第2章 等式与不等式（三大考点+五大易错+易错训练）（知识清单）高一数学沪教版必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了“等式与不等式”单元内容，涵盖等式性质、方程解集、不等式性质、不等式求解及基本不等式应用五大知识范畴，搭建了从基础性质到综合应用的递进式学习支架。 清单以“知识模块+易错点突破”形式构建体系，将“一元二次不等式求解”“基本不等式应用”等标注为重点，通过易错点分析（如忽视不等式性质条件）和“一正二定三相等”口诀培养数学思维与模型意识。配套对点训练实现学练结合，助力学生自主复习，教师可据此精准教学，提升课堂效率。

第2章 等式与不等式 一、等式相关 1.等式的性质 ①传递性：若，，则 ②加法性质：若，则 ③乘法性质：若，则 推论： ①减法推论：若，则 ②除法推论：若且，则 ③相加推论：若，，则 2.恒等式 字母取全体实数，等式恒成立，等式左右两边完全相等。 3.方程的解集 方程：含有未知数的等式。 方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的取值。 解集：方程所有解构成的集合。 4.一元二次方程 判别式： ：两个不相等实数根，解集含2个元素 ：两个相等实数根，解集含1个元素 ：无实数根，解集为空集 5.韦达定理（根与系数关系） 若是方程的两根，则： 二、不等式的基本性质 传递性：若，，则 加法性质：若，则 乘法性质：若，；若， 移项法则：若，则 同向可加性： 正数同向可乘： 乘方性质： 开方性质： 倒数性质： 三、不等式的求解 1.一元二次不等式 标准形式（）：、、、 解法1：因式分解法（优先） ，解集 ，解集 注意：若，两边乘，同时改变不等号方向再求解。 解法2：配方法 将化为，利用完全平方式非负，分写解集。 2.分式不等式（） 标准形式： 等价转化： 解题步骤：①移项化零；②等价转化整式；③因式分解求零点；④穿根法写解集，分母零点不取。 3.绝对值不等式 （1）几何含义：表示数轴上实数两点之间距离。 （2）去绝对值三种方法：①几何法：利用数轴距离数形结合； ②平方法：两边均非负，同时平方； ③零点分段法：令绝对值内式子为0，划分区间分段去绝对值。 （3）基础结论（）： （4）拓展类型：①：转化 ②：拆成或 多绝对值不等式：零点分段法，分区间去掉绝对值求解。 四、基本不等式及其应用 （1）重要不等式：，，当且仅当取等号。 （2）基本不等式：，当且仅当取等号。 为算术平均数，为几何平均数；两个正数算术平均数不小于几何平均数。 （3）最值结论（前提：） 1）积为定值和有最小值；2）和为定值积有最大值； 使用口诀：一正、二定、三相等，必须检验等号能否取到。 三角不等式： 1）对任意实数：； 2）当且仅当（同号或有一个为0），等号成立。 易错点1忽视不等式性质使用条件 运用不等式变形时，忽略乘除负数要改变不等号方向；混淆传递性、同向可加、正数同向可乘的前提条件，随意做乘法、乘方、开方变形，导致不等号方向出错。例如对，直接写出，不区分正负；对负数直接使用乘方、开方性质。 易错处理： 1.不等式两边同乘（除）一个数，先判断正负：不等号方向不变；必须改变不等号方向。 2.同向可乘、乘方、开方性质，只对正数成立，不满足正数条件不能直接套用。 3.做变形前先写出前提条件，再推导不等式。 【对点训练】 1．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是．已知，，，则这四个小球由重到轻的排列顺序是___________. 3．若，则（   ） A． B． C． D． 易错点2多次使用同向可加性，造成取值范围扩大 已知变量的范围，反复多次使用同向可加，多次相加之后，会把变量的真实取值区间放大，得到比实际范围更宽的错误解集，常见于已知范围求、的范围题型。 易错处理： 1.尽量避免反复叠加同向不等式；求线性代数式范围，优先使用待定系数法，把目标式子表示为已知范围式子的组合。 2.减法转化为加法：，先求出的范围，再做一次同向相加。 3.求出范围之后，检验端点能否同时取到，排除虚假区间。 【对点训练】 4．已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知实数满足，则的取值范围是___________． 6．已知，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 易错点3含参一元二次不等式，对首项系数分类讨论不全 不等式中参数为未知数，直接当成求解；遗漏退化为一次不等式的情况；时忘记改变不等号方向；同时还要结合判别式讨论根的大小，容易漏掉部分分类，解集写不全。 易错处理： 1.第一步先讨论二次项系数：①，此时是一次不等式；②；③。 2.时，再根据判别式分讨论根的情况。 ，可以两边同乘，不等号反向，转化为二次项系数为正再求解。 4.每一类讨论写完对应的解集，分类之间互相独立。 【对点训练】 7． 解关于x的不等式. 8．解关于的不等式：． 9．解不等式. 易错点4分式不等式转化整式不等式不等价 处理、，直接等价为、，漏掉分母的限制条件，把分母等于0的无效根纳入解集；随意两边直接乘分母，不判断分母正负造成错误。 易错处理： 1.；。 2.带等号分式不等式必须附带分母不为零： 3.不要直接两边同乘分母；优先移项通分，再等价转化为整式不等式。 【对点训练】 10．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 11．不等式的解集为__________． 12．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 易错点5运用基本不等式忽略“一正、二定、三相等”条件 1.一正：不检查变量是否为正数，直接套用，负数不能直接使用该公式。 2.二定：没有和或者积为定值，强行求最值。 3.三相等：求出最值后，不去检验等号条件能否在定义域内成立，得到伪最值；多次连用基本不等式时，多处等号无法同时成立。 易错处理： 1.一正：才可以使用基本不等式；若为负数，做换元，令转化为正数。 2.二定：通过拆项、配凑，构造出“和为定值”或者“积为定值”。 3.三相等：求出结果，必须验证等号成立条件对应的自变量取值是否属于题目允许范围。 4.若等号取不到，则放弃基本不等式，改用函数单调性求最值；多次连用不等式，保证每一步等号条件可以同时成立。 【对点训练】 13．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知实数满足，且，则的最小值为_____． 15．若为负数，则的取值范围是______． 16．已知，都是正实数，解决下列问题： (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值． 1．已知a，，则下列选项中能使成立的是________，能使成立的是________（填上正确的序号）． ①    ②    ③   ④ 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 3．若，，则下列不等式关系中一定成立的是　________　． ①　② ③④ 4．已知，，，则与的大小关系为_________. 5．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 6．若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知正数x，y满足，则的最大值是_________． 8．已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．若，，则的取值范围是_________________. 10．已知，，且，则的最小值为__________，此时__________. 11．解下列不等式（结果写成集合） (1) (2)； 12．设a，b，c均为正实数，且． (1)求的最小值； (2)若，求b的最大值． 13．解下列关于的不等式. 14．已知函数，解关于的不等式． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 等式与不等式 一、等式相关 1.等式的性质 ①传递性：若，，则 ②加法性质：若，则 ③乘法性质：若，则 推论： ①减法推论：若，则 ②除法推论：若且，则 ③相加推论：若，，则 2.恒等式 字母取全体实数，等式恒成立，等式左右两边完全相等。 3.方程的解集 方程：含有未知数的等式。 方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的取值。 解集：方程所有解构成的集合。 4.一元二次方程 判别式： ：两个不相等实数根，解集含2个元素 ：两个相等实数根，解集含1个元素 ：无实数根，解集为空集 5.韦达定理（根与系数关系） 若是方程的两根，则： 二、不等式的基本性质 传递性：若，，则 加法性质：若，则 乘法性质：若，；若， 移项法则：若，则 同向可加性： 正数同向可乘： 乘方性质： 开方性质： 倒数性质： 三、不等式的求解 1.一元二次不等式 标准形式（）：、、、 解法1：因式分解法（优先） ，解集 ，解集 注意：若，两边乘，同时改变不等号方向再求解。 解法2：配方法 将化为，利用完全平方式非负，分写解集。 2.分式不等式（） 标准形式： 等价转化： 解题步骤：①移项化零；②等价转化整式；③因式分解求零点；④穿根法写解集，分母零点不取。 3.绝对值不等式 （1）几何含义：表示数轴上实数两点之间距离。 （2）去绝对值三种方法：①几何法：利用数轴距离数形结合； ②平方法：两边均非负，同时平方； ③零点分段法：令绝对值内式子为0，划分区间分段去绝对值。 （3）基础结论（）： （4）拓展类型：①：转化 ②：拆成或 多绝对值不等式：零点分段法，分区间去掉绝对值求解。 四、基本不等式及其应用 （1）重要不等式：，，当且仅当取等号。 （2）基本不等式：，当且仅当取等号。 为算术平均数，为几何平均数；两个正数算术平均数不小于几何平均数。 （3）最值结论（前提：） 1）积为定值和有最小值；2）和为定值积有最大值； 使用口诀：一正、二定、三相等，必须检验等号能否取到。 三角不等式： 1）对任意实数：； 2）当且仅当（同号或有一个为0），等号成立。 易错点1忽视不等式性质使用条件 易错提醒 运用不等式变形时，忽略乘除负数要改变不等号方向；混淆传递性、同向可加、正数同向可乘的前提条件，随意做乘法、乘方、开方变形，导致不等号方向出错。例如对，直接写出，不区分正负；对负数直接使用乘方、开方性质。 易错处理： 1.不等式两边同乘（除）一个数，先判断正负：不等号方向不变；必须改变不等号方向。 2.同向可乘、乘方、开方性质，只对正数成立，不满足正数条件不能直接套用。 3.做变形前先写出前提条件，再推导不等式。 【对点训练】 1．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，由题意，即，故A错误； 对于B，由题意，即，故B错误； 对于C，由题意，即，故C正确； 对于D，由题意，即，故D错误. 2．有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是．已知，，，则这四个小球由重到轻的排列顺序是___________. 【答案】 【详解】因为， 所以，即，所以． 又因为，所以， 所以， 所以这四个小球由重到轻的排列顺序是． 故答案为：． 3．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由于，取特殊值验证，令， 计算可得此时，不满足； 对于B，由，不等式两边同时乘，不等式方向改变， 得与对应相乘，得，则， 对于C.取上述A中特殊值验证选项C，， 此时不满足题意大小关系，排除C； 对于D，由，不等式两边同时加,不等式方向不变，得， 由，不等式两边同时加，不等式方向不变，可得， 联立两个不等式得，因此 易错点2多次使用同向可加性，造成取值范围扩大 易错提醒 已知变量的范围，反复多次使用同向可加，多次相加之后，会把变量的真实取值区间放大，得到比实际范围更宽的错误解集，常见于已知范围求、的范围题型。 易错处理： 1.尽量避免反复叠加同向不等式；求线性代数式范围，优先使用待定系数法，把目标式子表示为已知范围式子的组合。 2.减法转化为加法：，先求出的范围，再做一次同向相加。 3.求出范围之后，检验端点能否同时取到，排除虚假区间。 【对点训练】 4．已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， ，， . 故选：C. 5．已知实数满足，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】因为，所以，又， 所以，解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 6．已知，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可得，所以. 故选：A. 易错点3含参一元二次不等式，对首项系数分类讨论不全 易错提醒 不等式中参数为未知数，直接当成求解；遗漏退化为一次不等式的情况；时忘记改变不等号方向；同时还要结合判别式讨论根的大小，容易漏掉部分分类，解集写不全。 易错处理： 1.第一步先讨论二次项系数：①，此时是一次不等式；②；③。 2.时，再根据判别式分讨论根的情况。 ，可以两边同乘，不等号反向，转化为二次项系数为正再求解。 4.每一类讨论写完对应的解集，分类之间互相独立。 【对点训练】 7．解关于x的不等式. 【答案】当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【详解】①当时，原不等式即为，解得； ②当时，原不等式化为，解得或； ③当时，原不等式化为， 若，即，不等式无解, 若，即时，解得, 若，即时，解得. 综上可知，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 8．（第08讲二次函数与一元二次方程、不等式（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）解关于的不等式：． 【答案】时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为. 【详解】当时，不等式为，其解集为， 当时，， 当时，抛物线开口向下，， 方程的根为，且， 故不等式解集为； 若，抛物线开口向上， 当时，，抛物线与轴无交点，函数值恒大于0，不等式解集为； 当时，，方程的根为， 不等式，则，解集为； 当时，，方程的根为， 则不等式解集为； 综上， 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为． 9．解不等式. 【答案】 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为， 当时，解集为． 【详解】当时，原不等式可化为，即，解集为； 当时，原不等式可化为，解集为； 当时，原不等式可化为， 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为， 综上所述：当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为， 当时，解集为． 易错点4分式不等式转化整式不等式不等价 易错提醒 处理、，直接等价为、，漏掉分母的限制条件，把分母等于0的无效根纳入解集；随意两边直接乘分母，不判断分母正负造成错误。 易错处理： 1.；。 2.带等号分式不等式必须附带分母不为零： 3.不要直接两边同乘分母；优先移项通分，再等价转化为整式不等式。 【对点训练】 10．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为不等式满足，所以， 所以，即，解得. 所以该不等式的解集为. 11．不等式的解集为__________． 【答案】 【详解】由不等式移项得，，化简得， 要求不等式的解集，等价于求不等式组的解集， 解得，因此该不等式的解集为. 12．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解不等式，得，即， 解不等式，得，则，即， 所以. 易错点5运用基本不等式忽略“一正、二定、三相等”条件 易错提醒 1.一正：不检查变量是否为正数，直接套用，负数不能直接使用该公式。 2.二定：没有和或者积为定值，强行求最值。 3.三相等：求出最值后，不去检验等号条件能否在定义域内成立，得到伪最值；多次连用基本不等式时，多处等号无法同时成立。 易错处理： 1.一正：才可以使用基本不等式；若为负数，做换元，令转化为正数。 2.二定：通过拆项、配凑，构造出“和为定值”或者“积为定值”。 3.三相等：求出结果，必须验证等号成立条件对应的自变量取值是否属于题目允许范围。 4.若等号取不到，则放弃基本不等式，改用函数单调性求最值；多次连用不等式，保证每一步等号条件可以同时成立。 【对点训练】 13．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】 由可得，，满足基本不等式的使用前提： 充分性验证： 若，根据基本不等式，对任意正数有，当且仅当时等号成立. 令，则，等号成立当且仅当，整理得，结合得. 因，故等号取不到，因此，充分性成立. 必要性验证： 若，说明上述基本不等式的等号不成立，因此等号成立的条件不满足，即，必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 14．已知实数满足，且，则的最小值为_____． 【答案】7 【详解】由，则， 即，又，则， 解得 ，当且仅当取等， 则的最小值为7. 15．若为负数，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为，则，所以， 当且仅当时，即等号成立， 所以的取值范围是. 故答案为. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”，以及熟练应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 16．已知，都是正实数，解决下列问题： (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值． 【答案】(1). (2). 【分析】 【详解】（1）由题意，知， 所以， （当且仅当 ，即取等号）， 故的最小值为5. （2）因为都是正实数，， 所以 ， 当且仅当 ，即时取等号， 故的最小值为18； 1．已知a，，则下列选项中能使成立的是________，能使成立的是________（填上正确的序号）． ①    ②    ③   ④ 【答案】 ①④ ②④ 【详解】①得， ④得， 故能使成立的是①④； ，则， 由②故，由④， 故，故能使成立的是②④． 故答案为：①④，②④. 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】原不等式变形为， 同解变形为，解得，又因为， 所以原不等式的解集为． 3．若，，则下列不等式关系中一定成立的是　________　． ①　② ③④ 【答案】①③④ 【详解】因为，，所以，，所以，故①成立； 取，，，，代入②，可知②不成立； 因为，由不等式的可加性知，所以③成立； 由知，，由不等式的可加性知，所以④成立． 4．已知，，，则与的大小关系为_________. 【答案】 【详解】由，， 则， 则， 又， 则. 故答案为： 5．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不等式，其等价于分子分母同号且分母不为0，即：， 整理不等式可得：， 两边同乘，不等号方向改变，得：， 该整式的零点为，将数轴分为四个区间，逐段验证符号： 当时，，三者乘积为负，满足，符合条件； 当时，，三者乘积为正，不满足条件； 当时，，三者乘积为负，满足，符合条件； 当时，，三者乘积为正，不满足条件， 结合分母不为0的限制，最终解集为. 6．若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，即， 则，解得. 由，得； 由，得. 所以. 所以的取值范围是. 故选：B. 7．已知正数x，y满足，则的最大值是_________． 【答案】2 【详解】因为正数x，y满足，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号. 8．已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，即 故，解得， 故 由于，， 所以， 故，即 故选：D 9．若，，则的取值范围是_________________. 【答案】 【详解】显然，故，故，故取值范围为. 故答案为: 10．已知，，且，则的最小值为__________，此时__________. 【答案】 12 【详解】由，，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为12，此时. 11．解下列不等式（结果写成集合） (1) (2)； 【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1）由，得， 即0，解得或， 所以不等式解集为或. （2）原不等式等价于     由数轴穿根法可知原不等式解集为； 12．设a，b，c均为正实数，且． (1)求的最小值； (2)若，求b的最大值． 【答案】(1)9； (2). 【分析】 【详解】（1）由，得， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. （2）由基本不等式得，，当且仅当时等号成立， 因为， 所以，当且仅当，再结合a，b，c均为正实数， 即时，等号成立， 解得， 又为正实数，所以， 则b的最大值为. 13．解下列关于的不等式. 【答案】 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或． 【详解】对于一元二次方程，，判别式． 当时，等价于，解得， 故不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为或； 当时，，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或． 14．已知函数，解关于的不等式． 【答案】当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或． 【详解】不等式等价于， 即， 当时，不等式可化为，解得，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，： 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或． 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $