于A：因为，，且角，最多有一个大于， 所以由可知，或，即或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B：由正弦定理可知，又，所以， 可得，因为，所以，故B正确； 对于C：由正弦定理可得， 因为且，即，所以或，故此三角形有两解，故C正确； 对于D：因为是锐角三角形，所以，即， 又在上单调递增，所以， 同理， 所以，故D正确. 故选：BCD 11．ABD 【分析】利用台体体积公式可判断A选项；利用线面平行的判定定理可判断B选项；根据棱台的侧面积公式可判断C选项；设出球心的坐标，根据球心到点的距离相等，可求出球心的坐标，进而可求出球的半径，结合球体表面积公式可判断D选项. 【详解】设棱台的上下底面中心分别为，    对于A选项，由台体体积公式可知，该正四棱台的体积为，A对； 对于B选项，当点为的中点时，易知为的中点，所以， 因为平面，平面，故平面，B对； 对于C选项，侧面的斜高为， 所以此四棱台的侧面积为，所以C错； 对于D选项，易知该正四棱台外接球球心在直线上，设球的半径为， 因为正方形的边长为，正方形的边长为， 所以,, 设点，则， 由可得，解得， 故， 因此，该四棱台的外接球表面积为，D对. 故选:ABD． 12． 【详解】因为，，则，， 所以在方向上的投影向量为. 13． 【详解】已知，，，则， 由正弦定理得，则， ， 已知，， ，故． 14． 【分析】依题意可得的外心为斜边的中点，且的外接圆的半径，则三棱锥外接球的球心在上，设球心为，外接球的半径为，连接，利用勾股定理求出，再由球的表面积公式计算可得. 【详解】因为，，，所以， 所以的外心为斜边的中点，且的外接圆的半径， 因为平面，所以三棱锥外接球的球心在上， 设球心为，外接球的半径为，连接，则， 所以，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径. 15．(1) (2)t＝2， 【分析】（1）根据结合数量积得运算律求出，再根据即可得解； （2）根据题意可得，从而可求得，再根据向量的模的计算公式即可得解. 【详解】（1）解：因为， 所以， 即，所以， 所以， 又，所以； （2）解：因为，且， 所有， 即，解得t＝2， 所以， 所以． 16．（1）；（2） 【分析】（1）在△ABC中，利用三角形的面积得AB＝BC，由，进而利用三角形内角和得∠ACB； （2）由（1）与已知可求∠ACD＝，在△ABC中，由余弦定理可得AC，在△ACD中，由正弦定理可得AD． 【详解】（1）在△ABC中，S△ABC＝AB•BC•sin∠ABC，得sin＝， ∴，∴AB＝BC，又∵，∴∠ACB； （2）∵BC⊥CD，由（1）得∠ACD，在△ABC中， 由余弦定理可得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos＝（）2+（）2﹣2×＝9， ∴AC＝3，∴在△ACD中，由正弦定理可得：AD＝＝＝． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，三角形内角和定理，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 17．(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）根据三棱柱的几何性质，利用线线平行推出线面平行； （2）根据三棱柱的几何性质，结合已知条件，利用等体积法求三棱锥的体积． 【详解】（1）证明：如图，连接，设，连接， 四边形是矩形，则为的中点， 又是的中点， ， 又平面，平面， 平面． （2），是的中点， ， 在三棱柱中，底面，且， 平面， 平面， ， ，，平面， 平面，则是三棱锥的高， 在等腰中，，，则， 又， ． 18．(1)证明：∵，，∴. ∵平面，平面，∴， ∵，平面，平面，∴平面． (2)证明：因为，所以. ∵，∴在中，.∴. ∵平面，平面，∴， ∵，平面，平面，∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）略. （2）略. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解； （2）利用正弦定理及三角恒等变换求出的取值范围进而得出结果； （3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将的范围转化为的范围，再结合锐角三角形以及角，求得角的范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 又由余弦定理得，，故． （2）由正弦定理得 ， ， 又因为是锐角三角形，故，解得， ， 周长的取值范围为 ． （3）由余弦定理得，，即． ，两边平方得． 由正弦定理可知，，故， 因此 ， 又因为是锐角三角形，故，解得， 故，，， 即，则． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $