精品解析：新疆巴音郭楞蒙古自治州博湖县高级中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

2023-2024学年高二数学开学测试 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，得到复数的代数形式，由此求得复数的虚部. 【详解】因为，所以虚部为1. 故选：D． 2. 在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，得，由余弦定理可求. 【详解】因为向量，， 因为， 所以，即， 由余弦定理可得. 因为，所以， 故选：B. 3. 某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 直方图中x的值为0.035 B. 在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人 C. 估计全校学生的平均成绩为83分 D. 估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分 【答案】D 【解析】 【分析】利用频率分布直方图的性质求解. 【详解】对于A：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得 10(0.005+0.01+0.015+x+0.040)=1，解得x=0.03，故A错误； 对于B：在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为100.015400=60人， 故B错误； 对于C：估计全校学生的平均成绩为550.05+650.1+750.15+850.3+950.4=84分； 故C错误. 对于D：全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为分. 故D正确. 故选：D. 4. 已知直线平面，直线平面，则（ ） A. 若与垂直，则与一定垂直 B. 若与所成的角为30°，则与所成的角也为30° C. 是的充分不必要条件 D. 若与相交，则为一定是异面直线 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面垂直判定定理可判断A选项；利用线面角的定义可判断B选项；利用线面平行的判定定理和性质可判断C选项；根据已知条件直接判断与的位置关系，可判断D选项. 【详解】对于A，当与垂直时，由线面垂直判定定理可得与不一定垂直，A错误； 对于B选项，由线面角的定义可知，与所成的角是直线与平面内所有直线所成角中最小的角， 若与所成的角为，则与所成的角满足，B错； 对于C选项，若，，，则，即， 若，因为，则与平行或异面，即. 所以，是的充分不必要条件，C对； 对于D选项， 若与相交，则与相交或异面，D错. 故选：C. 5. 集合A=，，从A，B中各取一个数，则这两数之和等于5的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据古典概型公式解之即可. 【详解】从A，B中各取一个数，则这两数之和可能为 ，， 共有6个可能的结果，其中两数之和等于5的有2个， 则从A，B中各取一个数，这两数之和等于5的概率是 故选：B 6. 如图，已知长方体的底面为正方形，为棱的中点，且，，则四棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断出四棱锥的外接球球心位置并计算出球的半径，从而求得外接球的体积. 【详解】设是的中点，设， 依题意，四边形是正方形，所以， 是的中点，所以. ， 由于分别是的中点，所以， 根据正方体的性质可知平面，所以平面， 由于平面，所以， 所以， 所以是四棱锥的外接球球心，且外接球的半径为， 所以外接球的体积为. 故选：A 7. 如图所示，平行四边形中，，点F为线段AE的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，，，化简计算即可得出结果. 【详解】. 故选：C. 8. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据余弦定理和面积公式得到，结合同角的三角函数基本关系时可得，故可求的取值范围，结合对勾函数的单调性可求的取值范围. 【详解】在中，由余弦定理得，且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立得， 解得或（舍去）， 所以， 因为为锐角三角形，所以，，所以， 所以，所以，所以， 设，其中，所以， 由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，；当时，； 所以，即的取值范围是． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子每次出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现6点的描述是（ ） A. 中位数为3，众数为5 B. 中位数为3，极差为3 C. 中位数为1，平均数为2 D. 平均数为3，方差为2 【答案】AD 【解析】 【分析】根据数字特征的定义，依次对选项分析判断即可 【详解】对于A，由于中位数为3，众数为5，所以这5个数从小到大排列后，第3个数是3，则第4和5个为5，所以这5个数中一定没有出现6，所以A正确， 对于B，由于中位数为3，极差为3，所以这5个数可以是3，3，3，4，6，所以B错误， 对于C，由于中位数为1，平均数为2，所以这5个数可以是1，1，1，1，6，所以C错误， 对于D，由平均数为3，方差为2，可得，，若有一个数为6，取，则，，所以，所以这4个数可以是4，3，3，3或2，3，3，3，与 矛盾，所以，所以这5个数一定没有出现6点，所以D正确， 故选：AD 10. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 设为非零向量，若，则 B. 设为非零向量，若，则的夹角为锐角 C. 设为非零向量，则 D. 若点为的重心，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据，平方后可得，可判断A；根据数量积的意义结合向量的夹角含义判断B；根据数量积的意义判断C；根据三角形重心性质结合向量的线性运算可判断D. 【详解】对于A，为非零向量，若，则， 即，A正确； 对于B，当时，， 故，则的夹角为锐角或零角，B错误； 对于C，为非零向量，则表示与共线的向量， 表示与共线的向量，而不一定共线，故不成立，C错误； 对于D，如图设D为的中点，点为的重心， 则，即即，D正确， 故选：AD 11. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折到△AB1M的位置，连接B1C和B1D，N为B1D的中点，在翻折过程中，则下列结论中正确的是（ ） A. 始终有AM⊥B1C B. 线段CN的长为定值 C. 直线AB1和CN所成的角始终为 D. 当三棱锥B1﹣AMD的体积最大时，其外接球的表面积是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直、平行四边形、线线角、外接球等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于四边形是菱形，，所以三角形是等边三角形， 是的中点，所以， 则在折叠的过程中，， 由于平面， 所以平面，由于平面，所以，A选项正确. 设是的中点，由于是的中点， 所以， 由于， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以， 在直角三角形中，为定值， ，所以三角形是等边三角形， 所以，也即直线AB1和CN所成的角始终为，C选项错误. 三角形的面积不变，所以当平面平面时，到平面的距离最大， 由于平面平面且交线为，平面，， 所以平面，由于平面，所以. 同理可证得平面， 由于平面，所以， 所以三棱锥B1﹣AMD的体积最大时，其外接球的球心为， ， 所以外接球的半径为，表面积为，D项正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数z满足，则的最小值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】设，由条件可得，根据复数几何意义可求得最小值. 【详解】设，由可得，轨迹是以原点为圆心以2为半径的圆， 根据复数几何意义知，表示复平面内到的距离， 则最小值为， 故答案为：1 13. 若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于，且，，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由随机事件互斥, 发生的概率均不等0 ,且,由此能求出实数的取值范围. 【详解】 随机事件互斥, 发生的概率均不等于0, 且 , ，即， 解得: . 故答案为：. 14. 如图，三棱台的上、下底边长之比为，记三棱锥体积为，三棱台的体积为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用相似关系确定上下底面面积的比值，将棱锥转换顶点，结合体积公式求得两个几何体的体积，即可求解. 【详解】由三棱台的上、下底边长之比为，可得上、下底面的面积比为， 设棱台的高为，则点到的距离也为，上底面面积为，则下底面面积为， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设向量，，． （1）求向量； （2）若，求实数k的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可； （2）由向量垂直的条件即可求解. 【小问1详解】 因为，， 则； 【小问2详解】 因为， 若， 则， 解得． 16. 某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的美学鉴赏课考试成绩如下（单位：分）： 甲组：65，90，85，75，65，70，75，90，95，80 乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85 （1）试分别计算两组数据的极差和方差； （2）试根据（1）中的计算结果，判断哪一组的成绩较稳定？ 【答案】（1）甲组数据的极差为30（分），方差为104；乙组数据的极差为30（分），方差为75.25 （2）乙组的成绩较稳定． 【解析】 【分析】（1）根据公式直接求极差、平均数、方差即可； （2）根据（1）的结果可得答案． 【小问1详解】 甲组最高分为95分，最低分为65分，极差为， 平均数为， 方差为 ， 乙组最高分为95分，最低分为65分，极差为， 平均数为， 方差为 ； 【小问2详解】 由于甲乙两组极差相同，但乙组的方差小于甲组的方差，因此乙组的成绩较稳定． 17. 如图，在正方体中，E，F，P，Q分别是，，，的中点．求证： （1）平面； （2）平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，即可证明； （2）方法一，根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，利用构造平行四边形，证明线线平行；方法二，利用面面平行的性质定理，构造面面平行，即可证明线面平行. 【小问1详解】 如图，连接，． 因为四边形是正方形，且是的中点， 所以是的中点，又是的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 方法一 取的中点，连接，，如图所示， 则有且． 又且，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． 方法二 取的中点，连接，，如图所示， 因为点是，的中点，所以， 平面，平面， 所以平面， 因为点，分别是和的中点， 所以，平面，平面， 所以平面， 且，，平面， 所以平面平面． 又平面，所以平面． 18. 某快餐店统计了近100天内每日接待的顾客人数，将前50天的数据进行整理得到频率分布表和频率分布直方图． 组别 分组 频数 频率 第1组 [20，30） 4 0.08 第2组 [30，40） a 第3组 [40，50） 20 b 第4组 [50，60） 0.32 第5组 [60，70） 4 0.08 合计 50 1.00 （1）求a，b，c的值，并估计该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的平均数； （2）已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为104，在后50天内每日接待的顾客人数的平均数为51，方差为100，估计这家快餐店这100天内每日接待的顾客人数的平均数和方差． 【答案】（1）a＝6，，，47． （2）平均数49，方差为106 【解析】 【分析】（1）根据频率与频数的关系即可求解，由平均数的计算个数即可求解， （2）由整体平均数和方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 由表可知第4组的频数为，所以，， 第2组的频率为， ， 前50天内每日接待的顾客人数的平均数为． 【小问2详解】 设前50天接待的顾客人数分别为，，…，， 后50天接待的顾客人数分别为，，…，， 则由（1）知，前50天内每日接待的顾客人数的平均数， 方差， 后50天内每日接待的顾客人数的平均数，方差， 故这100天内每日接待的顾客人数的平均数为， 方差为 19. 在中，角的对边分别为，满足. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理直接求解即可； （2）由三角形的面积公式可得，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由余弦定理得， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）可知， 因为的面积为，即，所以， 则，即，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 20. 甲和乙进行多轮答题比赛，每轮由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）求两人在两轮比赛中都答对的概率； （2）求两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率； （3）求两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算即可； （2）两人分别答两次，总共四次中至少答对3道题，分五种情况计算可得答案； （3）分甲和乙均答对两个题目、均答对三个题目两种情况计算即可. 【小问1详解】 依题意，设事件“甲两轮都答对问题”，“乙两轮都答对问题”， 所以. 因为事件相互独立， 所以两人在两轮比赛中都答对的概率为 【小问2详解】 设事“甲第一轮答对”，“乙第一轮答对”， “甲第二轮答对”，“乙第二轮答对”， “两人在两轮比赛中至少答对3道题”， 则， 由事件的独立性与互斥性， 可得 故两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率为. 【小问3详解】 设事件分别表示甲三轮答对2个，3个题目， 分别表示乙三轮答对2个，3个题目， 则， ， 设事件“两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2”， 则，且分别相互独立， 所以 . 所以两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年高二数学开学测试 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 直方图中x的值为0.035 B. 在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人 C. 估计全校学生的平均成绩为83分 D. 估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分 4. 已知直线平面，直线平面，则（ ） A. 若与垂直，则与一定垂直 B. 若与所成的角为30°，则与所成的角也为30° C. 是的充分不必要条件 D. 若与相交，则为一定是异面直线 5. 集合A=，，从A，B中各取一个数，则这两数之和等于5的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知长方体的底面为正方形，为棱的中点，且，，则四棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，平行四边形中，，点F为线段AE的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子每次出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现6点的描述是（ ） A. 中位数为3，众数为5 B. 中位数为3，极差为3 C. 中位数为1，平均数为2 D. 平均数为3，方差为2 10. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 设为非零向量，若，则 B. 设为非零向量，若，则的夹角为锐角 C. 设为非零向量，则 D. 若点为的重心，则 11. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折到△AB1M的位置，连接B1C和B1D，N为B1D的中点，在翻折过程中，则下列结论中正确的是（ ） A. 始终有AM⊥B1C B. 线段CN的长为定值 C. 直线AB1和CN所成的角始终为 D. 当三棱锥B1﹣AMD的体积最大时，其外接球的表面积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数z满足，则的最小值为________． 13. 若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于，且，，则实数的取值范围为________． 14. 如图，三棱台的上、下底边长之比为，记三棱锥体积为，三棱台的体积为，则______． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设向量，，． （1）求向量； （2）若，求实数k的值． 16. 某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的美学鉴赏课考试成绩如下（单位：分）： 甲组：65，90，85，75，65，70，75，90，95，80 乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85 （1）试分别计算两组数据的极差和方差； （2）试根据（1）中的计算结果，判断哪一组的成绩较稳定？ 17. 如图，在正方体中，E，F，P，Q分别是，，，的中点．求证： （1）平面； （2）平面． 18. 某快餐店统计了近100天内每日接待的顾客人数，将前50天的数据进行整理得到频率分布表和频率分布直方图． 组别 分组 频数 频率 第1组 [20，30） 4 0.08 第2组 [30，40） a 第3组 [40，50） 20 b 第4组 [50，60） 0.32 第5组 [60，70） 4 0.08 合计 50 1.00 （1）求a，b，c的值，并估计该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的平均数； （2）已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为104，在后50天内每日接待的顾客人数的平均数为51，方差为100，估计这家快餐店这100天内每日接待的顾客人数的平均数和方差． 19. 在中，角的对边分别为，满足. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的最小值. 20. 甲和乙进行多轮答题比赛，每轮由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）求两人在两轮比赛中都答对的概率； （2）求两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率； （3）求两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $