第08讲 幂与指数（3大知识点+5种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第一册）

第08讲 幂与指数 课程标准 学习目标 1.借助根式的性质对根式进行运算，培养数学运算素养. 2.通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养． 3．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养. 1.理解n次方根及根式的概念、分数指数幂的含义，掌握根式的性质、根式与分数指数幂的互化(重点、难点) 2．能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点) 3．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点) 知识点1、初中相关知识复习 的次幂 ； 当时，可以定义： 的次方根 一般地，如果为大于1的整数，且，那么叫做的次方根； 叫做的次根式；叫做根指数，叫做被开方数 根式的性质 (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝0. (3)当n为奇数时，()n＝a(n∈N*，且n>1)． (4)当n为偶数时，＝|a|＝(n∈N*，且n>1)． 注意点： (1)对于()n＝a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0. (2)()n与意义不同，比如＝－3，＝3，而()4没有意义，故()n≠. (3)当a≥0时，()n＝；当a<0且n为奇数时，()n＝；当a<0且n为偶数时，对于要注意运算次序． 【即学即练1】（1）（23-24高一·上海·课堂例题）求的5次方根． （2）．（23-24高一·上海·课堂例题）求9的4次方根． （3）．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各根式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点2幂的运算性质 根式与分数指数幂的互化 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． （4）对任意给定的正数、及实数、，有，， 【即学即练2】（1）．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)． （2）．（23-24高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4). （3）．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列各式： (1)（其中）； (2)（其中，）． 知识点3 幂的基本不等式 定理 当，时，； 【即学即练3】（1）（2023秋•闵行区校级期中）根据“幂的基本不等式：当，时，”，对于下列命题： ①若，存在，使得；②若，对任意，满足． 下列说法正确的为　　 A．①真②假 B．①假②真 C．①②都假 D．①②都真 （2）．（2020秋•徐汇区校级期末）幂的基本不等式是：当，时，　　1恒成立． （3）．（2022秋•奉贤区校级期末）已知幂的基本不等式：当，时，． 请利用此基本不等式解决下列相关问题： 当，时，求的取值范围； 题型01 根式的化简与求值 【解题策略】 1.n次方根的个数及符号的确定 1n的奇偶性决定了n次方根的个数； 2n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号 2.正确区分与()n (1)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性． (2)()n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围． 1．（24-25高一上·上海·随堂练习） ． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求的立方根； （2）求625的4次方根． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各根式的值： (1) (2)（其中）． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）当时，求的值． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）（1）求的立方根； （2）求256的4次方根． 题型02 根式与指数幂互化 【解题策略】 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 1．（24-25高一上·上海·课前预习）分数指数幂与根式运算的转化． （1） （，为正整数，） （2） （，，为正整数，）． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简： ．（，） 3．（23-24高一·上海·课堂例题）用根式的形式表示下列各式（其中）： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中）： (1)； (2)． 6．（24-25高一·上海·课堂例题）用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 7．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列各式（其中，）： (1)； (2)． 题型03 指数幂的运算性质 【解题策略】 关于指数式的化简、求值问题 (1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减． (2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错． 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）对于任意实数a，下列等式中正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）化简：． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，.求及的值. 4．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式中x的值（其中）： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）设，且．求的值． 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简，并求当，时的值． 7．（23-24高一·上海·课堂例题）化简（其中）. 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）定义：． (1)计算． (2)猜想下列结论是否成立并说明理由： 结论1：； 结论2：． 题型04 指数幂运算中的条件求值 【解题策略】 解决条件求值的思路 1在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值. 2在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用. 1．（24-25高一上·上海·单元测试）若， ，，则 ． 2．（24-25高一上·上海·单元测试）已知，化简 ． 3．（24-25高一·上海·课堂例题）（1）已知，求的值； （2）已知、，求的值． 4．（23-24高一上·上海嘉定·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求证：． 题型05幂的基本不等式 1．已知：，求证：． 2．设，，且，试比较，，的大小． 一．填空题（共12小题） 1．（2023秋•浦东新区校级月考）已知，化简：　　． 2．（2023秋•长宁区校级期中）已知、均为正数，化简：　　． 3．（2023秋•徐汇区校级期中）化简：　　． 4．（2023秋•普陀区校级期中）当时，化简　　． 5．（2023秋•闵行区校级期中）化简　　． 6．（2023秋•奉贤区期中）已知，用有理数指数幂的形式表示　　． 7．（2023秋•黄浦区校级期中）设是实数，若对任意负数，代数式恒为定值，则的值为 　　． 8．（2023秋•青浦区校级期中）将化成有理数指数幂的形式为 　　． 9．（2023秋•长宁区期末）根式的指数幂形式为 　　． 10．（2023秋•闵行区期末）用有理数指数幂的形式表示　　．（其中， 11．（2023秋•宝山区校级期末）用有理数指数幂的形式表示（其中　　． 12．（2023秋•长宁区校级期中）已知，，若，则的值为 　　． 二．选择题（共4小题） 13．（2022秋•浦东新区校级期中）设，下列计算中正确的是　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•嘉定区期末）已知，，则的值　　 A． B． C． D． 15．（2022秋•徐汇区校级期中）已知，将表示成分数指数幂，其结果是　　 A． B． C． D． 16．（2022秋•普陀区校级月考）已知，则化简的结果是　　 A． B． C． D． 三．解答题（共5小题） 17．（2023秋•静安区校级期中）若，求的值． 18．（2022秋•浦东新区校级期中）（1）计算：； （2）已知，且，求的值． 19．（2022秋•杨浦区校级期中）（1）求的值； （2）已知，，求的值． 20．（2023秋•普陀区校级期中）已知函数方程的两根为、 （1）求的值． （2）求的值． 21．若，，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 幂与指数 课程标准 学习目标 1.借助根式的性质对根式进行运算，培养数学运算素养. 2.通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养． 3．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养. 1.理解n次方根及根式的概念、分数指数幂的含义，掌握根式的性质、根式与分数指数幂的互化(重点、难点) 2．能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点) 3．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点) 知识点1、初中相关知识复习 的次幂 ； 当时，可以定义： 的次方根 一般地，如果为大于1的整数，且，那么叫做的次方根； 叫做的次根式；叫做根指数，叫做被开方数 根式的性质 (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝0. (3)当n为奇数时，()n＝a(n∈N*，且n>1)． (4)当n为偶数时，＝|a|＝(n∈N*，且n>1)． 注意点： (1)对于()n＝a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0. (2)()n与意义不同，比如＝－3，＝3，而()4没有意义，故()n≠. (3)当a≥0时，()n＝；当a<0且n为奇数时，()n＝；当a<0且n为偶数时，对于要注意运算次序． 【即学即练1】（1）（23-24高一·上海·课堂例题）求的5次方根． 【答案】 【分析】利用5次方根的定义求解即可. 【详解】的5次方根为 . （2）．（23-24高一·上海·课堂例题）求9的4次方根． 【答案】 【分析】直接利用有理数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】9的4次方根为 （3）．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各根式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)3 【分析】（1）（2）（3）（4）利用根式的运算性质求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3） （4）. 知识点2幂的运算性质 根式与分数指数幂的互化 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． （4）对任意给定的正数、及实数、，有，， 【即学即练2】（1）．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）（2）利用分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】（1）； （2）. （2）．（23-24高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用指数幂的运算法则，结合根式与指数幂的转化即可得解. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. （3）．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列各式： (1)（其中）； (2)（其中，）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据分数指数幂的运算性质化简求解即可. 【详解】（1）（其中） ； （2）（其中，） 知识点3 幂的基本不等式 定理 当，时，； 【即学即练3】（1）（2023秋•闵行区校级期中）根据“幂的基本不等式：当，时，”，对于下列命题： ①若，存在，使得；②若，对任意，满足． 下列说法正确的为　　 A．①真②假 B．①假②真 C．①②都假 D．①②都真 【分析】由已知结合指数函数的单调性即可比较函数值的大小，从而可判断①②． 【解答】解：当时，在上单调递增，故时，一定有，①错误； 若，在上单调递减，对任意，满足，②正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了指数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题． （2）．（2020秋•徐汇区校级期末）幂的基本不等式是：当，时，　　1恒成立． 【分析】直接利用当时指数函数在上单调递增即可得到答案． 【解答】解：当时，函数在上单调递增， 由， 所以， 故恒成立． 故答案为：． 【点评】本题考查了指数值与1的比较，解题的关键是利用当时，函数在上单调递增，属于基础题． （3）．（2022秋•奉贤区校级期末）已知幂的基本不等式：当，时，． 请利用此基本不等式解决下列相关问题： 当，时，求的取值范围； 【分析】根据，时，即可得出，时，，从而得出的取值范围； 【解答】解：，时，， ，时，，， ， ， 的取值范围为； 题型01 根式的化简与求值 【解题策略】 1.n次方根的个数及符号的确定 1n的奇偶性决定了n次方根的个数； 2n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号 2.正确区分与()n (1)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性． (2)()n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围． 1．（24-25高一上·上海·随堂练习） ． 【答案】 【分析】由根式的运算求解即可. 【详解】由根式的运算可知，. 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求的立方根； （2）求625的4次方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用立方根的定义求解即可. （2）利用四次方根的定义求解即可. 【详解】（1）因为，所以． （2）因为，所以． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各根式的值： (1) (2)（其中）． 【答案】(1) (2) 【分析】根据奇数次根式和偶次根式运算法则可得； 【详解】（1） （2）（其中）． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）当时，求的值． 【答案】0 【分析】利用根式的运算性质化简即可. 【详解】因为， 所以. 5．（23-24高一·上海·课堂例题）（1）求的立方根； （2）求256的4次方根． 【答案】（1），（2） 【分析】（1）根据立方根的定义求解； （2）根据4次方根的定义求解. 【详解】的立方根为； 256的4次方根为. 题型02 根式与指数幂互化 【解题策略】 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 1．（24-25高一上·上海·课前预习）分数指数幂与根式运算的转化． （1） （，为正整数，） （2） （，，为正整数，）． 【答案】 【分析】根据题意，结合指数幂的运算法则与运算性质，即可求解. 【详解】解：（1）由指数幂的运算法则与运算性质，可得； （2）由指数幂的运算法则与运算性质，可得. 故答案为：；. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简： ．（，） 【答案】 【分析】根据指数幂的运算可得答案. 【详解】原式. 故答案为：. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）用根式的形式表示下列各式（其中）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据分数指数幂与根式的互化公式求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 4．（23-24高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据根式与指数式的互化即可得解. （2）（3）（4）根据根式与指数式的互化结合指数幂的运算性质即可得解. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； 5．（23-24高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用分数指数幂与根式的互化公式及有理数指数幂的运算性质求解. 【详解】（1）（） ； （2）（） . 6．（24-25高一·上海·课堂例题）用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】结合根式化指数幂和指数的基本运算化简即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 7．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列各式（其中，）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用有理数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】（1）（其中，） ； （2）（其中，） 题型03 指数幂的运算性质 【解题策略】 关于指数式的化简、求值问题 (1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减． (2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错． 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）对于任意实数a，下列等式中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数的运算的条件计算即可. 【详解】选项A、B中a的条件限制为C中的a的条件限制为 故选：D. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）化简：． 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质化简即可. 【详解】原式． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，.求及的值. 【答案】12；. 【分析】根据指数运算律计算求解. 【详解】因为，所以. . 4．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式中x的值（其中）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2) (3)100 (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）利用有理数幂的运算性质求解即可. 【详解】（1）因为（）， 所以； （2）因为（）， 所以； （3）因为（）， 所以； （4）因为（）， 所以. 5．（23-24高一·上海·课堂例题）设，且．求的值． 【答案】 【分析】先利用立方和公式化简后，再代值计算即可. 【详解】因为，且， 所以 . 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简，并求当，时的值． 【答案】 【分析】运用指数幂的拓广，结合性质解题即可. 【详解】原式 7．（23-24高一·上海·课堂例题）化简（其中）. 【答案】 【分析】分子分母同时乘以，利用平方差公式化简. 【详解】 由于，则， 故 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）定义：． (1)计算． (2)猜想下列结论是否成立并说明理由： 结论1：； 结论2：． 【答案】(1) (2)结论1成立，结论2不成立；理由见解析 【分析】（1）根据新定义，结合指数幂运算性质求解即可； （2）根据新定义，结合指数幂运算性质证明结论1即可，对于结论2，可以用举反例否定即可. 【详解】（1） （2），， 所以结论1成立 ， 而， 假设， 则， ， 所以结论2不成立． 题型04 指数幂运算中的条件求值 【解题策略】 解决条件求值的思路 1在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值. 2在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用. 1．（24-25高一上·上海·单元测试）若， ，，则 ． 【答案】 【分析】由指数运算法则可得证. 【详解】， ， ， 所以，原式， 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·单元测试）已知，化简 ． 【答案】 【分析】根据已知条件化简求得解. 【详解】. 故答案为： 3．（24-25高一·上海·课堂例题）（1）已知，求的值； （2）已知、，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）对已知式子两边平方求出的值，再利用配方法可得答案； （2）对所求的式子通分化简可得答案. 【详解】（1）因为， 所以，即，解得， 可得； （2） . 4．（23-24高一上·上海嘉定·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求证：． 【答案】（1）7；（2）证明见解析 【分析】（1）利用指数的运算求解； （2）利用指数幂的运算律求解. 【详解】（1）由，可得， 所以. （2）证明：因为，所以， 所以，即，① 又因为，所以， 所以，即，② 由①②可得，，所以. 题型05幂的基本不等式 1．已知：，求证：． 【分析】利用相除法，再根据指数函数的性质即可比较． 【解答】证明：设， 当时，，，根据指数函数的性质可知，即． 【点评】本题主要考查了不等式的证明，考查指数函数的性质，属于基础题． 2．设，，且，试比较，，的大小． 【分析】做商法比较大小，注意讨论，的大小即可． 【解答】解： ， ①若，则，； 故， ②若，则，； 故， ， 同理可得，， 故． 【点评】本题考查了做商法比较大小的应用及分类讨论的思想应用． 一．填空题（共12小题） 1．（2023秋•浦东新区校级月考）已知，化简：　0　． 【分析】根据根式运算法则计算出结果． 【解答】解：因为，所以． 故答案为：0． 【点评】本题主要考查了根式的化简，属于基础题． 2．（2023秋•长宁区校级期中）已知、均为正数，化简：　　． 【分析】由已知结合根式与指数幂的转化及指数幂的运算性质即可求解． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题． 3．（2023秋•徐汇区校级期中）化简：　　． 【分析】根据根式的定义求解． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查根式的运算，属于基础题． 4．（2023秋•普陀区校级期中）当时，化简　　． 【分析】根据根式的性质计算可得． 【解答】解：因为，所以． 故答案为：． 【点评】本题考查根式的计算，属于基础题． 5．（2023秋•闵行区校级期中）化简　　． 【分析】根据指数幂的性质化简即可． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【点评】本题考查有理数指数幂的运算，属于基础题． 6．（2023秋•奉贤区期中）已知，用有理数指数幂的形式表示　　． 【分析】根据分数指数幂的定义变形化简即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查幂函数的运算，属于基础题． 7．（2023秋•黄浦区校级期中）设是实数，若对任意负数，代数式恒为定值，则的值为 　3　． 【分析】根据已知条件，结合指数幂的运算性质，即可求解． 【解答】解：， 则， 由题意可知，，解得． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查有理数指数幂的运算，属于基础题． 8．（2023秋•青浦区校级期中）将化成有理数指数幂的形式为 　　． 【分析】由已知结合根式与分数指数幂的互化即可求解． 【解答】解：当时，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分数指数幂与根式的互化，属于基础题． 9．（2023秋•长宁区期末）根式的指数幂形式为 　　． 【分析】根据有理数指数幂的运算性质求解． 【解答】解：， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题． 10．（2023秋•闵行区期末）用有理数指数幂的形式表示　　．（其中， 【分析】根据有理数指数幂的运算性质求解． 【解答】解：，， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题． 11．（2023秋•宝山区校级期末）用有理数指数幂的形式表示（其中　　． 【分析】利用有理数指数幂的运算性质求解． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题． 12．（2023秋•长宁区校级期中）已知，，若，则的值为 　　． 【分析】由已知结合指数幂的运算性质即可求解． 【解答】解：因为，，所以，． 又因为， 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题． 二．选择题（共4小题） 13．（2022秋•浦东新区校级期中）设，下列计算中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】结合指数幂的运算性质分别检验各选项即可判断． 【解答】解：，错误； ，错误； ，错误； ，正确． 故选：． 【点评】本题主要考查 指数幂的运算性质的应用，属于基础题． 14．（2023秋•嘉定区期末）已知，，则的值　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合指数幂的运算法则，即可求解． 【解答】解：，， 则． 故选：． 【点评】本题主要考查指数幂的运算法则，属于基础题． 15．（2022秋•徐汇区校级期中）已知，将表示成分数指数幂，其结果是　　 A． B． C． D． 【分析】利用指数幂的运算性质即可得出． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题主要考查指数幂的运算性质，属于基础题． 16．（2022秋•普陀区校级月考）已知，则化简的结果是　　 A． B． C． D． 【分析】利用指数幂的运算法则计算即可． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题考查指数幂的运算性质，属于基础题． 三．解答题（共5小题） 17．（2023秋•静安区校级期中）若，求的值． 【分析】根据已知条件，结合指数幂的运算法则，即可求解． 【解答】解：由得， ． 【点评】本题主要考查指数幂的运算法则，属于基础题． 18．（2022秋•浦东新区校级期中）（1）计算：； （2）已知，且，求的值． 【分析】（1）根据指数运算和根式运算法则进行计算； （2）将指数式和对数式互化，结合换底公式和对数运算法则进行计算． 【解答】解：（1）； （2）因为，所以，， 由换底公式可得：， 因为， 所以， 则， 因为， 所以． 【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题． 19．（2022秋•杨浦区校级期中）（1）求的值； （2）已知，，求的值． 【分析】（1）由已知结合指数幂的运算性质可求； （2）结合对数的运算性质及换底公式即可求解． 【解答】解：（1）； （2）因为，， 所以，， ． 【点评】本题主要考查了指数及对数运算性质的应用，属于基础题． 20．（2023秋•普陀区校级期中）已知函数方程的两根为、 （1）求的值． （2）求的值． 【分析】根据韦达定理得到，，从而代入求值即可． 【解答】解：，， （1） ； （2）的 ． 【点评】本题考查了韦达定理，考查了指数幂的性质，是一道基础题． 21．若，，求证：． 【分析】利用分析、综合法，即可证明结论． 【解答】证明：要证明， 只要， ，则，，； ，则，，； ，则，，． ， ． 【点评】本题考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$