新疆石河子第一中学2024-2025学年高二上学期8月月考（开学考试）数学试题

石河子第一中学 2025届高二年级开学考试 数学试卷 一、单项选择题：（本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知全集，集合，集合，则B为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．在ΔABC中，，则角的大小为（    ） A． B． C．或 D． 4．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则， B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 5．现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为（    ）（参考数据：) A．2700年 B．3100年 C．3500年 D．3900年 6．已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 7．已知ΔABC中，，，AD为BC上的高，垂足为，点为AB上一点，且，则（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（    ） A．数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9 B．投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数大于4”为事件，则事件，中至少有一个发生的概率是. C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是 D．若样本，，…，的平均数和方差分别为2和3，则，，…，的平均数和方差分别为8和27 10．下列命题正确的是（    ） A．若，且， B．已知正数、满足，则的最小值为 C．若，则的最大值是 D．若，，，则的最小值是 11．如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点．则下列结论正确的是（    ） A．若为中点，则平面 B．若为中点，则平面 C．不存在点，使得 D．PQ与平面所成角的正弦值的取值范围为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．若平面向量，，且，则 . 13．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，，平面平面ABCD，中BC边上的高，则该几何体的体积为 ． 14．在，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15(13分）．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． (1)求第七组的频率； (2)估计该校的800名男生的身高的中位数； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求． 16．（15分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)证明：； (2)若，，求a的值． 17（15分）．已知函数，的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为. (1)求函数的单调递增区间： (2)将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 18．（17分）如图， 在三棱锥 中， 的中点分别为 ，点在上，. (1)证明: 平面； (2)证明: 平面； (3)求PA长,并求直线PA和平面BEF所成角的正弦值。 19(17分）．“难度系数”反映试题的难易程度，难度系数越大，题目得分率越高，难度也就越小，“难度系数”的计算公式为，其中L为难度系数，Y为样本平均失分，W为试卷总分（一般为100分或150分）．某校高二年级的老师命制了某专题共5套测试卷（总分150分），用于对该校高二年级480名学生进行每周测试，测试前根据自己对学生的了解，预估了每套试卷的难度系数，如下表所示： 试卷序号i 1 2 3 4 5 考前预估难度系数 0.7 0.64 0.6 0.6 0.55 测试后，随机抽取了50名学生的数据进行统计，结果如下： 试卷序号i 1 2 3 4 5 平均分/分 102 99 93 93 87 (1)根据试卷2的预估难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分； (2)试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差，设为第i套试卷的实测难度系数，并定义统计量， 若，则认为试卷的难度系数预估合理，否则认为不合理．以样本平均分估计总体平均分，试检验这5套试卷难度系数的预估是否合理． (3)聪聪与明明是学习上的好伙伴，两人商定以同时解答上述试卷易错题进行“智力竞赛”，规则如下：双方轮换选题，每人每次只选1道题，先正确解答者记1分，否则计0分，先多得2分者为胜方.若在此次竞赛中，聪聪选题时聪聪得分的概率为，明明选题时聪聪得分的概率为，各题的结果相互独立，二人约定从0:0计分并由聪聪先选题，求聪聪3:1获胜的概率 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 石河子第一中学高二年级开学考试 数学答题卡 2024.8.28 姓名： 班级： 考场/座位号： 正确填涂 缺考标记 注意事项 1．答题前请将姓名、班 级、考场、准考证号填写清 楚。 2．客观题答题，必须使用 2B铅笔填涂，修改时用橡皮 擦干净。 3．必须在题号对应的答题 区域内作答，超出答题区域 书写无效。 考  号             [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 单选1-8题，每题5分，共40分； 多选题9-11题，每题6分，共18分，部分选对得部分分 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 填空题：每题5分，共15分 12. 13. 14. 解答题：共77分 15. （13分） 16. （15分） 17. （15分） 18. （17分） 19. （17分） 石河子第一中学 2025届高二年级开学考试 数学答案 一、单项选择题：（本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 一、单选题 1．已知全集，集合，集合，则B为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用列举法表示出集合A，再利用补集、并集的定义求解即得. 【详解】依题意，，而，则，又， 所以. 