专题04 一元一次方程压轴题型12大题型（专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程压轴题型，通过12类细分题型构建从概念到综合应用的完整训练体系，强化抽象能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |含参问题|4题|整数解分类讨论|方程解的定义→参数范围推导| |绝对值方程|4题|零点分段法|绝对值性质→多解情况分析| |新定义问题|4题|定义转化法|抽象概念→方程应用| |实际应用|6类（行程/销售等）|等量关系建模|实际问题→数学模型| |几何与动点|2类|数形结合|几何性质→动态方程构建|

专题04 一元一次方程压轴题型 常考题型·精准突破 考点一 一元一次方程压轴题型 题型01 一元一次方程解的含参问题 题型02 绝对值方程压轴 题型03 一元一次方程的新定义问题 题型04 一元一次方程的解法压轴问题 题型05 配套问题压轴 题型06 行程问题压轴 题型07 销售问题压轴 题型08 方案选择压轴 题型09 几何问题压轴 题型10 动点问题压轴 题型11 水电费问题压轴 题型12 一元一次方程与数轴、绝对值综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元一次方程压轴题型 ◆题型01 一元一次方程解的含参问题 1．已知关于x的方程的解是整数，则符合条件的所有整数a的和为_____． 2．已知关于的方程有整数解，且是整数，则所有满足条件的值的和为（   ） A． B． C． D． 3．已知关于的方程有负整数解，则整数的所有可能的取值的和为________． 4．若关于x的方程有整数解，则所有满足条件整数k的值之和为______． ◆题型02 绝对值方程压轴 5．关于的方程所有解的和为________． 6．关于的方程恰好有三个根，则实数的值为（   ） A． B．3 C．2 D． 7．已知，则___． 8．【阅读理解】在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和2两种情况讨论： ①当时，原方程可化为，解得，符合； ②当时，原方程可化为，解得，符合． 故原方程的解为或． 【尝试应用】运用分类讨论先去绝对值符号的方法解方程：． ◆题型03 一元一次方程的新定义问题 9．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 10．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． (1)方程与方程___________“美好方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，且比大2，求和的值． 11．【定义】若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)①，②，两个方程中为“友好方程”的是 （填写序号）； (2)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，求b的值； (3)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求m与n的值 ． 12．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于x 的方程与是“和一方程”，求 m的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为n，求 n 的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“和一方程”，求关于y的一元一次方程的解． ◆题型04 一元一次方程的解法压轴问题 13．解方程： 14．方程的解是（   ） A． B． C． D． 15．方程的解是（   ） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 16．解方程：． ◆题型05 配套问题压轴 17．某新能源电池厂有40台专用设备，用于生产两种核心零件：正极片和负极片．按照每台设备每天生产的合格的正、负极片的效率分为以下三类： 类别 正极片（片/台） 负极片（片/台） 设备数量（台） 甲类 20 200 15 乙类 12 100 15 丙类 8 70 10 每台设备每天只能生产一种零件．已知每1片正极片需要搭配4片负极片才能组装成一个完整电池． （1）若只由甲类专用设备工作，则一天最多可生产______个电池； （2）若40台专用设备都在工作，则一天最多可生产______个电池． 18．根据以下素材，探索完成任务． “碳中和”主题文创产品制作的利润优化 素材1 为响应“碳中和”校园宣传活动，七年级学生社团计划制作“低碳生活”主题文创收纳盒与小玩具．学生社团以每块12元的价格买了30块长方形木板，每块木板的长和宽分别为和． 素材2 木板可按图1虚线裁割，裁去四个边长相同的小正方形（阴影部分是余料），把裁出的五个长方形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长为．木板也可按图2虚线裁割出两块木板（阴影部分是余料），给图1制成的盒子配上盖子（如果有配上盖子，则木板刚好全部用完）．只要余料面积总和是就能拼制成一个小玩具．除购买木板支出和销售手工制品收入，其它费用忽略不计．    素材3 方案1：木板都制成无盖长方体收纳盒，余料都拼制成小玩具； 方案2：木板都制成有盖的长方体收纳盒，且每个收纳盒配一个盖子，余料都拼制成小玩具； 方案3：木板都拼制成小玩具． 素材4 收纳盒与小玩具的售价如下（所有手工制品全部售出）： 无盖收纳盒元个，有盖收纳盒元个，小玩具元个． 问题解决 任务1 求出收纳盒的高度 收纳盒的高度是_______； 任务2 方案2的利润探索 求方案2的利润；（用含、的代数式表示） 任务3 不同分配方案最大利润的探索 当，时，为使获得的利润最大，应选用哪种方案，并说明理由． 19．综合与实践主题：如何设计纸盒的制作方案？ 【活动素材】某种规格的大长方形纸板按照如图①、图②、图③所示的三种方式裁剪，分别可裁得3块完全相同的小长方形纸板、2块完全相同的小长方形纸板和2块正方形纸板、6块正方形纸板，4块相同的小长方形纸板和1块正方形纸板可做成图④所示的无盖长方体纸盒． 【问题解决】 (1)现有张大长方形纸板，若按图①和图②方式裁剪的小长方形和正方形材料无剩余，则一共做了多少个无盖长方体纸盒？ (2)如果需要制作个无盖纸盒，裁剪方式只能从上述方式中任选两种．请你设计一种大长方形纸板使用数量最少的方案(允许有余料)； (3)有人说“在制作无盖纸盒时，若按图②方式裁剪的大长方形纸板有偶数张，则按图③方式裁剪的大长方形纸板无论有几张，一定可以推断按图①方式裁剪的大长方形纸板张数一定是4的倍数才能恰好用完所有材料．”这种说法正确吗？请作出判断并说明理由． 20．如图，将某种规格的长方形纸板按照图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板．3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒． 现有此种规格的长方形纸板共张．设按图1方法裁剪用了张长方形纸板，剩余的张纸板按图2方法裁剪．部分数量关系如下表：      裁剪方法 纸板数量 （张） 图1所示方法 图2所示方法 裁得的纸板数量 小长方形纸板数 正方形纸板数 (1)①若裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，请分别写出与与之间的数量关系． ②当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？列方程解决问题． (2)当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？请直接写出答案． ◆题型06 行程问题压轴 21．甲、乙两个景点相距15千米，一艘观光游船从甲景点出发，抵达乙景点之后立即返回，共用3小时，已知第三小时比第一小时少行12千米，那么这条河的水流速度为每小时________千米． 22．如图，已知等边三角形的边长为，有一点P从点A出发沿的方向以的速度匀速移动，另有一点Q从点B出发沿的方向以的速度匀速移动，若点P、Q同时出发，经过 ________ 秒后，两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点． 23．在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则： ·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）； ·B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的倍． 已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为；一台B类机器人起跑后，前保持匀速，速度是这台A类机器人的倍，之后原地维护，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了，完赛成绩为．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程． 24．某中学组织300名师生前往距学校13千米的研学基地，为践行“绿色出行、高效协同”的研学理念，校方经综合评估，调度一辆额定载客50人的新能源巴士，该车行驶的平均速度为60千米/小时，师生步行的平均速度为4千米/小时．为安全高效抵达，将师生平均分为6组，采取步行与乘车相结合的方式，以实现“各组同时出发、尽早抵达”． （1）若第一组师生先步行2千米，余下的路程坐车，则第一组师生到达研学基地用时________分钟（不考虑上、下车时间）； （2）若从全体师生出发开始，到全体师生都到达研学基地为止，所经历的时间称为总耗时，则总耗时最少为________分钟（不考虑上、下车时间）． ◆题型07 销售问题压轴 25．（列一元一次方程解应用题）我市青云湖景区风景优美如画，某公司举行传统文化节活动，主办方分两次共邮购了200把绘有我市青云湖美景的折扇作为当天活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如表所示： 邮购数量 100以上（含100） 邮寄费用 总价的 免费邮寄 折扇价格 不优惠 打九折 若两次邮购折扇，一次购买多于100把，另一次购买少于100把，共花费1504元，求两次邮购的折扇的数量． 26．11月商场推出饼干和糖果两种礼盒套装，1盒糖果的售价比1盒饼干的售价贵元，购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多元． (1)12月，商场从厂家进购了500盒饼干和600盒糖果，每盒饼干的进价比每盒糖果的进价便宜元，但商场保管不当导致的糖果变质无法销售，12月每盒饼干售价比11月上涨元，每盒糖果售价在11月基础上降低了，将这一批饼干和糖果售完后，总利润率为，求每盒糖果的进价为多少元？ (2)1月厂家在12月商场进价的基础上进行优惠促销活动．规定商场一次性进购饼干、糖果的优惠方案分别如表1、表2．同时工厂为提高销售人员的积极性，规定：每位销售人员的工资总额基本工资奖励工资．当该销售人员本月成交总销售额在万元以内，只有基本工资元；当该销售人员本月成交总销售额超过万元时，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表3所示．1月商场通过工厂销售员甲分两次购进饼干和糖果，第一次全部购进饼干，第二次全部购进糖果，两次共购进2000盒（购进饼干的数量大于购进糖果的数量）．已知工厂销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为元．若1月商场两种礼盒售价保持与12月相同，商场将这两种礼盒全部售出，求商场可获利多少元？（销售员甲的销售总额商场从厂家的进货总成本） 表1 一次性进购饼干的数量（盒） 优惠方案 未超过 不享受优惠方案 超过但未超过的部分 按九折优惠 超过的部分 按八折优惠 表2 一次性进购糖果的数量（盒） 优惠方案 未超过 所购礼盒全部按九折优惠 超过 所购礼盒全部按八折优惠 表3 月成交销售额 不超过万元的部分 超过万元但不超过万元的部分 超过万元但不超过万元的部分 万元以上的部分 奖励工资比例 27．一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少． (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降销售，结果还是出现了的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值． 28．2021年元旦节临近，铜梁掀起购物狂潮，现有甲，乙、丙三个商场开展的促销活动如下表所示： 商场 优惠活动 甲 全场按标价的6折销售 乙 实行“满100元送100元的购物券”的优惠，购物券可以在再购买时冲抵现金比如：顾客购衣服220元，赠券200元，再购买裤子时可冲抵现金，不再送券） 丙 实行“满100元减50元的优惠”（比如，某顾客购物220元，他只需付款120元） 根据以上活动信息，解决以下问题： (1)三个商场同时出售一件标价290元的上衣和一条标价270元的裤子，王阿姨想买这一套衣服，她应该选择哪家商场？完成下表后就可以做出选择 商场 甲商场 乙商场 丙商场 实际付款（元） (2)黄先生发现在甲、乙商场同时出售一件标价380元的上衣和一条标价300多元的裤子，最后付款也一样，请问这条裤子的标价是多少元？ (3)丙商场又推出“先打折”，“再满100元减50元”的活动，张先生购买了一件标价为620元的上衣，张先生发现比不打折只参加“再满100元减50元”的活动还多付19元钱，问丙商场先打了多少折后再参加活动． ◆题型08 方案选择压轴 29．延庆区某中学七年级（1）（2）两个班共104人，要去延庆地质博物馆进行社会大课堂活动，老师指派小明到网上查阅票价信息，小明查得票价如图： 购票张数1~50张 每张票的价格为13元 购票张数51∼100张 每张票的价格为11元 购票张数100张以上 每张票的价格为9元 其中（1）班不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，一共应付1240元． (1)两个班各有多少学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织去博物馆参观，你认为如何购票最省钱？ 30．每年五月，世界级月季名园——大兴世界月季主题园迎来花海盛宴，景致怡人．某学校组织师生到该园区开展综合实践活动．经了解，园区门票原价为60元/人，网络平台购票按原价八折优惠．此次参与活动的学生人数比教师人数的10倍多4人，全体师生按原价购票比按网络平台购票多花费972元． (1)此次参加活动的教师与学生各有多少人？ (2)若网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省______元． 31．【项目主题】研学活动前期策划 【项目背景】为深化实践育人，某班计划利用小长假开展为期5天的研学活动．研学主题为“探工业智造，品非遗匠心”，具体研学活动内容包括如下： （1）①参观工业设计城；②游览智能制造科技园；③参加机器人操作体验活动； （2）①观看民俗表演；②参观非遗文化展览馆；③研学后参加非遗宣讲活动． 现有甲、乙、丙三家旅行社，收费标准均为500元/人．