第2章 等式与不等式（知识清单）数学沪教版2020必修第一册

第2章 等式与不等式 清单01一元二次方程的解集 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当时，方程的解集为 ； （2）当时，方程的解集为 ； （3）当时，方程的解集为 ； 清单02根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根， 则原方程可改写为，展开得：， 与原方程比较可知对应系数应该相等，即，所以 ； 清单03不等式性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，那么； （2）加法性质 设、、均为实数，如果a>b，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数， 如果，那么；如果，那么； （4）性质 设、均为实数，如果那么； （5）性质 设、、均为实数，如果，则； (不等式的移项法则) （6）性质 设、、、均为实数，如果，，那么； (同向可加性) （7）性质 设均为实数，如果，，那么； （8）性质 设、均为实数，如果，那么； （9）性质 设、均为实数，如果，那么 清单04二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 清单05分式不等式的解集 1定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 清单06简单的绝对值不等式 常见绝对值不等式的解法与结论： ①几个基本不等式的解集 (1)() (2)() (3)() (4)()或 ②几种主要的基本类型 （1） （2）（）或 （3）（） （4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解. 清单07平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数、，有，且等号当且仅当时成立； 定理：对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立； 清单08几个重要不等式变形 ①()． ②(同号)； ③()． 清单09三角不等式 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 易错点1 忽略不等式性质 错误：不等式在遇到乘法或者除法运算时候，是很容易出错的，需熟记一下几个不等式性质：①可乘性：；； 注意：不等式左右两边同乘一个负数，不等号方向要改变 例题1 已知 ，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 易错点2 多次使用通项相加性质，扩大了取值范围 错误：在多次运用不等式性质时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了取值范围．为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式． 注意：解决步骤 第一步：把所求代数式用条件的代数式，表示出来，即． 第二步：列方程组，求出，的值. 第三步：分别求出和的取值范围． 第四步：求出的取值范围． 例题2 若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 易错点3一元二次不等式首项系数含参讨论分类错误 错误：一元二次不等式求解时首项系数含参时，字母讨论遗漏 注意：解形如时，讨论时最高项系数含参，从0开始讨论，两根大小不确定从相等开始讨论 例题3设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 易错点4 分式不等式转化不等价 错误：解形如的分式不等式时，转化时错误转化为，忽略考虑了 注意：注意考虑分母不为0 例题4 不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 易错点5 使用基本不等式时忽略了“一正、二定、三相等” 错误：使用时，忽略了 注意：利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： 例题5 若，求的最大值，并求此时的值. 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．若实数x，y满足，，则的取值范围是 . 4．不等式的解集为 答案写成区间形式 5．不等式的解集是 . 6．不等式的解集是 . 7．下列函数最小值为2的是 ① ② ③ ④ 8．下列命题中正确的是（    ） ①当时， ②当时， ③当时， ④当时， 9．下列函数中最小值为2的是 ① ② ③ ④ 10．已知，求的取值范围． 11．设. (1)若当时，求实数x的取值范围； (2)若对于任意实数x，恒成立，求实数m的取值范围. (3)解关于x的不等式. 12．设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 13．已知，关于x的一元二次不等式的解集为. (1)求b，c的值； (2)若为非负实数，解关于的不等式. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 等式与不等式 清单01一元二次方程的解集 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当时，方程的解集为； （2）当时，方程的解集为； （3）当时，方程的解集为； 清单02根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根， 则原方程可改写为，展开得：， 与原方程比较可知对应系数应该相等，即，所以； 清单03不等式性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，那么； （2）加法性质 设、、均为实数，如果a>b，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数， 如果，那么；如果，那么； （4）性质 设、均为实数，如果那么； （5）性质 设、、均为实数，如果，则； (不等式的移项法则) （6）性质 设、、、均为实数，如果，，那么； (同向可加性) （7）性质 设均为实数，如果，，那么； （8）性质 设、均为实数，如果，那么； （9）性质 设、均为实数，如果，那么 清单04二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 清单05分式不等式的解集 1定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 清单06简单的绝对值不等式 常见绝对值不等式的解法与结论： ①几个基本不等式的解集 (1)() (2)()或 (3)() (4)()或或 ②几种主要的基本类型 （1） （2）（）或 （3）（） （4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解. 清单07平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数、，有，且等号当且仅当时成立； 定理：对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立； 清单08几个重要不等式变形 ①()． ②(同号)； ③()． 清单09三角不等式 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 易错点1 忽略不等式性质 错误：不等式在遇到乘法或者除法运算时候，是很容易出错的，需熟记一下几个不等式性质：①可乘性：；； 注意：不等式左右两边同乘一个负数，不等号方向要改变 例题1 已知 ，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两个分子相同的分数，分母越大，分数值越小，以及不等式两边同时乘一个正数，不等号方向不变，不等式两边同时乘一个负数，不等号方向改变，再结合不等式的传递性，进行大小比较即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 综上，，因此选项A错误，选项B正确； 因为，所以， 因为，所以， 综上，和无法判断正负，故选项C错误，选项D错误. 故选：B. 易错点2 多次使用通项相加性质，扩大了取值范围 错误：在多次运用不等式性质时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了取值范围．为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式． 注意：解决步骤 第一步：把所求代数式用条件的代数式，表示出来，即． 第二步：列方程组，求出，的值. 第三步：分别求出和的取值范围． 第四步：求出的取值范围． 例题2 若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知的范围求的最小值，用待定系数法或换元法求解. 【详解】法一：设 故且，所以，故， 由于，则， 所以， 整理得，故最小值为， 此时由，可得； 法二：设，则，所以， 由于，所以，故， 即，故最小值为，同法可得． 故选：B 易错点3一元二次不等式首项系数含参讨论分类错误 错误：一元二次不等式求解时首项系数含参时，字母讨论遗漏 注意：解形如时，讨论时最高项系数含参，从0开始讨论，两根大小不确定从相等开始讨论 例题3设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接利用二次不等式的解法额可得出原不等式的解集； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）若，则由， 解得，所以不等式的解集为. （2）不等式， 即， 当时，，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，，解原不等式可得或； 当时，原不等式即为，即恒成立； 当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 易错点4 分式不等式转化不等价 错误：解形如的分式不等式时，转化时错误转化为，忽略考虑了 注意：注意考虑分母不为0 例题4 不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将分式不等式转化为整式不等式即可求解． 【详解】解：原不等式可化为：， 解得或， 所以原不等式的解集为， 故选：B． 易错点5 使用基本不等式时忽略了“一正、二定、三相等” 错误：使用时，忽略了 注意：利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： 例题5 若，求的最大值，并求此时的值. 【答案】的最大值是-4，此时. 【详解】因，则，当且仅当时取“=”， 由且解得：， 所以的最大值是-4，此时. 1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】AB选项，利用不等式的基本性质进行判断；C选项，作差法比较大小；D选项，举出反例. 【详解】A选项，因为，，所以，即，故A正确； B选项，因为，，所以，故B错误； C选项，由A知，，又，因为，所以，故C错误； D选项，当，，，时，，故D错误. 故选：A 2．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不等式的性质结合已知可得A正确、B正确；作差可得C错误；举反例可得D错误； 【详解】对于A，因为，两边同乘以，因为，所以由不等式的性质，得，故A错误； 对于B，因为，所以，又，由不等式的性质，得，所以，故B正确； 对于C，，由题意知，且，所以，所以，故C错误； 对于D，取，此时，故D错误． 故选：B． 3．若实数x，y满足，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据不等式的性质计算即可求解. 【详解】由，得， 又，所以. 即的取值范围为. 故答案为： 4．不等式的解集为 答案写成区间形式 【答案】 【分析】利用分式不等式的解法求解. 【详解】由，得，得， 即，解得或 故答案为： 5．不等式的解集是 . 【答案】 【分析】利用分式不等式解法即可求得结果. 【详解】等价于，即， 得到,解得：， 故不等式的解集为. 故答案为： 6．不等式的解集是 . 【答案】 【分析】将分式不等式化为整式不等式，根据二次不等式解法即可求解. 【详解】不等式可转化为，即，等价于， 解得. 故答案为：. 7．下列函数最小值为2的是 ① ② ③ ④ 【答案】②③ 【分析】结合基本不等式的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】①选项：∵， 当时，， 当且仅当时等号成立， 当时，， 当且仅当时等号成立， ∴取值范围为，A错误； ②选项：∵ ， 由， 当且仅当时等号成立， ∴最小值为2，B正确； ③选项：∵， 由， 当且仅当时等号成立， ∴最小值为2，C正确； ④选项：∵， ，当且仅当时等号成立， ∴（时等号成立）， 最大值为2，D错误. 故选：②③ 8．下列命题中正确的是（    ） ①当时， ②当时， ③当时， ④当时， 【答案】①③ 【解析】由基本不等式和利用基本不等式求最值，判断选项. 【详解】解:选项①.，，等号成立的条件是，故①正确； 选项②当时，，，所以时，的最小值是2，等号成立的条件是，没有最大值,故②不正确； 选项③.，，等号成立的条件是，等号取不到，即，根据“或”命题的性质可知③正确； 选项④.当时，，等号成立的条件是，即时，但条件，所以等号取不到，即最小值不存在，故④.不正确. 故选：①③ 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 9．下列函数中最小值为2的是 ① ② ③ ④ 【答案】②④ 【解析】根据基本不等式判断最值． 【详解】时，，①错； ，，当且仅当，即时等号成立，②正确； 同理，但时，等号才能成立，而无解．故2取不到，③错； ，则，，当且仅当，即时等号成立，④正确． 故选：②④ 【点睛】易错点睛：基本不等式求最值的解题关键是掌握其三个条件：一正二正三相等． （1） “一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 10．已知，求的取值范围． 【答案】 【分析】由即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以 11．设. (1)若当时，求实数x的取值范围； (2)若对于任意实数x，恒成立，求实数m的取值范围. (3)解关于x的不等式. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由题意可得，求解即可； （2）由题意得的解集为，对分类讨论可求得实数m的取值范围； （3）根据题意，不等式化为，分，和，结合根的大小关系分类讨论，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）当时，， 由，可得，所以，所以， 解得，实数x的取值范围为； （2）因为对于任意实数x，恒成立，所以对恒成立， 即的解集为， 当时，不等式为对恒成立，符合题意， 当时，由的解集为， 则，解得， 综上所述：实数m的取值范围为. （3）由不等式， 化简得，即， 若时，不等式可化为，解得，不等式的解集为； 当时，对于不等式，解得，不等式的解集为； 当时，对于不等式，解得或，解集为； 当时，对于不等式，解得或，此时不等式的解集为； 当时，对于不等式，解得或，解集为， 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 12．设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可知，不等式对一切实数恒成立，分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，根据二次不等式恒成立可得出关于的不等组，综合可得出实数的取值范围； （2）将原不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）由题意可得对一切实数恒成立， 即不等式对一切实数恒成立， 当时，则有，不合乎题意， 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. （2）由，可得， 可化为. （i）当时，原不等式即为，解得， （ii）当时，原不等式可化为， 当时，即当时，原不等式即为，解得； 当时，即当时，解原不等式可得或； 当时，即当时，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 13．已知，关于x的一元二次不等式的解集为. (1)求b，c的值； (2)若为非负实数，解关于的不等式. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解以及根与系数关系求得. （2）对进行分类讨论，由此求得不等式的解集. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以和是方程的两个根. 根据韦达定理，可得，. 解得，. （2）由（1）知，，则不等式为，即. 当时，不等式化为，解得. 当时，，不等式的解为. 当时，不等式化为，即，此时不等式无解. 当时，，不等式的解为. 综上所得，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为空集； 当时，解集为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$