故选：B 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的模长公式及除法运算求解复数，然后求其共轭复数即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故选：A 3．在ΔABC中，，则角的大小为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】因为， 由正弦定理，即，所以， 又，所以，则. 故选：A 4．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则， B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】根据线面位置关系，结合线面平行、垂直的判定性质逐项讨论即可得答案. 【详解】对于D，由，得，当时，，D正确； 对于B，若，则或相交，B错误； 对于C，若，，则或异面，C错误； 对于A，若，可以在或内，当时，， A错误. 故选：D 5．现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为（    ）（参考数据：) A．2700年 B．3100年 C．3500年 D．3900年 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意得， 两边取对数得. 故选：C 6．已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和差公式以及倍角公式化简求值可得答案. 【详解】由题干得 所以 ， 故选：B. 7．已知ΔABC中，，，AD为BC上的高，垂足为，点为AB上一点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性关系及数量积的运算律得可得答案. 【详解】如图所示， 由题意可知，，，，故， 因为， 所以， 则 . 故选：A. 8．已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】D 【分析】通过对的赋值，结合奇函数、偶函数的概念逐项判断额. 【详解】由题意知，在函数中，2023， 当时，，解得， 若函数是上的奇函数，则该函数的图象必过原点，即有，故B错误. 当时，，解得， 无法得到，故A错误. 在函数中，， 所以是奇函数，故C错误，D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（    ） A．数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9 B．投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数大于4”为事件，则事件，中至少有一个发生的概率是. C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是 D．若样本，，…，的平均数和方差分别为2和3，则，，…，的平均数和方差分别为8和27 【答案】AD 【分析】对于A，根据百分位数的定义计算判断，对于B，根据样本的定义分析判断，对于C，根据随机抽样的性质分析判断，对于D，根据平均数的性质分析判断． 【详解】对于A，因为，所以第60百分位数为第5个数是9，所以A正确； 对于B，由题意得事件，中至少有一个发生的对立事件是事件，都不发生，而事件不发生的概率为，事件不发生的概率为，所以事件，都不发生的概率为，故事件，中至少有一个发生的概率是。所以B错误； 对于C，用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是，所以C错误； 对于D，若样本数据，，，的平均数为2，方差为3， 则，，，的平均数为，方差为,所以D正确． 故选：AD． 10．下列命题正确的是（    ） A．若，且， B．已知正数、满足，则的最小值为 C．若，则的最大值是 D．若，，，则的最小值是 【答案】BC 【分析】利用基本不等式逐项判断，注意不等成立的前提条件． 【详解】对于选项，若均为负数，不等式不成立，所以错误； 对于选项，，所以， 则， 所以，，当且仅当，即当时，等号成立，故正确； 对于选项，因为，，当且仅当即时，等号成立，所以，故正确； 对于选项，因为，所以， 所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是，故错误． 故选：． 11．如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点．则下列结论正确的是（    ） A．若为中点，则平面 B．若为中点，则平面 C．不存在点，使得 D．PQ与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】ABD 【分析】利用线面平行的判定定理可判断A；利用线面垂直的判定定理可判断B；当Q与B重合时，结合平面，可证，判读C；利用线面角的定义求出PQ与平面所成角的正弦值的最值，可判断D. 【详解】对于A，连接，由于为中点，为线段的中点， 故，而平面，平面， 故平面，A正确； 对于B，在正方体中，连接，则， 又平面，平面，故， 而平面，故平面， 由A的分析可知，故平面，B正确； 对于C，在正方体中，为线段的中点，也为为线段的中点， 当Q与B重合时，平面， 连接，则， 又平面，平面，故， 而平面，故平面， 而平面，故，即 即存在点，使得，C错误； 对于D，不妨设正方体棱长为2，作，垂足为H，则H为的中点， 由于平面平面，平面平面， 且平面，故平面，且， 则为PQ与平面所成角， 当Q与B重合时，取到最大值BH，此时PB即为PQ的最大值， 此时PQ与平面所成角的正弦值取到最小值，为， 而,故； 作，垂足为G，则，， 当Q与G重合时，取到最小值即为HG，此时PG长即为PQ的最小值， 此时PQ与平面所成角的正弦值取到最大值，为， 即PQ与平面所成角的正弦值的取值范围为，D正确， 故选：ABD 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于选项D的判断，解答时要能根据线面角的定义，确定角的正弦值取到最值时的点Q的位置，从而解直角三角形求出正弦值. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．若平面向量，，且，则 . 【答案】10或2 【分析】根据向量垂直的坐标运算可得或，即可根据模长的坐标公式求解. 【详解】，，且， ，即，即， 解得或， 当时，，， 则，； 当时，，， 则， 综上可知，或2. 故答案为：10或2 13．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，，平面平面ABCD，中BC边上的高，则该几何体的体积为 ． 【答案】 【分析】先补全多面体ABCDEF，得到三棱柱，然后求出三棱锥的体积，从而求解． 【详解】在多面体中，由，平面，平面， 得平面，延长FE到G，使得，连接DG、AG，如图： 显然，，几何体为三棱柱， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，则三棱柱为直三棱柱， 于是三棱锥的体积为：， 所以原几何体的体积为：. 故答案为： 14．在，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据面积公式和，求出，故利用基本不等式“1”的代换求出最值，得到答案. 【详解】， ， ， ， ， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15(13分）．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． (1)求第七组的频率； (2)估计该校的800名男生的身高的中位数； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求． 【答案】(1)；(2)平均数为，中位数为；(3)． 【分析】(1)由频率分布直方图的性质求第七组的频率； (2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数； (3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率. 【详解】解：(1)第六组的频率为， ∴第七组的频率为． (2)由直方图得，身高在第一组的频率为， 身高在第二组的频率为， 身高在第三组的频率为， 身高在第四组的频率为， 由于，， 设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则， 由得， 所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm (3)第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d， 第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B， 则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况， 因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以． 16．（15分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)证明：； (2)若，，求a的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理，两角和与差的正弦函数公式化简已知等式可得，可得，或，分类讨论即可证明； （2）由，求解，利用，求解，结合正弦定理即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理可得，， ， 即， 所以， 整理得， 即， 又，是的内角， 所以，， 所以或（舍去）， 即． （2）由及可知，． 由可知，，． 由可得，． 在中，由正弦定理 可得，，解得， 17（15分）．已知函数，的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为. (1)求函数的单调递增区间： (2)将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角恒等变换公式化简函数的解析式，接着依据题意求出，进而求出函数，再令，接着求解不等式即可得解. （2）先由三角变换规则结合（1）得，接着由得，再由正弦函数图像性质即可求出函数在区间上的值域. 【详解】（1）因为 ， 又由题，所以， 所以， 令，则， 所以函数的单调递增区间为. （2）由（1）， 故由题意可得， 当，， 故由正弦函数图像性质可得， 所以即， 所以函数在区间上的值域为. 18．（17分）如图， 在三棱锥 中， 的中点分别为 ，点在上，. (1)证明: 平面； (2)证明: 平面； (3)求PA长,并求直线PA和平面BEF所成角的正弦值。 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答. （2）由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直的判定推理作答. （3）求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可. 【详解】（1）连接，设， 则，， 因为，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点，    于是，即， 则四边形为平行四边形， 所以，又平面平面， 所以平面； （2）因为分别为中点，所以， 因为，所以， 因为，，， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 又因为平面， 所以平面； （3）在中，， 在中，， .,设AO与BF相交于点G，则G为重心，从而AG=AO=, 直线PA和平面BEF所成角的正弦值即直线PE和平面BEF所成角的正弦值,设为 由（2）知，平面，从而. 19(17分）．“难度系数”反映试题的难易程度，难度系数越大，题目得分率越高，难度也就越小，“难度系数”的计算公式为，其中L为难度系数，Y为样本平均失分，W为试卷总分（一般为100分或150分）．某校高二年级的老师命制了某专题共5套测试卷（总分150分），用于对该校高二年级480名学生进行每周测试，测试前根据自己对学生的了解，预估了每套试卷的难度系数，如下表所示： 试卷序号i 1 2 3 4 5 考前预估难度系数 0.7 0.64 0.6 0.6 0.55 测试后，随机抽取了50名学生的数据进行统计，结果如下： 试卷序号i 1 2 3 4 5 平均分/分 102 99 93 93 87 (1)根据试卷2的预估难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分； (2)试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差，设为第i套试卷的实测难度系数，并定义统计量， 若，则认为试卷的难度系数预估合理，否则认为不合理．以样本平均分估计总体平均分，试检验这5套试卷难度系数的预估是否合理． (3)聪聪与明明是学习上的好伙伴，两人商定以同时解答上述试卷易错题进行“智力竞赛”，规则如下：双方轮换选题，每人每次只选1道题，先正确解答者记1分，否则计0分，先多得2分者为胜方.若在此次竞赛中，聪聪选题时聪聪得分的概率为，明明选题时聪聪得分的概率为，各题的结果相互独立，二人约定从0:0计分并由聪聪先选题，求聪聪3:1获胜的概率 . 【解析】（1）由题意， 由试卷2的难度系数， 解得平均失分：， ∴这480名学生第2套试卷的平均分为分； （2）由题意及（1）得， ，，， ，， 则 ， ∴这5套试卷难度系数的预估合理 （3）由题意及（1）（2）得， 聪聪先答对第一题： 聪聪没先答对第一题： ∴聪聪3:1获胜的概率 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$