为更大程度地帮助同学降低研学费用，项目小组与三个旅行社沟通后，得到的优惠方案如下： 旅行社 优惠方案 甲旅行社 人均享9折优惠． 乙旅行社 缴纳1000元团游会员费后，人均可享8折优惠． 丙旅行社 为弘扬非遗文化，参加研学后非遗宣讲活动的人数若能超过半数（含半数），人均可享7折优惠；否则，人均享95折优惠． 【项目任务】项目小组通过初步计算发现：若全班同学都报名参加此次5天研学活动，选择乙旅行社的总费用比甲旅行社少1500元． (1)该班有几名同学？ (2)为选择一家最优惠的旅行社进行报名，项目小组前期需要收集哪些信息？又该如何根据这些信息做出选择？ 32．保康市场销售某种商品，分为A、B两种款式，已知A款商品每个的进价是50元，售价是80元，B款商品每个的售价是60元，可盈利．提示：利润率×进价=售价−进价． (1)A款商品每个的利润率是 ，B款商品每个的进价是 元． (2)该市场购进A、B两款商品共计200个，总进货款8400元，请你计算一下A、B两款商品各进货多少个？ (3)春节临近，该市场推出如下的优惠促销活动（打折前一次性购物总金额）： ①不超过900元，不优惠 ②超过900元，但不超过1200元，按总售价打九折 ③超过1200元，其中1200元部分八折优惠，超过1200元的部分打六折优惠， 小张按照优惠活动方案在该市场购买A款商品若干个，实际付款金额为1008元，请你通过计算分析，小张在该市场购买了多少个A款商品？ ◆题型09 几何问题压轴 33．如图，一个长方形内部恰好能用一些大小不等的正方形纸片、、铺满（每两个正方形纸片之间既不重叠，也无空隙），如果长方形的周长为，那么正方形纸片的面积为（     ） A． B． C． D． 34．一个长方形可被不重叠且不留空隙地分割为个正方形，称该长方形为“阶完美长方形”． (1)图是一个一边被三等分的阶完美长方形．请再画出一个与图不同分割方式的阶完美长方形，若该长方形的周长为，求它的边长； (2)图是一个阶完美长方形．中间最小的正方形⑥边长为，求正方形①的边长． 35．如图，分别是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是5．定义：已知点是线段上的一个点，若点到线段两个端点的距离之比为，则称点为线段的“理想点”．则线段的“理想点”表示的数为_____． 36．如图①，点为数轴原点，，正方形的边长为，边在数轴上．点从点出发，沿射线方向运动，速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，回答下列问题． (1)点对应的数为________，点对应的数为________； (2)如图②，在点运动过程中，在数轴上作线段，点在点右侧，以为边向上作正方形，连结、． ①点对应的数为________；（用含的式子表示） ②当的面积为时，求的值； ③当正方形与正方形重叠面积为的面积倍，直接写出的值． ◆题型10 动点问题压轴 37．如图，在长方形中，，E是的中点，动点P从D点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当的面积等于时，x的值为______． 38．如图，在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示，x，．点P以每秒1个单位的速度从点A向右运动，同时，点Q以每秒3个单位的速度从点B向左运动，N是线段PQ的中点，设运动时间为t． (1)求点A与点B之间的距离； (2)当t为何值时，，并求出此时点N表示的数； (3)在P，Q两点开始运动时，点M以每秒k个单位的速度从点O向左运动．点Q经过原点后，其速度变为原来的2倍，点Q变速后，若线段的长度始终是一个定值，求k的值． 39．如图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为17，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问： (1)动点P从点A运动至D点需要时间为_____秒； (2)P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数． 40．如图，在中，，，，．点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿的路径向终点C运动；点P出发的同时点Q从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿的路径向点B运动．当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间是t秒． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当点P在线段上运动，Q在线段上运动时，若，求t的值； (3)当的面积等于面积的时，求t的值； (4)当线段将的周长分成两部分的比为时，直接写出t的值． ◆题型11 水电费问题压轴 41．某市公布的居民用电阶梯电价方案如下： 收费方式 月用电量 费用 第一档 不超过度 元/度 第二档 超过度但不超过度的部分 元/度 第三档 超过度的部分 元/度 (1)若小华家某月用电量是度，则这个月的电费为_______元；（用含的代数式表示） (2)若小华家9月份的电费为元，求小华家9月份的用电量； (3)居民根据用电情况，可以申请“峰谷电价”，其收费方式如下： 高峰时段：8：00～22：00，其电价在各档电价基础上加价元/度； 低谷时段：8：00～22：00以外的时间，其电价在各档电价基础上降价元/度． 高峰时段与低谷时段电费分别按调价后的阶梯电价计费．已知小华家10月份的用电量为度，且高峰时段的用电量大于度，他家申请“峰谷电价”后，能节约元，请求出小华家10月份高峰时段、低谷时段的用电量． 42．某地居民用水收费标准如下表： 家庭每月用水量 收费 不超过的部分 2元/ 超过但不超过的部分 4元/ 超过的部分 6元/ (1)已知小亮家去年10月份共用水，则他家去年10月份应缴水费是多少？ (2)若小亮家去年11、12月份共用水，（12月份用水量超过11月份用水量，且11月用水量超过），共交水费76元，则小亮家11、12月份各用水多少立方米？ 43．【素材一】某市居民生活用电价格表如下： 档次 年用电量 电度电价（元/度） 第一档 年用电2760度及以下部分 a 第二档 年用电度部分 第三档 年用电4801度及以上部分 注：某用户年用电量指自当年1月开始，该用户本年逐月累计用电量，用电量不足1度的部分顺延至下个月结算． 【素材二】该市某用户2025年部分月份的用电情况统计如下： 月份（月） 5 6 7 8 用电量（度） 2300 240 300 600 700 【问题解决】 (1)若该用户5月份所用电费为132元，求a的值； (2)求该用户6月份缴纳的电费； (3)若该用户9月份所用电费为447元，求9月份的用电量． 44．根据以下素材，尝试解决问题 出行方式选择 素材1 随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的方式有了更多的选择．某市有出租车、快车和专车三种网约车，收费标准如图（假设网约车行驶的平均速度均为40千米/时）． 素材2 1．乘坐网约快车4千米路程收费为元； 2．网约快车和网约专车在春节期间有如下优惠方式： 快车：“满40元减10元”优惠券（一次限用一张优惠券） 专车：①免除时长费；②3千米及以内，里程费不变为3元/千米；超过3千米且不超过8千米的部分，里程费为2元/千米；超过8千米的部分，里程费为1.6元/千米． 问题1 乘坐出租车千米，费用为 元．（结果用的代数式表示） 问题2 春节期间，若小明乘坐出租车与网约快车的里程数相同且所付费用也相同，求此时的里程数． 问题3 春节期间，小明、小宁分别坐出租车、专车从地前往地．小宁坐专车的费用比小明坐出租车的费用贵7元，求，两地相距多少千米？ ◆题型12 一元一次方程与数轴、绝对值综合 45．综合与探究 七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探究“折线数轴” 素材 如图，将一条数轴在原点、点、点处折一下，得到一条“折线数轴”（原对应关系不变）．图中点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是．在“折线数轴”上，两点之间的“友好距离”定义为这两点表示数之差的绝对值，如：点与点在“折线数轴”上的“友好距离”为：，并表示为，计算距离是沿折线路径累加，而非直线距离．    素材 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的倍，经过点后立刻恢复初始速度． 素材 在动点运动的同时，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向负方向运动，且经过折点，，时速度始终保持不变． 问题解决 (1)探究 与点的“友好距离”等于的点在线段 上．动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探究 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数．（用含的代数式表示） (3)探究 当，两点分别同时从点、点出发，求，两点正好相遇时的时间，并且直接写出此时相遇点在数轴上所表示的数． 46．已知数轴上两点，对应的数分别为和，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的倍时，我们就称点是关于的“好点”． (1)若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少； (2)①若点运动到原点时，此时点_____关于的“好点”（填是或者不是）； ②若点以每秒个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“好点”时，求点的运动时间； (3)若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点，，中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点表示的数． 47．阅读材料：我国著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，点到点的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示．已知点，，在数轴上表示的数分别是1，，，则． 请结合数轴，用上面的知识解答下面的问题： 【发现问题】 (1)①若将数轴折叠，使表示数2的点与表示数的点重合，则此时点与表示数__________的点重合； ②数轴上，与点的距离为3的点表示的数是__________． 【探究问题】 (2)①若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是__________； ②在①的情况下，若此数轴上，两点间的距离为2000（点在点的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，求，两点表示的数． ③在②的情况下，在数轴上找到一点，当时，求点表示的数． (3)已知数轴上，两点间的距离为（点在点的左侧），表示数的点到，两点的距离相等，若将数轴折叠，使得点与点重合，则，两点表示的数分别是__________，__________，（用含，的代数式表示） 48．对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的美好关联数为t．例如，，则2和3关于1的美好关联数为3． (1)和5关于2的美好关联数为________． (2)若x和2关于3的美好关联数为4，求x的值． (3)假设和关于1的美好关联数为1，和关于2的美好关联数为1，和关于3的美好关联数为1，…，和关于41的美好关联数为1． ①的最小值为________，的最大值为________； ②的最小值为________． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：． 根据上述规定解决下列问题： (1)有理数对 ； (2)若有理数对，则 ； (3)当满足等式的x是整数时，求整数k的值． 2．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程和为“集团方程”． (1)若关于x的方程与方程是“集团方程”，则m的值为___________； (2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，直接写出关于y的一元一次方程的解． 3．（2022七年级·江苏无锡·竞赛）关于x的方程有三个整数解，求a的值． 4．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐1人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． 【方案预设】 (1)预设方案1：叶老师将乙送到车站后，叶老师回去接甲并将甲送到车站．求方案1中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案2：叶老师骑摩托车行驶小时，送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，与此同时，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求a的值． 【优化方案】 (3)请设计一种方案，使甲、乙两位学生在出发内（不含）全部到达车站．并直接写出叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间．（要求：用文字写出方案） 5．（26-27七年级·江苏·暑假作业）已知关于的方程． (1)若，求方程的解； (2)若方程有无数个解，求，的值； (3)若为正整数，时，求方程的整数解． 6．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． (1)已知是数轴上的两点（点在点的右侧），点表示的数为，两点的距离是点到原点的距离的倍，即．则点表示的数是____，若点为数轴上的一动点，当时，点表示的数为_____． (2)动点分别从点和同时出发向左匀速运动，点的速度分别为每秒个单位长度和每秒个单位长度．设运动时间为． ①当点与点之间的距离为个单位长度时，求的值； ②若点为数轴上两点之间的动点，且点始终满足，点在运动到点的过程中，的值是否发生变化？若不变、求其值；若变化，说明理由． 7．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）已知，为常数，整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解是______． 8．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同． (1)求，的值． (2)若关于的方程无解，求的值． 9．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知关于的一元一次方程，若，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 10．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）把正偶数2、4、6、…、2026排成如表所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列、…； (1)数2026在第_____行第_____列； (2)按如图所示的方法用一个“T”形框框住相邻的四个数，设被框的四个数中最小的一个数为，是否存在这样的使得被框的四个数的和等于2008?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若在（2）中“T”形框框住的四个数的和记为“S”，则S的最大值与最小值的差等于_____． 11．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）长方形中，，， E是边的中点，P从A出发沿运动，速度为秒，设点的运动时间为秒，当三角形的面积时，时间t的值=____________． 12．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，则的值为（        ） A．12 B． C．20 D． 13．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组： 第1组：2，4 第2组：6，8，10，12 第3组：14，16，18，20，22，24 第4组：26，28，30，32，34，36，38，40 … 现用表示第组从左往右数第个数，则当时，的值等于（   ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”． 例如：数轴上点，，所表示的数分别为，，，此时点是点，的“联盟点”． (1)若点表示数，点表示数，下列各数，，，所对应的点分别是，其中是点，的“联盟点”的是 ； (2)点表示数，点表示数，为数轴上的一个动点： ①若点在点的左侧，且点是点，的“联盟点”，求此时点表示的数； ②若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点表示的数． 15．（25-26七年级上·全国·期末）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是______． 16．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）传说“九宫图”是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中字母m表示的数是______．           2 1 m 17．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）若关于x的方程的解均为正整数，则整数a的值是 ___． 18．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）已知长方形，如图所示放置在数轴上，点B与表示的点重合，点C与表示2的点重合，宽（表示线段的长度），点P是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积． (1) ；若点P表示的数为，则 ． (2)若，则点P表示的数为多少？ (3)将长方形从原来位置沿着数轴以每秒3个单位长度的速度向左移动，动点P从表示的点以每秒2个单位长度的速度向右移动，当运动时间为多少秒时，？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元一次方程压轴题型 常考题型·精准突破 考点一 一元一次方程压轴题型 题型01 一元一次方程解的含参问题 题型02 绝对值方程压轴 题型03 一元一次方程的新定义问题 题型04 一元一次方程的解法压轴问题 题型05 配套问题压轴 题型06 行程问题压轴 题型07 销售问题压轴 题型08 方案选择压轴 题型09 几何问题压轴 题型10 动点问题压轴 题型11 水电费问题压轴 题型12 一元一次方程与数轴、绝对值综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元一次方程压轴题型 ◆题型01 一元一次方程解的含参问题 1．已知关于x的方程的解是整数，则符合条件的所有整数a的和为_____． 【答案】8 【分析】先把a看成已知，解关于x的一元一次方程即可用含a的代数式表示出x，然后根据方程的解是整数、a是整数可得符合题意的a的值，进而可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 当，即时，方程的解为x， ∵关于x的方程的解是整数，a为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴符合条件的所有整数a的和为． 2．已知关于的方程有整数解，且是整数，则所有满足条件的值的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的整数解问题，关键是分情况讨论的取值；先将方程的解用含的式子表示，再根据为整数、为整数的条件，确定是的约数，进而找出所有符合条件的值并求和． 【详解】解：∵， ∴去括号得：， 移项合并同类项得：， ∴， ∵是整数，是整数， ∴是的整数约数，即， ①当时，，解得（整数，符合条件）； ②当时，，解得（非整数，舍去）； ③当时，，解得（非整数，舍去）； ④当时，，解得（整数，符合条件）； ∴满足条件的值为和，其和为， 故选：C． 3．已知关于的方程有负整数解，则整数的所有可能的取值的和为________． 【答案】 【分析】本题考查含参一元一次方程的解法及应用，掌握一元一次方程的解法及准确理解题意是解题关键．首先，解方程得到 的表达式，然后根据负整数解的条件确定分母的取值范围，再找出所有整数 的值，最后求和． 【详解】解：解方程 ， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， ∴ ． 由于方程有负整数解，因此 且 为整数． ∵ ，且分子为负， ∴分母 ，即 ． 又∵ 为整数， ∴必须整除 ，即 是 的正因数． ∵ 的正因数有 和 ， ∴ 或 ， 解得 或 ． 检验：当 时，，为负整数；当 时，，为负整数． ∴整数 的所有可能的取值为 和 ，则它们的和为 ． 故答案为：． 4．若关于x的方程有整数解，则所有满足条件整数k的值之和为______． 【答案】18 【分析】解方程得到，由为整数可知是7的因数，从而求出整数的值，再求和． 本题考查了一元一次方程的解，解方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：， 去分母，得 ，即， 移项合并得， 故． 由于有整数解，因此是7的因数，即． 解得， 故这些整数的和为． 故答案为：18． ◆题型02 绝对值方程压轴 5．关于的方程所有解的和为________． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质，从外层开始逐层去掉绝对值，利用绝对值的非负性舍去不符合条件的结果，最终得到（），计算两个解的和即可． 【详解】解：原方程，由绝对值等于零的性质，得， 逐层去绝对值，根据绝对值的非负性，每一步取正号，对任意第步（），去掉绝对值后可得前一层表达式的值为， 因为，不符合绝对值的非负性，舍去， 仅保留正结果， 最终推得， 设，则， 解得，， 所有解的和为． 6．关于的方程恰好有三个根，则实数的值为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查含绝对值的方程，通过分析方程的解的情况，根据绝对值方程的性质，讨论参数的取值对根数量的影响． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵方程恰好有三个根， ∴或， 当时，原方程化为或。 方程无解，方程有一解，故原方程只有1个根，不合题意； 当时，原方程化为或。 由得或；由得，故原方程有3个根，符合题意； 综上，， 故选：D． 7．已知，则___． 【答案】8 【分析】本题考查解绝对值方程，分与两种情况，根据绝对值的意义将方程转化为一元一次方程，求解并检验即可． 【详解】解：当时，原方程可化为， 解得， 当时，原方程可化为， 解得， 此时，不符合， 所以不符合题意，舍去， 所以x的值为8． 故答案为：8． 8．【阅读理解】在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和2两种情况讨论： ①当时，原方程可化为，解得，符合； ②当时，原方程可化为，解得，符合． 故原方程的解为或． 【尝试应用】运用分类讨论先去绝对值符号的方法解方程：． 【答案】或 【分析】根据示例，分和两种情况进行讨论即可. 【详解】解：①当时，原方程可化为： ， 解得，符合； ②当时，原方程可化为： ， 解得， 符合． 故原方程的解为或． 【点睛】本题考查了含绝对值的一元一次方程，按照示例分类讨论是解题的关键． ◆题型03 一元一次方程的新定义问题 9．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程．先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义将关于y的方程变形，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， 方程与是“美好方程”， ∴方程的解是， 可化为：， ， ， 故选：B． 10．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． (1)方程与方程___________“美好方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，且比大2，求和的值． 【答案】(1)不是 (2) 【分析】（1）方程的解为；方程的解为 根据定义判断解答即可； （2）先求出方程的解，再根据关于的方程与方程是“美好方程”，且比大2，建立方程组解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用与解法，熟练掌握新定义，灵活解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：方程的解为；方程的解为 ， 由，不符合定义， 故方程与方程不是“美好方程”， 故答案为：不是； （2）解：， ， ， 解得； 又， ， 解得， 由关于的方程与方程是“美好方程”， 故即， 又比大2， 故，代入上式，得，整理得， 解得， 故． 11．【定义】若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)①，②，两个方程中为“友好方程”的是 （填写序号）； (2)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，求b的值； (3)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求m与n的值 ． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的新定义，熟练掌握定义，灵活解方程是解题的关键． （1）根据定义计算判定即可； （2）根据定义解答即可； （3）根据定义，解答即可． 【详解】（1）解：①由，得，又，， 符合新定义， 故①是“友好方程”； ②由，得，又，， 不符合新定义， 故②不是“友好方程”， 故答案为：①． （2）解：由，得， 由关于x的一元一次方程是“友好方程”， 故， 解得． （3）解：一元一次方程的解为， 由一元一次方程的解为， 故， 由， 得， 解得， 故关于x的一元一次方程变形为， 由关于x的一元一次方程是“友好方程”， 故， 解得， 故m与n的值分别为． 12．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于x 的方程与是“和一方程”，求 m的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为n，求 n 的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“和一方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，理解“和一方程”的定义是解题的关键． （1）分别求出两个方程的解，再根据“和一方程”的定义，列出关于m的方程，即可求解； （2）根据“和一方程”的定义，可得另一个解为，再根据两个“和一方程”的解的差为7，列方程即可求解； （3）根据“和一方程”的定义，可得一元一次方程的解为，把方程变形为，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，解得：， ，解得：， ∵方程与是“和一方程”， ∴， 解得：； （2）解：∵两个“和一方程”的一个解为，则另一个解为， ∵两个“和一方程”的解的差为7， ∴或， 解得：或； （3）解：，解得：， ∵一元一次方程和是“和一方程”， ∴一元一次方程的解为， ∵方程变形为， ∴方程的解为， ∴． ◆题型04 一元一次方程的解法压轴问题 13．解方程： 【答案】 【详解】解：原方程为 移项得 原方程整理为 ， 解得 ． 14．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等号左边可变形为，通过裂项相消进行化简，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得． 15．方程的解是（   ） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，先将所求式子进行变形，再根据解一元一次方程的解题方法计算即可得解，正确将所求式子进行变形是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故选：D． 16．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程．先把各项的分子都化成，逆用乘法分配律，得到，据此求解即可． 【详解】解：整理得， 整理得， 整理得， ∵， ∴， 解得． ◆题型05 配套问题压轴 17．某新能源电池厂有40台专用设备，用于生产两种核心零件：正极片和负极片．按照每台设备每天生产的合格的正、负极片的效率分为以下三类： 类别 正极片（片/台） 负极片（片/台） 设备数量（台） 甲类 20 200 15 乙类 12 100 15 丙类 8 70 10 每台设备每天只能生产一种零件．已知每1片正极片需要搭配4片负极片才能组装成一个完整电池． （1）若只由甲类专用设备工作，则一天最多可生产______个电池； （2）若40台专用设备都在工作，则一天最多可生产______个电池． 【答案】 200 400 【分析】（1）根据题意，设甲设备有x台生产正极片，则有台生产负极片，分别算出正极片、负极片的数量结合题意列式求解即可； （2）根据题意，甲类生产负极片效率最大，其次是丙类，最后是乙类，尽量优先考虑甲类生产负极片，根据题意得到甲类的15台设备要分出一部分生产负极片，所以设甲类生产正极片的有台，则生产负极片的有台，让乙类、丙类生产正极片，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：甲设备有15台， ∴设甲设备有x台生产正极片，则有台生产负极片， ∴正极片的数量为，负极片的数量为， ∵每1片正极片需要搭配4片负极片才能组装成一个完整电池 ∴， 解得，， 当时，正极片的数量为，负极片的数量为， ∴200个正极片与800个负极片可以组装成200个电池，此时负极片剩余200； 当时，正极片的数量为，负极片的数量为， ∴200个正极片与800个负极片可以组装成200个电池，此时正极片剩余20； ∴若只由甲类专用设备工作，则一天最多可生产200个电池； （2）若40台专用设备都在工作， 甲类、乙类、丙类生产正极片与负极片的比例分别为：，，， ∴甲类生产负极片效率最大，其次是丙类，最后是乙类， ∴生产时，尽量优先考虑甲类生产负极片， 情况一：若甲类15台生产负极片，乙类、丙类生产正极片， ∴正极片的数量，负极片的数量， ∵， ∴此时，能组装成一个完整电池的数量是260个，而负极片剩余个， ∴甲类的15台设备应该要分出一部分生产负极片， ∴设甲类生产正极片的有台，则生产负极片的有台，让乙类、丙类生产正极片， ∴生产正极片的有（台），生产负极片的有台， ∴正极片的数量为，负极片的数量为， ∴， 解得，， ∴生产正极片的有台，则甲类生产负极片的有台， ∴正极片的数量为，负极片的数量为， 此时，400个正极片与1600个负极片可以组装成400个电池． 故答案为：①200；② 400． 18．根据以下素材，探索完成任务． “碳中和”主题文创产品制作的利润优化 素材1 为响应“碳中和”校园宣传活动，七年级学生社团计划制作“低碳生活”主题文创收纳盒与小玩具．学生社团以每块12元的价格买了30块长方形木板，每块木板的长和宽分别为和． 素材2 木板可按图1虚线裁割，裁去四个边长相同的小正方形（阴影部分是余料），把裁出的五个长方形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长为．木板也可按图2虚线裁割出两块木板（阴影部分是余料），给图1制成的盒子配上盖子（如果有配上盖子，则木板刚好全部用完）．只要余料面积总和是就能拼制成一个小玩具．除购买木板支出和销售手工制品收入，其它费用忽略不计．    素材3 方案1：木板都制成无盖长方体收纳盒，余料都拼制成小玩具； 方案2：木板都制成有盖的长方体收纳盒，且每个收纳盒配一个盖子，余料都拼制成小玩具； 方案3：木板都拼制成小玩具． 素材4 收纳盒与小玩具的售价如下（所有手工制品全部售出）： 无盖收纳盒元个，有盖收纳盒元个，小玩具元个． 问题解决 任务1 求出收纳盒的高度 收纳盒的高度是_______； 任务2 方案2的利润探索 求方案2的利润；（用含、的代数式表示） 任务3 不同分配方案最大利润的探索 当，时，为使获得的利润最大，应选用哪种方案，并说明理由． 【答案】任务1：； 任务2：元； 任务3：应选用方案2，理由： 当，时 方案1利润：                               （元） 方案2利润：（元） 方案3利润：（个） （元） ∵， ∴为使获得的利润最大，应选用方案2． 【分析】任务1：利用收纳盒的高度（长方形木板的长制成无盖长方体收纳盒底面的长）计算即可得解； 任务2：设用块长方形木板按图1裁割，则用块长方形木板按图2裁割，根据题意列出方程求解即可； 任务3：分别计算出各个方案的利润，比较即可得解． 【详解】任务1： 解：根据题意得：， 故收纳盒的高度为； 任务2： 解：设用x块长方形木板按图1裁割，则用块长方形做盖子 ∵如果有配上盖子，则长方形木板刚好全部用完 ∴， 解得 ， ∴   ∴方案2可制成20个有盖的长方体收纳盒， 此时按图1裁割，每块长方形木板的余料可拼制小玩具的数量：（个） 按图2裁割，每块长方形木板的余料可拼制小玩具的数量： （个） ∴方案2的利润： （元） 任务3：略 19．综合与实践主题：如何设计纸盒的制作方案？ 【活动素材】某种规格的大长方形纸板按照如图①、图②、图③所示的三种方式裁剪，分别可裁得3块完全相同的小长方形纸板、2块完全相同的小长方形纸板和2块正方形纸板、6块正方形纸板，4块相同的小长方形纸板和1块正方形纸板可做成图④所示的无盖长方体纸盒． 【问题解决】 (1)现有张大长方形纸板，若按图①和图②方式裁剪的小长方形和正方形材料无剩余，则一共做了多少个无盖长方体纸盒？ (2)如果需要制作个无盖纸盒，裁剪方式只能从上述方式中任选两种．请你设计一种大长方形纸板使用数量最少的方案(允许有余料)； (3)有人说“在制作无盖纸盒时，若按图②方式裁剪的大长方形纸板有偶数张，则按图③方式裁剪的大长方形纸板无论有几张，一定可以推断按图①方式裁剪的大长方形纸板张数一定是4的倍数才能恰好用完所有材料．”这种说法正确吗？请作出判断并说明理由． 【答案】(1)一共做了8个无盖长方体纸盒； (2)大长方形张数最少的裁剪方案是14张大长方形纸板按图①方式裁剪，7张大长方形纸板按图②方式裁剪，共需21张大长方形纸板； (3) 解：该说法正确，理由如下： 设按图①方式裁剪的大长方形纸板有张，按图②方式裁剪的大长方形纸板有张，按图③方式裁剪的大长方形纸板有张(为自然数)， 根据裁剪规律，裁剪得到的小长方形总数为，正方形总数为， ∵制作纸盒恰好用完所有材料， ∴，展开整理得， ∵按图②方式裁剪的大长方形纸板有偶数张， ∴设(为正整数)， 将其代入得， ∵为正整数， ∴为正整数，即是4的倍数， ∴按图①方式裁剪的大长方形纸板张数一定是4的倍数才能恰好用完所有材料，故该说法正确． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用以及方案设计的数学问题，核心是根据三种裁剪方式得到的小长方形、正方形数量，结合无盖长方体纸盒的制作要求建立数量等量关系，通过设未知数、列方程、分析数量需求和代数推理解决问题． （1）设出两种裁剪方式的纸板张数，分别表示出小长方形和正方形的总数，根据纸盒制作的数量关系列一元一次方程求解； （2）先明确制作14个纸盒所需的小长方形和正方形数量，再分别分析任选两种裁剪方式的三种组合，计算每种组合所需的大长方形纸板总数，对比后确定耗材最少的方案； （3）设出三种裁剪方式的纸板张数，列出小长方形总数与正方形总数的等量关系，化简得到三者的代数关系式，结合图②裁剪纸板张数为偶数的条件，通过代数变形推导出图①裁剪纸板张数为4的倍数． 【详解】（1）解：设将张大长方形纸板按图①方式裁剪，则张大长方形纸板按图②方式裁剪，则小长方形总数为，正方形总数为， 根据题意，列方程， 解得， 则正方形个数为，即为无盖长方体纸盒的个数， 答：一共做了8个无盖长方体纸盒； （2）解：制作14个无盖纸盒，根据制作要求可知至少需要14个正方形纸板和个小长方形纸板， ①采取图①、图②方式裁剪， ∵正方形纸板只能由图②裁剪得到， ∴需要张大长方形纸板按图②裁剪，此方式同时得到个小长方形纸板，还需要小长方形纸板个， 故需要张大长方形纸板按图①裁剪， 该组合共需张大长方形纸板； ②若采取图①、图③方式裁剪， ∵正方形纸板只能由图③裁剪得到， ∴需要张，即需3张大长方形纸板按图③裁剪， 张，即需19张大长方形纸板按图①裁剪， 该组合共需张大长方形纸板； ③若采取图②、图③方式裁剪， ∵小长方形纸板只能由图②裁剪得到， ∴需要张大长方形纸板按图②裁剪； ∵， ∴大长方形张数最少的裁剪方案是14张大长方形纸板按图①方式裁剪，7张大长方形纸板按图②方式裁剪，共需21张大长方形纸板； （3）略 20．如图，将某种规格的长方形纸板按照图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板．3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒． 现有此种规格的长方形纸板共张．设按图1方法裁剪用了张长方形纸板，剩余的张纸板按图2方法裁剪．部分数量关系如下表：      裁剪方法 纸板数量 （张） 图1所示方法 图2所示方法 裁得的纸板数量 小长方形纸板数 正方形纸板数 (1)①若裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，请分别写出与与之间的数量关系． ②当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？列方程解决问题． (2)当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？请直接写出答案． 【答案】(1)①；②个 (2)13个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； （1）①根据裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完可得，且长方形和正方形的纸板比为，即可求解． ②将代入，结合长方形和正方形的纸板比为，列出一元一次方程，即可求解． （2）方法一：由（1）可知13张纸板恰好可以做出最多6个纸盒，则26张纸板可以恰好做12个纸盒，还剩3张纸板，再按照题意可得可以再做一个纸盒，即可求解； 方法二：不妨设按方案①裁剪张，则按方案②裁剪张，根据（1）②的方法列出方程，可得，则长方形有40张，正方形27张，即可求解． 【详解】（1）解：①依题意，． ②当时， 由题可列方程：， 解得：，即图1方法用9张纸板，图2方法用4张纸板． 此时最多可以做图3的无盖纸盒：（个）． （2）解：方法一：由（1）可知，13张纸板恰好可以做出最多6个纸盒，则26张纸板可以恰好做12个纸盒，还剩3张纸板，此时2张纸板按图1方法裁剪，1张纸板按图2方法裁剪，得4张长方形和3张正方形，可以再做一个纸盒，共最多做出13个纸盒； 方法二：不妨设按方案①裁剪张，则按方案②裁剪张， 由题可列方程：， 解之得：，为了保证最多，则按图1方法共20张，按图2方法共9张， 此时长方形有40张，正方形27张， 可以做：；即最多可以做13个纸盒． ◆题型06 行程问题压轴 21．甲、乙两个景点相距15千米，一艘观光游船从甲景点出发，抵达乙景点之后立即返回，共用3小时，已知第三小时比第一小时少行12千米，那么这条河的水流速度为每小时________千米． 【答案】 【分析】根据题意，第三小时比第一小时少行12千米，所以第一小时先顺水后逆水，第三小时是逆水；其次，如果第一小时的路程小于15千米，那么第三小时的路程小于3千米，后面两小时返程的总路程不可能达到15千米，无法回到甲地．所以，第一小时的路程大于15千米，后面两小时都是逆水航行．假设后面两小时的路程都是x千米，有，解得，即逆水速度是6千米/小时，那么第一小时里逆水航行的时间为：（小时），顺水航行的时间为：（小时），所以顺水速度为：（千米/时），那么这条河的水流速度为：（千米/小时）． 【详解】解：设后面两小时的路程都是x千米，则， ， ， （小时）， （小时）， （千米/小时）， （千米/小时）， 答：这条河的水流速度为每小时12千米． 22．如图，已知等边三角形的边长为，有一点P从点A出发沿的方向以的速度匀速移动，另有一点Q从点B出发沿的方向以的速度匀速移动，若点P、Q同时出发，经过 ________ 秒后，两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点． 【答案】30 【分析】先设点P、Q同时出发，经过秒后两点第1次同时到达等边三角形的同一顶点，根据Q点走的路程比P点所走路程多2个等边三角形的边长，列方程求出x，再设点P、Q同时从第一次同时到达的顶点出发，经过y秒后两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点，根据Q点移动的路程比点P移动的路程多3个等边三角形的边长，列方程求出y，从而求出答案即可． 【详解】解：设点P、Q同时出发，经过秒后两点第1次同时到达等边三角形的同一顶点， 由题意得，， 解得； 设再经过y秒后两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点， 由题意得，， 解得， ， 即经过 30秒后，两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点． 23．在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则： ·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）； ·B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的倍． 已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为；一台B类机器人起跑后，前保持匀速，速度是这台A类机器人的倍，之后原地维护，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了，完赛成绩为．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程． 【答案】A类机器人的速度为，比赛起点到终点的路程为 【分析】根据赛道总路程不变，设A类机器人速度为，得出全程路程；再根据B类成绩规则，由公示成绩算出它含维护的实际总耗时，拆分出两段行驶时长与对应速度，将两段行驶路程相加，与总路程相等建立方程求解． 【详解】设这台A类机器人的速度为， 由题意可知，， 解得， 所以， 答：这台A类机器人的速度为，此次比赛从起点到终点的路程为． 24．某中学组织300名师生前往距学校13千米的研学基地，为践行“绿色出行、高效协同”的研学理念，校方经综合评估，调度一辆额定载客50人的新能源巴士，该车行驶的平均速度为60千米/小时，师生步行的平均速度为4千米/小时．为安全高效抵达，将师生平均分为6组，采取步行与乘车相结合的方式，以实现“各组同时出发、尽早抵达”． （1）若第一组师生先步行2千米，余下的路程坐车，则第一组师生到达研学基地用时________分钟（不考虑上、下车时间）； （2）若从全体师生出发开始，到全体师生都到达研学基地为止，所经历的时间称为总耗时，则总耗时最少为________分钟（不考虑上、下车时间）． 【答案】 【分析】（1）分别计算步行和乘车的时间，求和后换算单位即可得到结果； （2）总耗时最少时所有组同时到达，每组乘车路程和步行路程分别相等，结合巴士行驶总时间等于全体到达终点的总时间列方程求解，即可得到最少总耗时． 【详解】解：（1）（小时），（分钟）； （2）设每组乘车千米，则步行千米，全体到达终点的总时间为小时， 将人分为组，巴士送完一组需要空车返回接下一组，共空车返回次， ∵车速和步行速度比为， ∴每次空车返回路程为， 巴士行驶总路程为，行驶总时间也为， 因此， 联立等式得， 解得， 将代入得总时间（小时），（分钟）． ◆题型07 销售问题压轴 25．（列一元一次方程解应用题）我市青云湖景区风景优美如画，某公司举行传统文化节活动，主办方分两次共邮购了200把绘有我市青云湖美景的折扇作为当天活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如表所示： 邮购数量 100以上（含100） 邮寄费用 总价的 免费邮寄 折扇价格 不优惠 打九折 若两次邮购折扇，一次购买多于100把，另一次购买少于100把，共花费1504元，求两次邮购的折扇的数量． 【答案】两次邮购的折扇分别是160把和40把 【分析】先设购买数量超100把的那次为把，则另一次为把；再结合表格优惠规则分别列出两次采购的花费表达式，根据总花费1504元建立一元一次方程，解方程后得到两次购买折扇的数量． 【详解】解：设一次邮购折扇x（）把，则另一次邮购折扇把，依题意，得 ∴， ∴， ∴． 答：两次邮购的折扇分别是160把和40把． 26．11月商场推出饼干和糖果两种礼盒套装，1盒糖果的售价比1盒饼干的售价贵元，购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多元． (1)12月，商场从厂家进购了500盒饼干和600盒糖果，每盒饼干的进价比每盒糖果的进价便宜元，但商场保管不当导致的糖果变质无法销售，12月每盒饼干售价比11月上涨元，每盒糖果售价在11月基础上降低了，将这一批饼干和糖果售完后，总利润率为，求每盒糖果的进价为多少元？ (2)1月厂家在12月商场进价的基础上进行优惠促销活动．规定商场一次性进购饼干、糖果的优惠方案分别如表1、表2．同时工厂为提高销售人员的积极性，规定：每位销售人员的工资总额基本工资奖励工资．当该销售人员本月成交总销售额在万元以内，只有基本工资元；当该销售人员本月成交总销售额超过万元时，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表3所示．1月商场通过工厂销售员甲分两次购进饼干和糖果，第一次全部购进饼干，第二次全部购进糖果，两次共购进2000盒（购进饼干的数量大于购进糖果的数量）．已知工厂销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为元．若1月商场两种礼盒售价保持与12月相同，商场将这两种礼盒全部售出，求商场可获利多少元？（销售员甲的销售总额商场从厂家的进货总成本） 表1 一次性进购饼干的数量（盒） 优惠方案 未超过 不享受优惠方案 超过但未超过的部分 按九折优惠 超过的部分 按八折优惠 表2 一次性进购糖果的数量（盒） 优惠方案 未超过 所购礼盒全部按九折优惠 超过 所购礼盒全部按八折优惠 表3 月成交销售额 不超过万元的部分 超过万元但不超过万元的部分 超过万元但不超过万元的部分 万元以上的部分 奖励工资比例 【答案】(1)每盒糖果的进价为元． (2)商场可获利元或元． 【分析】（1）根据题意，先计算出月份1盒饼干的售价，继而得出月份1盒饼干的售价和1盒糖果的售价，根据饼干销售量为盒，糖果的销售量为盒，据总销售额总成本，建立一元一次方程，求解即可． （2）由于销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为元，可计算出月成交销售额，设购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒，根据成交销售额建立一元一次方程，求解出的值，即可计算商场可获利多少元． 【详解】（1）解：设1盒饼干售价为元，则1盒糖果的售价为元， 由题意得： 解得：， 所以月1盒饼干的售价为元， 由此得出月份1盒饼干的售价为（元）， 1盒糖果的售价为（元）， 饼干的销售量为盒，糖果的销售量为： （盒）， 设每盒饼干的进价为元，则每盒糖果的进价为元，由题意得： ， 解得：， 则每盒糖果的进价为（元）， 答：每盒糖果的进价为元． （2）解：由题意得： = =76000（元）， 则总销售额为：（元）， 设购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒， 当饼干的数量大于盒，糖果的数量小于盒时， 此时饼干的总进价为： （元）， 糖果的总进价为： （元） 解得：， （盒） 当饼干的数量大于盒小于盒，糖果的数量大于盒小于盒时， 此时饼干的总进价为： （元）， 糖果的总进价为： ， 解得：． （盒）， 综上，购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒； 或购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒； 当购进饼干的数量为盒，购进糖果的数量为盒时， 商场可获利： （元） 当购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒时， 商场可获利： （元） 答：当购进饼干的数量为盒，购进糖果的数量为盒时，商场可获利元， 当购进饼干的数量为盒，购进糖果的数量为盒时，商场可获利元． 27．一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少． (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降销售，结果还是出现了的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值． 【答案】(1)第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元． (2)30 【分析】（1）设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为元，根据第二批数量比第一批少，列方程求解． （2）先根据（1）中的单价得出第一批的数量是120箱，且第一批无损耗则收入是4800元；第二批的数量90箱，但是出现了的损耗，即售出数量为购进数量的，则只能卖出72箱．售价下降，即售价为元．总收入减去总成本等于利润1716元，列方程求解． 【详解】（1）解：设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为元， 根据题意可得：，即， 解得：， 第二批单价：（元）， 答：第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元． （2）解：第一批水果的购买数量：（箱）， 第一批水果的无损耗收入：（元）， 第二批水果的购买数量：（箱）， 第二批水果的售出数量：（箱）， 成本：（元）， 根据题意可得：， 解得：， 答：的值是30． 28．2021年元旦节临近，铜梁掀起购物狂潮，现有甲，乙、丙三个商场开展的促销活动如下表所示： 商场 优惠活动 甲 全场按标价的6折销售 乙 实行“满100元送100元的购物券”的优惠，购物券可以在再购买时冲抵现金比如：顾客购衣服220元，赠券200元，再购买裤子时可冲抵现金，不再送券） 丙 实行“满100元减50元的优惠”（比如，某顾客购物220元，他只需付款120元） 根据以上活动信息，解决以下问题： (1)三个商场同时出售一件标价290元的上衣和一条标价270元的裤子，王阿姨想买这一套衣服，她应该选择哪家商场？完成下表后就可以做出选择 商场 甲商场 乙商场 丙商场 实际付款（元） (2)黄先生发现在甲、乙商场同时出售一件标价380元的上衣和一条标价300多元的裤子，最后付款也一样，请问这条裤子的标价是多少元？ (3)丙商场又推出“先打折”，“再满100元减50元”的活动，张先生购买了一件标价为620元的上衣，张先生发现比不打折只参加“再满100元减50元”的活动还多付19元钱，问丙商场先打了多少折后再参加活动． 【答案】(1)表格见解析，选择丙商场最实惠 (2)这条裤子的标价为370元 (3)丙商场先打了9.5折后再参加活动 【分析】（1）按照不同的优惠方案算出实际花的钱数，再比较得出答案即可； （2）设这条裤子的标价为x元，按照优惠方案算出实际付款数，根据付款额一样，列方程求解即可； （3）先设丙商场先打了n折后再参加活动，根据打折后比没打折前多付了19元钱，列方程求解． 【详解】（1）解：选甲商场需付费用为（元）； 选乙商场需付费用为（元）； 选丙商场需付费用为（元）． 表格如下： 商场 甲商场 乙商场 丙商场 实际付款（元） ∵， ∴选择丙商场最实惠； （2）解：设这条裤子的标价为x元， 根据题意得：， 解得：， 答：这条裤子的标价为370元； （3）解：设丙商场先打了n折后再参加活动，则打折后的价格小于600元，不小于500元， 根据题意得：， 解得， 答：丙商场先打了9.5折后再参加活动． ◆题型08 方案选择压轴 29．延庆区某中学七年级（1）（2）两个班共104人，要去延庆地质博物馆进行社会大课堂活动，老师指派小明到网上查阅票价信息，小明查得票价如图： 购票张数1~50张 每张票的价格为13元 购票张数51∼100张 每张票的价格为11元 购票张数100张以上 每张票的价格为9元 其中（1）班不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，一共应付1240元． (1)两个班各有多少学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织去博物馆参观，你认为如何购票最省钱？ 【答案】(1)七年级（1）班48人，七年级（2）班56人 (2)304元 (3)购买51张票划算些 【分析】（1）设七年级（1）班人，则七年级（2）班人，  根据两个班共付费1240元建立方程求出其解就可以； （2）先求出购团体票的费用，再用1240 元团体票的费用就是节约的钱； （3）先可以计算按照实际人数购票的费用，再计算购买51个人的票的费用， 比较两个费用的大小就可以得出结论． 【详解】（1）解：设七年级（1）班人，则七年级（2）班人， 由题意可得： ， 解得， 则 ． 答：七年级（1）班48人，七年级（2）班56人． （2）解：（元）． （3）解：七年级（1）班按照实际人数购票的费用为： 元， 购51张票的费用为：元． ， ∴购买51张票划算些． 30．每年五月，世界级月季名园——大兴世界月季主题园迎来花海盛宴，景致怡人．某学校组织师生到该园区开展综合实践活动．经了解，园区门票原价为60元/人，网络平台购票按原价八折优惠．此次参与活动的学生人数比教师人数的10倍多4人，全体师生按原价购票比按网络平台购票多花费972元． (1)此次参加活动的教师与学生各有多少人？ (2)若网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省______元． 【答案】(1) 此次参加活动的教师有7人，学生有74人. (2) 320 【分析】（1）设参加活动的教师有人，根据“全体师生按原价购票比按网络平台购票多花费972元”列方程求解即可； （2）分别计算出两种方式的费用，然后求出差额即可； 【详解】（1）解：设参加活动的教师有人，则参加活动的学生有人， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：此次参加活动的教师有7人，学生有74人； （2）解：采用双人票与单人票组合的购买方式，总费用为（元）， 全部按门票原价八折购票需要（元）， ∴网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省（元）． 31．【项目主题】研学活动前期策划 【项目背景】为深化实践育人，某班计划利用小长假开展为期5天的研学活动．研学主题为“探工业智造，品非遗匠心”，具体研学活动内容包括如下： （1）①参观工业设计城；②游览智能制造科技园；③参加机器人操作体验活动； （2）①观看民俗表演；②参观非遗文化展览馆；③研学后参加非遗宣讲活动． 现有甲、乙、丙三家旅行社，收费标准均为500元/人．为更大程度地帮助同学降低研学费用，项目小组与三个旅行社沟通后，得到的优惠方案如下： 旅行社 优惠方案 甲旅行社 人均享9折优惠． 乙旅行社 缴纳1000元团游会员费后，人均可享8折优惠． 丙旅行社 为弘扬非遗文化，参加研学后非遗宣讲活动的人数若能超过半数（含半数），人均可享7折优惠；否则，人均享95折优惠． 【项目任务】项目小组通过初步计算发现：若全班同学都报名参加此次5天研学活动，选择乙旅行社的总费用比甲旅行社少1500元． (1)该班有几名同学？ (2)为选择一家最优惠的旅行社进行报名，项目小组前期需要收集哪些信息？又该如何根据这些信息做出选择？ 【答案】(1)50名 (2)需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数，设参加非遗宣讲活动的人数为m，当时，选择丙旅行社最优惠；当时，选择乙旅行社最优惠 【分析】（1）设该班有x名同学.，由题意得，甲旅行社的总费用为：（元） 乙旅行社的总费用为：（元），根据“选择乙旅行社的总费用比甲旅行社少1500元”建立一元一次方程求解； （2）根据丙旅行社的优惠规则，需要先收集参加非遗宣讲的人数，再分情况计算丙的总费用，和甲乙的总费用比较后即可得到最优惠的选择方案． 【详解】（1）解：设该班有x名同学.，由题意得，甲旅行社的总费用为：（元） 乙旅行社的总费用为：（元） 由题意得： 整理得： 解得： 答：该班有50名同学． （2）解：当时， 甲旅行社总费用：（元）； 乙旅行社总费用：（元） 丙旅行社的优惠规则和该班参加非遗宣讲活动的人数有关， 因此首先需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数． 设参加非遗宣讲活动的人数为m，该班总人数为50，全班人数的半数为25， 当时，丙旅行社总费用为：（元） 因为，此时丙旅行社总费用最低，选择丙旅行社； 当时，丙旅行社总费用为：（元） 因为，此时乙旅行社总费用最低，选择乙旅行社． 答：需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数，设参加非遗宣讲活动的人数为m，当时，选择丙旅行社最优惠；当时，选择乙旅行社最优惠． 32．保康市场销售某种商品，分为A、B两种款式，已知A款商品每个的进价是50元，售价是80元，B款商品每个的售价是60元，可盈利．提示：利润率×进价=售价−进价． (1)A款商品每个的利润率是 ，B款商品每个的进价是 元． (2)该市场购进A、B两款商品共计200个，总进货款8400元，请你计算一下A、B两款商品各进货多少个？ (3)春节临近，该市场推出如下的优惠促销活动（打折前一次性购物总金额）： ①不超过900元，不优惠 ②超过900元，但不超过1200元，按总售价打九折 ③超过1200元，其中1200元部分八折优惠，超过1200元的部分打六折优惠， 小张按照优惠活动方案在该市场购买A款商品若干个，实际付款金额为1008元，请你通过计算分析，小张在该市场购买了多少个A款商品？ 【答案】(1)，40 (2)购进40个A款商品，160个B款商品 (3)小张在该市场购买了14或16个A款商品 【分析】本题考查了利润率的计算，一元一次方程的应用及根据不同优惠方案进行分类讨论计算． （1）利用利润率公式和售价与进价的关系计算； （2）设未知数，根据进货款列方程求解； （3）依据不同打折规则分类计算并列出方程求购买数量． 【详解】（1）解：A款商品每个的利润率：， B款商品每个的进价：（元）， 故答案为：，40． （2）解：设购进x个A款商品，则购进个B款商品， 根据题意，得， 解得， ∴， 即购进40个A款商品，160个B款商品． （3）解：设A款商品原付款金额为y元， ∵， ∴进行如下分类： ①当时，， 解得，则（个）； ②当时，， 解得，则（个）， 即小张在该市场购买了14或16个A款商品． ◆题型09 几何问题压轴 33．如图，一个长方形内部恰好能用一些大小不等的正方形纸片、、铺满（每两个正方形纸片之间既不重叠，也无空隙），如果长方形的周长为，那么正方形纸片的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方形纸片的边长为，由图形可知，正方形纸片、的边长为和，根据长方形的周长为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设正方形纸片的边长为，由图形可知，正方形纸片、的边长为和， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形纸片的面积为． 34．一个长方形可被不重叠且不留空隙地分割为个正方形，称该长方形为“阶完美长方形”． (1)图是一个一边被三等分的阶完美长方形．请再画出一个与图不同分割方式的阶完美长方形，若该长方形的周长为，求它的边长； (2)图是一个阶完美长方形．中间最小的正方形⑥边长为，求正方形①的边长． 【答案】(1)如图，长方形即为所求．，长为6，宽为4； (2)14 【分析】（1）先画出和原图分割形式不同的3阶完美长方形，设小正方形边长为未知数，用未知数表示长方形的长、宽，结合周长20列出一元一次方程，求解得到长方形的边长． （2）设正方形④边长为未知数，根据最小正方形边长2，依次用含x的式子表示全部正方形边长，利用长方形上下对边等长建立方程，解出未知数后算出正方形①边长． 【详解】（1）解：作图：略 设， ∵四边形与四边形均为正方形， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． ∴该3阶完美长方形长为6，宽为4； （2）设正方形④边长为x，正方形⑥边长为2． 正方形⑤边长， 正方形③边长， 正方形②边长， 正方形①边长． 长方形上下两条水平对边长度相等，因此 ， ， 正方形①边长． 答：正方形①的边长为14． 35．如图，分别是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是5．定义：已知点是线段上的一个点，若点到线段两个端点的距离之比为，则称点为线段的“理想点”．则线段的“理想点”表示的数为_____． 【答案】或1 【分析】设“理想点”P表示的数为x，分两种情况当时和当时，根据“理想点”的定义列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：设“理想点”P表示的数为x， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 综上，P表示的数为或1． 36．如图①，点为数轴原点，，正方形的边长为，边在数轴上．点从点出发，沿射线方向运动，速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，回答下列问题． (1)点对应的数为________，点对应的数为________； (2)如图②，在点运动过程中，在数轴上作线段，点在点右侧，以为边向上作正方形，连结、． ①点对应的数为________；（用含的式子表示） ②当的面积为时，求的值； ③当正方形与正方形重叠面积为的面积倍，直接写出的值． 【答案】(1)2，8 (2)①②或③或 【分析】（1）根据题意可知点对应的数，结合正方形的边长即可知，由即可求得点对应的数； （2）①根据题意知，结合即可； ②由正方形得知，那么，解得，分当点在点左侧时，，当点在点右侧时，，分别求得即可； ③由正方形得，分当点在点左侧和右侧，分别求得，进一步求得，再次求得重叠部分的宽度，则有正方形与正方形重叠面积，结合题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点对应的数为2， ∵正方形的边长为， ∴， ∴， 则点对应的数为8； （2）解：①根据题意知，， ∵， ∴， ②∵正方形的边长为， ∴， ∵的面积为， ∴，解得， 当点在点左侧时，，解得； 当点在点右侧时，，解得； ③∵正方形， ∴， 当点在点左侧时，，则， 重叠部分的宽度为， 则正方形与正方形重叠面积为， ∵正方形与正方形重叠面积为的面积倍， ∴，解得； 当点在点右侧时，，则， 重叠部分的宽度为， 则正方形与正方形重叠面积为， ∵正方形与正方形重叠面积为的面积倍， ∴，解得． ◆题型10 动点问题压轴 37．如图，在长方形中，，E是的中点，动点P从D点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当的面积等于时，x的值为______． 【答案】4或 【分析】分三种情况：当点P在边上，当点P在边上时，当点P在边上时，解答即可． 【详解】解：∵在长方形中，， ∴， ∵E是的中点， ∴， 当点P在边上，，则，此时， ， ∵的面积等于 ∴， 解得：； 当点P在边上时，，此时， ， ∵的面积等于 ∴， 解得：； 当点P在边上时，，此时， ， ∵的面积等于 ∴， 解得：（不符合题意）； 综上所述，x的值为4或． 38．如图，在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示，x，．点P以每秒1个单位的速度从点A向右运动，同时，点Q以每秒3个单位的速度从点B向左运动，N是线段PQ的中点，设运动时间为t． (1)求点A与点B之间的距离； (2)当t为何值时，，并求出此时点N表示的数； (3)在P，Q两点开始运动时，点M以每秒k个单位的速度从点O向左运动．点Q经过原点后，其速度变为原来的2倍，点Q变速后，若线段的长度始终是一个定值，求k的值． 【答案】(1)10 (2)t的值为1或，点N表示的数为1或 (3) 【分析】（）根据点表示的数为，得，即得，进而可得点表示的数为，再根据两点间距离公式计算即可； （）当运动时间为秒时，表示出点，Q，N所表示的数，根据列出方程，求解即可； （）点Q经过原点后，表示出点P，Q，M，N所表示的数，进而得到，再根据线段的长度始终是一个定值得到方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∵点A，B在原点的两侧， ∴点B表示的数为， ∴； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得，， 即或， 解得或， 当时，； 当时，； ∴当的值为或时，，此时点表示的数为或； （3）解：若，则， 当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵点变速后，若线段的长度始终是一个定值， ∴， ∴． 39．如图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为17，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问： (1)动点P从点A运动至D点需要时间为_____秒； (2)P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数． 【答案】(1)19 (2)或 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度，进行求解即可； （2）分5种情况，进行讨论，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意知：，，， ∵“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半， ∴动点P从点A运动至D点需要的时间为（秒）； （2）解：设运动时间为t秒， ①当，即P在上，Q在上，由P、Q两点到原点O的距离相同得，方程无解，不符合题意； ②当，即P在上，Q在上时，P表示的数是，Q表示的数是， ∴，解得，此时P已不在上，不符合题意，这种情况不存在； ③当，即P在上，Q在上时，P表示的数是，Q表示的数是， ∴，解得或， ∴P表示的数是或； ④当，即P在上，Q在上时，P表示的数是，Q表示的数是， ∴，解得（不合题意，舍去）， ⑤当，即P在上，Q在上时，P表示的数是，Q表示的数是， ∴，此方程无解，不符合题意； 综上所述，P、Q两点到原点O的距离相同时，动点P在数轴上所对应的数是或． 40．如图，在中，，，，．点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿的路径向终点C运动；点P出发的同时点Q从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿的路径向点B运动．当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间是t秒． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当点P在线段上运动，Q在线段上运动时，若，求t的值； (3)当的面积等于面积的时，求t的值； (4)当线段将的周长分成两部分的比为时，直接写出t的值． 【答案】(1)，；， (2) (3)t的值为8或 (4)t的值为或 【分析】（1）分点P在上和上两种情况讨论即可； （2）根据题意，得，，则有，然后问题可求解； （3）根据题意得，则可分当时，点在线段上，此时，当时，点在线段上，此时； （4）根据题意得的周长为，则可分当在上，点在上（），则有，当在上，点在上（），则有，当在上，点在上（），则有，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点P运动的总时间为18秒， ∴当时，点P在上，时，点P在上， ∴当时，； 当时，； （2）解：根据题意，点P在线段上，，点Q在边上时，， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：根据题意得：， ∵的面积等于面积的， ∴， 由题意可分：当时，点在线段上，此时， ∴， 解得：； 当时，点在线段上，此时， ∴， 解得：； 综上，t的值为8或； （4）解：根据题意得的周长为， 当在上，点在上（），则有， ∵线段将的周长分成两部分的比为， ∴或， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当在上，点在上（），则有， ∵线段将的周长分成两部分的比为， ∴或， 解得：或（都不符合题意，舍去）； 当在上，点在上（），则有， ∵线段将的周长分成两部分的比为， ∴或， 解得：（不符合题意，舍去）或； 综上，当线段将的周长分成两部分的比为时，t的值为或． ◆题型11 水电费问题压轴 41．某市公布的居民用电阶梯电价方案如下： 收费方式 月用电量 费用 第一档 不超过度 元/度 第二档 超过度但不超过度的部分 元/度 第三档 超过度的部分 元/度 (1)若小华家某月用电量是度，则这个月的电费为_______元；（用含的代数式表示） (2)若小华家9月份的电费为元，求小华家9月份的用电量； (3)居民根据用电情况，可以申请“峰谷电价”，其收费方式如下： 高峰时段：8：00～22：00，其电价在各档电价基础上加价元/度； 低谷时段：8：00～22：00以外的时间，其电价在各档电价基础上降价元/度． 高峰时段与低谷时段电费分别按调价后的阶梯电价计费．已知小华家10月份的用电量为度，且高峰时段的用电量大于度，他家申请“峰谷电价”后，能节约元，请求出小华家10月份高峰时段、低谷时段的用电量． 【答案】(1) (2)小华家月份的用电量为度 (3)小华家月份高峰时段的用电量是度，低谷时段的用电量是度 【分析】（1）根据题干所给计费方法列代数式即可； （2）先判断收费方式在哪一档，然后列方程求解即可； （3）根据申请“峰谷电价”后，能节约元，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：设小华家月份的用电量为度． ∵，，， ∴， 根据题意，得， 解得， 答：小华家月份的用电量为度； （3）解：因为小华家10月份的用电量为度，且高峰时段的用电量大于度，， 所以低谷时段的用电量小于度． 设小华家月份高峰时段的用电量是度，则低谷时段的用电量是度． 根据题意，得 解得， ， 答：小华家月份高峰时段的用电量是度，低谷时段的用电量是度． 【点睛】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用，关键是理解阶梯电价、峰谷电价的计费规则． 42．某地居民用水收费标准如下表： 家庭每月用水量 收费 不超过的部分 2元/ 超过但不超过的部分 4元/ 超过的部分 6元/ (1)已知小亮家去年10月份共用水，则他家去年10月份应缴水费是多少？ (2)若小亮家去年11、12月份共用水，（12月份用水量超过11月份用水量，且11月用水量超过），共交水费76元，则小亮家11、12月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)42元 (2)他家去年11月用水量是，12月用水量是， 【分析】（1）用水，分三部分计算，不超过的部分按2元/，超过但不超过的部分按4元/，超过的部分按6元/，把三部分的费用求和即可． （2）由题意得，小亮家11月份用水量超过但不超过，12 月份用水量超过．设小亮家11月份用水量是．根据题意列方程求出x值，则可得11月份用水量，进而可得12月用水量． 本题考查了有理数混合运算的实际应用，以及列一元一次方程解应用题．理解题意，正确地列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解： （元）． 答：他家去年10月份应缴水费是42元． （2）解：由题意得，小亮家11月份用水量超过但不超过，12 月份用水量超过．设小亮家11月份用水量是，由题意可得； 解得． ∴． 答：他家去年11月用水量是，12月用水量是． 43．【素材一】某市居民生活用电价格表如下： 档次 年用电量 电度电价（元/度） 第一档 年用电2760度及以下部分 a 第二档 年用电度部分 第三档 年用电4801度及以上部分 注：某用户年用电量指自当年1月开始，该用户本年逐月累计用电量，用电量不足1度的部分顺延至下个月结算． 【素材二】该市某用户2025年部分月份的用电情况统计如下： 月份（月） 5 6 7 8 用电量（度） 2300 240 300 600 700 【问题解决】 (1)若该用户5月份所用电费为132元，求a的值； (2)求该用户6月份缴纳的电费； (3)若该用户9月份所用电费为447元，求9月份的用电量． 【答案】(1) (2)元 (3)度 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，审清题意找到等量关系，列出方程是解题的关键． （1）根据该用户5月份的用电量，按第一档缴费，计算即可求解； （2）根据该用户6月份的用电量，按第一、二档缴费，计算即可求解； （3）根据所交电费，易得9月底年用电量超过4800度，按第二、三档缴费，设9月份第三档的用电量为x度，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解： 则a的值； （2）解：截至5月底累计用电量：（度）， 6月份用电量中，属于第一档的部分为：（度）， 属于第二档的部分为：（度）， （元）， 则该用户6月份缴纳的电费元； （3）前8个月总用电量：（度）， 若9月份电价均为第二档，则需缴纳的电费最高是元，所以9月底年用电量超过4800度， 即9月份用电量跨越第二、三档，其中，属于第二档的电费为：（元）， 设9月份第三档的用电量为x度， 根据题意，得， 解得：， 9月份用电量：（度）， 答：9月份用电量为度． 44．根据以下素材，尝试解决问题 出行方式选择 素材1 随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的方式有了更多的选择．某市有出租车、快车和专车三种网约车，收费标准如图（假设网约车行驶的平均速度均为40千米/时）． 素材2 1．乘坐网约快车4千米路程收费为元； 2．网约快车和网约专车在春节期间有如下优惠方式： 快车：“满40元减10元”优惠券（一次限用一张优惠券） 专车：①免除时长费；②3千米及以内，里程费不变为3元/千米；超过3千米且不超过8千米的部分，里程费为2元/千米；超过8千米的部分，里程费为1.6元/千米． 问题1 乘坐出租车千米，费用为 元．（结果用的代数式表示） 问题2 春节期间，若小明乘坐出租车与网约快车的里程数相同且所付费用也相同，求此时的里程数． 问题3 春节期间，小明、小宁分别坐出租车、专车从地前往地．小宁坐专车的费用比小明坐出租车的费用贵7元，求，两地相距多少千米？ 【答案】问题1：；问题2：此时的里程数为16千米；问题3：，两地相距1或13千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 问题1：根据出租车的计费标准列代数式即可； 问题2：设里程数为千米，根据“小明乘坐出租车与网约快车的里程数相同且所付费用也相同”列方程求解即可； 问题3：设，两地相距千米，根据“小宁坐专车的费用比小明坐出租车的费用贵7元”列方程求解即可． 【详解】解：问题1、乘坐出租车千米，费用为元． 问题2、显然，里程数不可能为3千米以内，设此时的里程数为千米， ①快车没满40元，由题意得，此方程无正解； ②快车满40元，由题意得，解得． 答：此时的里程数为16千米． 问题3：设，两地相距千米， ①当时，由题意得，解得； ②当时，由题意得，解得（舍去）； ③当时，由题意得，解得． 答：，两地相距1或13千米． ◆题型12 一元一次方程与数轴、绝对值综合 45．综合与探究 七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探究“折线数轴” 素材 如图，将一条数轴在原点、点、点处折一下，得到一条“折线数轴”（原对应关系不变）．图中点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是．在“折线数轴”上，两点之间的“友好距离”定义为这两点表示数之差的绝对值，如：点与点在“折线数轴”上的“友好距离”为：，并表示为，计算距离是沿折线路径累加，而非直线距离．    素材 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的倍，经过点后立刻恢复初始速度． 素材 在动点运动的同时，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向负方向运动，且经过折点，，时速度始终保持不变． 问题解决 (1)探究 与点的“友好距离”等于的点在线段 上．动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探究 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数．（用含的代数式表示） (3)探究 当，两点分别同时从点、点出发，求，两点正好相遇时的时间，并且直接写出此时相遇点在数轴上所表示的数． 【答案】(1)或； (2) (3)，两点正好相遇时的时间为秒，此时相遇点在数轴上所表示的数为 【分析】（1）设该点表示的数为，则，解得或，再结合题意分析即可得出结果；根据速度路程时间，计算即可得出结果； （2）由（1）可得，当点从点出发时，运动时间为秒，由此即可表示出点表示的数； （3）分情况讨论，根据题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设该点表示的数为，则， 解得或， ∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ∴在线段上，在线段上， ∴与点的“友好距离”等于的点在线段或上； ∵动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的， ∴动点从点运动至点需要（秒）； （2）解：∵动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的，当运动到点与点之间时，速度变为初始速度的倍， ∴由（1）可得， ∴当点从点出发时，运动时间为秒， ∴点表示的数为； （3）解：当时，点在上运动，点在上运动，不会相遇； 当时，点在上运动，点在上运动，不会相遇； 当时，点在上运动，点在上运动，会相遇； 由（2）可得点表示的数为， ∵动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向负方向运动，且经过折点，，时速度始终保持不变， ∴此时点表示的数为， ∴， 解得， 此时相遇点在数轴上所表示的数为； 当时，点在上运动，点在或或上运动，不会相遇； 综上所述，，两点正好相遇时的时间为秒，此时相遇点在数轴上所表示的数为． 46．已知数轴上两点，对应的数分别为和，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的倍时，我们就称点是关于的“好点”． (1)若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少； (2)①若点运动到原点时，此时点_____关于的“好点”（填是或者不是）； ②若点以每秒个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“好点”时，求点的运动时间； (3)若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点，，中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点表示的数． 【答案】(1) (2)①不是；②秒或秒 (3)，，，，， 【分析】（1）设点表示的数为，根据数轴上两点的距离公式列出方程，解方程求出的值即可； （2）①利用数轴上两点的距离公式求出，，根据“好点”的定义即可得出答案； ②设运动的时间为，分点在点左侧和右侧两种情况，根据“好点”的定义列出方程，解方程求出的值即可； （3）设点表示的数为，分种情况，根据“好点”的定义列出方程，分别求解即可． 【详解】（1）解：设点表示的数为， ∵点到点的距离等于点到点的距离，点，对应的数分别为和， ∴， 解得：， ∴点表示的数为． （2）解：①∵点运动到原点，点，对应的数分别为和， ∴，， ∴， ∵点到的距离是点到的距离的倍时，我们就称点是关于的“好点”， ∴点运动到原点时，此时点不是关于的“好点”． ②设运动的时间为， 当点在点左侧时， ∵点是关于的“好点”， ∴， 解得：， 当点在点右侧时， ∵点是关于的“好点” ∴， 解得：． 综上所述：点的运动时间是秒或秒． （3）解：设点表示的数为， 当点是关于的“好点”时，点到的距离是点到的距离的倍， ∴， ∴或， 解得：（在原点右侧，舍去），或（在原点右侧，舍去）， 当点是关于的“好点”时，点到的距离是点到的距离的倍， ∴， ∴或， 解得：或； 当点是关于的“好点”时，点到的距离是点到的距离的倍， ∴ ∴， 解得：或； 当点是关于的“好点”时，点到的距离是点到的距离的倍， ∴ ∴， 解得：，或（在原点右侧，舍去）； 当点是关于的“好点”时，点到的距离是点到的距离的倍， ∴， ∴， 解得：，或（在原点右侧，舍去）； 当点是关于的“好点”时，点到的距离是点到的距离的倍， ∴， ∴， 解得：（与原点重合，舍去），或（在原点右侧，舍去）； 综上所述：点表示的数为，，，，，． 47．阅读材料：我国著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，点到点的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示．已知点，，在数轴上表示的数分别是1，，，则． 请结合数轴，用上面的知识解答下面的问题： 【发现问题】 (1)①若将数轴折叠，使表示数2的点与表示数的点重合，则此时点与表示数__________的点重合； ②数轴上，与点的距离为3的点表示的数是__________． 【探究问题】 (2)①若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是__________； ②在①的情况下，若此数轴上，两点间的距离为2000（点在点的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，求，两点表示的数． ③在②的情况下，在数轴上找到一点，当时，求点表示的数． (3)已知数轴上，两点间的距离为（点在点的左侧），表示数的点到，两点的距离相等，若将数轴折叠，使得点与点重合，则，两点表示的数分别是__________，__________，（用含，的代数式表示） 【答案】(1)①②或4 (2)①②E点表示的数为，F点表示的数为999③点G表示的数为或1011.5 (3)， 【分析】（1）①求出折痕表示的数即可解答； ②根据数轴上的两点距离可进行求解； （2）①由点A与点C重合可知折叠点表示的数为，然后由此可求解问题； ②由①可知折叠点表示的数为，则可知到E、F的距离都为1000，进而问题可求解； ③根据列出方程，求解方程可得出x的值． （3）由题意可知表示数n的点到P、Q两点的距离都为，然后问题即可求解． 【详解】（1）解：∵表示数2的点与表示数的点重合， ∴折痕点表示的数为； ∵点表示的数为1， ∴点与表示数的点重合； ②这个数为或； （2）解：①由题意可得：折叠点对应的数为：， ∴与B点重合的点表示的数是：； ②由①得折叠点对应的数为：， ∴E点表示的数为：，F点表示的数为：． ③∵，设点G表示的数为x， ∴， 当时，，不符合题意； 当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上所述，点G表示的数为或1011.5． （3）解：由题意可得：表示数n的点到P，Q两点的距离都为， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为． 48．对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的美好关联数为t．例如，，则2和3关于1的美好关联数为3． (1)和5关于2的美好关联数为________． (2)若x和2关于3的美好关联数为4，求x的值． (3)假设和关于1的美好关联数为1，和关于2的美好关联数为1，和关于3的美好关联数为1，…，和关于41的美好关联数为1． ①的最小值为________，的最大值为________； ②的最小值为________． 【答案】(1)8 (2)或 (3)①1；3；②820 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数的加减法运算，解一元一次方程，数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键； （1）根据美好关联数的定义求解即可； （2）根据美好关联数的定义可得，解方程即可得到答案； （3）①根据题意可得，分四种情况：当，时，当，时，当，时，当，时，分别求出对应情况下的值或取值范围即可得到答案；②根据题意可得，，，，……，（n为正整数），据此规律求解即可． 【详解】（1）解：， ∴和5关于2的美好关联数为8； （2）解：∵x和2关于3的“美好关联数”为4， ∴， ∴，即 ∴， ∴或 解得或； （3）解：①∵和关于1的“美好关联数”为1， ∴， 当，时， ∴， ∴， 当，时， ∴， ∴， 当，时， ∴， ∴， ∴，即 ∴， 同理可得当，时，； 综上所述，的最小值为1，最大值为3； ②∵，， ∴， ∴或，或， ∴， 由题意可知：， 同理可得， ∴； ∵， ∴， ∴， 同理可得，，……，（n为正整数）， ∴的最小值为： ． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：． 根据上述规定解决下列问题： (1)有理数对 ； (2)若有理数对，则 ； (3)当满足等式的x是整数时，求整数k的值． 【答案】(1) (2)1 (3)整数k的值为3或5或7或9． 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值； （3）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出整数k的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， 解得，， ∵x是整数， ∴或， ∴整数k的值为3或5或7或9． 2．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程和为“集团方程”． (1)若关于x的方程与方程是“集团方程”，则m的值为___________； (2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，直接写出关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)6 (2)或 (3) 【分析】（1）先分别求解两个方程的解，再根据“集团方程”定义（解的和为1）列方程求m； （2）设两个解，利用“集团方程”解的和为1及差为6列方程求n； （3）先求已知方程的解，根据“集团方程”定义求另一个方程的解，再通过方程变形求y的值． 【详解】（1）解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于x的方程与方程是“集团方程”， ∴， ∴． （2）解：∵“集团方程”的两个解的和为1，设其中一个解为n， ∴另一个解是， ∵两个解的差是6， ∴，即， ∴或， 解得或． （3）解：∵， ∴， ∵和是“集团方程”， ∴的解为， ∵可化为， ∴， ∴． 3．（2022七年级·江苏无锡·竞赛）关于x的方程有三个整数解，求a的值． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性可知，原方程化为或，求出，，，，根据方程有三个不同的整数解可知，，，中必有2个相同，分类讨论即可． 【详解】解：根据绝对值的非负性可知，原方程化为或． 由，得，； 由，得，． 若方程有三个不同的整数解，则，，，中必有2个相同． 若，则，解得：，不成立； 若，则，解得：， 此时，，，不成立； 若，则，无解，不成立； 若，则，无解，不成立； 若，则，解得：， 此时，，，不成立； 若，则，解得：， 此时，，，成立； 可知． 4．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐1人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． 【方案预设】 (1)预设方案1：叶老师将乙送到车站后，叶老师回去接甲并将甲送到车站．求方案1中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案2：叶老师骑摩托车行驶小时，送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，与此同时，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求a的值． 【优化方案】 (3)请设计一种方案，使甲、乙两位学生在出发内（不含）全部到达车站．并直接写出叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间．（要求：用文字写出方案） 【答案】(1) (2) (3)方案：叶老师先骑摩托车送甲出发，行驶一段路程后放下甲，让甲步行前往车站，同时叶老师原路返回接步行出发的乙，接到乙后骑摩托车送乙前往车站，最终两人同时到达车站． 所需时间为（方案不唯一，符合要求即可） 【分析】（1）方案1：分三段计算时间，先算叶老师送乙到车站的时间，再算叶老师返回与甲相遇的时间，最后算叶老师送甲到车站的时间，三段相加得到总时间，用到路程=速度×时间的行程关系． （2） 方案2分别表示出送乙的时间，叶老师返回接甲的相遇时间，送甲到车站的时间，根据总摩托车行驶时间为列一元一次方程求解即可． （3）设计中途放下一人，返回接另一人的方案，保证总时间小于即可，最优方案是两人步行时间一样，同时到达，总时间小于． 【详解】（1）解： 叶老师送乙到车站的时间为 ，此时甲步行的路程为 ， 叶老师和甲的距离为 ， 叶老师返回接甲，相向而行，相遇时间为 ， 相遇后叶老师送甲到车站的时间与相等，即 ， 总时间 ． 答：方案1所需时间为． （2）解：叶老师送乙小时，行驶路程为，此时甲步行路程为 ， 叶老师与甲的距离为 ， 叶老师返回与甲相遇的时间为 ，相遇时甲一共步行的路程为 ，剩余到车站的路程为 ， 叶老师送甲到车站的时间为 ， 根据总摩托车行驶时间列方程得 ， 解得 ， 答：的值为． （3）解∶设计方案：叶老师先骑摩托车送甲出发，行驶一段时间后放下甲，让甲步行前往车站，同时叶老师原路返回接已经步行出发的乙，接到乙后骑摩托车送乙前往车站，最终甲，乙同时到达车站． 设甲、乙两位学生步行都为，则叶老师行驶路程为， ∴，解得：， 叶老师先骑摩托车送甲出发，行驶时间为，余下路程，让甲步行前往车站，需耗时，甲用时， 同时叶老师原路返回与乙相遇，乙步行时间为，路程为，接到乙后骑摩托车送乙前往车站需要时间为，乙用时 计算得总时间为，符合要求． 答：所需时间为． 5．（26-27七年级·江苏·暑假作业）已知关于的方程． (1)若，求方程的解； (2)若方程有无数个解，求，的值； (3)若为正整数，时，求方程的整数解． 【答案】(1) (2)， (3)方程的整数解为或或 【分析】本题主要考查解一元一次方程： （1）根据解一元一次方程的步骤求解即可； （2）将方程变形得，因为方程有无数个解，所以且； （3）方程变形可得，因为为正整数，方程的解为整数，所以是的因数． 【详解】（1）解：等量代换，得 移项，得 合并同类项，得 因为， 所以 系数化为，得； （2）解：将方程变形，得 因为方程有无数个解， 所以且． 解得，； （3）解：将代入方程，得 移项，得 合并同类项，得 因为为正整数，方程的解为整数， 所以是的因数． 因为的因数为，， 当时，可得，则． 当时，可得 ，则． 当时，可得，则． 当时，可得，不符合为正整数，舍去． 综上所述，方程的整数解为或或． 6．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． (1)已知是数轴上的两点（点在点的右侧），点表示的数为，两点的距离是点到原点的距离的倍，即．则点表示的数是____，若点为数轴上的一动点，当时，点表示的数为_____． (2)动点分别从点和同时出发向左匀速运动，点的速度分别为每秒个单位长度和每秒个单位长度．设运动时间为． ①当点与点之间的距离为个单位长度时，求的值； ②若点为数轴上两点之间的动点，且点始终满足，点在运动到点的过程中，的值是否发生变化？若不变、求其值；若变化，说明理由． 【答案】(1)；或 (2)①或；②不会发生变化，其值为 【分析】（）利用数轴上两点间距离公式构建一元一次方程解答即可求解； （）①由题意得，点表示的数为，点表示的数为，即得，解方程即可求解；②由题意可知，点在点右侧，点由原点右侧往原点方向运动，可得，即得，又由得，得，进而得到，即可求解； 本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴， 设点表示的数为， 由题意得，, 解得， ∴点表示的数是， ∵，， ∴点在点的左边或点点的右边， 设点表示的数为， 当点在点的左边时，则， 解得， 当点在点的右边时，则， 解得， ∴点表示的数为或； （2）解：①由题意得，点表示的数为，点表示的数为， 当点与点之间的距离为个单位长度时，则， 即， 解得或， ∴的值为或； ②由题意可知，点在点右侧，点由原点右侧往原点方向运动， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点表示的数为， ∴， ∴， ∴点在运动到点的过程中，的值不会发生变化，其值为． 7．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）已知，为常数，整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了方程解的定义．将方程变形为，再根据表格中x与的对应关系，找到使成立的x值． 【详解】解：由方程，得． 由表可知，当时，，而， 即， 故方程的解为． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同． (1)求，的值． (2)若关于的方程无解，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查一元一次方程的解以及一元一次方程的定义，注意掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据题意利用一元一次方程的定义即可求出a的值，根据两个方程同解可得b的值； （2）由题意直接把a和b的值代入方程求出方程的解，根据方程无解的条件列式可得m的值． 【详解】（1）解：∵是关于的一元一次方程， ∴ 解得， 则原一元一次方程为， 解得， ∵两个方程同解， ∴， 解得； （2）解：把，代入， 得：， 即， ∵关于的方程无解， ∴ 解得． 9．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知关于的一元一次方程，若，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的定义，带有字母的绝对值化简问题．由方程为一元一次方程，得二次项系数为零且一次项系数不为零，解得；再根据，即，代入所求表达式化简即可． 【详解】解：∵ 方程为一元一次方程， ∴ 且， 解得且， ∴ . 又∵ ， ∴ ， ∵ ，即， ∴ ，， ∴ ． 故选：C． 10．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）把正偶数2、4、6、…、2026排成如表所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列、…； (1)数2026在第_____行第_____列； (2)按如图所示的方法用一个“T”形框框住相邻的四个数，设被框的四个数中最小的一个数为，是否存在这样的使得被框的四个数的和等于2008?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若在（2）中“T”形框框住的四个数的和记为“S”，则S的最大值与最小值的差等于_____． 【答案】(1)，； (2)不存在使得被框的四个数的和等于2008； 由题意可得，设被框的四个数中最小的数为， 则被框的四个数分别为，，，， 则，解得， ∵，在最右边的一列中， ∴不符合题意， ∴不存在使得被框的四个数的和等于2008； (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程、列一元一次方程解应用题，掌握用代数式表示数阵中的数是关键． （1）由题意可得：为第个偶数，再根据列数为求解即可； （2）由题意可得，被框的四个数分别为，，，，可得，，求解最后检验即可； （3）由（2）可得四个数的和“S”为，根据题意可得，最小为2，最大为，代入求得“S”的最大值和最小值，求解即可． 【详解】（1）解：从开始，为第个偶数， ，即数2026在第行第列， 故答案为：，； （2）略 （3）解：由（2）可得四个数的和“S”为， 根据题意可得，最小为2，最大满足，解得，即最大为， 则四个数的和“S”的最小值为，最大值为，则差为， 故答案为：． 11．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）长方形中，，， E是边的中点，P从A出发沿运动，速度为秒，设点的运动时间为秒，当三角形的面积时，时间t的值=____________． 【答案】3或 【分析】本题考查长方形的性质、一元一次方程的应用、三角形面积，根据题意列出方程是解题的关键． 分情况讨论：当点P在上，即或当点P在上，即或当点P在上，即时，根据三角形的面积，列方程求解即可． 【详解】解：由于，，E是边的中点， 所以点运动到B点的时间为：秒， 点运动到C点的时间为：秒， 点运动到E点的时间为：秒， ①当点P在上，即时， 在长方形中，，， 则 解得； ②当点P在上，即时， 由于E是边的中点， 则、、， 因此， 即， 解得； ③当点P在上，即时， 则， 解得，舍去； 综上所述，当三角形的面积时，时间t的值为3或秒， 故答案为：3或． 12．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，则的值为（        ） A．12 B． C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解．先求出方程的解，然后代入另一个方程，利用恒成立条件求出和的值． 【详解】解：解方程得． ∵无论取任何有理数，方程与方程均为“美好方程”， ∴对于所有有理数，方程的解均为． 将代入方程：， 化简得：， 两边同乘6：， 即：， 移项：， 整理：， ∵该式对任意有理数恒成立， ∴且， 解得：，， ∴． 故选：B． 13．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组： 第1组：2，4 第2组：6，8，10，12 第3组：14，16，18，20，22，24 第4组：26，28，30，32，34，36，38，40 … 现用表示第组从左往右数第个数，则当时，的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字规律探索、一元一次方程的应用，确定前组的偶数总数与组内数的特征是解题关键． 由分组规律可知，第组有个偶数，前组共有个偶数，第组最后一个偶数为，通过计算可以确定位于第组，即，再求出组内位置，从而计算． 【详解】解：∵前组共有偶数个数为， ∴第组最后一个偶数为， 当时，， 当时，， ∴位于第组，即， 第组第一个偶数为， 设第个偶数为， 则， 解得， ∴． 故选：． 14．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”． 例如：数轴上点，，所表示的数分别为，，，此时点是点，的“联盟点”． (1)若点表示数，点表示数，下列各数，，，所对应的点分别是，其中是点，的“联盟点”的是 ； (2)点表示数，点表示数，为数轴上的一个动点： ①若点在点的左侧，且点是点，的“联盟点”，求此时点表示的数； ②若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点表示的数． 【答案】(1)， (2)①；②或或 【分析】本题考查了新定义，数轴上两点间的距离，绝对值的意义，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． （1）设点表示的数为，且点是点的“联盟点”，根据“联盟点”的定义列出绝对值方程即可求解； （2）①设点表示的数是，点P在点A的左侧，根据列式求解即可； ②根据数轴上两点的距离公式以及新定义，分类讨论，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设点表示的数为，且点是点的“联盟点”， ∴根据，0，1三个数在数A、B之间，可得或， ∴或， 当时，解得或（舍）， 当时，解得或（舍）， ∴是点的“联盟点”， 故答案为：，； （2）①设点表示的数是，点P在点A的左侧， ∴，，， ∵点是点的“联盟点”， ∴， ∴， 解得， 即点表示的数是； ②设点表示的数是，点在点的右侧， 当是点的“联盟点”时，， ∴， 解得； 当A是点，的“联盟点”时，， ∴， 解得； 当是点，的“联盟点”时，或， ∴或， 解得或； 综上所述：点表示的数为或或． 15．（25-26七年级上·全国·期末）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的求解，换元法，理解题意，掌握换元法的计算是关键． 通过变量代换将第二个方程转化为第一个方程的形式，利用已知解求解． 【详解】解：对于方程 ， 设 ，则， ∴关于y的一元一次方程化为 ， 即 ， 两边乘以 ，得 ， 即 ， 令 ，则 ， 两边减 ，得 ， 这与已知方程 形式相同，且解为 ， 所以， 由 和 ，得 ， 所以 ， 解得，， 故答案为： ． 16．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）传说“九宫图”是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中字母m表示的数是______．           2 1 m 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设幻方的和为S，中心数为x，第一行中间的数为a，右下角的数为b，第二行最右边的数为c，根据题意可推出，，据此可求出，再推出，根据，求出b的值，进而求出a的值，则可求出S的值，最后可求出m的值． 【详解】解：设幻方的和为S，中心数为x，第一行中间的数为a，右下角的数为b，第二行最右边的数为c， 由第一列三个数得：，即． 由对角线三个数得：． ∴， 解得． ∵，， ∴， ∴； ∵幻方第二行之和与第三列之和相等，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）若关于x的方程的解均为正整数，则整数a的值是 ___． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，正确计算是解题的关键．分别求解两个方程，得到第一个方程的解为，第二个方程的解为，要求两者均为正整数，从而确定整数的值． 【详解】解：解方程，， 方程化为， 两边减去得， 两边乘以得， 两边乘以 得，即， 所以（）； 解方程，， 方程变为， 两边乘以得， 去括号得， 移项得，即， 所以 （）． ∵两个方程的解均为正整数， ∴和都为正整数． ∴为正整数，且是的正因数，即； 同时是的正因数，即或，但， 所以，故， 解得 ． 验证当时，第一个方程的解为，第二个方程的解为，均为正整数，满足条件． 故答案为 2． 18．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）已知长方形，如图所示放置在数轴上，点B与表示的点重合，点C与表示2的点重合，宽（表示线段的长度），点P是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积． (1) ；若点P表示的数为，则 ． (2)若，则点P表示的数为多少？ (3)将长方形从原来位置沿着数轴以每秒3个单位长度的速度向左移动，动点P从表示的点以每秒2个单位长度的速度向右移动，当运动时间为多少秒时，？ 【答案】(1)3；5； (2)点P表示的数为11或； (3)1或 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，一元一次方程的应用，三角形面积，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据数轴上两点的距离求解即可；根据数轴上两点的距离求出，再根据三角形面积公式求解即可； （2）设点表示的数为，则，先求出，进而得出，利用三角形面积公式列方程求解即可； （3）点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，当P和B重合时，，解得，根据点与点的位置关系，分两种情况讨论，利用数轴上两点的距离和三角形面积公式分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点与表示的点重合，点与表示2的点重合， 则， 若点表示的数为，则， 那么； 故答案为：，5； （2）解：设点表示的数为，则， 因为，且 所以， 所以， 解得：或， 即点表示的数为或； （3）解：根据题意，得点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，， 当P和B重合时，，解得， 当移动后点在点右侧，此时， 根据题意，得， 解得：； 当移动后点在点左侧，此时， 则， 解得：， 综上可知，运动时间为1或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $